2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第二章 第八节 幂函数与二次函数 Word版含解析
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第二章第九节函数与方程Word版含解析
一.填空题1.设y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是 (n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.解析：作出y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象观察可知1<x 0<2.故n ＝1. 答案：12.已知函数y ＝f (x )的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y ＝f (解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个. 答案：33.设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，有下列命题： ①在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点； ②在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点；③在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点； ④在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点. 正确命题的序号是________.解析：f ′(x )＝13－1x ，易知f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1e ，e)上单调递减，又f (1e )＝13e ＋1>0，f (1)＝13－0>0，f (e)＝e3－1<0， ∴f (1)·f (e)<0，f (1e )·f (1)>0.∴f (x )在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.4.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________. 解析：由题意知ax ＋b ＝0(a ≠0)的解为x ＝1，∴b ＝－a ， ∴g (x )＝－ax 2－ax ＝－ax (x ＋1)， 由g (x )＝0得x ＝0或x ＝－1. 答案：0或－15.若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是________.解析：设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0⇒m >52.答案：m >526.若函数f (x )＝x 3－ax 2(a >0)在区间(203，＋∞)上是单调增函数，则使方程f (x )＝1 000有整数解的实数a 的个数是________. 解析：令f ′(x )＝3x 2－2ax >0，则x >2a3或x <0.由f (x )在区间(203，＋∞)上是单调增函数知(203，＋∞)⊆(2a3，＋∞)，从而a ∈(0,10].由f (x )＝1 000得a ＝x －1 000x 2，令g (x )＝x －1 000x 2，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g (x )与y ＝a (0<a ≤10)的大致图象(如图所示).当a ＝10时，由f (x )＝1 000得x 3－10x 2－1 000＝0.令h (x )＝x 3－10x 2－1 000，因为h (14)＝－216<0，h (15)＝125>0，所以方程x 3－10x 2－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x 0，因此从图象可以看出在(10，x 0]之间f (x )＝1 000共有4个整数解. 答案：47.函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的区间是(n ，n ＋1)，则正整数n ＝________. 解析：设x 0是函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点，而f (1)<0，f (2)>0， ∴x 0所在的区间是(1,2)，∴n ＝1.8.已知f (x )＝2x ，g (x )＝3－x 2，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是________. 解析：在同一坐标系内作出函数f (x )＝2x 与g (x )＝3－x 2的图象，两图象有两个交点，故函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点. 答案：29.若函数f (x )＝x 2·lg a －2x ＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是________.解析：由题意可知，f (1)f (2)<0，即(2lg a －1)lg a <0，解得1<a <10. 答案：(1，10) 二.解答题10.若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围.解析：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示). ∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内，∴⎩⎨⎧f (－2)>0，f (0)<0，f (1)<0，f (3)>0，即⎩⎨⎧3×(－2)2－5×(－2)＋a >0，a <0，3－5＋a <0，3×9－5×3＋a >0，解得－12<a <0.∴所求a 的取值范围是(－12,0).11.已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围.解析：二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的否定是对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f (x )≤0，∴⎩⎨⎧f (1)≤0，f (－1)≤0，即⎩⎨⎧4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0， 整理得⎩⎨⎧2p 2＋3p －9≥0，2p 2－p －1≥0，解得p ≥32或p ≤－3，∴二次函数在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的实数p 的取值范围是(－3， 32).12.已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1(m ≠0).设函数f (x )＝g (x )x .(1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值； (2)k (k ∈R)如何取值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点. 解析：(1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则g ′(x )＝2ax ＋b .∵g ′(x )的图象与直线y ＝2x 平行， ∴2a ＝2，a ＝1.又g (x )在x ＝－1取极小值，b2＝1，b ＝2. ∴g (－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m ， ∴f (x )＝g (x )x ＝x ＋mx ＋2. 设P (x 0，y 0)，则|PQ |2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋(x 0＋m x 0)2＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，∴22m 2＋2m ＝2，m ＝－1±2； (2)由y ＝f (x )－kx ＝(1－k )x ＋mx ＋2＝0 得(1－k )x 2＋2x ＋m ＝0.(*)当k ＝1时， 方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f (x )－kx 有1个零点x ＝－m2；当k≠1时，方程(*)有两解⇒Δ＝4－4m(1－k)>0.若m>0，则k>1－1m，函数y＝f(x)－kx有两个零点x＝－2±4－4m(1－k)2(1－k)＝1±1－m(1－k)k－1；若m<0，则k<1－1m，函数y＝f(x)－kx有两个零点x＝－2±4－4m(1－k)2(1－k)＝1±1－m(1－k)k－1；当k≠1时，方程(*)有一解⇔Δ＝4－4m(1－k)＝0，k＝1－1m，函数y＝f(x)－kx有1个零点x＝1k－1.。
最新一轮优化探究理数(苏教版)练习：第二章 第八节 幂函数与二次函数
一、填空题1．设α∈{－1,1，12}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．解析：在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝中，只有y ＝x 符合题意．答案：12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．解析：借助图象可知当x ＝1时f (x )min ＝－1，当x ＝－1或x ＝3时f (x )max ＝3，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3，当b ＝3时，－1≤a ≤1，故2≤b －a ≤4. 答案：[2,4]3．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f (12)的值等于________． 解析：依题意设f (x )＝x α(α∈R)， 则有4α2α＝3，即2α＝3，得α＝log 23， 则f (x )＝x log 23，答案：134．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．解析：由已知得f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤32，x －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－1或x >32，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－345．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：∵x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立， ∴mx <－x 2－4，∴m <－(x ＋4x )对x ∈(1,2)恒成立．又∵4<x ＋4x <5， ∴－5<－(x ＋4x )<－4， ∴m ≤－5. 答案：(－∞，－5]6．已知函数f (x )＝x 12，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是________． 解析：由2x －1<3x 得：⎩⎨⎧2x －1≥0，3x >0，2x －1<3x ，∴x ≥12.答案：[12，＋∞)7．已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )>0的解集是(0,4)，且f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12，则f (x )的解析式为________． 解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x )>0的解集是(0,4)可知f (0)＝f (4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12可知f (2)＝12.即⎩⎨⎧f (0)＝0，f (4)＝0，f (2)＝12，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝－3x 2＋12x . 答案：f (x )＝－3x 2＋12x8．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．解析：∵⎩⎨⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数， ∴1＋1<m <2＋12，即m ∈(2，52)． 答案：(2，52)9．已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是[1，＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4a (c ＋1)－(－4)24a ＝1，a >0，化简得1c ＝a 4且a >0，于是1a ＋9c ＝1a ＋9a4≥21a ×9a 4＝3，当且仅当1a ＝9a 4，即a ＝23时取等号． 答案：3 二、解答题 10．已知函数f (x )＝x－k 2＋k ＋2(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (2)<f (3)， ∴f (x )在第一象限是增函数． 故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， ∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q 满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]． ∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q )处取得． ①当q >0时，而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0， ∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2. ②当q <0时，g (x )max ＝g (－1)＝2－3q ＝178， g (x )min ＝4q 2＋14q ＝－4， q 不存在．综上所述，存在q ＝2满足题意．11．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)， f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根． (1)证明：－3<c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明． 解析：(1)证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－c ＋12.又c <b <1，故c <－c ＋12<1⇒－3<c <－13. 方程f (x )＋1＝0有实根， 即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根， 故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1. 又c <b <1，得－3<c ≤－1，由b ＝－c ＋12知b ≥0.(2)f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －c )(x －1)，f (m )＝－1<0，∴c <m <1，∴c －4<m －4<－3<c ，∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)>0， ∴f (m －4)的符号为正．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值． 解析：(1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝1－ba 2＝ca，解得a ＝1，b ＝－2.∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1； 当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝1－b a 1＝ca，即⎩⎨⎧b ＝1－2ac ＝a.∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a ， 又a ≥1，故1－12a ∈[12，1)， ∴M ＝f (－2)＝9a －2， m ＝f (2a －12a )＝1－14a . g (a )＝M ＋m ＝9a －14a －1.又g (a )在区间[1，＋∞)上是单调递增的， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.。
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第四节二次函数与幂函数实用课件文
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求二次函数的解析式 [例 1] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1， 且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得a4－ ac4－ba＋b2c＝＝8－，1，
数时，幂函数的图象关于 y 轴对称．
幂函数的性质
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)幂函数的图象过定点(1,1)； (3)当 α＞0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0， ＋∞)上单调递增； (4)当 α＜0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞) 上单调递减； (5)当 α 为奇数时，幂函数为奇函数；当 α 为偶数时，幂 函数为偶函数．
a＝－4， 解得b＝4，
c＝7.
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[方法技巧] 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，
选择规律如下：
二次函数的图象 确定二次函数图象的三要点
二次函数的图象与性质的应用
考法(一) 二次函数的单调性 [例 3] 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－4,6]上是单 调函数； (2)当 a＝1 时，求 f(|x|)的单调区间． [解] (1)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a， 所以要使 f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4 或－a≥6， 即 a≤－6 或 a≥4. 所以实数 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
第四节 二次函数与幂函数
(苏教版)高考一轮数学(理)：《二次函数与幂函数》(一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析)
二次函数与幂函数分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 a ＝0显然成立．a ≠0时，二次函数对称轴为x ＝－1a ，所以a ＜0且－1a≥4，解得－14≤a ＜0，综上，得－14≤a ≤0. ★答案★ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，02．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.解析 设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 得m ＝－1，由14＝(－2)n，得n ＝－2，所以f (2)＋g (－1)＝2－1＋(－1)－2＝32.★答案★ 323．(2013·泰州测试)当a ＝________时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]．解析 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a ＜－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝－2，f 1＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f 1＝1－a ＝2⇒a ＝－1；当0＜a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝a －a 2＝－2，f －1＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；当a ＞1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝2，f 1＝1－a ＝－2⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.★答案★ －14．设f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ≤－1时，f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a ，于是由a ≤f (x )min ，得a ≤3＋2a ⇒a ≥－3，所以－3≤a ≤－1；当a ＞－1时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，于是由a ≤f (x )min ，得a ≤2－a 2⇒－2≤a ≤1，所以，－1＜a ≤1. 综上，得－3≤a ≤1. ★答案★ [－3,1]5．(2012·苏州模拟)给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．解析 命题①显然正确；只有当α>0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α<0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；函数y ＝x 12就是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在y ＝x α(α∈R )中，只要x >0，必有y >0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故命题④正确，命题⑤也正确；幂函数y ＝x 3在(－∞，0)上是递增函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤. ★答案★ ①④⑤6.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运________年，使其营运年平均利润最大．解析 由题设y ＝a (x －6)2＋11，过点(4,7)，得a ＝－1.∴y ＝－(x －6)2＋11，则每年平均利润为y x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－10＋12，当且仅当x ＝5时，取“＝”． ★答案★ 5二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝x |x －2|. (1)写出f (x )的单调区间； (2)解不等式f (x )＜3；(3)设0＜a ≤2，求f (x )在[0，a ]上的最大值．解 (1)f (x )的图象如图所示，所以f (x )的增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，减区间为[1,2]．(2)当x ＝3时，f (3)＝3，所以f (x )＜3的解集为(－∞，3)． (3)因为0＜a ≤2，所以当0＜a ≤1时，f (x )在[0，a ]上的最大值为f (x )max ＝f (a )＝2a －a 2；当1＜a ≤2时，f (x )在[0，a ]上的最大值为f (x )max ＝1.综上得f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －a 2，0<a ≤1，1，1＜a ≤2.8．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.(1)若存在x ∈R 使f (x )＜b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解 (1)∃x ∈R ，f (x )＜bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b ＜0⇒ (－b )2－4b ＞0⇒b ＜0或b ＞4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎪⎨⎪⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ＞0，即m ＜－255或m ＞255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1，F 0＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F 0＝1－m 2≥0⇒－1≤m ＜－255；综上所述：实数m 的取值范围是[－1,0]∪[2，＋∞)分层训练B 级 创新能力提升1．(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为________．解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，0≤b ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－2<a ≤0，b ＝2，所以动点(a ，b )的轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，面积为4. ★答案★ 42．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________． 解析 设二次函数的解析式为：f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)，方程a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两个根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7.∴a ＝－4，故f (x )＝－4x 2－12x ＋40. ★答案★ f (x )＝－4x 2－12x ＋403．(2012·苏锡常镇四市调研)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C (t,2)，且与x 轴交于A ，B 两点，若AC ⊥BC ，则a 的值为________．解析 由二次函数的图象可得a <0，设ax 2＋bx ＋c ＝0两根分别为x 1，x 2，则A (x 1,0)，B (x 2,0)．由AC ⊥BC ，可得(x 1－t ，－2)·(x 2－t ，－2)＝(x 1－t )(x 2－t )＋4＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋4＝c a ＋b a t ＋t 2＋4＝at 2＋bt ＋c a＋4＝0.因为at 2＋bt ＋c ＝2，所以2a ＋4＝0，解得a ＝－12.★答案★ －124．(2012·泰州模拟)已知函数f (x )＝|2x －3|，若0＜2a ＜b ＋1，且f (2a )＝f (b ＋3)，则T ＝3a 2＋b 的取值范围为________．解析 由0＜2a ＜b ＋1，且f (2a )＝f (b ＋3)， 得0＜2a ≤32≤b ＋3，于是由|4a －3|＝|2b ＋3|，得3－4a ＝2b ＋3，所以b ＝－2a ，∴2a ＜－2a ＋1，a ＜14，所以T ＝3a 2＋b ＝3a 2－2a ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－23a ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －132－13.又0＜2a ≤32，所以0＜a <14，所以T ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0.★答案★ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0 5．(2012·盐城检测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值． 解 (1)由f (0)＝2可知c ＝2.又A ＝{1,2}， 故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋2＝0的两实根． 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－b a ，2＝2a .解得a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1. 当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝1－b a ，1＝ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－2a ，c ＝a .所以f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a .又a ≥1，故1－12a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.所以M ＝f (－2)＝9a －2.m ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2a －12a ＝1－14a .g (a )＝M ＋m ＝9a －14a－1.又g (a )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当a ＝1时，g (a )min ＝314. 6．(2012·无锡调研)已知13≤a ≤1，若f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )． (1)求g (a )的函数表达式；(2)判断g (a )的单调性，并求出g (a )的最小值． 解 (1)函数f (x )＝ax 2－2x ＋1的对称轴为直线x ＝1a，而13≤a ≤1，所以1≤1a≤3. 所以f (x )在[1,3]上，N (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1－1a.①当1≤1a ≤2时，即12≤a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5.②当2＜1a ≤3时，即13≤a ＜12时，M (a )＝f (1)＝a －1.所以g (a )＝M (a )－N (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋1a －6，12≤a ≤1，a ＋1a －2，13≤a ＜12.(2)g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12上单调递减，故g (a )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.。
(江苏专版)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测(八)二次函数与幂函数文
（江苏专版）高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测（八）二次函数与幂函数文课时跟踪检测（八） 二次函数与幂函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·清河中学检测)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________.解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.答案：322. (2018·扬州中学测试)已知二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－23．(2018·淮阴模拟)已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )，f (0)的大小关系为________．解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)．答案：f (m )＜f (0)4．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.答案：－2x 2＋25．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上， 所以f (2)＝t ＋4＝0， 所以t ＝－4. 答案：－46．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为________．解析：因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}． 答案：{－3,3}二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2018·海安中学检测)已知幂函数f (x )＝xα，其中α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，12，1，2，3.则使f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数的α的取值集合为________．解析：若幂函数f (x )为奇函数，则α＝－1,1,3，又f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以α的取值集合为{1,3}．答案：{1,3}2．已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是________． 解析：函数h (x )的对称轴为x ＝k 8，因为h (x )在[5,20]上是单调函数，所以k 8≤5或k8≥20，即k ≤40或k ≥160.答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)3．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax －5)的图象关于直线x ＝0对称，则f (x )的最大值是________．解析：依题意，函数f (x )是偶函数，则y ＝x 2＋ax －5是偶函数，故a ＝0，f (x )＝(1－x 2)(x 2－5)＝－x 4＋6x 2－5＝－(x 2－3)2＋4，当x 2＝3时，f (x )取得最大值4.答案：44．(2018·泰州中学调研)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，不等式f (x 2－3)>f (2x )的解集为________．解析：根据题意，f (x )是定义在R 上的奇函数，则有f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2为减函数，则当x >0时，f (x )也为减函数，综上可得f (x )在R 上为减函数，若f (x 2－3)>f (2x )，则有x 2－3<2x ，解得－1<x <3，即不等式f (x 2－3)>f (2x )的解集为(－答案：(－1,3)5．(2018·泰州二中测试)若函数f (x )＝xα2－2α－3(常数α∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α的值为________．解析：根据幂函数的性质，要使函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α2－2α－3为偶数，且α2－2α－3＜0，解不等式可得－1＜α＜3.因为α∈Z ，所以α＝0,1,2.当α＝0时，α2－2α－3＝－3，不满足条件；当α＝1时，α2－2α－3＝－4，满足条件；当α＝2时，α2－2α－3＝－3，不满足条件，所以α＝1.答案：16．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是________．解析：二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 7．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，Δ＝36－45－a a ＋5＜0，解得－4＜a ＜4. 答案：(－4,4)8．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：89．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．(2)若该函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12.又因为f (2－a )>f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 10．(2018·上海七校联考)已知a ，b 为实数，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1，且函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，函数g (x )＝－b ·f (f (x ＋1))＋(3b －1)·f (x ＋1)＋2在区间(－∞，－2]上是减函数，在区间(－2,0)上是增函数．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求实数b 的值；(3)设h (x )＝f (x ＋1)－2qx ＋1＋2q ，问是否存在实数q ，使得h (x )在区间[0,2]上有最小值－2？若存在，求出q 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以(x ＋1)2＋a (x ＋1)＋1＝(－x ＋1)2＋a (－x ＋1)＋1， 所以4x ＋2ax ＝0，所以a ＝－2， 所以f (x )＝(x －1)2.(2)由(1)知，g (x )＝－b ·f (f (x ＋1))＋(3b －1)·f (x ＋1)＋2＝－bx 4＋(5b －1)x 2＋2－b ，令t ＝x 2，则u (t )＝－bt 2＋(5b －1)t －(b －2)，在区间(－∞，－2]上，t ＝x 2是减函数，且t ∈[4，＋∞)，由g (x )是减函数，可知u (t )为增函数；在区间(－2,0)上，t ＝x 2是减函数，且t ∈(0,4)，由g (x )是增函数，可知u (t )为减函数，所以u (t )在(0,4)上是减函数，在(4，＋∞)上是增函数，可得二次函数开口向上，b ＜0且－5b －1－2b ＝4，所以b ＝－13.(3)h (x )＝f (x ＋1)－2qx ＋1＋2q ＝x 2－2qx ＋1＋2q ，x ∈[0,2]．则h (x )的对称轴为直线x ＝q .当q ＜0时，h (x )min ＝h (0)＝1＋2q ＝－2，q ＝－32；当0≤q ≤2时，h (x )min ＝h (q )＝－q 2＋2q ＋1＝－2，所以q ＝3或－1，舍去； 当q ＞2时，h (x )min ＝h (2)＝－2q ＋5＝－2，q ＝72.综上所述，q ＝－32或q ＝72.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－22．(2018·启东检测)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.(1)若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；(2)若不等式x |f (x )－x 2|≤1对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为x ＝a (a ＞1)， 所以f (x )在[1，a ]上为减函数， 所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]． 又已知值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a 2－2a 2＋5＝1，f 1＝1－2a ＋5＝a ，解得a ＝2.(2)由x |f (x )－x 2|≤1，得－12x 2＋52x ≤a ≤12x 2＋52x.(*) 令1x＝t ，t ∈[2,3]，则(*)可化为－12t 2＋52t ≤a ≤12t 2＋52t .记g (t )＝－12t 2＋52t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋258，则g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝258，所以a ≥258；记h (t )＝12t 2＋52t ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋522－258，则h (t )min ＝h (2)＝7，所以a ≤7， 综上所述，258≤a ≤7.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤258，7.。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第二章 第三节 函数的单调
一、填空题1．已知函数f (x )＝x 2＋4(1－a )x ＋1在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：对称轴方程为x ＝2(a －1)，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以2(a －1)≤1，解得a ≤.32答案：(－∞，32]2．函数y ＝的单调递减区间是________．－x 2－2x ＋3解析：由－x 2－2x ＋3≥0，得函数定义域为{x |－3≤x ≤1}．令t ＝－x 2－2x ＋3，则它的单调递减区间为[－1,1]，而y ＝为增函数，所以所求单调递减区间是t [－1,1]．答案：[－1,1]3．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－2]上是减函数，则f (1)＝________.解析：由题意得，对称轴为x ＝－2，所以＝－2，即m ＝－16，所以f (x )m8＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.答案：254．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，)内恒有f (x )>0，则f (x )的12单调递增区间是________．解析：当x ∈(0，)时，2x 2＋x ∈(0,1)，12由f (x )在(0，)内恒有f (x )>0知：120<a <1,2x 2＋x ＝2(x ＋)2－，1418f (x )的定义域为(0，＋∞)∪(－∞，－)，12所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－)．12答案：(－∞，－)125．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝Error!作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，]．32答案：[0，]326．若f (x )＝(2k －1)x ＋3在(－∞，＋∞)上是减函数，则k 的范围是________．解析：由2k －1<0，得k <.12答案：(－∞，)127．若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则f (x －2)>f (2x )的解集为________．解析：由题意知Error!∴x >2.答案：(2，＋∞)8．已知函数f (x )＝Error!则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的________条件．解析：若函数f (x )在R 上递增，则需log 2 1≥c ＋1，即c ≤－1，由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．答案：充分不必要9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|.下列不等关系：①f (sin )<f (cos )；②f (sin 1)>f (cos 1)；π6π6③f (cos )<f (sin )；④f (cos 2)>f (sin 2)．2π32π3其中正确的是________(填序号)．解析：当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，从而f (x )＝f (x ＋4)＝2－|x |，因为sin <cos ，所以f (sin )>f (cos )；π6π6π6π6因为sin 1>cos 1，所以f (sin 1)<f (cos 1)；因为|cos |<|sin |，2π32π3所以f (cos )>f (sin )；2π32π3因为|cos 2|<|sin 2|，所以f (cos 2)>f (sin 2)．综上所述，正确的是④.答案：④二、解答题10．已知函数f (x )＝－(a >0，x >0)．1a 1x (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f (x )在[，2]上的值域是[，2]，求a 的值．1212解析：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(－)－(－)1a 1x 21a 1x 1＝－＝>0，1x 11x 2x 2－x 1x 1x 2∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )在[，2]上的值域是[，2]，1212又f (x )在[，2]上单调递增，12∴f ()＝，f (2)＝2，解得a ＝.12122511．已知函数f (x )对任意的a 、b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.解析：(1)证明：任取x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.∴f (x 2－x 1)>1.∴f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)－1>f (x 1)，∴f (x )是R 上的增函数．(2)f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴f (3m 2－m －2)<3＝f (2)．又由(1)的结论知，f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <.4312．已知函数y ＝x ＋有如下性质，如果常数a >0，那么该函数在(0， ]上是a x a 减函数，在[，＋∞)上是增函数．a (1)如果函数y ＝x ＋在(0,4]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数，求实常数b 2bx 的值；(2)设常数c ∈[1,4]，求函数f (x )＝x ＋(1≤x ≤2)的最大值和最小值；cx(3)当n 是正整数时，研究函数g (x )＝x n ＋(c >0)的单调性，并说明理由．c xn 解析：(1)由已知，＝4⇔2b ＝16⇔b ＝4.2b (2)f (x )＝x ＋在(0, ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．cx c c ∵c ∈[1,4]，∴∈[1,2]，c ∴f (x )的最小值为＋＝2.c cc c 当1≤c <2时，f (x )的最大值为2＋；c2当2≤c ≤4时，f (x )的最大值为1＋c .(3)g (x )＝x n ＋(c >0)，令t ＝x n ，g (x )＝t ＋.c xn ct ∵n ∈N *，当x >0时，t ＝x n 是增函数，t >0，函数y ＝t ＋在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数，ct c c ∴g (x )在(0，]上为减函数，在[，＋∞)上是增函数．1c 2n 1c 2n 当n 为奇数时，g (x )在[－，0]，(0，]上是减函数，1c 2n 1c 2n 在(－∞，－]，[，＋∞)上是增函数．1c 2n 1c 2n 当n 为偶数时，g (x )在(－∞，－)，(0，)上是减函数，1c 2n 1c 2n 在[－，0)，[，＋∞)上是增函数．1c 2n 1c 2n。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第二章 第二节 函数的定义域和值域 Word版含解析
一、填空题1．函数f (x )＝x 2－2x ＋c 在[－2,2]上的最大值是________．解析：因为二次函数f (x )的对称轴为x ＝1并且开口向上，所以在区间[－2,2]上的最大值为f (－2)＝8＋c .答案：8＋c2．若f (x )的定义域为[－2,3]，则f (x )＋log 2(x 2－3)的定义域为________． 解析：∵f (x )的定义域为－2≤x ≤3，由log 2(x 2－3)≥0，则x 2－3≥1，x ≥2或x ≤－2.即f (x )＋log 2(x 2－3)的定义域为2≤x ≤3或x ＝－2.答案：{－2}∪{x |2≤x ≤3}3．y ＝133x －9－|x |－2的定义域为________．解析：依题意⎩⎨⎧|x |－2≥03x －9≠0， 由此解得x ≤－2或x ≥2，且x ≠3，即函数的定义域是{x ∈R|x ≤－2或2≤x <3或x >3}．答案：{x ∈R|x ≤－2或2≤x <3或x >3}4．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． 解析：若m ＝0，则f (x )＝x －43的定义域为R ；若m ≠0，则Δ＝16m 2－12m <0，得0<m <34，综上可知，所求的实数m 的取值范围为[0，34)．答案：[0，34)5．函数y ＝|x ＋2|＋(x －3)2的值域为________．解析：y ＝|x ＋2|＋(x －3)2＝|x ＋2|＋|x －3| ＝⎩⎨⎧ －2x ＋1 (x ≤－2)，5 (－2<x <3)，2x －1 (x ≥3).当x ≤－2时，－2x ＋1≥－2×(－2)＋1＝5；当x ≥3时， 2x －1≥2×3－1＝5，∴y ≥5.答案：[5，＋∞)6．函数y ＝log 2 (4－x )的定义域是________．解析：由⎩⎨⎧ 4－x >0log 2 (4－x )≥0， 即⎩⎨⎧4－x >04－x ≥1，得x ≤3. 答案：(－∞，3]7．已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时，取等号，则2p ＋1＝4，解得p ＝94.答案：948．对a ，b ∈R ，记min {a ，b }＝⎩⎨⎧a (a <b )，b (a ≥b )，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R)的最大值为________．解析：y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.答案：19．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1. 答案：1二、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解析：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R ，函数值均为非负数，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32，∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－(a ＋32)2＋174(a ∈[－1，32])．∵二次函数g (a )在[－1，32]上单调递减，∴g (32)≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4，∴g (a )的值域为[－194，4]．11．已知函数y ＝log a (ax 2＋2x ＋1)．(1)若此函数的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)若此函数的定义域为(－∞，－2－2)∪(－2＋2，＋∞)，求a 的值．解析：(1)ax 2＋2x ＋1>0，Δ＝4－4a ，∵定义域为R.∴a >0，Δ<0，∴a >1.(2)由题意，ax 2＋2x ＋1>0的解集为(－∞，－2－2)∪(－2＋2，＋∞)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＝－4，1a ＝2，∴a ＝12.12．设f (x )＝2x 2x ＋1，g (x )＝ax ＋5－2a (a >0)． (1)求f (x )在x ∈[0,1]上的值域；(2)若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0, 1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．解析：(1)(导数法) f ′(x )＝4x (x ＋1)－2x 2(x ＋1)2＝2x 2＋4x (x ＋1)2≥0在x ∈[0,1]上恒成立． ∴f (x )在[0,1]上单调递增，∴f (x )在[0,1]上的值域为[0,1]．(2)f (x )在[0,1]上的值域为[0,1]，g (x )＝ax ＋5－2a (a >0)在x ∈[0,1]上的值域为[5－2a,5－a ]．由条件，只需[0,1]⊆[5－2a,5－a ]，∴⎩⎨⎧ 5－2a ≤05－a ≥1⇒52≤a ≤4.。
【苏教版】2019版高考探究理数一轮优化练习 第八章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 含解析
一、填空题1．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有________．(填序号)①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．解析：对于①，若过点P有直线n与l、m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于②，过点P与l、m都垂直的直线，即为过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于③，过点P与l、m都相交的直线有1条或0条；对于④，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．答案：①③④2．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为________．解析：以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个．答案：33．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．解析：若a⊥b，b⊥c，则a与c可以相交、平行、异面，故①错．若a、b异面，b、c异面，则a、c可能异面、相交、平行，故②错．若a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 可以异面、相交、平行，故③错．同理④错，故真命题的个数为0.答案：04．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④5．对两条不相交的空间直线a 和b ，有下列命题：①a ⊂α，b ⊂α；②a ⊂α，b ∥α；③a ⊥α，b ⊥α；④a ⊂α，b ⊥α.必定存在平面α，使得成立的命题的序号是________．解析：因为两条不相交的空间直线a 和b ，所以存在平面α，使得a ⊂α，b ∥α. 答案：②6．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有______对．解析：正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，A ′D ，C ′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有12×42＝24对(每一对被计算两次，所以要除以2)．答案：247.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出下列五个命题：①直线AC 1在平面CC 1B 1B 内；②设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1，则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1；③由点A 、O 、C 可以确定一个平面；④由A 、C 1、B 1确定的平面是平面ADC 1B 1；⑤若直线l 是平面AC 内的直线，直线m 是平面D 1C 上的直线，若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：①错误．若AC 1⊂平面CC 1B 1B ，又BC 1⊂平面CC 1B 1B ，∴AB ⊂平面CC 1B 1B ，与AB ⊄平面CC 1B 1B 矛盾；②正确．O 、O 1是两平面的两个公共点；③错误．∵A 、O 、C 共线；④正确．A 、C 1、B 1不共线，∴确定平面α，又AB 1C 1D 为平行四边形，AC 1、B 1D 相交于O 2点，而O 2∈α，B 1∈α，∴B 1O 2⊂α，而D ∈B 1O 2，∴D ∈α；⑤正确．若l 与m 相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD 为两平面的交线，∴交点一定在直线CD 上．答案：②④⑤8.如图所示为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：①点M 到AB 的距离为22；②三棱锥C -DNE 的体积是16；③AB 与EF 所成的角是π2.其中正确命题的序号是________．解析：依题意可作出正方体的直观图，显然M 到AB 的距离为12MC ＝22，∴①正确，而V C -DNE ＝13×12×1×1×1＝16，∴②正确，AB 与EF 所成角为AB 与MC 所成的角，即为π2.答案：①②③9．在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G 、H 、N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连结MG ，则GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉平面GMN ，所以GH 与MN 异面．所以图②、④中GH 与MN 异面．答案：②④二、解答题10．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中：(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小． 解析：(1)如图，连结AB 1、B 1C ，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的锐角或直角就是AC 与A 1D 所成的角．∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成角为60°.(2)如图，连结AC 、BD ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1∵E 、F 为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1，即A 1C 1与EF 所成的角为90°.11．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BC 1D 交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、O 、M共线．证明：A 1A ∥C 1C ，则A 1A 与C 1C 可确定平面A 1C .⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫A 1C ⊂平面A 1C 又O ∈A 1C ⇒O ∈平面A 1C 平面BC 1D ∩直线A 1C ＝O ⇒O ∈平面BC 1D ⇒O 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上．AC ∩BD ＝M ⇒M ∈平面BC 1D .又M ∈平面A 1C ，所以平面BC 1D ∩平面A 1C ＝C 1M ，所以O ∈C 1M ，即C 1、O 、M 三点共线．12.如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于H ，连结EH .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．解析：(1)∵AE EB ＝CF FB ＝2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴AHHD＝CGGD＝3，即AH∶HD＝3∶1. (2)证明：∵EF∥GH，且EFAC＝13，GHAC＝14，∴EF≠GH.∴四边形EFGH为梯形．令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 含解析
8．在矩形ABCD中，AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y＝asinax(a∈R，a≠0)的一个完整周期图象，则当a变化时，矩形ABCD周长的最小值为________．
解析：根据题意，设矩形ABCD的周长为c，
则c＝2(AB＋AD)＝4|a|＋ ≥8 ，
当且仅当a＝± 时取等号．
答案：8
9．关于函数f(x)＝sin(2x－ )，有下列命题：
①其表达式可写成f(x)＝cos(2x＋ )；
②直线xx)＝sin 2x的图象向右平移 个单位得到；
④存在α∈(0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立．
答案：( ，2)
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值为0，最小正周期是 ，直线x＝ 是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ< ，则函数解析式为________．
解析：由题设得，A＝2，n＝2，ω＝4，且当x＝ 时，
sin ( π＋φ)＝±1，故φ＝ .
所求解析式为y＝2sin (4x＋ )＋2.
∴ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为[ ＋kπ， ＋kπ](k∈Z)．
答案：[kπ＋ ，kπ＋ ](k∈Z)
6．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin(x＋ )＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．
解析：令y1＝2sin(x＋ )，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示，若2sin(x＋ )＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以 <a<2.
解析：(1)因为f(x)＝sin 2xsinφ－2cos2xcos(π－φ)－sin( ＋φ)(0<φ<π)，
2019苏教版一轮优化探究(文科数学)练习：第二章 第一节 函数及其表示含解析
一、填空题1．已知f (x )＝Error!则f ()＋f (－)的值等于________．4343解析：f ()＝；f (－)＝f (－)＋1＝f ()＋24312431323＝，f ()＋f (－)＝3.524343答案：32．已知f ()＝，则f (x )的解析式可取为________．1－x1＋x 1－x 21＋x 2解析：(换元法)令t ＝，由此得x ＝，所以f (t )＝＝，从而f (x )的解析式1－x1＋x 1－t1＋t 1－(1－t 1＋t )21＋(1－t1＋t )22t1＋t 2可取为.2x1＋x 2答案：2x1＋x 23．设f (x )＝Error!则f [f ()]＝________.12解析：f [f ()]＝f (－)＝.1232413答案：4134．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R)，f (1)＝2，则f (－3)等于________．解析：令x ＝－3，y ＝1，则f (－2)＝f (1)＋f (－3)－6.又∵f (1)＝2，∴f (－3)＝f (－2)＋4.令x ＝－2，y ＝1，则f (－1)＝f (1)＋f (－2)－4，∴f (－2)＝f (－1)＋2.令x ＝－1，y ＝1，f (0)＝f (－1)＋f (1)－2.又x ＝y ＝0时，f (0)＝0，∴f (－1)＝0，∴f (－3)＝f (－2)＋4＝f (－1)＋6＝6.答案：65．已知函数f (x )＝ax ＋－4(a ，b 为常数)，f (lg 2)＝0，则f (lg )＝________.bx 12解析：由题意得f (lg2)＝a lg2＋－4＝0，有a lg2＋＝4，则f (lg)＝a lgblg 2blg 212＋－4＝－a lg 2－－4＝－8.12b lg 12blg 2答案：－86．定义在R 上的函数f (x )满足f (m ＋n 2)＝f (m )＋2[f (n )]2，m ，n ∈R ，且f (1)≠0，则f (2 014)＝________.解析：令m ＝n ＝0，得f (0＋02)＝f (0)＋2[f (0)]2，所以f (0)＝0；令m ＝0，n ＝1，得f (0＋12)＝f (0)＋2[f (1)]2，由于f (1)≠0，所以f (1)＝；令m ＝x ，n ＝1，12得f (x ＋12)＝f (x )＋2[f (1)]2，所以f (x ＋1)＝f (x )＋2×()2，12即f (x ＋1)＝f (x )＋，12这说明数列{f (x )}(x ∈Z)是首项为，公差为的等差数列，所以f (2 014)＝＋(2 014－1)×＝1 12121212007.答案：1 0077．已知f (＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.2x 解析：令＋1＝t (t >1)，则x ＝，2x 2t －1∴f (t )＝lg (t >1)，f (x )＝lg (x >1)．2t －12x －1答案：lg (x >1)2x －18．函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则函数的解析式为________．答案：f (x )＝Error!9．已知a 、b 为实数，集合M ＝，N ＝{a,0}，f ：x → x 表示把集合M 中的元素x 映射{ba ，1}到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.解析：由题意可知＝0，a ＝1，解得a ＝1，b ＝0，所以a ＋b ＝1.ba 答案：1二、解答题10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝Error!(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值；(2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．解析：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3，∴f [g (x )]＝Error!当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当－1<x <1时， f (x )<0，故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝Error!11．如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图象．解析：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝x ，12∴S ＝x ·x ＝x 2；121214当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝×3×1－(3－x )·(3－x )1212＝－x 2＋3x －3；12当x >3时，S ＝.32∴S ＝f (x )＝Error!.函数图象如图所示．12．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x .(1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)若有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式．解析：(1)因为对任意x ∈R 有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，所以f (f (2)－22＋2)＝f (2)－22＋2，又f (2)＝3，从而f (1)＝1.又f (0)＝a ，则f (a －02＋0)＝a －02＋0，即f (a )＝a .(2)因为对任意x ∈R ，有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，又有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，故对任意x ∈R ，有f (x )－x 2＋x ＝x 0.在上式中令x ＝x 0，有f (x 0)－x ＋x 0＝x 0.20又因为f (x 0)＝x 0，所以x 0－x ＝0，20故x 0＝0或x 0＝1.若x 0＝0，则f (x )＝x 2－x ，但方程x 2－x ＝x 有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x 0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易验证该函数满足题设条件．综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第二章 第五节 函数的图象 Word版含解析
一、填空题1．函数y ＝5x 与函数y ＝－15x 的图象关于________对称．解析：因y ＝－15x ＝－5－x ，所以关于原点对称．答案：原点2．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象向________平移________个单位长度．解析：函数y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴把函数y ＝(13)x 的图象向右平移一个单位便得到y ＝(13)x －1，即y ＝3×(13)x .答案：右 13.函数y ＝1－1x －1的图象是________．解析：将函数y ＝1x 的图形变形到y ＝1x －1，即向右平移一个单位，再变形到y ＝－1x －1，即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y ＝－1x －1＋1，从而得到答案②. 答案：②4．设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．(请将你认为正确的命题序号都填上)①当b >0时，函数f (x )在R 上是单调增函数；②当b <0时，函数f (x )在R 上有最小值；③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称；④方程f (x )＝0可能有三个实数根．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≥0，－x 2＋bx ＋c ，x <0，结合图象可知①正确，②不正确，对于③，因为|x |x ＋bx 是奇函数，其图象关于原点(0,0)对称，所以f (x )的图象关于点(0，c )对称，③正确；当c ＝0，b <0时f (x )＝0有三个实数根，故④正确． 答案：①③④5．已知函数f (x )＝|x －a |x ＋b (a ，b ∈R)，给出下列命题：(1)当a ＝0时，f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称；(2)当x >a 时，f (x )是递增函数；(3)当0≤x ≤a 时，f (x )的最大值为a 24＋b .其中正确的序号是________．解析：当a ＝0时，f (x )＝x |x |＋b ，因为函数y ＝x |x |是奇函数，所以y ＝x |x |的图象关于点(0,0)对称，所以f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称，故(1)正确；当x >a 时，f (x )＝x 2－ax ＋b ，其单调性不确定，故(2)错误；当0≤x ≤a 时，f (x )＝－(x －a 2)2＋a 24＋b ，所以当x ＝a 2时，f (x )的最大值为a 24＋b ，故(3)正确． 答案：(1)(3)6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋b (x ≤0)log c(x ＋19)(x >0)的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，又函数y ＝log c (x ＋19)的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1337．关于x 的方程e x ln x ＝1的实根个数是 ________．解析：由e x ln x ＝1(x >0)得ln x ＝1e x (x >0)，即ln x ＝(1e )x (x >0)．令y 1＝ln x(x>0)，y2＝(1e)x(x>0)，在同一直角坐标系内绘出函数y1，y2的图象，图象如图所示．根据图象可知两函数只有一个交点，所以原方程实根的个数为1. 答案：18．为了得到函数f(x)＝log2x的图象，只需将函数g(x)＝log2x8的图象________．解析：g(x)＝log2x8＝log2x－3＝f(x)－3，因此只需将函数g(x)的图象向上平移3个单位即可得到函数f(x)＝log2x的图象．答案：向上平移3个单位9．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c则a，b，c由小到大的顺序是________．解析：因为函数f(x)＝2x＋x的零点在(－1,0)上，函数g(x)＝log2x＋x的零点在(0,1)上，函数h(x)＝x3＋x的零点为0，所以a<c<b.答案：a<c<b二、解答题10．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．解析：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－1x＋2，∴y＝f(x)＝x＋1x(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋ax＝x＋a＋1x，g ′(x )＝1－a ＋1x 2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，a 的取值范围是[3，＋∞)．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]x －3，x ∈(2，5]. (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解析：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.12．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标． 解析：(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x， 即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0.Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．。
高考数学(苏教版文)一轮配套学案：幂函数与二次函数
第4讲幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0} 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(0,0)，(1,1) (1,1) (1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标；③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象a >0a <0定义域 RR值域 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性 b ＝0⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 递减 区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值y min＝4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a1．对幂函数的认识(1)函数f (x )＝x 2与函数f (x )＝2x 2都是幂函数．(×) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．(×) (3)幂函数的图象不经过第四象限．(√) 2．对二次函数的理解(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×)(5)(教材习题改编)函数f (x )＝12x 2＋4x ＋6，x ∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.(×) (6)(2011·陕西卷改编)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ≤4.(×) [感悟·提升]三个防范 一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．三是一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，但还要注意n ∈N *，如(6).考点一 幂函数的图象与性质的应用【例1】 (1)(2014·济南模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为________．(2)函数y ＝13x 的图象是________．解析 (1)设f (x )＝x α，由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22＝⇒α＝12，log 4f (2)＝＝14.(2)显然f (－x )＝－f (x )，说明函数是奇函数，同时由当0＜x ＜1时，13x ＞x ；当x＞1时，13x＜x，知只有②符合．答案(1)14(2)②规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴1 21.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.解(1)把1看作，幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴即幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，且7 10＜22＜1.21.∴考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．答案①④规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．解析 由题意知满足条件的两函数图象如图所示．作B 关于原点的对称点B ′，据图可知：x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0. 答案 ＞ ＜考点三 二次函数的综合运用【例3】 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 审题路线 f (0)＝1求c →f (x ＋1)－f (x )＝2x 比较系数求a ，b →构造函数g (x )＝f (x )－2x －m →求g (x )min →由g (x )min ＞0可求m 的范围． 解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．规律方法 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析. 【训练3】 (2014·盐城检测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }． (1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值． 解 (1)由f (0)＝2可知c ＝2.又A ＝{1,2}， 故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋2＝0的两实根． 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝1－ba ，2＝2a .解得a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1. 当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝1－b a ，1＝ca ，即⎩⎨⎧b ＝1－2a ，c ＝a .所以f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a .又a ≥1，故1－12a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.所以M ＝f (－2)＝9a －2.m ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2a －12a ＝1－14a . g (a )＝M ＋m ＝9a －14a －1.又g (a )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当a ＝1时，g (a )min ＝314.1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】 (12分)(经典题)求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．[规范解答] 函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a22＋a24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a 2≤1，a2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论．(2分)(1)当a ＜－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ；(5分)(2)当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；(8分)(3)当a ＞2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1.(11分)综上可知，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.(12分)[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.答题模板 第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a 的值． 解 f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a 2，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增． ∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5， ∴a ＝±1＜2(舍去)．②当0＜a2＜1，即0＜a ＜2时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2)．③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在区间[0,1]上递减， 此时f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，即a 2＋4a －5＝0，∴a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是______．解析 设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x －2的单调递增区间是(－∞，0)． 答案 (－∞，0)2．(2013·浙江七校模拟)二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是________．解析 二次函数图象的顶点在x 轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t ＝0，解得t ＝－4. 答案 －43．(2014·扬州检测)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f (x )的单调递增区间为________．解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1＞0，所以f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的． 答案 [2，＋∞)4．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a 的大小关系是________． 解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎪⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a .答案 5a ＜0.5a ＜5－a5．(2014·南阳一中月考)函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是________．解析 若0＜a ＜1，则f (x )不可能为减函数，当a ＞1时，由函数(f )x ＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，知6－ax ＞0在[0,2]恒成立，等价于(6－ax )min ＞0，即6－2a ＞0，得a ＜3，所以a 的取值范围是(1,3)． 答案 (1,3)6．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )，且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________.解析 由f (3＋x )＝f (3－x )，知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，应有x 1＋x 22＝3⇒x 1＋x 2＝6. 答案 67．(2014·苏州检测)已知函数y ＝－x 2＋4ax 在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析 根据题意，得对称轴x ＝2a ≤1，所以a ≤12. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)． 答案 (0,1) 二、解答题9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )＞－2x 的解集为{x |1＜x ＜3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式． 解 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3) (a ＜0)，则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ， f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝[－(4a ＋2)]2－36a 2＝0，即(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－15或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.10．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ； 当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·江门、佛山模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则α的取值范围是________．解析 当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，即当x ＞1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意． 答案 (－∞，1)2．(2014·衡水中学二调)设集合A ＝{}x |x 2＋2x －3＞0，集合B ＝{}x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0.若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．解析 A ＝{}x |x 2＋2x －3＞0＝{}x |x ＞1，或x ＜－3，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (0)＝－1＜0，根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎨⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43. 答案 [34，43) 3．已知函数f (x )＝，给出下列四个命题：①若x ＞1，则f (x )＞1；②若0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ③若0＜x 1＜x 2，则x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)； ④若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中，所有正确命题的序号是________． 解析 对于①：∵y ＝在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝1，①正确；对于②：取x 1＝14，x 2＝4，此时f (x 1)＝12，f (x 2)＝2，但f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1，②错误；对于③：构造函数g (x )＝f (x )x ＝xx ，则g ′(x )＝x2x －x x 2＝－x 2x 2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上为减函数，当x 2＞x 1＞0时，有f (x 2)x 2＜f (x 1)x 1，即x 1f (x 2)＜x 2f (x 1)，③错误；对于④：画出f (x )＝x 12在(0，＋∞)的图象，可知f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，④正确． 答案 ①④ 二、解答题4．(2014·辽宁五校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)， ∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0).(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎨⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章 第九节 函数与方程
一、填空题1、设y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是 (n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.解析：作出y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象观察可知1<x 0<2.故n ＝1. 答案：12、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y ＝f (解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个、 答案：33、设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，有下列命题：①在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点； ②在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点；③在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点； ④在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点、 正确命题的序号是________、解析：f ′(x )＝13－1x ，易知f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1e ，e)上单调递减，又f (1e )＝13e ＋1>0，f (1)＝13－0>0，f (e)＝e3－1<0， ∴f (1)·f (e)<0，f (1e )·f (1)>0.∴f (x )在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点、 答案：④4、若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________、 解析：由题意知ax ＋b ＝0(a ≠0)的解为x ＝1，∴b ＝－a ， ∴g (x )＝－ax 2－ax ＝－ax (x ＋1)， 由g (x )＝0得x ＝0或x ＝－1. 答案：0或－15、若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是________、解析：设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0⇒m >52. 答案：m >526、若函数f (x )＝x 3－ax 2(a >0)在区间(203，＋∞)上是单调增函数，则使方程f (x )＝1 000有整数解的实数a 的个数是________、 解析：令f ′(x )＝3x 2－2ax >0，则x >2a3或x <0.由f (x )在区间(203，＋∞)上是单调增函数知(203，＋∞)⊆(2a3，＋∞)，从而a ∈(0,10]、由f (x )＝1 000得a ＝x －1 000x 2，令g (x )＝x －1 000x 2，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g (x )与y ＝a (0<a ≤10)的大致图象 (如图所示)、当a ＝10时，由f (x )＝1 000得x 3－10x 2－1 000＝0.令h (x )＝x 3－10x 2－1 000，因为h (14)＝－216<0，h (15)＝125>0，所以方程x 3－10x 2－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x 0，因此从图象可以看出在(10，x 0]之间f (x )＝1 000共有4个整数解、答案：47、函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的区间是(n ，n ＋1)，则正整数n ＝________. 解析：设x 0是函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点，而f (1)<0，f (2)>0， ∴x 0所在的区间是(1,2)，∴n ＝1. 答案：18、已知f (x )＝2x ，g (x )＝3－x 2，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是________、 解析：在同一坐标系内作出函数f (x )＝2x 与g (x )＝3－x 2的图象，两图象有两个交点，故函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点、 答案：29、若函数f (x )＝x 2·lg a －2x ＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是________、解析：由题意可知，f (1)f (2)<0，即(2lg a －1)lg a <0，解得1<a <10. 答案：(1，10) 二、解答题10、若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围、解析：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示)、 ∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (0)<0，f (1)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×(－2)2－5×(－2)＋a >0，a <0，3－5＋a <0，3×9－5×3＋a >0，解得－12<a <0.∴所求a 的取值范围是(－12,0)、11、已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围、解析：二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的否定是对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f (x )≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧2p 2＋3p －9≥0，2p 2－p －1≥0，解得p ≥32或p ≤－3，∴二次函数在区间[－1, 1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的实数p 的取值范围是(－3，32)、12、已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1(m ≠0)、设函数f (x )＝g (x )x .(1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值； (2)k (k ∈R)如何取值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点、解析：(1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则g ′(x )＝2ax ＋b .∵g ′(x )的图象与直线y ＝2x 平行， ∴2a ＝2，a ＝1.又g (x )在x ＝－1取极小值，b2＝1，b ＝2. ∴g (－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m ， ∴f (x )＝g (x )x ＝x ＋mx ＋2. 设P (x 0，y 0)，则|PQ |2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋(x 0＋m x 0)2＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，∴22m 2＋2m ＝2，m ＝－1±2； (2)由y ＝f (x )－kx ＝(1－k )x ＋mx ＋2＝0 得(1－k )x 2＋2x ＋m ＝0.(*)当k ＝1时， 方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f (x )－kx 有1个零点x ＝－m2； 当k ≠1时，方程(*)有两解⇒Δ＝4－4m (1－k )>0.若m >0，则k >1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；若m <0，则k <1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；当k ≠1时，方程(*)有一解⇔Δ＝4－4m (1－k )＝0，k ＝1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有1 k－1.1个零点x＝。
(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.5 二次函数与幂函数(练)
专题2.5 二次函数与幂函数一、填空题1．已知幂函数f（x)＝k·xα的图象过点错误!,则k＋α＝________.【答案】3 2【解析】由幂函数的定义知k＝1。
又f错误!＝错误!，所以错误!α＝错误!，解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!。
2．函数y＝x2＋ax＋6在错误!上是增函数，则a的取值范围为________．【答案】［－5，＋∞)【解析】因为y＝x2＋ax＋6在错误!上是增函数，由题意得－错误!≤错误!。
所以a≥－5. 3．已知函数f（x）＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f（m），f(0）的大小关系为________．【答案】f（m)＜f(0）4．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2,最小值为－1,则它的解析式为________________．【答案】f(x)＝错误!(x－2）2－1【解析】依题意可设f(x）＝a(x－2)2－1,因为图象过点(0,1）,所以4a－1＝1，所以a＝错误!。
所以f（x）＝错误!(x－2)2－1.5．若二次函数f（x)＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t＝________。
【解析】由于f（x）＝－x2＋4x＋t＝－（x－2)2＋t＋4图象的顶点在x轴上,所以f（2）＝t＋4＝0，所以t＝－4.【答案】－46．已知函数f(x)＝x2＋mx－1,若对于任意x∈［m，m＋1]，都有f（x)<0成立,则实数m的取值范围是________．【答案】错误!【解析】作出二次函数f（x）的草图如图所示,对于任意x∈［m，m＋1]，都有f（x)＜0，则有错误!即错误!解得－错误!＜m＜0。
7．若f（x）＝－x2＋2ax与g(x）＝错误!在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________．【答案】(0,1]8．已知函数y＝f（x）是偶函数,当x〉0时，f(x）＝（x－1）2，若当x∈错误!时，n≤f （x）≤m恒成立，则m－n的最小值为________．【答案】1【解析】当x<0时，－x〉0,f(x)＝f（－x）＝(x＋1)2，∵x∈错误!,∴f（x)min＝f(－1）＝0,f(x）max＝f(－2）＝1，∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 Word版含解析
一、填空题1．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．解析：命题“若x>0，则x2>0”的否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x2>0，则x>0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．答案：假2．设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，l⊂α，m，l⊄β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的________条件．解析：由题意当甲成立时乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．答案：充要3．i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．解析：a⊥b⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)＝0，即15i2－16i·j－15j2＝0，∵|i|＝|j|＝1，∴16i·j＝0，即i·j＝0，∴i⊥j.答案：i⊥j4．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．答案：②③5．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；③若a <b ，则am 2<bm 2；④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)解析：①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z)．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，则“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2＝bm 2，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，故④为真命题．答案：①④6．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的________条件．解析：在△ABC 中，A >30°⇒0<sin A ≤1，不能推出sin A >12，而sin A >12⇒30°<A <150°，所以在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．下列命题的否命题为假命题的个数是________．①p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；②p ：有的三角形是正三角形；③p ：所有能被3整除的整数为奇数；④p ：每一个四边形的四个顶点共圆．解析：①p 的否命题：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，为真命题；②p 的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假命题；③p 的否命题：存在一个能被3整除的整数不是奇数，0是能被3整除的非奇数，该命题为真命题；④p 的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题．答案：18．已知||a ＝2||b ，命题p ：关于x 的方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实数根．命题q ：〈a ，b 〉∈[0，π3]，命题p 是命题q 的________条件．解析：方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实根，∴Δ＝||a 2－4a ·b ＝||a 2－4||a ||b cos 〈a ，b 〉＝||a 2－2||a 2cos 〈a ，b 〉<0，∴cos 〈a ，b 〉>12，又∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴0≤〈a ，b 〉<π3，∵[0，π3)⊆[0，π3]，∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要9．“函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是________．解析：函数的图象全在x 轴上方，若f (x )是一次函数，则⎩⎨⎧a 2＋4a －5＝0－4(a －1)＝0⇒ a ＝1.若函数是二次函数，则⎩⎨⎧a 2＋4a －5>0[－4(a －1)]2－12(a 2＋4a －5)<0⇒1<a <19. 反之若1≤a <19，由以上推导，函数的图象在x 轴上方．综上，充要条件是1≤a <19. 答案：1≤a <19二、解答题10．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解析：(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0，由4x ＋p <0，得x <－p 4，故－p 4≤－1时，“x <－p 4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．(2)不存在实数p 满足题设要求．11．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈[716，2]，∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B ，由x ＋m 2≥1，∴x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，∴m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．12．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．解析：(1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)当q ＝1时，逆命题为假，当q ＝－12时，逆命题为真，证明如下：数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2·a 1·q m ＋1＝a 1·q m －1＋a 1·q m .∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，有S m ＝ma 1， S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1. 显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假．当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1[1－(－12)m ＋2]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]，S m ＋S m ＋1＝a 1[1－(－12)m ]1＋12＋a 1[1－(－12)m ＋1]1＋12 ＝43a 1[1－(－12)m ＋2]，∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：选修4-4 第二节 参数方程
1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1t ，y ＝3(t ＋1t )(t 为参数，t >0)．求曲线C 的普通方程． 解析：由x ＝t －1t平方得x 2＝t ＋1t －2， 又y ＝3(t ＋1t )，则t ＋1t ＝y 3， 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．2．已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧ x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，试判断它们的公共点个数．解析：圆的方程可化为(x ＋1) 2＋(y －2)2＝4，其圆心为C (－1,2)，半径为2.由于圆心到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75<2， 所以直线l 与圆C 相交．故直线l 与圆C 的公共点的个数为2.3．已知点P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点．(1)求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2)求t ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解析：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则 (1)∵z ＝x 2＋y 2＝4cos 2θ＋sin 2θ＝1＋3cos 2θ，∴当cos θ＝±1，即x ＝±2时，z 的最大值为4；当cos θ＝0，即x ＝0时，z 的最小值为1.(2)∵t ＝2x ＋y ＝4cos θ＋sin θ＝17sin(θ＋φ)，其中tan φ＝4，当sin(θ＋φ)＝1时，t 的最大值为17；当sin(θ＋φ)＝－1时，t 的最小值为－17.4．已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)(θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解析：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin(θ＋π4)，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋(－1)2＝255<2， 所以直线l 和圆C 相交．。
(江苏专用)新高考数学一轮复习 第二章 函数 2.4 幂函数与二次函数练习-人教版高三全册数学试题
2.4 幂函数与二次函数1．(2019·某某质检)若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13答案 C解析 设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13.2．函数13y =x 的图象是( )答案 B解析 由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除A ，D ；由特殊点(8,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫18，12，可排除C ，故选B.3．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0， 解得m ＝1.4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A. 5．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.6．(2020·某某模拟)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．2C ．－52 D ．－3答案 C解析 设g (x )＝x 2＋ax ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则g (x )≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立．又h (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12上为单调递增函数，当x ＝12时，h (x )max＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2即可，解得a ≥－52. 7．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( ) A ．在x 轴上截得的线段的长度是2 B ．与y 轴交于点(0,3) C ．顶点是(－2，－2) D ．过点(3,0) 答案 ABD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，－b2a＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.8．(多选)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2－ax ，对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，现有如下说法，其中正确的是( )A ．对于不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0B ．对于任意实数a 及不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0C ．对于任意实数a 及不相等的实数x 1，x 2，都有m ＝nD ．存在实数a ，对任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＝n 答案 AD解析 任取x 1≠x 2，则m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝2x 1－2x 2x 1－x 2＝2＞0，A 正确；由二次函数的单调性可得g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，可取x 1＝0，x 2＝a ，则n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2＝g (0)－g (a )0－a ＝0－00－a＝0，B 错误；m ＝2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2＝x 21－ax 1－x 22＋ax 2x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－a )x 1－x 2＝x 1＋x 2－a ，则m ＝n 不恒成立，C 错误；m ＝2，n ＝x 1＋x 2－a ，若m ＝n ，则x 1＋x 2－a ＝2，只需x 1＋x 2＝a ＋2即可，D 正确．9．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________. 答案 9或25 解析 y ＝8⎝⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25.10．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 11．(2019·某某质检)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[3,5]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，某某数k 的取值X 围． 解 (1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1， 所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根， 所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k －222. 由g (x )的图象知，要满足题意， 则k －22≥5或k －22≤3，即k ≥12或k ≤8，所以所某某数k 的取值X 围为(－∞，8]∪[12，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，某某数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1.13．(多选)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x －x 2，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最大值为14B ．f (x )在(－1,0)上是增函数C ．f (x )＞0的解集为(－1,1)D ．f (x )＋2x ≥0的解集为[0,3] 答案 AD解析 ∵x ≥0时，f (x )＝x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，∴f (x )的最大值为14，A 正确；f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上是减函数，B 错误；f (x )＞0的解集为(－1,0)∪(0,1)，C 错误； x ≥0时，f (x )＋2x ＝3x －x 2≥0的解集为[0,3]， x ＜0时，f (x )＋2x ＝x －x 2≥0无解，故D 正确．14．如果函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a ＝________. 答案 1解析 因为函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.15．(2020·某某模拟)若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值X 围是__________． 答案 [－2,0]解析 当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值X 围是[－2,0]．16．是否存在实数a ∈[－2,1]，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由． 解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当－2≤a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1；当0<a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在；综上可得，存在实数a 满足条件，且a ＝－1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、填空题
1．设α∈{－1,1，12}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为
________．
解析：在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝
中，只有y ＝x 符合题意．
答案：1
2．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．
解析：借助图象可知当x ＝1时f (x )min ＝－1，当x ＝－1或x ＝3时f (x )max ＝3，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3，当b ＝3时，－1≤a ≤1，故2≤b －a ≤4. 答案：[2,4]
3．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2) ＝3，则f (12)的值等于________． 解析：依题意设f (x )＝x α(α∈R)，
则有4α
2α＝3，即2α＝3， 得α＝log 23，
则f (x )＝x log 23，
答案：13
4．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧
a ，a －
b ≤1，b ，a －b >1.
设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．
解析：由已知得f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤32，x －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－1或x >32，
如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2.
答案：(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－34 5．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：∵x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，
∴mx <－x 2－4，
∴m <－(x ＋4x
)对x ∈(1,2)恒成立． 又∵4<x ＋4x <5，
∴－5<－(x ＋4x )<－4，
∴m ≤－5.
答案：(－∞，－5]
6．已知函数f (x )＝x 12，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是________．
解析：由2x －1<3x 得：
⎩⎨⎧ 2x －1≥0，
3x >0，
2x －1<3x ，∴x ≥12.
答案：[12，＋∞)
7．已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )>0的解集是(0,4)，且f (x )在区间[－1,5]
上的最大值是12，则f (x )的解析式为________．
解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
由f (x )>0的解集是(0,4)可知f (0)＝f (4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12可知f (2)＝12.
即⎩⎨⎧ f (0)＝0，
f (4)＝0，
f (2)＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝12，c ＝0.
∴f (x )＝－3x 2＋12x .
答案：f (x )＝－3x 2＋12x
8．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．
解析：∵⎩⎨⎧
α＋β＝m ，α·
β＝1，∴m ＝β＋1β. ∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数，
∴1＋1<m <2＋12，即m ∈(2，52)．
答案：(2，52)
9．已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是[1，＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是________．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 4a (c ＋1)－(－4)24a ＝1，a >0，
化简得1c ＝a 4且a >0，于是1a ＋9c ＝1a ＋9a 4≥2
1a ×9a 4＝3，当且仅当1a ＝9a 4，即a ＝23时取等号．
答案：3
二、解答题
10．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．
(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；
(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －
1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理
由．
解析：(1)∵f (2)<f (3)，
∴f (x )在第一象限是增函数．
故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.
又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.
当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，
∴f (x )＝x 2.
(2)假设存在q 满足题设，由(1)知
g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．
∵g (2)＝－1，
∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q )处取得．
①当q >0时，
而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)2
4q ≥0，
∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，
g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.
②当q <0时，g (x )max ＝g (－1)＝2－3q ＝178，
g (x )min ＝4q 2＋14q ＝－4，
q 不存在．
综上所述，存在q ＝2满足题意．
11．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)， f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根．
(1)证明：－3<c ≤－1且b ≥0；
(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明．
解析：(1)证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－c ＋12.
又c <b <1，故c <－c ＋12<1⇒－3<c <－13.
方程f (x )＋1＝0有实根，
即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，
故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，
即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1.
又c <b <1，得－3<c ≤－1，由b ＝－c ＋12知b ≥0.
(2)f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －c )(x －1)，f (m )＝－1<0，∴c <m <1，∴c －4<m －4<－3<c ，
∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)>0，
∴f (m －4)的符号为正．
12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．
(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；
(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．
解析：(1)由f (0)＝2可知c ＝2，
又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋2＝1－b a 2＝c a ，解得a ＝1，b ＝－2. ∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1；
当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.
(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝1－b a 1＝c a ，即⎩⎨⎧
b ＝1－2a
c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，
其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a ，
又a ≥1，故1－12a ∈[12，1)，
∴M ＝f (－2)＝9a －2，
m ＝f (2a －12a )＝1－14a .
g (a )＝M ＋m ＝9a －14a －1.
又g (a )在区间[1，＋∞)上是单调递增的，
∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.。