层次分析法原理
层次分析方法基本原理
层次分析方法基本原理层次分析法简单的说就是运用多因素分级处理来确定因素权重的方法。
它是一种定性分析和定量分析相结合的评价决策方法，它将评价者对复杂系统的评价思维过程数学化。
层次分析法基本思路是评价者通过将复杂问题分解为若干层次和若干要素，并在同一层次的各要素之间简单地进行比较、判断和计算。
就可以得出不同替代案的重要度，从而为选择最优方案提供决策依据。
层次分析法特点是：能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受; 所需定量数据信息较少。
⑵层次分析法图解:评估每一层针对上一层的因素的重要程度，通过传递性，最后确定因素层的指标相对于目标层的重要程度，从而确定全部指标的权重系数⑶应用层次分析法进行综合评价其主要步骤有：第一步：对构成评价问题的目标(准则)及因素等要素建立多级递阶结构模型。
第二步：在多级递阶结构模型中，对属同一级的要素，用上一级的要素为准则进行两两比较后，根据判断尺度确定其相对重要度，并据此建立判断矩阵。
对于递阶层次结构中各层上的元素可以依次相对于与之有关的上一层元素，进行两两比较，从而建立一系列的判断矩阵。
判断矩阵A = (aij)n x n具有下述性质：其中，aij(i,j = 1,2,…,n)代表元素Ui与Uj相对于其上一层元素重要性的比例标度。
判断矩阵的值反映了人们对各因素相对重要性的认识，一般采用1-9比例标度对重要性程度赋值。
标度及其含义如下表所示表&判断矩阵标度及其含义 标)K二| 含义 「 1表不两个兀素相比，具有同等重要性 3表亦两个兀素相比，前着比后着稍微重要 5 r 表不两个兀素相比，前者上LS 者明显重要—] 1r 表乔两个兀素相比.前肴匕逅若强烈重要 g表乔两个兀素相比，前看比后着极端重要 r 24 血 & 表示上述相邻判断的中间值 |倒数若芫素i 与芫素j 的重要性之比为珈那么元素j 与元素連要性之上匕为砸=1 / aij第三步：通过一定计算后，确定各要素的相对重要度：四个步骤如下①计算单一层次下元素的相对权重并进行一致性检验 1矩阵A 的最大特征根为 入max ，其相应的特征量为W ，解判断矩阵A 的 特征根问题 最大特征根及其对应的特征向量通常应用方根法来求解，具体计算步骤如下:为同一层次相应元素对于上一层次某一因素相对重要性的权重向量 2用估计得到的排序向量左乘判断矩阵得到一个新的向量， 依次用你排序向量的 每个分量去除这个新向量的每个对应分量， 得到了另一个向量，对这个向量的分 量求和然后除以分量的个数，得到了关于特征根入 max 的近似值 由于客观事物的复杂性以及人们对事物认识的模糊性和多样性，所给出的判断矩 阵不可能完全保持一致，有必要进行一致性检验，计算一致性指标 CI 其中，n 为判断矩阵阶数。
层次分析法(AHP法)
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定义一致性比率 ： CR CI
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通 过一致性检验。否则要重新构造成对比较矩阵A，对
aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1
及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。
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例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是
去凉爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下 的桂林？通常会依据景色、费用、食宿条件、 旅途等因素选择去哪个地方。
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例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企
业等单位可以去选择，一般依据工作环境、 工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。
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由于λ(A的特征根) 连续的依赖于aij ，则λ比n 大的 越多，A 的不一致性越严重。引起的判断误差越大。 因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程
度。
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重
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2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽 程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因 一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带 来困难。
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3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重 要的。层次结构建立在决策者对所面临的 问题具有全面深入的认识基础上，如果在 层次的划分和确定层次之间的支配关系上 举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题 各部分相互之间的关系，以确保建立一个 合理的层次结构。
层次分析法
(一)层次分析法1、层次分析法的概念“层次分析法的基本原理是将复杂系统中的各种因素，依据相互关联及隶属关系划分为一个递阶层次结构；依赖专家经验及直觉评判同一层次内因素的相对重要性，并用一致性准则检验评判的准确性；然后在递阶层次结构内进行合成;以得到决策因素相对于目标的重要性的总排序。
”12、层次分析法的主要步骤（1）构建层次分析的结构模型首先将复杂的问题进行条理化和层次化改造,构造出一个层次分析的结构模型，在该模型中,复杂问题被分解为目标层、准则层和方案层三类不同层次.其中目标层中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标，其余每一层因素受上一层次因素支配。
准则层包括了实现目标的中间环节，它包括下一层次的子准则，即方案层，方案层为系统层次分析的最直接表现形式。
层次分析法的结构模型在上图所示模型中，A层次为目标层元素，B 层次为准则层元素,一般也称为一级指1张宏华、《AHP在公路BOT项目风险评价中的应用》、科技资讯、2009年标，C层次为方案层元素，也可称为二级指标。
（2）专家评分建立层次分析法判断矩阵为了建立指标权重评判标准和构造判断矩阵,Saaty提出相对重要性比例标度，即1~9 层次比例标度,相对重要性比例标度的含义如表2—3所示。
假设有n个元素C1、C2，。
,C n给定一个准则,利用上表所给的相对重要性比例标度方,对元素C i和C j做两两比较判断，获得相对重要度的值a ij，构成矩阵。
专家根据评判准则对各个因素的权重两两比较并进行了打分之后，经过整理，可以得到因素权重的判断矩阵A：矩阵 A 中的各元素a ij 表示行指标A i 对列指标A j 相对重要性的比例标度,则判断矩阵A 中指标两两比较的特点有a ij ＞0，a ij ＝1，a ij ＝1/a ji （i ，j=1，2，。
..。
..n ）。
如果a ij ＜1，表示A j 比A i 重要； 如果a ij ＞1，表示A i 比A j 重要; 如果a ij ＝1，表示A j 与A i 同样重要.根据判断矩阵A 在选择上的一致性要求，理想情况下，a ik*a jk =a ij （代表相对重要性所具有的传递性原理，满足该性质的矩阵A 称为一致矩阵)，虽然在构造判断矩阵A 时并不要求判断具有一致性,但判断偏离一致性过大也是不允许的。
层次分析法原理
层次分析法原理
层次分析法是一种定量分析方法，用于解决多目标决策问题。
该方法通过建立一个层次化的结构模型，将复杂的决策问题分解为多个层次，并对各层次之间的关系进行比较和评价，最终得出最优的决策方案。
层次分析法的基本原理是将决策问题中的各个因素以及它们之间的关系构建成一棵树状结构。
首先，确定决策问题的总目标，再将总目标分解为若干个次目标。
然后，将次目标进一步分解为若干个准则。
在每个准则下面，又可以分解为若干个子准则。
一直进行下去，直到最底层的指标或要素无法再分解。
在层次分析法中，决策者需要对每个层次进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
比较的方法可以是两两比较、两两排序或设置量化的比较尺度。
通过比较和评价，可以得到每个层次下各个因素的权重或重要程度。
最后，利用权重进行计算，可以将不同层次的因素加权求和，从而得到各个决策方案的综合评价值。
根据综合评价值的大小，确定最优的决策方案。
层次分析法的优点是能够有效地将决策问题分解为层次结构，避免了因素之间的混淆和模糊性。
同时，该方法还考虑了不同因素之间的相对重要性，能够更准确地评价不同方案的优劣。
总结起来，层次分析法通过构建层次结构模型，并对各个层次
进行比较和评价，以得出最优的决策方案。
它适用于复杂的决策问题，并能够提供定量化的决策依据。
层次分析法
层次分析法，又称“直接成分分析法”，是对句法单位（包括短语和句子）的直接成分进行结构层次分析的方法。
由于切分过程中尽可能采用二分，所以层次分析法又称作“二分法”。
1、基本分析原则语法从表面上看是线性排列的符号序列。
线性排列是指按照时间先后顺序说出或写出的形式。
但是语法结构却是有层次性的，层次是指句法单位在组合时所反映出来的不同的先后顺序。
表层的线性关系背后暗含着隐性的层次关系。
小的语法单位是大语法单位的组成部分，大的语法单位是由小的语法单位组合而成的，本身又可以成为更大语法单位的组成部分。
语法结构的每个层次一般直接包含比它小的两个语法单位，这两个小的语法单位就是直接成分。
每一个直接成分又可以包含更小的直接成分。
例如：我们进行社会调查|主||____谓_______||_述| 宾____ ||_定）中|层次分析法就是逐层将一个句法单位（联合短语等由多个直接成分组成的短语除外）切分成两个直接成分，直到不能再切分为止的句子分析方法。
2、分析过程层次分析法的分析过程主要包括两个步骤：第一步是切分结构层次，第二步是确定结构关系。
例如：他去年去了一趟美国。
|__||___________________| 主谓关系|___||______________| 状中关系|________| |__| 述宾关系|_| |___| 述补关系切分过程中应注意：①第一步切分非常重要，第一步切分不当，后面便容易全都切错。
②必须逐层切分，直至分析出每个实词，语素不需要切分。
③为避免切分过程中的遗漏，一般采用从左到右、从上到下、逐块切分的分析步骤。
3、层次分析法的图解表示层次分析法中常用的图解表示法是切分法、组合法和树形图。
①切分法切分法是最常用的方法，将所要分析的短语或句子作为一个整体，从大到小，逐层切分。
例如：申奥成功有助于中国的改革与开放。
|_ 主__| |______ 谓________________||主| |谓| |_述_ |______ 宾___________||__ 定_）_ 中_______|| 联+ 合|②组合法组合法是把所要分析的短语或句子切分到单词，然后从小到大，依次组合起来。
层次分析法基本原理、实施步骤、应用实例
二、层次分析法的基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分 解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及 隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的 分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的 方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确 定或相对优劣次序的排定。
• 最高层：决策的目的、要解决的问题。 • 最低层：决策时的备选方案。 • 中间层：考虑的因素、决策的准则。 • 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因
素层。 下面举例说明。
例1 大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时，
用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就 毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例 如：
素相互比较的困难，以提高准确度。
判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层 不要超过9个因素。
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来， 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量 化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
• 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与 定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其 系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各 个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、 政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、 城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛 的重视和应用。
是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方 法。
• 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选 择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例
层次分析法的原理
层次分析法的原理层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于多准则决策的数学模型。
它由美国数学家Thomas L. Saaty于20世纪70年代提出，被广泛应用于各个领域的决策分析中。
层次分析法基于人们在决策过程中常常需要考虑多个因素及其相对重要性的观点，通过对这些因素进行定量化和比较，帮助决策者做出理性决策。
层次分析法的原理主要包括层次结构、成对比较和权重计算三个部分。
一、层次结构：在层次分析法中，我们首先需要构建一个层次结构，将决策问题划分为不同的层次。
层次结构由目标层、准则层、子准则层和方案层组成。
目标层：决策问题的最终目标，通常只有一个。
准则层：实现目标所需的准则或评价指标，可以有多个。
子准则层：对每个准则进行细分或进一步评价的子指标，根据实际情况确定是否需要。
方案层：候选方案或决策选项，可以有多个。
二、成对比较：通过成对比较来确定各个层次之间的重要性或优先级。
成对比较是指将两个层次中的元素逐一配对，并根据它们之间的重要性进行比较。
在成对比较中，使用1-9的数值尺度，其中1表示相等重要，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
通过比较各个元素对的重要性，可以建立一个判断矩阵。
例如，在准则层中，假设有三个准则A、B、C，那么我们需要进行三次成对比较，得到一个3x3的判断矩阵。
同样，在子准则层或方案层中，也需要进行成对比较，得到相应的判断矩阵。
三、权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，可以得到各个层次的权重，用于确定决策的最终结果。
特征向量是指矩阵的一个列向量，使得该矩阵与特征向量的乘积等于特征值乘特征向量。
通过对判断矩阵的特征向量进行归一化处理，可以得到各个层次的权重，用于计算总体权重或方案的优先级。
最后，根据权重计算的结果，可以得到最优的决策选择。
层次分析法的原理基于多个准则、多个层次的权重计算，旨在帮助决策者以合理的方式处理决策问题，并提供一种定量化的决策分析方法。
层次分析法
层次分析法层次分析法是一种应用广泛的决策分析方法，它通过构建层次结构和比较矩阵，来对不同因素进行排序和权重分配，帮助决策者做出合理的决策。
本文将介绍层次分析法的基本原理、应用领域以及一些实际案例。
一、层次分析法的基本原理层次分析法由美国运筹学家托马斯·L·塞蒂提出，它是一种定性和定量相结合的分析方法，能够综合考虑多个因素的重要性和相互关系。
它的基本原理如下：1. 层次结构：将决策问题分解成多个层次，从上至下逐级细化。
顶层是目标层，中间层是准则层，最底层是方案层。
2. 比较矩阵：在每个层次内，通过构建比较矩阵来判断各因素之间的重要性。
比较矩阵是一个n×n的正互反矩阵，其中n是该层次因素的个数。
通过对各因素进行两两比较，得出相对重要性的判断。
3. 加权优先向量：通过对比较矩阵进行特征向量的计算，可以得到各个因素的权重。
特征向量是对比较矩阵的主特征值对应的特征向量，也称为特征向量法。
4. 一致性检验：通过一致性指标和一致性比率的计算，判断构建的比较矩阵是否合理。
一致性指标表示了矩阵的内部一致性程度，一致性比率则是对一致性指标进行归一化，判断是否满足一致性。
5. 综合评价：通过计算得出的权重，进行乘积运算和累加运算，得到方案的综合评价值。
综合评价值越高，方案越优。
二、层次分析法的应用领域层次分析法在许多领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、环境科学、社会科学等。
下面是一些常见的应用领域：1. 投资决策：在投资决策中，可以将不同的投资方案作为方案层，通过比较各个方案的风险性、收益性等因素，来确定投资方向。
2. 供应链管理：在供应链管理中，可以将供应商的价格、质量、交货周期等因素作为准则层，通过比较不同供应商的重要性，来选择合适的供应商。
3. 项目评估：在项目评估中，可以将项目的成本、时限、风险等因素作为准则层，通过比较各个因素的重要性，来评估项目的可行性和优先级。
4. 人才选拔：在人才选拔中，可以将候选人的学历、工作经验、专业技能等因素作为准则层，通过比较各个因素的重要性，来确定最佳人选。
层次分析法的原理
1 层次分析法的原理层次分析法是70年代由美国运筹学家T．L．Saaty提出的，经过多年的发展现已成为一种较为成熟的方法。
其基本原理是：将要评价系统的有关替代方案的各种要素分解成若干层次，并以同一层次的各种要素按照上一层要素为准则，进行两两判断比较并计算出各要素的权重，根据综合权重按最大权重原则确定最优方案。
它是在简单加性加权法的基础上推导得出的。
2 流域规划中层次分析法研究在流域环境质量评价中，为相对精确地比较不同断面污染程度，必须对其不同污染物的超标情况加以评价并得出综合性结论，然后根据各断面所在水域的保护类别，确定其重要性，最后对流域各断面环境质量状况进行排序。
因此，根据层次分析法的基本原理，按如下步骤对流域水环境质量进行评价。
（1）建立层次结构模型将流域环境质量评价作为层次分析的目标层（A），将各断面作为层次分析的资源层（B），将各污染物的单因子指数作为层次分析的方案层，建立流域环境质量层次结构模型如图1。
图1 流域内水质综合评价层次图（2）构造判断矩阵并求最大特征根和特征向量由于层次结构模型确定了上下层元素间的隶属关系，这样就可针对上一层的准则构造不同层次的两两判断矩阵。
若两两判断矩阵设为（a ij）n×n，则有a ij＞0；各层次具体判断矩阵构造方法是：在流域环境质量综合评价目标层（A）下，根据各断面所在区域的保护类别以及是否有饮用水源地等因素，两两比较断面的重要性，类别越高，其重要性越高，即Ⅱ类保护区比Ⅲ类保护区重要，有饮用水源地地区又比没有饮用水源地地区重要等等，如此类推，构造该级别判断矩阵（A—B）。
这里可引用1-9标度对重要性判断结果进行量化，标度如表1。
构造（B-C）判断矩阵则是用各断面各污染物单因子指数的两两比值作为矩阵中元素。
表1 相对重要性标度*标度定义1 i因素与j因素相同重要3 i因素与j因素略重要5 i因素与j因素较重要7 i因素与j因素非常重要9 i因素与j因素绝对重要2，4，6，8 为以上两判断之间的中间状态对应的标度值倒数若i因素与j因素比较，得到判断值为a ij=1/a ji，a ii=1*表中i和j因素是指水体保护区类别、饮用水源地分布等。
层次分析法原理
3
用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：
（1） 建立层次结构模型；
（2）构造判断矩阵； （3）层次单排序； （4）一致性检验； （5）层次总排序。
其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
4
实例：人们在日常生活中经常会碰到多目标决策问题，例如 假期某人想要出去旅游，现有三个目的地（方案）：风光绮 丽的杭州（P1）、迷人的北戴河（P2）和山水甲天下的桂林 （P3）。假如选择的标准和依据（行动方案准则）有5个： 景色，费用，饮食，居住和旅途。则常规思维的方式如下：
所对应的特征向量分别为：
max( 4) 3.009 ,
max( 5) 3.
W2( 3)
0.082 0.429 0.633 0.166 ( 3) ( 3) ( 3) 0.236 W3 0.429 , W4 0.193 , W5 0.166 . 0.682 0.142 0.175 0.668
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（4）一致性检验
1 2 A 1 / 4 1 / 3 1 / 3 1/ 2 4 1 7 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3 3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
a14 3, a43 2
a13 a14 a43 3 2 6.
常 规 思 维 过 程
确定这些准则在你心目中各占的比重多大；
就每一准则将三个地点进行对比；
将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。
5
（1） 建立层次结构模型
目标层Z 选择旅游目的地
拟解决的问题 （总目标）
准则层C
景 色
层次分析法简介
3）计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向 量。
4）求各个方案的优劣次序
▪ 权值最高的为最优方案
4）求各个方案的优劣次序
2）构造成对比较阵 用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向 量。
4）求各个方案的优劣次序
2）构造成对比较阵
A、确定权系数 设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量。其线性组合： y=w1x2+w2x2+ …+wnx 是综合评判函数。 w1,w2, … wn是权重系数，其满足： wi0 ,
P3 北戴河
例1 国家实力分析
国民 收入
国家综合实力
军事 力量
科技 水平
社会 稳定
对外 贸易
例2 工作选择
美、俄、中、日、德等大国 工作选择
贡
收
发
声
献
入
展
誉
关
位
系
置
供选择的岗位
例3 横渡江河、海峡 方案的抉择
过河的效益 A
经济效益 B1
社会效益 B2
环境效益 B3
节 收 岸 当 建 安全 交往 自豪
2）构造成对比较阵 用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向 量。
4）求各个方案的优劣次序
层次分析法的方法与原理
层次分析法的方法与原理层次分析法的方法和原理一、层次分析法简介层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。
在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。
比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游地的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。
这些因素是相互制约、相互影响的。
我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。
这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。
层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。
层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。
所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序，以作为目标(多指标)、多方案优化决策的系统方法，称为层次分析法。
二、层次分析法的定义所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序，以作为目标(多指标)、多方案优化决策的系统方法，称为层次分析法。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
层次分析法原理及计算过程详解
层次分析法原理及计算过程详解写在前面：层次分析法是一个很早的决策算法了，它能够处理多目标多准则的决策问题，思维方式却很简单。
由于其系统性等优点，后续很多算法都有借鉴，所以这里写一写。
网上关于该方法的讲解很多也很详细，所以本篇都是在前辈的基础上进行整理加工。
文章尽量详细，然后加上一些我自己的理解，希望后面看到的人能够读起来更轻松，更容易接受。
注意：文中说的判断矩阵，又称成对比较阵目录：1.层次分析法概论1.2什么是决策1.3 决策分析法原理2.层次分析法的基本步骤2.1 层次分析法步骤2.2 建立层次结构模型2.3 构造判断矩阵2.4 计算单层权向量并做一致性检验2.5 计算组合权向量(层次总排序)并做一致性检验2.6 层次分析法基本步骤归纳3. 层次分析法的优缺点3.1 层次分析法的优点4.注意事项5.可应用的领域6. 完整例子分析6.1 旅游问题6.2 干部选择问题1.层次分析法概论1.1 什么是层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代初期由美国匹兹堡大学运筹学家托马斯·塞蒂（T.L. Saaty）在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”的课题时提出。
它是一种应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
是对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。
层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。
是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
第六章 层次分析法
五、层次分析法应用举例
例 1 某单位拟从三名干部中提拔一人担任领导工作，干部的优劣（由上级人事部门提出），
用六个属性来衡量：健康状况、业务知识、写作水平、口才、政策水平、工作作风，分别用
p1、p2、p3、p4、p5、p6 来表示。
p4 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3
p5
1
1 1/3 3
1
1
p6
2
2
2
3
1
1
利用MATLAB计算可得:
W = (w1 ,⋯,wn )T = (0.1584,0.1892,0.198,0.0483,0.1502,0.2558)T ， λmax = 6.42 ，
CI = 0.0841， CR = 0.0667 < 1。
m
∑ bi = bij a j ， i = 1,⋯, n 。
j =1
层次 A
A1
A2
层次 B
a1
a2
B1
b11
b12
总层次排序权值表
……..
Am
……..
am
……..
b1m
……..
B2
b21
b22
b2m
⋮
⋮
⋮
……..
⋮
B 层总排序权值
n
∑a jb1j
j=1
n
∑ajb2 j
j=1
⋮
……..
Bn
bn1
bn2
对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子
层次分析法介绍
层次分析法介绍我顶！一.层次分析法的基本原理1.引言层次分析法(Analytia1 Hierarchy Process，简称AHP)是美国匹兹堡大学教授A．L．Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。
AHP是一种能将定性分析与定量分析相结合的系统分析方法。
AHP是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具。
它具有思路清晰、方法简便、适用面广、系统性强等特点，便于普及推广，可成为人们工作和生活中思考问题、解决问题的一种方法。
将AHP引入决策，是决策科学化的一大进步。
它最适宜于解决那些难以完全用定量方法进行分析的决策问题，因此，它是复杂的社会经济系统实现科学决策的有力工具。
应用AHP解决问题的思路是：首先，把要解决的问题分层系列化，即根据问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同的组成因素，按照因素之间的相互影响和隶属关系将其分层聚类组合，形成一个递阶的、有序的层次结构模型。
然后，对模型中每一层次因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值。
最后，通过综合计算各层因素相对重要性的权值，得到最低层(方案层)相对于最高层(总目标)的相对重要性次序的组合权值，以此作为评价和选择方案的依据。
2.基本原理我们可以分析下面这个简单的例子，来说明AHP的基本原理。
二.层次分析法的步骤用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：(1)建立层次结构模型；(2)构造判断矩阵；(3)层次单排序；(4)层次总排序；(5)一致性检验。
其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
1.建立层次结构模型运用AHP进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，按照最高层、若干有关的中间层和最低层的形式排列起来。
对于决策问题，通常可以将其划分成层次结构模型。
其中：最高层：表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标。
中间层：它表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等。
层次分析法原理
7
设准则层包含5个准则，景色：C1，费用：C2，居 住：C 3 ，饮食：C 4 ，旅途：C 5 。相对于目标层：选择 旅游地，进行两两比较打分。 选择旅游目的地
景 色
C1
C1 1 C2 2 A C 3 1 / 4 C 4 1 / 3 C5 1 / 3
费 用
C2
1/ 2 1 1/ 7 1/5 1/5
1 2 A 1 / 4 1 / 3 1 / 3 1/ 2 1 1/ 7 1/5 1/5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1 3 5 1/ 3 1 1
max 5 . 073 对应于 max 的正规化的特征向量为：
W
(2)
W2
(3)
W3
(3)
17
（4）一致性检验
1 2 A 1 / 4 1 / 3 1 / 3 1/ 2 1 1/ 7 1/5 1/5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1 3 5 1/ 3 1 1
a 1 4 3, a 4 3 2
P2
0 .4 2 9 0 .4 2 9 0 .1 4 2
P3
0 .6 3 3 0 .1 9 3 0 .1 7 5 0 .1 6 6 0 .1 6 6 0 .6 6 8
19
以 W 为列向量构成矩阵：
0 . 595 0 . 277 0 . 129
经计算得： max
3 . 005
W1
(3)
对应于 max 的正规化的特征向量为：
16
第三步，算出 B 2 , B 3 , B 4 , B 5 的最大特征值分别为：
层次分析法原理
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
… 小石块Wn
11
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）
a.
将A的每一列向量归一化得：w~ij
aij
n
/ aij
b. c.
对将w~w~i i归j 按一行化求wi和 得w~i：/ wn~iw~i ,
n j 1
w
w~ij (
景色，费用，饮食，居住和旅途。则常规思维的方式如下：
常
确定这些准则在你心目中各占的比重多大；
规
思
维
就每一准则将三个地点进行对比；
过
程
将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。
5
（1） 建立层次结构模型
目标层Z
选择旅游目的地
准则层C 景 费
居
饮
色用
住
食
拟解决的问题 （总目标）
为实现总目标
而采取的措施
7 1
9 5
1/ 9 1/ 5 1
由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。
各属性的最大特征值
特征值 健康情况 业务知识 写作能力 口才 政策水平 工作作风
m ax
3.02
3.02
3.56
3.05 3.00
3.21
25
0.140.100.320.280.470.77
(3)
W 0.630.330.220.650.470.17
CR CI RI
当CR<0.1时，A的不一致性程度在容许范围 内，此时可用A的特征向量作为权向量。
14
第一步：自上而下，先求判断矩阵A的最大特征 根与特征向量。
1 1/ 2 4 3 3 2 1 7 5 5
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基本概念
什么是权重（权系数）？ 在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn 的线性组合： z w x + w x + L + w x
n
其中 w i 0 , w i . 1 则 标Z的权重， i 1
1 1
2
2
n
n
n
w 1 , w 2 ,..., w
T
叫各因素对于目
层次分析法原理
背景介绍
AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法是美国运 筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多 方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将 定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把 决策过程层次化、数量化。
该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定 量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活 简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能 源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到 了广泛的重视和应用。
用于解决问题 的备选方案
选择旅游地的层次结构
6
（2）构造判断矩阵
通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩 阵。在层次分析法中，为使矩阵中的各要素的重要性能够进行 定量显示，引进了矩阵判断标度（1～9标度法） : 标度 含义 1 3 表示两个元素相比，具有同样的重要性 表示两个元素相比，前者比后者稍重要
1 2 A 1 / 4 1 / 3 1 / 3
1/ 2 4 1 7 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3
3 5 5 1 / 2 1/ 3 1 1 1 1 3
max 5.073 对应于 max 的正规化的特征向量为：
W ( 2) (0.263 0.475,0.055,0.099,0.110)T ,
，作为最大特征根的近似值。
0.6 0.615 0.545 按行求和 0.3 0.308 0.364 0.1 0.077 0.091 1.760 0.972 0.268
1 2 6 列向量 A 1 / 2 1 4 归一化 例： 1 / 6 1 / 4 1
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利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果：
选择旅游地
0.263 景 色 0.475 费 用 0.055 居 住 0.099 饮 食 0.110 旅 途
P1
0.595 0.277 0.129 0.082 0.236 0.682
5
7 9
表示两个元素相比，前者比后者明显重要
表示两个元素相比，前者比后者极其重要 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要
2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值
倒数：若元素i和元素j的重要性之比为aij,那么元素j与元 素i的重要性之比为aji=1/aij 对于要比较的因子而言，你认为一样重要就是1:1，强烈重 要就是9:1，也可以取中间数值6:1等，两两比较，把数值填入， 并排列成判断矩阵（判断矩阵是对角线积是1的正反矩阵即可）。
ij
~ ~ ~ b. 对 wij 按行求和得：wi wij n
i 1
n
i 1
ij
~ ~ j ~ 归一化 wi wi / wi , w1 ( w1 , w2 ,..., wn ) T，即为近似特征根（权向量） c. 将 wi
n 1 ( Aw ) i d. 计算 n i 1 wi
2
层次分析法的基本思路：先分解后综合
整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析 有机结合，实现定量化决策。 首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要 达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素 间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合， 形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、 措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的 权值或相对优劣次序的问题。
前述计算得到了最大特征跟： max 5.073
CI
max - n
n -1
5.073 - 5 0.01825 5 -1
查表知平均随机一致性指标RI，从而可检验矩阵一致性：
CR CI 0.01825 0.016295 0.1 RI 1.12
同理，对于第二层次的景色、费用、居住、饮食、旅途五 个判断矩阵的一致性检验均通过。
0.595 0.277 0.129
16
第三步，算出 B2 , B3 , B4 , B5 的最大特征值分别为：
max(2) 3.002, max(3) 3,
所对应的特征向量分别为：
max(4) 3.009,
max(5) 3.
W2( 3)
0.082 0.429 0.633 0.166 ( 3) ( 3) ( 3) 0.236 W3 0.429, W4 0.193, W5 0.166. 0.682 0.142 0.175 0.668
1.769 0.587 归一化 0.324 w Aw 0.974 0.268 0.089
1 ( 1.769 + 0.974 + 0.268 ) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T, max=3.009
7
设准则层包含5个准则，景色：C1，费用：C2，居 住：C 3 ，饮食：C 4 ，旅途：C 5 。相对于目标层：选择 旅游地，进行两两比较打分。 选择旅游目的地
景 色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
C1 C2 C3 C4 C5
C1 1 C2 2 A C3 1 / 4 C4 1 / 3 C5 1 / 3 1/ 2 4 1 7 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3 3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
相对于居住
P P 1 2 P 1 1 1 B3 P2 1 1 P3 1 / 3 1 / 3 P 3 3 3 ` 1
相对于饮食
P 1 P 2 P 3
相对于旅途
P 1 P 2 P 3
P 1 3 4 1 B4 P2 1 / 3 1 1 P3 1 / 4 1 ` 1
常 规 思 维 过 程
确定这些准则在你心目中各占的比重多大；
就每一准则将三个地点进行对比；
将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。
5
（1） 建立层次结构模型
目标层Z 选择旅游目的地
拟解决的问题 （总目标）
准则层C
景 色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
为实现总目标 而采取的措施 和方案
方案层P
P1
P2
P3
n RI
1 0
2 0
3
4
5
6
7
8
9 1.45
10
11
0.58 0.90 1.12 1.24
1.32 1.41
1.49 1.51
（3）一致性比率（用于确定A的不一致性的容许范围） CI CR RI 当CR<0.1时，A的不一致性程度在容许范围 内，此时可用A的特征向量作为权向量。
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第一步：自上而下，先求判断矩阵A的最大特征 根与特征向量。
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第二步：计算与准则层各准则相关的判断矩阵最大特征 跟及权向量：
相对于景色
P 1
P 2
P 3
P 1 2 5 1 B1 P2 1 / 2 1 2 P3 1 / 5 1 / 2 ` 1
经计算得：max 3.005
W1( 3)
对应于 max的正规化的特征向量为：
1 Aw 1 / 2 1 / 6
2
1
1/ 4
6 4 1
0 . 587 0 . 324 0 . 089
1 . 769 0 . 974 0 . 268
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判断矩阵的一致性检验
判断矩阵通常是不一致的，但是为了能用它的对应于特 征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应 在容许的范围内.如何确定这个范围？ CI=0 时A一致； CI - n （1）一致性指标： n -1 CI 越大，A的不一致性程度 越严重。 （2）随机一致性指标RI：
P 1 1 1/ 4 1 B5 P2 1 1 1 / 4 P3 4 4 1
9
（3）层次单排序
所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次 各因素的重要性的排序。 具体计算是：对于判断矩阵B，计算满足 BW maxW 的 特征根与特征向量。
W 式中 max 为 B 的最大特征根， 为对应于 max 的正规化 W 的特征向量， 的分量i 即是相应元素单排序的权值。
w ( w1
,
w2 ,..., wn )
叫权向量.
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性 之类。
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
小石块W1 小石块W2 … 小石块Wn
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a. 将A的每一列向量归一化得： ij
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数） n ~ a /a w
3
用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：
（1） 建立层次结构模型；
（2）构造判断矩阵； （3）层次单排序； （4）一致性检验； （5）层次总排序。
其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。