2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习资料第四章平面向量1.4.2
2014年高考全程复习构想高三文科数学一轮复习课件选修4-1几何证明选讲4-1-1
点评：利用三角形相似的判定定理来证明三角形相似，然 后由面积比等于相似比的平方这一性质来解题．所以并非见到 内外角平分线，就用角平分线定理．
变式探究 2 如图所示，已知 AD、BE 分别是△ABC 中 BC 边和 AC 边上的高，H 是 AD，BE 的交点，求证：
(1)AD·BC＝BE·AC； (2)AH·HD＝BH·HE.
题型三 射影定理的应用
例 3 如图所示，已知 BD、CE 是△ABC 的两条高，过点 D 的直线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H，交 CE 于 F，且∠H＝ ∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.
解析：
∵CE⊥AB，∴∠H＋∠HFE＝90°. 又∵∠BCF＝∠H，∠HFE＝∠CFG， ∴∠BCF＋∠CFG＝90°. ∴FG⊥GC，∴△BGH∽△FGC.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.证明三角形相似的一般思路是：先找两对内角对应相等； 若只找到一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成 比例；若找不到角对应相等，就要证明三边对应成比例． 2．证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三 角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似 三角形的性质构造比例或利用中间比求解． 3．已知条件中含有直角三角形，且涉及直角三角形斜边 上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应 关系，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分 清比例中项.
∴BGGF＝GGHC，即 BG·GC＝GF·GH. 又∵DG2＝BG·GC(射影定理)， ∴DG2＝GF·GH.
点评：利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角 边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转 化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积 式，并且注意射影定理的其他变式．
2014高考数学总复习(人教A文)课件4-1
• ∴a·b＝－|a||b|.
• ∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉 ＝－1，∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共 线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向 也不共线，因此B错误．若|a＋b|＝|a|－|b|， 则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b 反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得 b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－
考向三 共线向量 [例 3] (2013 年德州模拟)如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过
点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若 A→B ＝mA→M， A→C ＝nA→N，则 m＋n 的值为________．
[解析] A→O ＝12(A→B ＋A→C ) ＝m2 A→M＋n2A→N .
• B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
• C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得 b＝λa
• D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝ |a|－|b|
• 解析：利用向量运算法则，特别是|a|2＝a2 求解．
• 由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，
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第四章 平面向量、复数
第一节 平面向量的概念及线性运算
• 一、向量的有关概念
• 二、向量的线性运算
• 三、共线向量定理
• 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一b＝λ个a
实数λ，使得
.
• [疑难关注]
• 1．向量平行与直线平行的区别
• 向量平行包括向量共线和重合的情况，而 直线平行不包括共线的情况．因而要利用
2014届高考数学一轮轻松突破复习1.4.1平面向量的概念及线性运算文
【名师精讲】2014届高考数学一轮轻松突破 1.4.2平面向量基本定理及坐标表示 文一、选择题1．如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →解析：由于BA →＝DE →，故BA →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →.答案：D2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b(k ∈R)，d ＝a －b.如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即ka ＋b ＝λ(a －b)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λλ＝－1，故选D.答案：D3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：如图所示，作OG ∥EF 交DC 于G ，由于DE ＝EO ，得DF ＝FG ，又由AO ＝OC 得FG ＝GC ，于是DF →＝13DC →＝13(－12b ＋12a)， 那么AF →＝AD →＋DF →＝(12a ＋12b)＋13(－12b ＋12a)＝23a ＋13b. 答案：B4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0得点M 是△ABC 的重心，可知AM →＝13(AB →＋AC →)，AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3，选B.答案：B5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点C)，则AP →＝( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22 C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22 解析：如图所示，AC →＝AB →＋AD →，又∵点P 在AC →上，∴AP →与AC →同向，且|AP →|<|AC →|，故AP →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)．答案：A6．非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R)，则点Q(x ，y)的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2λ，y ＝－2λ.消去λ得x ＋y ＝2.答案：A二、填空题7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a 、b 表示)解析：由AN →＝3NC →，知N 为AC 的四等分点．MN →＝MC →＋CN → ＝12AD →－14AC →＝12AD →－14(AB →＋AD →) ＝－14AB →＋14AD → ＝－14a ＋14b. 答案：－14a ＋14b 8．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________.解析：AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1λ＋12μ＝1，所以λ＋μ＝43. 答案：439．设V 是已知平面M 上所有向量的集合．对于映射f ：V→V，a ∈V ，记a 的象为f(a)．若映射f ：V→V 满足：对所有a 、b ∈V 及任意实数λ、μ都有f(λa ＋μb)＝λf(a)＋μf(b)，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，则f(0)＝0；②对a ∈V ，设f(a)＝2a ，则f 是平面M 上的线性变换；③若e 是平面M 上的单位向量，对a ∈V ，设f(a)＝a －e ，则f 是平面M 上的线性变换； ④设f 是平面M 上的线性变换，a 、b ∈V ，若a 、b 共线，则f(a)、f (b)也共线． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)解析：对于①，f(0)＝f(0·0＋0·0)＝0·f(0)＋0·f(0)＝0，因此①正确．对于②，f(λa ＋μb)＝2(λa ＋μb)＝λ·(2a)＋μ·(2b)＝λf(a)＋μf(b)，因此②正确．对于③，f(λa ＋μb)＝(λa ＋μb)－e ，λf(a)＋μf(b)＝λ(a －e)＋μ(b －e)＝λa ＋μb －(λ＋μ)e ，显然(λ＋μ)e 与e 不恒相等，因此③不正确．对于④，当a 、b 共线时，若a 、b 中有一个等于0，由于f(0)＝0，即此时f(a)、f(b)中有一个等于0，f(a)、f(b)共线；若a 、b 中均不等于0，设b ＝λa ，则有f(b)＝f(λa)＝f(λa ＋0·0)＝λf(a)＋0·f(0)＝λf(a)，此时f(a)、f(b)共线，综上所述，当a 、b 共线时，f(a)、f(b)共线．综上所述，其中的真命题是①②④.答案：①②④三、解答题10．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.解析：取AE 的三等分点M ，使|AM|＝13|AE|，连接DM.设|AM|＝t ，则|ME|＝2t.又|AE|＝14|AC|，∴|AC|＝12t ，|EC|＝9t ，且DM ∥BE.∴在△DMC 中CE CM ＝CP CD ＝911∴CP ＝911CD∴DP ＝211CDAP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211(－13AB →＋AC →)＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211b.11．如图，已知△OAB 中，点C 是以A 为中心的B 的对称点，D 是将OB →分成的一个内分点，DC 和OA 交于E ，OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 与b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA → ，求实数λ的值．解析：(1)依题意，A 是BC 中点，∵2OA →＝OB →＋OC →，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b.DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b.(2)设OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λa －(2a －b)＝(λ－2)a ＋b ，∵CE →与DC →共线，∴存在实数k ，使CE →＝kDC →，(λ－2)a ＋b ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －53b ，解得λ＝45.12．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M.设OA →＝a ，OB →＝b.(1)试用a 和b 表示向量OM →；(2)在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ，设OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，当EF 为AD 时，λ＝1，μ＝12，此时1λ＋3μ＝7；当EF 为CB 时，λ＝14，μ＝1，此时1λ＋3μ＝7.有人得出结论：不论E 、F 在线段AC 、BD 上如何变动，1λ＋3μ＝7总成立．他得出的这个结论正确吗？请说明理由．解析：方法一：(1)设OM →＝ma ＋nb ，则AM →＝OM →－OA →＝ma ＋nb －a ＝(m －1)a ＋nb ，AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b. ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线．故存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1) a ＋nb ＝t(－a ＋12b)， ∴(m －1)a ＋nb ＝－ta ＋12tb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1. ①∵CM →＝OM →－OC →＝ma ＋nb －14a ＝(m －14)a ＋nb ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， 又C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线，同理可得4m ＋n ＝1. ②联立①②，解之得：m ＝17，n ＝37. 故OM →＝17a ＋37b ， (2)他得出的结论是正确的．∵EM →＝OM →－OE →＝17a ＋37b －λa ＝(17－λ)a ＋37b ，EF →＝OF →－OE →＝μOB →－λOA →＝－λa ＋μb ，又EF →与EM →共线，故存在实数k ，使得EM →＝kEF →，即(17－λ)a ＋37b ＝k(－λa ＋μb)＝－λka ＋μkb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 17－λ＝－λk ，37＝μk ，消去k 得17－λ＝－λ·37μ，整理即得1λ＋3μ＝7. 方法二：(1)∵A 、M 、D 三点共线，由直线的向量参数方程式可得：OM →＝kOA →＋(1－k)OD →＝kOA →＋1－k 2OB →＝ka ＋1－k 2b(k ∈R)． 同理由于C 、M 、B 三点共线，可得：OM →＝tOC →＋(1－t)OB →＝t 4OA →＋(1－t)OB →＝t 4a ＋(1－t)b(t ∈R)，∴ka ＋1－k 2b ＝t 4a ＋(1－t)b. 又∵OA →，OB →不共线，即a ，b 不共线，∴k ＝t 4且1－k 2＝1－t ，解之得k ＝17，t ＝47. ∴OM →＝17a ＋37b. (2)他得出的结论是正确的．∵E 、F 、M 三点共线，由直线的向量参数方程式可得：OM →＝kOE →＋(1－k)OF →，即17a ＋37b ＝λka ＋μ(1－k)b(k ∈R)． 又∵OA →，OB →不共线，即a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 17＝λk ，37＝μ－，1λ＋3μ＝7.消去k整理得。
人教A版浙江专用2014年高考数学理一轮复习方案--第4单元-平面向量(186张)
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
• 双 向 固 基 础
长度等于 用e表示， 1 单位 ________ 1 |e|＝ 个单位的 向量 ________ 向量 方向相同或 长度 平行 相反的非 a∥b 相同 向量 零向量 ________相 长度 相反 相等 等且方向 a－ab ＝ ________ 向量 的向量 任意的 说明：零向量的方向是________，规定：零向量与任一 平行 向量________． ________相 向量a的相 返回目录 相反 等，方向
→ CD＝0.(
)
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
• 双 向 固 基 础
[答案] (1)√
(2)√
(3)³
→ → → → → → → [解析] (1) AD＝AB＋BD，AD＝AC＋CD，2AD＝ → → → → (AB＋AC)＋(BD＋CD)， → ＋CD＝0，∴AD＝1(AB＋AC)． → → → ∵BD → 2 → (2)取 BC 中点 D，O 为△ABC 重心的充要条件是AO 2→ 2 1 → → 1 → → 1 → → → ＝ 3 AD ＝ 3 ³ 2 (AB ＋AC )＝ 3 (AB ＋AC )＝ 3 (OB －OA ＋OC → → → → －OA)整理即得OA＋OB＋OC＝0. → → (3)当四边形 ABCD 为平行四边形有AB＋CD＝0，反 之不真，此时可能 A，B，C，D 四点共线．
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
[点评]解决这类与平面向量的概念有 • 点 关的命题真假的判定问题，其关键在于透 面 讲 彻理解平面向量的概念，还应注意零向量 考 的特殊性以及两个向量相等必须满足：(1) 点 模相等；(2)方向相同．
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习第四章平面向量1.4.3
(2)由(1)可得 f(x)＝cos2x－2cosx ＝2cos2x－2cosx－1 12 3 ＝2cosx－2 －2. π π 1 ∵x∈－3，4，∴2≤cosx≤1， 1 3 ∴当 cosx＝2时，f(x)取得最小值为－2； 当 cosx＝1 时，f(x)取得最大值为－1.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向 量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题 时，一定要注意两向量夹角的范围． 2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合 律，但不满足向量间的结合律，即(a· 不一定等于 a(b· b)c c)．这 是由于(a· 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b· b)c c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线.
设 2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0， 2t＝λ， 可求得7＝λt， λ＜0， ∴所求实数 t λ＝－ 14， ∴ 14 t＝－ 2 14 14 1 ∪－ ，－2. 2 2
的范围是－7，－
题型三 两向量垂直与平行问题 例 3 已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t 为正实数，向量 1 2 x＝a＋(t ＋1)b，y＝－ka＋ t b， (1)若 x⊥y，求 k 的最小值； (2)是否存在 k，t 使 x∥y？若存在，求出 k 的取值范围； 若不存在，请说明理由．
1 1 1 (2)∵(a－b) ＝a －2a· b＋b ＝1－2×2＋2＝2， 2 ∴|a－b|＝ 2 . 1 1 5 2 2 2 (a＋b) ＝a ＋2a· b＋b ＝1＋2×2＋2＝2， 10 ∴|a＋b|＝ 2 ，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 α， 1 a－b· a＋b 2 5 则 cosα＝ ＝ ＝ . |a－b||a＋b| 2 10 5 2× 2
2014高考一轮复习课件4.1平面向量的基本概念及线性运算
•2．下列给出的命题正确的是( ) •A．零向量是唯一没有方向的向量 •B．平面内的单位向量有且仅有一个 •C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则 a与c是方向相同的向量 •D．相等的向量必是共线向量
•【解析】 零向量方向任意，而不是没有方 向，故A错；平面内单位向量有无数个，故B 错；若b＝0，b与a、c都平行，但a、c不一 定共线，故C错；相等的向量方向相同，必是 共线向量，故D正确． •【答案】 D
a b 【解析】 表示与a同向的单位向量， 表示与b同向 |a| |b| a b 的单位向量，只要a与b同向，就有 ＝ ，观察选择项易知 |a| |b| C满足题意．
•【答案】 C
给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； → → ②若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b； ④λ ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
→ → → → 1．(人教A版教材习题改编)化简OP －QP ＋MS ＋QM 的 结果为( ) → A.OM → B.SM → C.PS → D.OS
【解析】
→ → → → → → → OP －QP ＋MS ＋QM ＝(OP ＋PQ )＋(QM ＋
→ → → → MS)＝OQ＋QS＝OS.
•【答案】 D
•从近两年高考试题来看，平面向量的概念， 线性运算及向量共线是高考命题的重点，常 与平面向量基本定理、平面向量的数量积交 汇命题，多以客观题形式呈现．在求解过程 中，不要忽视零向量的特殊性．
易错辨析之八 忽视零向量的特殊性致误 (2013· 杭州模拟)下列命题正确的是( ) A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ， 使b＝λa → → → B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0 C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能 同时成立 D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
2014年高考全程复习构想高三文科数学一轮复习课件选修4-1几何证明选讲4-1-2
归纳总结 •方法与技巧 1．圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是 矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯 形．应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程． 2．圆的切线的性质定理及推论有如下结论：如果一条直 线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个：①垂直 于切线；②过切点；③过圆心．于是在利用切线性质时，过切 点的半径是常作的辅助线．
3．判定切线通常有三种方法： ①和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线； ②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．
•失误与防范 1．圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确 理解它们的定义、定理及与所对、所夹弧的关系． 2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容： 如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的 相似三角形等.
相等 ④12∠AOB ⑤相等 ⑥ＣＤ＝ AB ⑦90° ⑧90° ⑨ 直径 ⑩直径 ⑪垂直 ⑫垂直于 ⑬垂直于 ⑭垂直于
⑮相等
⑯ CA ＝ CB
⑰一半
⑱
1 2
AmC
⑲圆周角
⑳∠
ADC ○21 积 ○22 PA·PB ＝ PC·PD ○23 积 ○24 PA·PB ＝ PC·PD
○25 比例中项 ○26 PA·PB＝PC2 ○27 互补 ○28 互补
3．如图，在△ABC 中，AB＝2，AC＝1，以 AB 为直径的 圆与 AC 相切，与边 BC 交于点 D，则 AD 的长为__________．
解析：
∵AB 是圆的直径，直线 AC 是圆的切线，
∴∠ADB＝∠CAB＝90°.
由勾股定理得 BC＝ AB2＋AC2＝ 5.
由三角形的面积公式得 AB·AC＝BC·AD，
2014高考一轮复习课件4.2平面向量的基本定理及坐标运算
•【解析】 若a与b共线，则有a⊙b＝mq－ np＝0，故①正确；因为b⊙a＝pn－qm，而 a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a，故选项 ②错误； •同样可知③④正确，故选A. •【答案】 A
→ → 已知向量AB＝(3，1)，AC＝(－1，a)，a∈R. → (1)若D为BC中点，AD＝(m，2)，求a、m的值； (2)若△ABC是以A为直角顶点，求a的值．
【解】 → → (1)因为AB＝(3，1)，AC＝(－1，a)，
→ ＝1(AB＋AC)＝(1，1＋a)＝(m，2)， → → 所以AD 2 2
【思路点拨】 (1)根据a与b的关系，设出a的坐标，再 根据|a|＝2 5求解； (2)直接设出a的坐标，根据条件列方程组求解．
【尝试解答】 (1)∵a与b的方向相反且b＝(2，1)， ∴设a＝λb＝(2λ，λ)，λ＜0， 又|a|＝2 5， ∴4λ 2＋λ2＝20，即λ2＝4，∴λ＝－2. 因此a＝(－4，－2)． (2)设向量a＝(m，n)，则a＋b＝(m＋2，n－1)， ∵|a＋b|＝1，且a＋b平行于x轴，
•【答案】 1
(2013·梅州模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分 → → → 别是边CD和BC的中点．若 AC ＝λ AE ＋μ AF ，其中λ， μ∈R，则λ＋μ＝________．
→ → → → 【思路点拨】 以AD ，AB 为基底分别表示AC ，AE ， → AF，根据平面向量基本定理列方程组求解．
•1．向量的坐标运算主要是利用向量加减、 数乘运算的法则进行．若已知有向线段两端 点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程 思想的应用． •2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供 了新的语言——“坐标语言”，实质是“形” 化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的 线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运 算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
2014年高考全程复习第四章平面向量1.4.2
解析： (1)a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)， 3＋4k 2＋k 2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴ ＝ 2 . －5 ∴6＋8k＝－10－5k. 16 ∴k＝－13.
(2)d－c＝(x，y)－(4,1)＝(x－4，y－1)， a＋b＝(2,4)， x－4 y－1 ∵(d－c)∥(a＋b)，∴ 2 ＝ 4 ，即 y－1＝2(x－4)．① 又|d－c|＝1，∴ x－42＋y－12＝1.② 1 2 把①代入②，得 5(x－4) ＝1，∴x＝4± . 5
→ → → → 解析：如图，QC＝AQ＝PQ－PA＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)， → → → → → PC＝PQ＋QC＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，BC＝3PC＝(－6,21)． 答案：A
5．已知向量 a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若 (a＋b)∥c，则 m＝__________.
①不共线 ②λ1e1＋λ2e2 ③基底
2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴④______的两 个单位⑤______i、j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有 且只有一对实数 x，y，使得 a＝⑥__________，则有序数对(x、 y)叫做向量 a 的坐标，记作⑦__________，其中 x，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量 a 的坐标表示， 相等的向量其⑧______相同，⑨______相同的向量是相等向 量． ④平行 ⑤向量 ⑥xi＋yj ⑦a＝(x，y) ⑧坐标 ⑨坐标
解析： (1)用待定系数法： 由 3×1－(－2)×(－2)≠0，故 a 与 b 不共线． 可设 c＝λ1a＋λ2b(其中 λ1、λ2 为待定的常数)．即 (7，－4)＝λ1(3，－2)＋λ2(－2,1)＝(3λ1－2λ2，－2λ1＋λ2) 3λ1－2λ2＝7 λ1＝1 ∴ ⇒ －2λ1＋λ2＝－4 λ2＝－2 ∴c＝a－2b.
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习资料第四章平面向量1.4.1
解析： (1)该命题不正确．|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但 其方向未必相同； (2)该命题不正确．单位向量只是模均为单位长度 1，而对 方向没有要求； (3)该命题不正确．有向线段有三个要素：起点、终点与长 度，向量有两个要素：大小与方向．有向线段只是向量的一种 表示形式，不能把两者等同起来； (4)该命题正确．因两相等向量的模相等，方向相同，故当 它们的起点相同时，则其终点必重合；
→ → 解析：方法一：∵AB与BA为相反向量， → → ∴AB＋BA＝0，∴C 不正确． → → → → → → 方法二：AB＋BA＝(OB－OA)＋(OA－OB) → → → → ＝OB－OB－OA＋OA＝0.∴C 不正确． 答案：C
2．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误 的是( ) → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC → → → C.AB－AD＝BD → → D.AD＋CB＝0
→ → 4．若 ABCD 是正方形，E 是 DC 边的中点，且AB＝a，AD → ＝b，则BE等于( ) 1 1 A．b＋2a B．b－2a 1 1 C．a＋2b D．a－2b
→ ＝BC＋CE＝AD－1AB＝b－1a. 解析：如图所示，BE → → → 2 → 2
答案：B
→ ＝1AB，且|AD|＝|BC|，则这 → → 5．设四边形 ABCD 中，有DC 2 → 个四边形是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 → ＝1AB知四边形 ABCD 是梯形，又|AD|＝|BC|， → → 解析：由DC 2 → 所以四边形 ABCD 是等腰梯形，故选 C. 答案：C
→ → → (5)不正确．若向量AB与向量CD是共线向量，则向量AB与 → CD所在的直线平行或重合，因此，A，B，C，D 不一定共线． (6)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以 任意平行移动的． 点评： 对于向量中的零向量、 平行向量、 相等向量等概念， 应有正确认识，才能做出正确解答．
2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用)：平面向量应用举例(新人教A版)
，
2(1 x) 2(1 x) 0
⇒
x2 y2 3
.
x 0
∴点P的轨迹方程为x2+y2=3(x≥0).
(2)∵ PM PN =(-1-x,-y)·(1-x,-y) =x2+y2-1=2,
| PM | | PN | (1 x)2 (y)2 (1 x)2 (y)2 2 4 x2 .
③∵ AB DC ,∴AB 答案：①√ ②×
DC,故③正确. ③√
2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解 与合成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积.即 W F s | F || s | cos (θ 为F与s的夹角).
7
①求sinA的值；②若b=2,△ABC的面积为3，求a.
【解题指南】(1)利用向量的基本运算写出关于x的函数，然后
求出值域.
(2)①利用p∥q列出关于sinA的方程；
②由sinA,b及S△ABC=
1 bcsinA可求出c，再由余弦定理求a.
2
【规范解答】(1) ∵ | a | 1，| b | 1，x ［0, ］，
第四节 平面向量应用举例
三年6考 高考指数:★★ 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点， 也是热点. 2.以向量为工具解决平面几何问题是难点. 3.三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与 三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题形式出现，难度 中档偏上.
2
∴ a b cos 3x cos x sin 3x sin x cos2x，
高考数学一轮总复习 第四章 平面向量 第1讲 平面向量
(3)(2015 年新课标Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点B→C＝
3C→D，则( )
A.A→D＝－13A→B＋43A→C
B.A→D＝13A→B－43A→C
C.A→D＝43A→B＋13A→C
D.A→D＝43A→B－13A→C
解析：由题知A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13(A→C－A→B)
求实数λ与向 量a的积的运 算
三角形法则
(1)|λa|＝____|λ_||_a_| _ (2)当λ>0时，λa的方向 与a的方向相同；当 λ<0时，λa的方向与a 的方向相反；当λ＝0 时，λa＝______0__
a－b＝a＋(－b)
λ(μa)＝__λ_μ_a_； (λ＋μ)a＝λa＋μa ； λ(a＋b)＝ _λ_a_＋__λ_b____
C.B→C
D．0
4．如图 4-1-1，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝ ( D)
A．0 C.A→D
图 4-1-1 B.B→E D.C→F
考点 1 平面向量的基本概念 例 1：给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确命题的序号是( ) A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④
考点 2 平面向量的线性运算
例 2：(1)在△ABC 中，AB 边的高为 CD，若C→B＝a，C→A＝
b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则A→D＝( )
A.13a－13b
B.23a－23b
C.35a－35b
D.45a－45b
2014年高考全程复习构想高三文科数学一轮复习课时训练第四章平面向量1.4.4
C. |F4| D. |F4|
解析：物体处于平衡状态，物体所受合外力为0，当F4的方向顺时针转过90°时，余下的三个力的合力与F4的大小相等、方向相反，即沿图中的OA方向．此时物体所受的力相当于是两个互相垂直的F4作用，所以物体受到的合力大小是 |F4|.
答案：C
5．已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且 ＝ ，则()
解析：∵|a|＝1，|b|＝1，x∈ ，
∴a·b＝cos cos －sin sin ＝cos2x，
|a＋b|＝ ＝
＝ ＝2|cosx|＝2cosx.
∴f(x)＝cos2x－λcosx＝2cos2x－λcosx－1
＝2 2－ －1，cosx∈[0,1]．
①当λ＜0时，取cosx＝0，此时f(x)取得最小值，
∴直线方程为y－2＝ (x＋1)，即2x－3y＋8＝0.
方法二：过点A且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为l，在l上任取一点P(x，y)，则 ∥a.
如果点P不与点A重合，由向量平行，它们的坐标满足条件 ＝ ，整理，得方程为2x－3y＋8＝0.
方法三：设P(x，y)为所求直线上任意一点，
由题意知 ∥a，而 ＝(x＋1，y－2)，a＝(3,2)，
解析：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，且设A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，则 ＝(x，y－b)， ＝(a－x，－y)．
∵ ＝－ .
∴(x，y－b)＝－ (a－x，－y)．
∴a＝ ，b＝－ ，即A ，Q .
＝ ， ＝ .
∵ · ＝0，∴3x－ y2＝0.
即所求轨迹方程为y2＝4x(x＞0)．
11．已知向量a＝ ，b＝ ，x∈ .若函数f(x)＝a·b－ λ|a＋b|的最小值为－ ，求实数λ的值．
2014届高三文科数学平面向量一轮复习教学案
平面向量精讲精练基础知识： 1、向量：（1）概念：既有 又有 的量叫做向量（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a （3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a（4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量. （5）相等向量： 的向量叫相等向量；（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则：（1）平行四边形法则，要点是：统一起点； （2）三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。
3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=0 4、向量的线性运算满足：（1）()a λμ= （2）(λμ+)a = （3）()a b λ+= 5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一6．平面向量的实际背景及基本概念从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，明确向量与数量的区别,理解向量的基本概念：向量的模、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等， 7．平面向量的线性运算（1）掌握向量的加减法运算，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和或差向量，（2）掌握实数与向量积的定义及几何意义；理解向量共线的充要条件。
8．平面向量的基本定理及坐标表示（1）平面向量的基本定理：_____________________________________________. （2）平面向量的坐标运算：_____________________________________________. 向量共线的两种判定方法()()1122a=x ,y ,b=x ,y , a ∥ｂ(0≠b )12210x y x y λ⇔=⇔-= a b 。
2014年高考全程复习构想高三文科数学一轮复习课时训练第四章平面向量1.4.2
1．设a＝(sinx， )，b＝( ， cosx)，且a∥b，则锐角x＝()
A. B. C. D.
解析：∵a＝(sinx， )，b＝( ， cosx)，且a∥b，
∴ sinxcosx－ × ＝0，即 sin2x－ ＝0.
∴sin2x＝1.
又∵x为锐角，∴2x＝ ，x＝ .
答案：B
2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且 ＝2 ，则顶点D的坐标为()
解析：(1)设点C坐标为(x0，y0)，
又 ＝ ＋ ＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，
即(x0－1，y0－1)＝(9,5)，
∴x0＝10，y0＝6，即点C(10,6)．
(2)由三角形相似，不难得出 ＝2 ，
设P(x，y)，则
＝ － ＝(x－1，y－1)－(6,0)
＝(x－7，y－1)，
＝ ＋ ＝ ＋3
∴ ＋ 的最小值是8.
答案：8
三、解答题
10．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．
解析：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝ .
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以
(2)∵ ＝(1,2)， ＝ ＋ ＝(3－3t,3－3t)，
若四边形OABP为平行四边形，
则 ＝ ，而 无解，
∴四边形OABP不能成为平行四边形．
12．在▱ABCD中，A(1,1)， ＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
(1)若 ＝(3,5)，求点C的坐标；
2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料师说第四章平面向量4.4
(2)设 P(x，y)，则 → → → BP＝AP－AB＝(x－1，y－1)－(6,0)＝(x－7，y－1)， → → → 1→ → AC＝AM＋MC＝ AB＋3MP 2 → 1→ 1→ ＝2AB＋3AP－2AB → → ＝3AP－AB＝(3(x－1)，3(y－1))－(6,0) ＝(3x－9,3y－3)．
题型三 向量在解析几何中的应用 → 例 3 在平行四边形 ABCD 中，A(1,1)，AB＝(6,0)，点 M 是 线段 AB 的中点，线段 CM 与 BD 交于点 P. → (1)若AD＝(3,5)，求点 C 的坐标； → → (2)当|AB|＝|AD|时，求点 P 的轨迹．
解析：(1)设点 C 的坐标为(x0，y0)． → → → ∵AC＝AD＋AB＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x0－1，y0－1)＝(9,5)， ∴x0＝10，y0＝6，即点 C 的坐标为(10,6)．
解析：(1)∵|a|＝1，|b|＝1，由|ka＋b|＝ 3|a－kb|， 得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， k2＋1 1 1 1 整理得 a· b＝ ＝ k＋ k≥ ， 4k 4 2 1 当且仅当 k＝1 时，a· 取最小值2. b
π 1 3 (2)由 a· cosx＋ sinx＝sinx＋6. b＝ 2 2 π π 7π ∵0≤x≤π，∴ ≤x＋ ≤ ， 6 6 6 π 1 ∴－ ≤sinx＋6≤1. 2 π 当 x＝ 时，a· 取最大值为 1. b 3
点评：向量三角函数的结合是高考的热点，利用数量积与 模把向量问题转化为三角问题．
变式探究 2 已知向量 a＝(cosx，sinx)，|b|＝1，且 a 与 b 满足|ka＋b|＝ 3|a－kb|(k＞0)． (1)试用 k 表示 a· b，并求 a· 的最小值； b 1 3 (2)若 0≤x≤π，b＝ ， ，求 a· 的最大值及相应的 x b 2 2 值．
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题型二
平面向量的坐标运算 → 例 2 已知 a＝AB，B(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且 a＝ 3b－2c，求点 A 的坐标．
→ 解析：先求AB的坐标，再求 A 的坐标．a 与 b、c 有关， 用 b、c 的坐标表示 a. ∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)． ∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2) → ＝(－7,10) 即 a＝(－7,10)＝AB. 又 B(1,0)，设 A 点坐标为(x，y)． → AB＝(1－x,0－y)＝(－7,10)
解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c， 得 1×2－(m－1)×(－1)＝0，即 m＝－1. 答案：－1
疑点清源 1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基 底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基 底 e1，e2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
5 5 x＝4＋ 5 ， x＝4－ 5 ， ∴ 或 y＝2 5＋1 y＝－2 5＋1. 5 5 5 2 5 5 2 5 ∴d＝(4＋ 5 ， 5 ＋1)或 d＝(4－ 5 ，－ 5 ＋1)．
点评：向量引入坐标后，用坐标来表示向量平行，实际上 是一种解析几何(或数形结合)的思想，其实质是用代数(主要是 方程)计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为 了计算．
1－x＝－7 ∴ 0－y＝10 x＝8 ⇒ y＝－10
即 A 点坐标为(8，－10)．
点评：通过向量相等则坐标相同这一关系找出等式关系．
变式探究 2 (1)已知向量 a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，试用 a 和 b 来表示 c. → → (2)已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且CM＝3CA， → → → CN＝2CB.求 M、N 的坐标和MN.
归纳总结 •方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边 形法则，将向量进行分解． 2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标 运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化 为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相 关问题． 3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形 结合思想的运用．
1 a ⑯± |a| ⑰± x2＋y2(x，y)
⑱x1＝x2 且 y1＝y2
考点自测 → ＝(1，－2)，OB＝(－3,4)，则1AB等于( → → 1.已知向量OA 2 A．(－2,3) C．(2,3) B．(2，－3) D．(－2，－3) )
→ ＝OB－OA＝(－4,6)，1AB＝1(－4,6)＝ → 解析：依题意得AB → → 2 2 (－2,3)，选 A. 答案：A
如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N → → 分别为 DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示 → → AB，AD.
变式探究 1
→ → 解析：设AB＝a，AD＝b. 因为 M，N 分别为 CD，BC 的中点， → ＝1b，DM＝1a. → 所以BN 2 2 1 2 c＝b＋2a a＝32d－c， 因而 ⇒ 1 d＝a＋ b b＝22c－d， 2 3 → ＝2(2d－c)，AD＝2(2c－d). → 即AB 3 3
⑩(x2－x1，y2－y1) ⑪ x2－x12＋y2－y12 ⑫(x1＋x2，y1＋y2) ⑬(x1－x2，y1－y2) ⑭(λx1，λy1) ⑮x1y2－x2y1＝0
(3)非零向量 a＝(x，y)的单位向量为⑯___________或⑰ ________________. (4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔⑱________________.
3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若 λ 为实数， (a＋λb)∥c，则 λ＝( ) 1 1 A.4 B.2 C．1 D．2
解析：可得 a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c 得(1＋λ)×4 1 －3×2＝0，∴λ＝2. 答案：B
→ → 4．在△ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP＝2PC，点 Q 是 AC → → → 的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝( ) A．(－6,21) C．(6，－21) B．(－2,7) D．(2，－7)
3．平面向量的坐标运算 → 10 (1)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝○_________， → |AB|＝⑪______________________. (2) 已 知 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ， 则 a ＋ b ＝ ⑫ __________________ ， a － b ＝ ⑬ ______________ ， λa ＝ ⑭ __________，a∥b(b≠0)的充要条件是⑮__________________.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析： (1)用待定系数法： 由 3×1－(－2)×(－2)≠0，故 a 与 b 不共线． 可设 c＝λ1a＋λ2b(其中 λ1、λ2 为待定的常数)．即 (7，－4)＝λ1(3，－2)＋λ2(－2,1)＝(3λ1－2λ2，－2λ1＋λ2) 3λ1－2λ2＝7 λ1＝1 ∴ ⇒ －2λ1＋λ2＝－4 λ2＝－2 ∴c＝a－2b.
4．2 平面向量基本定理及坐标表示
考纲点击 1.了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个①______向量，那么对于 这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝② __________. 我们把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量 的一组③______.
2．向量坐标与点的坐标区别 → 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定， 此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为 → (x， 但应注意其表示形式的区别， y)， 如点 A(x， 向量 a＝OA y)， ＝(x，y)． → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变即O1A1＝OA → ＝(x，y)，但O A 的起点 O 和终点 A 的坐标都发生了变化.
1 m－4 n 因为 C，M，B 三点共线，所以 1 ＝1，即 4m＋n＝1. －4 1 m＋2n＝1， m＝7， 由 解得 4m＋n＝1， n＝3. 7 → ＝1a＋3b. 所以OM 7 7
→ 点评：本题先用平面向量基本定理设出OM＝ma＋nb，然 后利用共线向量的条件列出方程组，确定 m，n 的值．
2． 已知向量 a＝(1,1)， b＝(2， 若 a＋b 与 4b－2a 平行， x)， 则实数 x 的值是( ) A．－2 B．0 C．1 D．2
解析：依题意得 a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)， ∵a＋b 与 4b－2a 平行，∴3(4x－2)＝6(x＋1)，由此解得 x ＝2，选 D. 答案：D
新题速递 → 1．(2013· 济宁调研)给定两个长度为 1 的平面向量OA和 → OB，它们的夹角为 90° ，如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆 → → → 弧 AB 上运动，若CO＝xOA＋yOB，其中 x，y∈R，则 x＋y 的 最大值是( A．1 C. 3 ) B. 2 D．2
(2)∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， → → ∴CA＝(1,8)，CB＝(6,3)． → → → → ∴CM＝3CA＝3(1,8)＝(3,24)，CN＝2CB＝2(6,3)＝(12,6)． → 设 M(x，y)，则CM＝(x＋3，y＋4)．
x＋3＝3， 因此 y＋4＝24， x＝0， 得 y＝20.
∴M(0,20)． 同理可得 N(9,2)． → ∴MN＝(9－0,2－20)＝(9，－18).
题型三 向量平行的坐标表示 例 3 平面内给定三个向量 a＝(3,2)， b＝(－1,2)， c＝(4,1)． 回 答下列问题： (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k； (2)设 d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求 d.
变式探究 3 已知 a＝(2,3)，b＝(1,2)，若 ka－b 与 a－kb 平行，求实数 k 的值，并指出它们是同向还是反向？
解析：∵a＝(2,3)，b＝(1,2) ∴ka－b＝(2k－1,3k－2)． a－kb＝(2－k,3－2k) 又 ka－b 与 a－kb 平行 ∴(2k－1)(3－2k)－(3k－2)(2－k)＝0，解得 k＝± 1. 当 k＝1 时，ka－b＝a－kb，这两个向量方向相同； 当 k＝－1 时，ka－b＝－(a－kb)，这两个向量方向相反.
•失误与防范 1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它 们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小 的信息． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能 x1 y1 表示成x ＝y ，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2 2 2 －x2y1＝0.同时，a∥b 的充要条件也不能错记为 x1x2－y1y2＝0， x1y1－x2y2＝0 等.
①不共线 ②λ1e1＋λ2e2 ③基底
2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴④______的两 个单位⑤______i、j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有 且只有一对实数 x，y，使得 a＝⑥__________，则有序数对(x、 y)叫做向量 a 的坐标，记作⑦__________，其中 x，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量 a 的坐标表示， 相等的向量其⑧______相同，⑨______相同的向量是相等向 量． ④平行 ⑤向量 ⑥xi＋yj ⑦a＝(x，y) ⑧坐标 ⑨坐标