二次函数应用题之最值问题

二次函数应用题之最值问题（讲义）

一、知识点睛

1.理解题意，辨识类型．

二次函数应用题常见类型有：实际应用问题，最值问题．

2.梳理信息，确定_______________及__________________，建立函数模型．

①梳理信息时需要借助_______________．

②函数模型：确定自变量和因变量；根据题意确定题目中各个量之间的等量

关系，用自变量表达对应的量从而确定函数表达式．

例如：问“当售价为多少元时，年利润最大？”确定售价为自变量x，年利润为因变量y，年利润=(售价-进价)×年销量，用x表达年销量，从而确定y 与x之间的函数关系．

3.根据二次函数性质求解，_____________．

验证结果是否符合实际背景及自变量取值围要求．

二、精讲精练

1.某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，

可全部租出，且每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，公司平均每日的各项支出共

4 800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．

（日收益=日租金收入-平均每日各项支出）

（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_______元

（用含x的代数式表示）；

（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大？最大是多少元？

（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

【分析】

2.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件．如果

每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值

围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2 200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么围时，每个月的利润不低于2 200元．

【分析】

3.某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三

边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值围．

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？最大面积是多少？

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值围．

18米

苗圃园

4.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，

边长在5~50（单位：cm）之间．每薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例；每薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：

（2）已知出厂一边长为40cm的薄板，获得的利润为26

元．（利润=出厂价-成本价）

①求一薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．

②当边长为多少时，出厂一薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？

【分析】

5.我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并

进一步投入资金1 520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调查发现：该产品的销售单价定在150元到300元之间较为合理，销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反映的一次函数：

（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损多少？

（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利1 790万元？若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由．

【分析】

三、回顾与思考

【参考答案】 知识点睛

2．函数表达式，自变量取值围．①列表、图形． 3．验证取舍．

精讲精练

1．（1）50 1 400x -+；

（2）当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大是 5 000元．

（3）当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏． 2．（1）210110 2 100y x x =-++（115x ≤≤，且x 为正整数）； （2）每件商品的售价定为5元或6元时，每个月可获得最 大利润，最大的月利润是2 400元；

（3）每件商品的售价定为51元或60元时，每个月的利润 恰为2 200元，每件商品的售价m 满足5160m ≤≤时，每 个月的利润不低于2 200元． 3．（1）230y x =-+（615x <≤）； （2）垂直于墙的一边的长为15

2

米时，这个苗圃园的面积最 大，最大面积是

225

2

平方米； （3）611x ≤≤．

4．设一薄板的边长为x cm ，出厂价为y 元，利润为w 元． （1）210y x =+； （2）①2

121025

w x x =-

++； ②当边长为25cm 时，出厂一薄板所获得的利润最大，最 大利润是35元．

5．（1）1

3010

y x =-

+（150300x ≤≤）； （2）投资的第一年该公司亏损，最少亏损310万元； （3）不能，理由略．

二次函数应用题之最值问题

（随堂测试）

1. 某商场将进货单价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的销售单价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请求出y 与x 之间的函数关系式．

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又 要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润 最高？最高利润是多少？ 【分析】

【参考答案】

1．（1）2

224 3 20025

y x x =-

++． （2）每台冰箱应降价200元．

（3）每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润 最高，最高利润是5 000元．