六年级第18讲 高斯记号(教师版)

第18讲 高斯记号
1、用{x}表示数x 的小数部分，[x]表示x 的整数部分．如{2.3}=0.3，[2.3]=2．若a+ [b]=15.3，{a}+b=7.8，则a= ，b= 。

【答案】8.3；7.5
【分析】根据第一个式子可知a 的小数部分是0.3，所以{a}=0.3，所以b=7. 8-0. 3=7.5，[b]=7，所以a=15.3 -7 =8.3．
2、用[x]表示不超过x 的最大整数，并令{x}=x-[z]．
若z 、y 、z 满足下列关系：
x+{y} =2011,[y]+{z}=18.8，z+{x}=6，求x+y+z= .
【答案】2034.8
【分析】 因为[y]+ {z}=18.8，而[y]是整数，所以{z}=0.8，[y]=18．
因为z+{z}=6，即[z]+ {y}+{x}=6，所以[z]=5，z =5.8，{z}+{x}=1，{x}=0.2．
因为x+{y}=2011，即[x]+{y}+{z}= 2011，所以[x]=2010，x=2010.2，{x}+{y}=1, {y}=0.8． y=18.8，所以x+y+z= 2010. 2+18. 8+5. 8=2034.8.
3、如果正整数n 使得[
2n ]+[3n ]+[4n ]+[5n ]+[6
n ]=69。

则n 为 ．（其中[x]表示不超过x 的最大整数）
【答案】48,49
【分析】根据题意，由于[2n ]+[3n ]+[4n ]+[5n ]+[6n ]=69<2n +3n +4n +5n +6n =20
29n ， 而[2n ]+[3n ]+[4n ]+[5n ]+[6n ]=69>2n -1+3n -1+4n -1+5n -1+6
n -1， 则有：n<
292074⨯=291480=51291 所以n 只能取48，49，50，51，经试验，只有n=48，49时符合条件．
4、在[201112]，[201122]，[201132]，……，[2011
20112
]中共出现了多少个互不相同的数？
【答案】1509
【分析】根据题意，[201120112
]=2011，而1007²-1006²=2013，所以从[2011
10062]开始每两个相邻的[20112
n ]与[2011
)1(2
+n ]不可能相同，从1006²到2011²共有1006个数， 而[201110052
]=502，所以0到502均可以取到，共有503个互不相同的数； 所以在[201112]，[201122]，[201132]，……，[2011
20112
]中共出现了1509个互不相同的数。

5、求[33114⨯]+[33214⨯]+…+[339714⨯]+[33
9814⨯]的和． 【答案】2010
【分析】对k=1,2，……，98
3314k ⨯=[3314k ⨯]+{33
14k ⨯}
33)99(14k -⨯=[33)99(14k -⨯]+{33
)99(14k -⨯} 所以，42=
3314k ⨯+33)99(14k -⨯ =[3314k ⨯]+{3314k ⨯}+[33)99(14k -⨯]+{33
)99(14k -⨯} 并且上式中，[
3314k ⨯]+[33)99(14k -⨯]的和是整数，所以{3314k ⨯}+{33)99(14k -⨯}的和也应当是整数
对于任何整数n ，0≤{n}<1，故当1≤k ≤45，且是≠33时， {3314k ⨯}+{33
)99(14k -⨯}=1 则有[3314k ⨯]+[33
)99(14k -⨯]=41 当k=33时 [3314k ⨯]+[33)99(14k -⨯]=[333314⨯]+[33
6614⨯]=42 [33114⨯]+[33214⨯]+…+[339714⨯]+[33
9814⨯] =（[
33114⨯]+[339814⨯]）+（[33214⨯]+[339714⨯]）+……+（[334914⨯]+[335014⨯]） =41×（98÷2-1）+42
=2010
6、下列m 个整数[112009+]，[222009+]，[332009+]，…，[m
m +2009]共有69个 不同的取值，求m 的最大值与最小值.
【答案】100；96
【分析】由于[k k
+2009]=[k 2009
]+1
所以m 个整数[112009+]，[222009+]，[332009+]，…，[m
m +2009]共有69个不同的取值，相当于[12009]，[22009]，[32009]，……，[m
2009]共有69个不同的取值。

而[k 2009]=[12009+k +)
1＋(2009k k ] =[[
12009+k ]+{12009+k }+[)＋(2009k k k ]+{)1＋(2009k k }] =[12009+k ]+[)1＋(2009k k ]+[{1
2009+k }+{)1＋(2009k k }] （1）当k ≤44时，[)1＋(2009k k ]≥1，因此[k 2009]≥[1
2009+k ]+1， 即从k=1~45时，[k 2009
]是45个不同取值。

（2）当k ≥44时，[)1＋(2009k k ]=0，[{1
2009+k }+{)1＋(2009k k }]=0或1， 因此K ≥45时，[k 2009]=[12009+k ]或[k 2009]=[1
2009+k ]+1
[12009] > [22009] > [32009
] >……> [452009
]=44这是45个不同的取值，还差24个不同取
值，则[m 2009
]=44-24=20
于是，20≤m 2009
<21→96≤m ≤100 。

综上，m 的最大值是100，最小值是96 。

、对于非零自然数x ，定义新运算f(x)=[ 1x ]+[2x ]+[3x ]+…+[x x
]，求满足下式的最小的x ：f(f) -f （f-1）=16.【答案】102f(x)=∮（1）+∮（2）+∮（3）+……+∮（x ）.证明∮（x ）是x 的因数的个数。

对于整数k,2≤k ≤x-1
对于带余除法，x=kq+r,0≤r ＜k,
x k =q+k r ,[x k
]=q q,当r>0
k x 1-=q+k k 1-,[k x
1
-]=
q-1，当r=0
[
k x 1
-]，当k 不是x 的因数时
所以，[k x
]=
[k x 1
-]+1，当k 是x 的因数时
所以，f(x)= f(x-1)+∮（x ）= f(x-2)+∮（x-1）+∮（x ）=……= f(1)+∮（2）+∮（3）+……∮（x ）=∮（1）+∮（2）+∮（3）+……+∮（x ）.
于是问题转化成了求一个有16个约数的最小的自然数。

X 有4个不同的 质因子，最小的x=2×3×5×7=210；
X 有3个不同的 质因子，最小的x=2³×3×5=120；
X 有2个不同的 质因子，最小的x=2³×3³=216；
X 有1个不同的 质因子，最小的x==32768；
因此，最小的x=120
8、以[x]代表不超过x 的最大整数，设自然数n 满足[151]+[152]+[153]+…+[15
1 n ]+ [15n
]>2011，则n 的最小值是多少？
【答案】253
【分析】在这个加法算式中，从第一个大于0的项开始，依次有15个1,15个2，……，15个n 。

如果15（1+2+3+……+n ）>2011，则（1+2+3+……+n ）至少为135，也就是说n(n+1)至少为270，n 至少为16。

15（1+2+3+……+16）=2040，减去一个16是首次大于2011，这时n 的取值为15×16+13=253。