高等数学方法应用I复习

第五讲 定积分及其应用
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高等数学方法应用I

d x 设f ( x )为连续函数，则 0 tf ( x 2  t 2 )dt  ______ dx

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计算定积分I  
π





x sin x  arctan e x dx 2 1  cos x

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sin( 2n  1) x 求 In   dx sin x 0

 h 1 Gn ( )  2n Gn ( h) 2 2 从而Gn1 ( h)   f ( x )  O( h2n 2 ) 1 1  2n 2
李查逊外推公式
h0

lim

f ( x  h)  f ( x  h)  2 f ( x ) h h2
2

 f ( x )

f ( x  h)  f ( x  h)  2 f ( x )
设 f ( x ) 在区间 [0,2] 上具有二阶连续导数 f (1)  0. 证明 : 至少存在一点   [0,2]

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f ( )  30 f ( x )dx

2

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设f ( x )在[1,)连续可导，
1 1   1 f '( x )  2  x  ln(1  x )  . 1  f ( x)  
对两个误差都是O(h2)阶的近似值花了少量几步四则运算 进行组合之后，却得到了具有O(h4)阶的近似值，这样的 过程称为外推

h 1 G1 ( )  2 G1 ( h) 2 2 记G1 ( h)  G ( h), G2 ( h)  1 1 2 24  f ( x )  b4 h   ,

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f ( x  h)  f ( x  h)  f ( x )  a2 h2    a2n h2n  o( h2n ) 2h
G ( h)  f ( x )  a2 h2    a2n h2n  o( h2n )

h h2 h2n G ( )  f ( x )  a 2    a2n 2n   2 4 2 h 1 G ( )  2 G ( h) 2 2  f ( x )  O ( h 4 ) 1 1 2 2

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例1 若函数 P ( x ), Q ( x ) 在 (a , b ) 上可微 , 且 P ( x1 )  P ( x 2 )  0,
x1 , x 2  (a , b ). 证明 : 在 x1 , x 2 之间至少存在 P ' ( x )  P ( x )  Q' ( x ) 的一个零点.

证 不妨设 f (a )  0, f (b)  0 .

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ab ab )  0, 则取[a1 , b1 ]  [ , b],显然 (3) f ( 2 2 f (a1 )  0, f (b1 )  0 .

再将闭区间[a1 , b1 ]与等分为两个  a1  b1   a1  b1  , b1  ，类似的方法得到 小区间 a1 , 与 2   2    a1  b1 [a 2 , b2 ]， )  0 ;…… 满足 f (a 2 )  0, f (b2 )  0， 或者 f ( 2
n 

取 N  n0 , n  N ：     x n0  x n   ，

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2、零点存在定理 定理3 若函数 f ( x )在闭区间[a , b]上连续，且 f (a )  f (b)  0, 则一定存在  (a , b),，使 f ( )  0.
n  n 

因为 a n    bn， f ( x )在[a , b]上连续， 而 所以由极限的 保序性知 f ( )  lim f (a n )  0, f ( )  lim f (bn )  0, 故 f ( )  0.
n  n 

闭区间套定理+连续定义+极限保序性

第二讲 微分中值定理
Rolle 定 理 :

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若f ( x )在[a , b]上 连 续 ， (a , b )上 可 导 ， 在 且 f (a )  f ( b ), 则  (a , b )使 得f ' ( )  0.

Lagrange 值 定 理 : 中 若f ( x )在[a , b]上 连 续 ， (a , b )上 可 导 ， 在 则   ( a , b )使 得f (b )  f (a )  f ' ( )( b  a ).

单调有界定理

定理2 单调有界数列有极限.

证 不妨设数列{ x n }单调增加且有上界,根据确界存 在定理,由{ x n }构成的数集必有上确界  ,  满足：
(1) n  N  : x n   ； (2)   0,  x n0 : x n0     .

因而| x n   |  , ，于是得到 lim x n   .

例4 若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上二阶可微且 f (0)  f (1)  0, , min f ( x )  1, 则   (0,1), 使 f ' ( )  8.
x[ 0 ,1]

例5 设在 [0, a ] 上 | f '' ( x ) | M , 且 f ( x ) 在 (0, a ) 内

Taylor定理：

若 f ( x )在含有 x 0 的某个开区间(a , b ) 内具有直到n 阶导数, 则 f ''( x0 ) f ( x )  f ( x 0 )  f ' ( x 0 )( x  x 0 )  ( x  x0 )2     2! f (n) ( x0 )  ( x  x 0 ) n  Rn ( x ) n! 其中 Rn ( x )  o[( x  x 0 ) n ].
1 n 1 n 1 n

a b c n ( 2) lim ( ) , 其中a  0, b  0, c  0 n  3

三、（ 分）设f ( x )在x  1点附近有定义，且在x  1点 10 f (sin 2 x  cos x ) 可导，f (1)  0, f (1)  2, 求 lim x 0 x 2  x tan x

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lim(1  sin  1  4n 2 )n
n 

sin 6 x  xf ( x ) 6  f ( x) 若 lim  0, 求 lim 3 x 0 x 0 x x2
设f ( x )在x  1点附近有定义，且在 x  1点 f (sin 2 x  cos x ) 可导， f (1)  0, f (1)  2, 求 lim x 0 x 2  x tan x

 f ( x )  a2 h2  

如何建立计算 ( x )的外推格式？ f

第四讲
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求极限的综合方法

高等数学方法应用I

等价无穷小替换

两对等价无穷小 ~  ' ,  ~  ' , 有

 ' （1）分式型代换： lim  lim ；  ' （2）乘积型代换：   lim '  , 其中是给定的因变量； lim

Taylor中值定理：

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若 f ( x )在含有 x 0 的某个开区间 a , b ) 内具有直到n  1 阶导数, 则 ( f '' ( x0 ) f ( x )  f ( x 0 )  f ' ( x 0 )( x  x 0 )  ( x  x0 )2     2! f ( n) ( x0 )  ( x  x 0 ) n  Rn ( x ) n! f ( n1) ( ) 其中 Rn ( x )  ( x  x 0 ) n1 而  是 x 0 与 x 之间的某个数 . ( n  1)!

f ( x  h)  f ( x  h) 中心差分 ( 3) f ( x )  , 2h f ( x ) 2 f ( x  h)  f ( x )  f ( x )h  h  o( h2 ) 2! f ( x ) 2 f ( x  h)  f ( x )  f ( x )h  h  o( h2 ) 2! 公式(1)、 )的误差是 ( h)， ( 3)的误差是 ( h2 ). (2 O O

例2

若函数 f ( x ) , g( x )  C 2 [a , b] , 且 g' ' ( x )  0,

f (a )  f (b)  g(a )  g(b)  0. 证明 : 1. 在开区间(a , b) 内 g( x )  0. f ( ) f ' ' ( ) 2.   (a , b), 使  g( ) g' ' ( )
1 1

（3）幂指型代换： (1   )   lim(1   ' )  ' . lim
◆ ◆

带Peano余项的泰勒公式 利用导数或微分的定义求极限
ห้องสมุดไป่ตู้
高等数学方法应用I

练习：首届全国大学生数学竞赛决赛试题 二、（10分）求下列极限

(1)

1 n lim n((1  )  e ) n  n

技巧：辅助函数的构造+使用区间的选取

高等数学方法应用I

例3 若函数 f ( x ) 在 [a , b] 上二阶可微 且 f ' (a )  f ' (b)  0, ,
4 证明 :   (a , b ), 使 f ' ( )  | f (b)  f (a ) | 2 (b  a )

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a k  bk )  0, 这样的步骤一直做下去，若存在 k , 使得 f ( 2 则得证.否则将得到一个闭区间套{[a n , bn ]}， f ( x )在其中 任何一个闭区间[a n , bn ]上都满足 f (a n )  0, f (bn )  0.

根据闭区间套定理， 存在唯一的实数 属于所 有的闭区间[a n , bn ]，并且   lim a n  lim bn .
Cauchy定 理 : 若f ( x ), F ( x )在[a , b]上 连 续, 在( a , b )上 可 导, F ' ( x )  0, x  ( a , b ) 则  ( a , b )使 得 f (b)  f (a ) f ' ( )  . F (b)  F (a ) F ' ( )
G2 ( h)  f ( x )  b4 h4  

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h b4 4 G 2 ( )  f ( x )  4 h   2 2

h 1 G 2 ( )  4 G 2 ( h) 2 2 则G3 ( h)   f ( x )  O ( h 6 ) 1 1 4 2

高等数学方法应用I
第一讲
确界定理

实数的连续性
柯西准则 致密性

高等数学方法应用I

聚点原理

单调有界

闭区间套

有限覆盖

注记: 1.确界存在定理称为实数的连续性定理,柯西存 在准则称为实数的完备性定理,由上面的等价 性知连续性与完备性是等价的. 2.完备性本质上是对极限运算封闭,有理数是不 完备的.

高等数学方法应用I

1、确界定理
取到最大值，试证： ' (0) |  | f ' (a ) | Ma . | f

技巧：Taylor公式中展开点的选取

第三讲

导数的应用

高等数学方法应用I

导函数的优良性

导数的数值计算与误差分析
向前差分 向后差分

f ( x  h)  f ( x ) (1) f ( x )  , h

f ( x )  f ( x  h) ( 2) f ( x )  , h
 a  b a  b  将[a , b]等分为两个小区间 a ,  与  2 , b  ，若 2     ab ab (1) f ( )  0, 取  , 则 f ( )  0; 2 2 ab ab )  0, 则取[a1 , b1 ]  [a , ], 显然 (2) f ( 2 2 f (a1 )  0, f (b1 )  0 ;