排列组合练习题—导学案

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人教版-数学-二年级上册-【精品】《排列组合》同步导学案

思考：做一做与学海探秘有什么不同？
我明白：一种情况与顺序（），称为( )；
另一种情况与顺序（），称为( )。
四、练兵场：1、P101练习二十三的第1、2题。
2、用数字0、1、2能摆出几个两位数？
3、用数字1、2、3、4能摆出几个两位数？
安阳外国语小学导学案
年级：二年级学科：数学主备人：杜秀芬审核人：
主人姓名：班级：本周训练主题：
课题、实验等活动，找出最简单的事物排列数和组合数；
2、在活动中提高我的初步的观察、分析及推理能力；
3、初步培养我的有顺序到、全面地思考问题的意识。
重难点预设：有顺序地、全面地思考问题的数学思想。
学习过程：
一、小热身：你能用数字1、2摆出几个两位数？（自己摆摆看）
我摆的两位数是：（）、（）
我明白:两个卡片的排列（）不同，就表示不同的两位数。
二、学海探秘：你能用数字1、2、3摆出几个两位数？
你是怎么摆的？你用什么方法能保证不重复、不遗漏？
（先独立思考，然后可以和组员商量一下）
我摆的两位数是：
三、牛刀初试：P99的做一做第1、2小题。

排列组合导学案

龙文教育个性化辅导教学案学生:日期: 年月日第次时段: 教学课题排列组合—导学案教学目标考点分析1.理解排列、组合的概念．2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3.能解决简单的实际问题.重点难点排列、组合的概念，利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，利用排列组合解决实际问题．教学方法讲练结合法、启发式教学教学过程一、排列与排列数1．排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.二、组合与组合数1．组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.三、排列数、组合数的公式及性质公式排列数公式＝＝组合数公式===性质(1)A n n＝；(2)0！＝(1)C0n＝；(2)C m n＝；(3)C m n＋C m－1n＝备注n，m∈N*且m≤n四、课堂基础演练1．(教材习题改编)电视台在直播2012伦敦奥运会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连播．则不同的播放方式有( )A．120 B．48C．36 D．182．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有( )A．35 B．70C．210 D．1053．将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”(可以不相邻)，这样的排列种数为( )A．12 B．20C．40 D．604．某班3名同学去参加5项活动，每人只参加1项，同一项活动最多2人参加，则3人参加活动的方案共有________种(用数字作答)．5．从3名男生、4名女生中，选派1名男生、2名女生参加辩论赛，则不同的选派方法共有________种．五、考题精练[例1] (2012·义乌模拟)2011年深圳世界大学生运动会火炬传递在A、B、C、D、E、F六个城市之间进行，以A为起点，F为终点，B与C必须接连传递，E必须在D的前面传递，且每个城市只经过一次，那么火炬传递的不同路线共有________种．[例2] (2010·湖北高考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务者活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )A．152 B．126C．90 D．54[例3] (2011·北京海淀区期末)世博会期间，某班有四名学生参加了志愿者工作．将这四名学生分到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有( )A．36种 B．30种C．24种 D．20种若本例改成甲、乙不能分到同一个馆的分配方案有几种？六、巧练模拟1．(2012·金华联考)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A．36种 B．42种C．48种 D．54种2．(2012·苏北四市联考)有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于________．(用数字作答)3.(2011·潍坊模拟)如图，M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有 ( )A．8种 B．12种C．16种 D．20种4．(2012·丽水月考)从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有( ) A．36种B．30种C．42种D．60种5.(2012·昌平区模拟)将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为( )A．6种 B．12种C．18种D．24种6．(2011·威海模拟)12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A257．(2012·开封定位评估)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( )A．60 B．48C．42 D．36七、考题范例(12分)(2011·舟山模拟)有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．本节知识总结与题1．要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤．2．求解排列组合应用问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．3.求排列应用题的主要方法(1)对无限制条件的问题——直接法；(2)对有限制条件的问题，对于不同题型可采取直接法或间接法，具体如下：①每个元素都有附加条件——列表法或树图法；后感悟 ②有特殊元素或特殊位置——优先排列法；③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法；④有不相邻元素(间隔排列)——插空法.4. 组合问题的两种主要类型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考题逆向思维，用间接法处理.5. 对于限制条件较复杂的排列组合应用题要周密分析，设计出合理的方案．与排列组合有关的应用题往往比较复杂，一般要分类解决，应首先考虑有限制条件的元素或位置．课后作业一、选择题 1．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( ) A ．85 B ．86C ．91D ．902．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种3．从5张100元，3张200元，2张300元的运动会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的不同的选法共有( )A ．70种B ．80种C ．90种D ．100种4．2012年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有( )A ．1 440种B ．1 360种C ．1 282种D ．1 128种5．霓虹灯的一个部位由7个小灯泡并排组成，每个灯泡均可以亮出红色或黄色，现设计每次变换只闪亮其中的三个灯泡，且相邻的两个灯泡不同时亮，则一共可以呈现出不同的变换形式的种数为( )A ．20B ．30C ．50D ．80二、填空题6．(2012·本溪模拟)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)7．(2012·北京模拟)三个人坐在一排八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．三、解答题8．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法共有多少种？9．某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有多少种？10．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？(4)医疗队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？学生对于本次课评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：教师评定：1、上次作业评价：○非常好○好○一般○需要优化2、上课情况评价：○非常好○好○一般○需要优化教师签字：教务主任签字：___________龙文教育教务处。

高三一轮复习导学案排列组合1

第十二章排列组合、二项式定理、概率(1)12．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点诠释重点：理解分类加法与分步乘法计数原理，并会应用其解决实际问题．难点：计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理．典例精析题型一分类计数原理【例1】高三一班有学生50人，男30人，女20人；高三二班有学生60人，男30人，女30人；高三三班有学生55人，男35人，女20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学校学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？【方法归纳】分类计数原理，首先将完成一件事的方法分类，然后再计算各类方法中分别有多少种方法可以完成该事件，最后求其和．注意：每类方法可以独立完成．【举一反三】1.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( D )A．3 B．4 C．6 D．8题型二分步计数原理【例2】已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)点P可表示多少个不在直线y＝x上的点？【思路分析】(1)由于a∈M，b∈M，分两步选取，故用乘法原理；(2)同(1)，且满足a<0且b>0；(3)同(1)，且满足a≠b.(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.【方法归纳】利用分步乘法计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．【举一反三】2.从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有240 种．【解析】题型三分类和分步计数原理综合应用【例3】(2011长郡中学月考)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________．【思路分析】可按涂相同颜色的区域分类计数．【解析】【方法归纳】对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类．【举一反三】3.某个同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．(1)若他从这些书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选两本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？【解析】体验高考(2011大纲全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种【解析】【举一反三】(2011全国)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( B )A．12种B．24种C．30种D．36种【解析】。

高中数学高二理科选修23排列组合导学案

《排列（1）》导学案【学习目标】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导.【重点难点】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导.【学法指导】（预习教材P14~ P18，找出疑惑之处）复习1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？【教学过程】（一）导入探究任务一：排列问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？新知1：排列的定义一般地，从n个元素中取出m（）个元素，按照一定的排成一排，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.试试：写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？探究任务二：排列数及其排列数公式新知2 排列数的定义从个元素中取出（nm≤）个元素的的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合表示.试试：从4个不同元素a，b, c，d中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？问题：⑴从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？⑵从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？⑶从n个不同元素中取出m（nm≤）个元素的排列数是多少？新知3 排列数公式从n个不同元素中取出m（nm≤）个元素的排列数=mnA新知4 全排列从n个不同元素中取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为=nnA（二）深入学习例1计算：⑴410A;⑵218A; ⑶441010AA÷.变式：计算下列各式：⑴215A; ⑵66A⑶28382AA-; ⑷6688AA.例2若17161554mnA=⨯⨯⨯⨯⨯L，则n=，m=．变式:乘积(55)(56)(68)(69)n n n n----L用排列数符号表示．（,n N∈）例3 求证： 11--=m n m n nA A变式求证： 7766778878A A A A =+-小结：排列数m n A 可以用阶乘表示为mn A =※ 动手试试练2. 从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？ .【当堂检测】1. 计算：=+243545A A ;2.. 计算：=+++44342414A A A A ；3. 某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行场比赛；4. 5人站成一排照相，共有种不同的站法；5. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到个不同的三位数.1. 求证：11211--++=-n n n n n n A n A A2. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？3.一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？【反思】1. 排列数的定义2. 排列数公式及其全排列公式《排列（2）》导学案【学习目标】1熟练掌握排列数公式；2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【重点难点】1熟练掌握排列数公式；2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【学法指导】（预习教材P 5~ P 10，找出疑惑之处）复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是和；两个排列相同的条件是相同，也复习2：排列数公式：mn A ＝（,,m n N m n *∈≤）全排列数：n n A ＝＝ .复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是，全部取出的排列数是【教学过程】（一）导入探究任务一：排列数公式应用的条件问题1： ⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ ⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？新知：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.探究任务二：解决排列问题的基本方法问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等.（二）深入学习例1 （1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？（3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？变式：：某小组6个人排队照相留念．(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ (4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？(5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法. 例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数. （1）没有重复数字的四位偶数？（2）比1325大的没有重复数字四位数？变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，⑴ 能组成多少个没有重复数字的四位奇数？ ⑵ 能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？※ 动手试试练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？练2.在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？【当堂检测】1. 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的质量，要在土质相同的土地上进行试验，应该安排的试验区共有块.2. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中，不同的投寄方法有种.3. 用1，2，3，4，5，6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是.4. 现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有种不同的方法.5. 在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，则不同的排法有种.1.．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？2.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？【反思】1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.《组合（1）》导学案【学习目标】1.正确理解组合与组合数的概念；2.弄清组合与排列之间的关系；3. 会做组合数的简单运算；.【重点难点】1.正确理解组合与组合数的概念；2.弄清组合与排列之间的关系；3. 会做组合数的简单运算；【学法指导】（预习教材P21~ P23，找出疑惑之处）复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是和 . 复习2：排列数的定义：从个不同元素中，任取个元素的排列的个数叫做从n个元素中取出m 元素的排列数，用符号表示复习3：排列数公式：mnA= （,,m n N m n*∈≤）【教学过程】（一）导入探究任务一：组合的概念问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？新知：一般地，从个元素中取出 ()m n ≤个元素一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.试试：试写出集合{}a,b,c,d,e 的所有含有2个元素的子集.反思：组合与元素的顺序关，两个相同的组合需要个条件，是；排列与组合有何关系？探究任务二．组合数的概念：从n 个元素中取出m ()m n ≤个元素的组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号表示．探究任务三组合数公式 m n C ＝＝我们规定：=0nC （二）深入学习例1 甲、乙、丙、丁4个人，（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况；（2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？变式：甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛：（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠亚军的可能情况.小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合.例2 计算：（1）47C ；（2）710C变式：求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C※ 动手试试练1.计算：⑴ 26C ； ⑵ 38C ；⑶ 2637C C -； ⑷ 253823C C -.练2. 已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？【当堂检测】1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通次电话．2. 设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =⊂，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有个.3. 计算：310C = .4. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .5.写出从a,b,c,d,e 中每次取3个元素且包含字母a ，不包含字母b 的所有组合1.计算：⑴ 215C ； ⑵ 2836C C ÷；2. 圆上有10个点：⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？、【反思】1. 正确理解组合和组合数的概念2.组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==L 或者：)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且《组合（2）》导学案【学习目标】1. 2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题；【重点难点】 1. 2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题；【学法指导】（预习教材P 24~ P 25，找出疑惑之处）复习1：从个元素中取出 ()m n ≤个元素一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从个元素中取出 ()m n ≤个元素的组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号表示.复习2：组合数公式： m n C ＝＝【教学过程】（一）导入探究任务一：组合数的性质问题1：高二（6）班有42个同学⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？ ⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？ ⑶ 上面两个问题有何关系？新知1：组合数的性质1：mn n m n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn n m n C C -=试试：计算：1820C反思：⑴若y x =，一定有yn x n C C =？⑵若yn x n C C =，一定有y x =吗？问题2 从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类是不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这个元素中取出个元素与1a 组成的，共有个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这个元素中取出个元素组成的，共有个．从中你能得到什么结论？新知2 组合数性质2 m n C 1+＝m n C +1-m n C （二）深入学习例1（1）计算：69584737C C C C +++；变式1：计算2222345100C C C C ++++L例2 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C变式2：证明：111m m m n n n C C C ++++=小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式.例3解不等式()321010n n-C n -<∈+C N .练3 ：解不等式：46n nC C <※ 动手试试练1.若542216444x x C -C C C -=+，求x 的值练2. 解方程：（1）3213113-+=x x C C（2）333222101+-+-+=+x x x x x A C C【当堂检测】1. 908910099C -C ＝2. 若231212n n-C C =，则n =3.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是；4. 若7781n n n C C C +=+，则n = ； 5. 化简：9981m m m C -C C ++= .1. 计算：⑴ 197200C ; ⑵ 21-+•n n n n C C2. 壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？3. 若128n n C C =，求21n C 的值【反思】1. 组合数的性质1：mn n m n C C -= 2. 组合数性质2：mn C 1+＝mn C +1-m n C《组合（3）》导学案【学习目标】1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题. 【重点难点】1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题. 【学法指导】（预习教材P 27~ P 28，找出疑惑之处）复习1：⑴ 从个元素中取出 ()m n ≤个元素的组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．，用符号表示；从个元素中取出（n m ≤）个元素的的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合表示.⑵ mn A ＝m n C ＝＝ m n A 与m n C 关系公式是复习2：组合数的性质1：．组合数的性质2：．【教学过程】（一）导入探究任务一：排列组合的应用问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问： ⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？（二）深入学习例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. ⑴ 有多少种不同的抽法？⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ ⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？变式：在200件产品中有2件次品，从中任取5件：⑴其中恰有2件次品的抽法有多少种？⑵其中恰有1件次品的抽法有多少种？⑶其中没有次品的抽法有多少种？⑷其中至少有1件次品的抽法有多少种？小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步.例2 现有6本不同书，分别求下列分法种数：⑴分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；⑵分给3个人，一人3本，一人2本，一人1本；⑶平均分成三堆.变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例 3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用一种颜色，问共有几种不同的着色方法？变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法?※动手试试练1. 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？练2. 高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动,（1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?（2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种?（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种?（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种?【当堂检测】1. 凸五边形对角线有条；2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有个；3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是；4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是；5. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？1. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.⑴如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选法？⑵如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？⑶如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？⑷如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【反思】1. 正确区分排列组合问题2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.。

排列组合综合导学案(11)

班级第小组，姓名学号高二（下）数学导学案（11）第 1 页共 1页第十章排列组合-----综合应用（1）一、学习目标：1.处理排列组合问题的总原则：①弄清事件的背景，首先搞清有无顺序要求，若有则用m n A ，反之用mn C ；②弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类达到的，从而正确运用计数原理，一个复杂问题往往是分类与分步交织在一起的；③最后看一下元素可否重复。

2掌握典型题型的技巧解法 ⑴相邻问题----捆绑法 ⑵相离问题----插空法 ⑶多元问题----分类法 ⑷标号排位问题----分步法 ⑸至少问题----间接法 ⑹选排问题----先取后排法 ⑺组排问题----先组后排法二、学习重点与难点重点：提高实战能力；难点：提高实战能力；三、学习过程1.将9人排成三排，每排3人，甲在第一排，乙、丙在第三排，这样的排法有（）A ．662313A A A 种B ．()3331426A C C 种Ｃ．3333143326A C A A C ++种Ｄ．331426A A A 种2.从7名运动员中选出4名组成1004⨯米接力队，其中，甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？3.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有多少个（有数字作答）？4.有10个三好生的名额，分配给高二年级6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？5.（1）四个不同．．的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子内，问恰有一个空盒的放法有多少种？（2）四个相同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子内，恰有一个空盒的放法有多少种？6.（09辽宁）从5名男医生，4名女医生中选3名医生，组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有种。

7.在北京奥运会开始前，组委会要在8名志愿服务者中挑选6人分别去奥运会场馆“鸟巢”和“水立方”进行实地培训，每处3人，其中甲、乙两人不能分到同一组，且乙不能去水立方，则不同的安排方法种数为。

导学案排列组合复习(日照实验高中导学案)

日照实验高中2007级导学案——计数原理排列组合单元复习学习目标：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．学习重点难点：排列组合的综合应用自主学习:1.基本概念: 排列与排列数、组合与组合数2.基本公式: 排列数公式、组合数公式、组合数的两个性质3.排列组合的解题原则:（1）深入弄清问题的情景要深入弄清问题的情景，切实把握各因素之间的相互关系，不可分析不透，就用或乱套一气.具体地说:首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用，如果无“顺序”要求，就用；其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的，前者用分步计数原理，后者用分类计数原理.事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用分步计数原理，哪一步用分类计数原理.（2）两个方向的解题途径对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是正面直接解，一个是反面排除法.前者是指按要求，一点一点选出符合要求的方案，后者是指先按照全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案排除掉.这两个途径的优劣因题而异.一般地，一道题目“正面解”很繁琐时，“反面排除”往往简单，反之亦然.（3）分析问题的两个方向分析问题时，我们往往从元素和位置两个方向插手，一般情况，从算理上说，从特殊元素和特殊位置两个方向都能解决问题.但具体问题从特元与特位上作对比，则可能大相径庭，差距很大。

因此平常做题时，这两种训练都要进行. （4）特别强调一题多解一题多解，可以从不同角度分析同一问题，加深对分类计数原理、分步计数原理及排列组合的深刻认识与体会，同时，一题多解也是解排列组合问题最有效，最主要的检验方法.4．对常见问题分类总结关于数字问题，要注意“0”这个特元，关于人或物的排列问题，要注意元素相邻，往往采取“捆绑法”看成一个整体，元素不相邻，则往往采取“插空”的方法.例题解析：例1．（1）用0，1，2，3，4组合多少无重复数字的四位数？教师备课学习笔记（2）这四位数中能被3整除的数有多少个？解:（1）直接分类法:①特元法:②特位法:先考虑首位，可以从1，2，3，4四个数字中任取一个，共种方法，再考虑其它三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个.即种方法，则共有=96种方法，即96个无重复数字的四位数.间接排除法:先从五个数字中任取四个排成四位数:，再排除不符合要求的四位数即0在首位的四位数:.则共有=96个.（2）能被3整除的四位数应该是四位数字之和为3的倍数.分析:因为不含0时，1+2+3+4=10.10不是3的倍数，所以组成的四位数必须有0，即0，1，2，3或0，2，3，4，共有2()=36个.例2．用0，1，2，3，4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列.（1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？解:（1）首位是1，2，3，4组成的五位数各24个.所以第49个数是首位为3的最小的一个自然数，即30124.（2）首位为1组成=24个数；首位为2，第二位为0，1共组成=12个数.首位为2，第二位为3，第三位为0的数共=2个；首位为2，第二位为3，第三位为1，第四位为0的数有1个，为23104.由分类计数原理: +++1=39.按照从小到大的顺序排列23104后面的五位数就是23140，所以23140是第40个数.例3．5男6女排成一列，问（1）5男排在一起有多少种不同排法？（2）5男都不排在一起有多少种排法？教师备课学习笔记（3）5男每两个不排在一起有多少种排法？（4）男女相互间隔有多少种不同的排法？解:（1）先把5男看成一个整体，得，5男之间排列有顺序问题，得，共种.（2）全排列除去5男排在一起即为所求，得.（3）因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得. （4）分析利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得. 例4．3名医生和6名护士被分配到3个单位为职工体检，每单位分配1名医生和2名护士，不同的分配方案有多少种？解:3名医生分到3个单位有种方案，6名护士分到3个单位，每个单位2名有种，根据分步计数原理，共有=540种方案.例5．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个点，可以组成多少个不同的三棱锥？解:组成三棱锥，只需4个点不共面，考虑到直接法有困难，故采用间接排除法.从10个点中任取4个点有中，其中4个点共面有三类情况:①4个点位于四面体的同一面中，有4种；②取任一条棱上的3个点，及该棱对棱的中点，这四点共面共有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面有3种，所以不同的取法共有-4-6-3=141种.例6．求证（1）；（2）证明:（1）另一种解释:对于含某元素a的(n+1)个元素中取m个元素的排列可分为两类，一教师备课学习笔记类是不含元素a的，有个；另一类是含元素a的，有m个，因此共有(+m)个，即+m=.（2）∴.另一种解释:对于含有某元素a的(n+1)个元素中取m个元素的组合可分为两类，一类是不含元素a的，有个；另一类是含元素a的有个，因此共有(+)个，即课堂巩固：1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）.A、24个B、30个C、40个D、60个2．5男2女排成一排，若女生不能排在两端，且又要相邻，不同的排法有（）.A、480种B、960种C、720种D、1440种3．某天课表中6节课需从4门文科，4门理科中选出6门课程排出，其中文科交叉排，且一、二节必须排语文、数学，则不同的排法共有_________种.归纳反思：合作探究：1．在50件产品中有4件是次品，其余均合格，从中任意取出5种，至少3件是次品的取法共有________种.2. 正方体的8个顶点可确定不同的平面个数为________，以这些顶点为顶点的四面体共有__________个. 教师备课学习笔记。

高中数学第一章1.2排列与组合1.2.1排列1课堂导学案

1.2.1 排列 1课堂导学三点剖析一、没有限制条件的排列问题【例1】从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法?解析：从甲、乙、丙3名同学中任选2名分别参加上午、下午的活动，对应于从3个元素中任取2个元素的一个排列，因此共有23A =3×2=6种不同的方法.温馨提示判断是否是排列问题，关键是看是否与顺序有关.此问题的活动分上午和下午.甲参加上午的活动，乙参加下午的活动与甲参加下午的活动，乙参加上午的活动是不同的选派方法，与顺序有关.因此，此题是排列问题.二、有限制条件的排列问题【例2】用0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的六位数?解法一：从特殊元素入手，0只能放在除十万位外的其他五个数位上，故共组成665615A A A +∙=4 320个没有重复数字的六位数. 解法二：从特殊位置入手，十万位不能排0，可先从其他6个数字中选出一个数字排到该位上，其他位置可随意排列，故共组成5616A A ∙=4 320(个)没有重复数字的六位数. 解法三：用排除法：先不考虑任何限制条件，共组成67A 个六位数，但需去掉0在十万位上的情形，有56A 种，故共有67A -56A =4 320(个)没有重复数字的六位数.温馨提示有限制条件的排列问题，往往先考虑有限制条件的特殊元素或特殊位置，这可叫“特殊元素(位置)优先法”.三、处理排列问题的典型问题和方法【例3】三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法?解析：(1)(捆绑法)因为三个女生必须在一起，所以可以把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排共有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有66A ·33A =4 320种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间一个空，这样共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，使得每个位置至多有一个女生插入，就能保证任意两个女生都不相邻，因此共有55A ·36A =14 400种不同的排法.(3)(位置分析法)：因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2人，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余6位都有66A 种排法，所以共有25A ·66A =14 400种不同的排法.(4)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可以有15A ·77A 种不同的排法；如果首位是女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，共有13A ·15A ·66A 种不同的排法，所以共有15A ·77A +13A ·15A ·66A =36 000种不同的排法. 各个击破【类题演练1】5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的选法?解析：不同选法的种数有35A =5×4×3=60(种).【变式提升1】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号?解析：用1面旗表示的信号有13A 种，用2面旗表示的信号有23A 种，用3面旗表示的信号有33A 种，根据分类计数原理，所求的信号数是13A +23A +33A =3+3×2+3×2×1=15(种).【类题演练2】某年级开设语文、政治、外语、体育、数学、物理、化学七门课程，依下列条件课程表有多少种不同排法.(1)一天开设七门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第七节；(2)一天开设四门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第四节.解析：(1)从元素考虑先满足体育后再安排其他课，从2-6节中任取一节排体育有15A 种排法，再从剩下的6节课中排其它课程有66A 种排法.依乘法原理有15A ·66A =3 600(种).【变式提升2】用0，1，2，…9十个数字可组成多少个没有重复数字的：(1)五位奇数?(2)大于30 000的五位偶数?解析：(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有15A 种取法.取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的八种不同取法.首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位，百位与千位三个数位选取，共有38A 种不同的安排方法.因此由分步计数原理共有5×8×38A =13 440个没有重复数字的五位奇数.(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类： ①末位数字从0，2中选取，则首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共38A 种取法.所以共有2×7×38A 种不同情况.②末位数字从4、6、8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有38A 种选法，所以共有3×6×38A 种不同情况.由分类计数原理，共有2×7×38A +3×6×38A =10 752个比30 000大的无重复数字的五位偶数.【类题演练3】从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法?解析：设全集U={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元集个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=24353546A A A A +--=252(种). 【变式提升3】信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是( )(用数字作答)解析：5面旗全排列有55A 种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是223355A A A ∙=10(种).。

排列与组合习题课(1)导学案高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

排列与组合习题课（1）【学习目标】1. 通过结合具体实例，能区别排列与组合，并能利用排列组合知识解决有关排列组合的简单实际问题；2. 能够分析事件如何完成，并从不同角度解决同一个问题；3. 能正确理解“至多”、“至少”、“恰有几个”等关键词，合理利用直接法和排除法解决实际问题.【知识梳理】1、排列与组合的概念名称定义排列从n 个不同元素中取出()m m n ≤个不同元素组合2、排列数与组合数（1）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.（2）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.3、排列数、组合数的公式及性质公式（1）A m n =；（2）C m n =()!!!n m n m =-（*,n m ∈N ，且m n ≤）.特别地0C n =. 性质（1）0!= ；A n n = ；（2）C C m n m n n -=；11C C C m m m n n n -+=+.【学习任务】例1 （1）有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同的方法种数是多少？（结果用数值表示）（2）要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是多少？（结果用数值表示）例2 用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?【变式1】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个三位数?【变式2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位的偶数?【变式3】由0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正奇数?【变式4】用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_______个.(用数字作答)【变式5】用1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有多少个？例3 现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）若每个盒子都不空，有多少种不同的放法？（3）恰有一个盒子没放球，有多少种不同的放法？（4）恰有两个盒子没放球，有多少种不同的放法？（5）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种不同的放法？【小结】1. 如何区分排列问题和组合问题？2. 如何应用计数原理解决实际问题？3. 本节课你获得了哪些解决排列组合问题的方法？4. “至多”、“至少”、“恰有几个”等关键词如何转化？。

高中数学选修2-3导学案排列组合综合应用(包含2个课时)

排列组合应用问题（第1课时）【教学目标】1.强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。

2.能运用排列组合知识分析实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。

【基础练习】1.将3名同学安排到2个工厂去实习,共有______________种不同的分配方案.2.用0到9这10个数字,可组成______________个没有重复数字的四位偶数.3.一个小组共有组长2人,组员7人,现在要求选出5人参加一项活动,要求这5人中至少一名组长,共有_________________种不同的选法.【合作探究】例1．高二（1）班有30名男生，20名女生。

从50名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？例2．2名女生、4名男生排成一排，问：（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？变式：七个家庭一起外出旅游，若其中四家分别是一个男孩，三家分别是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。

（1）一共用多少种站法？（2）甲站在正中间的排法有几种？（3）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？（4）甲只能排头或排尾，共有几种排法？（5）甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种排法？（6) 若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？（7）若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？（8) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？（9）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？（10）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？例3．从0,1,2，...,9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有多少个？例4六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分成三份，每份2本；(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本.【学以致用】1.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数(1)有多少个五位数(2)有多少个五位数的奇数(3)有多少个大于31250的五位数？2.从6双不同的颜色的鞋子中任取4只，其中恰有两只可以配成一双鞋子的取法有多少种？3.按下列条件,各有多少种不同的送书方法?(1)5本不同的书送给6个人.(2)5本不同的书送给6个人,每人最多1本.(3)6本不同的书送给5人.(4)6本不同的书送给5人,每人最少1本.(5)3本相同的书送给5人,每人最多1本.(6)3本相同的书送给5人.4.有一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对位置不变，再添入3个节目，那么共有多少种不同的安排方法？5.有一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对位置不变,再添入3个节目,共有多少种不同的安排方法？排列组合应用问题（第1课时练习）【基础训练】1.如果有20个代表出席一次会议，每位代表与其他代表握一次手，那么一共握手_______次.2.200件产品中有3件是不合格品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件是不合格品的抽法的种数为___________________________（列出算式）.3.若从一个小组中选出正、副组长各1人与选出4名学生代表的选法种数之比为2:13，则这个小组的人数是_________.4.以正六边形的顶点为顶点的直角三角形共有_______个.5.若不同的5种商品在货架上排成一排，其中,a b两种必修排在一起，而,c d两种不能排在一起，则不同的排法种数共有______种.6.6个男生和4个女生排成一排，若女生既不相邻又不能在两端，则有_____种不同的排法.【思考应用】7.7人站成一排，下列情况中各有多少种不同的站法？（1）甲站在正中间，乙站在排头，丙站在排尾；（2）甲站在乙得右边（不一定相邻）；（3）甲、乙、丙三人中任何两人均不相邻.8.用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个比4032大且没有重复数字的四位数？9.要举办一台文艺晚会，现从高一年级的4个文艺节目中选出2个，高二年级的5个文艺节目中选出3个，高三年级的3个文艺节目中选出2个编制节目，问：有多少种不同的演出顺序？Ð的OA边上有4个异于O点的点，以这10个点（含O点）为顶点，能得到多少个不同的三角10.在AOB形？【拓展提升】A B C D这4所中学任教，每校2人，其中甲、乙两人不得分配到A11.有8名师范大学毕业生被分配到,,,中学去，问：不同的分配方法有多少种？12.空间7个点最多能确定多少对异面直线？排列组合综合应用(第2课时)【教学目标】1.强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。

排列组合导学案

排列组合导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
建三江一中导学案 (高三)编号：
[0,1]，则满足条件的整数对(a，b)共有( )
A．2个 B．5个 C．6个 D．8个
A10有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是 ( ) A．384 B．396 C．432 D．480
A11将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)． 8．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有________种．
A12在△AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，加上O点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有________个．
A13有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：
(1)共有多少种放法
(2)恰有一个空盒，有多少种放法？
(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？
C14一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、蓝、白、绿、黑6种颜色，如图．
(1)6个小扇形分别着上6种颜色，有多少种不同的方法
(2)从这6种颜色中任选5种着色，但相邻两个扇形不能着相同的颜色，有多少种不同的方法
B15用1,2,3,4,5,6组成无重复数字的四位数，然后把它们从小到大排成一个数列．
(1)3145是这个数列的第几项？。

排列、组合的综合应用导学案

2. 有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生，2名女医生到5个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方案？
3. 有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品．现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？
五．课堂小结
解排列、组合的应用题要注意三个问题：
(1)确定问题的属性，即所给问题是排列问题还是组合问题；
(2)确定解题策略，即要分类求解还是分步求解；
(3)选择恰当的解题方法，即是直接法还是间接法.
六．巩固训练（另行印制）。

【精品】高中数学排列组合综合问题导学案

学生/课程年级高二学科授课教师江老师日期时段核心内容排列组合综合问题1.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力2.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.教学重难点1．理解掌握排列、组合的概念2．利用排列数、组合数的公式和性质解决简单问题知识点回顾1.排列（1）排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。

注意：排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。

（3）排列数公式：（）说明：公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数相乘；全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列。

全排列数公式如下：（叫做n的阶乘）（4）阶乘的概念：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列，这时；把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘表示：，即规定．（5）排列数的另一个计算公式：即=。

（6）解排列题基本规律有：对于带限制条件的排列问题，通常从以下几种途径考虑：①特殊元素优先考虑法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；②特殊位置优先考虑法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数．相邻元素捆绑法：先把相邻的元素当成一个整体考虑，然后考虑其他位置，最再考虑相邻的整体。

不相邻元素插空法：先考虑不相邻之外的元素，然后不相邻的元素往空位里面放。

2.组合（1）组合：从n个不同元素中任取m个元素并成一组；（2）组合数：C==；由于，所以.（3）.解题策略：（1）解排列、组合题的依据是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合；（2）解排列、组合问题应注意：①对结果恰当地分类，设计“分组方案”是解排列、组合题的关键所在；②是用“直接法”还是“间接法”求解，其原则是“正难则反”；（3）解决排列、组合问题的常规方法或类型：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；捆绑法：解决相邻问题的方法，把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”排列，要注意是否需要“松绑”，即特殊元素是否要全排列．插空法：解决某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．多排问题单排法：如个学生排成前后两排，每排各个学生的排法数等于个学生排成一排的排法数．隔板法：相同元素的分组分配问题．相同元素之间不考虑先后顺序．定序问题除法处理的策略．先选后排法：不同元素的分组分配问题．先将元素分组，再将元素进行排列．注意：分组问题要注意审清是平均分组还是非平均分组，若是平均分组（如平均分成组）则在计算分组的方法数时别忘了除以至多至少问题常用排除法．互斥问题分类处理！课前练习1.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本．2.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.几种常见的做题方法：1.插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.例1 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？变式练习：1.学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

排列组合导学案

建三江一中导学案 ( 高三 ) 编号：授课教师主备人王影备课组长樊春红备课时间2011年 12月日授课时间2011 年 12 月日年级（科目）高三课题排列组合【学习目标】1、知识与能力：通过创设情境，提出问题，然后探索解决问题的办法。

2、过程与方法：在教学活动中，我通过肯定学生的正确，指出学生的错误，引导学生揭示知识内涵，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。

3、情感、态度与价值观：培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。

【考纲要求】1、理解排列、组合的概念.2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3、能解决简单的实际问题 .【重点难点】重点：理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.难点：能解决简单的实际问题.【学法指导】教是为了不教。

在教学过程中我注意指导学生学会学习，通过启发教给学生获取知识的途径，思考问题的方法。

培养学生主动探究的学习方式。

一【知识链接】一、排列1 、排列的定义：从n 个不同元素中，任取m (m n )个元素（这里的被取元素各不相同）____________________________________ ，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

2、不同的排列的定义：元素和顺序至少有一个不同.3、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列.4、排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m n )个元素的__________叫做从n个元素中取出 m 元素的排列数，用符号_____表示 .5、排列数公式：______________________________________________A nn n(n 1)(n 2) 3 2 1 n! (叫做n 的阶乘)规定0! 1二、组合1、组合的定义：从n 个不同元素中，任取m (m n )个元素，_____________，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2、组合数：从n 个不同的元素中取出m (m n )个元素的____________，用符号____表示.3、组合数公式：__________________________________________________________规定 C n0 1，0! 1这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算，注意公n！m式的逆用，即由= C n4、组合数性质： (1) C n m=_______;(2) C n m+ C n m 1 =__________5、要弄清排列和组合的区别和联系：__________________ 。

《排列组合综合应用》导学案

第8课时排列组合综合应用1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.理解排列、组合的概念,能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,能利用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题.3.培养学生的分类讨论思想.有十个年轻人在一家饭店吃饭,几个人商议想吃免费的午餐.老板说“你们每次来吃饭由我安排座位,如果我安排的座位与前面的哪一次完全重复了,就免去全部费用.”大家以为很快能吃到免费餐,结果一年以后还没吃到.你认为他们有可能吃到吗?问题1:上述情境中,老板安排10个人的座位共有种排法,就算每天吃一餐,也要近一万年才能排完,所以这10个人不可能吃到免费餐.问题2:分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对的是问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法 ,各类中的各种方法也 ,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成,而分步乘法计数原理针对的是问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤 ,完成任何其中的一步都完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成.=n (n-1)(n-2)·…·(n-m+1)=(m ,n ∈N +,m ≤===(m ,n ∈问题4:解决排列组合应用题常见的解题策略 ① 优先的策略; ②合理分类与准确分步的策略;③排列、组合混合问题先选后的策略; ④ 难则、等价转化的策略; ⑤相邻问题处理的策略; ⑥不相邻问题处理的策略; ⑦分排问题处理的策略;⑧定序问题先后处理的策略;⑨“小集团”排列问题先后的策略.1.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有().A.180种B.120种C.96种D.60种2.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,则可以组成的三位数的个数为().A.448B.588C.602D.6723.现有10个保送上大学的名额,分配给7所学校,每校至少有1个名额,问名额分配的方法共有种.4.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有2个盒不放球,共有几种放法?排列计数应用有5个同学排队照相,求:(1)甲、乙2个同学必须相邻的排法有多少种?(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种?(3)乙不能站在甲前面,丙不能站在乙前面的排法有多少种?(4)甲不站在中间位置,乙不站在两端两个位置的排法有多少种?组合计数问题有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任意取3个,(1)恰好取得一个一等品、两个二等品的不同取法有多少种?(2)至少有1个一等品的不同取法有多少种?应用排列数、组合数的计数问题车间有11名工人,其中5名男工是钳工,4名女工是车工,另外2名老师傅既能当车工又能当钳工.现在要在这11名工人里选派4名钳工,4名车工修理一台机床,有多少种选派方法?用0,3,4,5,6排成无重复数字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的五位数的个数是().A.36B.32C.24D.20在100 件产品中,有98 件合格品,2 件次品.从这100 件产品中任意抽出3 件.(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3 件中恰好有1 件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3 件中至少有1 件是次品的抽法有多少种?赛艇运动员10人,3人会划右舷,2人会划左舷,其余5人两舷都能划.现要从中选6人上艇,平均分配在两舷上划桨,有多少种不同的选法?1.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有().A.16种B.36种C.42种D.60种2.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选1门,则不同的选法共有().A.30种B.35种C.42种D.48种3.将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案种数是.4.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,求不同的放球方法有多少种?(2013年·浙江卷) 将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排,且A、B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).考题变式(我来改编):答案第8课时排列组合综合应用知识体系梳理问题1:10!=3628800问题2:“分类”相互独立相对独立“分步”相互依存不能问题3:所有不同的排列个数组成一组问题4:①特殊③排④正反⑤捆绑⑥插空⑦直排⑧排除⑨整体局部基础学习交流1.A按区域分四步:第一步,A区域有5种颜色可选;第二步,B区域有4种颜色可选;第三步,C区域有3种颜色可选;第四步,D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理知共有5×4×3×3=180种.2.C可以分为两类情况:①若取出6,根据6是否排百位分类,则有2(+)种方法;②若不取6,则有种方法,根据分类加法计数原理,一共有2(+)+=602种方法.3.84(法一)每个学校至少有一个名额,则分去7个,剩余3个名额到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.分类:若3个名额分配到1所学校,则有7种方法;若分配到2所学校,则有×2=42种;若分配到3所学校,则有=35种.即共有7+42+35=84种方法.(法二)10个元素之间有9个间隔,要求分成7份,相当于用6块挡板插在9个间隔中,共有=84种不同方法.4.解:(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有×=144种.(3)确定2个空盒有种方法,4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有种方法;第二类有序均匀分组有·种方法.故共有(+·)=84种.重点难点探究探究一:【解析】(1)这是相邻问题,采用捆绑法.先排甲、乙,有种方法,再与其他3名同学排列,共有·=48种不同排法.(2)这是不相邻问题,采用插空法,先排其余的2名同学,有种排法,出现3个空,将甲、乙、丙插空.所以共有·=12种排法.(3)这是顺序一定问题.由于乙不能站甲前面,丙不能站在乙前面,故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列.(法一)5人的全排列共有种,甲、乙、丙3人全排列有种,而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种,所以共有=20种排法.(法二)(插空法)先排甲、乙、丙3人,只有一种排法,然后插入1人到甲、乙、丙中,有4种插法,再插入1人,有5种插法,故共有4×5=20种排法.(4)(法一)(直接法)若甲排在了两端的两个位置之一,甲有种,乙有种,其余3人有种,所以共有··种;若甲排在了第2和第4两个位置中的一个,有种,这时乙有种,其余3人有种,所以一共有··种,因此符合要求的一共有··+··=60种排法.(法二)(间接法)5个人全排列有种,其中甲站在中间时有种,乙站在两端时有2种,且甲站中间同时乙在两端的有2种,所以一共有--2+2=60种排法.【小结】(1)有约束条件的排列问题的基本类型:①某些元素不能排在或必须排在某一位置;②某些元素要求相离(即不能相邻);③某些元素要求相邻(即必须相邻).(2)解题的基本方法是:有特殊元素或特殊位置,通常先排特殊元素或特殊位置,称为“优先处理元素(位置)法”.某些元素要求不相邻排列时,可先排列其他元素,再将这些不相邻元素插入“空档”,称为“插空法”;某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素作为一个整体元素,与其他元素排列后,再考虑整体内部的排序,称为“捆绑法”.(3)在进行分类分步时一定要做到分类标准统一,不重复不遗漏.探究二:【解析】(1)先从一等品中取1个,有种取法,再从二等品中取2个,有种取法,根据乘法原理恰好取得一个一等品、两个二等品的取法有=96种.(2)(法一)将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类:“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰有3个一等品”,由分类加法计数原理有:++=1136种.(法二)考虑其对立事件“3个都是二等品”,用间接法:-=1136种.【小结】“至少”“至多”型问题不能利用分步乘法计数原理求解,多采用分类求解或转化为它的对立事件来求解.探究三:【解析】(法一)设A,B代表2位老师傅.A,B都不在内的选法有:·=5种;A,B都在内且当钳工的选法有:··=10种;A,B都在内且当车工的选法有:··=30种;A,B都在内,一人当钳工,一人当车工的选法有:···=80种;A,B有一人在内当钳工的选派方法有:··=20种;A,B有一人在内当车工的选派方法有:··=40种.∴一共有5+10+30+80+20+40=185种.(法二)5名钳工有4名选上的方法是:·+··+··=75种;5名钳工有3名被选上的方法是:··+··=100种;5名钳工有2名被选上的方法是:··=10种.∴一共有75+100+10=185种.(法三)4名女车工都在内的选派方法有:·+··+··=35种;4名女车工有3名在内的选派方法有:··+··=120种;4名女车工有2名在内的选派方法有:··=30种,∴一共有35+120+30=185种.【小结】本题有多种分类方法,不管哪种分类,只要做到分类标准统一、系统分类分步,做到不重不漏就可以利用分类加法原理求解.思维拓展应用应用一:D按首位数字的奇偶性分两类:一类是首位是奇数的,有;另一类是首位是偶数,有(-).则这样的五位数的个数是+(-)=20.应用二: (1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有==161700种.(2)从2 件次品中抽出1 件次品的抽法有种,从98 件合格品中抽出2 件合格品的抽法有种,因此抽出的3 件中恰好有1 件次品的抽法有·=9506种.(3)(法一)从100件产品抽出的3 件中至少有1 件是次品,包括有1件次品和有2 件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有·种,因此根据分类加法计数原理,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有·+·=9604种 .(法二)抽出的3 件产品中至少有1 件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数,即-=161700-152096=9604种.应用三:分三类:第一类:2个只划左舷的人全不选,有=100种;第二类:2个只划左舷的人中只选1人,有=400种;第三类:2个只划左舷的人全选,有=175种.所以共有100+400+175=675种.基础智能检测1.D若3个不同的项目投资到4个城市中的3个,每个城市一项,共种方法;若3个不同的项目投资到4个城市中的2个,一个城市一项、一个城市两项共种方法,由分类加法计数原理知共+=60种方法.2.A(法一)可分两种互斥情况:A类选1门,B类选2门或A类选2门,B类选1门,共有+=18+12=30种选法.(法二)总共有=35种选法,减去只选A类的=1种,再减去只选B类的=4种,共有30种选法.故选A. 3.24将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中,每个班级至少安排一名学生有种分配方案,其中甲同学分配到A班共有+种方案.因此满足条件的不同方案共有--=24种.4.解:将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分情况讨论:①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有=4种方法;②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有=6种方法,则不同的放球方法有10种.全新视角拓展480分类讨论:A、B都在C的左侧,且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算,再考虑右侧情况.所以共有2(·+·++)=480种.。

排列与组合(经典导学案及练习答案详解)

§10.2排列与组合学习目标1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A m n表示．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)．(2)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.性质(1)0！＝1；A n n＝n！.(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝C m n＋C m－1n.常用结论解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序．(√)(3)若组合数公式C x n＝C m n，则x＝m成立．(×)(4)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(×)教材改编题1．将《步步高》《创新设计》等六本不同的教辅资料按如图所示的方式竖放在一起，则《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有()A．120种B．240种C．200种D．180种答案 B解析《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有2A55＝240(种)．2．有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有()A．36种B．72种C．108种D．144种答案 B解析不同排法种数为A33A24＝72(种)．3．若C2n＝C2n－1＋C3n－1(n∈N*)，则n＝.答案 5解析由C m n＝C m－1＋C m n－1，n－1所以C2n＝C3n，又因为C m n＝C n－m，n所以n－2＝3，即n＝5.题型一排列问题例1(1)(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为() A．A77A1010B．A717A1010C．A717＋A1010D．A1717答案BD解析17名同学中选7名全部排序站在前排有A717种方法，剩下10名同学全排在后排有A1010种方法，根据乘法原理，共有A717A1010种方法．将前后排视为一排，共有A1717种方法．(2)(2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a i(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1<a3<a5，则不同的排列方法种数为()A．15 B．30 C．45 D．60答案 B解析由题意可知分两步：①先排a1，a3，a5，当a1＝2时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6有2种，当a1＝3时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6有2种，当a1＝4时，a3＝5，a5＝6有1种，共5种；②再排a2，a4，a6，共有A33＝6(种)，所以不同的排列方法种数为5×6＝30.教师备选现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为()A．A36·A55B．A88－A66·A33C．A35·A33D．A88－A46答案 B解析在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全相邻的方法数，即A88－A66·A33.思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．跟踪训练1(1)将1,2,3,4,5,6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，要求表格每一行数字之和均相等，则可组成不同表格的个数为()A.8 B．24 C．48 D．64答案 C解析由1＋6＝2＋5＝3＋4，则可组成不同表格的个数为A22A22A22A33＝48.(2)(2022·苏州调研)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学创新能力比赛，决出第一到第五名的名次(无并列名次)．甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“你们都没有得到第一，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有()A．36种B．24种C．18种D．12种答案 B解析由题意甲乙两人名次为2,3或3,4，所以5人的名次不同的排列情况有2×A22A33＝24(种)．题型二组合问题例2(1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种答案 C解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C25种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法．故满足题意的分配方案共有C25·A44＝240(种)．(2)两个三口之家(父母＋小孩)共6人去旅游，有红旗和大众两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为()A．48 B．50C．98 D．68答案 A解析6人乘坐的所有情况有C26C44A22＋C36＝15×2＋20＝50(种)，两个小孩单独乘坐一辆车的情况有C12＝2(种)，由题意知两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为50－2＝48.教师备选泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有种(用数字作答)．答案840解析依题意相当于将8个相同的小球，放入5个盒子中，且每个盒子不空，则在8个小球中的7个空档插入4个板，分为5堆，则有C47＝35(种)分法，即通过的桥孔组合有35种，再对4艘参赛船全排列有A44＝24(种)排法，故共有C47A44＝35×24＝840(种)方法．思维升华组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练2(1)将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有()A．10种B．16种C．22种D．28种答案 A解析如果没有空盒，则小盒的球数是1,2,3，或是2,2,2，共有A33＋1＝7(种)放法；若是有一个空盒，则小盒的球数是3,3，首先选盒，再放小球，共有C23×1＝3(种)放法，所以不同的放法共有7＋3＝10(种)．(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为．答案86解析由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为C13C24＋C23C14＋C33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为C14C23＋C24C13＋C34＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C23＋C14C13＋C24＝21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.题型三排列与组合的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素(位置)问题例3(2022·广州质检)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为()A．A44A22B．A22A55C．A33A55D．A44A25答案 D解析先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃类店铺的5个空位选2个进行排列，故排出的摊位规划总个数为A44A25.延伸探究若要求饮料类店铺必须相邻，则可以排出的摊位规划总个数为(用数字作答)．答案240解析先将2个饮料类店铺进行捆绑，再和其他4个小吃类店铺进行排列，故排出的摊位规划总个数为A22A55＝240.思维升华相邻、相间问题的解题策略(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．命题点2定序问题例4某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是．答案120解析六个元素进行排序，保证甲、乙、丙三个元素顺序不变，再加入三个元素进行排序，共6！3！＝120(种)．延伸探究若在本题中，再增加条件“工程丁必须在丙完成后立即进行”，那么安排这6项工程不同的排法种数是．答案20解析工程丁必须在丙完成后立即进行，等价于丙丁看成一个元素，共五个元素进行排序，保证甲乙(丙丁)三个元素顺序不变，再加入两个元素进行排序，共5！3！＝20(种)．思维升华定序问题的处理策略对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n 个，新插入的元素为m 个，则排列数为(m ＋n )！n ！.命题点3 分组、分配问题例5 数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )A.C 312C 39C 36A 33A 44种B ．C 312C 39C 3634种C.C 312C 39C 36A 4443种D ．C 312C 39C 3643种答案 B解析方法一首先将12名同学平均分成四组，有C 312C 39C 36A 44种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A 44种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有C 312C 39C 36A 44·A 44·34＝C 312C 39C 3634(种)．方法二根据题意可知，第一组分3名同学有C 312种分法，第二组分3名同学有C 39种分法，第三组分3名同学有C 36种分法，第四组分3名同学有C 33种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有C 312C 39C 36C 3334种．教师备选1．某地遭遇极端强降雨天气，一方有难，八方支援，全国各地救援团队奔赴此地．现有某救援团队5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛救灾志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为( ) A ．120 B ．150 C ．240 D ．300答案 B解析有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，包括两种情况：一是按照2,2,1分配，有12C 25C 23A 33＝90(种)结果，二是按照3,1,1分配，有12C 15C 14A 33＝60(种)结果．不同分配方案的总数为90＋60＝150.2．(2022·南平模拟)福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划(简称中学生“英才计划”)，在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养，现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有种．(结果用数字作答) 答案 54解析分两类，C 24C 22A 22A 23＋C 24C 12C 11A 22A 33＝54(种)．思维升华解决分组分配问题的策略(1)对于整体均分，分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！.跟踪训练3 (1)2021年7月1日，建党百年盛典，天安门广场上共青团员、少先队员齐诵青春誓言“请党放心，强国有我！”，新的百年，听党话、感党恩、跟党走！给人们留下深刻印象．表演前，为呈现最佳效果，节目编排人员将4名领诵人员排成一排，则两名女领诵相邻的方案有( )A ．10种B ．12种C ．20种D ．24种答案 B解析将两名女领诵捆绑，再和另外两名男领诵进行全排列，共有A 22A 33＝12(种)．(2)(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( ) A ．如果甲乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B ．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C ．甲乙不相邻的排法种数为72种D ．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有30种答案 ABC解析如果甲乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有A 44＝24(种)，故A 正确；最左端排甲时，有A 44＝24(种)不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有C 13A 33＝18(种)不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24＋18＝42(种)，故B 正确；因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有A 33A 24＝72(种)，故C 正确；甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有A 55A 33＝20(种)，故D 不正确．课时精练1．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A ，B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48答案 B解析因为A ，B 两型号的种子试种方法数为2×2＝4，所以一共有4A 33＝24(种)．2．宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬…”，意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门，城内纵横各有九条路…，依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有个矩形( )A ．3 025B ．2 025C ．1 225D ．2 525答案 A解析要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为C 211·C 211＝3 025.3．(2022·衡水模拟)同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A ，B ，C 三人两两不相邻，A 和D 是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有( ) A ．24种 B ．48种 C ．72种 D ．96种答案 C解析根据题意分3步进行分析：第一步，将除A ，B ，C 之外的三人全排列，有A 33＝6(种)情况，第二步，由于AD必须相邻，则A必须安排在D相邻的两个空位中，有2种情况，第三步，将B，C安排在剩下的3个空位中，有A23＝6(种)情况，则共有6×2×6＝72(种)不同的安排方法．4．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽．如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为()A．120 B．90C．60 D．40答案 D解析根据题意，将5个音阶全排列，共有5个位置，如图，从左至右依次记为1,2,3,4,5，进而可以分以下三类求解．当角音阶在2号位置，此时只需在宫、羽两音阶中选一个放置到1号位置，剩下的一个音阶和其余的两个任意安排到3,4,5号位置即可，故有A12A33＝12(种)；当角音阶在3号位置，此时只需在宫、羽两音阶中选一个放置到1号或2号位置，剩下的一个音阶放到4号或5号位置，最后安排剩余的商、徵两个音阶，共有C12A12A12A22＝16(种)；当角音阶在4号位置，此时与2号位置的安排方法相同，共有A12A33＝12(种)，故宫、羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为12＋16＋12＝40.5．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为()A．120 B．240C．360 D．480答案 C解析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A25种方法；若相邻，有C15A22种，故共有C14C13(A25＋C15A22)＝360(种)．6．(2022·辽阳模拟)联考结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种答案 B解析分以下两种情况讨论：①若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有A55种；②若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有4A44种．综上所述，不同的排法共有A55＋4A44＝216(种)．7．(多选)现有4个编号为1,2,3,4不同的球和4个编号为1,2,3,4不同的盒子，把球全部放入盒内．则下列说法正确的是()A．恰有1个盒不放球，共有72种放法B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种C．有2个盒内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种D．恰有2个盒不放球，共有84种放法答案BCD解析对于A，恰有1个盒不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，则C14C24A33＝144≠72，故A不正确；对于B，编号为1的球有C13种方法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C12＝3(种)，即3×3＝9(种)，故B正确；对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有C24C24＝36(种)，故C正确；对于D，恰有2个盒不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两种情况，放入盒子，共有C24(C14C12＋C24)＝6×14＝84(种)，故D正确．8．(多选)下列等式正确的有()A．A m n＋m A m－1n＝A m n＋1B．n C m n＝m C m－1n－1C．C33＋C34＋C35＋…＋C32 021＝C2 0182 022D．C02 022＋C12 022＋C22 022＋…＋C2 0222 022＝22 022答案ACD解析对于A，A m n＋m A m－1n ＝n！(n－m)！＋m·n！(n－m＋1)！＝(n－m＋1)·n！(n－m＋1)！＋m·n！(n－m＋1)！＝(n＋1)！[(n＋1)－m]！＝A m n＋1，选项A正确；对于B，n C m n＝n·n！m！(n－m)！＝n 2m ·(n －1)！(m －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n 2m·C m －1n －1≠m C m －1n －1，选项B 错误；对于选项C ，C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 32 021＝(C 44＋C 34)＋C 35＋…＋C 32 021＝(C 45＋C 35)＋C 36＋…＋C 32 021＝(C 46＋C 36)＋…＋C 32 021＝…＝C 42 021＋C 32 021＝C 42 022＝C 2 0182 022，选项C 正确；对于D 选项，二项式(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的二项式系数和等于2n ，选项D 正确．9．某高铁站有10个候车位(成一排)，现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有种(用数字作答)．答案 480解析把四位乘客当做4个元素作全排列有A 44种排法，将一个空座位和余下的5个空座位作为2个元素插空有A 25种排法，∴共有A 44A 25＝480(种)．10．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有种．(用数字作答)答案 11解析根据题意，因为“good ”四个字母中的两个“O ”是相同的，则其不同的排列有12×A 44＝12(种)，其中正确的有一种，所以错误的方法共有12－1＝11(种)．11．为巩固防疫成果，现有7人排队接种加强针新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙、丁相邻，则有种不同的排队方法．(用数字作答)答案 240解析丙、丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲、乙、丙(丁)，其他3个任意排列，方法数为C 36A 22A 33＝240.12．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.2021年的强基计划报名时间集中在4月8日－4月30日，某校甲、乙、丙、丁、戊五名学生准备报名清华、北大和南大的强基计划，若每所学校至少有一名学生报名，每名学生只报名一所学校，且甲和乙商量好报名同一所学校，则共有种不同的报名方式．(用数字作答)答案 36解析根据题意，把甲乙2人视为一个人，则五个人看成四个人，从四个人中先取出两个人，然后与剩下两个人进行全排列，则有C 24A 33＝36(种)不同的方法．13．福厦高速铁路，正线全长300.483千米.2017年开工建设，沿线设福州站→福州南站→福清西站→莆田站→泉港站→泉州东站→泉州南站→厦门北站→漳州站9座客站，设计速度每小时350千米，预计2022年9月开通．为了加快推动重点项目进展，即西溪特大桥、泉州湾跨海大桥、木兰溪特大桥3个控制性工程的建设．项目监管公司决定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场2名经理，每位经理只去一个项目现场，则甲、乙到不同项目现场的不同安排方案共有( )A ．6种B ．18种C ．36种D ．72种答案 D解析根据题意把6人分成3组，共有C 26C 24C 22A 33＝15(种)不同的分法，其中甲乙在同一组中有C 24C 22A 22＝3(种)分法，可得甲乙不在同一组中，共有15－3＝12(种)不同的分组，再分派到3个不同的项目现场，共有12×A 33＝72(种)不同的方案．14．2021年是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2,0,2,1,7,1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成个不同的六位数．答案 150解析依题意可组成不同的六位数有A 66A 22A 22－A 55A 22A 22＝180－30＝150(个)．15．(多选)众所周知，组合数C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，这里m ，n ∈N *，并且m ≤n .牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数C m n 中的下标n 推广到任意实数，规定广义组合数C m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！是组合数的一种推广，其中(m ∈N *，x ∈R )，且定义C 0x ＝1，比如C 52＝2(2－1)(2－2)(2－3)(2－4)5！＝0.下列关于广义组合数的性质说法正确的有( ) A ．C 4－7＝－210B ．当m ，n 为正整数且m >n 时，C m n ＝0C ．当m 为正奇数时，C m －1＝－1D ．当n 为正整数时，C m －n ＝(－1)m C m n ＋m －1答案 BCD解析选项A ，由题意，C 4－7＝－7(－7－1)(－7－2)(－7－3)4！＝210，故A 不正确．选项B ，由C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，当m ，n 为正整数且m >n 时，则n －m ≤－1，所以n －m ＋1≤0，所以n ，n －1，n －2，…，n －m ＋1这m 个数中，一定有某个数为0，所以C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝0，故B 正确．选项C ，当m 为正奇数时，C m －1＝－1×(－2)…(－1－m ＋1)m ！＝－1×(－2)…(－m )m ！＝－1，故C 正确．选项D ，当n 为正整数时，C m －n ＝－n (－n －1)(－n －2)…(－n －m ＋1)m ！＝(－1)m n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋m －1)m ！. C m n ＋m －1＝(n ＋m －1)(n ＋m －2)…(n ＋m －1－m ＋1)m ！＝(n ＋m －1)(n ＋m －2)…(n ＋1)n m ！. 所以C m －n ＝(－1)m C m n ＋m －1，故选项D 正确．16．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有种不同的答题顺序．答案 60解析将6只灯笼全排，即A66，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有A66A33·A22＝60(种)．。

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§1.2.排列（1）复习旧知，引入新课1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？问题1:从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？用树型图排出，并写出所有的排列？问题2：从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？用树型图排出，并写出所有的排列？问题3：四个人排成一排，共有多少种站法一、排列及其相关概念1、排列：一般地，从n个元素中取出m（）个元素，按照一定的排成一排，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.试试：写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？练习：判断下列问题是否是排列问题：（1）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得到多少不同的点的坐标？（2）从学号为1到10的十名同学任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽法？（3）平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？（4）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（5）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？相同的排列：两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，根据而且元素的排列顺序也完全相同．如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列．2、排列数的定义m≤）个元素的的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用从个元素中取出（n符合表示.试试：从4个不同元素a，b, c，d中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？问题：⑴从n个不同元素中取出2个元素的排列数是从n个不同元素中取出3m≤）个元素的排列数是个元素的排列数是从n个不同元素中取出m（n3 、排列数公式从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数=m n A4 、全排列：从n 个不同元素中取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A二、※ 典型例题例1计算：⑴410A ; ⑵ 218A ; ⑶ 441010A A ÷. 变式：计算下列各式：⑴215A ; ⑵ 66A ⑶ 28382A A -; ⑷ 6688A A .小结：排列数m n A 可以用阶乘表示为m n A =例2若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯ ，则n =，m =．变式:乘积(55)(56)(68)(69)n n n n ---- 用排列数符号表示．（,n N ∈）例3（1）解方程：3322126x x x A A A +=+（2）解不等式：2996x x A A ->．{}2,3,4,5,6,7※ 动手试试1. 计算：=+243545A A ;2. 计算：=+++44342414A A A A ； 3. 某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行场比赛；4. 5人站成一排照相，共有种不同的站法；5. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到个不同的三位数.6. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法7. 从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？§1.2排列（2）87※典型例题例1、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例2、7位同学站成一排照相3男4女．(1)甲站在中间，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？(5) 若分成两排照相，前排2人，后排5人，有多少种不同的排法？（7）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？（8）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？（9)、有3个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？变式:6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间间隔两人；(5)甲、乙站在两端；(6)甲不站左端，乙不站右端．小结：例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.（1）没有重复数字的四位偶数？（2）没有重复数字的比2000大的四位偶数？变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，⑴能组成多少个没有重复数字的四位奇数？⑵能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？达标训练1．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（）A.12种B.18种C.24种D.96种2．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）A.6种B.9种C.18种D.24种3．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（）A.种B.种C.·种D.种4．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同排法共有（）A.12种B.20种C.24种D.48种5、（2010北京）8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为A 、2988A AB 、2988C A C 、2788A AD 、2788C A 6、（2010山东）某台小型晚会由六个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序编排方案有（）种A 、36B 、42C 、48D 、547．6个人站一排，甲不在排头，共有种不同排法．8．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有种不同排法．9．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有___________种．10．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有种不同的放法．11、某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排化学，那课程表共有多少种不同的排法？12、某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（）A ．474种B ．77种C ．462种D ．79种13.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为14. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种88A 48A 44A 44A 44A有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？（1）7个人排成一排，4个男学生必须连在一起；（2）7个人排成一排，其中甲、乙两人之间必须间隔2人.。

排列组合导学案

一、优限法：对有特殊元素（被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是优先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。

例1．（1）由0、1、2、3、4、可以组成____个无重复数字的三位数。

（2）由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个。

（3）某办公室有8人，现从中选出3人参加A、B、C三项不同的活动，其中甲不能参加A项活动，有_____种不同的选派方法。

（4）某班委会5人分工，分别担任正、副班长、学习委员、劳动委员、体育委员，其中A不能担任正班长，B不能担任学习委员，则不同的分工方案有_____种。

（5）5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有种。

二、捆绑法：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。

例2．（1）有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有种。

（2）有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有___种。

（3）7个人排成一排，A和B都不在两端，且都与C紧挨着的排列总数为____。

三、插空法：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。

例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有___种陈列方法。

（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有种。

四、排除法（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。

例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。

（2）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。

（3）从6名短跑运动员中选4人参加4×100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有种参赛方案.五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。

例5（1）用1、2、3……9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有个。

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