09-10(2)高数1(A)

合集下载

北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案

北京科技大学2009--2010学年第一学期高等数学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级学号姓名考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。

高等数学a大一教材答案详解

高等数学a大一教材答案详解一、导数与微分在高等数学A的大一教材中，导数与微分是一个重要的内容。

导数是用于描述函数变化率的工具，它可以帮助我们分析函数的性质和求解问题。

下面我们将对导数与微分的相关知识进行详细解答。

1. 导数的概念及计算方法导数描述了函数在某一点的切线斜率，可以通过以下公式计算：$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中，$f(x)$表示函数，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的变化量。

通过不断减小$\Delta x$的值，我们可以得到函数在某一点的导数。

2. 常见函数的导数根据导数的定义和计算方法，我们可以得到一些常见函数的导数计算公式，如：- 幂函数 $y=x^n$ 的导数为 $y'=nx^{n-1}$- 指数函数 $y=a^x$ 的导数为 $y'=a^x\ln{a}$- 对数函数 $y=\log_a{x}$ 的导数为 $y'=\frac{1}{x\ln{a}}$- 三角函数的导数如下：- 正弦函数 $y=\sin{x}$ 的导数为 $y'=\cos{x}$- 余弦函数 $y=\cos{x}$ 的导数为 $y'=-\sin{x}$- 正切函数 $y=\tan{x}$ 的导数为 $y'=\sec^2{x}$3. 导数的性质与应用导数具有一些重要的性质，例如：- 若函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，那么它在 $x=a$ 处连续。

- 函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处的切线方程为 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$。

导数在实际问题中的应用十分广泛，例如可以用于求解函数的极值、优化问题以及描述物理过程中的变化率等。

0910高等数学A（二）答案

0910高等数学A（二）答案第一篇：0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学A（二）任课教师：张苏梅等一、填空题（每小题3分，共18分）1.yzez-xy；2.y=2x3-x2；3.2xdx+2ydy；π∞(-1)n(2x)2n4.0；5.2；6..12(1-n∑=0(2n)!)，(-∞,+∞)二、选择题（每小题3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、计算题（每小题8分，共32分）1.解：∂z∂x=1ycosxy；.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解：⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解：dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解：⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题（每小题8分，共16分）1.解：由椭球的对称性，不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点，内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0)，其体积为：V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ（x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得（x，y，z）=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解：Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、（8分）解：因为limana=limn=1，所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、（8分）解：① 设u=x2+y2，则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理，2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp，du则原方程化为：dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得：p=CC，即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得：C1=0.函数f(u)的表达式为：f(u)=ln|u|.......8分第二篇：1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学B（二）任课教师：一、填空题（每小题2分，共10分）1、2dx+dy，2、-5，3、1，4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题（每小题2分，共10分）1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题（每小题8分，共40分）1、解：令F=x2+y2+z2-2z，则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解：⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解：⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解：ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解：收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=（x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题（每小11分，共33分）ϖ1、解：交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解：令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解：旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D：x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题（每小题7分，共7分）ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证：x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇：专升本高等数学(二)成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。

09-10-2高数(AB)期末试卷和答案(最新整理)

f (0) ，于是
x
x
2 f (0) lim lim 0 f (t)dt 0 f (t)dt lim f (x) f (x)
x0
x0
x2
x0
2x
1 2
lim
x0
f (x) x
f (0)
f (x) x
f
(0)
f (0) ，由于
f (0) 0 ，所以 lim x0
1
。
2
0
6
五（17）．（本题满分 6 分）已知方程 x2 ln(1 x2 ) a 在区间 (1,1) 内存在两个互异的实 2
根，试确定常数 a 的取值范围.
解
设
f (x)
x2 2
ln(1 x2 ) a ，令
f (x)
x
1
2
x x2
x
x2 x2
1 0 ，得唯一驻点 x 0 ， 1
当 1 x 0 时， f (x) 0 ，当 0 x 1时， f (x) 0 ，因此 fmax f (0) a 0 ，
，于是特解为
y
1 2
1 4
(x2
x)
1 2
(1
x)e2x
四（16）．（本题满分 8 分）设函数 y f (x) 在区间[0,1] 上可导，在 (0,1) 内恒取正值，且
满足 xf (x) f (x) 3x2 ，又由曲线 y f (x) 与直线 x 1, y 0 所围成的图形 S 的面积为
x
lim
x0
4 x4
sin
sin
x 2
x
sin
sin
x 2
x
lim
x0
x
sin x3

立信高数微积分试卷A解答

2009-2010学年第二学期09级本科《微积分（二）》期终考试试卷（A ）解答一、单项选择题（每题仅有一个答案正确）（共10分，每题2分）1、（D ）2、（A ）3、（D ）4、（C ）5、（A ）二、填空题（将最简答案填在横线上）（共15分，每题3分））1、设f x y x y xy y (,)+-=+2，则),(x y f =)(21x y y - 2、设y x yez +=，则d z = []y y x y e y x d )1(d +++ 3、D ：122≤+y x ，则σd e D y x ⎰⎰+22= )1(-e π4、∑∞=11n p n ，当p 满足条件 p>1 时收敛。

5、微分方程()112+'+=-x y e y 的通解为 ()()x e C y+-=12 三、计算题（共36分，每题6分）1、设u xy x =+sin()2，试求u u x y ,。

解：u y xy x =+221cos()（3分） u xy xy y =22cos()（6分）2、设u x y z z x y(,,)=+22，试求d u 。

解：d d d d u u x x u y y u zz =++∂∂∂∂∂∂ （2分） =-++++222222z x x y y x y z x y (d d )()d ()（6分） 3、求微分方程(1ln ln )y y y x x'=+-的通解。

解：令,,y xu y u xu ''=∴=+ 1分原方程化为：ln dy x u u dx =，ln du dx u u x=⎰⎰ 4分积分得：lnln ln ln u x C =+，即Cx u e =， 5分所以通解为Cxy xe =。

6分4、计算二重积分dxdy y x D ⎰⎰+22其中D ：x 2+y 2≤2x .D2cos 2200320d d 2d 328cos d 4322328 6339r r r d r r πθπθθθθ⋅===⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ 5、若函数z x y xy ax by c =+++++22322在点(,)-23处取得极值3，求常数a b c,,之积abc ，并判定该极值是极大还是极小。

高数A(一)第一章习题答案

《高等数学教程》第一章习题答案习题1-1 (A)1.(1)),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ (2)]1,0()0,1[⋃-(3)),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ (4)πk x ≠且),2,1,0(2±±=+≠k k x ππ (5)),2,1,0()352,32( ±±=++k k k ππππ(6)]3,1[- 2.202)(6,916,6h x +++ 3.0,22,22,21 5.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数(6)当)(x f 为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；当)(x f 为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数. (7)偶函数 (8)奇函数6.(1)是周期函数，π2=T (2)是周期函数，4=T (3)是周期函数，4=T (4)不是周期函数7.(1)a cx b dx y -+-=(2)2arcsin 31xy = (3)21-=-x e y (4)xxy -=1log 2(5)2xx e e y --=8.(1)2,x a u u y -== (2)2,x u e y u == (3)cos ,lg ==u u y (4)x v tgv u u y 6,,2=== (5)21,,cos ,xw e v v u arctgu y w -==== (6)22,ln ,ln ,x w w v v u u y ====9.(1)]1,1[- (2) zk k k ∈+])12(,2[ππ (3)]1,[a a --(4)若210≤<a ,则]1,[a a D -=；若21>a ，则=D Ф. 10.4)]([x x =ϕϕ，xx 22)]([=ψψ，x x 22)]([=ψϕ，22)]([x x =ϕψ. 11.1,4-==b a12.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g13.)20(,])2([22r h h r h V <<-=π14.πααπααππ20,4)2(242223<<--=r V 15.),2(,])[(32232+∞--=r r r h h r V π16.(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<⋅--≤≤=1600,751600100,01.0)100(901000,90x x x x p(2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600,151600100,01.0311000,30)60(2x x x x x x x x p p(3)21000=p (元)习题1-1 (B)1.)(x f 为偶函数.2.41)1(,2)(222-+=--=xx xx f x x f 3.⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x g f ，⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x f g4.22123x x ++ 8.⎩⎨⎧-≤-<<--=-1,101,1)(x x e x f x9.]0,(,)1ln()(-∞-=x x g10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数. 12.1)2005(=f习题1-2 (A)1.(1)121+n ,0 (2)11)1(1+-+n n ,0 (3)2+n n,1 (4)1)1()1(+-⋅+n n ,没有极限(5)222)1(1)1(2)1(1+++++++n n n n ,21 (6)2)2)(1()1(++-n n ,没有极限.2.(1)17; (2)24; (3)]3[ε3.0,]1[ε习题1-3 (A)3.0002.0=δ4.397≥Z6.1)(lim )(lim 00==+-→→x f x f x x ,1)(lim 0=→x f x 1)(lim 0-=-→x x ϕ,1)(lim 0=+→x x ϕ,)(lim 0x x ϕ→不存在.习题1-4 (A)3.(1)0; (2)0; (3)04.0lim 1=-→y x ; ∞=→y x 1lim 习题1-4 (B)3.x x y cos =在),(+∞-∞上无界，但当+∞→x 时，此函数不是无穷大. 5.当1,0==b a 时，)(x f 是无穷小量；当b a ,0≠为任意实数时，)(x f 是无穷大量.习题1-5 (A)1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)103; (5)231aa -; (6)23x ; (7)34; (8)1-. 2.(1)43-; (2)0; (3)∞; (4)41-;(5)503020532⋅; (6) 41-.3.(1)⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<1,11,010,1a a a ; (2)3; (3)34; (4)21-4.(1)10; (2)2)(m n mn -; (3)n m; (4)0; (5)0; (6)21; (7)43; (8)21.习题1-5 (B)1.(1)2; (2)21-; (3)561-; (4)2)13(2-a (5)23; (6)⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>2,2,12,0k k k ; (7)2; (8)0 .2.1,1-==βα3.9=a4.1,1-==b a5.不一定.习题1-6 (A)1.(1)2; (2)3; (3)21; (4)-1; (5)a cos ； (6)2π; (7)1; (8)2; (9)1; (10)x . 2.(1)1-e ; (2)2e ; (3)2-e ; (4)2-e ; (5)1-e ; (6)2e .习题1-6 (B)1.(1)21; (2)π2; (3)1; (4)0;(5)0; (6)1; (7)0; (8)1-e . 2.(4)3; (5)251+. 习题1-7 (A)1. 当0→x 时，34x x -比32x x +为高阶无穷小.2. (1)同阶，但不是等价； (2)同阶，且为等价.3.21=α 4.m =α6.(1)23; (2)⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<nm n m nm ,,1,0; (3)21;(4)21; (5)b a ; (6)41.习题1-7 (B)1.(1)32; (2)2e ; (3)21; (4)0; (5)1; (6)41-; (7)∞; (8)1. 5.x x x x p 32)(23++=. 6.a A ln .习题1-8 (A)1.1=a2.)(x f 在0=x 处连续3.(1)1=x 为可去间断点，补充2)1(-=f2=x 为第二类间断点(2)0=x 和2ππ+=k x 为可去间断点，补充0)2(,1)0(=+=ππk f f ；)0(≠=k k x π为第二类间断点.(3)1=x 为第一类间断点 (4)0=x 为第二类间断点.4.(1)1=x 为可去间断点，补充32)1(=f ;(2)0=x 为可去间断点，补充21)0(=f ；(3)1=x 为可去间断点，补充2)1(π-=f ；0=x 为第二类间断点；(4)2=x 为可去间断点，补充41)2(=f ；0=x 为第一类间断点；2-=x 为第二类间断点. (5)0=x 为第一类间断点； (6)a x =为第一类间断点; (7)1=x 为第一类间断点; (8)1-=x 为第二类间断点.习题1-8 (B)1. 1±=x 为第一类间断点.2. 1,0==b a3. 25=a 4. ),2,1,0(22 ±±=-=n n a ππ5. 0,=-=b a π6. (1)当1,0≠=b a 时，有无穷间断点0=x ； (2)当e b a =≠,1时，有无穷间断点1=x .习题1-9 (A)1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞---∞21)(l i m 0=→x f x ，58)(lim 3-=-→x f x ，∞=→)(lim 2x f x .2.连续区间为：),0(),0,(+∞-∞.3. (1) -1; (2) 1; (3) h ; (4) -1; (5) 22-; (6) -2; (7) 1; (8) 1; (9) ab ; (10) 5e ; (11) -1; (12) 2. 4. 1=a 5. 1=a习题1-9 (B)1. (1)0=x 为第一类间断点； (2)1-=x 为第一类间断点； (3)0=x 为第一类间断点; (4)1±=x 为第一类间断点; (5)无间断点.2. 1,0==b a3. (1)1-e ; (2)21-e ; (3)a e cot ; (4)0;(5)0; (6)-2; (7)21; (8)82π.4.21总复习题一一. 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D二.1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0,0,)(22x x x x x x f2. ]2,2[,)1arcsin(2--x3. －14. 必要，充分5. 必要，充分6. 充分必要7.21 8. b a = 9.56 10. 第二类，第一类三. 1. 11)(-+=x x x ϕ 2. 20051,20052004=-=βα 3. 1lim =∞→n n x 4. 4 5. 4e 6. －50 7.a ln 218. 当0≤α时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-=>βα时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-≠>βα时，)(x f 在0=x 处不连续. 9. 82-部分习题选解习题1-2 (B)1. 根据数列极限的定义证明：(1))0(1lim 时>=∞→a a nn证明：(ⅰ) 0>∀ε当1>a 时，令)0(1>+=n n n h h a n nn n n n n nh h h n n nh h a >++-++=+=∴ 22)1(1)1( εεan na h n ><<<∴0∴取1][+=εaN ，当N n >时，有ε<<=-nah a n n 1，即1lim =∞→n n a(ⅱ)当1=a 时，显然成立. (ⅲ)当10<<a 时，令11>=ab ∴11lim lim ==∞→∞→nn nn ab∴1lim =∞→nn a 综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，∴当0>a 时，有1lim =∞→nn a . 习题1-6 (B)3.设0,00>y x ，n n n y x x =+1，21nn n y x y +=+. 证明：n n n n y x ∞→∞→=lim lim 证明：2nn n n y x y x +≤),2,1,0(011 =≤≤∴++n y x n nnnn n n n nn n n n n y y y y x y x x x y x x =+≤+==≥=∴++2211),2,1,0( =n 由此可知数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少，又011110y y y y x x x x n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤++ ∴}{n x 与}{n y 都是有界的.由“单调有界数列必有极限”准则， ∴}{n x ，}{n y 都收敛.设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim由21n n n y x y +=+，2lim lim n n n n n y x y +=∴∞→∞→ b a b a b =⇒+=∴2即n n n n y x ∞→∞→=lim lim . 习题1-10 (B)3.设函数)(x f 在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ，试证：对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=. 证明：令)1,0(,)()()(∈∀+-=l l x f x f x F )(x f 在]1,0[上连续，)(l x f +在]1,[l l --上连续， )(x F ∴在]1,0[l -上连续.又 0)1()1()1()1(0)()()0()0(≥-=--=-≤-=-=l f f l f l F l f l f f F )0)((≥x f 0)1()0(≤-⋅∴l F F(ⅰ)若0)0(=F ，取00=x ，即)()0(l f f = (ⅱ)若0)1(=-l F ，取l x -=10，即)1()1(f l f =- (ⅲ))01(,0)0(≠-≠l F F 0)1()0(<-⋅∴l F F 由零点存在定理，必存在一点]1,0[0l x -∈，使0)(0=x F ，即)()(00l x f x f +=.综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.总复习题一三.11.设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x f 在],[b a 上无零点. 证明)(x f 在],[b a 上不变号.证明：(反证法)假设)(x f 在],[b a 变号，即],[,21b a x x ∈∃，使0)(,0)(21<>x f x f 即0)()(21<⋅x f x f )(x f 在],[b a 上连续，∴)(x f 在],[21x x 上连续. 由零点存在定理知，),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使0)(=ξf 即ξ是)(x f 在],[b a 上的一个零点. 这与)(x f 在],[b a 上无零点矛盾， )(x f ∴在],[b a 上不变号.。

20092010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准

20092010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准2009-2010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准一、选择题（每小题4分，共24分。

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分）1．当0x x →时，)(x α、)(x β都是无穷小，则当0x x →时（）不一定是无穷小.(A) )()(x x βα+， (B) )()(22x x βα+ ， (C) [])()(1ln x x βα⋅+， (D) )()(2x x βα。

【解】应选D 。

2. 设a 不是π的整数倍，极限ax ax ax -→⎪⎭⎫⎝⎛1sin sin lim 的值是（）.（A ） 1，（B ）e ，（C ）ae cot ，（D ）ae tan 。

【解】应选C 。

事实上ax a x ax a x a a x a x -→-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛11sin sin sin 1lim sin sin limaa x a x ax a a x a a x sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim ⋅---→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=aa e sin 1cos ⋅=ae cot =。

3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0 ,0 ,1sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则=a （）.（A ）1，（B ） 0，（C ）e （D ）1-。

【解】应选D 。

事实上由于()a e a x x e x x f axx axx x 212cos lim 1sin lim )(lim 2020+=⋅+=-+=→→→，而af =)0(，要使函数)(x f 在0=x 处连续，必需且只需)0()(lim 0f x f x =→，即a a =+21，解得1-=a 。

4. 设函数)(x f 在点a x =处可导，那么极限=--+→hh a f h a f h )2()(lim 0（）. （A ） )(3a f '，（B ）)(2a f '，(C) )(a f '，（D ）)(31a f ' 。

高数I(一)A及答案

1 ⎧ ⎪ 1+ x , x ≥ 0 ⎪ 2．设 f ( x ) = ⎨ ⎪ cos x , x < 0 ⎪ ⎩ 2 + sin x
求
∫π
−
4
f ( x )dx ．
2
序号
封
3．设函数 y = f ( x) 由参数方程 ⎨ 班级
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y 所确定，求、． 2 d x d x = − y t t arctan ⎩
…… 5 分 …… 6 分
sin x (cos x ln x + )dx x
= ln( 2 +
序号
sin x ) − π + ∫
2
2t dt 01+ t
2
…… 4 分 …… 6 分
= ln 2 + 4 − 2 ln 3 3、已知 f ( x) 的一个原函数是解：
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y 3、设函数 y = f ( x) 由参数方程 ⎨ 所确定，求、 . dx d x 2 ⎩ y = t − arctan t
．．
2．设 f ( x) =
e x −1 e +1
1 x
，则 x = 0 是 f ( x) 的（ B. 跳跃间断点； D. 连续点．
）．
1．函数 y = 学号
2 − x + ln( x − 1) 的定义域为
A. 可去间断点； C. 第二类间断点； 3． lim(e + x) x =（
x x →0 1
2015 年秋季学期《高等数学 (一)》课程期末考试试卷（A 卷）
注意：1、本试卷共 3 页； 3、姓名、学号必须写在指定地方； 2、考试时间 110 分钟； 4、阅卷负责人签名： 1．设 f ( x) = x + ln(1 + x) ，当 x → 0 时，有（

高等数学A(1)复习资料

高数A （1）复习资料一、极限计算：常用方法包括等价无穷小替换，洛必达法则，两个重要极限。

解题思路：首先判断是否为未定式，否则化成未定式类型（特别注意幂指函数情形利用对数函数性质转化；加减法类型一般通分；如果无穷多项相加则要先求和，如果不能直接求和可能需要利用夹逼准则放缩后后再求和；），对于未定式类型先考虑利用等价无穷小替换后再利用洛必达法则。

注意：函数中如果出现幂指函数类型也可以考虑直接利用第二个重要极限处理，注意处理技巧。

如果出现变上限函数类型，注意变上限函数的导数如何计算，特别是上限为x 的函数，也就是积分上限函数为复合函数时求导要利用链式法则；如果积分上限函数被积函数不是积分变量的一元函数，则将其他变量提出到积分号外面，或者利用换元法化到积分限上。

常用等价无穷小：2~cos 1~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin 2x x x x x x x x x x -，，x x x e x x x αα~1)1(,~1,~)1ln(-+-+（0→x ）练习题：1．设822lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，则___________=a ； 2． ____________________arctan lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x x x ；3．=+→xx x sin 2)31(lim .4. 0tan sin lim sin x x x x x→-- 5. 0ln sin 5lim ln sin 2x x x →+ 6. 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 7. 2220(1)limxtx x t e dtx-→+∞+⎰2220(1)1[lim]2xt xx t e dt xe →+∞+==⎰二、无穷小比较：高阶，同阶，等价的定义处理思路：转化为求极限问题，特别是同阶无穷小；注意如果分式极限存在，分母为无穷小量，则分子也一定为无穷小量。

1011高数A(一)试题及解答

三、求极限（每小题8分，共16分）
1.
e x sin x 1 lim x 0 x2
e x cos x e x sin x 1 解：原式 lim lim . x 0 2x x 0 2 2
2.
lim
x 0
sin x 0
e dt sin x x3
e
sin 2 x
分析
极限存在可导
连续可微
key : B
4. 若函数f ( x )在开区间(a , b)内 f ( x ) 0，f ( x ) 0,
则函数f ( x )在此区间内是（ C A.单调减少，曲线凸的 C .单调减少，曲线凹的） B .单调增加，曲线凸的 D .单调增加，曲线凹的
分析利用函数的一阶导数和二阶导数符号判断函数的单调性和凹凸性.
七、证明题（7分）
证明：当0 x 1时， x )ln (1 x ) x . (1
2 2
解: 设 f ( x ) x －(1 x )ln (1 x )，0 x 1.
2 2
f ( x ) 2 x ln2 (1 x ) 2ln(1 x )， 2 2 2 [ x ln(1 x )] f ( x ) 2 ln(1 x ) 1 x 1 x 1 x
q 8q ( px qx )dx 2 , 4 6p 3(1 q)
2
3
3
所以q 3是唯一的极大值点，从而是最大值点. 故当q 3时所围图形的面积最大. 此时p 4.
x t 2 2t 2. 设函数y y( x )由参数方程确定, y ln(1 t ) 求曲线y y( x )在x 3处的法线与x轴交点的横坐标.

2009-2010高等I答案(A卷)解答

广州大学2009-2010学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时A 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题4分,本大题满分20分)1．22212lim ()n n nnn→∞+++= 12,22212lim ()12n n n n n n→∞+++=+++ 12.2．设ln(1),0()2sin 1,0ax x f x xx x +⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩,则0lim ()x f x -→= 1 ,当常数=a 2 时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线221xy x =+有斜渐近线y =12x 和铅直渐近线=x 12-.4．曲线323y x x =-的拐点横坐标为=x 1 ，凸区间为(,1]-∞. 5．方程0y y '''-=的特征方程为20r r -=,通解为y =12xC e C +.二．选择题(每小题2分, 本大题满分10分)1. 当0→x 时, 11x +-是2x 的( B )无穷小. (A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价.2．1lim (12)x x x →∞+=( D ).(A) 1; (B) e ; (C) e ; (D) 2e .3．函数23()(2)||f x x x x x =+--的不可导点的个数是( C ). (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.4．二阶可导函数)(x f 在点0x x =处取得极值的充分条件是( D ). (A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0>''x f ;(C) 0()0f x ''<; (D) 0)(0='x f 且0()0f x ''≠. 5. 设)(x f 是连续函数,()F x 是)(x f 的一个原函数,则( A ). (A) 当)(x f 是奇函数时,()F x 必是偶函数;(B) 当)(x f 是偶函数时,()F x 必是奇函数;(C) 当)(x f 是周期函数时,()F x 必是周期函数;(D) 当)(x f 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.三．解答下列各题(每小题6分，本大题满分18分)1．ln(cos )y x =，求dy .解: 1(cos)cosy x x''=…………………………………………………2分sin ()cosxx x-'=⋅………………………………………………………3分1tan 2x x =-…………………………………………………………4分 1tan2dy x dx x=- ……………………………………………………6分2．求由方程ln 1xy y +=所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数. 解: 把方程两边分别对x 求导数得10y xy y y''++=………………………………………………………4分当0x =时,y e =,代入上式得20|x y e ='=- ……………………………………6分3．求曲线222211t x tty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩上在参数2t =相应的点处的切线方程. 解: 切点坐标为44(,)55……………………………………………………………1分22222(1)dx tdt t -=+,222(1)dy t dtt =+2()()1dy y t tdxx t t'=='- ……………………………………………………4分切线斜率为 22|3t dyk dx ===-…………………………………………………… 5分切线方程为 424()535y x -=--,即 2340x y +-= ……………………………………………………6分四．解答下列各题(每小题6分，本大题满分12分)1．计算极限011lim ()1xx xe →--.解: 原式01lim(1)xxx e x x e →--=- ………………………………………………………1分 01lim1xxxx e e xe→-=-+ ……………………………………………………3分lim 2xxxx ee xe→=+………………………………………………………5分12= ……………………………………………………………………6分2．设2009()(1)()f x x g x =-,其中()g x 在1x =处连续,且(1)1g =,求(1)f '. 解: 1()(1)(1)lim1x f x f f x →-'=-200911lim()1x xg x x →-=-……………………………3分200911lim1x xx →-=-20081lim 20092009x x→==……………………………6分注: 20082009()2009()(1)()f x x g x x g x ''=+-,(1)2009(1)2009f g '==. 给3分.五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分)1．21(1)dx x x +⎰. 解: 原积分2221(1)x xdx x x +-=+⎰211xdx dx xx=-+⎰⎰……………………………2分2211ln ||(1)21x d x x=-++⎰………………………………………4分21ln ||ln(1)2x x C =-++ …………………………………………6分2．124x dx -⎰.解: 令2sin x t =,arcsin2x t =,则124x dx -⎰2604cos tdt π=⎰…………………………………………3分60(22cos 2)t dt π=+⎰[]6032sin 232t t ππ=+=+……………………6分3.20xxedx --∞⎰.解: 原积分2021()2xed x --∞=--⎰……………………………………………2分21[]2xe--∞=- ………………………………………………………4分12=-………………………………………………………………6分六．（本题满分5分）证明: 当1>x 时,ln 1x x x >-. 证明: 令1ln )(+-=x x x x f , 则x x f ln )(='当1>x 时, 0ln >x , 从而0)(>'x f因此)(x f 在区间),1[∞+单调增加 ……………………………………………3分当1>x 时,0)1()(=>f x f ,即得1ln ->x x x ……………………………………………………………5分七．（本大题满分10分）如图所示, 平行于y 轴的动直线被曲线()y f x =与3y x =截下的线段PQ 之长数值上等于曲线()y f x =和x 轴及直线PQ 所围成曲边三角形的面积(阴影部分), 求曲线()y f x =的方程. 解: 由题意可得3()()x f t dt x f x =-⎰……2分两边求导得2()3()f x x f x '=- ……4分解此微分方程得2()[3]dx dx f x e x e dx C -⎰⎰=+⎰……6分2[3]x xe x e dx C -=+⎰ 2[36]x x xe x e xe dx C -=-+⎰2[366]xxxxe x e xe e C -=-++……9分由0|0x y ==,得6C =-,所求曲线为23666xy x x e-=-+- ……10分3y x=()y f x =POxxyQ八．（本题满分7分）设()f x 在区间[,]a a -上连续, (1)证明: 0()[()()]a a af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰;(2)利用(1)的结果计算: 44cos 1xx dx eππ--+⎰.(1）证明: 00()()()a a aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰令t x -=, 则0()a f x dx -⎰0()()a f t dt =--⎰0()a f x dx =-⎰所以 0()[()()]a a af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰………………………………4分(2）由(1)得44co s 1xx d x eππ--+⎰40cos cos []11xxx x dx eeπ-=+++⎰40cos xdx π=⎰22=……………………………………………………7分。

09-10高等数学期末试题参考答案(A)

东海科技学院 2009 - 2010学年第二学期《高等数学》课程期末考试卷A 参考答案一、选择题（每小题3分，共计15分）1．二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为（ B ） A ．x x e C e C y 3221--+= B ．x x e C e C y 3221+=- C ．x x e C e C y 3221-+= D ．x x e C e C y 3221+=2．过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ A ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 3．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（ A ）A ．②⇒③⇒①B ．③⇒②⇒①C ．③⇒④⇒①D ．③⇒①⇒④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ C ）A B C D5．下列级数中，收敛的是（ D ） A ．∑∞=11i nB ．∑∞=1321i n C ．∑∞=11i n D ．∑∞=-11)1(i n n二、填空题：（每小题3分，共计15分）1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y ．（答案：2x Ce y =）学院专业班级姓名学2.=+→xy yx y x 2lim)2,1(),( ．（答案：2）3. 222y x z +=表示空间曲面．（答案：抛物面）4．⎰⎰=1010xydy dx ．（答案：41）5. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分⎰Lds y = ．（答案：)155(121-）三、计算题：（每小题6分，共计48分） 1．设2221y x z +=，求全微分dz . 解：x xz=∂∂ ……………………………………………………………….2分 y yz2=∂∂……………………………………………………………….2分 y d y x d x dz 2+=………………………………………………………2分 2．设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅和b a ⨯．解：51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a …………………………….3分}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i k j ib a ………………………..3分3．求过点()132,，-且平行于直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的直线方程.解：直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的方向向量为k j i kj i 135251132++=-- …………………………………….4分所求直线方程为1315312-=-=+z y x ……………………………….2分 4．设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.解：k j i k f j f i f f z y x +-=++=∇22 ………………………………….4分31)2(222=+-+=∇f …………………………………………….2分5．计算二重积分σd xy ⎰⎰D，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.解：把D 看成X 型区域{}x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分89)(21213211D=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx d xy xσ………………………….4分 6．计算三重积分dV x e y )2sin (2⎰⎰⎰Ω+，其中Ω：10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x .解：注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称，x e y sin 2为x 的奇函数…….2分4112212sin )2sin (22=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdV dV x e dV x ey y …...4分7．L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求⎰-Lydx x dy xy 22.解：y x P 2-=，2xy Q =………………………………………………….2分由格林公式⎰-Lydx x dy xy 22σσd y x d y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂=)()(22 ⎰⎰=⋅=ππρρρθ20122d d …..………………4分8．判断级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+的敛散性. 解：注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞=+≤∑∞=+122)12(n nn …………………………….2分而级数∑∞=+122)12(n nn 利用比值审敛法，得 121lim1<=+∞→nn n u u ………………………....2分则由比较审敛法，级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+收敛.…………………....2分四、解答题（每小题8分，共计16分）1. 求二阶非齐次线性微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型（其中2,1)(-==λx P m ）…….2分且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442=++r r ,特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分设原方程的一个特解为x e ax y 22*-=代入原方程解出21=a ………………....2分则原方程通解为()xx e x e x C C y 2222121--++=....................................................2分 2．设)(x f 的周期为π2，且在],[ππ-上2)(x x f =，试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解：依题)(x f 在],[∞-∞上连续，且满足狄利克雷收敛定理条件，则0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分3222020πππ==⎰dx x a ,…………………………………….……2分⎰⎰⎰===ππππππ02020sin 2cos 2cos )(2nx d x n dx nx x dx nx x f a n⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππππ02002c o s 4s i n 2s i n 2nx xd n dx nx x nx x n 2002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ ),2,1( =n ……2分由收敛性定理可知，∑∞=-+=1222c o s )1(43n n n nx x π …………….……………….……2分五、应用题（本题6分）某养殖场饲养两种鱼。

2009-10-1高等数学(A)试题答案(A卷)

2009-10-1高等数学（A ）期末考试试题答案一、填空题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、32、03、=-+tan .x x c4、3202)()(33x x x x x ∆+∆+∆ 5、42220πx a x dx a-⎰ 二、解答下列各题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)1、解：，，f f b f a ()()()001000-=+== …………………………3分当时处处连续a b f x ==1() …………………………5分2、解：),(+∞-∞函数定义域，)2)(2(3x x y +-='， ……………………………2分(],2,[2,][2,2]-∞-+∞-故函数在上单调减,在上单调增 ………………………… 5分三、解答下列各题(本大题共5小题，每小题6分，总计30分)1、解原式:lim =--+→x x x x 2223126181226lim 21218x xx →==-…………………………………每步2分2、⎰+82d 2x x ⎰+=4d 212x x =+++1242ln .x x c ………………………每步3分 3、解：在上连续可导，又f x e f x e x x ()(,),()=-∞+∞'= …………………………2分由f x x f x f x x x ()()()+-='+∆∆∆θ，得e e e x x x x x x ++-=⋅∆∆∆θ ………………………5分1lnx e x xθθ∆-∆=∆解得，这就是所求的的值 ……………………………………………………6分 4、原式=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰x x x dx 341212011()=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥472323174323201x x x ()=-47432 ……每步2分5、x xdx x t dx tdt 221-==⎰ 令 sin .cos …………………………………………1分原式22sin 1cos 211cos sin sin 2cos 222t t tdt tdt dt t t c t -⎡⎤====-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ …………………………5分 [].1arcsin 212c x x x +--=…………………………………………6分四、证明下列各题(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)1、证：⎰⎰'=''babax f xd dx x f x )()( ='-'⎰xf x f x dx a b ab()()………………………………4分='-'-bf b af a f x a b ()()() …………………………………………6分[][]='--'-bf b f b af a f a ()()()() …………………………………………8分2、:0,,()[,],,T x f t x x T ∀>+证对及充分大的在上可导利用拉格朗日中值定理则至少存在(,),x x T ξ∈+使 ()()()f x T f x f T ξ'+-=⋅ ………………………………………3分 []T f x f T x f x x x ⋅ξ'=-++∞→+∞→+∞→)(lim )()(lim ,取极限有上式两边令 ……………………6分lim ()T f Ta ξξ→+∞'== ……………………………………………………………………8分五、解答下列各题(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)1、解：设圆锥形漏斗的高为则锥底面半径为Hcm R H cm ,=-4002漏斗的体积，V H H H =-<<π34000202()………………………………………………3分2(4003),(020)3V H H π'=-=在，内唯一驻点，20V H π''=-< ……………………6分此时漏斗体积最大由实际问题可知也是极大值点故唯一驻点,,3320=H …………8分 2、解)1(3d 2 c x x y y +=''='⎰ ………………………………………2分(0,2)222362,(1)33x y y x y -'-==-=又由得　代入得'=+y x 3232 ………………………5分c x x x x y ++=+=∴⎰32d )323(32.232,2)2,0(3-+=∴-=-x x y c 代入得再将 …………8分六、解答下列各题(本大题共1小题，总计8分) 解：'=⋅⋅-≠<y x x x22112002ln ， ………………………………………………4分'=-<φ()ln x x xx 122202　， ……………………………………………………………4分。

MK_09-10(2)高数A(二)、B(二)试卷

安徽大学2009—2010学年第二学期院/系专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学A （二）、B （二）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）题号一二三四五总分得分阅卷人一、填空题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）得分1．点(2到平面的距离为 ,1,1)10x y z +−+=.2．极限222lim x x y xy x y →+∞→+∞⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠ .3．交换积分次序 /2sin 0 0d (,)d xx f x y y π=∫∫.4．设()f x 是周期为2的函数，它在区间(1,1]−上的定义为则32,10,(),01,x f x x x −<≤⎧=⎨<≤⎩()f x 的Fourier 级数在1x =处收敛于.5．函数u x 在点处沿方向的方向导数为 yz =(1,1,1)(2,2,1).得分二、选择题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）6. 二元函数(,)f x y =(0处（） ,0)A. 连续，但偏导数不存在； B ．不连续，且偏导数不存在；C ．不连续，但偏导数存在；D ．连续，且偏导数存在.7．设第二类曲面积分1d d SI xyz z x =∫∫，22d d SI xy z z x =∫∫，其中为的上半部分,方向取上侧．若为在第一卦限部分，且与方向一致，则（）S 2221x y z ++=1S S S A ．； B. 120I I ==10I =，1222d S d I xy z z x =∫∫；C. 112d S d I xyz z x =∫∫，1222d S d I xy z z x =∫∫； D. 112d S d I xyz z x =∫∫，.20I =8. 设为中开区域，且内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于Ω3\ΩΩ的曲面，函数在Ω内连续可导．若曲线积分只依赖于曲线,,P Q R d d d LP x Q y R z ++∫L 的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是（）A ．对Ω内任意光滑闭曲线，曲线积分C d d d CP x Q y R z 0++=∫v ；B. 存在Ω上某个三元函数，使得(,,)u x y z d d d d u P x Q y R z =++；C. 等式,,P Q R P Q Ry x x z z y∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂在开区域Ω内恒成立； D. 等式0P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂在开区域Ω内恒成立. 9. 设函数(,)f x y 在开区域内有二阶连续偏导数, 且D 0000(,)(,)0x y f x y f x y ==．则下列为(,)f x y 在点00(,)x y 处取极小值的充分条件的是（）A. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y >−><><B. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y >−C. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y <−D. . 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y <−10. 设函数具有二阶连续偏导数，则(,,)u f x y z =div f =grad ( )A. xx yy zz f f f ++；B. x y z f f f ++；C. (,,)x y z f f f ；D. (,,)xx yy zz f f f .三、计算题（本大题共五小题，其中第11、12、13题每小题10分，第14、15题每小题12分，共54分）得分11. 设平面：通过曲面Π0x ay z b +−+=2z x y 2=+在点处的法线(1,1,2)L ，求的值． ,a b12. 计算第二类曲线积分22d d Ly x x yx y −+∫v ，其中L 为正方形边界||，取顺时针方向．||1x y +=院/系专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13．计算第一类曲面积分222d z S x y z Σ++∫∫，其中Σ为圆柱面222x y R +=)(0R >介于平面与0z =z h =（）之间的部分． 0h >.14．将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数，并求级数0(1)21nn n ∞=−+∑的和．15．设函数()f u 具有二阶连续导数，且.(sin )x z f e y =(1) 求2222,.z z x y∂∂∂∂（2）若函数满足方程(sin )xz f e y =22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求函数().f u四、应用题（本大题共两小题，其中第16题10分，第17题6分，共16分）得分------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16. 将一根长为l 的铁丝分割成两段，一段围成一个圆，另一段围成一个长方形．求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法．17. 已知一条非均匀金属线L 放置于平面上，刚好为抛物线Oxy 2y x =对应于01x ≤≤的那一段，且它在点(,)x y 处的线密度为(,)x y x ρ=，求该金属丝的质量．院/系专业姓名学号答题勿超装订线得分五、证明题（本大题共两小题，其中第18题6分，第19题4分，共10分）18．证明级数11(1)ln n n n n ∞=+−∑条件收敛．19．设空间闭区域可表示为{(Ω,,)|01,1,}x y z x x y x z y ≤≤≤≤≤≤.若()f t 在[0上连续，且.试证明：,1](,,)()()()F x y z f x f y f z =1301(,,)d d d [()d ]6F x y z x y z f t t Ω=∫∫∫∫.。

高等数学1教材答案解析完整版

高等数学1教材答案解析完整版一、函数与极限在高等数学1教材中，函数与极限是一个重要的章节。

本章主要介绍了函数的定义、性质和分类，以及极限的概念、性质和计算方法。

1. 函数的定义和性质函数是数学中的一个重要概念，用于描述两个数集之间的对应关系。

在高等数学1教材中，函数的定义为：设有两个非空数集A和B，如果对于每一个A中的元素x，都有且只有一个B中的元素y与之对应，那么就称这种对应为函数。

函数通常用f(x)表示。

函数还有一些重要的性质，包括定义域、值域和图像。

定义域是指函数的自变量可能取值的集合，值域是指函数的因变量可能取值的集合，图像是指函数在平面上的点的集合。

通过这些性质，我们可以更好地理解函数的特点。

2. 极限的概念和性质在高等数学1教材中，极限是函数与变量之间的重要关系。

极限的概念可以从两个方向进行讨论：自变量趋于某一点时的极限和自变量趋于无穷大时的极限。

对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们称L为函数f(x)当x趋于a时的极限。

极限还具有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性和保号性。

唯一性指的是函数的极限值是唯一确定的；局部有界性指的是在某一点的某一邻域内，函数的值有上界和下界；保号性指的是当函数的极限存在且不为零时，函数在某一点附近总是保持正号或负号。

二、导数与微分导数与微分是高等数学1教材中的另一个重要章节。

本章主要介绍了导数与微分的概念、性质和计算方法。

1. 导数的定义和性质导数是函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的局部性质。

在高等数学1教材中，导数的定义为：设函数f(x)在点x处有定义，在x处若极限\[f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]存在，则称此极限为函数f(x)在点x处的导数。

常用的导数符号为f'(x)或$\frac{df}{dx}$。

09级上高等数学

学号
2008～2009 第一学年第 2 学期
B卷
机电一体化专业高等数学课程期末试卷标准答案（即评分
标准）
一. 单项选择题 1—5 C C C B C
二.填空题
6---10 B B B D C 11---15 C B C C D
所以面积为
1
S 0 (
x
x)dx
(2
x
3 2
1
1
x2)
1
32
6
0
（
D y2 xy 0
）
C
1 A
A11
A21
A12 A22
A13
A23
A31 A32 A33
D
1 A
A11
A12
A21 A22
A31
A32
A13 A23 A33
7、反常积分
1
1 x2
dx
A
B1
1
C
3
D 1
（
）
13、 d ( 1 etdt) dx cos x
（
）
A ecos x
本试卷共 2 页，此页为第 2 页
学号
f (b) f (a)
A
2
b
B f (x)dx a
1b
C
f (x)dx
ba a
f (b) f (a)
D
ba
15、设级数 () : un 和级数 () :1 2 1000 un ，则下列正确的是（
n1
n1
A 若 () 收敛，则 () 发散
B 若 () 发散，则 () 收敛
C 若 () 收敛，则 () 发散
2 1 1

西安工业大学高数09-10第一学期（1）期末考题及答案分析

西安⼯业⼤学⾼数09-10第⼀学期（1）期末考题及答案分析⾼等数学（A ）期末考试试题⼀、单项选择题（每⼩题3分，共15分）1.当0→x 时，下列变量极限不存在的是（）. （A ）x arctan ；（B ）xx 1sin；（C ）xx +-11ln；（D ）x e 1.2.0)(,0)(00<''='x f x f 是函数)(x f y =在0x x =处取得极⼤值的⼀个（）（A ）充分必要条件；（B ）充分条件，⾮必要条件；（C ）必要条件，⾮充分条件；（D ）既⾮充分条件，⼜⾮必要条件.3.下列等式成⽴的是（）（A ）)()(x f dx x f d =?；（B ）dx x f dx x f d )()(=?；（C ）)()(x f dx x f ='? （D ）dx x f dx x f ?=')()(. 4.设)(x f 在],[b a 上⾮负，在),(b a 内,0)(,0)(>''>'x f x f 记[])()(21b f a f ab I +-=，dxx f I b a=)(2，)()(3a f a b I -=，则（）（A ）321I I I <<；（B ）132I I I <<；（C ）123I I I <<；（D ）213I I I <<. 5.关于函数dte t xf t)1()(的极值，正确的是（）（A ）极⼩值为f -=1)1(；（B ）极⼩值为 e f -=2)1(；（C ）极⼤值为 e f -=1)1(；（D ）极⼤值为 e f -=2)1(. ⼆、填空题（每⼩题3分，共15分） 1.设0→x 时，)cos(1ax -与12 -xe是等价⽆穷⼩，则=a .2.设函数)(x f 可导，)(cos 2x f y =，则=dy .3.设曲线的⽅程是)1ln(2x y +=，则曲线的拐点是 .4.不定积分=+?dx x x 1 .5.设曲线)(x f y =上任⼀点),(y x M 处的切线，恒垂直于此点与原点的连线，则y满⾜的微分⽅程是 .三、完成下列各题（每⼩题6分，共36分） 1. 求极限??--→x e xx 111lim 0. 2. 设 ,212=-=tt ey e x 求 22dx yd . 3.设函数)(x y 是由1)1(022=+-?dt t y x y所确定，求dy .4.设xx sin 是)(x f 的⼀个原函数，求dx x f x ?')(.5设?∞+-∞→=+121lim dx xex xaxx ，求a .6.求⼀阶微分⽅程yedxdy x -=-+1)1(的通解.四、（7分）设())1(1ln )(21>++=?x xx dt tt f x ，求dxx f ?)(.五、（7分）已知)(x f 在点6=x 的邻域内为可导函数,且,0)(lim 6=→x f x ,2009)(lim 6='→x f x 求极限 .)6()(lim3666x dtdu u f t x t x -→六、（8分）在抛物线)30(2≤≤=x x y 上求⼀点P ,过P 点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及直线3,0==x y 所围成的图形⾯积最⼩.七、（7分）设 ,0<+≥+=x ex x x f x 求?-2)1(dx x f .⼋、（5分）已知函数)(x f 在),2[∞+上可导，0)(>x f ，且满⾜不等式)(])([x f x xf -≤'.试证在),2[∞+上2)(xA x f ≤，其中A 为与x ⽆关的常数.⾼等数学（A ）期末考试试题参考答案及评分标准（2010年1⽉5⽇）⼀、单项选择题（每⼩题3分，共15分） 1.D 2.B 3.B 4.C 5.B ⼆、填空题（每⼩题3分，共15分）.12±2. xdx sin )x (cosf 22'- 3 . )ln ,(21±4. C )x ()x (++-+2325132152 5.yx dxdy -=三、完成下列各题（每⼩题6分，共36分）.1. 解：)e (x )e (x lim x e lim xxx x x 1111100---=??? ?--→→……………………………………………..1分 21x x +-=→………………………………………………..2分xel i mxx 210-=→………………………………………………….....2分2120-=-=→xx limx ………………………………………………….1分2. 解：ttt eee dxdy 1222==………………………………………………………………………3分tttteeee dxy d 322222121-…………………………………...…………………….3分3. 解：两端同时对x 求导得…………………………………………………………………..1分 0122 2=+-+dxdy )y (dxdy xxy ………………………………………………….3分2212x y xy dxdy -+=……………………………………………………………..….1分即dx xy xydy 2212-+=………………………………………..………………………1分4. 解：由题意知2xxsin x cos x )xx sin ()x (f -='=……………………………………2分则)x (df x dx )x (f x ??=' ………………………………………………………. …….…1分 dx )x (f )x (xf ?-=…………………………………………………………….…… 2分C xx sin x cos C xx sin x………………………….1分5解：因为 aaxx axx ex lim x lim 2222121=+=??+∞→∞→………………………………2分[][]+∞-+∞→+∞-+∞-+∞-+∞--+-=+-=-=?111xxxee)ex (lim dx exexdedx xeeeelim e)e (lim xx xx 2111=+-+-=-+∞→+∞→……………..…………………..3分所以 )(l n a eea122122-= =………………………………...………....1分6.解：由题意得y+11,也即dx x dy eeyy 111+=+……………………….2分两端同时积分得C ln )x ln()e ln(dx x dy eeyyy++=+?+=+?11111………3分所以原微分⽅程的通解为 )x (C ey11+=+ 或 []11-+=)x (C ln y ………….....1分四、（7分）解：对()211xx ln dt t)t (f x ++=?两端同时求导得……………………..1分222x (xx x)x (f +=+=++++ =……...2分C x)x(d xdx xx dx )x (f ++=++= +=∴2222111121 1…………...3分五、（7分）解：2 6603666636)x (du)u (f x lim)x x t x --=-→→…………………………2分)x ()x (xf du )u (f limxx --=?→6666………………………………………………2分660-'---=→)x (f x )x (f )x (f limx …………………………………………2分2009= …………………………………………………………………...…1分六、（8分）在抛物线)x (x y 302≤≤=上求⼀点P ,过P 点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及直线30==x ,y 所围成的图形⾯积最⼩.解：设切点P 的坐标为)x ()y ,x (30000≤≤，则切线斜率为002x )x (y ='，切线⽅程为 )x x (x y y 0002-=-，即2002x x x y -=，…………………………….1分令0=y ，得切线与x 轴交点的横坐标为20x ，令3=x ，得切线与直线3=x 交点的纵坐标为2006x x -，要使此切线与抛物线及直线30==x ,y 所围成的图形⾯积最⼩，既是切线与直线30==x ,y 所围成的图形⾯积最⼤…………………………………………….2分设该⾯积为S ,则)x x )(x ()x (S 2000062321--=………………..……………….2分[]0000020026641262321641x )x ()x ()x )(x ()x x ()x (S ---=--=')x )(x (002643--=………………………..……………………………..2分令00=')x (S ，得惟⼀驻点20=x ，依题意，该驻点就是使)x (S 0取得最⼤值的点，所以所求的点P 的坐标为),()y ,x (4200=…………………………………………...…….1分七、（7分）解：?---======-11111201dx )x (f dt )t (f dx )x (f x t ……………………..2分[]1001100111111111)x ln(de)ee(dx xdx exxxx+++-=+++=--….3分[][][])e (ln )x ln()eln(x x12111001+=+++-=-………….........………2分⼋、（5分）已知函数)x (f 在),[∞+2上可导，0>)x (f ，且满⾜不等式)x (f ])x (xf [-≤'.试证在),[∞+2上2xA )x (f ≤，其中A 为与x ⽆关的常数.证：由于)x (f 在),[∞+2上可导，0>)x (f ，则x)x (f )x (f )x (f )x (f x )x (f )x (f ])x (xf [2-≤'?-≤'+?-≤'…..2分于是当2>x 时有dt t dt )t (f )t (f x x ?-≤'222……………………………….1分即[][]222222442222x)(f )x (f x(f )x (f x ln )(f )x (f ln t ln )t (f ln x x ≤≤≤?-≤-令)(f A 24=，代⼊即证………………………………………………………………2分。

安徽大学2009--2010《高等数学》试卷与解答

安徽大学2009--2010《高等数学》试卷与解答安徽大学2009--2010学年第一学期《高等数学A(一)》考试试卷(A 卷)(闭卷时间120分钟)一、填空题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)1. 若+∞→x lim （12+-x x -（ax+b ））= 0, 则a =▁▁▁▁▁▁▁▁▁，b = ▁▁▁▁▁▁▁▁ .2. 设函数y = y(x)由方程52arctan 2=+-=e ty y t x t所确定，y = y(x) 关于x 的一.3.若f(x)= ,0,1sin x x a00=≠x x 在x=0处右导数存在，则a 的取值区间为▁▁▁▁▁▁. 4.求lnx 在x 0=1处带有Lagrange 型余项的n 阶Taylor 展开式: ▁▁▁▁▁▁▁▁5. 微分方程y "+y '=x 的通解为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.二、选择题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)1. 已知数列{x n }、{y n }满足∞→n lim x n y n =0, 则下列断言正确的是( ).A. 若{x n }发散, 则{y n }不发散.B. 若{x n }无界, 则{y n }必有界C. 若{x n }有界, 则{y n }必为无穷小量.D. 若{nx 1}为无穷小量, 则{y n }必为无穷小量. 选 D. 理由:A ，B 不正确，如x n ==-=k n n k n 2,12,0,y n ==-=kn k n n 2,012,C 不正确如2. 设f(x)= ∞→n lim1sin )1(2+-nx xn ,则( ).A.f(0)不存在.B. f(0) 存在，且x=0为可去间断点.处连续.3. 曲线y=x 4-2x 2+2的拐点个数为( ).A. 0.B. 1.C. 2 D . 3.4. 设f '(x) 存在且连续，则[?)(x df ]'= ( ).A. f '(x).B. f '(x)+C. C. f(x).D. f(x)+C. 选A. 理由:?)(x df =f(x)+C5. 设f(x) 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是( ). A. dt t f x2)(. B.dt t f t f t x-+0C.dt t f x2)(. D.dt t f t f t x--0))()((选B. 理由:A,D 不正确:)(2t f ,t(f(t)-f(-t)) 均为偶函数;B 正确:t(f(t)+f(-t)) 为奇函数; C 不正确: 当f(x) 为奇函数或偶函数时)(2x f 为偶函数三、计算题(本题共8小题, 每小题7分, 共56分)1. ∞→n limn n n n 22cos sin +2. 若0lim →x x x f cos 1)(- = 4, 求0lim →x (1+xx f )()x1.3. 设a>0, a 1>0, a 1+n =21(a n +n a a ), n=1,2, …. 求极限∞→n lim a n4. 0lim →x 21xxtt sin 02arctan dt .+++)1ln(1)1(1x x dx . (x>0)6.?-112x x dx . (x>0)7. 设xsin 是f(x) 的一个原函数, 求?103)('dx x f x .8. 求曲线Γ: y =dt t xsin (x ∈[0, π]) 的长.四、综合分析题(本题共2小题, 每小题7分, 共14分)1.讨论函数y =(x+1)2-3｜x ｜在[-3,3)上的最值.2. 讨论广义积分?∞++01nmx x dx (n ≥0)的敛散性。