安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第二次联考数学(理)试题(学生版)

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安徽省皖南八校2024届高三数学上学期第二次大联考试题含解析

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.形如a b c d我们称为“二阶行列式”，规定运算a b ad bc c d=-，若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足1ii 12i 1z -=+，则点A 在复平面内对应坐标为（）A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)- D.(3,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合复数的运算可得32i z =+，结合复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得：()(12i)(1i)3i i -+-=-+=z z ，则()i 3i 32i =++=+z ，所以点A 在复平面内对应坐标为(3,2).故选：A.3.已知动点M 10y --=，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C 【解析】【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.10y --=1y =+，表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等，所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线，故选：C.4.已知向量(2,)a m = ，(1,1)b m =+- ，且a b ⊥ ，若(2,1)c = ，则a 在c方向上的投影向量的坐标是（）A.42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.【详解】a b ⊥ ，故2(1)0m m +-=，解得2m =-，所以(2,2)a =-，则a 在c方向上的投影向量为a ccc c =⋅⋅42,55⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A.5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -，上下底面的中心分别为1O 和O ，若1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）A.2023B.2823C.3D.2863【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正四棱台，1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，侧面以及对角面为等腰梯形，故()1111122cos AB A B AA A AB -==∠，12AO AC ==22AB =111122AO A B ==，所以1OO ==，所以该四棱台的体积为(1111112282(1648)333ABCD D A B C V OO S S =++=⋅=++，故选：B.6.已知数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1067S =，则5a 的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与5a 的差，即可列式计算得解.【详解】数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，而数列{}n a 的前10项和为定值，为使5a 取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与5a 的差最小，则12341,2,3,4a a a a ====，657585951051,2,3,4,5a a a a a a a a a a -=-=-=-=-=，因此10121051061567S a a a a =++⋅⋅⋅+=++=，解得57a =，所以5a 的最大值为7.故选：C7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 满足()()0g x g x +-=，且()f x ，()g x 在(],0-∞单调递减，则（）A.()()f g x 在[)0,∞+单调递减B.()()g g x 在(],0-∞单调递减C.()()g f x 在[)0,∞+单调递减D.()()ff x 在(],0-∞单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知()f x 在[)0,∞+单调递增，()g x 为奇函数，在R 上单调递减.设120x x ≤<，则()()21g x g x <0≤，()()()()21f g x f g x >，所以()()f g x 在[)0,∞+单调递增，故A 错误，设120x x <≤，则()1g x >()2g x ，()()()()12g g x g g x <，()()g g x 在(],0-∞单调递增，故B 错误；设120x x ≤<，则()1f x ()2f x <，()()()()12g f x g f x >，所以()()g f x 在[)0,∞+单调递减，故C 正确；取()21f x x =-，则()()()2211ff x x=--，()()00f f =，()()11f f -=-，此时()()f f x 在(],0-∞不单调递减，故D 错误.故选:C.8.已知点P 在直线60x y +-=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（）A.B.1+ C. D.1+【答案】B 【解析】【分析】结合点P 在直线60x y +-=上，求出切点弦AB 的方程，确定其所经过的定点，确定当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，即可求得答案.【详解】根据题意，设点(,)P m n ，则6m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则有OA ⊥PA ，OB PB ⊥，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为,22m n D ⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r OP =2=，则其方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形可得220x y mx ny +--=，联立22224x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆D 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=，又由6m n +=，则有mx +()640m y --=，变形可得()640m x y y -+-=，则有0640x y y -=⎧⎨-=⎩，可解得23x y ==，故直线AB 恒过定点22,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，14,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，则点M 到直线AB 距离的最大值为111CQ +==.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B.在回归分析中，可用决定系数2R 判断模型拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好C.若变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.1P ξ>=D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B ，结合拟合的定义，可得答案；对于C ，根据正态分布的对称性，可得答案；对于D ，利用方差的计算，可得答案.【详解】对于A ，数据2、3、3、4、5、7、7，8、9、11共10个数，因为1080%8⨯=，因此，这组数据的第80百分位数为898.52+=，故A 正确，对于B ，在回归分析中，可用决定系数2R 的值判断模型拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，故B 错误；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.5(1718)0.50.40.1P P ξξ>=-<≤=-=，故C 正确；对于D ，不妨设两层的样本容量分别为m ，n ，总样本平均数为x ，则()()222221212m n s s x x s x x m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，易知只有当m n =，12x x =时，有()2221212s s s =+，故D 错误.故选：AC.10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且(0)1f =，若()g x =()f x a +为奇函数，则a 可能取值为（）A.π3B.5π12C.π6D.π12-【答案】BD 【解析】【分析】根据图像有2A =，根据(0)2sin 1f ϕ==及π2ϕ<，确定ϕ值，再根据图像确定2π11π12T ω=>，结合11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ω，确定()f x 解析式，又要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，求a 值.【详解】由图象可得2A =，再根据(0)2sin 1f ϕ==，π2ϕ<，故π6ϕ=，又2π11π12T ω=>，则24011ω<<，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11ππ2π126k ω⨯+=，Z k ∈，得2ω=，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，所以π2π6a k +=，Z k ∈，得ππ212k a =-，当0k =时12πa =-，当1k =时5π12a =，所以B 、D 符合，其它选项不符合.故选：BD11.若函数()e e x x f x a b cx -=++，既有极大值点又有极小值点，则（）A.0ac < B.0bc < C.()0a b c +< D.240c ab +>【答案】ACD【解析】【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【详解】由题知方程2e e ()e e 0ex x xxxa c bf x a b c -+-'=-+==，2e e 0x x a c b +-=有两不等实根1x ，2x ，令e x t =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11e x t =，22e xt =，212120Δ4000a c abc t t a bt t a ≠⎧⎪=+>⎪⎪⎨+=->⎪⎪=->⎪⎩，24000c ab ac ab ⎧+>⎪<⎨⎪<⎩，()00bc a b c ab ac >⎧⎨+=+<⎩，故ACD 正确，B 错误.故选：ACD.12.已知一圆锥，其母线长为l 且与底面所成的角为60︒，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（）1.73≈， 1.41≈）A.一个半径为0.28l 的球B.一个半径为0.28l 与一个半径为0.09l 的球C.一个边长为0.45l 且可以自由旋转的正四面体D.一个底面在圆锥底面上，体积为30.04l π的圆柱【答案】ABC 【解析】【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】如图1，球1O 与圆锥侧面、底面均相切，球2O 与球1O 、圆锥侧面相切，作圆锥的轴截面如图2，设小球1Q 半径为1r ，球1Q 与BC 边相切于点E ，60CBA ∠=︒，30DCB ∠=︒，1O E BC ⊥，所以112CO r =，132CD r ==，130.286r l ∴=>，故A 正确；设小球2O 半径为2r ，同理可知21130.09318r r l l ==>，故B 正确；将棱长为a 的正四面体放置到正方体中，如图则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点O 处，半径为1B D 的一半长，易知，2BC a =，所以12B D a =，故棱长为a 的正四面体外接球半径为4a ，则46a ≤则边长3a l ≤，20.453l l >，故C 正确；如图3，一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4，设圆柱底面半径为3r ，高为h ，因为3r CD h DB CD -=，又易知，13,22BD l CD ==，代入3r CD h DB CD -=，整理得到332h l =-，所以圆柱的体积()()2223333333332π2ππ2V r h l r l r r r ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()()23333π2602V r lr r '=-=，得30r =或313r l =，则体积在10,3l ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,32l l ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()333max π30.044π5V l l r =∴<，故D 错误.图1图2图3图4故选：ABC.【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式(2)(1)n x x -+的展开式中，所有项系数和为256-，则2x 的系数为______（用数字作答）.【答案】48-【解析】【分析】利用赋值法求得n ，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令1x =可得二项式(2)(1)nx x -+的所有项系数和为2256n -=-，所以8n =.二项式8(1)x +的展开式的通项公式为18C rrr x T +=⋅，0r =，1， (8)所以(2)(1)nx x -+的展开式中，2x 的系数为1288C 2C -=48-.故答案为：48-14.随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：ξ4sin α4cos α2sin 2αP1414a则()E ξ的最小值为______.【答案】54-【解析】【分析】根据分布列性质求得a 的值，即可求得()E ξ的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.【详解】依题意知11144a ++=，则12a =，则()sin cos sin 2E ξααα=++，设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故22sin 2(sin cos )11t ααα=+-=-，所以2215()124E t t t ξ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t ⎡=-∈⎣时，()E ξ取最小值54-，故答案为：54-15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22=BF AF ，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴=，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：142.16.已知函数22ln e ()21e xa f x a x x x=+-+，(0)a >有唯一零点，则a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设2e (0)e x a t t x=>，转化为方程ln e t t =有唯一解e t =，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.【详解】由题意知224e 21e ln x a x x x+=-有唯一解，0x >，故2222e e 21ln e ln e ln e e l ln n x x x a a a x a x x x x=--=--=，设2e (0)e x a t t x=>，即ln e t t =，设(e n )l t F t t =-，则11()e F t t '=-，当(0,e)t ∈时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，当(e,)t ∈+∞时，()0F t '>，函数()F t 单调递增；min ()(e)0F t F ==，故方程ln e t t =有唯一解e t =，即2e e e x a x=有唯一解，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，()2a g x x '=-，0a >，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x 趋近于0和x 趋近于+∞时，()g x 趋近于-∞，故只需满足ln 2022a a g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，设()ln 22a h a a a =-+，()ln 2a h a '=，当(0,2)a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，当(2,)a ∈+∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，故min ()(2)0h a h ==，故2a =成立.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足1n a =+，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n n b a a a +⋅=+，求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】（1）21n a n =-，*N n ∈（2）2221n n n T n+=+【解析】【分析】（1）根据数列递推式求出首项，得出当2n ≥时，()211114n n S a --=+，和()2114n n S a =+相减并化简可得12n n a a --=，即可求得答案；（2）利用（1）的结果可得12n n n n b a a a +⋅=+的表达式，利用等差数列的前n 项和公式以及裂项法求和，即可求得答案.【小问1详解】由1n a =+得()2114n n S a =+，则()211114a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()211114n n S a --=+，所以()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，因为{}n a 是正项数列，所以10n n a a ->+，所以12n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n a n n =+-=-，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，21n a n =-，所以122112121(21)(21)2121n n n n b a n n a a n n n n +=+=-+=-+--+-+⋅，所以(121)111111213352121n n n T n n +-⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭21121n n =+-+2221n n n =++.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22b a ac -=.（1）求证：2B A =；（2）如图：点D 在线段AC 上，且12AD BD CD ==，求cos C 的值.【答案】（1）证明见解析（2）368【解析】【分析】（1）在ABC 中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得；（2）由第一问在BCD △中结合正弦定理可得2a c =，在ABC 中根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】证明：由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，又22b a ac -=，可得22cos c ac ac B -=，即2cos c a a B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C A A B -=，而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入上式，可得sin sin si )cos co i s n s n(A A B A B B A =-=-，所以πA B A +-=（舍）或A B A =-，即2B A =.【小问2详解】因为2B A =，AD BD =，所以=A ABD CBD ∠∠=∠，在BCD △中，由正弦定理得sin sin sin sin CD CBD A a BD C C c∠∠===∠∠，而12BD CD =，可得2a c =，代入22b a ac -=，可得=b ，由余弦定理得222222(2)co 2s 8c c a b c C ab +-+-===.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，6PA AD ==，点N 为棱PD 的中点，点E 在棱AD 上，3AD AE =.（1）求证：PC AN ⊥；（2）已知平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的正切值为12，求二面角N BE D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为,PA AD A PA CD ⋂=⊂、平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AN ⊂平面PAD ，所以CD AN ⊥.因为N 为PD 中点，PA AD =，所以PD AN ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AN ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以AN PC ⊥.【小问2详解】在矩形ABCD 中，//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以//AB l .所以l 与直线BE 所成角即为ABE ∠.在Rt ABE △中，123AE AD ==，AB AE ⊥，所以4tan A AE A E B B ∠==.以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,2,0)E ，(0,3,3)N 所以(4,2,0)BE =- ，(4,3,3)BN =-.设平面BNE 的法向量为(,,)m x y z = ，则4204330m BE x y m BN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取23,6z x y =⇒=-=-，可得(3,6,2)m =-- .又(0,0,6)AP = 为平面BDE 的一个法向量，所以122cos ,67m 7m AP AP m AP ⋅===⨯ .由图可知，二面角N BE D --为锐角，所以二面角N BE D --的余弦值为27.20.人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）111024【解析】【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.【小问1详解】当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，根据题意可知：()1114224P X ==⨯=，()11132222P X ==⨯⨯=，()1112224P X ==⨯=，所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432()P X 141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得1-分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.如图，已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆M 上异于A 、B 的动点，满足14PA PB k k ⋅=-，当P 为上顶点时，ABP 的面积为2.（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线AP 交直线:4l x =于C 点，直线CB 交椭圆于Q 点，求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆上顶点0(0,)P b ，根据题意求出,a b 即可得解；（2）分直线PQ 斜率是否存在，设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，先根据斜率不存在求出定点M ，方法1，联立直线AC 与椭圆方程，求出,P Q 两点的坐标，然后证明,,P M Q 三点共线即可.方法2，当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求出12x x +，12x x ，再结合已知，求出,k m 的关系，即可得出结论.方法3，易得3BQ PA k k =，根据椭圆的对称性可得3PB QA k k =，再利用斜率公式构造对偶式，进而可求出PQ 的方程，从而可得出结论.【小问1详解】设椭圆上顶点0(0,)P b ，则002214P A P B b b b k k a a a =⋅==--⋅-，又01222ABP S ab =⨯=△，两式联立可解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，当直线PQ 斜率不存在时，12x x =，12y y =-则直线:(2)6t AC y x =+，:(2)2t BC y x =-所以()()11112,622t y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可解得11x =，此时直线PQ 方程为1x =，过定点(1,0)；下面证明斜率存在时，直线PQ 也经过(1,0)，法1（设而求点）：联立直线AC 与椭圆方程：22(2),61,4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222944360t x t x t +++-=，()()42216494360t t t ∆=-+->，由韦达定理有212429t x t --=+，即2121829t x t -=+，所以()1126269t t y x t =+=+，所以P 点坐标为2221826,99t t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得Q 点坐标为222222,11t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设点(1,0)M ，则222936,99t t MP t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ，22232,11t t MQ t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为2222229326309191t t t t t t t t ---⋅-=++++，所以//MP MQ ，所以直线PQ 过定点(1,0)M ，证毕.法2（直曲联立）：当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，而14PA PB k k ⋅=-，可得34BQ PB k k =-⋅，即()()21122112322224y y y y x x x x ⋅==-----，整理得()121212346120x x y y x x +-++=①，联立直线PQ 与椭圆方程：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()()222222644414416410k m k m k m∆=-+-=+->，则2241k m +>，由韦达定理有122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+②，所以()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+⋅③，将②③代入①得2222224448346120414141m m k km k k k --⨯+⨯+⨯+=+++，可得(2)()0k m k m ++=，所以2m k =-或m k =-，当2m k =-时，直线PQ 为2y kx k =-，经过(2,0)B ，舍去，所以m k =-，此时直线PQ 为y kx k =-，经过定点(1,0)，直线PQ 过定点得证.法3（构造对偶式）：由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，又14PA PB k k ⋅=-，由椭圆对称性易知14QA QB k k =-⋅，所以3PB QA k k =，可得21211221121221121212322362326322y y x x x y x y y y y y x y x y y y x x ⎧=⨯⎪-+-=--⎧⎪⇒⎨⎨-=--⎩⎪=⨯⎪-+⎩①②，由①②可得122121x y x y y y =--，直线PQ 为()121112y y y y x x x x --=--，令0y =得，1221211x y x y x y y -==-，所以直线PQ 过定点(1,0)，证毕.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e e x x f x a -=-，（R a ∈）.（1）若()f x 为偶函数，求此时()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设函数()()(1)g x f x a x =-+，且存在12,x x 分别为()g x 的极大值点和极小值点.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若(0,1)a ∈，且()()120g x kg x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20y +=（2）（i ）(0,1)(1,)⋃+∞；（ii ）(,1]-∞-【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，求出a 的值，然后利用导数求切线方程.（2）（ⅰ）对()g x 进行求导，将()g x 既存在极大值，又存在极小值转化成()0g x =必有两个不等的实数根，利用导数得到()g x 的单调性和极值，进而即可求解；（ⅱ）对()g x 进行求导，利用导数分析()g x 的极值，将()()120g x kg x +>恒成立转化成11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，构造函数，利用导数分类讨论求解即【小问1详解】()f x 为偶函数，有()e e ()e e x x x x f x a f x a ---=-==-，则1a =-，所以()e e x x f x -=--，()e ex x f x -'=-+所以(0)2f =-，(0)0f '=所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20y +=.【小问2详解】（ⅰ）()()(1)e e (1)x x g x f x a x a a x -=-+=--+，()()2e 1e 1e (1)e 1()e e (1)e e x x x x x x x x a a a g x a a ----++'=+-+==，因为函数()g x 既存在极大值，又存在极小值，则()0g x '=必有两个不等的实根，则0a >，令()0g x '=可得0x =或ln x a =-，所以ln 0a -≠，解得0a >且1a ≠.令{}min 0ln ,m a =-，{}max 0ln ,n a =-，则有：x (,)m -∞m (,)m n n (,)n +∞()g x '+0-0+()g x 极大值极小值可知()g x 分别在x m =和x n =取得极大值和极小值，符合题意.综上，实数a 的取值范围是(0,1)(1,)⋃+∞.（ⅱ）由(0,1)a ∈，可得ln 0a ->，所以10x =，2ln x a =-，()11g x a =-，()21(1ln )g x a a a =-++且有()()210g x g x <<，由题意可得[]11(1)ln 0a k a a a -+-++>对(0,1)a ∀∈恒成立，由于此时()()210g x g x <<，则0k <，所以()()()1ln 11k a a k a +>--，则11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，令ln 11()11x h x x k x -⎛⎫=--⋅ ⎪+⎝⎭，其中01x <<，则2222212(1)211112()1(1)(1)(1)x x x x k k h x x k x x x x x ⎛⎫+--++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=--⋅== ⎪+++⎝⎭，令2210x x k ++=，则()2224144k k k -∆=-=.①当0∆≤，即1k ≤-时，()0h x '≥，()h x 在(0,1)上是严格增函数，所以()(1)0h x h <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，符合题意；（2）当0∆>，即10k -<<时，设方程2210x x k ++=的两根分别为3x ，4x 且34x x <，则3420x x k +=->，341x x =，则3401x x <<<，则当31x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()3,1x 上单调递减，所以当31x x <<时，()(1)0h x h >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅ ⎪+⎝⎭，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(,1]-∞-.。

安徽省皖南八校2020届高三第二次联考数学(理)试题

安徽省皖南八校2020届高三第二次联考数学（理）试题一、选择题本大题共12道小题。

1.已知集合{}2A x x =≥，{}03B x x =≤≤，则()R A C B =I （） A.[2,+∞) B. (3,+∞)C. [0,3]D. (－∞,2)∪[2,+∞)答案及解析：1.B 【分析】先求出B 的补集，再求交集。

【详解】由题意{|03}R C B x x x =<>或，∴(){|3}R A C B x x =>I 。

故选：B 。

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。

2.已知F 2是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（） A. 9B. 8C.D. 答案及解析：2.A答案第2页，总24页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】由212AF AF a =+，AB 的最小值是AE r -，转化为求1AF AE +的最小值即为1EF ．【详解】双曲线22193x y -=中3a =，3b =9323c =+=1(23,0)F -，圆E 半径为1r =，(0,2)E -， ∴21126AF AF a AF =+=+，1AB AE BE AE ≥-=-（当且仅当,,A E B 共线且B 在,A E 间时取等号．∴2AB AF +11615AF AE AF AE ≥++-=++2215(23)259EF ≥+=+=，当且仅当A是线段1EF 与双曲线的交点时取等号． ∴2AB AF +的最小值是9．故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径． 3.已知两个单位向量12,e e u r u u r 满足12|2|7e e -u r u u r 12,e e u r u u r的夹角为（）A.23π B.34π C.3π D.4π 答案及解析：3.A 【分析】由已知模求出12e e ⋅u r u u r，再利用向量夹角公式计算。

精选安徽省皖南八校2019届高三第二次(12月)联考数学理试题

“皖南八校”2019届高三第二次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位，a R Î，若a iz i a i-=++为实数，则实数a = A. -1 B. 12- C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】【分析】由题意，根据复数的运算法则，求得22221(1)11a a z i a a --=+++，再根据复数的概念，即可求解.【详解】由题意，可得a iz i a i -=++2()()()a i i a i a i -=++-22(1)21a ai i a --=++22212(1)11a a i a a -=+-++ 22221(1)11a a i a a --=+++，有1a =，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算法则，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.已知集合2{|2}U x x x =?，2{|log 2}A x x =?，则U C A = A. {|024}x x x ＃<或 B. {|204}x x x ??或C. {|012}x x x ＃<或D. {}24x x x ?或【答案】A 【解析】【分析】由题意，求得{|20}U x x x=常或，进而根据补集的运算，即可得到答案.【详解】由题意，可得{|20}U x x x=常或，{|4}A x x =?，则{|024}A x x x È=＃<或ð，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解全集U 和熟记集合的补集的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A.49169 B. 30169 C. 49289 D. 60289【答案】C 【解析】【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为5+12(55)7-+=，最大正方形的边长为5+12=17，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：49289P =，故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题. 4.已知{}n a 为等差数列，若3562a a +=，则6103a a += A. 18 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】【分析】数列{}n a 为等差数列，由3562a a +=，可得166a d +=，进而又由610134(6)a a a d +=+，代入即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，且3562a a +=，可得111262(4)66a d a d a d ++=+?=，则61011133(5)94(6)4624a a a d a d a d +=+++=+=?，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理运算求解是解答的关键，体现了等差数列的基本量的运算问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.如图，在ABC D 中，AD AB ^，2DC BD =，2AB =，则AC AB ×的值为A. -4B. -3C. -2D. -8 【答案】D 【解析】【分析】由题意把AC 转化为AB 、BD 求解即可.【详解】因为AD AB ^，2DC BD =，2AB =，所以AC AB ×()(3)AB BC ABAB BD AB =+?+?22343|cos 43|8AB BD AB AB BD ABD AB =+?-?-=-,故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题. 6.已知函数()sin f x x x =-，则不等式2(1)(33)0f x f x -++>的解集是 A. (,4)(1,)-??? B. (,1)(4,)-??? C. (1,4)- D. (4,1)- 【答案】C 【解析】【分析】由题意，根据函数的解析式，求解函数()f x 是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为21(33)x x ->-+，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x =-?¢，所以函数()f x 是定义域上的单调递增函数，又由()()sin()(sin )f x x x x x f x -=---=--=-，即函数()f x 定义域上的奇函数，又由不等式2(1)(33)0f x f x -++>可转化为 2(1)(33)[(33)]f x f x f x ->-+=-+ 即21(33)x x ->-+，即2340x x --<，解得14x -<<，即不等式的解集为(1,4)-，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式2340x x --<是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 与点Q 在三视图上的对应点分别为A ，B ，则在该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据三视图可判断出P,Q 点的位置，然后利用侧面展开图求PQ 间距离，比较不同展开图得到的距离即可求解.【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q 位置如图：沿EF 展开，计算PQ =沿FM 展开，计算PQ ==因此点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为故选D.【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.8.若将函数()sin(2)6f x x p=+的图像向左平移(0)j j >个单位，所得图像关于y 轴对称，则当j 最小时，函数1()cos(2)12g x x j =+-图像的一个对称中心的坐标是A. (,0)3p B. (,1)3p-- C. (,1)3p -D. (,1)3p- 【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据函数的图象变换和三角函数的性质，求得6pj =，得出函数()g x 的解析式，由此可求解函数()g x 图象的一个对称中心的坐标，得到答案.【详解】由题意，将函数()sin(2)6f x x p =+的图像向左平移(0)j j >个单位，可函数的解析式为()sin[2()]sin(22)66h x x x p pj j =++=++，又由函数()h x 的图像关于y 轴对称，则(0)1h =?，即sin(2)16pj +=?，解得2,62k k Z p p j p +=+?，当0k =时，6p j =，此时函数1()cos()123g x x p =+-，令1,232x k k Z p p p +=+?，当0k =时，3x p =，所以函数()g x 图象的一个对称中心的坐标是(,1)3p-，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换和三角函数的图象与性质，确定j 的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1a ，且长为a 则三棱锥的体积的最大值为（）A.12 B. C. 6D. 【答案】A 【解析】如图所示，三棱锥A BCD -中，,1AD a BC AB AC BD CD =====，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD 看作底面，则当平面ABC ^平面BCD 时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h ，△BCD 是等腰直角三角形，则12BCDS=，综上可得，三棱锥的体积的最大值为1132212创=. 本题选择A 选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．10.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，O 为坐标原点.若OF FB =，则C 的渐近线方程为A. 3y x =?B. 2y x =?C. yD. y x =? 【答案】A 【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得AF ，再分别求得OB ，根据勾股定理222OB OA AB =+，求得a 和b 的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由过点(,0)F c 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，双曲线的渐近线方程为by x a=?，则点(,0)F c 到渐近线的距离为d b =，即FA FD b ==，则,OA OD a AB b c ===+,又由OF FB =，所以OFB D 为等腰三角形，则D 为OB 的中点，所以2OB a =，在直角OAB D 中，则22222()OB OA AB a b c =+=++，即2224()a a b c =++，整理得2220c bc b --=，解得2c b =，又由222c a b =+，则2224a b b +=，即b a ，所以双曲线的渐近线方程为y x =?，故选 A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于,,a b c 的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11.已知函数ln ,0,()2,0,x x f x x x ì>ï=í+?ïî若存在实数1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，使123()()()f x f x f x ==，则12()x f x 的取值范围是A. [2,0]-B. [1,0]-C. 2[,0]3-D. 1[,0]2- 【答案】B 【解析】【分析】由函数()f x 的图象，设123()()(),(0,2]f x f x f x m m ===?，且12(2,0],(0,1)x x ??，由1()f x m =，得12x m =-，进而得212()2,(0,2]x f x m m m =-?，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数ln ,0()2,0x x f x x x ì>ï=í+?ïî，可得函数()f x 的图象如图所示，又由存在实数1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，设123()()(),(0,2]f x f x f x m m ===?，且12(2,0],(0,1)x x ??，则1()f x m =，即12x m +=，解得12x m =-，所以2212()(2)2(1)1,(0,2]x f x m mm m m m =-?-=--?，当1m =时，12()x f x 取得最小值1-，当2m =时，12()x f x 取得最大值0，所以12()x f x 的取值范围是[1,0]-，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的性质的综合应用，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中作出函数()f x 的图象，化简得出212()2,(0,2]x f x m m m =-?，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.圆C 与直线2110x y +-=相切，且圆心C 的坐标为(2,2)，设点P 的坐标为0(1,)y -，若在圆C 上存在点Q ，使得30CPQ ??，则0y 的取值范围是A. 19[,]22-B. [1,5]-C. [2-D. [2-+【答案】C 【解析】【分析】由题意点C 到直线2110x y +-=的距离，可求得圆C 的方程，又由存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，转化为30CPQ谐?，由此列出不等式，求得CP £.【详解】由题意点(2,2)C 到直线2110x y +-==可得圆C 的方程为22(2)(2)5x y -+-=. 若存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，30CPQ 谐?即可，可得sin sin 30CQ CPQ CP ?=嘲，得CP £.解得：022y -.【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点Q ，当PQ与圆C 相切时，转化为30CPQ谐?，列出不等式，求得CP £了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足条件2,22,1,y x x y x ì£ïï+?íï£ïî则z x y =-的最大值为__________．【答案】1 【解析】【分析】作出可行域，根据线性规划知识求最优解即可. 【详解】作出可行域如图：作出直线0l ：y x =，平移直线0l ，当直线在y 轴上的截距最小时，Z 有最大值，如图平移0l 过点(1,0)时，max 101Z =-=. 故填1.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题. 14.已知02p a b <<<，且1cos tan sin b a b-=，则sin[2()]6p b a -+=__________．【答案】2- 【解析】【分析】由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得cos()cos b a a -=，进而2b a =，代入即可求解. 【详解】由题意有sin 1cos cos sin a ba b-=，得cos()cos b a a -=，由02p b a <-<，02pa <<，有b a a -=，得2b a =，则sin[2()]sin()63p p b a -+=-=-.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得2b a =，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，记13352121n n n T a a a a a a -+=++鬃鬃鬃+，则n T =__________．【答案】11(1)1516n - 【解析】【分析】由题意，根据数列的通项n a 和n S 的关系，求得112n n a a -=，再由等比数列的定义，得出数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，求得通项公式为12n n a =，利用等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意有111a a =-，得112a =，当2n ³时有1111n n n n S a S a --ì=-ïí=-ïî，两式做差得112n n a a -=，故数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，可得数列{}n a 的通项公式为12n n a =，所以222242n n T a a a =+++11(1)111616(1)1516116n n-==--. 【点睛】本题主要考查了等比数列中通项公式n a 与n S 关系，以及等比数列的定义和前n 项和公式的应用，其中解答中根据数列中通项公式n a 与n S 关系，以及等比数列的定义得出数列{}n a 的通项公式，再利用等比数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16.已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-+，且(1)(1)()f x f x x R -=+?，当[0,1]x Î时，()21x f x =-，若曲线()y f x =与直线(1)y k x =-有5个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】1111(,)(,)4664--? 【解析】【分析】由题意，可得(1)(1)(1)f x f x f x +=-+=-知()f x 是周期为2的偶函数，利用()y f x =与(1)y k x =-的图像，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，可得(1)(1)f x f x +=-+，可得()(2)f x f x =+，所以()f x 是周期为2的周期函数，又由(1)(1)f x f x +=-+，则函数()f x 的图象关于1x =对称，由当[0,1]x Î时，()21x f x =-，要使得()y f x =与直线(1)y k x =-有5个交点，即()y f x =与直线(1)y k x =-的图象由5个交点，作出函数()y f x =与直线(1)y k x =-的图象，如图所示，则当0k >时，(51)1(71)1k k ì?<ïí?>ïî，解得1164k <<，当当0k <时，(31)1(51)1k k ì?-<ïí?->ïî，解得1146k -<<-，所以实数k 的取值范围是1111(,)(,)4664--?.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把得函数()y f x =与直线(1)y k x =-的交点，转化为()y f x =与直线(1)y k x =-的图象的交点，分别作出函数()y f x =与直线(1)y k x =-的图象，列出不等式组是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC D 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22cos a b c A +=. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）已知ABC D 4b =，求边c 的长.【答案】（I ）23C p=；（II ）c 【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得sin 2sin cos 0A A C +=，得到1cos 2C =-，即可求解C 的值；（Ⅱ）由ABC D 的面积为1sin 2ab C =1a =，再由余弦定理，即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理有sinA 2sinB 2sinCcosA +=，有()sinA 2sin A C 2sinCcosA ++=，得sinA 2sinAcosC 0+=，由0A π<<，得sinA 0>，有1cosC 2=-，由0C π<<，得2πC 3=.（Ⅱ）ΔABC 的面积为1absinC 2=又b 4=，sinC ∴a 1=. 由余弦定理得：21c 116214212骣琪=+-创?=琪桫.∴c 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ^侧面11BB C C ，BC ，12AB BB ==，14BCC p?，点E 在棱1BB 上.（Ⅰ）求证：1C B ^平面ABC ；（Ⅱ）试确定点E 的位置，使得二面角1A C E C -- 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在的中点.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理，,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设1BE BB l =，这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E 的位置.试题解析：解：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B=，∴C 1B 2+BC 2=，即C 1B ⊥BC ．又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，又CB∩AB=B ，所以C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B （0，0，0），A （0，2，0），C （，0，0），C 1（0，0，），B 1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣），设1BE BB l =，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）设平面AC 1E 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），由110{m C A m C E??，得，令z=，取m =（，1，），又平面C 1EC 的一个法向量为=（0，1，0）所以cos ＜，＞=mn m n××==，解得λ=．所以当λ=时，二面角A ﹣C 1E ﹣C 的余弦值为．考点：1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式，（3）求线面角，先求直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，（4）求二面角，先求两个平面的法向量，根据公式，根据二面角的大小确定二面角或.19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个444创的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为x ，记抽奖中奖的礼金为h .（Ⅰ）求(3)P x =；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望. 【答案】（I ）2063；（II ）详见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，可知64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.（Ⅱ）由题意，随机变量x 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6，h 的取值为50，30，10，0，分别求解相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，∴()1111882424264C C C C P ξ3C ??== 64020201663==. （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0，()()P η50P ξ6=== 28264C 281C 201672===()()P η30P ξ5=== 11824264C C 1922C 201621×=== ()()P η10P ξ4=== 21124824264C C C 46813C 201656+?===()121383P η01722156126==---=.∴()28E η502016=?19246813283703010020162016201663???. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点(1,2-在椭圆C 上，过原点O 的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，且4MF NF +=. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(1,0)P ，(4,0)Q ，过点Q 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，证明：APOBPQ ??.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）取椭圆C 的左焦点'F ，连'MF 、'NF ，由椭圆的几何性质知'NF MF =，则'24M F M Fa +==，设椭圆方程代入点骣琪-琪桫即可求解（Ⅱ）设点A 的坐标为()11,x y ，点B 的坐标为()22,x y ，直线AB 的方程为：()()40y k x k =-?，联立方程组,消元得()222241326440kx k x k +-+-=，写出AP 的斜率，同理得直线BP 的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论.【详解】（Ⅰ）如图，取椭圆C 的左焦点'F ，连'MF 、'NF ，由椭圆的几何性质知'NF MF =，则'24MF MF a +==，得2a =，将点骣琪-琪桫代入椭圆C 的方程得：221314a b +=，解得：1b = 故椭圆C 的方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设点A 的坐标为()11,x y ，点B 的坐标为()22,x y 由图可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：()()40y k x k =-?联立方程()22144x y y k x ìï+=ïíï=-ïî，消去y 得：()222241326440k x k x k +-+-=， ()()()2222324416440k k k D=-+->，2112k <. 有21222122324164441k x x k k x x k ìï+=ï+íï-=ï+î直线AP 的斜率为：()1111411k x y x x -=--. 同理直线BP 的斜率为：()2241k x x --.由()()12124411k x k x x x --+-- ()()()()()()122112414111k x x k x x x x --+--=-- ()()121212122581k x x x x x x x x 轾-++臌==-++222222221288160841416443214141k kk k k k k k k 骣-琪-+琪++桫--+++ ()22222212881603286443241k k k k k k k --++=--++ ()222160816080363k k k k --+==-. 由上得直线AP 与BP 的斜率互为相反数，可得APO BPQ ??.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题.21.已知函数21()ln (0)2f x ax x x a =-->. （Ⅰ）当34a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】（I ）1ln 22--；（II ）详见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）当34a =时，23()ln 8f x x x x =--，求得(32)(2)()4x x f x x+-¢=，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值.（Ⅱ）当0a >，方程210(*)ax x --=的140a D=+>，则方程有两个不相等的实数根，记为1x ，212()x x x <，得函数()f x 的减区间为2(0,)x ，增区间为2(,)x +?，求得函数的最小值，没有零点；当2a =时，函数()f x 仅有一个零点为1x =；当02a <<时，得函数()h x 的增区间为(1,)+?，减区间为(0,1)，求得min ()(1)0h x h ==，由此时函数()f x 有两个零点，即可得到答案. 【详解】解：（Ⅰ）当3a 4=时，()23f x x x lnx 8=-- ()2313x 4x 4f x x 14x 4x--=--=¢ ()()3x 2x 24x+-=，令()f x 0¢>可得x 2>. 故函数()f x 的增区间为()2,¥+，减区间为()0,2故当x 2=时，函数()f x 的最小值为()1f 2ln22=--. （Ⅱ）由()21ax x 1f x ax 1x x=¢--=-- ∵a 0>，方程()2ax x 10*--=的Δ14a 0=+>，则方程()*有两个不相等的实数根，记为1x ，212x (x x )<，则222ax x 1=+，12121x x a 1x x 0a ì+=ïïíï=-<ïî，有12x 0x <<，故函数()f x 的减区间为()20,x ，增区间为()2x ,¥+，有()()2minf xf x = 22221ax x lnx 2=-- ()2221x 1x lnx 2=+-- 2211x lnx 22=--+ 当2x 1=时，()211f x ln1022=--+=，又函数2211y x lnx 22=--+单调递减，（1）当()2f x 0>时，20x 1<<，此时22211a 112x x =+>+=，函数()f x 没有零点；（2）当a 2=时，函数()f x 仅有一个零点为x 1=；（3）当0a 2<<时，有()2f x 0<，21a 1f 10e 2e e骣琪=-+>琪桫由12121x x a 1x x 0a ì+=ïïíï=-<ïî，有2111x a 2e >>>令()h x x 1lnx =--，有()1x 1h x 1x x¢-=-=，故函数()h x 的增区间为()1,¥+，减区间为()0,1，由()()minh xh 10==，可得不等式lnx 1x -?（当且仅当x 1=时取等号）成立故有当24x max x ,a禳镲>睚镲铪时，()21f x ax x lnx 2=-- 21ax x 1x 2?+- 2114ax 2x ax x 022a 骣琪>-=->琪桫，则此时函数()f x 有两个零点.由上知a 2=时，函数()f x 有一个零点；当0a 2<<时，函数()f x 有两个零点；当a 2>时函数()f x 没有零点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y q q ì=ïí=ïî（q为参数），直线l 的参数方程为 1(1)1x a t y atì=+-ïí=+ïî（t 为参数）（Ⅰ）若32a =，求曲线C 与直线l 的交点坐标；（Ⅱ）求直线l 所过定点P 的坐标，并求曲线C 上任一点Q 到点P 的距离的最大值和最小值. 【答案】（1）(0,2)-与68(,)55；（2）max 2d =min 2d =-.【解析】【分析】（Ⅰ）求出曲线C 和直线l 的普通方程,联立解方程组即可求出交点坐标（Ⅱ）直线l 所过定点P 的坐标为()1,1，曲线C 上任一点Q 到P 的距离利用两点间距离公式写出，利用三角函数值域的有界性求距离的最值即可.【详解】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为224x y +=，当32a =时，直线l 的普通方程为：32y x =- 联立22432x y y x ì+=ïí=-ïî，解得：02x y ì=ïí=-ïî或6585x y ì=ïïíï=ïî，曲线C 与l 的交点为()0,2-与68,55骣琪琪桫. （Ⅱ）当0t =时，1x =，1y =，则直线l 过定点P 的坐标为()1,1，故曲线C 上任一点Q 到点P 的距离为：d=由1sin 14pq 骣琪-??琪桫，故max 2d =min 2d =-【点睛】本题主要考查了由参数方程化普通方程，直线系的定点，两点间的距离，属于中档题. 23.已知函数()224f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式：()34f x x ?+；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值. 【答案】（1）1{|}2x x ?；（2）1. 【解析】【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值()24f -=，则4m n +=，0m >，0n >，根据()111114m n m n m n 骣琪+=++琪桫，利用均值不等式求最值即可. 【详解】（Ⅰ）()224f x x x =-++ 32,26,2232,2x x x x x x ì--<-ïï=+-＃íï+>ïî可得当2x <-时，3234x x --?+，即24-?，所以无解；当22x-＃时，634x x +?+，得12x ?，可得122x -＃；当2x >时，3234x x +?+，得13x ³，可得2x >. ∴不等式的解集为1{|}2x x ?. （Ⅱ）根据函数()32,26,2232,2x x f x x x x x ì--<-ïï=+-＃íï+>ïî可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =， ∵4m n +=，0m >，0n >， ∴()111114m n m n m n 骣琪+=++琪桫()111122144n m m n 骣琪=+++?=琪桫. 当且仅当n mm n=，即2m n ==时，取“=”. ∴11m n+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。

安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考数学理

安徽皖南八校2020届高三上学期第二次联考数学理一、单选题1．已知集合2A x x ，03B x x ，则()R AC B （）A ．[2,)B ．(3,)C ．[0,3]D ．(,2)[2,)【答案】B2．已知12i zi ，则z（）A ．1355iB ．1355iC ．1355iD ．1355i【答案】B 3．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（）A ．与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少B ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍C ．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】D4．已知两个单位向量12,e e 满足12|2|7e e ，则12,e e 的夹角为（）A ．23B ．34C ．3D ．4【答案】A5．函数22sin ()cos x x f x xx 在[2,2]上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D6．已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（）层.A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 7．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，点E ，F 分别是,AB AD 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（）A ．直线EF ，AO 是异面直线B ．直线EF ，1BB 是相交直线C ．直线EF 与1BC 所成的角为30D ．直线EF ，1BB 所成角的余弦值为33【答案】C8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（）A ．0B ．2C ．4D ．2【答案】B 9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f xf x ，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a，121()4b，12log 2c，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（）A ．()()()f b f c f aB ．()()()f a f c f bC ．()()()f c f b f a D ．()()()f c f a f b 【答案】C10．已知2F 是双曲线22:193xyC 的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E xy上一点，则2ABAF 的最小值为（）A ．9B ．8C ．53D ．63【答案】A 11．关于函数()cos sin f x x x 有下述四个结论：①()f x 的最小值为2；②()f x 在[,2]上单调递增；③函数()1yf x 在[,]上有3个零点；④曲线()yf x 关于直线x对称.其中所有正确结论的编号为（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D 12．已知三棱锥PABC 满足PA底面ABC ，在ABC 中，6AB ，8AC ，AB AC ，D 是线段AC 上一点，且3AD DC ，球O 为三棱锥P ABC 的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40，则球O 的表面积为（）A ．72πB ．86C ．112D ．128【答案】C二、填空题13．已知曲线()(1)ln f x ax x 在点(1,0)处的切线方程为1yx ，则实数a 的值为_______.【答案】214．已知正项等比数列n a 的前n 项和为n S ，若22S ，410S ，则5a _______.【答案】32315．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.【答案】31416．点,A B 是抛物线2:2(0)C ypx p上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||dAB 的最大值为_______.【答案】33三、解答题17．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，cos 2cos 22sin (C BA sin Asin )C .（1）求角B 的大小；（2）若1c ，ABC 的面积为332，求b .【答案】（1）3；（2）31.18．如图（1），在平面四边形ABCD 中，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，AB 中点为F ，3AC，2BD，90BCD，沿BD 将BCD 折起，使C 至C 位置，如图（2）.（1）求证：AC BD ；（2）当平面BC D平面ABD 时，求直线AC 与平面C DF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）48585.19．设椭图2222:1(0)x y C abab的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为33，O 是坐标原点，且1 6.OB F B（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ，求直线l 的方程.【答案】（1）22132xy；（2）210xy 或210xy .20．已知函数1()4cos()23xf x xe，()f x 为()f x 的导函数，证明：（1）()f x 在区间[,0]上存在唯一极大值点；（2）()f x 在区间[,0]上有且仅有一个零点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.21．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求,,p p p ；②规定p ，经过计算机计算可估计得11(1)i ii i p ap bp cp b ，请根据①中,,p p p的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列n p 的通项公式.【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ；②116177iiip p p ，11156nnp .【解析】（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B 相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为2,1,0,1,2），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ，由0p ，代入11(1)iii i p ap bp cp b，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得1{}nn p p 是等比数列，由等比数列通项公式得1nn p p ，然后用累加法可求得n p ．【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A ，2()3P B ，甲的得分X 的取值为1,0,1，(1)()P XP AB 121()()(1)233P A P B ，(0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B 12121(1)(1)23232，121(1)()()()(1)236P XP AB P A P B ，∴X 的分布列为：X－11P131216（2）由（1）116p ，2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P XP XP XP X111117()2662636，同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2：记(1)P Xx ，(0)P X y ，(1)P X z ，则2(2)P Y x ，(1)P Yxyyx ，2(0)P Yxzzxy ，(1)P Yyzzy ，2(2)P Yz由此得甲的得分Y 的分布列为：Y－2－112P1913133616136∴3111111131143()()3362636636636216p ，∵11(1)iii i p ap bp cp b，00p ，∴1212321p ap bp p ap bp cp ，71136664371721636636a b a bc，∴6(1)717b a b c，代入11(1)i ii i p ap bp cp b得：116177iiip p p ，∴111()6iii i p p p p ，∴数列1{}n n p p 是等比数列，公比为16q，首项为1016p p ，∴11()6n n np p ．∴11210()()()n nn nn p p p p p p p 111111()()(1)66656n n n ．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin xy（为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()14.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，P 是曲线C 上一点，求PAB 面积的最大值.【答案】（1）2221x y，2x y；（2）2.23．已知0,0a b，2 3.ab证明：（1）2295ab；（2）33814.16a bab【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.。

安徽省皖南八校2019届高三第二次联考数学(理)试题

4 （1）求证：C1B⊥平面 ABC;
5 （2）试确定点 E 的位置,使得二面角 A-C1E-C 的余弦值为 .
5
19. （本小题满分 12 分）某县大润发超市为了惠顾新老顾客,决定在 2019 年元且来临之际举行“庆元且,迎新年”的抽奖派送
礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案,该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用,方案如下,将一个 4×4×4 的正方体各面均涂上红色,再把它分割
3
成 64 个相同的小正方体.经过搅拌后,从中任取两个小正方体,记它们的着色面数之和为 ,记抽奖中奖的礼金为 .
(1)求 P( =3)
(2)凡是元卫当天在超市购买物品的顾客,均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为 6,设为一等奖,获得价值 50 元礼品;记抽取的两个小正方体着色面数之和为 5,设为二等奖,获得价值 30 元礼品; 记抽取的两个小正方体着色面数之和为 4,设为三等奖,获得价值 10 元礼品,其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.
π A.( ,0)
3
π B.(— ,—1)
3
π C.(— ,1)
3
π D.( ,—1)
3
9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2,a,且长为 a 的棱与长为 2的棱所在直线是异面直线,
则三棱锥的体积的最大值为
2 A.
12
3 B.
12
2 C.
6
3 D.
6
10.已知
F 为双曲线
C:
x2 a2
B.{x|x≤-2 或 0≤x＜4}
C.{x|x≤0 或 1≤x＜2}
D.{x|x≤-2 或 x＞4}

皖南八校2019届高三摸底联考数学试题(理).doc

皖南八校 2019 届高三摸底联考数学试题（理）届高三摸底联考数学试题（理）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150 分，考试时间120 分钟。

2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。

3．请将各卷答案填在答题卡上。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书．．．．．．．写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数 z 的实部为－ 1，虚部为 2，则 5i 等于（）zA ． 2 iB ． 2 iC ．2 iD ． 2 i2．若全集为实数集 R ， Mx log 1x 2 ，则M 等于（）3A ． (,0] 1)B ． ( 1)( ,,99 C ． (,0] [ 1,)D ． [ 1,)993．若动点 P 到定点 F （1，－ 1）的距离与到直线 l : x 1 0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线1 1 D ．直线4．设向量 a (1,0,0 ）， b (（）, ,0) ，则下列结论中正确的是2 2A ． a bB ． a b 22． a b 与 b 垂直． a ∥bCD 5．右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（）6．一位运的心跳了8 次，得到如下表所示的数据：次数1 2 3 4 56 7 8数据 a i （次 / 分）39404242434546 47上述数据的分析中，一部分算如右所示的程序框（其中 a 是 8 个数据的平均数），出的的是（）A ． 6B ．7C ． 8D ． 567． l , m 是两条不同的直，a 是一个平面，下列命正确的是（）A ．若 l m, m a, 则 l aB ．若 la, m a,则 lmC ．若 l ∥ a ， l ∥ m,m ∥ aD ．若 l ∥ a ， m ∥ a ， l ∥ m8．古希腊著名的达哥拉斯学派把 1、 3、610⋯⋯的数称 “三角形数”，而把 1、 4、 9、 16⋯⋯ 的数称 “正方形数”。

安徽省皖南八校2019届高三第二次(12月)联考数学理试题

“皖南八校”2019届高三第二次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，，若为实数，则实数A. -1B.C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意，根据复数的运算法则，求得，再根据复数的概念，即可求解.【详解】由题意，可得，有，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算法则，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得，进而根据补集的运算，即可得到答案.【详解】由题意，可得，，则，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解全集和熟记集合的补集的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.4.已知为等差数列，若，则A. 18B. 24C. 30D. 32【答案】B【解析】【分析】数列为等差数列，由，可得，进而又由，代入即可求解.【详解】由题意，数列为等差数列，且，可得，则，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理运算求解是解答的关键，体现了等差数列的基本量的运算问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.如图，在中，，，，则的值为A. -4B. -3C. -2D. -8【答案】D【解析】【分析】由题意把转化为、求解即可.【详解】因为，，，所以,故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题.6.已知函数，则不等式的解集是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，又由，即函数定义域上的奇函数，又由不等式可转化为即，即，解得，即不等式的解集为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图可判断出P,Q点的位置，然后利用侧面展开图求PQ间距离，比较不同展开图得到的距离即可求解.【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q位置如图：沿EF展开，计算,沿FM展开，计算,因此点到点的路径中，最短路径的长度为.故选D.【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据函数的图象变换和三角函数的性质，求得，得出函数的解析式，由此可求解函数图象的一个对称中心的坐标，得到答案.【详解】由题意，将函数的图像向左平移个单位，可函数的解析式为，又由函数的图像关于轴对称，则，即，解得，当时，，此时函数，令，当时，，所以函数图象的一个对称中心的坐标是，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换和三角函数的图象与性质，确定的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，三棱锥中，，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，△BCD是等腰直角三角形，则，综上可得，三棱锥的体积的最大值为.本题选择A选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得，再分别求得，根据勾股定理，求得和的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，即，则,又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，在直角中，则，即，整理得，解得，又由，则，即，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的图象，设，且，由，得，进而得，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的图象如图所示，又由存在实数，，，且，设，且，则，即，解得，所以，当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的性质的综合应用，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中作出函数的图象，化简得出，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意点到直线的距离，可求得圆的方程，又由存在这样的点，当与圆相切时，转化为，由此列出不等式，求得，即可求解.【详解】由题意点到直线的距离为，可得圆的方程为.若存在这样的点，当与圆相切时，即可，可得，得，则.解得：.【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点，当与圆相切时，转化为，列出不等式，求得，进而求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．【答案】1【解析】【分析】作出可行域，根据线性规划知识求最优解即可.【详解】作出可行域如图：作出直线：，平移直线，当直线在y轴上的截距最小时，有最大值，如图平移过点时，.故填1.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题.14.已知，且，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得，进而，代入即可求解. 【详解】由题意有，得，由，，有，得，则.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15.记为数列的前项和，，记，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据数列的通项和的关系，求得，再由等比数列的定义，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，求得通项公式为，利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意有，得，当时有，两式做差得，故数列是以为首项，为公比的等比数列，可得数列的通项公式为，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义和前项和公式的应用，其中解答中根据数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义得出数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意，可得知是周期为2的偶函数，利用与的图像，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，可得，可得，所以是周期为的周期函数，又由，则函数的图象关于对称，由当时，，要使得与直线有5个交点，即与直线的图象由5个交点，作出函数与直线的图象，如图所示，则当时，，解得，当当时，，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把得函数与直线的交点，转化为与直线的图象的交点，分别作出函数与直线的图象，列出不等式组是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别是、、，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）已知的面积为，，求边的长.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得，得到，即可求解的值；（Ⅱ）由的面积为，求得，再由余弦定理，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理有，有，得，由，得，有，由，得.（Ⅱ）的面积为.又，，∴.由余弦定理得：.∴.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在的中点.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理，,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设，这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E的位置.试题解析：解：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC1=BB1=2，∠BCC1=，在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B=，∴C1B2+BC2=，即C1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（，0，0），C1（0，0，），B1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣），设，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）设平面AC1E的一个法向量为=（x，y，z），由，得，令z=，取=（，1，），又平面C1EC的一个法向量为=（0，1，0）所以cos＜，＞===，解得λ=．所以当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．考点：1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式，（3）求线面角，先求直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，（4）求二面角，先求两个平面的法向量，根据公式，根据二面角的大小确定二面角或.19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望. 【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，可知64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.（Ⅱ）由题意，随机变量的所有可能取值为，的取值为50，30，10，0，分别求解相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，∴.（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，的取值为50，30，10，0，∴.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，设椭圆方程代入点即可求解（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为：，联立方程组,消元得，写出的斜率，同理得直线的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论.【详解】（Ⅰ）如图，取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，得，将点代入椭圆的方程得：，解得：故椭圆的方程为：.（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为由图可知直线的斜率存在，设直线的方程为：联立方程，消去得：，，.有直线的斜率为：.同理直线的斜率为：.由.由上得直线与的斜率互为相反数，可得.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，，求得，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值.（Ⅱ）当，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，得函数的减区间为，增区间为，求得函数的最小值，没有零点；当时，函数仅有一个零点为；当时，得函数的增区间为，减区间为，求得，由此时函数有两个零点，即可得到答案.【详解】解：（Ⅰ）当时，，令可得.故函数的增区间为，减区间为故当时，函数的最小值为.（Ⅱ）由∵，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，则，，有，故函数的减区间为，增区间为，有当时，，又函数单调递减，（1）当时，，此时，函数没有零点；（2）当时，函数仅有一个零点为；（3）当时，有，由，有令，有，故函数的增区间为，减区间为，由，可得不等式（当且仅当时取等号）成立故有当时，，则此时函数有两个零点.由上知时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当时函数没有零点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）与；（Ⅱ），.【解析】【分析】（Ⅰ）求出曲线C和直线的普通方程,联立解方程组即可求出交点坐标（Ⅱ）直线所过定点的坐标为，曲线上任一点到P的距离利用两点间距离公式写出，利用三角函数值域的有界性求距离的最值即可.【详解】（Ⅰ）曲线的普通方程为，当时，直线的普通方程为：联立，解得：或，曲线与的交点为与.（Ⅱ）当时，，，则直线过定点的坐标为，故曲线上任一点到点的距离为：由，故，【点睛】本题主要考查了由参数方程化普通方程，直线系的定点，两点间的距离，属于中档题.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值，则，，，根据，利用均值不等式求最值即可.【详解】（Ⅰ）可得当时，，即，所以无解；当时，，得，可得；当时，，得，可得.∴不等式的解集为.（Ⅱ）根据函数可知当时，函数取得最小值，可知，∵，，，∴.当且仅当，即时，取“=”.∴的最小值为1.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。

安徽皖南八校2019高三上第二次联考数学理试题

考试时间：2018年12月20日星期四“皖南八校”高中2019届毕业班第二次联考数学（理科）1. 选择题：60分。

1.i 为虚数单位,a ∈R ，若z=a-i a+i+i 为实数，则实数a= 5. -1 B.-12C.1D.2 2.已知集合U ={x|x 2≥2x },A={x|log 2x ≥2},则C U A=A.{x|x ≤0或2≤x ＜4}B.{x|x ≤-2或0≤x ＜4}C.{x|x ≤0或1≤x ＜2}D.{x|x ≤-2或x ＞4}3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(图1),图2是由弦图变化得到,它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成。

现随机的向图2中大正方形内部去投掷一枚飞镖,若直角三角形的直角边长分别为5和12,则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率为A.49169B.30169C.49289D.602894.已知{an}为等差数列,若a 3+6=2a 5,则3a 6+a 10=A.18B.24C.30D.325.如图,在三角形ABC 中,AD ⊥AB,BD DC 2=2=,则AB AC ∙的值为A.-4B.-3C.-2D.-86.已知函数x x x f sin )(-=,则不等式0)33()1(2＞++-x f x f 的解集是A.),1()4,(+∞--∞B.),4()1,(+∞--∞C.)4,1(-D.)1,4(-7.某几何体的三视图如图所示,该几何体表面上的点P 与点Q 在三视图上的对应点分别为A,B,则该几何体表面上,从点P 到点Q 的路径中,最短路径的长度为 A.14 B.2 3 C.10 D.2 28.若将函数)62sin()(π+=x x f 的图像向左平移ϕ(ϕ＞0)个单位,所得图像关于y 轴对称,则当ϕ最小时,函数1)221cos()(-+=ϕx x g 图像的一个对称中心的坐标是 A.(π3,0) B.(—π3,—1) C.(—π3,1) D.(π3,—1) 9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1,2,a,且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线, 则三棱锥的体积的最大值为 A.212 B.312 C.26 D.3610.已知F 为双曲线C:)0,0(12222＞＞b a by a x =-的右焦点,过点F 向C 的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B,O 为坐标原点.若|OF|=|FB|,则C 的渐近线方程为A.y =±33x B.y =±2x C.y =±3x D.y =±x 11.已知函数⎩⎨⎧≤+=0,20,ln )(x x x x x f ＞,若存在实数321,,x x x ,且321x x x ＜＜,使)()()(321x f x f x f ==,则x 1f (x的取值范围是A.[-2,0]B.[-1,0]C.[—23,0]D.[—12,0] 12.圆C 与直线0112=-+y x 相切,且圆心C 的坐标为(2,2),设点P 的坐标为(-1,y 0),若在圆C 上存在点Q,使得︒=∠30CPQ ,则0y 的取值范围是A.[—12,92]B.[-1,5]C.[2-11,2+11]D.[2-23,2+23] 二、填空题：20分。

安徽省皖南八校2024届高三上学期第二次大联考数学试题(2)

一、单选题二、多选题1. 已知i 为虚数单位，若复数，则（）A ．B ．1C ．D ．02. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（）．A ．120种B ．90种C ．80种D ．60种3.已知圆与圆相交于，两点，且，给出以下结论：①是定值；②四边形的面积是定值；③的最小值为；④的最大值为，则其中正确结论的个数是（）A．B．C．D．4. 在四边形ABCD中，，，将沿AC翻折至，三棱锥的顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．5. 已知点是抛物线上的一个动点，是圆：上的一个动点，则的最小值为（）A．B．C ．3D ．46. 已知函数的图象关于直线对称，则（）A ．函数在上单调递增B ．函数为偶函数C ．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象7.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上下底面半径之比为，若截去的圆锥的母线长为，则圆台的母线长为A．B．C．D．8.如图所示为函数的部分图象，其中，两点之间的距离为，则函数图象的对称轴为（）A．B．C．D．9.已知函数，则（）A ．在区间单调递增B．的图象关于直线对称C ．的值域为D ．关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为10. 小学实验课中，有甲、乙两位同学对同一四面体进行测量，各自得到了一条不全面的信息：甲同学：四面体有两个面是等腰直角三角安徽省皖南八校2024届高三上学期第二次大联考数学试题(2)安徽省皖南八校2024届高三上学期第二次大联考数学试题(2)三、填空题四、解答题形；乙同学：四面体有一个面是边长为1的等边三角形.那么，根据以上信息，该四面体体积的值可能是（）A．B．C．D．11. 如图，已知圆锥的底面圆心为O ，半径，侧面积为π，内切球的球心为O 1，则下列说法正确的是（）A ．内切球O 1的表面积为(84－48)πB ．圆锥的体积为3πC ．过点P 作平面α截圆锥的截面面积的最大值为2D ．设母线PB 中点为M ，从A 点沿圆锥表面到M的最近路线长为12. 菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的6条棱都相切，下列结论正确的是（）A ．平面B．球的表面积为C．球被三棱锥表面截得的截面周长为D．过点与直线所成角均为的直线可作4条13. 已知双曲线的左右焦点分别为，以虚轴为直径的圆与在第一象限交于点，若与圆相切，则双曲线的离心率为______.14. 集合，若,则________；_______；___________15.在中，，则的面积为__________．16. 已知椭圆E：经过A （－1,0），两点，M ，N 是椭圆E 上异于B 的两动点，且，直线AM ，AN 的斜率均存在．并分别记为，．(1)求证：为常数；(2)求△AMN 面积的最大值．17. 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数4103a 2b 12302(1)当时，（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.18. 定义在上的函数，若满足:对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界（1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.19. 已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求周长的范围.20. 已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.21. 已知函数.(1)当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；(2)讨论极值点的个数.。

安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第二次联考数学(理)试题(教师版)

【详解】由题意{|03}R C B x x x =<>或，∴(){|3}R A C B x x =>。

故选：B 。

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。

2.已知12iz i-=+，则z =（） A.1355i - B.1355i + C. 1355i -- D. 1355i -+ 【答案】B 【解析】【分析】由复数除法计算出z ，再由共轭复数定义求出z 。

【详解】1(1)(2)221132(2)(2)555i i i i i z i i i i ------====-++-， ∴1355z i =+。

故选：B 。

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念。

属于基础题。

3.某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（）A. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍C. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】D 【解析】【分析】设2016年参考人数为a ，依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、不上线的人数，然后比较得出结论。

【详解】设2016年参考人数为a ，则2016年一本达线人数0.28a ，2019年一本达线人数0.24 1.20.288a a ⨯=0.28a >，A 错；2016年二本达线人数0.32a ，2019年二本达线人数0.4 1.20.48a a ⨯=，增加了0.16a ，不是一倍，B 错； 2016年艺体达线人数0.08a ，2019年艺体达线人数0.08 1.20.096a a ⨯=，C 错；2016年不上线的人数0.32a ，20196年不上线的人数0.28 1.20.3360.32a a a ⨯=>，D 正确。