上海市学年度大同中学第一学期期末测试高一年级数学

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2023-2024学年上海市大同中学高一上学期期末考试数学试卷含答案

大同中学2023学年第一学期高一年级数学期末2024.01一、填空题（共12小题，每题3分）1．若幂函数a y x =的图像经过点)，则a =________．2．已知全集(],1U =-∞，集合()1,1A =-，则A =________．3．不等式25123x x x +≥++的解集为________．4．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合．若点()2,y -在角α终边上，且()tan π-α=，则sin α=________．5．若角x 满足214cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,x ∈π，则x =________．6．已知7log 3a =，72b =．则7log 72=________．（用a 及b 表示）7．已知()0,α∈π，若12sin 2cos 2-α=α，则cos α=________．8．函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭9．设a R ∈，若关于x 的不等式20x ax -<的解集是区间()0,1的真子集，则a 的取值范围是________．10．设α是正实数，将函数y x =的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0)<θ<α，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都可以看成是某一个函数的图像，则α的最大值为________．11．已知a R ∈，若关于x 的方程3120x a --=有唯一解，则a 的取值范围是________.12．已知,a b R ∈，若对任意x R ∈，4250a x b x x -+---≥恒成立，则ab 的取值范围是________.二、选择题（共4小题，每题3分）13．已知,a b 为非零实数，则“a b >”是“11a b <”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．用二分法研究函数()5381f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得()00f <，()0.50f >，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．()0,0.5，()0.125f B．()0,0.5，()0.375f C．()0.5,1，()0.75f D．()0,0.5，()0,25f 15．已知0a >，0b >，且1a b +=，有下列不等式：①2212a b +≥，②122a b ->，③22log log 2a b +≥-+≤．其中成立的不等式的个数有（）A．1B．2C．3D．416．已知定义在R 上的函数()f x ，对于给定集合A ，若对任意1x ，2x R ∈，当12x x A -∈时都有()()12f x f x A -∈，则称()f x 是“A 封闭”函数．已知给定两个命题：P ：若()f x 是“{}1封闭”函数，则()f x 是“{}2023封闭”函数．Q ：若()f x 是“[],a b 封闭”函数(),*a b N ∈，则()f x 在区间[],a b 上严格减．则下列正确的判断为（）A．P 是真命题，Q 是真命题B．P 是假命题，Q 是真命题C．P 是真命题，Q 是假命题D．P 是假命题，Q 是假命题三、解答题（共5大题，52分）17．（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题5分）（1）求解关于x 不等式：()22log 451x x -+<；（2）已知4cos 5θ=，且,02π⎛⎫θ∈- ⎪⎝⎭，求4tan π⎛⎫+θ ⎪⎝⎭的值．18．（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题5分）设a 为实数，已知函数()()()211x x a f x xx ++=-为偶函数．（1）求a 的值；（2）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并用定义法加以证明；19．（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题5分）已知函数()235f x ax x =-+，且不等式()3f x <的解集为{}1x x b <<．（1）求实数,a b 的值；（2）已知()73g x mx m =+-，若存在[]12,3x ∈，[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．20．（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题5分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x千台空调，需另投入资金R万元，且2210,040901945010000,40x ax xR x xxx⎧+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩．经测算，当生产10千台空调需另投入的资金4000R=万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额-成本）21．（本题共3小题，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）若函数()f x 在其定义域内给定区间[],a b 上存在实数()00x a x b <<．满足()()()0f b f a f x b a -=-，则称函数()f x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．（1）判断函数()f x =是否是区间[]0,2上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数()()2221g x log x mx =++是区间[]0,1上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围；（3）设函数()()24*h x kx x k N =+-∈是区间[]()2,*t t N -∈上的“平均值函数”，1是函数()h x 的一个均值点，求所有满足条件实数对(),k t ．参考答案一、填空题1.4；2.(]{}11-∞-⋃，；3.[]2,1-；4.13；5.712；6.23a b +；7.55；8.(],2-∞-；9.()0,1；10.4π；11.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；12.1a 且3b ；11.已知a R ∈，若关于x 的方程3120x a --=有唯一解，则a 的取值范围是________.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭数形结合12.已知,a b R ∈，若对任意x R ∈，4250a x b x x -+---≥恒成立，则ab 的取值范围是________.1a 且3b 解法一:当1,a x <→+∞时,()()()42542512450a x b x x a x b x x a x ab -+---=-+--+=+---+<,与已知条件矛盾,1,a ∴若3b >,则当x b =时,4254250a x b x x b b -+---=--+<,与条件矛盾,3,b ∴解法二:由254a x b x x ----,作出()254f x x x =---的图象,如图,数形结合,得1a 且3b .二、选择题13.D；14.D；15.C；16.C；15.已知0a >，0b >，且1a b +=，有下列不等式：①2212a b +≥，②122a b ->，③22log log 2a b +≥-+≤．其中成立的不等式的个数有（）A．1B．2C．3D．4【解析】由均值不等式和对数的性质可以判断①②④正确。

上海市高一上学期期末考试数学试卷含答案

上海市高一年级第一学期数学学科期末考试卷（考试时间：90分钟满分：150分）一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________． 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________． 3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则=)(x f ____________． 4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________． 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________． 6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是． 7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________． 9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______．10．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =题的是__________．13．如图所示，已知函数()2log 4y x =图像上的两点 ,A B 和函数2log y x =上的点C ，线段AC 平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时点B 的坐标为(),p q ，则22qp +的值为14．若点A 、B 同时满足以下两个条件：（1）点A 、B 都在函数()y f x =上；（2）点A 、B 关于原点对称；则称点对(),A B 是函数()f x 的一个“姐妹点对”．已知函数()()()24020x x f x x xx -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()f x 的“姐妹点对”是．二、选择题（每题5分，共20分）15．“3log 2<x ”是“1218>⎪⎭⎫⎝⎛-x ”的……………………………………（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若2{|21},{|}M x y x N y y x ==+==-，则集合N M ,两的关系是（） A ．{(1,1)}MN =-B ．M N ＝∅C ．M N ⊆D ．N M ⊆17．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x >时()f x 为增函数，若120,0x x <> 且12||||x x <，则下列不等式成立的是…………………………………( ) A ．12()()f x f x ->- B ．12()()f x f x -<- C ．12()()f x f x ->- D ．12()()f x f x -<-18．函数()2()0f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a=-对称．据此可以推测，对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是………………………………………………………………（） A ．{}1,2 B ．{}1,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,4,16,64三、解答题（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）记关于x 的不等式01x ax -≤+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（1）若3a =，求出集合P ；（2）若Q P ，求实数a 的取值范围．20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分）某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y (万元)与年产量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为230400010x y x =-+．（1）当该产品的年产量为多少时，每吨的平均成本P 最低，并求每吨最低成本；（2）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时可获得最大利润，并求出最大年利润Q ．21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-，其中a 是实数．（1）当2a =时，解上述方程；（2）根据a 的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 值；（2）若()10f <，试判断函数单调性并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的t 的取值范围；（3）若()312f =，且()x mf aa x g xx 2)(22-+=-在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()1100f x f x f +=+成立．（1）函数()xx f 1=是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()M x ax f ∈+=1lg 2，求a 的取值范围；（3）设函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，证明：函数()M x x f x∈+=22．高一年级数学试卷答案一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________．]5,2( 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________．3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,81，则=)(x f ____________．31-x4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________．2 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________．35-6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是_(2 1)--，_．7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．33-8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________．)2,2(-9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,010．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围__11[,)62__． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．(2]-∞，12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m ≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是__________． ①②③④13．．()()()1,3,1,3-- 二、选择题（每题5分，共20分）15．A 16．D 17．B 18．D三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）解（1）若3a =，由不等式301x x -≤+，即(3)(1)0x x -+≤且1x ≠-，……… 4分解得集合{|13,}.P x x x R =-<≤∈ ……………………………… 6分（2）由不等式|1|1x -≤，解得{|02,}.Q x x x R =≤≤∈ …………………8分由不等式01x ax -≤+，得()(1)0x a x -+≤且1x ≠-，…………………9分当1a >-时，{|1,}P x x a x R =-<≤∈，又因为Q P ⊆，所以2a ≥；当1a <-时，{|1,}P x a x x R =≤<-∈，Q P 不成立；当1a =-时，P =∅，QP 也不成立．因此，求实数a 的取值范围是[)2,.+∞（可以不讨论直接判断得出）… 12分20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分）解（1）()400030,150,25010x P x x=+-∈………………………………3分3010≥=……………………………………………5分()4000200150,25010x x x=⇒=∈ ……………………………6分当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．………7分（2）()216304000,150,25010x Q x x x =-+-∈………………………10分 ()212301290129010x =--+≤ ……………………………12分 ()230150,250x =∈……………………………………………13分生产230吨时，最大年利润1290Q =万元．…………………14分 21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）解（1）1030(1)(3)2x x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩…………………………………………3分x ⇒=2分（2）原方程可化为1030(1)(3)x x x x a x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩，……………………………6分即21353x x x a<<⎧⎨-+-=⎩，………………………………………………8分作出253(13)y x x x =-+-<<及y a =的图像．当1x =时1y =，当3x =时3y =，当52x =时134y =．由图像知： ① 413>a 或1≤a 时，两曲线无公共点，故原方程无解；………………10分 ② 当131≤<a 或413=a 时，两曲线有一个公共点，故原方程有一个实数解；…12分③ 当4133<<a 时，两曲线有两个公共点，故原方程有两个实数解．…………14分22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分）解(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()()001102f k k =⇒--=⇒= ……………………………… 4分（2）),10()(≠>-=-a a a a x f xx且1(1)0,0,0,1,01f a a a a a<∴-<>≠∴<<又且……………………………5分x y a =在R 上递减，x y a -=在R 上递增，故()f x 在R 上单调递减． …6分不等式化为)4()(2-<+x f tx x f 04)1(,422>+-+->+∴x t x x tx x即恒成立，………………………… 8分016)1(2<--=∆∴t ，解得53<<-t ．………………………………… 9分(3)∵()312f =，231=-∴a a ，即,02322=--a a122a a ∴==-或（舍去）………………………………………………………10分 ∴()()22222)(2222+--+=-+=---x x x x x xm a a x mf a ax g ．令xxaa x f t --==)(由(1)可知xxaa x f --=)(为增函数∵1x ≥，∴()312t f ≥=……………12分令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 (32t ≥)……………………………13分若32m ≥，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2……………… 14分若32m <，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去…15分综上可知m ＝2． ……………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解（1）若()xx f 1=M ∈，则在定义域内存在0x ，使得01111102000=++⇒+=+x x x x ， ∵方程01020=++x x 无解，∴()xx f 1=M ∉．……………………… 4分 ()()()()2222(2)lglg lg lg 2221011211a a a a f x M a x ax a x x x =∈⇒=+⇒-++-=++++………………………………………………………………………………6分当2=a 时，21-=x ；……………………………………………………7分当2≠a 时，由0≥∆，得[)(]53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a ，……9分∴[]53,53+-∈a ． ………………………………………………10分()()()()()00002112000000311212322(1)221x x x x f x f x f x x x x +-⎡⎤+--=++---=+-=+-⎣⎦（），……………………………………………………………………………………13分又∵函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，设交点的横坐标为a ，则()01202010=-+⇒=+-x a x a，其中10+=a x ，…………………16分∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x∈+=22 ．…………………18分。

2022-2023学年上海市高一上学期期末数学试题(含解析)

2022-2023学年上海市高一上学期期末数学试题一、填空题1．函数()32lg 53y x x =+-的定义域是______.【正确答案】50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】()()32lg 53lg 53y x x x =+-=+-，所以0530x x ≥⎧⎨->⎩，解得503x ≤<，所以函数的定义域为50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．函数3(1)2y x =-+的图象的对称中心是________．【正确答案】()1,2【详解】3y x =的图象的对称中心是()0,0，将3y x =的图象向上平移2个单位，再向右平移1个单位，即得()312y x =-+的图象，所以对称中心为()1,2．3．函数55x y x =+的单调增区间是______.【正确答案】(),-∞+∞【分析】根据函数的单调性确定正确答案.【详解】5y x =在R 上递增，5x y =在R 上递增，所以函数55x y x =+的单调增区间是(),-∞+∞.故(),-∞+∞4．函数()2230y x x x =-+≤的反函数为______.【正确答案】13)y x =≥【分析】根据函数解析式确定3y ≥，配方后求得13)x y =≥，根据反函数定义即可确定函数的反函数.【详解】由题意可得2223(1)2y x x x =-+=-+在(,0]-∞上递减，故3y ≥，则13)x y =≥，故函数()2230y x x x =-+≤的反函数为13)y x =≥，故13)y x =≥5．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin cos θθ⋅=_________.【正确答案】310由条件可得tan 3θ=，然后222sin cos tan sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθ⋅⋅==++，可算出答案.【详解】因为sin cos 2sin cos θθθθ+=-，所以tan 12tan 1θθ+=-，所以tan 3θ=所以222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110θθθθθθθθ⋅⋅====+++故3106．已知函数()y f x =是在定义域[]22-,上的严格减函数，且为奇函数.若()11f =-，则不等式()21f x -≤的解集是______.【正确答案】[]1,4【分析】根据函数的奇偶性得到()()111f f -=-=，从而得到()()21f x f -≤-，再根据定义域和单调性列出不等式组，求出解集.【详解】因为()y f x =是在定义域[]22-,上的奇函数，()11f =-，所以()()111f f -=-=，故()()211f x f -≤=-，因为()y f x =是在定义域[]22-,上的严格减函数，所以21222x x -≥-⎧⎨-≤-≤⎩，解得：14x ≤≤，故[]1,47．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，经过t 分钟后物体的温度C θ 可由公式()010e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，.现有80C 的物体，放在20C o 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是60C ，则______分钟后温度首次低于40C o （保留到整数部分）.【正确答案】11【分析】代入数据计算得到42e3k-=，再次带入数据得到21381t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭，1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭得到答案.【详解】根据题意：()460208020ek-=+-⋅，解得42e3k-=；()40208020ekt->+-⋅，即1e3kt-<，即()44421e 33tt k -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即21381t⎛⎫< ⎪⎝⎭，1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭，1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭，故11t =.故118．已知正数a 、b 满足4a b =，且2log 3a b +=，则a b +=________.【正确答案】4或5【分析】由4a b =，得出log 42log 2b b a ==，由2log 3a b +=得出22log 2log 3b b +=解出b 的值，进而得出a 的值，从而得出a b +的值.【详解】4a b =Q ，log 42log 2b b a ∴==，由2log 3a b +=得出22log 2log 3b b +=，由换底公式可得21log 2log b b =，222log 3log b b∴+=，可得2log 1b =或2log 2b =.①当2log 1b =时，2b =，此时，22log 22a ==，则4a b +=；②当2log 2b =时，4b =，此时，4log 41a ==，则5a b +=.因此，4a b +=或5，故答案为4或5.本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观察出两个对数之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.9．设()2,0A 为平面上一定点，ππsin 2,cos 233P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为动点，则当t 由0变化到π4时，线段AP 扫过的面积是______.【正确答案】π1422+-【分析】由题意点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，结合图形，利用面积差求解即可.【详解】由22ππsin 2cos 2133t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，如图，10,(,)22t P =，π4t =点P 运动到1(,)22Q ，则π2POQ ∠=，扇形POQ 面积为1ππ1144⨯⨯⨯=,而11222AOQ Q S OA h =⋅=⨯⨯ ，111122222AOP P S OA h =⋅=⨯⨯= ,故线段AP扫过的面积为π1422+-,故答案为.π1422+-10．已知R λ∈，函数()2221,01,0 1x x x f x x x x λλ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪+⎩，若函数()y f x =的值域为[)3,∞-+，则λ的值为______.【正确答案】2【分析】考虑0λ>，0λ=，0λ<三种情况，根据二次函数性质和函数单调性计算最值得到()2min 1f x λ=-和()1,12f x λ⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭，分别计算，再验证得到答案.【详解】当0λ>时，0x ≥时，()()222211f x x x x λλλ=-+=-+-，()()2min 1f x f λλ==-，当0x <时，()21111xf x x x xλλ=+=+++，1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，故(]1,2y x x =+∈-∞-，故()11,112f x x xλλ⎡⎫=+∈-+⎪⎢⎣⎭+，当213λ-=-时，2λ=，此时满足值域.当132λ-+=-时，8λ=，此时21633λ-=-<-，不满足，故2λ=.当0λ=时，0x ≥时，()211f x x =+≥，当0x <时，()1f x =，不满足；当0λ<时，0x ≥时，()221f x x x λ=-+，单调递增，()()min 01f x f ==，当0x <时，()2111xf x x λ=+>+，不成立；综上所述：2λ=故211．设θ，x ，y 是实数，0xy ≠.若442222cos sin 1x y x y θθ+=+，则2024202420222022cos sin x y θθ+的值为______（用x ，y 表示）【正确答案】()1011221xy +【分析】确定()442222cos sin 1x y xy θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式计算得到2222cos sin y x θθ=，结合22cos sin 1θθ+=得到22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，代入计算得到答案.【详解】442222cos sin 1x y x y θθ+=+，即()442222cos sin 1x y x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即24244422cos sin cos sin 1y x x y θθθθ+++=，而2424444422cos sin cos sin cos sin y x x y θθθθθθ+++≥++()2442222cos sin 2cos sin cos sin 1θθθθθθ=++=+=，当且仅当242422cos sin y x x y θθ=，即2222cos sin y x θθ=时等号成立，又222222cos sin cos sin 1y x θθθθ⎧=⎨+=⎩，解得22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，()()()2024202420242024221012101210122022202220222220222222cos sin y yy x x y x y x x x y x y θθ++=+=+++()1011221xy =+.故()1011221x y +12．设{}min ,A B 表示A ，B 中的较小数.若函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】[6,)+∞【分析】设2()23g x x ax a =-+-，()2h x x =-，根据函数()h x 的图象得出6a ≥或2a ≤.然后根据a 的取值讨论即可求解.【详解】设2()23g x x ax a =-+-，()2h x x =-，由20x -=可得.2x =±要使函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则函数()g x 至少有1个零点，则24(23)0a a ∆=--≥，解得：6a ≥或2a ≤.(1)当2a =时，2()21g x x x =-+，作出函数(),()g x h x的图象如下图所示：此时函数()f x 只有两个零点，不满足题意；(2)当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1212,()x x x x <，要使得函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则22x ≤-，所以22(2)410ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=-≥⎩，解得：a ∈∅；(3)当6a =时，2()69g x x x =-+，作出函数(),()g x h x的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，满足题意；(4)当6a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3434,()x x x x <，要使得函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则32x >，所以()2224310a g ⎧>⎪⎨⎪=-=>⎩，解得：2a >，此时6a >，综上所述，实数a 的取值范围是[6,)+∞，故答案为.[6,)+∞二、单选题13．若πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()sin 2π0θ->，则角θ的终边位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】根据题意和诱导公式可得：cos 0θ>且sin 0θ<，利用任意角三角函数的定义即可求解.【详解】因为πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()sin 2π0θ->，由诱导公式可得：cos 0θ>，sin 0θ<，根据任意角三角函数的定义可知：角θ位于第四象限，故选.D14．已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数B ．是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数C ．是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数D ．是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数【正确答案】C【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.【详解】()lg 1lg 1f x x x -=-++ ()f x =，()f x \是偶函数；当1x >时，()()()2()lg 1lg 1lg 1f x x x x =++-=-，设()21t x x =-，则()t x 在(1,)+∞上单增，又()lg f t t =为增函数，所以()2()lg 1f x x =-在(1,)+∞上单增，()f x \是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数.故选：C.本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1为偶函数，1-为奇函数）.15．若,,,a b t x 都是实数，且1,0a b t <，x a a t =+，则x b 与b t +的大小关系是A ．x b b t >+B ．x b b t =+C ．x b b t <+D ．不能确定【正确答案】A【详解】构造函数f (m )=mx ，g (m )=m +t .∵a ＞1，t ＞0，ax =a +t ＞a ＞1，∴x ＞1.在同一坐标系内作出两函数图象.∵ax =a +t ，即两图象交点的横坐标为a .若b ＞a ＞1，则f (b )＞g (b )，即bx ＞b +t .本题选择A 选项.16．已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<；②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>．其中正确的是（）A ．①与②均正确B ．①正确，②不正确C ．①不正确，②正确D ．①与②均不正确【正确答案】A【分析】令()1()2g x f x =-，得到()g x 为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设1230,0,0x x x <<>，结合1212(,())A x x f x x ++，利用直线OA 的方程得到()()1212()g x g x g x x +<+，进而得到()()123()0g x g x g x ++<，可判断①正确；②中，不妨设1230,0,0x x x <>>，得到点2323(,())B x x f x x ++，利用直线OB 的方程得到()()2323()g x g x g x x +>+，进而得到()()123()0g x g x g x ++>，可判定②正确.【详解】令函数()()()13131112132213213x x x xx g x f x -=-=-==-+++，可得函数()g x 为单调递增函数，又由3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--，即()()g x g x -=-，所以函数()g x 为奇函数，图象关于点(0,0)对称，如图（1）所示，①中，因为1230x x x ++=，且1230x x x ⋅⋅>，则312()x x x =-+，不妨设1230,0,0x x x <<>，则点1212(,())A x x f x x ++，此时直线OA 的方程为1212()f x x y x x x +=+，可得()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++，则()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++，可得()()1212()0g x g x g x x +-+<，又由()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++<，即()()123111()0222f x f x f x -+-+-<，即1233()()()2f x f x f x ++<，所以①正确；②中，若1230x x x ⋅⋅<，不妨设1230x x x ⋅⋅>，则123()x x x =-+，不妨设1230,0,0x x x <>>，则点2323(,())B x x f x x ++，此时直线OB 的方程为2323()f x x y x x x +=+，可得()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++，则()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++，可得()()2323()0g x g x g x x +-+>，又由()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++>，即()()123111()0222f x f x f x -+-+->，即1233()()()2f x f x f x ++>，所以②正确.故选：A.方法点拨：令函数()1()2g x f x =-，得到函数()g x 为递增函数，且为奇函数，求得点1212(,())A x x f x x ++和2323(,())B x x f x x ++，结合直线OA 和OB 的方程，得出不等式关系式是解答的关键.三、解答题17．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程()20R x ax a a -+=∈的两个根.(1)求实数a 的值，(2)求221cos sin cos sin cos 1tan θθθθθθ-++--的值.【正确答案】(1)12a =(2)12【分析】（1）计算240a a ∆=-≥，根据韦达定理得到222sin cos 21a a θθ+=-=，解得答案；（2）根据三角恒等变换化简得到原式为sin cos θθ+，代入数据计算即可.【详解】（1）sin θ、cos θ是关于x 的方程()20R x ax a a -+=∈的两个根，240a a ∆=-≥，解得4a ≥或0a ≤，则sin cos a θθ+=，sin cos a θθ=，()2222sin cos sin cos 2sin cos 21a a θθθθθθ+=+-=-=，解得1a =1a =，故1a =（2）()222222sin cos cos 1cos sin cos sin cos 1tan sin cos si o i s n n s c θθθθθθθθθθθθθθ+-++=-----()()22sin cos sin cos sin cos sin cos sin co s n s i cos θθθθθθθθθθθθ-+=-=---sin cos 1a θθ=+==18．设()()22log 1f x x a x =-+-.(1)判断函数()y f x =的奇偶性；(2)若12a =，求证：函数()y f x =在()1,+∞内有且仅有一个零点.【正确答案】(1)0a =，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数(2)证明见解析【分析】（1）考虑0a =和0a ≠两种情况，根据函数奇偶性的定义，计算()f x 和()f x -的关系，得到答案.（2）根据复合函数奇偶性确定函数单调递增，计算0f >，02f ⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭，根据零点存在定理得到证明.【详解】（1）当0a =时，()()22log 1f x x x =+-，定义域关于原点对称，()()()()()2222log 1log 1f x x x x x f x -=-+--=+-=，函数为偶函数；当0a ≠时，()()22log 1f x x a x =-+-，()()()()2222log 1log 1f x x a x x a x -=--+--=++-，()()f x f x ≠-，且()()f x f x ≠--，函数为非奇非偶函数；综上所述：0a =，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.（2）()()221log 12f x x x =-+-，当1x >时，()()221log 12f x x x =-+-，12y x =-为增函数，21y x =-在()1,+∞上为增函数，2log y x =在()0,∞+上为增函数.故函数()()221log 12f x x x =-+-在()1,+∞上为增函数，110022f=+=->，152022222f ⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪⎝⎭，故函数在⎝上有零点，函数单调递增，故函数()y f x =在()1,+∞内有且仅有一个零点19．一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线.当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图像的一部分，当[]14,40t ∈时，曲线是函数()log 583(0a y t a =-+>，且1)a ≠图像的一部分.根据研究，当注意力指数p 不小于80时听课效果最佳.(1)求()p f t =的函数关系式；(2)有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由.【正确答案】(1)213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（(2)能，理由见详解【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t ∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点14,81（），代入函数()log 583a y t =-+求出t ∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.(2)对分段函数，分别解不等式80p ≥，求出t 的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.【详解】（1）当(0,14]t ∈时，设2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<，将点(14,81)代入得14c =-，∴当(0,14]t ∈时，21()(12)824p f t t ==--+；当[14,40]t ∈时，将点(14,81)代入log (5)83a y t =-+，得13a =.所以213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（（2）当(0,14]t ∈时，2112)82804t --+≥（，解得:1212t -≤≤+所以[12t ∈-；当[14,40]t ∈时，13log (5)8380t -+≥，解得532t <≤，所以[14,32]t ∈，综上[12t ∈-时学生听课效果最佳.此时(32122022t =--=+> .所以，教师能够合理安排时间讲完题目.故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完.20．若函数()y f x =满足在定义域内的某个集合A 上，()()()22x xf x x A -∈是一个常数，则称()f x 在A 上具有P 性质.若I 是函数()y f x =定义域的一个子集，称函数()()g x f x =，x I ∈是函数()y f x =在I 上的限制.(1)设()y f x =是[]3,3-上具有P 性质的奇函数，求[]3,3x ∈-时不等式()32f x >的解集；(2)设()y f x =为[]3,3-上具有P 性质的偶函数.若关于x 的不等式()()220f x m f x +⋅<在[]3,3-上有解，求实数m 的取值范围；(3)已知函数()y f x =在区间[]1,1-上的限制是具有P 性质的奇函数，在[)(]2,11,2-- 上的限制是具有P 性质的偶函数.若对于[]22-,上的任意实数1x ，2x ，3x ，不等式()()()1234f x f x mf x ++>恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)(]1,3(2)12m <-(3)24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）设()()22xxf x a -=，根据奇函数确定()122x xf x =-+，再解不等式即可.（2）设()22xx a f x =+，根据函数为偶函数，得到1a =，不等式转化为12k m k <-，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案.（3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为33517,,2224⎡⎤⎛⎤- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦，再考虑0m >，0m =，0m <三种情况，分别计算综合得到答案.【详解】（1）设()()22xxf x a -=，则()22x xaf x =+，函数为奇函数，故()010f a =+=，1a =-，则()122x xf x =-+，()()112222x x x x f x f x ---=-+=-+=-，函数为奇函数，满足，13222x x -+>，设2xt=，132t t -+>，解得2t >或21t <-（舍）即22x >，解得1x >，故(]1,3x ∈（2）设()()22xxf x a -=，则()22x xaf x =+，函数为偶函数，故()()1222222x x xx x x a a f x a f x ---=+=⋅+==+，故1a =，()122x x f x =+，()()220f x m f x +⋅<，即2211222022x x x xm ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭，设122xx k +=，[]3,3x ∈-，则12,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数1y x x =+在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在[]1,8上单调递增，故16522,28xx k ⎡⎤+=∈⎢⎣⎦，2222111122222222202222x x x x x x x x m m k mk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22122k km k k -<=-，函数12k y k =-在652,8k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故max 11212222k k ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，故12m <-.（3）根据（1）（2）知：()[][)(]12,1,1 212,2,11,22x x x xx f x x ⎧-+∈-⎪⎪=⎨⎪+∈--⋃⎪⎩，当[]1,1x ∈-时，()122x x f x =-+，设2xb =，则1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1y b b =-+，函数单调递增，133,22y b b ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，(]1,2x ∈时，()122x x f x =+，设2x c =，则(]2,4c ∈，1y c c=+单调递增，故1517,24y c c ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，函数在[)(]2,11,2-- 上的偶函数，故()15172,224xx f x ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，综上所述：()33517,,2224f x ⎡⎤⎛⎤∈- ⎢⎥⎣⎦⎝⎦()()()1234f x f x mf x ++>，当0m >时，即()()min max 24f x mf x +>，即17344m -+>，解得417m <；当0m =时，即()min 240f x +>，即340-+>，成立；当0m <时，即()()min min 24f x mf x +>，即3342m -+>-，解得23m >-；综上所述：24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握.21．若定义在区间[],a b 上的函数()y f x =满足：存在常数M ，使得对任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y f x =为一个有界变差函数，并将满足条件的M 的最小值称为()y f x =的全变差.(1)判断函数()()311f x x x =--≤≤，和()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ð（Q 为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）(2)求函数()()414g x x x x=+≤≤的全变差；(3)证明：函数()2log 4xh x x x=+是[]1,4上的有界变差函数.【正确答案】(1)3()f x x =-是有界变差函数,()D x 不是有界变差函数；(2)2；(3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;（3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;【详解】（1）由3()f x x =-在[1,1]-上递减，令121...1n x x x -=≤≤≤=，则23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=，显然，存在2M ≥，使任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，所以3()f x x =-为一个有界变差函数；对于()D x ，令120...1n x x x =≤≤≤=，所得i x *(1,N )i n n ≤≤∈中有理数、无理数都有可能为无限个，若12,,...,n x x x 以无理数、有理数成对依次出现时12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大，所以()D x 不是一个有界变差函数.（2）对任意的11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==，()g x 在[]1,2上单调递减，所以()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥，即()()()()()()12231...m m g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-，()g x 在[]2,4上单调递增，所以()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ ，即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-，所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=，所以，存在2M ≥使()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y g x =为一个有界变差函数，M 的最小值2称为()y g x =的全变差.（3）由（2）知：()g x 在[]1,4上是一个有界变差函数，令1()()p x g x =，则111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=，而在[]1,4上()54g x ≥≥，所以111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-，即11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑，故()p x 是有界变差函数；又2()log q x x =在[]1,4上递增且值域为[0,2]，任意1214n x x x =≤≤≤= ，则()()()12...n q x q x q x ≤≤≤，所以12|()()|ni i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=，故存在2M ≥使12|()()|nii i q x M q x-=-≤∑，则()q x 是有界变差函数，令()()()h x q x p x =⋅，则11122|()()||()()()()|nni i i i i i i i h x h xq x p x q x p x ---==-=-∑∑1112|()[()()]()[()()]|n i i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑，由上可设1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤且,N L 均为常数，故111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑，而()p x 、()q x 均为有界变差函数，所以()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+为有界变差函数.关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.。

2018-2019学年上海市黄浦区大同中学高一(上)期末数学试卷

2018-2019学年上海市黄浦区大同中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（4×10＝40）1．（4分）与﹣600°终边相同的最小正角的弧度数是．2．（4分）若一个扇形的圆心角为2，半径为1，则该扇形的面积为．3．（4分）设常数，函数f（x）＝2x+a，若f（x）的反函图象经过点（8，1），则a＝．4．（4分）函数f（x）＝的定义域是．5．（4分）若tanθ＝2，且θ是第三象限角，则＝．6．（4分）已知sinα+cosα＝，则sinαcosα＝．7．（4分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝．8．（4分）若f（x）＝log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是．9．（4分）若函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）的值域是R，则实数a的取值范围是．10．（4分）已知函数f（x）＝m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）＝3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是．二、选择题（4×4＝16）11．（4分）已知函数f（x）＝x k（k为常数，k∈Q），在下列函数图象中，不是函数y＝f（x）的图象是（）A．B．C．D．12．（4分）“b＜1”是“函数f（x）＝x2﹣2bx，x∈[1，+∞）有反函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件13．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以x轴为始边，OA 为终边的角为θ（θ≠kπ+，k∈Z），若将OA绕O点顺时针旋转至OB，则点B的坐标为（）A．（﹣cosθ，sinθ）B．（cosθ，﹣sinθ）C．（﹣sinθ，cosθ）D．（sinθ，﹣cosθ）14．（4分）若关于x的方程|f（|x|）|＝a，当a＞0时总有4个解，则f（x）可以是（）A．x2﹣1B．C．2x﹣2D．log2x﹣2三、解答题（8’+8’+8’+8’+12’＝44’）15．（8分）设函数f（x）＝3x，g（x）＝9x（1）解方程：g（x）﹣8f（x）﹣g（1）＝0；（2）令，求的值．16．（8分）已知cosα＝﹣，α∈（π，2π）．（1）求sin2α的值：（2）若角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边经过点（3，﹣1），求tan（α﹣β）的值．17．（8分）已知函数f（x）＝log2（x﹣m），其中m∈R．（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m的取值范围．18．（8分）设a＞0，函数（1）若a＝1，求f（x）的反函数f﹣1（x）（2）求函数y＝f（x）•f（﹣x）的最大值（用a表示）（3）设g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，求a的取值范围19．（12分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）＝a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：f1（x）＝lg，f2（x）＝lg（10x），h（x）＝x2﹣x+1；第二组：f1（x）＝x2﹣x，f2（x）＝x2+x+1，h（x）＝x2﹣x+1；（2）设f1（x）＝log2x；x，a＝2，b＝1生成函数h（x），若不等式3h2（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；（3）设f1（x）＝x（x＞0），f2（x）＝，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点为（2，8），若对于任意的正实数x1，x2，且x1+x2＝1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．2018-2019学年上海市黄浦区大同中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（4×10＝40）1．【解答】解：﹣600°＝﹣720°+120°，与﹣600°终边相同的最小正角为120°，120°＝，故答案为：．2．【解答】解：∵扇形的圆心角θ＝2，半径r＝1，∴该扇形的面积S＝．故答案为：1．3．【解答】解：若f（x）的反函数图象经过点（8，1），则f（1）＝8，代入得：2a+1＝8，所以a＝2．故答案为：2．4．【解答】解：由函数的解析式可得log2x≠0，即，解得函数的定义域为{x|0＜x ＜1或x＞1}，故答案为{x|0＜x＜1或x＞1}．5．【解答】解：tanθ＝2，θ是第三象限角，可得sinθ＝2cosθ，sin2θ+cos2θ＝1．可得：cos2θ＝，解得cosθ＝﹣，故＝cosθ＝﹣，故答案为：﹣．6．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα＝，∴1+2sinαcosα＝，则sinαcosα＝．故答案为：．7．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．8．【解答】解：因为f（x）在[0，1]上是x的减函数，所以f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴⇔1＜a＜2故答案为：1＜a＜2．9．【解答】解：当x≤时，f（x）＝≥＝2，∵函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）的值域是R，∴f（x）＝log a x为减函数，且log a≥2＝log a a2，∴a2≥，解得≤a＜1，故答案为：10．【解答】解：对于①∵g（x）＝3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）＝m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）＝3x﹣3＜0恒成立∴f（x）＝m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m＝﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二、选择题（4×4＝16）11．【解答】解：函数f（x）＝x k（k为常数，k∈Q）为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象，不是函数y＝f（x）的图象．故选：C．12．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2bx，x∈[1，+∞）有反函数，则函数f（x）＝x2﹣2bx，x∈[1，+∞）上具有单调性，∴b≤1．∴“b＜1”是“函数f（x）＝x2﹣2bx，x∈[1，+∞）有反函数”的充分不必要条件．故选：A．13．【解答】解：A为单位圆上一点，以x轴为始边，OA为终边的角为θ（θ≠kπ+，k∈Z），若将OA绕O点顺时针旋转至OB，则点B的横坐标为cos（﹣+θ）＝﹣sinθ，点B的纵坐标为sin（﹣+θ）＝cosθ，故点B的坐标为（﹣sinθ，cosθ），故选：C．14．【解答】解：对于A，f（x）＝x2﹣1，∴f（|x|）＝x2﹣1，∴|f（|x|）|＝|x2﹣1|＝；方程|f（|x|）|＝a，当1＞a＞0时有4个解，当a＝1时有3个解，当a＞1时有2个解，∴A不满足题意；对于B，f（x）＝，∴f（|x|）＝，∴|f（|x|）|＝||＝；方程|f（|x|）|＝a，当1＞a＞0时有2个解，当a＝1时无解，当a＞1时有2个解，∴B不满足题意；对于C，f（x）＝2x﹣2，∴f（|x|）＝2|x|﹣2，∴|f（|x|）|＝|2|x|﹣2|＝；方程|f（|x|）|＝a，当1＞a＞0时有4个解，当a＝1时有3个解，当a＞1时有2个解，∴C不满足题意；对于D，f（x）＝log2x﹣2，∴f（|x|）＝log2|x|﹣2，∴|f（|x|）|＝|log2|x|﹣2|＝；方程|f（|x|）|＝a，当a＞0时恒有4个解，∴D满足题意．故选：D．三、解答题（8’+8’+8’+8’+12’＝44’）15．【解答】解：函数f（x）＝3x，g（x）＝9x，（1）g（x）﹣8f（x）﹣g（1）＝0，化为：9x﹣8•3x﹣9＝0，解得3x＝9，可得x＝2．（2）令＝，所以h（x）+h（1﹣x）＝+＝+＝1．所以＝＝×2018＝1009．16．【解答】解：（1）∵cosα＝﹣，α∈（π，2π），∴sinα＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×；（2）由题意，tanβ＝，由（1）知，tanα＝＝，则tan（α﹣β）＝＝3．17．【解答】解：（1）由log2（x﹣m）＝0，得m＝x﹣1，由2＜x＜3得：1＜x﹣1＜2，故m的范围是（1，2）；（2）f（x）在[1，t]（t＞1）递增，∴f（t）﹣f（1）＝2，∴log2（t﹣m）﹣log2（1﹣m）＝2，∴log2＝log24，∴t＝4﹣3m，由f（t）＞0，得t＞m+1，∴4﹣3m＞m+1，解得：m＜．18．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，∴1+2x＝，即2x＝﹣1＝，则0＜y＜1，∴x＝log2（）；故f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2（），x∈（0，1）（2）∵y＝f（x）•f（﹣x）＝•＝，设y＝2x+2﹣x，易知，函数y＝2x+2﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，则当x＝0时，y＝2x+2﹣x有最小值，最小值为2，∴当x＝0时，y＝f（x）•f（﹣x）有最大值，∴y max＝＝；（3）g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝﹣，令t＝a•2x，∵x∈（﹣∞，0]，a＞0，∴0＜t≤a．∴h（t）＝，当时h（t）在（0，a]上单调递减，所以∵对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，且g（0）＝﹣，∴恒成立，∴0当时，，令＝不恒成立，舍去综上，a的取值范围是（0，]．19．【解答】解：（1）第一组：∵f1（x）＝lg，f2（x）＝lg（10x），h（x）＝x2﹣x+1，∴alg+blg（10x）＝algx﹣a+b+blgx＝（a+b）lgx+b﹣a≠x2﹣x+1，∴第一组函数h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．第二组：设a（x2+x）+b（x2+x+1）＝x2﹣x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b＝x2﹣x+1，则，该方程组无解．∴h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．（2）∵f1（x）＝log2x；x，a＝2，b＝1生成函数h（x），∴h（x）＝a•f1（x）+b•f2（x）＝2log2x+x＝log2x，∵3h2（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，4]上有解，∴+2log2x+t＝3（log2x+）2+t﹣≤0在x∈[2，4]上有解，∵x∈[2，4]，∴log2x+∈[，]∴t＝﹣3（log2x+）2+在[2，4]上单调递减，∴＝﹣5，＝﹣．∴实数t的取值范围是[﹣，﹣5]．（3）由题意得，h（x）＝ax+，x＞0，则h（x）＝ax+，故，解得，∴h（x）＝2x+，x＞0，假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立．于是设μ＝h（x1）h（x2）＝＝4x1x2++16•＝+16（）＝4+16•＝＝，设t＝x1x2，则t＝x1x2≤＝，即t∈（0，]，设﹣32，t∈（0，]，∵＜0，t∈（0，]，∴﹣32在（0，]上单调递减，从而μ≥μ（）＝289．故存在最大的常数m＝289．第11页（共11页）。

上海市大同中学高一数学期末考试

上海市大同中学高一数学期末考试2013.1.17 班级姓名学号成绩一、填空题（本题满分48分，每题4分）1.若{}3A x x =≤，则U A =ð 。

2.函数()1lg1xf x x-=+的定义域为。

(7,8班同学做)已知扇形的周长为6cm ，面积为22cm ，则扇形的弧长等于。

3.不等式21x x <+的解集为。

4.已知(),1A =-∞，[),B a =+∞，若A B R =U ，则实数a 的取值范围是。

5.方程43220x x-⋅+=解集为。

6.(普通班同学做)若22x y +=，,x y R ∈，则42x y+的最小值为。

(7,8同学做)若21sin sin =βα，则m =βαsin cos 的取值范围是。

7.已知幂函数()y f x =的反函数()1y f x -=的图像过点()2,8，则()f x = 。

8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时()2lg f x x =+，则()f x 在R 上的解析式为()f x = 。

9.(普通班同学做)已知)(),(x g x f 均为奇函数，且2)()()(++=x bg x af x F 在区间()+∞,0上的最小值是5，则在()0,∞-上函数)(x F 的最大值是。

(7,8班同学做)已知223sin 2sin 2sin αβα+=，则22sin sin S αβ=+的值域是 .10.已知集合{}2,A x x x R =>∈，{}1,B x x x R =≥-∈，那么命题p “若实数2x >，则1x ≥-”可以用集合语言表述为“A B ⊆”。

则命题p 的逆否命题可以用关于,A B 的集合语言表述为 .11.上海电信住宅电话市话的计费方法为：一次通话不超过3分钟收费0.2元，以后每增加1分钟收费0.1元（不足1分钟的按1分钟收费）。

若某人一次通话的时间是x 分钟，则该次通话的费用y （元）关于时间x （分钟）的函数关系式,当(]0,3x ∈时,y = , 当3x >时,y = .注：用x ⎡⎤⎢⎥表示满足条件x x ≥⎡⎤⎢⎥的最小整数）(8班同学做)在ABC ∆中，ο60=∠C ，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边，则=+++ac bc b a .(7班同学做)()ο1tan 31+()12+o …()ο60tan 31+的值等于 .12.方程210x -=的解可视为函数y x =的图像与函数1y x=的图像交点的横坐标。

2022-2023学年上海市上海中学高一年级上册学期期末练习数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市上海中学高一上学期期末练习数学试题一、填空题1．函数（）的反函数为______.()21f x x =-1x ≥【答案】()1f x -=()0x ≤【分析】按定义直接求即可.【详解】∵，则，1x ≥()201f x x =≤-故，故反函数为x =()1f x -=()0x ≤故答案为：.()1f x -=()0x ≤2．函数的值域为______．12xy x -=+()11x -≤≤【答案】[]0,2【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可．13=122x y x x -=-++【详解】由，13=122x y x x -=-++又，则，则，所以，11x -≤≤12+3x ≤≤3132+x ≤≤30122+x ≤-≤故函数的值域为．12x y x -=+()11x -≤≤[]0,2故答案为：．[]0,23．方程的解是________．()()233log 45log 1x x x --=+x =【答案】6【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.【详解】由得：，()()233log 45log 1x x x --=+2245010451x x x x x x ⎧-->⎪+>⎨⎪--=+⎩即，解得：.()()()()2150156160x x x x x x x ⎧+->⎪>-⎨⎪--=+-=⎩6x =故答案为：.64．若函数则________.()2,0,(1)(2),0,x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩()2023f =【答案】1-【分析】由函数的定义得出在时，函数具有的周期性，利用周期性求函数值．0x >【详解】当x >0时，f (x )=f (x －1)－f (x －2)，①∴f (x ＋1)=f (x )－f (x －1)，②①＋②得，f (x ＋1)=－f (x －2)，∴时，f (x )的周期为6，0x >∴f (2 023)=f (337×6＋1)=f (1)=f (0)－f (－1)=20－21=－1.故答案为：．1-5．函数的递增区间是_________2lg(43)y x x =-+【答案】(3,)+∞【分析】先求出定义域，在定义域内判断函数的单调性．【详解】由题意，则或，2430x x -+>1x <3x >易知在是递减，在上递增，而是增函数．243u x x =-+(,1)-∞(3,)+∞lg y u =∴函数的递增区间是．2lg(43)y x x =-+(3,)+∞故答案为：(3,)+∞【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数的性质是解题关键．6．幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数的取值集合是______.()2357m y m m x -=-+m 【答案】{}2,3【分析】根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数的取值集合.m 【详解】解：因为幂函数，所以，()2357m y m m x -=-+22571560m m m m -+=⇒-+=解得或，2m =3m =幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以，即，()2357m y m m x -=-+30m -≤3m ≤所以或均符合题意，则实数的取值集合是.2m =3m =m {}2,3故答案为：.{}2,37．不等式的解为______.()()2233213x x +<-【答案】24,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式.()23f x x=【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增，()23f x x ==R [)0,∞+又，则为偶函数，所以在上单调递减，()()f x f x -===()f x ()f x (),0∞-则由不等式可得，平方后整理得，()()2233213x x +<-213x x +<-231080x x +-<即，解得，则不等式的解集为.()()3240x x -+<243x -<<24,3⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：.24,3⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知函数，，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得()y f x =x D ∈C 1x D ∈2x D ∈，则称常数是函数在上的“倍几何平均数”.已知函数，C=C ()f x D ()2xf x -=，则在上的“倍几何平均数”是______.[]1,2x ∈()f x []1,2【分析】由“倍几何平均数”的定义可知即为函数，最大值与最小值的几何平均数，C ()y f x =x D ∈根据函数在上的单调性，即可求得在上的“倍几何平均数”.()2xf x -=[]1,2x ∈()f x []1,2【详解】解：由已知中倍几何平均数的定义可得即为函数，最大值与最小值的几C ()y f x =x D ∈何平均数又函数，在为减函数()2xf x -=[]1,2x ∈故其最大值，最小值1122M -==2124m -==故.C ===9．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则()0,∞+()y f x =()1y f x -=()()41,0,0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩的解为______.()12f x -=【答案】##0.93751516【分析】由奇函数的定义，当时，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，0x >0x -<0x >再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【详解】解：若为奇函数，()()41,0,0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩可得当时，，即有，0x >0x -<()41x g x --=-由为奇函数，可得，()g x ()()g x g x =--则，，()()14xg x f x -==-0x >由定义在上的函数的反函数为，()0,∞+()y f x =()1y f x -=且，()12f x -=可由，()21521416f -=-=可得的解为．()12fx -=1516x =故答案为：．151610．已知函数，若，则实数的()(20232023log 20232x x f x x -=+-+()()2564f a f a -+≤a 取值范围是______.【答案】[]6,1-【分析】首项确定函数的定义域为，然后可得，观察可得，故不等x ∈R ()f x -()()4f x f x +-=式可转换为；再利用指数函数、对数函数、函数定义证明()()2564f a f a -+≤()()256f a f a -≤-可判断在上的单调性，故不等式解，即，解不等式可得()f x x ∈R ()()256f a f a -≤-256a a -≤-实数的取值范围.a【详解】解：因为，定义域满足，解得()(20232023log 20232x x f x x -=+-+0x >，x ∈R所以()(202320232023log 202322023log 20232x x x x f x x ---=+--+=-+++，(20232023log 20232x x x -=--++故，所以，()()4f x f x +-=()()224f a f a +-=则不等式，转化为，即，()()2564f a f a -+≤()()()()22256f a f a f a f a -+≤+-()()256f a f a -≤-又函数在上单调递增，在上单调递减，2023xy =x ∈R 2023x y -=x ∈R ，且设，12,R x x ∀∈12x x <所以((()()121212x x x x x x -=-+=-()()(1212121x x x x xx ⎛=-=-=- ⎝，因为，所以，1200x x >>，12x x <120x x -<所以，由于函数在上单调递增，12x x <2023log y x =()0,x ∈+∞所以，故函数在上单调递增，((2023120232log log x x <(2023log y x =+x ∈R 所以由函数单调性的性质可得在上单调递增，()(20232023log 20232x xf x x -=+-+x ∈R 故，可得，解得，()()256f a f a -≤-()()2256560610a aa a a a -≤-⇒+-≤⇒+-≤61a -≤≤所以实数的取值范围是.a []6,1-故答案为：.[]6,1-11．若函数有零点，则其所有零点的集合为______.（用列()()2421421433xxf x x x x =+-+-+举法表示）.【答案】{}3,1,1,3--【分析】注意到.令，结合时，偶函数()()()21123xxf x x x =+-+-()0f x =0x >均在上单调递增可得答案.()()21123，xxg x x h x x =+-=+-()0,∞+【详解】注意到，令，()()()21123xxf x x x =+-+-()0f x =得或.2110xx +-=230xx +-=令，注意到均为偶函数，()()21123，xxg x x h x x =+-=+-()(),g x h x .又时，函数与函数在上单调递增，()()310g h ==0x >2xy =y x =()0,∞+则在上单调递增，()()21123，xxg x x h x x =+-=+-()0,∞+故在上有唯一零点，得，()(),g x h x ()0,∞+21103xx x +-=⇒=±.则所有零点的集合为.2301xx x +-=⇒=±()f x {}3,1,1,3--故答案为：.{}3,1,1,3--12．已知定义在R 上的奇函数满足：，且当时，()f x ()()2f x f x +=-01x ≤≤，若对于任意，都有，则实数的取值范围为()()2log f x x a =+[]0,1x ∈()221log 3f x tx -+≥-t ______.【答案】1722t ≤≤【分析】先由题给条件求得函数的单调区间对称轴对称中心，进而将转()f x ()221log 3f x tx -+≥-化为关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围.t t 【详解】定义在R 上的奇函数满足，则，则，()f x ()00f =2log 0a =1a =又由可得，，()()2f x f x +=-()()()24f x f x f x =-+=+则函数的最小正周期为4，()f x 由，可得函数有对称轴，()()()2f x f x f x +=-=-()f x 1x =当时，，单调递增，01x ≤≤()()2log 1f x x =+由奇函数图像关于原点对称可得，()f x 当时，，单调递增，10x -≤≤()()2log 1f x x =--+则函数在单调递增，又函数有对称轴，()f x []1,1-()f x 1x =则函数在单调递减，()f x []1,3又在内，由，[]1,0x ∈-()21log 3f x =-即，可得，()223log 11log x --+=-12x =-又函数有对称轴，则时，，()f x 1x =52x =()21log 3f x =-则在内，由，可得，[]13,x ∈-()21log 3f x ≥-1522x -≤≤令，，由任意，都有，2()g x x tx =-+[]0,1x ∈[]0,1x ∈()221log 3f x tx -+≥-又，则的值域是的子集，15(0)0,22g ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦()g x 15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦①当，即时，在单调递减，0t <02t <()g x []0,1[]()1,0g x t ∈-则，则，不等式组无解，不符合题意；[]1,0t -15,22⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦0112t t <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩②当，即时，在时取最小值，01t ≤≤1022t ≤≤()g x 1x =在时取最大值，则2t x =2()1,4t g x t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，则，解之得；21,4t t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15,22⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦211201542t t t ⎧-≥-⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤⎩112t ≤≤③当，即时，在时取最小值，12t <≤1122t<≤()g x 0x =在时取最大值，则2t x =2()0,4t g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，则，解之得；20,4t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦15,22⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦212542t t <≤⎧⎪⎨≤⎪⎩12t <≤④当，即时，在单调递增，2t >12t >()g x []0,1[]()0,1g x t ∈-则，则，解之得，[]0,1t -15,22⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦2512t t >⎧⎪⎨-≤⎪⎩722t <≤综上，实数的取值范围为t 1722t ≤≤故答案为：1722t ≤≤【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.二、单选题13．下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像的是（）.A．B ．C．D．【答案】D【分析】根据函数自变量与因变量一对一或多对一的特征判断.【详解】函数图像满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图像上都有唯一确定的点与它对应.选项D 的进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像，其它三个选项都不满足条件.故选：D 14．设方程的两根为，（），则（）.e ln 1x x ⋅=1x 2x 12x x <A ．，B ．，10x <20x >101x <<22x >C ．D ．1201x x <<121x x >【答案】C 【分析】对AB ，令，由零点存在定理判断；()ln e xf x x -=-()0x >对CD ，由根的方程得，结合根的范围可得及其符号，即可2121ln ln e e x x x x ---=-2112ln e e x x x x --=-得的范围.12x x 【详解】由题意得，，由得，120x x <<e ln 1x x ⋅=ln e 0x x --=令，，，，()ln e x f x x -=-()0x >()11e 0f -=-<()212ln 20e f =->10e 111110e e e f ⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭对AB ，由得，故AB 错；()()()110,120e f f f f æöç÷×<×<ç÷èø()121,1,1,2e x x æöç÷ÎÎç÷èø对CD ，由得，1212ln e ln e 0x x x x ---=-=2121ln ln e e x x x x ---=-由得，∴，故C 对D 错.()121,1,1,2e x x æöç÷ÎÎç÷èø()212112ln ln ln e e 0x x x x x x ----==-<1201x x <<故选：C 15．设函数，的定义域分别为、，且.若对任意的，都有，()f x ()g x F G F G ⊆x F ∈()()g x f x =则称为在上的一个“延拓函数”.已知函数（），若为在上一()g x ()f x G ()2xf x =0x ≤()g x ()f x R 个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（）()g x ()g x A ．B ．()2xg x =()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．D ．()2log g x x=()12log g x x=【答案】B【分析】由题意函数，为在上一个延拓函数，求出，然后利用()2(0)x f x x =≤()g x ()f x R ()g x 偶函数推出函数的解析式．()g x 【详解】解：，()2(0)x f x x =≤为在上的一个延拓函数，()g x ()f x R 则当时，，(],0x ∈-∞()()2xg x f x ==因为是偶函数()g x 当时，，0x >()()2xg x g x -=-=综上．()122xxg x -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：B ．16．是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数()f x [,]c c -()()g x af x b =+的叙述正确的是（）()g xA ．若，则函数的图象关于原点对称a<0()g x B ．若，，则方程有大于2的实根1a =-20b -<<()0g x =C ．若，，则方程有两个实根0a ≠2b =()0g x =D ．若，，则方程有三个实根1a ≥2b <()0g x =【答案】B【分析】A.取，判断；B.由，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，再由上1a =-1b =1a =-()f x -下平移判断； C.取，判断；D.取，判断.12a =2b =1a =3b =-【详解】A.若，，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，故错误；1a =-1b =()g x B.当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加b ，1a =-()f x -()f x ，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，故正确；20b -<<b -()()0g x f x b =-+=C.若，，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，那么12a =2b =1()()22g x f x =+()f x 只有1个零点，所以只有1个实根，故错误；()g x ()0g x =D.若，，则的图象由的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即1a =3b =-()g x ()f x 只有一个实根，故错误.()0g x =故选：B.三、解答题17．（1）求函数的值域；21x x y x ++=（2）求函数.y x =+【答案】（1）；（2）(][),13,-∞-+∞ (],3-∞【分析】（1）函数化成，结合均值不等式分别判断、的最值，从而得出值域.11y x x =++0x >0x <（2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题.【详解】（1），，2111x x y x x x ++==++0x ≠当时，，当且仅当时等号成立；0x>1113y x x =++≥=1x =当时，，当且仅当时等号成立.0x<1111y x x ⎛⎫=---+≤-=- ⎪⎝⎭=1x -故函数值域为；(][),13,-∞-+∞ （2）函数定义域为，令，则，故函数值域为2x≤0t t ³()2222133y t t t =-+=--+£.(],3-∞18．（1）判断函数的奇偶性并说明理由；()22log 233x y x -=--（2）证明：函数在上严格增.33y x x =+(),-∞+∞【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析；（2）证明见解析()22log 233x y x -=--【分析】（1）根据函数解析式先确定函数定义域，定义域对称后化简解析式，按照奇偶性判断即可；（2）按照函数单调性定义取值、作差、变形、定号、下结论等步骤证明即可.【详解】解：（1）函数为奇函数，理由如下：()22log 233x y x -=--函数定义域满足，即函数定义域为，()22log 233x y x -=--22033006x x x x x ⎧⎧-><<⎪⎪⇒⎨⎨--≠≠≠⎪⎪⎩⎩且)(⎡⎣所以，则()()()()222222log 2log 2log 23333x x x y f x x x x---====----+-，()()()()2222log 2log 2x x f x f x xx---=-==--故函数为奇函数；()22log 233x y x -=--（2）证明：任取，且，()12,,x x ∈-∞+∞12x x <所以()()()()()()33332212112212121211223333y y x x x x x x x x x x x x x x -=+-+=-+-=-+++，()221212213324x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为，所以，又恒成立，所以，即，12x x <120x x -<22122133024x x x ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭120y y -<12y y <故函数在上严格增.33y x x =+(),-∞+∞19．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．y t (1)写出服药后与之间的函数关系式；y t ()y f t =(2)进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗0.25疾病的有效时间．【答案】(1)()34,011,12t t t f t t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)小时7916【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，将点的坐标代入函数M y kt =k ()3,1的解析式，由此可得出函数的解析式；12t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭()f t （2）解不等式，即可得解.()0.25f t ≥【详解】（1）解：当时，设函数的解析式为，将点的坐标代入得，此时[]0,1t ∈y kt =()1,4M 4k =；4y t =当时，函数的解析式为，将点的坐标代入得，所以．()1,t ∈+∞12t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭()3,13a =312t y -⎛⎫= ⎪⎝⎭综上，.()34,011,12t t t f t t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）解：当时，由，可得；01t ≤≤()40.25f t t =≥1116t ≤≤当时，由，可得.1t >()310.252t f t -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭15t <≤所以，不等式的解集为.()0.25f t ≥1516t t ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭因为，服药一次治疗疾病的有效时间为小时．17951616-=791620．（1）求证：关于的方程（，）在区间内存在唯一解.x 10nxx +-=n ∈N 2n ≥1,12⎛⎫⎪⎝⎭（2）已知，函数.若关于的方程的解集a ∈R ()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦中恰好有一个元素，求实数的取值范围.a 【答案】（1）证明见解析；（2）或或.{3|12a a <≤2a =}3a =【分析】（1）记.判断出在为增函数，利用零点存在定理()()21,,n x x x n n ϕ=+-∈≥N ()x ϕ()0,∞+即可证明；（2）把方程转化为只有一个根，讨论根的()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦()(1)310x a x ⎡⎤+--=⎣⎦情况，求出实数的取值范围.a 【详解】（1）记.()()21,,n x x x n n ϕ=+-∈≥N 因为和在均为增函数，所以在均为增函数.ny x =1y x =-()0,∞+()x ϕ()0,∞+因为，，()111112110,,22222nn n ϕ⎛⎫⎛⎫=+-<+-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥N ()()111110n ϕ=+-=>所以()1102ϕϕ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭所以在有且只有一个零点，()x ϕ1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭即关于的方程（，）在区间内存在唯一解.x 10nxx +-=n ∈N 2n ≥1,12⎛⎫⎪⎝⎭（2）方程即,亦即当时，()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦1(3)24a a x a x +=-+-()3240a x a -+->方程①有一解.1(3)4a x a x =-+-①式化简为②.()(1)310x a x ⎡⎤+--=⎣⎦当时，方程②的解为，满足条件，符合题意；3a ==1x -(3)240a x a -+->当时，方程②的解为，满足条件，符合题意；2a ==1x -(3)240a x a -+->当且时，方程②的解为或.3a ≠2a ≠=1x -13x a =-若是方程①的根，则，即；=1x -10a ->1a >若是方程①的根，则，即；13x a =-230a ->32a >所以要使方程①有且只有一解，只需.312a <≤综上所述：方程的解集中恰好有一个元素，实数的取值范围()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦a 或或{3|12a a <≤2a =}3a =21．设，是的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，S T R ()y f x =(){}T f x x S =∈1x ，当时，恒有，那么称函数为集合到集合的“保序同构函数”.2x S ∈12x x <()()12f x f x <()y f x =S T (1)写出集合到集合且的一个保序同构函数（不需要证明）；A =R {R ,B x x =∈}0x >(2)求证：不存在从整数集的到有理数集的保序同构函数；Z Q (3)已知存在正实数和使得函数是集合到集合的保序同构函数，求实数s t ()21xf x x m =+-[]0,s []0,t 的取值范围和的最大值（用表示）.m s m 【答案】(1)()2xf x =(2)见解析(3)，1m >s 【分析】（1）根据保序同构函数的概念以及常见基本初等函数的性质即可求解，（2）利用反证法，结合保序同构函数的定义即可证明，（3）根据保序同构函数的定义可知为单调递增的函数，结合对勾函数的单调性即可求解.()f x 【详解】（1）()2xf x =（2）假设存在一个从集合到集合的“保序同构函数”，Z Q 由“保序同构函数”的定义可知，集合和集合中的元素必须是一一对应的，Z Q 不妨设整数0和1在中的像分别为和，Q a b 根据保序性，因为，01<所以，a b <又也是有理数，但是没有确定的原像，2a b +2a b+因为0和1之间没有另外的整数了，故假设不成立，故不存在从集合到集合的“保序同构函数”；Z Q （3），()()21011x f x x m x m x x ==>-+-+若是集合到集合的保序同构函数，则在单调递()21x f x x m =+-[]0,s []0,t ()21xf x x m =+-[]0,x s ∈增，且()f x ≥当时，即，函数单调递增，且，则单调递减，10m -<1m <()11f x m x x =-+()0f x >1m y x x -=+这与均为单调递增函数，则单调递增相矛盾，故不成立，舍去，1,m y x yx -==1m y x x -=+1m <当时，由对勾函数性质可知：当单调递增，当时，1m >x ≥1m y x x -=+0x <单调递减，且当取最小值，因此1m y x x -=+x =1m yx x -=+在()11f x m x x =-+0x <≤所以是到集合的保序同构函数，则，此时()11f x m x x =-+[]0,s []0,t s ≤()()max f x f s t ==当时，，不满足是到集合的保序同构函数，1m =()()10f x x x=≠()11f x m x x =-+[]0,s []0,t 综上，，1m >s。

上海市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．若扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的面积是__________ 2π【答案】2π【分析】根据扇形面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，扇形的面积为.12π22π2⨯⨯=故答案为：2π2．已知一元二次方程的两个实根为，则____ 20(0)x ax a a --=>12x x 、1211x x +=【答案】1-【分析】先利用韦达定理得到，再由代入即可求解.1212,x x x x +12121211x xx x x x ++=【详解】因为一元二次方程的两个实根为， 20(0)x ax a a --=>12x x 、所以. 1212,x x a x x a +==-故121212111x x a x x x x a++===--故答案为： 1-3．函数的定义域是__________. 22log 1x y x +=-【答案】(,2)(1,)-∞-+∞ 【分析】先利用对数式中真数为正得到，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解. 201x x +>-【详解】要使有意义，须， 22log 1x y x +=-201x x +>-即，解得或， (2)(1)0x x +->1x ><2x -即函数的定义域是. 22log 1x y x +=-(,2)(1,)-∞-+∞ 故答案为：.(,2)(1,)-∞-+∞4．已知，则__________cos160m = tan20= 【答案】【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求得的值，进而求得的值. sin20 cos20 【详解】因为，所以， cos160m = cos20cos160m=-=-所以，sin 20=== 所以sin 20tan 20cos 20===故答案为：5．定义且，若，则______{A B xx A -=∈∣}x B ∉{}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B ==()()A B B A -⋃-=【答案】{}1,2,7,9【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果.{}1,7,9A B -={}2B A -=【详解】根据集合且的定义可知， {A B xx A -=∈∣}x B ∉当时，可得，； {}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B =={}1,7,9A B -={}2B A -=所以 ()(){}1,2,7,9A B B A -⋃-=故答案为：{}1,2,7,96．将函数的图象向左平移__________个单位可得到函数的图象. 2x y =32x y =⋅【答案】2log 3【分析】根据指数对数的运算知，即可求解. 22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅【详解】因为，22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅所以将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象. 2x y =2log 332x y =⋅故答案为：2log 37．当，时，则的最小值是__________． lg lg a b =()a b ≠13a b+【答案】【分析】由且，得出，用均值不等式即可得出答案． lg lg a b =a b ¹1ab =【详解】，且，而函数在上单调递增，lg lg a b = a b ¹lg y x =()0,+∞，即，且，，lg lg lg 0ab a b ∴=+=1ab =0a >0b >， 13a b ∴+≥=当且仅当，即13a b =b =a =故答案为：8．已知关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围___________.x 265x x a -+=a 【答案】.(0,4)【分析】由题知转化为函数与有个不同的交点，画出函数的图265y x x =-+y a =4265y x x =-+像即可求出的取值范围.a 【详解】方程有四个不相等的实数根，265x x a -+=等价于函数与有个不同的交点.265y x x =-+y a =4由函数的图像知：265y x x =-+的取值范围为：.a 04a <<故答案为：(0,4)【点睛】本题主要考查方程的根的问题，转化为函数的交点问题为解题的关键，属于中档题.9．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数．若存在三个点、、，使得为等边三角11(,())A x D x 22(,())B x D x 33(,())C x D x ABC A 形，则________． 123()()()D x D x D x ++=【答案】1【分析】由狄利克雷函数分析得出的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案．ABC A 【详解】，1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数或1，∴()0D x =存在三个点、、，使得为等边三角形，11(,())A x D x 22(,())B x D x 33(,())C x D x ABC A 不同时为0或1，∴123(),(),()D x D x D x 不妨设，123x x x <<分析得的位置有两种情况，ABC A第一种情况：当为有理数时，即，如图，1x 1()1D x =过点作，垂足为，得，，B BD AC ⊥D 1BD =AD =AB AC BC ===可知，为无理数， 211x x AD x =+=31x x =即，，与图形不一致，舍去； 2()0D x =3()0D x =第二种情况：当为无理数时，即，如图，1x 1()0D x =过点作，垂足为，得，，B BD AC ⊥D 1BD =AD =AB AC BC ===可知，， 211x x AD x =+=31x x =存在，且 1x =210Q x x ==∈31x x ==即，与图形一致，符合题意， 2()1D x =3()0D x =此时，，123()()()0101D x D x D x ++=++=故答案为：1． 10．已知函数在是严格增函数，在上为严格减函数，若对任意()1ln xf x x+=(]0,1[)1,+∞，都有，则k 的取值范围是_________()0,x ∞∈+e x x k ≤【答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出的最大值，对两边取自然对数，ln x x -e x x k ≤分离，利用不等式恒成立求解即可. ln k 【详解】因为在是严格增函数，在上为严格减函数， ()1ln xf x x+=(]0,1[)1,+∞所以. 1ln ()(1)1xf x f x+=≤=由，可得，0x >ln 1x x -≤- 又时，由可得， ()0,x ∞∈+e x x k ≤ln ln(e )ln x x k k x ≤=+即恒成立， ln ln x x k -≤所以，即.ln 1k ≥-1ek ≥故答案为：1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二、单选题11．若为第三象限角，则（） αA ． B ． C ． D ．cos 20α>cos20α<sin 20α>sin 20α<【答案】C【解析】利用为第三象限角，求所在象限，再判断每个选项的正误. α2α【详解】因为为第三象限角，所以， α3222k k πππαπ+<<+()k Z ∈可得， 24234k k ππαππ+<<+()k Z ∈所以是第第一，二象限角， 2α所以，不确定， sin 20α>cos 2α故选：C【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.12．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若R ()y f x =,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅则.以下选项表述不正确的是（）x y ≠()()f x f y ≠A ．在上是严格增函数 B ．若，则()y f x =R (3)10f =(6)100f =C ．若，则 D ．函数的最小值为2(6)100f =1(3)10f -=()()()F x f x f x =+-【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不()f x 等式求解判断D 作答.【详解】任意，恒成立，,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅且，假设，则有，R a ∈0a ≠()0f a =(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，，2a a ≠x y ≠()()f x f y ≠R a ∈0a ≠()0f a ≠取，有，则，于是得，，0,0x a y =≠=()()(0)f a f a f =⋅(0)1f =R x ∀∈()0f x ≠，，，R x ∀∈2()([()]0222x x x f x f f =+=>()()(0)1f x f x f ⋅-==对于A ，函数，，，1()()2xf x =,x y ∀∈R 111()()()()()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，x y ≠()()f x f y ≠1()()2xf x =R A 不正确；对于B ，，则，B 正确；(3)10f =(6)(3)(3)100f f f =⋅=对于C ，，则，而，有，又，因此(6)100f =(3)(3)100f f ⋅=(3)0f >(3)10f =(3)(3)1f f ×-=，C 正确； 1(3)10f -=对于D ，，，则有，()()1f x f x ⋅-=()0f x >()()()1F x f x f x =+-³=当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D 正确. ()()1f x f x =-=0x =()()()F x f x f x =+-故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.13．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒感染累计人数（的单位:天）的Logistic 模型:其中为最大病毒感()I t t ()()0.23531e t K I t --=+K 染数.当时，标志着该地区居民工作生活进入稳定窗口期.在某地区若以2022年12月()0.95I t K ≥15日为天，以Logistic 模型为判断依据，以下表述符合预期的选项是（） 1t =A ．该地区预计2023年元旦期间进入稳定窗口期; B ．该地区预计2023年1月底进入稳定窗口期; C ．该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期; D ．该地区预计2023年某时刻不起再有新冠病毒感染者. 【答案】C【分析】根据条件列不等式，解指数型不等式即可. 【详解】由题意知，，0.23(53)0.951et K K --≥+即：， 0.23(53)201e19t --+≤所以， ln19353535313660.230.23t ≥+≈+≈+=因为以2022年12月15日为天，所以天，即预计2023年2月18日后该地区进入稳定窗1t =66t ≥口期，即该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期.故选：C.14．已知函数，定义域为，值域为.则以下选项正确的是（）()()23log 2f x mx x m =-+A B A ．存在实数使得 m R A B ==B ．存在实数使得 m R A B =⊆C ．对任意实数 10,m A B -<<⋂≠∅D ．对任意实数 0,m A B >⋂≠∅【答案】D【分析】设，考虑，，，，，几种情22y mx x m =-+1m >1m =01m <<0m =10m -<<1m ≤-况，分别计算集合和，再对比选项得到答案..A B 【详解】设，当，即时， 22y mx x m =-+2440m ∆=->11m -<<设对应方程的两根为，，不妨取，1x 2x 12x x <当时，，，且； 1m >2440m ∆=-<R A =R B ≠B ≠∅当时，，；1m =()(),11,A =-∞+∞ R B =当时，，，； 01m <<2440m ∆=->()()12,,A x x =-∞+∞ R B =当时，，；0m =(),0A =-∞R B =当时，，，，故；10m -<<2440m ∆=->()12,A x x =max 1y m m =-31,log B m m ⎛⎤⎛⎫=-∞- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦当时，函数无意义.1m ≤-对选项A ：根据以上情况知不存在的情况，错误； R A B ==对选项B ：根据以上情况知不存在的情况，错误； R A B =⊆对选项C ：假设任意实数，， 10m -<<A B ⋂≠∅取，解得，则， 119m m -=m =(],2B =-∞-对于，有220mx x m -+=1x =此时应满足，解得， 12x =<-405m -<<易得，错误； m =A B ⋂=∅对选项D ：根据以上情况知对任意实数，正确； 0,m A B >⋂≠∅故选：D【点睛】关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和的正负讨论的范围，进而计算集合∆a A 和是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握.B三、解答题15．如图所示：角为锐角，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点ααx ，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 2,cos 3P α=OP O π2()11,Q x y(1)求的值; tan α(2)求的值. 1y【答案】 (2) 23【分析】（1）确定，计算得到答案.sin 0α>sin α=sin tan cos ααα=（2）设终边对应的角度为，则，，计算得到答案. OQ βπ2βα=+1cos y α=【详解】（1）角为锐角，，，则， αsin 0α>2cos 3α=sin α===sin tan cos ααα==（2）设终边对应的角度为，，OQ βπ,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，π2βα=+1π2sin sin cos 23y βαα⎛⎫==+== ⎪⎝⎭16．集合{为严格增函数}.S =()()(),0,f x f x x y x∈+∞=∣()()2121(0),(0)f x x x f x x x =+>=>(1)直接写出是否属于集合 ()()12,f x f x ;S (2)若.解不等式：()m x S ∈()()223223ee e e xxxx m m -+⋅<⋅(3)证明：“”的充要条件是“” ()()()()120H x af x bf x ab =+≠()H x S ∈0,0b a ><【答案】(1)不属于集合，属于集合 ()1f x S ()2f x S (2) ()3,1-(3)证明见解析【分析】（1）根据定义直接判断即可；（2）由，可得函数为增函数，不等式，即为不等式()m x S ∈()m x y x=()()223223e ee e x x xx m m -+⋅<⋅，再根据函数的单调性解不等式即可；()()222332e e e e x xxxm m ++<（3），即函数在定义域内为增函数，根据函数的单调性结合充分条件和必要条()H x S ∈()H x y x=件的定义证明即可. 【详解】（1）因为在定义域内为减函数， ()()1110f x y x x x==+>所以不属于集合， ()1f x S 因为在定义域内为增函数， ()()20f x y x x x==>所以属于集合； ()2f x S （2）不等式，()()223223ee ee xxxx m m -+⋅<⋅即为不等式，()()222332e e e e x xxxm m ++<因为， ()m x S ∈所以函数为增函数， ()m x y x=所以，223e e xx+<所以，解得， 223x x +<31x -<<所以不等式的解集为；()()223223ee ee xxxx m m -+⋅<⋅()3,1-（3），()()()()2120H x af x bf x bx ax a ab =+=++≠则， ()()0H x abx a x x x=++>令， ()()0ag x bx a x x=++>当，则在上递增， ()H x S ∈()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+令，120x x <<则对任意的恒成立，()()210g x g x -≥12,x x ()()2121212112a x x a abx a bx a b x x x x x x -⎛⎫++-++=-- ⎪⎝⎭恒成立，()()211212x x bx x a x x --=≥即恒成立， 120bx x a -≥因为，所以， 0ab ≠0,0a b ≠≠当时，恒成立， 0b >12ax x b ≥因为，所以， 120x x >0ab≤又，所以， 0,0b a >≠a<0当时，恒成立， 0b <12ax x b≤因为没有最大值，所以不恒成立，与题意矛盾， 120x x >12ax x b≤综上所述，当在上递增时，， ()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+0,0b a ><当时， 0,0b a ><则函数在上都是增函数， ,ay bx y a x==+()0,∞+所以函数在上是增函数， ()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+综上所述，“”的充要条件是“”.()H x S ∈0,0b a ><【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于把握新定义的含义，以及函数单调性的判定及利用函数的单调性解不等式.。

2016-2017学年上海市黄浦区大同中学高一(上)数学期末试卷[答案版]

2016-2017学年上海市黄浦区大同中学高一（上）数学期末试卷一、填空题(填空题(3分×12共36分)1．（3分）函数y＝+log x（x+2）的定义域是．2．（3分）“a＝1”是“函数f（x）＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的条件（填：充分不必要，必要不充分，充要条件，既不充分也不必要）．3．（3分）函数y＝1g（5﹣4x﹣x2）的递增区间是．4．（3分）设3a＝4b＝36，则＝．5．（3分）函数f（x）＝1﹣x2（x≤0）的反函数是f﹣1（x）＝．6．（3分）函数y＝2x﹣，x∈[1，5]的值域为．7．（3分）方程8×2x＝的解为．8．（3分）若log53＝a，用a表示log459为．9．（3分）已知（a+1）﹣2＞（3﹣2a）﹣2，则实数10．（3分）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜11．（3分）已知函数y＝log a（ax2﹣x）在区间[2，上是增函数，12．（3分）已知函数f（x）＝||关于x解，则实数b，c需要满足的条件为．二、选择题（4分×4共16分)13．（4分）函数f（x）＝ln（e x+1）﹣（）A．是偶函数，但不是奇函数B．是奇函数，但不是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数14．（4分）方程lg（x2﹣2）＝lgx的解集为A，方程4x+2x﹣1＝5的解集为B，那么A∪B等于（）A．{﹣1，2，1}B．{1，2}C．{﹣1，1}D．{1，﹣2} 15．（4分）关于幂函数有下列四个命题，其中真命题的个数是（）（1）幂函数中不存在非奇非偶函数；（2）函数f（x）＝没有单调递增区间；（3）图象不经过点（﹣1，1）的幂函数，一定不是偶函；（4）如果两个幂函数有三个公共点，那么它们俩是同一个函数．A．0B．1C．2D．316．（4分）若函数f（x）＝log a x在[3，+∞）上恒有|f（x）|＞1，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，3）B．（0，）∪（3，+∞）C．（）∪（1，3）D．（）∪（3，+∞）三、解答题（本题共5大题，总分48分)17．（8分）解方程（﹣4）＝（2x+1+1）﹣1．18．（8分）已知函数f（x）＝4﹣x﹣a•21﹣x﹣3在x∈[﹣2，+∞）时有最小值是﹣4，求实数a的值．19．（10分）已知函数f（x）＝2x﹣a，若方程2f﹣1（x）＝log22x有两解、一解、无解，分别求实数a的取值范围．20．（10分）已知f（x）＝2x﹣1的反函数为f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）若f﹣1（x）≤g（x），求x的取值范围D．（2）设函数，当x∈D时，求函数H（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）＝（）满足f（﹣2）＝1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．百度文库百度文库精品文库百度文库baiduwenku**百度文库百度文库精品文库百度文库baiduwenku**2016-2017学年上海市黄浦区大同中学高一（上）数学期末试卷参考答案与试题解析一、填空题(填空题(3分×12共36分)1．【解答】解：∵∴，∴x＞0且x≠1且x≠2，∴函数的定义域是（0，1）∪（1，2）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（1，2）∪（2，+∞）．2．【解答】解：∵当“a＝1”时，“函数f（x）＝|x﹣1|在区间[1，+∞）上为增函数”故“a＝1”⇒“函数f（x）＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”为真命题；∵当“函数f（x）＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”，a≤1故“函数f（x）＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”⇒“a＝1”为假命题；故“a＝1”是“函数f（x）＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；故答案：充分不必要．3．【解答】解：对于函数y＝1g（5﹣4x﹣x2），由5﹣4x﹣x2＞0，求得﹣5＜x＜1，可得函数的定义域为{x|﹣5＜x＜1 }．函数y＝1g（5﹣4x﹣x2）的递增区间，即t＝5﹣4x﹣x2在定义域内的增区间．而即t＝5﹣4x﹣x2在定义域内的增区间为（﹣5，﹣2），故答案为：（﹣5，﹣2）．4．【解答】解：∵3a＝4b＝36，∴，，∴＝＝＝1．故答案为1．5．【解答】解：设y＝1﹣x2，则x2＝1﹣y，又x≤0，所以x＝﹣，所以f﹣1（x）＝﹣故答案为：﹣（x≤1）6．【解答】解：令，t∈[0，2]，则x＝t2+1；∴；∴时，y取最小值；t＝2时，y取最大值8；∴原函数的值域为．故答案为：．7．【解答】解：∵8×2x＝，∴23+x＝3（3+x）（x﹣3），∴（3+x）lg2＝（3+x）（x﹣3）lg3．∴（3+x）[lg2﹣（x﹣3）lg3]＝0，∴3+x＝0，或lg2＝（x﹣3）lg3，解得x＝﹣3或x＝3+log32．故答案为：﹣3或3+log32．8．【解答】解：∵log53＝a，∴log459＝＝．故答案为：．9．【解答】解：根据幂函数y＝x﹣2是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，∴（a+1）﹣2＞（3﹣2a）﹣2等价于0＜|a+1|＜|3﹣2a|，，解得a＜或a＞4，∴实数a的取值范围是（﹣∞，）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣∞，）∪（4，+∞）．10．【解答】解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，∴log b（x﹣3）＞0，∴0＜x﹣3＜1，∴3＜x＜4，故答案为：（3，4）．11．【解答】解：令g（x）＝ax2﹣x（a＞0，且a≠1），当a＞1时，g（x）在[2，4]上单调递增，∴∴a＞1当0＜a＜1时，g（x）在[2，4]上单调递减，∴∴a∈∅综上所述：a＞1故答案为：（1，+∞）12．【解答】解：令t＝f（x），则方程f2（x）+bf（x）+c＝0化为t2+bt+c＝0．画出函数f（x）＝||的图象如图：由图可知，要使方程f2（x）+bf（x）+c＝0有7个不同实数解，则方程为t2+bt+c＝0有一根等于1，而另一根大于1．则b+c＝﹣1，且＞1，即b+c＝﹣1，且b＜﹣2，故答案为：b+c＝﹣1，且b＜﹣2．二、选择题（4分×4共16分)13．【解答】解：∵f（﹣x）＝ln（e﹣x+1）+＝ln（e x+1）﹣＝f（x），∴函数f（x）＝ln（e x+1）﹣是偶函数，故选：A．14．【解答】解：由lg（x2﹣2）＝lgx得：；解得x＝2；∴A＝{2}；方程4x+2x﹣1＝5变成2•（2x）2+2x﹣10＝0；解得2x＝2，或（舍去）；∴x＝1；∴B＝{1}；∴A∪B＝{1，2}．故选：B．15．【解答】解：对于（1），可取f（x）＝x为非奇非偶函数，故（1）错误；对于（2），函数f（x）＝即为f（x）＝为偶函数，增区间为（﹣∞，0），故（2）错误；对于（3），如果幂函数为偶函数，则其图象必过（﹣1，1），即图象不经过点（﹣1，1）的幂函数，一定不是偶函数，故（3）正确；对于（4），可取f（x）＝x3，g（x）＝x，它们存在三个公共点（0，0），（1，1），（﹣1，﹣1），但不为同一函数，故（4）错误．故选：B．16．【解答】解：函数f（x）＝log a x在[3，+∞）上恒有|f（x）|＞1，当a＞1时，∵x∈[3，+∞），∴y＝f（x）＝log a x＞0，由|f（x）|＞1，得log a x＞1＝log a a，∴a＜x对任意x∈[3，+∞）恒成立．于是：1＜a＜3．当0＜a＜1时，∵x∈[3，+∞），∴y＝f（x）＝log a x＜0，由|f（x）|＞1，得﹣log a x＝log＞1＝log a a，∴a＞对任意x∈[3，+∞）恒成立．于是：＜a＜1．综上：a∈（，1）∪（1，3）．故选：C．三、解答题（本题共5大题，总分48分)17．【解答】解：∵（﹣4）＝（2x+1+1）﹣1．∴（﹣4）＝[2（2x+1+1）]，∴，解得x＝log23．18．【解答】解：设t＝2﹣x（由x≥﹣2可得，0＜t≤4），则函数y＝g（t）＝t2﹣2at﹣3＝（t﹣a）2﹣3﹣a2，对称轴为t＝a，当a≤0时，（0，4]为增区间，无最小值；当0＜a＜4时，t＝a时，取得最小值﹣3﹣a2＝﹣4，解得a＝1；当a≥4时，（0，4]为减区间，t＝4时取得最小值13﹣8a＝﹣4，解得a＝＜4，不成立．综上可得a的值为1．19．【解答】解：由y＝2x﹣a，得2x＝y+a，即x＝log2（y+a），则f﹣1（x）＝log2（x+a），方程2f﹣1（x）＝log22x化为2log2（x+a）＝log22x，令t＝x+a（t＞0），则方程化为，即t2＝2t﹣2a，﹣2a＝t2﹣2t．作出函数y＝t2﹣2t（t＞0）的图形如图：由图可知，当﹣2a＜﹣1，即a时，方程无解；当﹣2a＝﹣1或﹣2a＞0，即a＝或a＜0时，方程有一解；当﹣1＜﹣2a＜0，即0＜a＜时，方程有两解．20．【解答】解：由y＝2x﹣1得2x＝y+1，∴x＝log2（y+1）∴f﹣1（x）＝log2（x+1）（x＞﹣1）（1）由f﹣1（x）≤g（x）得log2（x+1）≤log4（3x+1）∴log4（x+1）2≤log4（3x+1）∴∴D＝[0，1]（2）∵0≤x≤1∴1≤x+1≤2∴∴∴∴．21．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（）满足f（﹣2）＝1，∴（）＝1，∴＝，解得：a＝﹣1，∴f（x）＝（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称；又∵f（﹣x）＝（）＝（）＝﹣（）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，设g（x）＝（）﹣（）x，则g（x）在[2，3]上是增函数．∴g（x）＞t对x∈[2，3]恒成立，∴t＜g（2）＝﹣．物理解题中的审题技巧析，能在头脑里形成生动而清晰的物理情景，找到解决问题的简捷办法，才能顺利地、准确地完成解题的全过程。

上海市崇明县大同中学2025届高一上数学期末复习检测试题含解析

上海市崇明县大同中学2025届高一上数学期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知幂函数()2()44m f x m m x =--⋅在(0,)+∞上单调递减，则m =（）A.5-B.5C.1-D.1 2．已知函数()332x x f x a x -=+⋅+是奇函数，则()f a = A.23 B.23- C.1 D.1-3．把长为9m 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）2 B.22m2m 2 4．已知定义在R 上的函数()f x 满足2()2(1)1f x f x x +-=+，则(0)f =（）A.1-B.1C.13-D.13 5．对于实数a ，b ，c 下列命题中的真命题是( )A.若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B.若a ＞b ＞0，则11a b > C.若a ＜b ＜0，则b a a b > D.若a ＞b ，11a b >，则a ＞0，b ＜0 6．若－4<x <1，则22222x x x -+-（） A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－17．已知幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点P （2），则函数y ＝f （x 2）﹣2f （x ）的最小值等于（）A.12B.12-C.1D.﹣1 8．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是A.B. C. D. 9．cos75cos15sin 255sin15⋅-⋅的值是A.0B.12C.32D.110．已知函数()y f x =的图象与函数2x y =的图象关于直线y x =对称，函数()g x 是奇函数，且当0x >时，()()g x f x x =+，则(4)g -=（）A.-18B.-12C.-8D.-6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2018-2019学年上海市大同中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市大同中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知函数()kf x x =()k Q ∈，在下列函数图像中，不是函数()y f x =的图像的是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】根据幂函数图像不过第四象限选出选项. 【详解】函数()kf x x=()k Q ∈为幂函数，图像不过第四象限，所以C 中函数图像不是函数()y f x =的图像.故选：C. 【点睛】本小题主要考查幂函数图像不过第四象限，属于基础题.2．“1b <”是“函数()22f x x bx =-，[)1,x ∈+∞有反函数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.即非充分又非必要条件【答案】A【解析】函数2()2f x x bx =-，[1,)x ∈+∞有反函数，则函数2()2f x x bx =-，[1,)x ∈+∞上具有单调性，可得1b ≤，即可判断出结论．【详解】函数2()2f x x bx =-，[1,)x ∈+∞有反函数，则函数2()2f x x bx =-，[1,)x ∈+∞上具有单调性，1b ∴≤．{|1}b b <是{|1}b b ≤的真子集，∴“1b <”是“函数2()2f x x bx =-，[1,)x ∈+∞有反函数”的充分不必要条件．故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数的单调性、反函数、充分条件与必要条件的判定方法，考查推理能力与计算能力，同时考查函数与方程思想、数形结合思想．3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(2k πθθπ≠+，)k Z ∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（）A.()cos ,sin θθ- B.() cos ,sin θθ- C.() sin ,cos θθ- D.()sin ,cos θθ- 【答案】C【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得点B 的坐标．【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(2k πθθπ≠+，)k Z ∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos()sin 2πθθ-+=-，点B 的纵坐标为3sin()cos 2πθθ-+=，故点B 的坐标为(sin ,cos )θθ-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，考查基本的运算求解能力． 4．若关于x 的方程()f x a =，当0a >时总有4个解，则()f x 可以是（） A.21x - B.11x - C.22x - D.2log 2x -【答案】D【解析】根据函数()f x 的解析式，写出(||)f x 与|(||)|f x 的解析式，再判断对应方程|(||)|f x a =在0a >时解的个数．【详解】对A ，2()1f x x =-，2(||)1f x x ∴=-，()2221,11,11,11,x x f x x x x x ⎧--≤≤⎪∴=-=⎨-⎪⎩或；方程|(||)|f x a =，当10a >>时有4个解，当1a =时有3个解，当1a >时有2个解，A ∴不符合；对B ，1()1f x x =-，1(||)||1f x x ∴=-，1,111()11,11x x f x x x x ⎧>⎪-⎪∴==⎨-⎪<⎪-⎩；方程|(||)|f x a =，当10a >>时有2个解，当1a =时有3个解，当1a >时有4个解，B ∴不符合；对C ，()22xf x =-，||(||)22x f x ∴=-，22,1()2222,1x xx x f x x ⎧-≤⎪∴=-=⎨->⎪⎩；方程|(||)|f x a =，当10a >>时有4个解，当1a =时有3个解，当1a >时有2个解，C ∴不符合；对D ，2()log 2f x x =-，2(||)log ||2f x x ∴=-，2222log ,04()log 2log 2,4x x f x x x x ⎧-<≤⎪∴=-=⎨->⎪⎩；方程|(||)|f x a =，当0a >时恒有4个解，D ∴符合题意．【点睛】本题考查了函数与方程的应用问题，考查数形结合思想的运用，对综合能力的要求较高．二、填空题5．与600-o 终边相间的最小正角的弧度数是_________. 【答案】23π 【解析】根据终边相同角的表示法，结合坐标系中角的定义，可得答案. 【详解】因为6002360120-=-⨯+，所以600-o 与120的终边相同，即23π. 故答案为：23π. 【点睛】本题考查终边相同角的表示法、角度制与弧度制的互化，考查基本的运算求解能力. 6．若一个扇形的圆心角为2，半径为1，则该扇形的面积为__．【答案】1【解析】由已知直接利用扇形的面积公式求解．【详解】解答：解：扇形的圆心角2θ=，半径1r =，∴该扇形的面积221112122S r θ==⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查了扇形面积计算公式，是基础题．7．设a 为常数，函数()2x af x +=，若()f x 的反函数图象经过点()8,1，则a =_________【答案】2【解析】由题设可知，函数()f x 过点(1,8)，代入解析式后，可得a 的值. 【详解】因为()f x 的反函数图象经过点()8,1，所以函数()f x 过点(1,8)，所以1282a a +=⇒=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查互为反函数的两个函数图象之间的关系，即原函数过点00(,)x y ，则反函数过点00(,)y x ，考查对概念的理解.8．函数21log y x=的定义域是_________. 【答案】{|0x x >且1}x ≠【解析】列出使函数解析式有意义的限制条件，即真数大于0、分母不为0，从而求得x 的范围. 【详解】由题意得：20,0log 0,x x x >⎧⇒>⎨≠⎩且1x ≠，所以函数的定义域是{|0x x >且1}x ≠. 故答案为：{|0x x >且1}x ≠. 【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查对定义域概念的理解和基本的运算求解能力，注意定义域要写成集合或区间的形式.9．若tan 2θ=，且θ是第三象限角，则sin 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】【解析】根据同角三角函数的基本关系，即22sin tan ,sin cos 1cos θθθθθ=+=，结合θ是第三象限角，判断三角函数值的正负，再利用诱导公式化简sin 2πθ⎛⎫-⎪⎝⎭，从而求得答案. 【详解】因为22sin tan 2,sin cos 1cos θθθθθ==+=，所以cos 5θ=±，因为θ是第三象限角，所以cos θ=.所以sin cos 25πθθ⎛⎫-==-⎪⎝⎭.故答案为：-【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意符号的正负. 10．已知1sin cos 5αα+=，则sin cos αα⋅=_________. 【答案】1225-【解析】对式子1sin cos 5αα+=两边平方，可得答案. 【详解】因为1sin cos 5αα+=，所以2112(sin cos )sin cos 2525αααα+=⇒⋅=-. 故答案为：1225-. 【点睛】本题考查对三角等式的简单变形运用，考查基本的运算求解能力.11．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．【答案】-1【解析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】()1,2【解析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数，所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅，当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数，所以0a -<，即0a >，所以1a >，综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为：()1,2. 【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.13．若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________．【答案】2⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】试题分析：当12x ≤时，321()22x f x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，又因为函数的值域为R ，所以当12x >时，()log a f x x =能取遍1(,)2-∞的所有实数，由21log log 22a a a ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭得1a ≤<，所以应填2⎫⎪⎪⎣⎭. 【考点】1.分段函数的表示；2.指数函数与对数函数的性质.【名师点睛】本题考查分段函数的表示方法与指、对数函数的图象与性质，属中档题；本题的难点是值域为R ，即12x ≤与12x >时两部分的值域的并集为全体实数，解决这个问题关键在于正确的转化，把当12x >时，()log a f x x =能取遍1(,)2-∞的所有实数转化为21log log 22a a a ⎛⎫≥=⎪⎝⎭，考查学生的理解能力，体现子数学的化归与转化思想. 14．已知函数()()() 2f x m x m x m =-++)和()33xg x =-同时满足以下两个条件:①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <； ②总存在()0,2x ∈-∞-，使()()000f x g x ⋅<成立，则m 的取值范围是._________ 【答案】(3,2)--【解析】由于()330xg x =-≥时，1x ≥，根据题意有()()(2)0f x m x m x m =-++<在1x ≥时成立；由于(,2)x ∈-∞-，()()0f x g x <，而()330xg x =-<，则()()(2)0f x m x m x m =-++>在(,2)x ∈-∞-时成立．由此结合二次函数的性质可求出结果．【详解】对于①()33x g x =-，当1x <时，()0<g x ，又①x R ∀∈，()0f x <或()0<g x()()(2)0f x m x m x m ∴=-++<在1x ≥时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面，即0121m m m <⎧⎪<⎨⎪--<⎩，可得30m -<< 又②(,2)x ∈-∞-，()()0f x g x <∴此时()330x g x =-<恒成立()()(2)0f x m x m x m ∴=-++>在(,2)x ∈-∞-有解，()f x 的对称轴为212m m x --==-，， ∴()f x 在(,2)x ∈-∞-单调递增，2(2)(2)0f m m ∴-=-->，且30m -<<，解得：32m -<<-。

山西省大同市第一中学高一数学上学期期末考试试题

2014~2015学年度第一学期期末试卷高一数学第Ⅰ卷客观卷（共36分）一．选择题（每小题3分，共36分）1．全集U ＝｛0，1，3，5，6，8 ｝，集合A ＝{ 1，5， 8 }， B ={ 2 }，则集合()B A C U Y 为A ．{ 0，2，3，6 }B ．{ 0，3，6 }C ．{ 1，2，5，8 }D ．∅ 2．下列各函数中，表示同一函数的是A ．y x =与log x a y a =（0a >且1a ≠）B ．211x y x -=-与1y x =+ C．1y =与1y x =- D ．lg y x =与21lg 2y x =3．已知函数()R x x x f ∈+=,112则=⎪⎭⎫⎝⎛21fA ． 51B ．45C ．32D ．544．下列式子中成立的是 A ．0.40.4log 4log 6< B ． 3.4 3.51.01 1.01>C ．0.30.33.53.4>D ．76log 6log 7<5．已知0x 是函数()24xf x e x =+-的一个零点，若10(1,)x x ∈-20(,2)x x ∈，则 A ．()10f x <，()20f x < B ．()10f x <，()20f x > C ．()10f x >，()20f x <D ．()10f x >，()20f x >6．集合{2,3}A =，{1,2,3}B =从A 、B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是A ． 23B ．13 错误!未找到引用源。

C ．12D ．16错误!未找到引用源。

7．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为A ．103B ．51C ．52D ．548．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 (注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-L ，其中x 为1x ，2x ，…，nx 的平均数)A ．5.8B ．6.8C ． 7.8D ． 8.89．已知2)()(+=x g x f ，且)(x g 为奇函数，若3)2(=f ，则)2(-f 的值为 A ．0B ．3-C ．1D ．310．二次函数bx ax y +=2与指数函数xa b y )(=在同一坐标系中的图象可能是11．若*,x R n N ∈∈，规定：(1)(2)(1)nx x x x x n H =++⋅⋅⋅⋅⋅+-，例如：44(4)(3)(2)(1)24H -=-⋅-⋅-⋅-=，则52()x f x x H -=⋅的奇偶性为A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数12．已知函数()()()()2,12log ,1a a a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪⎩≥是R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是A ．()1,2B ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()0,1第II 卷主观卷（共64分）二、填空题（每小题3分，共12分）13．如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，它的四个角的空白总分都是以正方形的顶点为圆心，半径为1的扇形，某人向此木板投镖，假设每次击中木板，且击中木板上每一个点处的可能性都一样，则击中阴影总分的概率为 .14．用辗转相除法求两个数102、238的最大公约数是 .15．阅读下列的程序框图，若输入4m =，3n =，则输出a = ， i = ．（注：框图中的赋值符号“＝”，也可以写成“←”或“：＝”） 16．已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数，且()()12f ax f x +-≤对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则实数a 的取值范围是．三．解答题17．（8分）设集合{|02}A x x m =<-<，{}230B x x x =-+≤，分别求满足下列条件的实数m 的取值范围：（1）A B =∅I ；（2）A B B =U ．18．（8分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12．(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2) 若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由． 19．（8分）现有6道题,其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1) 所取的2道题都是甲类题的概率； (2) 所取的2道题不是同一类题的概率．20．（8分）已知甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5。