反对称张量在N维空间中几何意义

反对称张量在N维空间中的几何意义

By wxy 目录

推广的猜想、通过平面构造二阶张量

面量的基本性质

面量的模

单位面量

面量的“方向”、意义

面量的“点乘”

构造四维二阶张量

四维空间中平面间的位置关系

射影面积定理推广

四维空间中平面间的夹角位置术语

高维空间“叉乘”推广

向量间的叉乘：求法平面

标量与面量间的叉乘：求平面的法平面

叉乘与点乘的关系1

标量与标量间的叉乘：得置换张量

面量与面量间的叉乘：得标量

面量与面量间的叉乘的几何意义

叉乘与点乘的关系2

面量与奇异面量

面量之和有意义的条件

面量与向量的叉积：得到向量

推广的猜想、通过平面构造二阶张量

张量是向量的推广。在N 维空间中向量有N 个分量，而张量则有N 的阶数次方个分量。 因为张量、向量在欧氏空间中具有平移不变性，所以我们干脆只讨论已经平移到坐标原点的张量。

标量（〇阶张量）可以表示N 维空间中有“大小”、“正负”的原点；

向量（一阶张量）可以表示N 维空间中过原点的一条有方向有“大小”（长度）的直线； 由前面的例子我们希望二阶张量能代表有“大小”有“方向”的过原点的平面，但我们该怎么来具体表示呢？让我们先从我们已经熟知的表示方法开始。

已知两个在平面内的不共线（线性独立）的基底1111(,,,,...)a x y z t =、2222(,,,,...)b x y z t =，我们怎样表示这个平面？

N 维空间中最一般的平面表示方法是 P a b λμ=+。但这个式子实际上是个极其简陋原始的方程组，用起来不方便，我们平时熟知的在三维空间中表示平面的方法是表示它的法向量，即

n a b =⨯,但这条路在四维空间中走不通。因为四维空间中与平面完全绝对垂直的也是平面！

（“绝对垂直”即在两平面中各取任意一条直线，它们都垂直，详见后面“四维空间中平面间的位置关系”。）我们希望二阶张量能表示“大小”，即a 和b 间围成的平行四边形的“面积”，我们假定面积也能正交分解，投影。考察任意一个坐标面如 xOy 平面，a 和b 间围成的平行四边形的面积在这个坐标面的投影为1221x y x y -，我们可以构造一个张量F ，使,i j i j i j F a b b a =-，即F a b a b =⊗-⊗。为了方便，我们记ab a b a b =⊗-⊗。（正反并矢积之差）

面量的基本性质

面量的模

张量F 即表示向量a 和b 所决定的平面，我们称F 为“面量”，记为“F ”。三维空间中：

(,,)n x y z =，1212

12121212121212121212

000=00000xy xz xy

yz xz yz

e e x y y x x z z x z y F e e y x x y y z z y z x e e z x x z y z z y y x ⎡⎤---⎡⎤⎡⎤

⎢

⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦

⎣

⎦。我们这样定义的所有面量都是反对称张量，面量的模为基向量a 和b 间平行四边形的面积，即

F =F 既不等于det()F ，也不是F 中每项元素的平方和开方，而是F 中每项元素的平方和除以2再开方，那是因为二阶反对称张量有一半的项只相差了正负号，而本质上是重复的，在计算时我们其实只需要一半的数据，故用2除去。

面量的加法就是对应项相加

单位面量

我们记单位面量010*********,000,001000100010xy xz yz E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，则任意一个面量都能写成xy xz yz aE bE cE ++的形式（三维空间中反对称张量都能对应平面，但在四维空间中并不是每个反对称张量都是面量，详见后面高维空间叉乘推广）。

面量的“方向”、意义

设基底(1,0,0)a =、(0,1,0)b =，则010=100000xy ab E ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而010100=000xy yx ba ab E E ⎡⎤

⎢⎥=-=--=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

。我们可以这样理解xy E 和yx E 间的关系：它们都表示xOy 平面面积为1的面量，但一个是顺时针，一个是逆时针。即一个面量不仅表示了过原点的平面和它的大小（面积），还表示了一种旋转的方向。易知：两个非零面量,A B ，,A B 表示的过原点的平面相同⇔(,0)A kB k R k =∈≠。虽然面量的大小代表面积，但它不储存任何形状信息，所以我们不能规定面量代表的具体形状，它

代表一个面积大小为面量的模的大小的任意一个有旋转方向的图形。

面量的“点乘”

规定两面量间的点乘：/2ij ij F G F G ⋅=，即对应项积之和除以二。除以二的原因也一样：去掉反对称张量重复的分量。规定cos ,F G F G F G

⋅<>=

⋅，不难证明,F G <>为,F G 所表示的两平面

的夹角（一面量在另一面量上投影的旋转的方向与另一面量旋转方向相同为锐角，相反为钝角）。点乘满足乘法分配率。)F G H F G F H ⋅+=⋅+⋅（

构造四维二阶张量

由0000xy

xz xt xy

yz yt xz yz zt xt

yt

zt

e e e e e e F e e e e e e ⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥--⎢⎥---⎢⎥⎣⎦

易知，任意一个面量都能写成xy xz xt yz yt xt

aE bE cE d E eE f E

+++++的形式。（但并不是每个四维反对称张量都是面量，详见后面高维空间叉乘推广）两面量间的点乘用同样的定义，但

F G F G

⋅⋅却不是简单的两面量间夹角余弦值了。要解释清楚四维面量间的点

乘的几何意义，我们首先得搞清四维空间中平面间的位置关系。

四维空间中平面间的位置关系

四维空间中平面A 、B 间的角度关系需要用两个参数描述。我们在一个平面A(或B)上取遍所有直线m ，m 与B(或A)间所夹的线面角会有一个最大值1θ和最小值2θ。线面角取最大值时的直线m 与线面角取最小值时的直线m ’相互垂直。

射影面积定理推广

三维空间中的射影面积定理在四维空间中同样成立，只是正方形面积元投影时两边在夹角最大值方向和最小值方向上都要乘上角度的余弦值导致面积变为原来12cos cos θθ倍。而数量积本质是一个面量乘以另一个面量在它上面的投影，所以我们得到四维空间面量间的点乘的几何意义：max min =cos ,cos ,F G F G F G F G ⋅⋅<><>。而当两个平面共胞时最小角为2θ= 0（它们的交线方向为最小角方向），最大角为它们的二面角（二面角的平面角的边方向垂直于它们的交线，即最大角方向），1211cos cos =cos cos 0=cos θθθθ，此时退化为三维空间中的射影面积定理。

四维空间中平面间的夹角位置术语

平行（绝对平行）：12==0θθ;即两平面通过平移能真正完全重合。

B

m ’

m

A