新北师大版初中八年级数学下册1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法公开课优质课教学设计
最新北师版初中数学八年级下册1.1第3课时等腰三角形的判定与反证法优质课教案
第3课时 等腰三角形的判定与反证法1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点)2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．一、情境导入某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A 点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B 点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到处时，测得∠AB 为30度，这时，地质专家测得B 的长度是50米，就可知河流宽度是50米．同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道B 的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定． 二、合作探究探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边)【类型一】 确定等腰三角形的个数如图，在△AB 中，AB ＝A ，∠A ＝36°，BD 、E 分别是∠AB 、∠BD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个．3个 D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝A ，∴△AB 是等腰三角形；(2)∵BD 、E 分别是∠AB 、∠BD 的角平分线，∴∠EB ＝错误!∠AB ，∠EB ＝错误!∠BD ∵△AB是等腰三角形，∴∠EB ＝∠EB ，∴△BE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝A ，∴∠AB ＝∠AB ＝错误!(180°－36°)＝72°又∵BD 是∠AB 的角平分线，∴∠ABD ＝错误!∠AB ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△DE 和△BD 也是等腰三角形．故选A方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】 判定一个三角形是等腰三角形如图，在△AB 中，∠AB ＝90°，D 是AB 边上的高，AE 是∠BA 的角平分线，AE 与D 交于点F ，求证：△EF 是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE ＝∠AD ，然后根据三角形外角的性质求得∠EF ＝∠FE ，根据等角对等边求得E ＝F ，从而求得△EF 是等腰三角形．解：∵在△AB 中，∠AB ＝90°，∴∠B ＋∠BA ＝90°∵D 是AB 边上的高，∴∠AD ＋∠BA ＝90°，∴∠B ＝∠AD ∵AE 是∠BA 的角平分线，∴∠BAE＝∠EA ，∴∠B ＋∠BAE ＝∠AE ，∠AD ＋∠EA ＝∠FE ，即∠EF ＝∠FE ，∴E ＝F ，∴△EF 是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型三】 等腰三角形性质和判定的综合运用如图，在△AB 中，AB ＝A ，点D 、E 、F 分别在AB 、B 、A 边上，且BE ＝F ，BD ＝E(1)求证：△DEF 是等腰三角形； (2)当∠A ＝50°时，求∠DEF 的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B ＝∠，利用“边角边”证明△BDE 和△EF 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE ＝EF ，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE ＝∠EF ，然后求出∠BED＋∠EF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF(1)证明：∵AB＝A，∴∠B＝∠在△BDE和△EF中，∵错误!∴△BDE≌△EF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；(2)解：∵△BDE≌△EF，∴∠BDE ＝∠EF，∴∠BED＋∠EF＝∠BED＋∠BDE∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠EF，∴∠B＝∠DEF∵∠A＝50°，AB＝A，∴∠B＝错误!×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．探究点二：反证法【类型一】假设用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°故选方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．【类型二】用反证法证明一个命题求证：△AB中不能有两个钝角．解析：用反证法证明，假设△AB 中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．证明：假设△AB中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠＞90°，所以∠A＋∠B＋∠＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△AB中不能有两个钝角．方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．三、板书设计1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．2．反证法(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法。
北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形的判定与反证法》(第3课时)教案
北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形的判定与反证法》（第3课时）教案一. 教材分析《等腰三角形的判定与反证法》是北师大版数学八年级下册第1.1节的内容，本节课的主要目的是让学生掌握等腰三角形的判定方法，并运用反证法证明等腰三角形的性质。
在此之前，学生已经学习了三角形的性质和分类，为本节课的学习打下了基础。
教材通过实例引入等腰三角形的概念，然后引导学生探究等腰三角形的性质，最后运用反证法证明等腰三角形的性质。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于三角形的性质和分类有一定的了解。
但是，对于反证法的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习来提高。
在导入环节，我会通过复习三角形的性质和分类，激发学生的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握等腰三角形的判定方法，能够运用反证法证明等腰三角形的性质。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：等腰三角形的判定方法，反证法的运用。
2.难点：反证法的运用，等腰三角形性质的证明。
五. 教学方法1.引导发现法：通过问题引导，让学生发现等腰三角形的性质，培养学生的探究能力。
2.反证法：运用反证法证明等腰三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组讨论法：让学生在小组内进行讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示等腰三角形的判定和性质。
2.教学素材：准备一些等腰三角形的模型，供学生观察和操作。
3.练习题：准备一些练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角形的性质和分类，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示等腰三角形的判定和性质，让学生直观地感受等腰三角形的特征。
北师大版数学八年级下册1.1第3课时 等腰三角形的判定与反证法-课件
知识点整合训练
解：①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC 是等腰三角形．
∠EOB＝∠DOC， 选①③为条件证明．证明：在△EBO 和△DCO 中，∵∠EBO＝∠DCO，
BE＝CD，
∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC 是等腰三角形
核心提要
3．(3分)在方格纸上等有腰一个△ABC，它的顶点位置如图所示， 则这个三角形是____三角形．
4．(3分)聪明的亮亮用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成 如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形， 请你帮他找出两个等腰三角形： _________________________．
△ABE，△DCE，△BCE
知识点整合训练
解：(1)△OBC 是等腰三角形(BC 为底)或∠BOC＝90°＋12∠A (2)等腰三角形有△ABC，△OBC，△BOE，△OCF，△AEF.EF＝EB＋FC
(3)等腰三角形有△BOE，△COF，仍有EF＝EB＋FC.理由：∵BO，CO分别 平分∠ABC，∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB.又∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠BOE，∠OCB＝∠COF，∴∠BOE＝∠EBO，∠COF＝∠FCO， ∴EB＝EO，FC＝FO.∴EF＝EO＋FO＝EB＋FC
谢 谢！
知识点＝∠C， 求证：BD＝CD.
证明：连接BC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD－∠ABC＝∠ACD－∠ACB， 即∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD
知识点整合训练
【综合运用】 15．(18分)如图所示，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB， BO平分∠ABC，CO平分∠ACB. (1)想想看，你能得到什么结论？ (2)若过点O作一直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F， 则图②中有哪几个等腰三角形？线段EF和EB，FC之间有怎样的关系？ (3)若∠ABC≠∠ACB，其他条件不变，图③中是否还有等腰三角形？ (2)中第二问的关系是否还存在？写出你的理由．
最新北师大八年级下册数学精品课件-1-第3课时 等腰三角形的判定与反证法
【解析】选C.因为“必有一个内角小于或等于60°”的反面是 “没有一个内角小于或等于60°”，即“每一个内角都大于 60°”.
2019/11/12
∴∠• 第A三D级B=∠ADC
在∠△AAD•BB第D=四•和∠级第△五A级DACCD中
∠B=∠C
AD=AD
B
∴△ABD≌△ACD (AAS)
∴AB=AC
A DC
2019/11/12
3
新知归纳
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等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。(等角
对等边• )单击此处编辑母版文本样式
13
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3.（日照·中考）一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使
△•AB单C为击等腰此三角处形编，则辑这母样的版点文C最本多有样式 个．
• 第二级
• 第三级
【解析】当C点•的第坐四• 级标第五为级 （
，0）或（
，0）
时，AB=AC,当C点的坐标为（4,0)时，AB=BC；当C点的坐
∴△ABD、△BCE是等腰三角形.
∵∠CDE＝∠A＋∠ABD＝72°,∠DEC＝∠CBD＋∠BCE＝72°,
∴∠CDE＝∠DEC＝∠ACB.
∴△CDE、△BCD是等腰三角形.
∴一共有5个等腰三角形.
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2. （通化·中考）用反证法证明命题“三角形中必有
一•个单内击角此小处于编或辑等母于6版0°文”本时样，式首先应假设这个三角形
北师大版八年级数学下册 1.1等腰三角形的性质第3课时等腰三角形的判定与反证法课件(共24张PPT)
已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC
再如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采 用这位同学的证法.
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且 a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于 或等于1/5.
用反证法来证: 证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的 和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和 a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题 成立,即这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°， DE交线段AC于点E. (1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝__2_5_°____， ∠(2D)当ECD＝C_＝__12_1时_5_°，__△；A点BDD从≌B△向DCC运E.理动由时：，∵∠∠BDCA逐＝渐40变°， _∴_小_∠__D_E__C(＋填∠“E大D”C＝或1“40小°.又”∵)；∠ADE＝40°， (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； (∴3)∠在A点DDB的＋运∠动ED过C程＝中14，0°△，A∴DE∠的A形D状B＝可∠以D是E等C.腰三角形吗？ 若又可∵以A，B＝请D直C接＝写2，出∴∠△BADBA的D≌度△数D．CE若(A不AS可) 以，请说明理由．
练习1．用反证法证明：△ABC中至少有一个内角小 于或等于60°.
北师大版数学八下1.等腰三角形的判定与反证法课件
点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF
三者有何数量关系？
A
分析：可证BE=DE,CF=DF
E
F
D
∴EF=DE-DF=BE-CF B
G C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个
角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量
关系？
A
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
E OF
B
C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平
分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
A
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：（1）2个：△BOE、△FOC
E
OF
（2）成立
B
C
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交
E
D
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
B
C
∴BE=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形.
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
新课探索
Part 3 典例Part精1 析
北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法》教学设计
北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》教学设计一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》这一节课，主要让学生了解等腰三角形的判定方法，并运用反证法进行证明。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生探索等腰三角形的性质，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的性质，对三角形有了一定的认识。
但是，对于等腰三角形的判定和反证法的应用，还需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过合适的教学方法，帮助学生理解和掌握等腰三角形的判定方法，以及如何运用反证法进行证明。
三. 教学目标1.了解等腰三角形的判定方法，能够运用反证法证明等腰三角形的性质。
2.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.等腰三角形的判定方法。
2.反证法的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过图片和实例，引导学生观察和探索等腰三角形的性质。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考和解决问题。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队合作精神。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的图片和实例，用于引导学生观察和探索。
2.准备投影仪，用于展示教学内容。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用图片和实例，引导学生观察等腰三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍等腰三角形的判定方法，通过PPT展示相关的定理和证明过程。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用反证法证明等腰三角形的性质。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何运用反证法证明其他几何性质？教师给予提示和指导。
北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法》教案
北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》教案一. 教材分析《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》这一课时，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形性质等知识的基础上进行学习的。
本课时主要让学生学习等腰三角形的判定方法，以及运用反证法证明等腰三角形的性质。
通过这一课时的学习，使学生进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有了一定的认识。
但是，对于等腰三角形的判定和反证法的运用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生，激发他们的思考，帮助他们理解和掌握等腰三角形的判定方法和反证法的运用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握等腰三角形的判定方法，能够运用反证法证明等腰三角形的性质。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的观察能力、思考能力和创新能力。
四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的判定方法，反证法的运用。
2.教学难点：反证法的运用，等腰三角形性质的证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生观察、思考、交流，激发学生的学习兴趣。
2.探究式教学法：引导学生主动探究等腰三角形的性质，培养学生的探究能力。
3.小组合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识，提高他们的交流能力。
六. 教学准备1.准备等腰三角形的模型或图片，用于引导学生观察和操作。
2.准备反证法的相关案例，用于讲解和练习。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示等腰三角形的图片，引导学生观察等腰三角形的特征，激发学生的学习兴趣。
提问：你们知道等腰三角形有什么特点吗？2.呈现（10分钟）呈现等腰三角形的判定方法，引导学生思考和交流，总结出等腰三角形的判定方法。
北师版八年级数学下册《等腰三角形的判定与反证法》市优质课一等奖课件
O
A
B
首页
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”) A
几何语言:
如何证明 这个判定 方法呢？
在△ABC中 ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC （等角对等边）
B
C
构造全等三角形来证明
北师版八年级数学下册
1.1等腰三角形3
复习回顾
我们在上一节学习了 等腰三角形的性质。 现在你能回答我一些
问题吗？
首页
复习回顾
1、等腰三角形的性质定理是什么？
等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角）
2、我们是如何证明的呢？
构造两个全等的三角形来证明
合作探究
如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的 报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时 出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
因此，假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
学以致用
用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角．
证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，
则
∠B＝∠C＝90° ，从而 ∠A＋∠B＋∠C ＞180°，
转化问题 这与 三角形内角和为180° 矛盾．
为等价的 其他问题
②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，
已知：△ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC A
证明： 作∠BAC的平分线AD
12
在△ BAD和△ CAD中，
∠B =∠C， ∠1 =∠2， AD =AD
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形的判定与反证法》(第3课时)说课稿
北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形的判定与反证法》（第3课时）说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形的判定与反证法》（第3课时）是学生在学习了三角形的基本概念、性质和判定方法的基础上，进一步研究等腰三角形的性质和判定方法。
本节课的主要内容有等腰三角形的判定方法、等腰三角形的性质以及反证法的应用。
教材通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究等腰三角形的性质，培养学生的观察能力、推理能力和证明能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察和推理能力。
但学生在学习过程中，对等腰三角形的判定和性质的理解还不够深入，尤其是对反证法的应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、讨论、推理等方式，深入理解等腰三角形的性质和判定方法，提高学生的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握等腰三角形的判定方法，理解等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
2.过程与方法目标：通过观察、讨论、推理等方法，培养学生的观察能力、推理能力和证明能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的判定方法，等腰三角形的性质。
2.教学难点：反证法的应用，等腰三角形性质的证明。
五. 说教学方法与手段本节课采用问题驱动的教学方法，结合小组合作、讨论、推理等教学手段，引导学生主动探究等腰三角形的性质和判定方法。
同时，利用多媒体课件，展示等腰三角形的图片和实例，生动形象地引导学生理解等腰三角形的性质，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过展示等腰三角形的图片，引导学生观察等腰三角形的特征，激发学生的学习兴趣。
2.探究等腰三角形的判定方法：教师提出问题，引导学生讨论等腰三角形的判定方法，总结出等腰三角形的判定条件。
北师大版数学 八年级下册 第一章第3课时 等腰三角形的判定与反证法 优秀课件
由题得AB=15×2=30（海里）
N B 72° 36° C
∵ ∠A= ∠C
∴ BC=AB=30 （海里）
36°
A
2、如图， △ABC中， ∠A=36°，AB=AC, BD平分 ∠ABC, DE∥BC, EF平分∠AED，问在这个图形中，有 那几个等腰三角形？请分别写出来.
A
△ABC、 △BCD 、△EBD、 △EDF 、△FAE 、△ADE、 △ABD
的形式．而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形
M
D
出现，因此，找到问题的突破口． B
N C
4、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
36°
F
E 36°72°D
73263°°6°
B
72°
C
想一想
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等.
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
A
B
C
你认为这个结论成立吗? 如果成立, 你能证明它吗?
小明是这样想的:
如图, 在△ABC中, 已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要
B
C
在△ABD和 △ACD中
D
∵∠B＝∠C. ∠ADB＝∠ADC.AD=AD
新北师版初中数学八年级下册1.1第3课时等腰三角形的判定与反证法公开课优质课教学设计
第3课时等腰三角形的判定与反证法1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点)2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．一、情境导入某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米．同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．二、合作探究探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边)【类型一】确定等腰三角形的个数如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A．5个 B．4个C．3个 D．2个解析：共有5个．(1)∵AB＝AC，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＝12∠ABC，∠ECB＝12∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB ＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝12∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】判定一个三角形是等腰三角形如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD 是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD 交于点F ，求证：△CEF 是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE ＝∠ACD ，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF ＝∠CFE ，根据等角对等边求得CE ＝CF ，从而求得△CEF 是等腰三角形．解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠B ＋∠BAC ＝90°.∵CD 是AB 边上的高，∴∠ACD ＋∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACD .∵AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAE ＝∠EAC ，∴∠B ＋∠BAE ＝∠AEC ，∠ACD ＋∠EAC ＝∠CFE ，即∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ，∴△CEF 是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型三】 等腰三角形性质和判定的综合运用如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE .(1)求证：△DEF 是等腰三角形； (2)当∠A ＝50°时，求∠DEF 的度数． 解析：(1)根据等边对等角可得∠B ＝∠C ，利用“边角边”证明△BDE 和△CEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE ＝EF ，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE ＝∠CEF ，然后求出∠BED＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE ，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B ＝∠DEF .(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△BDE ≌△CEF (SAS)，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．探究点二：反证法 【类型一】假设用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )A ．有一个内角大于60°B ．有一个内角小于60°C ．每一个内角都大于60°D ．每一个内角都小于60°解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C.方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．【类型二】用反证法证明一个命题求证：△ABC 中不能有两个钝角． 解析：用反证法证明，假设△ABC 中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．证明：假设△ABC 中能有两个钝角，即∠A ＜90°，∠B ＞90°，∠C ＞90°，所以∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC 中不能有两个钝角．方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．三、板书设计1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．2．反证法(1)假设结论不成立； (2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法.。
【北师大版】八年级数学下册：1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法教案
第3课时等腰三角形的判定与反证法1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点)2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．一、情境导入某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米．同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．二、合作探究探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边)【类型一】确定等腰三角形的个数如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：共有5个．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＝12∠ABC，∠ECB＝12∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝12∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】判定一个三角形是等腰三角形如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型三】等腰三角形性质和判定的综合运用如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE ＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE ＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE ＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD＝CE，∠B＝∠C，BE＝CF，∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．探究点二：反证法【类型一】假设用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中()A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C.方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．【类型二】用反证法证明一个命题求证：△ABC中不能有两个钝角．解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．三、板书设计1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．2．反证法(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法.。
北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 1. 等腰三角形 等腰三角形的判定与反证法》公开课课件_9
E
D
F
∴BE=DE(等角对等边) 同理: CF=DF
∴EF=BE -CF
B
CG
平行+平分,得到等腰
6
Thanks. 谢谢聆听！再见！
∴∠1=∠2又∠3 =∠4
∴∠3+∠1=∠4+∠2
∴∠A=∠C
A
∴AB=CB(等角对等边) 即△ABC是等腰三角形.
A
D
E
B
DF E
C
一 读
C
二 联
三 解
四 悟
关键词：
△ABC的 很∵解形B直法D=一状观BE：的. 看出
A∴B∠=BDBEC=∠,如BE何D 证明 呢若又∴=∠∠∠共?ABB要BED线DDE证--可=∠∠边∠由ACCBB相BDE线D等段, 加即:减∠A得=∠到C ,若在同 一∴A个B=三CB(角等形角对中等可边) 由即△等AB角C是对等等腰三边角得形. 到,若分属两个三 角形,则可证△全
熟等悉证线段相等的几
种方法.
4Leabharlann 四、金题核思点拨学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。
1.用反证法证明：三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等 于60°.
答案：假设结论不成立, 即 ∠A＞60°, ∠B＞60°,
∠C＞60°, ∴∠A+∠B+∠C＞180°, 这与三角形内角和定理矛盾, 所以假设不成立, ∴三角形三个内角中, 至少有一个内角 小于或等于60°
学习靠方法 ﹒优秀靠坚持
北师大版初中数学 八年级下册 第一章第1节 等腰三角形（3）
课题组 1
一、不能遗忘的记忆
思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错。
1.等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 （简述为：等角对等边。）
北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 1. 等腰三角形 等腰三角形的判定与反证法》公开课课件_3
∴ △ABE ≌△ACE （AAS）．
∴ AB = AC ．
B
E
C
追问 你还有其他证明方法吗？
探索等腰三角形的判定定理
思考 能作∠BAC的角平分线吗？ 能．
思考 能作底边BC 上的中线吗？ 不能．
探索等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定方法（总结）：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等（简写成“等角对等边”）． A 符号语言：
如果一个三角形有两个角相等，那么 它们所对的边有什么关系呢？说出你 的理由。
探索等腰三角形的判定定理
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB =AC．
证明：过A 点作AE⊥BC，垂足为E.
在△ABE 和△ACE 中，
A
∠B =∠C， ∠AEB = ∠AEC = 90°， AE = AE，
∵ 在△ABC 中，∠B =∠C，
∴ AB =AC． 思考 与等腰三角形性质进
行比较看有什么区别？
B
C性质是:等边ຫໍສະໝຸດ 等角判定是:等角等边
牛刀小试
练习1 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，
∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？
你能说出它们么？
A
共有3个等腰三角形．
△ ABD
△BDC
△ABC
D
B
C
综合运用
例题2 求证：如果三角形一个外角的平分线
平行于三角形的一边，那么这个三角形是等
腰三角形。
D
问题:
1、如何将文字叙述的几何 A
E
命题转化成几何语言?
２、命题中条件和结论分别
指出来？
B
C
３、写出已知、求证。
北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 1. 等腰三角形 等腰三角形的判定与反证法》公开课教案_6
环节一：课堂引领——诱源同学们，探究型问题是中考常见考题，相关的题举不胜举。
从今天这节课开始，我们看看解答探究性问题究竟有什么奥妙所在？通过前面的学习，我们已经知道了等腰三角形的相关性质和判定，下面老师给这样一个问题你会解吗？【探索一】已知：在等腰△ABC中，AB＝AC，点P是BC边4min 的中点,PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E 。
试问PD与PE有什么数量关系？说说你的理由。
学生通过交流、讨论、归纳得出解决本题的方法:①角平分线的性质定理;②面积法;③构造全等三角形.(由学生归纳)思考：过点C作AB边上的高CF，则PD + PE =定值？（学生直接回答结果）设计意图：这是问题诱源，意在唤起学生的思维，引发学生思考，根据已知的条件，得出解决问题的三种方法,并且设计意图：通过学生不同角度的思考、讨论、归纳、寻源。
将D点由BC的中点变化到BC上任意一点，让学生体会形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
环节三：联想追问——生源【探究五】如图，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，还会有PD+PE=CF吗？如果没有，那么PD、PE、CF之间又存在怎8min 样的等量关系.样的等量关系呢？设计意图：通过探究，让学生理解和运用面积法和截长补环节四：课堂拓展——追源【探究四】如图是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且∠A=∠CBE，AB=2dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．设计意图：发挥典型例题的功能，让学生主动思考生活中与等腰三角形有关的模型，利用已经得到的知识源和数学思想方法源来解决实际问题，达到学以致用的目的。
10mi n2.如图，在平面直角坐标系中有两条直线AB：y=x+3、BC：y=﹣3x+3，若直线BC上的一点M到直线AB的距离是1，请求出点M的坐标．6min。
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第3课时 等腰三角形的判定与反证法
1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点)
2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．
一、情境导入
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A 点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B 点插一小旗作标志，沿南偏东
60度方向走一段距离到C 处时，测得
∠ACB 为30度，这时，地质专家测得
BC 的长度是50米，就可知河流宽度
是50米．
同学们，你们想知道这样估测河
流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC 的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．
二、合作探究
探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边) 【类型一】 确定等腰三角形的个
数
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，
∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、
∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三
角形有( )
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，
∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE
分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，
∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝1
2∠BCD .
∵△ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝
∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形；
(3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝1
2(180°－36°)＝72°.又
∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝1
2
∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和
△BCD 也是等腰三角形．故选A.
方法总结：确定等腰三角形的个
数要先找出相等的边和相等的角，然
后确定等腰三角形，再按顺序不重不
漏地数出等腰三角形的个数．
【类型二】 判定一个三角形是等
腰三角形
如图，在△ABC 中，∠ACB
＝90°，CD 是AB 边上的高，AE 是∠BAC 的角平分线，AE 与CD 交于点
F ，求证：△CEF 是等腰三角形．
解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE ＝∠ACD ，然后根据三
角形外角的性质求得∠CEF ＝∠CFE ，
根据等角对等边求得CE ＝CF ，从而求得△CEF 是等腰三角形．
解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠B ＋∠BAC ＝90°.∵CD 是AB 边上的高，∴∠ACD ＋∠BAC ＝90°，
∴∠B ＝∠ACD .∵AE 是∠BAC 的角平
分线，∴∠BAE ＝∠EAC ，∴∠B ＋
∠BAE ＝∠AEC ，∠ACD ＋∠EAC ＝
∠CFE ，即∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝
CF ，∴△CEF 是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判
定等腰三角形的重要依据，是先有角
相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，
此结论不一定成立．
【类型三】 等腰三角形性质和判定的综合运用
如图，在△ABC中，AB＝AC，
点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，
且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度
数．
解析：(1)根据等边对等角可得∠B
＝∠C，利用“边角边”证明△BDE
和△CEF全等，根据全等三角形对应
边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角
形的定义证明即可；(2)根据全等三角
形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然
后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋
∠BDE，再利用三角形的内角和定理
和平角的定义求出∠B＝∠DEF.
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CEF中，∵
⎩⎪
⎨
⎪⎧BD＝CE，
∠B＝∠C，
BE＝CF，
∴△BDE≌△
CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是
等腰三角形；
(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠
BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝
∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝
∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝
∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠
B＝
1
2
×(180°－50°)＝65°，∴∠
DEF＝65°.
方法总结：等腰三角形提供了好
多相等的线段和相等的角，判定三角
形是等腰三角形是证明线段相等、角
相等的重要手段．
探究点二：反证法
【类型一】假设
用反证法证明命题“三角形
中必有一个内角小于或等于60°”时，
首先应假设这个三角形中( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
解析：用反证法证明命题时，应
先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C.
方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．
【类型二】用反证法证明一个命题
求证：△ABC中不能有两个
钝角．
解析：用反证法证明，假设△ABC
中能有两个钝角，得出的结论与三角
形的内角和定理相矛盾，所以原命题
正确．
证明：假设△ABC中能有两个钝
角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C
＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与
三角形的内角和为180°矛盾，所以假
设不成立，因此原命题正确，即△ABC
中不能有两个钝角．
方法总结：本题结合三角形内角
和定理考查反证法，解此题关键要懂
得反证法的意义及步骤．反证法的步
骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设
出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结
论成立．在假设结论不成立时要注意
考虑结论的反面所有可能的情况．如
果只有一种，那么否定一种就可以了，
如果有多种情况，则必须一一否定．
三、板书设计
1．等腰三角形的判定定理：有两
个角相等的三角形是等腰三角形(等角
对等边)．
2．反证法
(1)假设结论不成立；
(2)从假设出发推出矛盾；
(3)假设不成立，则结论成立．
解决几何证明题时，应结合图形，联
想我们已学过的定义、公理、定理等
知识，寻找结论成立所需要的条件．要
特别注意的是，不要遗漏题目中的已
知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法.。