数学期望及其性质.ppt
2.4数学期望的定义及性质
第四节 数学期望的定义及性质引例：赌场规定，赌客以掷骰子的方式决定输赢，每掷一次骰子，点数ξ在4以上可赢10元，点数ξ为4可赢2元，点数ξ在4一下则输掉8元。
考虑，从总体上看，或平均来看，一个赌徒，每次掷骰子是输还是赢？输赢的钱数为多少？粗糙的做法：102(8)433++-=，因此说，赌徒平均每赌一次，赢得43元。
从直觉就可以判断，上述做法是不合理的，应为没有考虑到每次掷骰子，赢10元，赢2元，输8元的可能性是不同的。
所以，不能把它们平等地加在一起除以3。
考虑下面的做法：如果共掷了N 次骰子，其中点数在4以上的结果共有a N 次，点数为4的结果共有b N 次，点数小于4的结果共有c N 次。
平均来看，赌徒每赌一次，赢（输）的钱数为102(8)102(8)a b c a b c N N N N N NN N N N⋅+⋅+-⋅=⋅+⋅+-⋅上式等号右边是一个加权平均，赢10元，2元，输8元的权重a N N ，b N N ，cN N分别是赢10元，2元，输8元这三种结果在N 次赌博中发生的频率。
这样计算出来的平均值比102(8)3++-合理得多。
但是，用这种方法计算的平均值仍有缺陷，因为对于不同的N ，权重，也即频率a N N ，b N N ，c NN可能不同，因此得到的平均值不同；另外，即使N 相同，今天赌N 次得到的权重a N N ，b N N ，c NN和明天赌N 次得到的权重也未必相同。
因此需要进一步探索更合理的计算均值的方法。
由概率的频率定义知道，当赌博的总次数N →∞时，赢10元，2元，输8元的频率aN N，b N N ，c NN分别趋近于它们的概率a P ，b P ，c P ，再注意到概率的内涵：一个随机事件的概率是做一次随机试验这个随机事件发生的可能性，因此，用a P ，b P ，c P 取代a N N ，b NN，cN N作为权重计算平均值，即 102(8)a b c P P P ⋅+⋅+-⋅显然，上式最能恰当的反映赌客平均每次掷骰子输赢的情况。
数学期望的性质
知识点4.2数学期望的性质1. 随机变量函数的数学期望定理1设Y 是随机变量X 的函数：Y =g(X)(g 是连续函数).(1)设离散型随机变量X 的分布律为p k =P{X =x k },k =1,2,⋯.若k=1+∞g x k p k <+∞,则有E Y =E g X =k=1+∞g x k p k .(2)设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)，若න−∞+∞g(x)f(x)dx <+∞,则有E(Y)=E g X =න−∞+∞g(x)f(x)dx.定理2设Z 是随机变量X,Y 的函数：Z =g(X,Y)(g 是连续函数).(1) 设离散型随机变量(X,Y)的分布律为p ij =P(X =x i ,Y =y j ),(i,j =1,2,⋯),若j=1+∞i=1+∞g(x i ,y j )p ij <+∞,则有E(Z)=E g X,Y =j=1+∞i=1+∞g x i ,y j p ij .(2) 设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)，若න−∞+∞න−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy <+∞,则有E(Z)=E g X,Y =න−∞+∞න−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy.2. 数学期望的性质（1）设C是常数,则有E(C)=C.（2）设X是一个随机变量, C是常数,则有E(CX)=CE(X).（3）设X,Y是两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).（4）设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y).性质3和4可以推广到有限个随机变量的和及积的情况.例1假设n个信封内分别装有发给n个考生的录取通知书,但信封上各收信人的地址是随机填写的．以X表示收到自己通知书的人数,求X的数学期望．解记A k={第k封信的地址与内容一致},k=1,2,⋯,n.第k个人的通知书随意装入n个信封中的一个信封,恰好装进写有其地址的信封的概率等于1.n故P(A k)=1,k=1,2,⋯,n.n引进随机变量U k=൝1,若A k发生,0,若A k不发生.(k=1,2,⋯,n).则X=U1+U2+⋯+U n.于是由数学期望的性质,可得E(X)=E(U1+U2+⋯+U n)=1.。
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
随机变量的数学期望 ppt课件
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
ppt课件
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
ppt课件
24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
ppt课件
12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
ppt课件
32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy
第一节数学期望ppt
0
0
xe x e x dx 1 e x 1
0
0
0
概率论
3) 正态分布 N(, 2)
概率论
X ~ f (x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2
E( X ) x
1
( x )2
Z是一维随机变量,则
(1) 若( X ,Y )是二维连续型,
概率密度为f ( x, y), 则有:
E(Z ) E[g(X ,Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy
(2) 若( X ,Y )是二维离散型,
概率分布为P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2,
一般是比较复杂的 .
概率论
2. 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,
(k 1,2,),若 g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
E( X ) xk pk
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f (x), 若
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k1 k !(n k)!
k1 (k 1)!(n k)!
n
np
(n 1)!
pk1 (1 p)n1(k1)
k1 (k 1)!(n k )!
n1
令l k 1 np
C
l n1
p
l
(1
p)n1l
g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
《数学期望》课件
欢迎来到《数学期望》PPT课件。从定义到应用，本课程将为您全面介绍数学 期望的相关知识。
什么是数学期望
1 定义
数学期望是随机变量取值的加权平均数，是 一个平均性的数值特征。
2 意义
数学期望能够用来描述随机变量的中心位置， 是概率分布的重要特征之一。
离散型随机变量的期望
1
期望的运算规律
期望的运算规律
期望也具有线性性、单调性和保号性等运算规律， 但概率密度函数的图像更难以直观展示。
期望的性质
期望的线性性质
期望具有加法和数乘的线性运算规律，对于相互独 立的随机变量，期望还满足可加性。
期望的矩估计
期望的矩估计可以帮助我们了解随机变量的高阶特 征，如方差、偏度和峰度等。
应用实例
期望在概率分布中的应用
量的期望
离散型随机变量的期望等于随机变量取
每个值的概率乘以该值的加权和，连续
型随机变量的期望等于其概率密度函数
3
期望的运算规律和性质
的加权积分。
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律，还具有可加性和矩估计等特性。
应用实例
4
期望在概率分布中和随机变量期望在实 际问题中都有广泛应用。
参考资料
• 离散数学 • 概率论与数理统计 • 数理统计方法及其应用
2
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律。
3
离散型随机变量的期望定义
离散型随机变量的期望等于随机变量取 每个值的概率乘以该值的加权和。
概率分布的图像
概率分布的图像能够直观地展示数学期 望的定义和特性。
连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望定义
连续型随机变量的期望等于其概率密度函数的加权 积分。
数学期望及其性质共17页
数学期望及其性质
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
数学期望的性质与条件期望
1 3
P{ 1, j } P{ 1}
P{ 1, j }
2 3
j 0,1,2
0 1 2
2 0 5
Hale Waihona Puke 0 1 2P{ 0}
3 5
1 6 3 P{ 1} 10 10 10
2 3 8 E( 0) 0 0 1 2 5 5 5 6 3 6 1 1 2 E ( 1) 0 10 10 5 10
E x y ( y x )dy
表示在 x 的条件下关于 的条件期望
E y x ( x y )dx
表示在 y 的条件下关于 的条件期望
0 1 2 例6 设 与 的联合分布为 3 2 0 求在 0 和 1 时， 0 15 15 关于 条件期望. 6 1 3 P{ 0, j } 1 15 15 15 解 P{ j 0} P{ 0} P{ 0, j } j 0,1,2
E ( b) E ( ) x ( x )dx x ( x b)dx
令 z x b, 有
E ( b) ( z b) ( z )dz z ( z )dz b ( z )dz
E ( k b) E ( k ) b kE b
n
n
i 1
6 若与独立，则 E ( ) E E
证 假设 , 是离散型随机变量， 由于 与 独立
(1) i ( 2) j
所以pij p p , E ( ) xi y j pij xi y j p(i 1) p(j2)
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
第二讲 随机变量函数的数学期望、期望的性质
例2 设风速V在(0,a)上服从均匀分布，即密度函数
1 v (0, a ) f (v ) a 0 其它
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数W=kV2, 求W 的数学期望。 解： E (W ) kv 2 f (v )dv
a
0
1 1 2 kv dv ka 3 a
E ( X ) E ( X1 X 2
X10 )
E ( X1 ) E ( X 2 )
E( X10 )
9 20 10 1 8.784 10
即该空港巴士在到达目的地的途中平均停车 8.784次。
例5 求二项分布随机变量 X ~ b( n , p ) 的数学期望 解：二项分布的分布律为
2随机变量函数的数学期望1若离散型随机变量x的分布律为eyegxpgx2若连续型随机变量x的概率密度为fxeyegxgxfxdx设随机变量x的分布律为0202020103102002102201303ex11102002102201303ex35其它又设飞机机翼受到的正压力w是v的函数wkvewkvfvdvkvdv某公司计划开发一种新产品市场并试图确定该产品的产量
（1）若离散ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ随机变量X 的分布律为
P{ X xk } pk
k 1, 2,
k 1
则 E (Y ) E[ g( X )] pk g( xk ) （2）若连续型随机变量X 的概率密度为 f(x) 则 E (Y ) E[ g( X )]
g( x ) f ( x )dx
第三章 随机变量的数字特征
第二讲
随机变量的数学期望（2）
2、随机变量函数的数学期望
概率论与数理统计-数学期望_图文
因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子 内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个 盒子内的概率为(1-1/M)n ，即
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章 数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量 。如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现 ： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
这是以频率为 权的加权平均
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为：
这样，就得到一个确定的数
这是以概率为 权的加权平均
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
解：设组织货源 t 吨。显然，应要求
2000≤t ≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X
的函数Y=g(X)。表达式为
由已知条件, 知X的概率密度函为
可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。 因此，应组织3500吨货源。
概率论与数理统计-数学期望_图文.ppt
前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关 于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。
《数学数学期望》ppt课件
1500x2 x3 15002
/
3
3000 1500
500 2000 1000 1500
例: 由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为
1) 若将5个装置串联成整机，求整机寿命N的数学期望； 2) 若将5个装置并联成整机，求整机寿命M的数学期望；
解： 的分布函数为
例4 设X~U(a, b), 求 E(X).
解
X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,a
x
b
0, 其它
E(X)
xf ( x)dx
b
x
dx a b
a ba
2
例5 设X服从指数分布，其概率密度为
ex ,
f (x) 0,
求 E(X )
x0
( 0)
x0
E(X)= 1/
例4.1.4 假定乘客在公交车站等车的 时间 X ( 分钟) 服从参数 0.2 的指数分布，
N
NN
N
由于概率是频率的稳定中心，以E( X甲）表示甲的平均击
中环数, 则 E（X甲） 8 0.3 9 0.110 0.6 9.3
E（X乙） 8 0２. 9 0５. 10 0３. 9.1,
由于 E（X甲）>E（X乙）, 故认为甲射手的水平较高。
可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。
定义 设离散型随机变量X的概率分布为
P{X = xk }= pk ， k =1,2,3…
若级数 xk pk ，则称级数和 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望（或均值），记作E（X）
E( X ) xk pk k 1
《数学数学期望》课件
CATALOGUE
目 录
• 数学期望的基本概念 • 数学期望的性质与定理 • 数学期望的应用 • 特殊随机变量的数学期望 • 数学期望的扩展与展望
01
CATALOGUE
数学期望的基本概念
定义与性质
定义
数学期望是随机试验在大量重复 下出现的频率的稳定值。
性质
数学期望具有可加性、可数性、 线性性质等。
分位数与分位数函数
分位数
分位数是概率论中的一个概念，用于描述数据分布的位置特征。常见的分位数包括中位 数、四分位数等。分位数的计算和应用对于统计分析、数据挖掘等领域具有重要意义。
分位数函数
分位数函数是描述分位数与概率之间关系的函数。通过分位数函数，可以更方便地理解 和应用分位数的概念，从而更好地分析数据的分布特征。
通过计算投资组合的数学期望， 投资者可以了解投资组合的预期
收益，并据此做出投资决策。
数学期望在金融学中还用于资产 定价、风险管理、资本预算和股
票期权定价等领域。
在决策理论中的应用
在决策理论中，数学期望被用来评估 不同决策方案的预期结果。
数学期望在决策理论中还用于风险决 策、不确定性决策和多目标决策等领 域，以帮助我们做出更加科学和合理 的决策。
大数定律与中心极限定理
大数定律
当试验次数趋于无穷时，随机事件的频率趋于该事件 发生的概率。即 limn→∞P(|En−E)/n→0P(|En−E)/n→0limn→∞P(|En −E)/n→0=1。
中心极限定理
无论随机变量X1,X2,…,XnnX_1, X_2, ldots, X_{nn}Xi1,Xi2,…,Xinn的分布如何，当它们的数量趋于 无穷时，它们的平均值的分布趋于正态分布。即 limn→∞P(|En−μ)/σ≤z)=1−12z2lim_{n to infty} P(|En−μ)/σ≤z|)=1−12z2limn→∞P(|En−μ)/σ≤z|)=1 −12z2，其中En=1n∑i=1nXiEn = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_iEn=n1∑i=1nXi，μ是随机变量的均 值，σ是标准差，z是正态分布的分位数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2/6
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
3、数学期望的性质
§1 数学期望
I) Ec=c，c 是常数，若a X b ，
则a EX b ， II) EcX=cEX， c 是常数，
III)
IV)
E(aX+bY)=aEX+bEY
n
n
E( ai X i ) ai EX i
i 1
解：设 X i 10,,第第ii站站有没人人下下车车， i 1,2,,10 ，
易见 X X1 + + X10 ， EX 10 EX i ，
P{X i
0}
(9 /10)20 ，P{X i
1}
i 1
1
(9
/10)
20
，i
1,,10
，
EX i 1 (9 /10)20 ，i 1此,时,1，0X，i i 1,2,,10
第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
例 1：某班有 N 个人，其中有ni 个人为ai
k
ni N ， 求平均成绩。
i 1
解：
§1 数学期望
分，i 1,2,k ，
平均成绩为:
1 N
k
ai ni
i 1
k
ai
i 1
ni N
若用 X 表示成绩，则
P{X
ai}
ni N
i 1,2,,100, 所以
n 1
n1
的求和顺序无关．
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
例2
§1 数学期望
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X ：甲击中的环数；
Y：乙击中的环数；
X
8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2
0.5
0.3
试问哪一个人的射击水 平较高？
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
例2（续）
解： 甲、乙的平均环数可写 为
EX 8 ´ 0.1 + 9 ´ 0.3 + 10 ´ 0.6 9.5 EY 8´ 0.2 + 9 ´ 0.5 +10 ´ 0.3 9.1
§1 数学期望
因此，从平均环数上看 ，甲的射击水平要比乙 的好．
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
例4
设离散型随机变量 X 的分布律为： X0 1 2 P 0.1 0.2 0.7
§1 数学期望
则 EX = 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6
若离散型随机变量 X 的分布律为：
X0 1 2
P 0.7 0.2 0.1 则 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4
此例说明了数学期望更完整地刻化了x的均值状态。
解：设X是前10次生产的产品中的正品数，并设
1, 第k次生产的第i件产品是正品； X ki 0，否则. k 1,2,,10, i 1,2,,100, 则
10 100
X
X ki.
k 1 i1
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
例 7（续）
§1 数学期望
而X ki服从 p ek 的( 0 — 1)分布，E( X ki ) ek .
k
i 1
ai
ni N
k
ai P{X
i 1
ai}
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
1、数学期望定义
§1 数学期望
(1) 离散型
设离散型随机变量 X 的分布律为： P{X xk } pk ， k 1,2, ，
若级数 xk pk 绝对收敛， i 1
则称级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望。 i 1
数学期望也称为均值。
返回主目录
说明
第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
(1) X 的数学期望刻划了X 变化的平均值．
(2)由于随机变量 X 的数学期望表示的是随机变量 X
变化的平均值，因此，只有当级数 xn pn 绝对收敛
n 1
时，才能保证级数 xn pn 的和与其级数 xn pn
EX 10[1 (9 /10)20 ] 8.784(次不) 。是相互独立的返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
例7
§1 数学期望
用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器
所用次数的增加而指数下降，即
P{第k次生产出的产品是正品}= ek , k 1,2,, 0.
假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生 产中平均生产的正品总数。
解：设旅客的候车时间为 X（以分记）
(1) X 的分布律： X 10 30 50
P 1/6 3/6 2/6 EX=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
（2）旅客8：20分到达 X的分布率为
§1 数学期望
X 10 30 50
70
90
P 3/6 2/6 (1/6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6)
EX=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36) +70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分)
到站时间 8:10,9:10
概率
1/6
8:30,9:30 8:50,9:50
3/6
记为 EX，即 EX= xk pk 。 k 1
数学期望也称为均值。
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
(2)、连续型
§1 数学期望
设连续型随机变量 X 的概率密度为f (x) ，
若积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称积分 xf (x)dx
的值为 X 的数学期望。记为 EX= xf (x)dx ，
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
例5 按规定，火车站每天 8:00~9:00, 9:00~10:00 都恰
有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两
者到站的时间相互独立，其规律为：
到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50
概率
1/6
3/6
2/6
(1) 旅客 8:00 到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。
i 1
若x , y独立，则 EXY=EXEY
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
例6
§1 数学期望
一民航送客载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10
个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不
停车。以 X 表示停车的次数。 求 EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并 设各旅客是否下车相互独立）。