4.2 二次函数的性质

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二次函数的特殊性质与公式解析与归纳

二次函数的特殊性质与公式解析与归纳二次函数是数学中的一种常见函数形式，由形如y = ax^2 + bx + c 的方程所表示。

在二次函数中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。

本文将就二次函数的特殊性质进行探讨，并对其公式进行解析与归纳。

一、二次函数的图象特殊性质1. 对称轴：二次函数的图象总是关于一条垂直于x轴的直线对称。

这条直线称为二次函数的对称轴。

对称轴的方程可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)2. 零点：二次函数在坐标系中与x轴相交的点称为零点。

求二次函数的零点可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)其中，b^2-4ac被称为判别式，当判别式大于0时，函数有两个不相等的零点；当判别式等于0时，函数有一个唯一的零点；当判别式小于0时，函数没有实数解。

3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项的系数a所决定。

当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

4. 最值点：二次函数的最值点就是函数的最大值或最小值点。

最值点的纵坐标称为二次函数的最值。

当二次函数的开口向上时，最值为最小值；当二次函数的开口向下时，最值为最大值。

最值点的横坐标可以通过对称轴的x坐标计算得出。

二、二次函数的公式解析与归纳1. 一次项系数的影响：在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c中，一次项系数b确定了对称轴的位置。

当b>0时，对称轴向右平移；当b<0时，对称轴向左平移。

2. 二次项系数的影响：二次项系数a决定了二次函数的开口方向。

当|a|>1时，开口较为陡峭；当0<|a|<1时，开口较为平缓；当a=1时，开口最为平缓；当a=0时，函数退化为一次函数。

3. 常数项的影响：常数项c表示二次函数与y轴的交点，也即函数在x=0时的取值。

当c>0时，函数在原点下方与y轴相交；当c<0时，函数在原点上方与y轴相交。

二次函数的性质知识点

二次函数的性质知识点二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在代数学和几何学中都有广泛应用。

了解二次函数的性质是理解和掌握这一概念的关键，下面将介绍二次函数的一些基本性质知识点。

1. 二次函数的定义二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。

2. 顶点二次函数的图像是一个抛物线，其中的最高点或最低点称为顶点。

二次函数的顶点坐标可通过公式x = -b/2a和y = f(-b/2a)求得。

3. 对称轴二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称，这条直线称为对称轴。

对称轴的方程可通过公式x = -b/2a求得。

4. 开口方向当二次函数的参数a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

5. 零点和方程二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以通过解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。

一元二次方程的解法可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法。

6. 判别式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断方程的根的情况：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；- 当D = 0时，方程有两个相等的实根；- 当D < 0时，方程无实根，但有两个共轭复根。

7. 函数的增减性和极值点二次函数的增减性与a的正负有关。

当a > 0时，函数在对称轴左侧增大，右侧减小；当a < 0时，函数在对称轴左侧减小，右侧增大。

函数的极值点即为顶点。

8. 函数的图像与平移通过调整二次函数的参数，可以实现图像的平移。

参数a决定抛物线的开口方向，参数b决定了对称轴的位置，参数c则决定了抛物线的顶点位置。

9. 辅助线与焦点二次函数的图像与抛物线相关的辅助线包括准线、焦点和准线上的直径。

焦点的横坐标是对称轴上顶点的横坐标的一半，纵坐标可以根据参数a的值求得。

二次函数的性质与应用

二次函数的性质与应用二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。

二次函数是一种重要的函数类型，在数学和实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的性质与应用。

一、二次函数的基本性质1. 解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别代表函数的系数。

a控制开口方向和开口程度，正值使函数开口向上，负值使函数开口向下；b决定了函数的对称轴位置，对称轴的横坐标为-x/b；c是函数的常数项，表示函数与y轴的交点y=c。

2. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的横坐标值。

一般情况下，二次函数有两个零点，可以用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求得。

3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点。

顶点的横坐标为-x/b，纵坐标为f(-b/2a)。

对于a > 0，函数的图像开口向上，顶点是最低点；对于a < 0，函数的图像开口向下，顶点是最高点。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。

当a > 0时，函数图像开口向上；当a < 0时，函数图像开口向下。

2. 开口程度：a的绝对值越大，函数图像开口越窄；a的绝对值越小，函数图像开口越宽。

当|a| < 1时，函数图像会比较平缓；当|a| > 1时，函数图像则会比较陡峭。

三、二次函数的应用1. 最值问题：通过观察二次函数的开口方向和顶点，我们可以判断函数的最值。

对于开口向上的函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，最大值为顶点的纵坐标。

这在实际问题中有很多应用，例如优化问题、成本最小化等。

2. 运动问题：二次函数可以用来描述某些运动的轨迹。

例如，一个物体从某个高度落下，忽略空气阻力的影响，可以用二次函数表示物体的高度随时间的变化。

通过求解函数的零点和顶点，可以确定物体的落地时间和最高高度。

二次函数的基本性质

一、全面理解二次函数的定义（1）二次函数有四种表达形式①二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a≠0），x取任意实数。

②二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0），x取任意实数。

③二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。

④二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c ≠0），x取任意实数。

（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。

（3）二次函数解析式的三种形式二、掌握二次函数的图像和性质①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质②y=ax 2+bx （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0）的图像和性质 ③y=ax 2+c （a 是常数，且a ≠0，c 是常数，c ≠0）的图像和性质④y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的性质 a ＞0时，开口向上；a ＜0时，开口向下顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴是直线x=-a b 2。

当a ＞0时，函数有最小值，y=a b ac 442-；a ＜0时，函数有最大值，y=a b ac 442-；性质：当a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小. 一、填空题 1．已知a ≠0，(1)抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y ＝ax 2＋c 的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y ＝a(x －m)2的顶点坐标为______，对称轴为______．2．若函数122)21(++-=m m x m y 是二次函数，则m ＝______．3．抛物线y ＝2x 2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y 随x 增大而减小；当x______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______． 4．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．5．抛物线y ＝2x 2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝2x 2向______平移______个单位得到．6．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．二、选择题7．要得到抛物线2)4(31-=xy，可将抛物线231xy=( )A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向右平移4个单位D．向左平移4个单位8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )A．y＝2x2与y＝3x2 B．2212+=xy与2122+=xyC．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－29．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231xy-=的图象相同的抛物线是( )A．2)5(31-=xyB．5312--=xyC．2)5(31+-=xyD．2)5(31+=xy三、会结合图像确定y= 2ax+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0）的四种符号a的符号：看抛物线的开口方向：开口向上，a＞0；开口向下a＜0;b的符号：有对称轴的位置和的a符号确定：对称轴是y轴，b=0；对称轴在原点的左侧：0 2ab-，对称轴在原点的右侧，0 2ab-；c的符号：看抛物线与y轴交点的位置：交点在原点，c=0；交点在原点以上，c＞o；交点在原点以下，c＜0。

二次函数图像与性质完整归纳

二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.2y ax c=+的性质：上加下减。

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()00，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．a < 向下()00，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质3.()2y a x h =-的性质：左加右减。

a > 向上()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．a < 向下()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．a < 向下()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4.()2y a x h k=-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．a < 向下()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．3. 两根式：12a≠，1x，2x是抛物线与=--（0y a x x x x()()x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240-≥时，抛物线的解析式才可以用交b ac点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2=++中，a作为二次项系数，y ax bx c显然0a≠．⑴当0a>时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当0a<时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a>的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=++关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2=---；y ax bx c()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2=---；y a x h k2. 关于y轴对称2=++关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+；()2=-+关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k()2=++；y a x h k3. 关于原点对称2=++关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by axbx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x xy 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x xy2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x… -7 -6-5-4-3-2 -1…y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x +2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2y (2)50 23--2 23- 0 25… 【例2】求作函数342+--=x xy 的图象。

二次函数的概念和性质

二次函数的概念和性质二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数是由二次方程演变而来的，其图像呈现出特殊的形状，同时具有一些独特的性质。

本文将介绍二次函数的概念和性质，并分析其在数学和实际问题中的应用。

一、二次函数的概念二次函数是指函数表达式中的最高次项为二次的函数。

在二次函数的一般形式中，ax^2代表二次项，bx代表一次项，c代表常数项。

二次函数的变量x可以取任意实数值，并对应一个唯一的函数值f(x)。

当二次函数的系数a、b、c满足一定条件时，其图像呈现出不同的特征，如开口向上或向下、对称轴等。

二、二次函数的性质1. 平移性：二次函数的图像可以通过平移来变换位置。

当二次函数的表达式中添加或减去一个常数h时，图像向左或向右平移h个单位；当表达式中添加或减去一个常数k时，图像向上或向下平移k个单位。

2. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。

对称轴是通过顶点的垂直线，其方程可以通过计算 x = -b/(2a) 得到。

3. 开口方向：二次函数的图像具有开口向上或向下的特征。

当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

a的绝对值决定了图像的开口程度。

4. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。

零点可以通过解一元二次方程来求得，或者利用配方法化简二次函数的一般形式。

5. 最值：二次函数的最值即函数的最大值或最小值。

当二次函数的开口向上时，没有最小值；当二次函数的开口向下时，没有最大值。

最值的出现位置与顶点的坐标有关，顶点坐标可以通过计算 x = -b/(2a) 得到。

三、二次函数的应用二次函数在数学和实际问题中都具有广泛的应用。

在数学中，研究二次函数可以深入理解函数的性质、变化规律和图像特征。

在实际问题中，二次函数可以用来描述和解决与二次关系相关的各类问题，如自由落体运动、抛物线轨迹、经济增长模型等。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是数学中一种重要的函数形式，具有较广泛的应用。

本文将详细介绍二次函数的定义、性质、图像与变换、解析式、根与判别式、与其他函数的关系以及应用等知识点。

一、定义与性质：二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

二次函数的定义域为全体实数集R，值域根据a的正负值有所不同。

二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下。

性质1：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b。

性质2：当二次函数的对称轴为x=h时，最高/最低点的横坐标为x=h，纵坐标为f(h)。

性质3：如果a>0，则抛物线开口向上，最低点为最小值；如果a<0，则抛物线开口向下，最高点为最大值。

二、图像与变换：二次函数的图像为一条抛物线，关键要素有顶点、对称轴、开口方向以及最高/最低点等。

1.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。

2.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条线，其方程为x=-b/2a。

3.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。

若a>0，开口向上；若a<0，开口向下。

4.最高/最低点：顶点即为最高或最低点，纵坐标为二次函数的最值。

变换1：平移变换二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于横轴上下平移h个单位的函数为f(x) = a(x-h)^2 + bx + c。

变换2：垂直伸缩与翻转二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于纵轴上下压缩k倍且翻转ξ度的函数为f(x) = a(k(x-ξ))^2 + bx + c。

三、解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

根据实际问题的要求，可以确定二次函数的具体形式。

二次函数性质总结

二次函数性质总结二次函数是高中数学中经常遇到的一个函数类型，它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不等于0。

二次函数的性质有很多，下面就逐一进行总结：一、基本性质：1. 对称性：二次函数在抛物线的顶点处有对称轴，对称轴是图像的一条垂直线。

如果二次函数是y=ax^2+bx+c，则对称轴的方程为x=-b/2a。

2. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即使f(x)=0的解。

对于y=ax^2+bx+c，可以用求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a来求解。

3. 导函数：二次函数的导函数是一次函数，即f'(x)=2ax+b。

导数可以用来研究函数的变化趋势、极值等性质。

二、图像特征：1. 开口方向：当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，称为正向抛物线；当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，称为负向抛物线。

2. 顶点坐标：对于y=a(x-h)^2+k形式的二次函数，顶点坐标为(h,k)，其中h为对称轴的横坐标，k为对称轴的纵坐标。

3. 最值：当二次函数开口向上时，最小值为顶点值；当二次函数开口向下时，最大值为顶点值。

4. 平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换来进行位置调整，平移的方式有水平、垂直两个方向，可以通过更改常数c、h、k来实现。

三、根性质：1. 根的个数：二次函数的根的个数不会超过2个。

当判别式D=b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式D=0时，方程有两个相等的实数根；当判别式D小于0时，方程没有实数根。

2. 根的关系：如果一个二次函数有两个根x1和x2，则有以下性质：根的和x1+x2=-b/a，根的积x1x2=c/a。

3. 根的位置：根的位置与二次函数的开口方向有关。

当二次函数开口向上时，如果根存在，则根的值在顶点的两侧；当二次函数开口向下时，根的值在顶点的外侧。

四、函数变化：1. 单调性：二次函数的单调性与二次项系数a的正负有关。

二次函数的性质有哪些

二次函数的性质有哪些
一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，下面总结了二次函数的性质，供大家参考。

二次函数的性质
1.二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

2.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

3.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

4.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)。

当c>0时，图像与y轴正半轴相交。

当c<0时，图像与y轴负半轴相交。

二次函数定义
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，y=ax2+bx+c变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。

③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程y=ax2+bx+c （a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。

二次函数二次函数的性质与变化规律全面解析

二次函数二次函数的性质与变化规律全面解析二次函数是高中数学中的一个重要章节，它在数学建模、物理、经济等领域都有广泛的应用。

本文将从二次函数的性质和变化规律两个方面进行全面解析，帮助读者更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数的性质二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

根据二次函数的相关定理和性质，我们可以得出以下结论：1. 首先讨论二次函数的图像：由于a≠0，故二次函数的图像为抛物线，其开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 求解二次方程：对于二次函数f(x) = 0，我们可以通过因式分解、配方法、根判别式等方法求解。

当二次方程存在两个实根时，抛物线与x轴交于两点；当二次方程只有一个实根时，抛物线与x轴相切；当二次方程无实根时，抛物线与x轴无交点。

3. 寻找二次函数的顶点：二次函数的顶点即为抛物线的最值点，其横坐标由公式x = -b / (2a)得出。

根据a的正负可以知道顶点是极大值或者极小值。

4. 判断二次函数的增减性和凹凸性：根据二次函数的导数可以判断其增减性和凹凸性。

当a>0时，二次函数是上升的凹函数；当a<0时，二次函数是下降的凸函数。

5. 研究二次函数与坐标轴的交点：根据二次函数与坐标轴的交点可以推断出函数的根的情况。

与x轴的交点即为二次方程的实根，与y轴的交点即为函数的截距。

二、二次函数的变化规律在实际问题中，我们经常需要研究二次函数的变化规律，进而进行数学建模和解决实际问题。

下面我们将从平移、缩放和翻转等方面来详细介绍二次函数的变化规律。

1. 平移：二次函数在坐标系中的平移可以通过改变顶点的坐标来实现。

当二次函数f(x)平移(x₀, y₀)个单位时，新函数的顶点坐标为(x₀,y₀)。

具体而言，如果向右平移a个单位，那么函数变为f(x-a)；如果向左平移a个单位，那么函数变为f(x+a)；如果向上平移b个单位，那么函数变为f(x)+b；如果向下平移b个单位，那么函数变为f(x)-b。

4.2 二次函数的性质

4ac b 2 4a
ymax=
4ac b 2 4a
问题探究
教材p46例2、3
1.二次函数的问题，结合图像可以归更直观形象.
纳
2+ 2.将y=ax2+bx+c配方得 a ( x + ) b 4ac b 之后，就可通过a, 2a , 4a 直接得函数的主要性质，并依此画出图像.
2
b 2a
4ac b 2 4a
练习实践
1. 课本练习1,2,3,4. 2.函数y =4 x2 -mx+5的对称轴为x= D -2，则当x=1时，y=____.
A. – 7 B. 1 C. 17 D. 25
3. y =-x2 -6x+k图像的顶点在x轴上， -9 k= ___________ .
思考交流 1. y=f(x)的图像关于直线x=1对称，
当x ≤1时，y =x2+1;则x>1时，y=
2-4x+5 x _______.
思考交流
2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆车营运的总利润 y(万元)与营运年数x(x∈ N+)为二次函数关系，每辆车营运多少年时可使营运年平均利润最大（ C ） A3 B 4 C5 D 6
16 14 12
11
10
11 7
4
5
8
7
6
4
2
6
10
15
20
4
6
拓展练习 1.菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般期望它达到最高点（大约距地 25到30米）爆炸，如果在距地18米处点火，且烟花冲出的速度是14.7米/秒. （1）写出烟花距地高度与时间的关系式. （2）烟花冲出后何时是它爆炸的最佳时刻？这时距地高度是多少？

二次函数的性质

二次函数的性质二次函数是数学中常见且重要的一类函数。

它的一般形式为 y =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，而 x 是变量。

二次函数的性质包括定义域、值域、顶点坐标、对称轴、开口方向和图像特征等方面。

本文将逐一讨论这些性质。

定义域和值域对于任意的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的定义域为全体实数集 R。

这是因为实数域任何一个实数都可以代入二次函数中进行计算，因此二次函数在整个实数轴上都有定义。

而值域则取决于二次函数的开口方向。

顶点坐标与对称轴二次函数的顶点坐标是其图像的最高点或最低点坐标。

可以通过求导数或完成平方运算等方法求得二次函数的顶点坐标。

对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，其顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，纵坐标为 y = -Δ / (4a)，其中Δ = b^2 -4ac 称为判别式。

根据判别式的正负性，可以判断二次函数的开口方向和顶点的位置关系。

当判别式Δ > 0 时，二次函数开口向上，顶点位于抛物线上方；当判别式Δ < 0 时，二次函数开口向下，顶点位于抛物线下方；当判别式Δ = 0时，二次函数开口向上或向下，顶点位于抛物线上。

对称轴是二次函数图像的中心轴线，其方程为 x = -b / (2a)。

二次函数的图像相对于对称轴是对称的，即对称轴将图像分成两个相等的部分。

开口方向二次函数的开口方向受二次项系数a 的正负性质影响。

当a > 0 时，二次函数开口向上；当 a < 0 时，二次函数开口向下。

图像特征二次函数的图像是一个抛物线。

根据开口方向的不同，二次函数的图像可能是面向上方或下方的弯曲曲线，也可能是特殊案例的直线。

对于一般的二次函数 y = ax^2 + bx + c：当 a > 0 时，图像为面向上方的抛物线；当 a < 0 时，图像为面向下方的抛物线；当 a = 0 时，图像为一条直线。

二次函数的基本性质有哪些

二次函数的基本性质有哪些二次函数，又称为二次多项式函数，是指具有以下形式的函数：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数是高中数学中重要的函数之一，它具有如下的基本性质：性质一：抛物线的开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负来确定。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

性质二：顶点坐标二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出。

顶点的横坐标为 x = -b/(2a)，纵坐标为 f(x) = -(b^2-4ac)/(4a)。

性质三：对称轴二次函数的对称轴是通过顶点的纵坐标所确定的一条直线。

对称轴的方程为 x = -b/(2a)。

性质四：与x轴交点二次函数与x轴的交点（即零点或根）可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。

对于一般的二次方程，可以使用配方法、因式分解或求根公式进行求解。

性质五：函数的增减性当二次函数的二次项系数a>0时，函数的增减性与x轴的交点有关。

若二次函数的根为x1和x2，且x1 < x2，则当 x < x1 或 x > x2 时，函数是递增的；当 x1 < x < x2 时，函数是递减的。

当二次函数的二次项系数a<0时，函数的增减性与顶点有关。

若函数的顶点坐标为（h，k），则当x < h 时，函数是递减的；当 x > h 时，函数是递增的。

性质六：最值二次函数的最值可以通过他的凹凸性来判断。

当二次函数的二次项系数a>0时，函数有最小值，最小值即为顶点的纵坐标k；当二次函数的二次项系数a<0时，函数有最大值，最大值即为顶点的纵坐标k。

性质七：对称性由于二次函数是关于对称轴对称的，所以函数值在对称轴两侧是相等的。

即对于对称轴上的一点(x, f(x))，与之关于对称轴对称的点为(-x,f(-x))，它们的函数值相等。

性质八：图像特点二次函数的图像是一条抛物线，其整体形状由二次项系数a的绝对值大小来决定。

二次函数的性质及其图象

象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个左单位加向右右 (h 减 0)、左（h 0） y=a(x-h)2
上加下减向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜

二次函数图像与性质完整归纳

2.2y ax c=+的性质：上加下减。

a > 向上()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．a < 向下()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．a < 向下()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4.()2y a x h k=-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．a < 向下()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴cbx axy ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成mc bx ax y +++=2（或mc bx axy -++=2） ⑵cbx axy ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或cm x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y axbx c=++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y axbx c=++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=++关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2=---；y ax bx c()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2=---；y a x h k2. 关于y轴对称2=++关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+；()2=-+关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k()2=++；y a x h k3. 关于原点对称2=++关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by axbx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x …-7 -6-5-4-3-2 -1…y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x +2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2y (2)50 23--2 23- 0 25…【例2】求作函数342+--=x xy 的图象。

二次函数的性质

二次函数的性质在数学中，二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。

二次函数是一种非常重要且常见的函数类型，具有多种性质和特点。

本文将就二次函数的性质展开讨论。

1. 定义二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。

其中，a决定了二次函数的开口方向（正负），b决定了二次函数的对称轴的位置，而c决定了二次函数与y轴的交点。

2. 开口方向二次函数的开口方向由a的正负决定。

若a大于0，则二次函数开口向上；若a小于0，则二次函数开口向下。

这一性质决定了二次函数的图像是一个U形或者倒U形。

3. 对称轴二次函数的对称轴由b的取值决定。

对称轴的公式为x = -b/2a。

对称轴是二次函数的一个重要特征，它将二次函数分成两个对称的部分。

4. 顶点对称轴与二次函数的图像交于顶点，顶点的横坐标即对称轴的横坐标，可由上述公式求得。

顶点代表了二次函数的最值点，对于开口向上的二次函数，顶点是一个最小值点；对于开口向下的二次函数，顶点是一个最大值点。

5. 零点二次函数的零点是函数与x轴的交点，即使得f(x) = 0的x值。

二次函数的零点可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到。

若该二次方程存在实根，则二次函数与x轴有两个交点；若该二次方程有一个实数解，则二次函数与x轴相切；若该二次方程没有实根，则二次函数与x轴没有交点。

6. 达到最值点对于开口向上的二次函数，它在对称轴的两侧的函数值逐渐增大，而在对称轴的一侧逐渐减小；对于开口向下的二次函数，则相反。

因此，通过对称轴将二次函数划分为两部分后，我们可以找到二次函数的最大值或最小值点。

7. 判别式判别式是求解二次方程的一个重要工具，它由b^2 - 4ac给出。

判别式可以判断二次方程的根的情况。

若判别式大于0，则方程有两个不相等的实根；若判别式等于0，则方程有两个相等的实根；若判别式小于0，则方程没有实根。

二次函数的性质

二次函数的性质二次函数是一种常见的数学函数形式，它的一般表达式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数具有许多独特的性质，下面将逐一阐述。

一、图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

当 a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中f(-b/(2a))为抛物线的最值。

二、轴对称性二次函数具有轴对称性，即抛物线以垂直于x轴的线为轴对称。

轴对称线的方程为x = -b/(2a)。

三、零点与解析式二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解。

通过求解二次方程ax^2 +bx + c = 0，可以得到二次函数的零点。

解析式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。

四、判别式二次函数的判别式可以帮助我们判断二次方程的根的情况。

判别式的值为D = b^2 - 4ac，根据判别式的不同情况，可得到以下结论：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实数根；3. 当D < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复根。

五、函数的增减性与极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的增减性与a的正负有关。

当a > 0时，函数在抛物线的开口上方是递增的；当a < 0时，函数在抛物线的开口下方是递增的。

同时，函数的极值点即为抛物线的顶点，极值点的纵坐标为函数的最值。

六、对称轴与对称性二次函数的对称轴是垂直于x轴的轴线x = -b/(2a)，对称轴将抛物线分为两个对称的部分。

对称性质表明，若抛物线上存在点(x, y)，那么对称轴上也存在对应的点(-x, y)。

七、二次函数与二次方程的关系二次函数与二次方程紧密相关。

二次函数y = ax^2 + bx + c的图像和性质与二次方程ax^2 + bx + c = 0的解密切相关，二者是一一对应的关系。

二次函数的概念与性质

二次函数的概念与性质二次函数是数学中一个重要的概念，也是高中数学中的重要内容之一。

在本文中，我将详细介绍二次函数的概念与性质。

概念：二次函数是指具有形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c均为常数，且a不等于零。

其中，a决定了二次函数的开口方向，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的顶点位置。

二次函数的自变量为x，因变量为y。

1. 对称轴：二次函数的对称轴是指二次函数图像上的一条直线，将图像分为两个对称的部分。

对称轴的方程为x=-b/2a，其中a、b、c为二次函数的系数。

对称轴的位置决定了二次函数图像的整体形状。

2. 开口方向：二次函数的开口方向取决于二次项系数a的正负性。

当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。

开口方向也反映了二次函数图像的整体形态。

3. 顶点：二次函数的顶点即二次函数图像的最高或最低点。

顶点坐标可由x=-b/2a代入函数表达式得到。

当a大于零时，顶点为图像的最低点；当a小于零时，顶点为图像的最高点。

性质：二次函数有许多重要的性质，下面将介绍其中几个常用的性质。

1. 零点：二次函数的零点是指函数取值为零的自变量值。

二次函数的零点可通过解方程ax^2+bx+c=0得到。

零点的个数与二次函数与x轴的交点数相对应，最多有两个零点。

2. 极值：二次函数的极值即函数的最大值或最小值。

对于二次函数来说，极值恰好就是顶点的纵坐标。

当a大于零时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a小于零时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

3. 函数图像与轴的关系：二次函数图像与坐标轴有一定的关系。

当函数与x轴相交时，即为函数的零点；当函数与y轴相交时，即为函数的截距。

4. 函数的增减性：对于二次函数来说，其增减性分为两种情况。

当a大于零时，函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增；当a小于零时，函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减。

总结：二次函数是一种重要的函数类型，其概念与性质需要我们熟练掌握。

二次函数的性质

二次函数的性质二次函数是高中数学中重要的概念之一，它的研究对于理解数学以及应用数学课程中的许多问题具有重要意义。

本文将探讨二次函数的基本性质，包括定义、图像、顶点、对称轴、增减性、极值点、零点等方面的内容。

1. 定义与图像二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a, b, c为实数且a≠0。

图像是一个抛物线，根据二次项系数的正负与大小可以确定抛物线的开口方向和形态。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 顶点与对称轴二次函数的顶点是抛物线的最低点（a>0）或最高点（a<0），记为顶点（h，k）。

顶点的横坐标公式为h = -b/2a，纵坐标公式为k = f(h)。

对称轴是抛物线上各点关于顶点对称的直线，其方程式为x = h。

3. 增减性与极值点二次函数的增减性与导数有关。

当a>0时，函数在对称轴两侧递增；当a<0时，函数在对称轴两侧递减。

二次函数在顶点处具有极值点，当a>0时为最小值；当a<0时为最大值。

4. 判别式与零点判别式是二次函数的二次项系数与常数项的平方差，记为Δ=b^2-4ac。

判别式的值可以确定二次函数的零点情况。

当Δ>0时，函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，函数有两个相等的实根；当Δ<0时，函数没有实根。

5. 对称性二次函数具有奇对称性，即以顶点为中心对称。

这意味着当x=a时，f(a+h) = f(a-h)，其中h为任意实数。

6. 解析式的变形二次函数的解析式可以通过配方法进行变形。

具体的变形方式包括完全平方与平移变形方法，可以根据具体问题选择适用的变形方式来简化函数的形式。

总结：本文对二次函数的性质进行了综合论述，包括定义、图像、顶点、对称轴、增减性、极值点、零点等方面的内容。

二次函数在数学和应用数学中都具有重要作用，通过研究它的性质可以帮助我们更好地理解和解决各种问题。