【书城】2017年全国高考考前解答题必考点(理数)命题揭秘之立体几何：知识必备.doc

一、柱体、锥体、台体的侧面积和表面积

（1）旋转体的侧面积和表面积

=2,=,=(')S rl S rl S r r l πππ+柱侧锥侧台侧.

22222=22,=,=(')(')=4S rl r S rl r S r r l r r S r πππππππ+++++柱全锥全台全球表，.

（2）几何体的体积公式

'3114=sh,=,==333

V V sh V r π柱锥台球（）h,V . 二、点、线、面之间的关系

1.直线与平面平行

（1）判断定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行）即：,a b αα⊄⊂，且a b ⇒a α .

其它判断方法：,a a αβαβ⊂⇒ .

（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行⇒线线平行）即：,,a a l a l αβαβ⊂=⇒ .

2.平面与平面平行

（1）判断定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）.即：,,,,a b a b M a b ββαααβ⊂⊂=⇒ .

（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行⇒线线平行）.即：,,a b a b αβγαγβ==⇒ .

3.直线与平面垂直：

（1）定义：若直线l 与平面α内的任一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直.

（2）判断定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直线面垂直）.即：,,,,a b l a l b a b P l ααα⊂⊂⊥⊥=⇒⊥ .

（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：,a b a b αα⊥⊥⇒ .

4.平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

（2）判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.即：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥.

（3）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直.即： ,,,a b a b a αβααββ⊥⊂=⊥⇒⊥ .

三、空间向量在立体几何中的应用

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向

量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．

②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向

量，则求法向量的方程组为00=⎧⎨=⎩ n a n b .

2.用向量证明空间中的平行关系

①设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则1l ∥2l (或1l 与2l 重合)⇔1v ∥2v .

②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量1v 和2v ，则l ∥α或l ⊂α⇔存

在两个实数x ，y ，使v ＝x 1v ＋y 2v .

③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u

④设平面α和β的法向量分别为1u ，2u ，则α∥β⇔1u ∥2u .

3. 用向量证明空间中的垂直关系

①设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则1l ⊥2l ⇔1v ⊥2v ⇔1v ·2v ＝0.

②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .

③设平面α和β的法向量分别为1u 和2u ，则α⊥β⇔1u ⊥2u ⇔1u ·2u ＝0.

4.共线与垂直的坐标表示

设()123,,a a a a = ，()123,,b b b b = ，

则()112233,,a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔⇔∈ ∥====

()

11223300,a b a b a b a b a b a b ⊥⇔=⇔++= 均为非零向量 5.两条异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．

②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,]2π

．

③向量求法：设直线a ，b 的方向向量为a b ，，其夹角为φ，则有cos |cos |||||||

a b a b θϕ⋅==⋅ . 6．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，

直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |

.

7．求二面角的大小

(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝

〈AB ，CD 〉．

(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小

12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．

8．空间向量的坐标表示及运算

(1)数量积的坐标运算

设()123,,a a a a = ，()123,,b b b b = ， 则①()112233,,a b a b a b a b ±=±±± ，， ②()123,,a a a a λλλλ= ；

③112233++a b a b a b a b = .

(2)共线与垂直的坐标表示

设()123,,a a a a = ，()123,,b b b b = ， 则()112233,,a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔⇔∈ ∥==== ()

11223300,a b a b a b a b a b a b ⊥⇔=⇔++= 均为非零向量 (3)模、夹角和距离公式

设()123,,a a a a = ，()123,,b b b b = ，

则a =

cos ,a b a b a b == 设()()111222,,,,,A a b c B a b c ==

则||AB d AB == 9. 点面距的求法

如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离AB n d n

=

.