长郡高一月考数学
长郡中学2024届高三年级第一次月考数学试卷
程为 y 2x 0.4 ，且 x 2 ，去除两个歧义点 2,1 和(2, -1)后，得到新的回归
直线的斜率为 3．则下列说法正确的是（
）
A．相关变量 x，y 具有正相关关系
B．去除两个歧义点后的回归直线方程为 y 3x 3
）
3
A． 2
9
B． 1
9
C． 4
9
D． 1
3
8．已知对任意的 x 0, ，不等式 kx ekx 1 x 1 ln x 0 恒成立，则实数 k
的取值范围是（
A． e,
）
B．
1 e
,
e
C．
1 e
,
试卷第 1页，共 4页
D．
1 e2
,
1 e
二、多选题（每小题 5 分，共 20 分，部分选对得 2 分，有错选得 0 分，全 部选对得 5 分）
AA1 AB 2 .
(1)求证： AB BC ；
(2)若直线
AC
与平面
A1BC
所成的角为
π 6
，请问在线段
A1C
上是否存在点
E
，使得平面
ABE
与平面
CBE
的夹角为
π 3
，若
存在请求出 E 的位置，不存在请说明理由.
试卷第 3页，共 4页
20（12 分）．已知抛物线 C：y2 4
3x 的焦点为椭圆 E：ax22
9 2
．
四、解答题
17（10 分）．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 5cos2B﹣14cosB＝7 ．
长郡中学2024届高三年级第一次月考数学参考答案
数学试卷参考答长郡中学2024届高三年级第一次月考案因为BB'⊥平面PAC，BB'⊂平面PBB 又因为平面PBB' 平面PAC PB'=''.且//BB NN10．BC 【解析】()22sin 2cos sin sin 2cos 224f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=+=+⎪⎝⎭．由题可知，ππ312T ≥-，所以08ω<≤，当ππ,123x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2ππ2,46434x ωωω⎛⎫+∈++⎪⎝⎭，因为函数()f x 在ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，无最小值，所以存在Z k ∈，使得ππ2ππ32222642342k k k πωπωππππ-+≤+<+<+≤+整理得931212223153388k k k k ωω⎧-+≤<+⎪⎪⎨⎪+<≤+⎪⎩，（Z k ∈）.因为08ω<≤，所以932231588ωω⎧-≤<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，解得3382ω<<.故选择BC12、【答案】ABD【解析】对于A 选项，连接1CD 、1A B ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC 且11A D BC =，故四边形11A BCD 为平行四边形，所以，11//A B CD ，因为1A B ⊄平面1CD E ，1CD ⊂平面1CD E ，所以，1//A B 平面1CD E ，当F 在1A B 上时，点F 到平面1CD E 的距离等于点1A 到平面1CD E 的距离，所以，111111111122123323F CD E A CD E C A D E A D EV V V S CD ---===⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 对；对于B 选项，连接BE ，因为BF ⊂平面11AA B B ，所以，CE 与BF 所成的最小角为直线CE 与平面11AA B B 所成的角，因为BC ⊥平面11AA B B ，所以，CE 与平面11AA B B 所成角为BEC ∠因为BE ⊂平面11AA B B ，所以，BC BE ⊥，因为BE ===，2BC =，所以，3CE ===，所以，2sin 3BC BEC CE ∠==，故CE 与BF 所成角正弦的最小值为23，B 对；对于C 选项，分别取线段AB 、AD 的中点M 、N ，连接AC 、11A C 、11B D 、BD 、MN 、1D N 、1B M ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，又因为1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，则111⊥B D AA ，因为1111AA AC A ⋂=，1AA 、11AC ⊂平面11AAC C ，所以，11B D ⊥平面11AAC C ，因为CE ⊂平面11AAC C ，则11CE B D ⊥，在Rt ABE △和1Rt BB M 中，AE BM =，1AB BB =，190BAE B BM ∠=∠=，所以，1Rt Rt ABE BB M △≌△，则1BMB AEB ∠=∠，所以，190ABE BMB ABE AEB ∠+∠=∠+∠=，则90BOM ∠= ，即1B M BE ⊥，因为BC ⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，则1B M BC ⊥，因为BC BE E = ，BC 、BE ⊂平面BCE ，所以，1B M ⊥平面BCE ，因为CE ⊂平面BCE ，所以，1CE B M ⊥，因为M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则//MN BD ，因为11//BB DD 且11BB DD =，故四边形11BB D D 为平行四边形，所以，11//B D BD ，所以，11//MN B D ，则N 、M 、1B 、1D 四点共面，因为11CE B D ⊥，1CE B M ⊥，1111B M B D B ⋂=，1B M 、11B D ⊂平面11B D NM ，所以，CE ⊥平面11B D NM ，过1D 作垂直于CE 的平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面，则截面为梯形11B D NM ，由勾股定理可得1B M同理可得1D N =，MN =11B D =所以，截面周长为1111B D MN B M D N +++==C 错；对于D 选项，由C 选项可知，CE ⊥平面11B D NM ，则点F 的轨迹为线段1B M ，因为BC ⊥平面11AA B B ，BF ⊂平面11AA B B ，则BC BF ⊥，则12BCF S BC BF BF =⋅=△，当BF B M ⊥1时，即当点F 与点O 重合时，BF 的长取最小值，此时，1min 15BM BB BF B M ⋅====，所以，BCF S BF =△，D 对.故选：ABD.答案第11页，共11页。
长郡中学高一数学第一次月考数学试卷
数学（长郡版）- 4
（1）若 A 1,2，求 S T ： （2）若 A 0, m，且 S T ，求实数 m 的值；
（3）若对于 A 中的每一个 x 值，都有 f (x) g(x) ，求集合 A 。
17. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) 2x2 a , 且f (1) 3 。 x
（1）求函数 f (x) 在 - ，0 上的单调区间，并利用定义证明；
个数为
A.71
B.49
C.35
D.29
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，将答案填在答案纸上。
11. 设 P,Q 为两个非空实数集合， P 中含有 0,2,5 三个元素， Q 中含有1,2,6 三个元素，定
义集合 P Q 中的元素是 a b ，其中 a P,b Q ，则 P Q 中元素个数是
一片森林原面积为 a .计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余
面积的百分比相等，并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年。为保护生态环境，
森林面积至少要保留原面积的 1 。已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的 2 。
4
2
（1）求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
19.（本小题满分 12 分）
已 知 函 数 f (x) 对 一 切 实 数 x, y ， 等 式 f (x y) f ( y) x(x 2y 1) 都 成 立 ， 且
f (1) 0 。
（1）求函数 f (x) 的解析式； （2）已知 a,b R，g(x) f (x) bx, 当 0 x 1 时，使不等式 f (x) 3 2x a 恒成立
湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题(含解析)
长郡中学2022-2023届高三月考试卷（二）数学2022.10一、选择题1.已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2,4 B.{}0 C.{}5 D.{}0,52.若i1ia z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.-1B.0C.1D.23.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.34.命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A.40a -<£B.40a -≤< C.30a -≤≤ D.40a -≤≤5.当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是（）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.D.2)6.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B.111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D.141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A.1624B.1198C.1024D.15608.已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A.12n x +与22m x -均为定值B.12n x -与22m x +均为定值C.12n x -与22m x -均为定值D.12n x +与22m x +均为定值二、选择题9.已知奇函数())cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是（）A.函数π()2sin(2)3g x x =- B.函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（）A.PC BD⊥ B.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D.当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:111.已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A.n 为偶数时，()221n n a -=- B.229n T n n =-+C.992049T =- D.n T 的最大值为2012.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()10g = B.函数()g x '的图象关于2x =对称C.()20221k g k ==∑ D.()()20211k f k g k ==∑三、填空题13.若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅的最小值为______.15.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====，则数列{}2(2)n n a b -的前n 项和为______.16.已知函数()ln xf x x =，()x xg x e=，若存在1>0x ，2x R ∈，使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为______.四、解答题17.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2n n n b n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()*1433n T n N <∈.18.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．19.如图，在三棱柱111ABCA B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,3AE EF BE ＝＝，求平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.20.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切.求证：矩形MNPQ 对角线长为定值.22.已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学一、选择题1.已知全集U=R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2,4 B.{}0 C.{}5 D.{}0,5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ð，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}UA B ⋂=ð.故选：D2.若i1ia z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.-1B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据纯虚数实部为0，虚部不为0即可求解.【详解】()()()i 1i 11i i ==1i 22a a a a z ++-+++=-，由于z 为纯虚数，因此10a -=且10a +，故1a =，故选：C3.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D4.命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A.40a -<£ B.40a -≤< C.30a -≤≤ D.40a -≤≤【答案】A 【解析】分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a=时，40-<恒成立，符合题意；其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a -<<，综上可知，－4<0a ≤故选：A 5.当102x <≤时，4log xax <，则a 的取值范围是（）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.D.2)【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，结合已知条件可得关于a 的不等式，即可求得答案.【详解】由题意得，当1a>时，log a y x =是增函数，102x <≤时，log 0a x <，不合题意；当01a <<时，log a y x =在102x <≤时单调递减，4xy =递增，要使得4log xa x <成立，需满足1214log 2a<，即21log 2log 2a a a >=，则212a>，解得12a <<，故选:B6.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B.111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D.141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先由零点个数求出36ω≤<，再用整体法得到不等式组，求出ω的取值范围.【详解】π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππππ,π3333x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，其中2ππ4ππ3ωω≤-<，解得：36ω≤<，则ππ4π333ω+≥，要想保证函数在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有三个零点，满足①1111πππ+2π2π+2π33π4π+2π<π5π+2π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，1k Z ∈，令10k =，解得：1114,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；或要满足②2222ππ2ππ+2π33π2π+3π<π2π+4π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，2k Z ∈，令21k =，解得：175,3ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；经检验，满足题意，其他情况均不满足36ω≤<条件，综上：ω的取值范围是111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：C 【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定ω的范围，本题中就要根据零点个数，先得到ππ23TT ≤-<，从而求出36ω≤<，再进行求解.7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A.1624B.1198C.1024D.1560【答案】C 【解析】【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++- 所以11nn b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以()21133222nn n n bn -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n+-=+++-++++= 同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++-- 11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：C【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.8.已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A.12n x +与22m x -均为定值 B.12n x -与22m x +均为定值C.12n x -与22m x -均为定值D.12n x +与22m x +均为定值【答案】D 【解析】【分析】分析得出0a<，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.【详解】当0a≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <.由()0f x '=可得x =，当x <x >()0f x '>；当x <<()0f x '<.所以，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝.对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =，又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则1x =，2x =，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=，即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，1x = ，可得213ax =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=，所以，120n x +=，同理可得220m x +=，故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果.二、选择题9.已知奇函数())cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是（）A.函数π()2sin(2)3g x x =- B.函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 【答案】AB 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式将()f x 化为π()2sin()6f x x ωϕ=+-，根据函数的最小正周期确定ω，根据奇偶性确定π6ϕ=，可得其解析式，根据三角函数的平移变换可得函数()g x 的解析式，判断A;代入验证可判断B ；根据x 的范围，确定π23x -的范围，结合正弦函数性质，可判断C,D.【详解】由题意可得π())cos()2sin(6f x x x x ωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为()f x 的最小正周期为π，所以2π2πω==，又因为()f x 为奇函数，所以πππ,π,Z 66k k k ϕϕ-=∴=+∈，而0πϕ<<，故π6ϕ=，所以()2sin 2f x x =，则将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，故ππ()2sin[2()]2sin(2)63g x x x =-=-，A 正确；将π3x =-代入π()2sin(2)3g x x =-中，有ππ2sin[2()]033---=，即函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，B 正确；当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2[,]333x -∈-，由于正弦函数sin y x =在2ππ[,]33-上不单调，故()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，故C 错误；当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，ππ2π2[,333x -∈-，π()2sin(2)[2]3g x x =-∈，函数最大值为2，D 错误，故选：AB 10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（）A.PC BD⊥ B.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D.当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:1【答案】ABD 【解析】【分析】根据BD ⊥平面PAC 即可判断A,由PO ⊥底面ABCD ，即可判断外接球的球心在PO 上，利用勾股定理即可求半径，进而可判断B,PAO ∠即为PA 与底面ABCD 所成角，根据几何法即可判断C,取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，BD ，能证明PC ⊥面BDE ，分别求出截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积，能判断D ．【详解】过P 作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为AC 中点，由于BD ⊂底面ABCD ,所以PO BD ⊥,又,,,AC BD AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂平面PAC ,故BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，故BD PC ⊥,故A 正确，由正四棱锥的特征可知，其外接球的球心在PO 上，设半径为R ,则()222OCOP R R +-=,又PO ==,解得R =,故外接球的表面积为24π8πR =,故B 正确，过P 作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为AC 中点，则PAO ∠即为PA 与底面ABCD 所成角，正四棱锥P ABCD -所有棱长为2，2AP ∴=，12AO AC ==cos AO PAO AP ∴∠==，45PAO ∴∠=︒，故C 错误，取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，BD ，正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，PBC ∴ 为正三角形，PC DE ∴⊥，PC BE ⊥，又DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BDE所以PC ⊥面BDE ，故当平面α经过侧棱PC 中点时，平面α即为平面BDE ，此时111112232322E BCDBCD VS OP -=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯，1122333P ABCD ABCD V S OP -=⋅=⨯⨯⨯，P ABCD E BCD V V V --∴=-=上，∴3E BCDV V -=上，故D 正确．故选：ABD11.已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A.n 为偶数时，()221n n a -=- B.229n T n n =-+ C.992049T =- D.n T 的最大值为20【答案】AC 【解析】【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292nn a n-⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n n T a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错故选：AC12.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()10g = B.函数()g x '的图象关于2x =对称C.()20221k g k ==∑ D.()()20211k f k g k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】由()1g x +为奇函数可得()10g =，由()()212f x g x +--=取导数可得()()30f x g x ''+-=，结合条件()()1f x g x ''=+，判断B ，再由条件判断函数()f x ，()g x 的周期，由此计算()20221k g k =∑，()()20211k f k g k =∑，判断C ，D.【详解】因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--+，取0x =可得()10g =，A 对，因为()()212f x g x +--=，所以()()210f x g x ''++-=所以()()30f x g x ''+-=，又()()1f x g x ''=+()()130g x g x ''++-=，故()()220g x g x ''++-=，所以函数()g x '的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为()()1f x g x ''=+，所以()()10f xg x '-+=⎡⎤⎣⎦所以()()1f x g x c -+=，c 为常数，因为()()212f x g x +--=，所以()()32f x g x --=，所以()()132g x g x c +--=-，取1x =可得2c =，所以()()13g x g x +=-，又()()11g x g x +=--+，所以()()31g x g x -=--+，所以()()2g x g x =--，所以()()42()g x g x g x +=-+=，故函数()g x 为周期为4的函数，因为()()2g x g x +=-，所以()()310g g =-=，()()42g g =-，所以(1)(2)(3)(4)0g g g g +++=，所以()[][]20221(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)k g k g g g g g g g g ==++++++++⋅⋅⋅∑[](2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(2022)g g g g g g ++++++，所以()202215050(2021)(2022)(1)(2)(2)k g k g g g g g ==⨯++=+=∑，由已知无法确定(2)g 的值，故()20221k g k =∑的值不一定为0，C 错；因为()()212f x g x +--=，所以()()221f x g x +=-+，()()625f x g x +=-+，所以()2(6)f x f x +=+，故函数()f x 为周期为4的函数，(4)(4)()()f xg x f x g x ++=所以函数()()f x g x 为周期为4的函数，又(1)2(0)f g =-，(2)2(1)2f g =-=，(3)2(2)2(0)f g g =-=+，(4)2(3)2f g =-=，所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)02(2)2(4)0f g f g f g f g g g +++=++=，所以()()[]20211505(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(2021)(2021)k f k g k f g f g f g f g f g ==++++∑()()20211(1)(1)0k f k g k f g ===∑，D 对，故选：AD.【点睛】本题解决的关键在于根据条件判断函数的周期性，对称性，并结合函数性质求函数值得和.三、填空题13.若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．【答案】16【解析】【分析】由题得62ab =，再利用基本不等式求解.【详解】因为22log log 6a b +=，所以2log 6ab =.所以62ab=所以622216a b ab +≥≥=.当且仅当8ab ==时取等.故答案为：1614.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅ 的最小值为______.【答案】7336-【解析】【分析】由22,3BE EC AE BD =⋅=- ，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可求得∠DAB ＝π3；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．【详解】由题意知：2=3BE BC，设=DAB θ∠，所以()()22222333AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC BC AB ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=-故()22214cos 444cos cos 3332θθθ-+⨯-⨯=-⇒=由于()0，πθ∈，所以π=3θ，以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，所以A （﹣3，0），C （3，0），D （0，1），B （0，﹣1），E （231,33-），设F （0，t ），则AF ＝（3，t ），EF ＝23133，t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2117323636AF EF t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当t ＝16-时，AF EF ⋅ 取最小值7336-，故答案为：7336-15.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====，则数列{}2(2)n n a b -的前n 项和为______.【答案】212n n +⋅【解析】【分析】根据等差等比数列基本量的计算可得公比和公差，进而得1,2nn na nb =+=，因此可得()22(2)=212n n n a b n n -+-，根据裂项求和即可求解.【详解】设公差和公比分别为(),0d q q >,由117332,2a b a b a ====得()2262222d q d +==+，解得1,2d q ==，因此1,2n nn an b =+=，所以()22(2)=212nnn a b n n -+-()()()()22222221212=2122212212n n n n n nnn n n n n n n +⎡⎤+---=⋅--⋅=⋅--⋅⎣⎦，设{}2(2)nn a b -的前n 项和为n S ，因此()2222123222112022212212n n nS n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅+⋅-⋅++⋅--⋅⎣⎦⎦=⎣⎦⎣ 212=n n +⋅故答案为：212n n +⋅16.已知函数()ln xf x x =，()xx g x e =，若存在1>0x ，2x R ∈，使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为______.【答案】1e-【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 可得函数()f x 的单调性情况，且(0,1)x ∈时，()0f x <，(1,)x ∈+∞时，()0f x >，同时注意()()x x xx x lne g x f e e e===，则21xx e =，所以2122x x x x e =，构造函数()x h x xe =，0x <，利用导数求其最小值即可．【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()lnxf x x -'=，∴当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又(1)f 0=，所以(0,1)x ∈时，()0f x <；(1,)x e ∈时，()0f x >；(,)x e ∈+∞时，()0f x >，同时注意到()()xx xx x lne g x f e e e===，所以若存在1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()0f x g x =<成立，则101x <<且212()()()x f x g x f e ==，所以21x x e =2(0)x <，所以2122xx x x e =，所以构造函数()x h x xe =(0)x <，而()(1)x h x e x '=+，当(1,0)x ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以1()(1)h x h e=-=-最小值，即12)1(x x e =-最小值.故答案为：1e-.【点睛】关键点睛：利用同构的方式将12x x ，联系起来，这样就构造了新函数，然后利用导数研究函数的单调性及最值.四、解答题17.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2nn nb n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()*1433n T n N <∈.【答案】（1）22,13·21,1nn n a n -=⎧=⎨+>⎩.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得13n n a S n +=-+，即有14n n a S n -=-+，两式相减得()1121n n a a +-=-，根据等比数列的定义得数列{}1n a -为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案；（2）由（1）得123·2nn n n nb S n -==-+，运用错位相减法和数列的单调性可得证.【小问1详解】解：当1n =时，2111324a S a =-+=+=，13n n a S n +=-+，得()142n n a S n n -=-+≥，两式相减得，11n n n a a a +-=-，即有()1121n n a a +-=-，即为数列{}1n a -为第二项起为等比数列，则213·2n na--=，1n >，n N ∈，即有22,13·21,1n n n a n -=⎧=⎨+>⎩；【小问2详解】解：13n n a S n +=-+，得13·22n n S n -=-+，则123·2n n n n nb S n -==-+，即有前n 项和为2112333·23·23·2n n nT -=+++⋯+，23112323·23·23·23·2n n n T =+++⋯+，两式相减可得，2111111233·23·23·23·2nn nnT -=+++⋯+-1112·133·212nn n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，化简得4412·3323·2nn nn T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于{}n b 各项大于0，得113nT T =，由不等式的性质可得43nT <.故()*1433n T n N <∈.18.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．【答案】(1)(2)tan 3ABD ∠=．【解析】【分析】(1)ABC 中，利用含ABC ∠的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得ABC 面积，再利用面积关系求ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用ABD ∠表示出ABC 与BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ABD ∠的方程，解之即得.【详解】(1)设BC x =，在ABC 中，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得：22228222cos3x x π=+-⋅⋅⋅，即22240x x +-=，而x>0，解得4x =，所以4BC =，则ABC的面积11sin 24222ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⋅⋅⋅=△，梯形ABCD 中，//AB CD ，ABC 与ADC 等高，且52ABCD =，所以ADC的面积52ABCADCS S ==△△，则梯形ABCD的面积ABC ADC S S S =+=△△；(2)在梯形ABCD 中，设ABD α∠=，而AC BD ⊥，则BDC α∠=，2BAC πα∠=-，23DBC a π∠=-，6BCA πα∠=-，在ABC 中，由正弦定理sin sin AB BC BCA BAC=∠∠得：2sin()sin()62BCππαα=--，在BDC 中，由正弦定理sin sin CD BC DBC BDC=∠∠得：52sin sin()3BCπαα=-，两式相除得：212sin()2cos sin )sin sin 3cos 5sin()sin()6222παααααππααα-⋅+=⇒--，整理得227sin cos 0αααα--=，即27tan 0αα--=解得tan 3α=或tan 5α=-，因为(,62ππα∈，则tan 3α=，即tan 3ABD ∠=．【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.19.如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,3AE EF BE ＝＝，求平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）10【解析】【分析】（1）由1BB ⊥平面AEF ，知1CC ⊥平面AEF ，求得2AEB AFC π∠=∠=，由四边形11AA B B 与四边形11AAC C 面积相等知，AE AF =，则AEB AFC ≅△△，故BE CF =，结合1BB EF⊥，从而有四边形BEFC 为矩形.（2）证得AG ⊥平面11BB C C ，取BC 的中点H ，以G 点为坐标原点，,,GF GA GH→→→的方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面AEF 和平面ABC 的一个法向量，利用向量夹角求得二面角的正弦值.【详解】（1）在三棱柱中，11//BB CC ，则由1BB ⊥平面AEF ，知1CC ⊥平面AEF ，故1BB AE ^，1BB EF ⊥，1CC AF ⊥，从而2AEB AFC π∠=∠=，由四边形11AA B B 与四边形11AAC C 面积相等知，AE AF=又AB AC =，则AEB AFC ≅△△，故BE CF =结合//BE CF ，知四边形BEFC 为平行四边形，又1BB EF ⊥，故四边形BEFC 为矩形.（2）取EF 的中点G ，联结AG ，由（1）知AE AF =，且1BB ⊂平面11BB C C ，则平面AEF ⊥平面11BB C C ，又平面AEF 平面11BB C C EF=，则AG ⊥平面11BB C C ，取BC 的中点H ，以G 点为坐标原点，,,GF GA GH→→→的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由2AE AF EF ===知，AEF 为正三角形，故AG =故A，(1,0,)3B -，(1,0,3C，(1,3AB →=-，(1,3AC →=-，设平面ABC 的一个法向量为(,,)a x y z →=则00a AB a AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，故0303x z x z ⎧--+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，取1y =，则0,3x z ==，(0,1,3)a →=因为平面AEF 的一个法向量为(0,0,1)b →=则cos ,10a ba b a b→→→→→→⋅<>===则二面角的余弦值为10，故二面角的正弦值为1020.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.【答案】（1）分布列见解析，()725E =ξ（2）（i ）200；（ii ）199或200【解析】【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.【小问1详解】0,1,2ξ=,2112434377222505050C C C C 129433(0),(1),(2),C 175C 175C 175P P P ξξξ⋅=========故分布列为：ξ012P129175431753175()129433701217517517525E =⨯+⨯+⨯=ξ.【小问2详解】（i ）设池塘乙中鱼数为m ,则50520m =,解得200m =,故池塘乙中的鱼数为200.（ii ）设池塘乙中鱼数为n ,令事件B =“再捉20条鱼,5条有记号”,事件C =“池塘乙中鱼数为n ”则515505020C C ()C n n np P B C -⋅==∣,由最大似然估计法,即求n p 最大时n 的值,其中65n ,1(49)(19)(64)(1)n n p n n p n n +--∴=-+当65,......198n =时11n n p p +>，当199n =时11n n pp +=，当200,201,...n =时11n np p +<所以池塘乙中的鱼数为199或200.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为，点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切.求证：矩形MNPQ 对角线长为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）对当MN 的斜率的情况进行分类讨论，当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：ykx t =+，与椭圆方程联立，根据0∆=，求得,k t的关系，利用两平行线之间的距离公式分别求得矩形边长，从而可求得对角线，即可得证.【小问1详解】解：由已知2212221914a b a b ⎧⋅⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程C ：22143x y +=；【小问2详解】证明：当MN 的斜率为0或不存在时，对角线MP NQ ===，当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：y kx t =+，联立223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++-=，()()222264163430k t t k ∆=--+=，化简得2243k t +=，所以两平行线MN 和PQ的距离1dNP ===，以1k -代替k ，两平行线MQ 和NP的距离2d MN ===，所以矩形MNPQ的对角线MP NQ ==综上所述，矩形MNPQ对角线长为定值22.已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）分类讨论导函数e ()xf x x m x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的实数根即可求解极值点，（2）构造函数()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈和2e ()(3)e e,(0,1)xxxG x x x x-=-+-∈，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.【小问1详解】2()e 2xmx f x =-,则()e x f x mx '=-,0x = 显然不是()'f x 的零点,e (),x f x x m x '⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令e ()=xg x x,则2e (1)()-'=x x g x x ,()g x ∴在(,0)-∞单调递减,在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增.当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0>g x ，且()(1)eg x g ==极小值(,0)m ∴∈-∞时,e=x m x只有一个实数根，所以此时()f x 有1个极值点,[)0,e m ∈时,e=x m x没有实数根，故()f x 有0个极值点,当e m =时，e =x m x ，有一个实数根1x =，但1x =不是极值点，故此时()f x 没有极值点，(e,)m ∈+∞时,e =x m x有两个不相等的实数根，故()f x 有2个极值点.【小问2详解】由（1）知,(e,)m ∈+∞,且()()121201,,()x x g x g x m g x <<<==在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增,先证:122x x +>,即证:212x x >-，1201x x <<< 121x ∴->即证:()()212g x g x >-.即证:()()112g x g x >-.令()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈,即证:(0,1),()0x F x ∀∈>,2'22e e ()(1)()(2)x xF x x x x -=---令2(1,2)t x =-∈则x t<令2e ()h =λλλ,则4)(e (2)h'⋅⋅-=λλλλλ,则()h λ在(0,2)λ∈单调递减()()(2)h x h t h x ∴>=-,()0F x '∴<,即()F x 在(0,1)x ∈单调递减,()(1)0F x F ∴>=,证毕.再证:()()122e f x f x m +<-,1201x x <<< ,且122x x +>1122x x x ∴<-<.()f x 在()10,x 单调递增,在()12,x x 单调递减,在()2,x +∞单调递增,()()122f x f x ∴->.即证:()()1122e f x f x m +-<-,又11e x m x =,即证:()()()11121111e 23e e2e x x x f x f x m x x -+-+=-+-<.令2e ()(3)e e,(0,1)xx xG x x x x-=-+-∈,()23222222e 21e e (1)()(2)e e exx x xxxx x x x G x x x x '--+-+--∴=---=.令()23222()e 21e x p x x x x x =-+-+-,()2322()e 2212e x p x x x x x '∴=-+++-,令()()q x p x '=()2322()2e 22322e x x q x x x ∴=-+--'-,令()()r x q x '=()232()2e 41027x x x x r x ∴=-'+--令32()41027,(0,1)m x x x x x =+--∈,2()12202m x x x '∴=+-,11(0,1),()x m x ∴∃∈在()110,x 单调递减,在()11,1x 单调递增.(0)7,(1)5m m =-= ,12(0,1)x ∴∃∈,当()120,x x ∈时,()()0,r x q x >''单调递增;当()12,1x x ∈时,()()0,r x q x <''单调递减.()()2042e 0,10q q '<'=-= ,13(0,1),()x p x '∴∃∈在()130,x 单调递减,在()13,1x 单调递增.(0)10,(1)0p p ''=>= ,14(0,1),()x p x ∴∃∈在()140,x 单调递增,在()14,1x 单调递减.(0)1,(1)0p p == ,()0p x ∴>,()0G x '∴>,()G x ∴在(0,)x x ∈单调递增,()(1)2e G x G ∴<=,所以原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。
长郡中学2019年高一第一次月考数学试卷
16.关于函数 f x
x2 x4
的性质描述，正确的是__________.
x 1 1
① f x 的定义域为1, 0 0,1 ；② f x 的值域为 1,1 ；③ f x 在定义域上是增函
数；④ f x 的图象关于原点对称.
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 48 分)
(1)已知二次函数 f x ax2 2x 4a a R ，试判断 f x 是否为定义域 R 上的 “局部奇函数”？若是，求出所有满足 f x f x 的 x 的值；若不是，请说明理由；
(2)若 f x 2x m 是定义在区间 1,1 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围.
(2)若对任意的 t 1, 4 ，不等式 f 2t 3 f t k 0 恒成立，求实数 k 的取值范
围.
22.(本小题满分 8 分)
定义：对于函数 f x ，若在定义域内存在实数 x ，满足 f x f x ，则称 f x 为
“局部奇函数”.
f
1 4
f
1 10
n ，则
m
n
(
)
A. 10
B.10
C. 9
D. 9
9. 已 知 函 数 f x x a x b ( 其 中 a b ) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数
g x ax b 的图象是( )
14. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f x 满 足 ： 当 x 0 ， f x x2 2x a ， 则
f 3 __________.
长郡中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题(含答案)
()UA B =ð（的否定为（故函数()y f x =是奇函数，B 对；对于C 选项，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则()120f x x −>，即()()()()()1212120f x x f x f x f x f x −=+−=−>，所以()()12f x f x >， 所以，函数()f x 为R 上的减函数，所以，()f x 在[],m n 上有最大值()f m ，C 错；对于D 选项，由于()f x 为R 上的减函数，由()()100f x f −>=，可得10x −<，解得1x <，D 对. 故选：ABD. 12．ABC【分析】综合已知，利用奇偶性的定义和性质判定f (x )的周期为4，进而可求得()()()3,5,2f f f ,然后即可判定AB ；根据周期性可判定C;根据已得数据可以判定0x =时D 中的方程不成立，从而判定D 不正确. 【详解】因为函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=−， 又因为f (x )是R 上的奇函数，所以()()()111f x f x f x +=−=−−， 所以()()()()()242f x f x f x f x f x +=−+=−+=，，所以f (x )的周期为4， 又()()()()()()103110510,f f f f f f ==−=−===，，故A ，B 正确；()()()3341f x f x f x +=+−=−,∴C 正确；()()()2242f f f =−=−,同时根据奇函数的性质得()()()()22,2,2f f f f =−−∴−既相等又互为相反数，故f (2)=0,所以()()2101f f +=≠，即(2)(1)1f x f x +++=对于0x =不成立，故D 不正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，关键难点在于结合奇偶性得到周期性，同时注意，定义域为R 的周期为2a 奇函数，必有()()0f a f a =−=这一结论值得记忆. 13．8【分析】由题意，根据集合的包含关系，采取列举法，可得答案.【详解】由题意，满足题意的集合A 有{}0,1,2，{}0,1,2,3，{}0,1,2,4，{}0,1,2,5，{}0,1,2,3,4，{}0,1,2,3,5，{}0,1,2,4,5，{}0,1,2,3,4,5.)()4,+∞ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出利用一元二次不等式的解法即可得出．11x −<<()1f x ∴−（3）由（。
长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题(原卷版)
英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A.()2,3− B.(),3−∞ C.()2,2− D.()0,2（2022.广州二模）2.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A.12xy =B.2yx x =−C.1y x =− D.1y x x=−3.已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A.1086B.1229C.980D.10604.2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）A.5%B.3%C.2%D.1%（2022.苏北七市三模） 5.函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（）的AB.C. D.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 117. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2.为10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为811. 已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0xe x +=D. 12121x x x x −+<12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 14. 函数()1293xxf x −=+的最小值是___________.15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =.16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 最大值.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a.的。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
湖南省长沙市长郡中学【最新】高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．右图中阴影部分用集合可表示为（ ）A ．()U C AB ⋂ B ．()U AC B ⋂ C ．()U C A B ⋃D ．()U C A B ⋂2．下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A ．()f x =()g x x =B ．()f x x =，()lg10xg x =C ．()2f x =，()g x x =D ．()f x x =，()2x g x x=3．已知01a <<,则22log ,2,a a a 的大小关系是 A ．22log 2aa a << B ．222log aa a << C ．22log 2aa a <<D ．222log a a a <<4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()y x x R =∈ B ．()10y x x=≠ C ．()2y xx R =-∈ D ．()y x x R =-∈5．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A ．-2 B ．0 C ．1D ．26．奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-2，则()()63f f +-的值为（ ） A ．10 B ．-10C ．9D ．157．函数()()31log 32f x x =-的定义域是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 A ．（-2,-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）9．函数2()48f x x ax =--在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．32a ≤B ．32a ≥C ．16a ≥D ．16a ≤10．设函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x 的x 的取值范围是（ ）A ．[1,2]-B ．[0,2]C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞11．在同一坐标系中，函数y =ax +a 与y =a x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．今有一组实验数据如下表所示：则体现这些数据关系的最佳函数模型是（ ） A ．12y t = B ．2log y t = C ．123t y =⋅ D ．212y t =13．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ＝DC ＝2，CB，动点P 从点A 出发，由A →D →C →B 沿边运动，点P 在AB 上的射影为Q .设点P 运动的路程为x ，△APQ 的面积为y ，则y ＝f (x )的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．14．已知偶函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则关于x 不等式()0xf x <的解集是（ ） A ．(2,2)- B ．(2,0)(0,2)- C ．(2,0)(2,)-+∞D ．(,2)(0,2)-∞-⋃15．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若{}()(){}221,2,|20A B x x ax x ax ==+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题16．计算：12lg100-+-=_____.17．已知幂函数()f x的图象经过点(，且()03f x =，则0x =____.18．设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 的值域是______． 19．已知函数22xxy b a +=+（a ，b 是常数，且0a >，1a ≠）在区间3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有max 3y =，min 52y =，则常数a 的值等于_____. 20．已知m R ∈,函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是__________.三、解答题21．已知集合{}|0M x R x a =∈-≤，{}2|60N x x x =+-≤.（1）若1a =，求M N ⋂；（2）若N M ⊆，求实数a 的取值范围. 22．对于函数2()()21xf x a a =-∈+R , （1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 为奇函数？证明你的结论23．一次函数()f x 是R 上的增函数，()()()g x f x x m =+，已知[()]165f f x x =+. （1）求()f x ；（2）当[1,3]x ∈时，()g x 有最大值13，求实数m 的值.24．某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x 人，每位员工的培训费为y 元，培训机构的利润为Q 元.（1）写出y 与x *(0,)x x N >∈之间的函数关系式；（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润. 25．设()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()()2lg 17f x x ax =-+，a R ∈.（1）若()11f =，求()f x 的解析式； （2）若0a =，不等式()()2410xxf k f k ⋅+++>恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】试题分析：图中阴影部分表示：属于B ，但不属于A 的元素构成的集合，即()U C A B ⋂，故选A ．考点：本题主要考查集合的表示，集合的运算．点评：小综合题，首先明确集合中元素特征，结合图形分析． 2．B 【解析】 【分析】根据函数的概念，判定两个函数的定义域和对应法则是否都相同，即可得到答案. 【详解】选项A,()f x x ==，函数解析式不同；选项C,D ，函数定义域不同，只有选项B 的定义域相同,解析式一样.故选B. 【点睛】本题主要考查相等函数的判定，其中熟记函数的概念，准确判定是解答本题的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 3．A 【解析】因为01a <<,所以0222log log 10,221,01aa a ==<<,即22log 2a a a <<.故选A ． 4．D 【分析】分别利用函数的奇偶性和单调性的定义去判断即可. 【详解】选项A, y x =在(0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上单调递减；选项B ，1y x=在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，不能说在定义域上单调递减；选项C ，2y x =-在(0,)+∞上为减函数，在(,0)-∞上单调递增，且为偶函数，只有选项D 在其定义域内既是奇函数又是减函数.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，注意要优先考虑定义域，及函数单调区间的写法，考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．A 【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 6．A 【分析】根据函数的单调性确定最大值、最小值，结合函数的奇偶性求解相应的函数值. 【详解】由题意可知，(6)8,(3)(3)2f f f ==--=-，所以()()638210f f +-=+=，故选A. 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，利用函数的奇偶性变形求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．B 【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求解即可. 【详解】要使函数()f x 有意义，则需x 满足320,321,x x ->⎧⎨-≠⎩ 解得23x >且1x ≠，所以函数()f x 的定义域为()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故选B.【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，注意定义域的写法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．C 【解析】 试题分析：()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+-()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理 9．A 【分析】将二次函数转化为顶点式，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可 【详解】f （x ）=4x 2-ax-8=4（x-8a ）2+2a 16-8 ，二次函数的图象开口向上，∵在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=8a≤4，解得：a≤32，故选A【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基础题 10．D 【分析】根据分段函数的形式，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，122x -≤，11x -≤，解得0x ≥所以01x ≤≤当1x >时，221log 2log 1x x -≤⇒≥-， 解得：12x ≥所以：1x >，综上可知不等式的解集是[)0,+∞. 故选：D 【点睛】本题考查分段函数，解不等式，重点考查计算能力，属于基础题型. 11．B 【分析】一方面，函数y=a x横过点（0，1）且在a＞1时递增，在0＜a＜1时递减；另一方面再结合函数y=ax+a与y轴的交点为（0，a）作出判断．【详解】解：∵函数y=a x横过点（0，1）且在a＞1时递增，在0＜a＜1时递减，而函数y=ax+a与y 轴的交点为（0，a），因此，A中、由y=a x的图象递增得知a＞1，由函数y=ax+a与y轴的交点（0，a）得知a＜1，矛盾；C中、由y=a x的图象递减得知0＜a＜1，由函数y=ax+a与y轴的交点（0，a）得知a＞1，矛盾；D中、由y=a x的图象递减得知0＜a＜1，函数y=ax+a递减得知a＜0，矛盾；故选：B．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，着重考查一次函数y=ax+a与指数函数y=a x之间的对应关系，考查数形结合的分析能力，属于基础题．12．C【分析】画出散点图，观察点的分布情况，即可判断.【详解】画出散点图如图所示，根据点的分布特征，选项C,12 3ty=⋅更能体现这些的数据关系.故答案选C. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用，掌握基本初等函数的图象，能根据散点图的分布选择合适的函数模型，着重考查数形结合的能力，属于基础题. 13．D 【分析】结合P 点的运动轨迹以及二次函数，三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：P 点在AD 上时，△APQ 是等腰直角三角形，此时f （x ）＝12•2x •2x ＝14x 2，（0＜x ＜2）是二次函数，排除A ，B ， P 在DC 上时，PQ 不变，AQ 增加，是递增的一次函数，排除C ， 故选D ． 【点睛】本题考查了数形结合思想，考查二次函数以及三角形的面积问题，是一道基础题． 14．D 【详解】偶函数()f x 在(),0-∞上单调递减，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()220f f =-=，因为()0xf x <，当(),0x ∈-∞，()() 02f x f >=-得02x x <⎧⎨<-⎩，解得2x <-；当()0,x ∈+∞，()()02f x f <=得02x x >⎧⎨<⎩，解得02x <<，综上所述不等式式()0xf x <的解集是()(),20,2-∞-，故选D.15．B 【解析】因为22()(2)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或220x ax ++=，且{}1,2,1A A B =*=，所以B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程220x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程220x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax的实数根，即280a a -=⇒=0a ≠．综上所求0a =或a ={0,S =，故()3C S =，应选答案B ．点睛：解答本题的关键是充分借助题设中的新定义的新概念及新运算，运用等价转化的数学思想将问题进行等价转化，从而使得问题巧妙获解． 16．2 【分析】先利用幂的运算把真数进行变形，化成分数指数幂的形式，然后用对数运算性质化简合并即可求解. 【详解】11221112lg100ln lg10ln 22222e -+-=+-=+-=.【点睛】本题主要考查对数的性质，即log (0,1)Na a N a a =>≠，着重考查运算求解能力，属于基础题. 17．9 【分析】利用待定系数法求幂函数()f x 的解析式，即可求解. 【详解】根据题意，设()f x x α=1212,,()2f x x αα==∴=，又()03f x =，12003,9x x ∴==.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求幂函数的解析式，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18．[]10,2- 【解析】试题分析：由题意得，函数2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则0b =，且12a +=-，解得3a =-，即[]2()32,2,2f x x x =-+∈-，所以函数的值域为[]10,2-．考点：函数的奇偶性的应用．19．2或23【分析】以01a <<，1a >分情况讨论函数的单调性，利用单调性分别求出最值，即可求出参数.【详解】令22u x x =+，则u y b a =+，又二次函数22u x x =+在3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,0-上单调递增，根据复合函数的单调性可知，当01a <<时，u y b a =+为减函数，所以22x x y b a +=+在3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]1,0-上单调递减，故当1x =-时，22x x y b a +=+取最大值，则13b a -+=，最小值为34min 1,1b b a b -⎧⎫++=+⎨⎬⎩⎭，联立1b +=52,13b a -+=，解得32a =；当1a >时，u yb a =+为增函数，所以22x x y b a +=+在3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,0-上单调递增，故当1x =-时，22x x y b a +=+取最小值，则152b a -+=，最大值为341,1max b b a b -⎧⎫++=+⎨⎬⎩⎭，联立1b +=3,152b a -+=，解得2a =,所以2a =或23.【点睛】本题主要考查指数函数与二次函数复合的单调性判断，注意底数不明确要分情况讨论. 20．305m <<【解析】函数()()221111x x f x log x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩，，，()2221g x x x m =-+- ∴当()()21221g x x m =-+-<时，即()2132x m -<-时，则()()()2212143y f g x g x x m ⎡⎤==+=-+-⎣⎦当()()21221g x x m =-+->时，即()2132x m ->-时，则()()22 log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦ 当320m -≤即32m ≥时， y m =只与()()22log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去；当32m <时，y m =与()()22log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦的图象有两个交点需要直线y m =只与()()()2212143y f g x g x x m ⎡⎤==+=-+-⎣⎦的图象有四个交点时才满足题意，034m m ∴<<-又32m <，解得305m << 故实数m 的取值范围是305m << 点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，结合复合函数后难度较大，要先求出复合函数的解析式，然后根据交点个数情况进行分类讨论，理清函数图象的交点问题是本题的关键 21．（1）{}|31MN x x =-≤≤；（2）2a ≥ 【分析】（1）化简集合,M N ,画出数轴，由交集运算即可求解；（2）在数轴上画出集合N ，由N M ⊆知a 的位置，即可求解.【详解】当1a =时，{}|1M x R x =∈≤，{}2|60N x x x =+-≤{}|32x x =-≤≤，由图可知， {}|31M N x x =-≤≤.（2）{}|M x R x a =∈≤，由（1）知{}|32N x x =-≤≤，若N M ⊆，则由图可知2a ≥，故实数a 的取值范围为2a ≥.【点睛】本题主要考查集合的运算和集合间的基本关系，在已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，考查数形结合与运算能力，属于基础题.22．（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)函数()f x 为R 上的增函数．证明如下：函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x ∈R ，12121222()()()()2121x x x x f x f x a a <-=---++且，有 =122121222(22)2121(21)(21)x x x x x x --=++++. …………………………………4分 因为2x y =是R 上的增函数，12x x <，所以1222x x -＜０，…………………………6分所以12()()f x f x -＜０即12()()f x f x <，函数()f x 为R 上的增函数. ……………8分(2)存在实数a ＝1，使函数()f x 为奇函数． ………………………10分证明如下：当a ＝1时，2()121x f x =-+＝2121x x -+. 任意x R ∈，()f x -=2121x x ---+＝1212x x -+＝－2121x x -+＝－()f x ，即()f x 为奇函数．…14分 23．（1）()41f x x =+;（2）2-..【分析】（1）用待定系数法设出一次函数()f x ,代入已知条件,即可求出()f x .（2）()()()g x f x x m =+是二次函数,配方确定对称轴，求出最值得到m 方程,即可求解m 值.【详解】（1）依题意设(),0f x kx b k ,2[()]()()165f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=+,216,05k k kb b ⎧=>⎨+=⎩,解得4,1k b ==, 所以()41f x x =+.（2）2()()()(41)()4(41)g x f x x m x x m x m x m =+=++=+++, 对称轴方程为418m x +=-当41172,84m m +-≤≥-时，()g x 的最大值为(3)13(3)13g m =+=,解得2m =- 当41172,84m m +-><-时，()g x 的最大值为(1)5(1)13g m =+=,解得85m =（舍去） 综上，实数m 的值为2- 【点睛】本题考查函数解析式的确定,考查二次函数的性质,考查函数的最值,考查分类讨论思想,确定函数解析式是关键,属于中档题.24．（1）850,030,101150,3060,x x N y x x x N**⎧<≤∈=⎨-+<≤∈⎩；（2）21060 【解析】分析：（1）根据题意，只要注意超过30人时，每多1人才能减少10元，因此可分类，030x <≤和30x >（*x N ∈），在30x >时，培训费用为85010(30)x --；（2）利润是用每人的培训费用乘以培训人数减去成本12000，根据一次函数与二次函数的性质分类求得最大值，然后比较即得．详解：（1）依题意得，当030x <≤时，850y =；当3060x <≤时，()8501030101150y x x =--=-+.**850,030,101150,3060,x x N y x x x N⎧<≤∈∴=⎨-+<≤∈⎩. （2）当*030,x x N <≤∈时，85012000Q x =-,30x =时, Q 取得最大值max 13500Q =.当*3060,x x N <≤∈时,()21011501200010115012000Q x x x x =-+-=-+-,2115421251022x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭, 当57x =或58时, Q 取得最大值max 21060Q =.因为2106013500>， ∴当公司参加培训的员工人数为57或58时，培训机构可获得最大利润21060元.点睛：本题考查分段函数模型的实际应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，这只要认真审题，仔细阅读题目就可得出．函数应用题中关系式一般在题中都有给出，关键是要读懂题意．25．（1）()()()22lg 817,00,0lg 817,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪⎪==⎨⎪-++<⎪⎩；（2）2k >-；（3）8a ≤<【分析】(1)根据()11f =求出参数，利用奇函数的定义()()f x f x =--可求出当0x <时函数的解析式，由()f x 是R 上的奇函数可知()00f =，即可写出函数解析式；（2）由0a =可知当0x >时，()()2lg 17f x x =+，即可判断函数()f x 在()0,∞+上单调递增，由奇函数在对称的区间上单调性一致可知()f x 在R 上单调递增, 利用函数的单调性与奇偶性将f “”符号脱掉，转化为恒成立问题，即可求解；（3）首先使()()2lg 17f x x ax =-+对0x >都有意义，由奇函数的图象与性质可知，要使()f x 的值域为R ，则当0x >时，使()f x 在第一象限及x 的正半轴上都有图象，列出相应不等式即可.【详解】（1）因为()11f =，则()lg 181a -=，所以8a =.所以当0x <时，()()()2lg 817f x f x x x =--=-++，又()00f =，故()()()22lg 817,00,0lg 817,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪⎪==⎨⎪-++<⎪⎩.（2）若0a =，则()f x 在R 上单调递增，故()()2410x x f k f k ⋅+++>等价于2410x x k k ⋅+++>，令()20x t t =>， 于是210t kt k +++>在()0,∞+恒成立，设()()210g t t kt k t =+++>， ①当02k -≤时，则()010g k =+≥，于是0k ≥， ②当02k ->时，则()2410k k ∆=-+<，得20k -<<，综上，2k >-.（3）设()217h x x ax =-+， 首先()2170h x x ax =-+>对0x >恒成立， 可得17a x x<+对0x >恒成立，故a <由题意知，若函数()f x 的值域为R ，只需()1h x =在0x >上有解，即16a x x=+有解， 故有8a ≥，所以：8a ≤<.【点睛】本题主要考查分段函数解析式的求法，利用函数单调性与奇偶性求解不等式及对数函数图象与性质，注意数形结合思想的应用.。
(解析版)长郡2022-2023数学高一上第一次月考
长郡中学2022-2023学年度高一第一学期第一次适应性检测数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A.{3} B.{1,6} C.{5,6}D.{1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.2.已知命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”，则命题p 的否定为（）A.0a ∀≤，有12a a +≥成立 B.0a ∀>，有12a a +≥成立C.0a ∃≤，有12a a+≥成立 D.0a ∃>，有12a a+≥成立【答案】B 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出结果.【详解】解：根据特称命题的否定是全称命题即可得命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”的否定是“0a ∀>，有12a a+≥成立”，故选：B3.已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（）A.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D.是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性【详解】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=，解得12α=，∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数，故选：D.4.若a <b <0，则下列不等式一定成立的是（）A.1a b ->1bB.a 2<abC.b a<||1||1b a ++ D.a n >b n【答案】C 【解析】【分析】取特殊值判断A ，B ，D ；通过化简ba <||1||1b a ++⇔|b |<|a |，由a <b <0判断.【详解】取a ＝－2，b ＝－1，n ＝0，可知A ，B ，D 项均不正确；b a<||1||1b a ++⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，C 正确.故选：C .【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.5.函数1y x =+）A.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】t=，可得()21122y t=-++，再结合0t≥与二次函数的范围求解即可.t=，则210,2tt x-≥=，所以()()22211112312222ty t t t t-=+-=--+=-++，因为0t≥，所以32y≤，所以函数1y x=+3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.故选：A．6.若存在实数[]2,4x∈，使2250x x m-+-<成立，则m的取值范围为（）A.(5,)+∞ B.(13,)+∞ C.(4,)+∞ D.(,13)-∞【答案】A【解析】【详解】满足题意时，应有：225m x x>-+，令()225f x x x=-+，则：m>f(x)min.函数f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x=1∵x∈[2,4]，∴x=2时，f(x)min=f(2)=22−2×2+5=5，∴m>5，即实数m的取值范围是(5,+∞).故选：A.7.若函数()2f x=x ax b++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m-的值A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关【答案】B【解析】【详解】因为最值在2(0),(1)1,()24a af b f a b f b==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．8.对于函数()y f x=，若存在x，使()()00f x f x=--，则称点()()00,x f x与点()()00,x f x---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0()2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A.[2-B.(,2-∞-C.(,2-∞+D.(0,2+【答案】B 【解析】【分析】由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围．【详解】解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x∴-=-+-=-2()2g x x x∴=-+故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得22m x x=--+又因为2222x x --+≤-+=-，当且仅当x =时取等号(,2m ∞∴∈--．故选：B ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列叙述中正确的是（）A.若a ，b ，c ∈R ，则“不等式20ax bx c ++≥恒成立”的充要条件是“240b ac -≤”B.若a ，b ，c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C.“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D.“1a >”是“11a<”的充分不必要条件【答案】CD 【解析】【分析】对于A 和B ，通过举反例即可判断；对于C ，根据二次方程根的分布列不等式求解即可判断；对于D ，化简11a<即可判断【详解】解：对于A ，当0,0,0a b c ==<时，满足240b ac -≤，但此时20ax bx c ++≥不成立，故A 错误；对于B ，若a ，b ，c ∈R ，当a c >且=0b 时，推不出22ab cb >，故B 错误；对于C ，若方程20x x a ++=有一个正根和一个负根，设两根为12,x x ，则121400a x x a ∆=->⎧⎨=<⎩，解得a<0，又“1a <”是“a<0”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ，由11a<可得1a >或a<0，又“1a >”是“1a >或a<0”的充分不必要条件，故D 正确．故选：CD ．10.设正实数a ，b 满足+=1a b ，则（）A.11a b+有最小值4B.12C.D.22+a b 有最小值12【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】选项A：1111()()224a b a b b a b a a b +=++=++≥+，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；选项B122a b +≤=，当且仅当12a b ==有最大值12，故B 错误；选项C：212a b +=++=+≤，≤，当且仅当12a b ==时取等号，故C 正确；选项D：由1=22a b +≤2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，故D 正确.故选：ACD.11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则()f x 满足（）A.()00f = B.()y f x =是奇函数C.()f x 在[],m n 上有最大值()f nD.()10f x ->的解集为(),1∞-【答案】ABD 【解析】【分析】利用赋值法可判断A 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B 选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C 选项的正误；利用函数()f x 的单调性解不等式()10f x ->，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，令0x y ==，可得()()020f f =，解得()00f =，A 对；对于B 选项，函数()y f x =的定义域为R ，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，则()()f x f x -=-，故函数()y f x =是奇函数，B 对；对于C 选项，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则()120f x x ->，即()()()()()1212120f x x f x f x f x f x -=+-=->，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，所以，()f x 在[],m n 上有最大值()f m ，C 错；对于D 选项，由于()f x 为R 上的减函数，由()()100f x f ->=，可得10x -<，解得1x <，D 对.故选：ABD.12.已知()f x 为奇函数，且()1f x +为偶函数，若()10f =，则（）A.()30f =B.()()35f f =C.(3)(1)f x f x +=- D.(2)(1)1f x f x +++=【答案】ABC 【解析】【分析】综合已知，利用奇偶性的定义和性质判定f (x )的周期为4，进而可求得()()()3,5,2f f f ,然后即可判定AB ；根据周期性可判定C;根据已得数据可以判定0x =时D 中的方程不成立，从而判定D 不正确.【详解】因为函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以()()()111f x f x f x +=-=--，所以()()()()()242f x f x f x f x f x +=-+=-+=，，所以f (x )的周期为4，又()()()()()()103110510,f f f f f f ==-=-=== ，，故A ，B 正确；()()()3341f x f x f x +=+-=-,∴C 正确；()()()2242f f f =-=-,同时根据奇函数的性质得()()()()22,2,2f f f f =--∴-既相等又互为相反数，故f (2)=0,所以()()2101f f +=≠，即(2)(1)1f x f x +++=对于0x =不成立，故D 不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，关键难点在于结合奇偶性得到周期性，同时注意，定义域为R 的周期为2a 奇函数，必有()()0f a f a =-=这一结论值得记忆.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.满足{}{}0,1,20,1,2,3,4,5A ⊆⊆的集合A 的个数是________个．【答案】8【解析】【分析】由题意，根据集合的包含关系，采取列举法，可得答案.【详解】由题意，满足题意的集合A 有{}0,1,2，{}0,1,2,3，{}0,1,2,4，{}0,1,2,5，{}0,1,2,3,4，{}0,1,2,3,5，{}0,1,2,4,5，{}0,1,2,3,4,5.故答案为：8.14.已知()f x =，则()f x 的单调递增区间为______．【答案】[6,)+∞【解析】【分析】由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数256y x x =--在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．【详解】∵()f x =，∴2560x x --≥，求得1x ≤-，或6x ≥，故函数的定义域为{|1x x ≤-或6}x ≥由题即求函数256y x x =--在定义域内的增区间．由二次函数的性质可得函数256y x x =--在定义域内的增区间为[)6,+∞，故答案为[)6,+∞．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．15.若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a b a b c+++的最小值为______．【答案】2+##2+【解析】【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，由此可将4a b a b c +++变形为421m n+-，结合基本不等式，即可求得答案。
长郡中学2024-2025学年高一上学期综合能力检测(入学分班考试)数学试卷(解析版)
长郡中学2024级高一综合能力检测试卷数学时量：90分钟 满分100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） A. 4 B. 8C. 12D. 16【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810， 所以1兆=8816101010×=， 所以16m =. 故选：D2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A.12B.112C.16D.14【答案】D 【解析】【分析】根据概率的计算公式即可求解.【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为61244=， 故选：D3. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）A. 2B.1−C.D.1【答案】B 【解析】【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【答案】C 【解析】【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤， 解不等式()223x x a +<+，得23x a >−， 由已知可得7238a ≤−<， 所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =， 又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <， 所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <， 则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3， 所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【答案】D 【解析】【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A ，11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确； 对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数， 当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确； 对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确； 对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A.12B.14C.D.13【答案】A 【解析】【分析】设121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ， 且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ， 所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−， 所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1x m =+，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤， 所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称， 所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈， 又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+， 当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______． 【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++− 【解析】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.【详解】43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y =【解析】【分析】先求得2l 的倾斜角，进而求得直线2l 对应的函数表达式. 【详解】直线1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ， 直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°，所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l 对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−11. 若关于x 的分式方程22411x ax a x x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______． 【答案】1± 【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解2x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+， 解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【解析】【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②< （2）甲；92 【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可. 【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现次数最多，故众数91m =；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ， 则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=， 乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92， 乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，的k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案． 【答案】（1）125厘米；（2）19.6厘米 （3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）． 【解析】【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）． 【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米， 由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+， 解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--， 在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =， 由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=， 由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米， 在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−， 椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥， 又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，（3）①3；②()5,1,12−∞−∪−. 【解析】【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ， 点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)， 点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<， 则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−， 故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−， 又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +， 由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =， 当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−， 所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ， 作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−， 所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ， 当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ， 作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上， 则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上， 所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x∞∞ ∈∪+ = ∈− − ，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设(0,)P p ，求出直线AP 解析式为y px p =+，联立方程223y px p y x x =+ =−++， 可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p p D −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果； （2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=， 解得：23b c = =， 所以抛物线方程为：223y x x =−++， 设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+， 把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ， 所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ， 所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ， 直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+， 所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ， 所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =， 所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+， 把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++， 所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−， 在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}26A x x =≤<，{}240B x x x =-<，则A B =I （ ）A ．()0,6B ．()4,6C ．[)2,4D ．()[),02,-∞⋃+∞2．命题“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，2220x x -+≥ B ．x ∃∈R ，2220x x -+> C ．x ∀∈R ，2220x x -+≤ D ．x ∀∈R ，2220x x -+>3．设a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．2(),()x f x x g x x ==B ．()(),()()f x x x R g x x x Z =∈=∈C ．,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩D ．2(),()f x x g x ==5．函数1xy x=+的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．若x A ∈且1A x ∈就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ） A ．15B ．16C ．64D ．1287．某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ） A ．20B ．21C ．23D ．258．已知集合P ，Q 中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P ，Q 中的元素都为正数；②对于任意(),a b Q a b ∈≠，都有aP b∈；③对于任意(),a b P a b ∈≠，都有ab Q ∈；则下列说法正确的是（ ）A ．若P 有2个元素，则Q 有3个元素B ．若P 有2个元素，则P Q ⋃有4个元素C ．若P 有2个元素，则P Q ⋂有1个元素D ．存在满足条件且有3个元素的集合P9．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<-D ．11a b-<-二、多选题10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{}34x x -≤≤∣，则下列说法正确的是（ ）A ．0a <B ．不等式20cx bx a -+<的解集为1143xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．0a b c ++< D ．2342cb ++的最小值为4- 11．已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是（ ）A．xy 的最大值为625B C ．32x y +的最小值为52D ．22x y +的最大值为10013三、填空题12．若函数f （x ）＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是．13．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是．14．已知函数()()2462f x x a x a =-++-，若集合(){}N 0A x f x =∈<中有且只有两个元素，则实数a 的取值范围是四、解答题15．已知集合{}121A x m x m =-≤≤-，集合()(){}230B x x x =-+<． (1)若2m =，求A B U ； (2)若A B ⊆，求实数m 的范围．16．如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为360m ，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为6m ，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为m x ，墙高5m ，(1)试将垃圾池的总造价y （元）表示为(m)x 的函数，并指出x 的取值范围； (2)怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 17．已知()24xf x x =+，()2,2x ∈-． (1)求证：函数()f x 在区间()2,2-上是增函数； (2)求函数()f x 在区间()2,2-上的值域. 18．已知函数()11mx f x =++，()()21g x x x a =++. (1)当0a =，1m =-时，解关于x 的不等式()()f x g x ≥；(2)当0m =时，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当0m <，0a <时，若点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数()y f x =与函数()y g x =图象的公共点，且12x x ≠，求证：()1221223a x x --<+<.19．已知集合A 为非空数集.定义：{}|,,,{|,,}S x x a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈ (1)若集合{1,3}A =，直接写出集合S ，T ；(2)若集合{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<且T A =．求证：423x x =；(3)若集合{}|02024,N ,A x x x S T ⊆≤≤∈⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.。
湖南省长郡中学高一数学下学期4月月考新人教版【会员独享】
高一年级数学（必修四）模块检测（时间100分钟 总分100分）一、选择题: （每小题3分，共36分） 1、若),1,3(),2,1(-==则=-b a 2 （ ）A 、 )3,5(B 、 )1,5(C 、 )3,1(-D 、 )3,5(-- 2、 若α为第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为 （ ）A 、3B 、－3C 、1D 、－13、将x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ 等于 ( ) A 、12π-B 、3π-C 、3π D 、12π 4、在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度。
A 、 1B 、 2C 、3 D. 4 5、 若为则ABC AB BC AB ∆=+∙,02（ ）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、等腰直角三角形 6、已知113a (,2sin ),b (cos ,),a 322=α=α且∥b ，则锐角α的值为（ ） A 、4π B 、2π C 、8π D 、6π7、 已知函数f (x)sin(x )cos(x )=+ϕ++ϕ为奇函数，则ϕ的一个取值为（ ）A 、0B 、2π C 、4π- D 、π 8、设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P=则点P 的坐标是 （ ）A 、)15,8(-B 、 (0,3)C 、)415,21(-D 、)23,1(9、函数44f (x)sin(x)sin(x)ππ=+-是（ ） A 、周期为2π的奇函数 B 、周期为2π的偶函数 C 、周期为π的奇函数 D 、周期为π的偶函数10、已知||1,||2a b ==,b a 与的夹角为60°，c 2a 3b =+,d ka b =- (k∈R)，且c d ⊥，那么k 的值为( )A.-6B.6C.514-D.51411、稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y （每平方面积的价格，单位为元）与第x 季度之间近似满足：y 500sin(x )9500(0)=ω+ϕ+ω>，已知第一、二季度平均单价如右表所示： 则此楼群在第三季度的平均单价约 是（ ）元A 、 10000B 、 9500C 、9000D 、850012、 已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ二、填空题：（每小题4分共20分）13、 若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为14、已知偶函数f (x)2sin(x )(0,0)=ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期是π，则f(x)的单调递减区间为15、下列命题： ①若=⋅=⋅②若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量-=+0=⋅④若a 与b 是单位向量，则1=⋅b a 其中真命题的序号为16、若O 、G 、H 分别是三角形ABC 的外心、重心、垂心，我们有结论：OH OA OB OC =++ 成立， 则三角形中OG = OH 。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考(三)数学试题+答案解析
炎德·英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷(三)数学一、选择题(本题共8小题，每题5分，共40分)1.设集合{}1,2,3,4A =，{},4B a =且{}1,2,3,4A B = ，则实数a 的可能取值组成的集合是（）A.{}1,2,3 B.{}2,3,4C.{}1,3,4 D.{}1,2,4【答案】A 【解析】【分析】根据条件4a ≠，分别令12,3，a =代入进行检验，可得出答案.【详解】显然4a ≠，当1a =时，{}1,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 当2a =时，{}2,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 当3a =时，{}3,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 所以a 的值可以为1,2,3.故选：A【点睛】关键点点睛：该题考查根据两集合的并集求参数，考查集合的并集运算，解决该题的关键是注意集合中元素的互异性，属于基础题目.2.已知()312++=+a i i bi (,a b R ∈，i 为虚数单位)，则实数a b +的值为（）A.3B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+则32,38a b a b -==∴+=故选：D3.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，P 的坐标是(),P x y ，若35x =-，则cos 2=α（）A.1625B.1625-C.725D.725-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的定义，求得3cos 5α=-，再结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，因为35x =-，由三角函数的定义，可得3cos 5α=-，所以2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯--=-.故选：D.4.在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数=a （）A.12B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】写出5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式的通项，然后可建立方程求解.【详解】5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式的通项为()()525104155211rr r r r rr r T C ax C a x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1042r -=-，则3r =，所以()33535140C a --=-，解得2a =或2a =-（舍）故选：B5.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（）A.10%B.30%C.50%D.100%【答案】A 【解析】【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为2log (11000)C W =+和2log (12000)C W =+，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.【详解】当1000SN=时，2log (11000)C W =+当2000SN=时，2log (12000)C W =+则2222222log (12000)log (11000)log 20011log 1000111lg 2log (11000)log 1001log 10003W W W +-++=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%.故选：A.【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.6.若平面向量a ，b满足2a b a b ==⋅= ，则对于任意实数λ，()1a b λλ+- 的最小值是（）A. B.32C.2D.1【答案】A 【解析】【分析】设向量,a b 夹角为θ，设()a b + 与(1)a b λλ+- 的夹角为γ，利用1cos 2ab a b θ==和()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦ ，得到(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+-=，进而得到()1+-λλa b 的最小值【详解】由题意得，设向量,a b 夹角为θ，则1cos 2ab a b θ==，()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦，设()a b + 与(1)a b λλ+-的夹角为γ，∴(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+-= ，222212a b a b a b +=++⋅=，∴(1)cos a b λλγ+-= ，0,2πγ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，(1)a b λλ+-≥ 故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于利用1cos 2ab a bθ==，得到()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦，关键点在于根据()a b + 与(1)a b λλ+-的夹角γ，得出()1+-λλa b 的最小值，难度属于中档题7.为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为（）(参考数据：sin100.1736︒≈，sin 700.9397︒≈，sin800.9848︒≈)A.10米B.9.66米C.9.40米D.8.66米【答案】C 【解析】【分析】在ABC 中，由条件可得10AB BC ==，再在Rt ADB 中，由sin BD AB BAD =∠可得解.【详解】如图所示，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，由10BAC DAC BAD ∠=∠-∠= ，9010ACD CAD ∠=-∠= ，所以10AB BC ==，在Rt ADB 中，sin 10sin 709.40BD AB BAD =∠=≈ .故选：C.8.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于P 点，记=AB FP λ，则λ的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线l ：1x ty =+，联立抛物线可得124y y =-，再由中点坐标可得122P y y y +=，从而可得P x ，利用焦半径公式表示AB 和FP 即可得解.【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线l ：1x ty =+（斜率显然不为0）.214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，0∆>显然成立，124y y =-，点M 是线段AB 的中点，所以122M y y y +=，所以122P y y y +=，所以22222212121212()284161616P P y y y y y y y y y x ++++-====，2222121288111616P y y y y FP x +-++=+=+=，2222121212128||||1122444y y y y AB AF BF x x x x ++=+=+++=++=++=，所以22122212844816y y ABy y FPλ++===++.故选：B.【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0500.0100k 3.8416.635A.25B.45C.60D.40【答案】BC 【解析】【分析】先设男生人数为5n ，()*n N ∈，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系即得答案．【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5n ，()*n N ∈，由题意可列出22⨯列联表：男生女生合计喜欢锻炼4n 3n 7n不喜欢锻炼n2n3n合计5n5n10n222()10(423)10()()()()557321n ad bc n n n n n nK a b c d a c b d n n n n -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯．由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，所以103.8416.63521n<；解得：8.066113.9335n <，因为N*n ∈，故n 的可能取值为：9、10、11、12、13，即男生的人数可以是45，50，55，60，65.则选项中被调查学生中男生的人数可能45或60．故选：BC.10.已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（）A.cb a a < B.c c a b b a+>+ C.log log b c a a< D.b cb ac a>++【答案】CD 【解析】【分析】利用指数函数性质，对数函数性质，不等式的性质判断各选项．【详解】由1a >，01c b <<<，可得b c a a >，故A 错误；1a >，01c b <<<，c c a b b a +-+可得()()()0a c b cb ca bc ba b b a b b a -+--==<++，c c ab b a+<+，故B 错误；由1a >，01c b <<<，1log log b a a b =，1log log ca a c=，而log log 0a a c b <<，则110log log a a b c <<，可得log log b c a a <，故C 正确；由1a >，01c b <<<，()()()()()0a b c b c bc ba cb cab ac a b a c a b a c a -+---==>++++++可得b cb ac a>++，故D 正确．故选：CD ．11.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的最大值为2C.14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D.3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数【答案】ABC 【解析】【分析】由周期求出ω，由五点法作图求ϕ，根据特殊点的坐标求出A ，可得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+.通过分析得到ABC 正确，()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.【详解】根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象，得12721212πππω=-，2ω∴=．再根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=．根据函数的图象经过，可得sin sin3A A πϕ==2A =，()2sin(23f x x π∴=+．故,A ()f x 的最小正周期为π，所以A 正确；,B ()f x 的最大值为2，所以B 正确；,C 由题得()2sin(1423f πππ=+=，所以C 正确；,D (2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式一般有三种：（1）待定系数法：一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k f =++，再求待定系数,,,A w k f ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.（2）图像变换法：一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式.（3）代入法：一般先在所求的函数的图像上任意取一点(,)P x y ，再求出点P 的对称点((,),(,))P f x y g x y ¢，再把点((,),(,))P f x y g x y ¢的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待定系数法.要根据已知灵活选择.12.已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3,BC AB ==E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】BCD 【解析】【分析】设O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心，在三角形ODO '中，有222OO DO OD ''+=，可求得2R =，可得最大的截面圆；过E 且垂直OE 的截面圆最小，利用222r R OE =-可得解.【详解】如图所示，其中O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心，可得3O B O D BC ''===，3AO '==，设球的半径为R ，在三角形ODO '中，由222OO DO OD ''+=，即()2223R R -+=，解得2R =，故最大的截面面积为24=R ππ，在三角形BEO '中，1162BE BD ==，6EBO π'∠=，由余弦定理得72O E '==，在三角形OO E '中，112OE ==，设过E 且垂直OE 的截面圆的半径为r ，222115444r R OE =-=-=，故最小的截面面积为254r ππ=.所以过点E 作球O 的截面，所以截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.【答案】()2,∞+【解析】【分析】若要直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则直线y =的斜率要小于渐近线by x a=的斜率，建立不等式，即可得解.【详解】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，若直线y =与双曲线有两个交点，则ba>即223b a >，即2223c a a ->，所以224c a >，24e >，即2e >，故答案为：()2,∞+.14.已知数列{}n a 的前n 项和()12+=n n n a S ，且11a=，则数列{}n a 的通项公式为________.【答案】()*n a n n =∈N 【解析】【分析】根据所给关系，当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，即得递推关系11nn a a nn -=-，即可得解.【详解】()12+=nn n a S 当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，整理可得1(1)0n n n a na ---=，即11n n a a n n -=-，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，故111n a a n ==，所以n a n =，故答案为：()*n a n n =∈N.15.如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.【答案】37【解析】【分析】利用勾股定理和线面角的定义进行求解即可【详解】设AB a =，6OB a =，OA ==，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大；此时直线OA 与平面α3737=故答案为：3716.设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB 的面积的取值范围是________.【答案】()0,1【解析】【分析】因为()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩，可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩，且明显地，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<()1,011,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩111l k x ∴=-，221l k x =1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x -()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈ 且1y x x=+在()0,1上单调递减111112x x ∴+>+=01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1【点睛】关键点睛：解题的关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元，进而求解的问题；求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；难度属于困难四、解答题(本题共6小题，共70分)17.在①1c =，ABC 的面积为4，②b =，③4A π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在锐角ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且)cos cos 2sin a C c A b B +=，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】)cos cos 2sin a C c A b B +=，求出B ，然后针对给定的条件利用正弦定理、面积公式选择条件进行求解即可.【详解】因为sin sin sin a b cA B C==，)cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，()22sin A C B+=22sin B B =，又sin 0B ≠所以3sin 2B =，因为ABC 是锐角三角形，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3B π=.选择条件①：因为1133sin 2224ABC S ac B a ==⋅= 所以1a =又因为1a c ==，3B π=，所以ABC 存在且为等边三角形，所以3C π=，所以3sin 2C =.,选择条件②：由正弦定理sin sin b cB C=及b =得sinsin 3sin 4c c BC bπ===.选择条件③：由4A π=得512C A B ππ=--=，所以得：5123226sin sinsin sin cos sin .1264646422224C πππππππ⎛⎫==+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）()1114213n n T n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据211n n n a S S ++=+写出()212n n n a S S n -+≥，通过作差以及化简说明{}n a 为等差数列，并求解出通项公式；（2）将{}n b 的通项公式变形为()()11114213213n n n b n n -⎡⎤=-⎢⎥-⋅+⋅⎣⎦，采用裂项相消法求解出n T 的结果.【详解】(1)由211n n na S S ++=+又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1所以()11n a a n d n=+-=(2)()()1121213n nn b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()111n n 1n n 1=-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（3）1=-（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----.19.在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是 AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）77.【解析】【分析】（1）由//FC EA ，另易证得1//O C AD ，即可证得面//EAD 面1FCO ，由面面平行，从而证得线面平行，即1//O F 面EAD .（2）连接AC ，易证AC ⊥面FBC ，可过C 作CH BF ⊥交BF 于H ，连接AH ，则AHC ∠即为二面角A —FB —C 的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆 AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=，又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形.所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE .因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE .又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面，所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠=因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠= ，在601Rt ABC ABC BC ∆∠== 中，，，所以tan 60AC BC =⋅= ，所以在tan301Rt FAC FC AC ∆== 中，因为ACBC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ，又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ，又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥，所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角.在FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆==中，，在90Rt ACH ACH ∆∠= 中，，所以2AH ==，所以cos CH AHC AH ∠==所以二面角A FB C --的余弦值为77.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知F 为椭圆C 的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，43.【解析】【分析】（1）根据离心率12e =和31,2D ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，列式即可得解；（2）依题意知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+联立22143x y +=，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634my y m -+=+，122934y y m -=+，结合条件表达11AF BF +，化简即可得解.【详解】(1)由已知22222191412a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=(2)由(1)可知()1,0F 依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+不妨设10y >，20y <，11AF y y ===，同理22BF y y ==所以121111AF BFy y ⎛⎫+=-⎪⎭211212y y y y -==249334m ==+即1143AF BF +=.【点睛】本题考查了求椭圆方程以及椭圆中的定值问题，考查了转化思想和较高的计算能力，属于较难题.解决本类问题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁，是解决大多数直线和圆锥曲线问题的必由之路；（2）化简求值，解析几何计算的特点明显，需要较高的计算技巧.21.设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)若)∈+∞x ，()()2≥-f x a x ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数()y f x =存在两个不同零点1x ，2x ，求满足条件的最小正整数a 的值.【答案】（1）(],2e -∞；（2）3.【解析】【分析】（1）由()()2≥-f x a x 得2ln 0x a x -≥，利用参变分离法得到2ln x a x≤，然后构造函数，利用导数分析实数a 的取值范围（2）求导得到()()()21x a x f x x-+'=，对a 进行分类讨论，然后，利用数形结合进行分析，即可求出最小正整数a 的值【详解】(1)由()()2≥-f x a x 得2ln 0x ax -≥又)x ∈+∞所以1ln 02x ≥>所以2ln x a x ≤令()2ln x g x x=所以()()()22ln 10ln x x g x x -'=≥所以函数()g x 在)+∞上单调递增所以()min 2g x ge==所以2a e ≤，即实数a 的取值范围为(],2e -∞(2)因为()()22ln f x x a x a x=---所以()()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x----+'=---==>若0a ≤，则()0f x ¢>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 之多一个零点所以若函数()f x 有两个两点，则0a >当0a >时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增得()f x 的最小值02a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因此函数()f x 有两个零点则244ln 02a a a a -+-<又0a >所以4ln402aa +->令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,∞+上为增函数且()220h =-<，()38134ln1ln 10216h =-=->所以存在()02,3a ∈，()00h a =当0a a >时，()0h a >当00a a <<时，()0h a <所以满足条件的最小正整数3a =又当3a =时，()()332ln 30f =->，()10f =所以3a =时，()f x 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3【点睛】关键点睛：解题的关键在于：（1）利用参变分离法，得到2ln x a x≤，然后构造函数，求导进行数形结合的分析求解；（2）对()f x 求导，然后对a 分类为：0a ≤和0a >，尤其在0a >时，得到4ln402aa +->，进而构造函数()4ln 42a h a a =+-，利用零点存在定理进行数形结合的分析来求解，本题难度属于困难22.新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第()2n n ≥次时，刚好抽到第二个红球，试用n 表示恰好第n 次抽到第二个红球的概率；(2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X ，求X 的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：119294 1.80105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，1110294 2.05105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，11929410.79105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k ，111029413.32105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k .【答案】（1）111945105n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）8.6.【解析】【分析】（1）根据题意可得若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当k 取1,21n - 时，相加即可得解；（2）根据题意X 的可能取值依次是2，3，…，9，10，求出相对应的概率，再利用期望公式，直接带入即可得解.【详解】(1)若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则第n 次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：2311419141914191551010551010551010n n k n k -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭24191551010n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用等比数列求和公式即可得：10211114101419119141945941055101051055510559n n n n n n ------⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅(2)由题意可知，X 的可能取值依次是2，3，…，9，10特别地，当10X =时，对应的()()()()()101239P X P X P X P X ==-=+=++= 由参考数据可得：()11 1.80.64510P X ≈-⨯≈=X 对应的数学期望为：()2912911999444239239100.645101010555E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⋅+⋅++⋅-⋅+⋅++⋅⎪+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由参考数据可得：()110.79100.648.65E X ≈⨯+⨯≈【点睛】本题考查了类几何分布的概率和期望，考查了较高的计算能力，属于难题.解决此类问题的关键点有：（1）全面性，所有可能情况必须考虑到，做到不重不漏；（2）补集思想的应用，根据全概率为1进行求概率。