2020高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题检测理新人教A

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2020年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6_2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件文

跟踪训练某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车
辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求
租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为( )
A．31 200元
B.36 000元
C．36 800元
D.38 400元
∴kAD＝152－－21＝－23. ∴直线AD的方程为y－2＝－23(x－1)，即2x＋3y－8＝0.
考点二|线性目标函数的最值问题 (方法突破) 方法1 平移目标函数线求目标函数的最值
x－y＋1≥0，【例2】 (2016·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件 x＋y－3≥0，
x－3≤0，的最小值为________．
组．
用，加强转化与化归和数形结合思想
3．会从实际情境中抽象出一些简单的的应用意识．本节内容在高考中以选
二元一次线性规划问题，并能加以解择、填空题的形式进行考查，难度中
决.
低档.
[基础梳理] 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
2.线性规划中的有关概念
名称
意义
约束条件由变量x，y组成的不等式(组)
[解析] 由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性
1.5x＋0.5y≤150， x＋0.3y≤90，约束条件为 5x＋3y≤600， x≥0，x∈N*， y≥0，y∈N*，
作出不等式组表示的平面区域(图略)，可知取
得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． [答案] 216 000
所表示的平面区域的面积等于

2020版高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节基本不等式教学案理北师大版

第二节基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．[常用结论]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 2．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的． ( ) (2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x，x ∈(0，π)的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82C [∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )m ax＝81.]3．若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5C [由题意得1a ＋1b＝1.又a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝2时等号成立，故选C.] 4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.] 5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x ) ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y m ax ＝25.]利用基本不等式求最值►考法1 配凑法求最值【例1】 (1)设0＜x ＜2，则函数y ＝x －2x 的最大值为( )A ．2B ．22C. 3 D ． 2 (2)若x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(1)D (2)1 [(1)∵0＜x ＜2，∴4－2x ＞0，∴x (4－2x )＝12×2x (4－2x )≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x 22＝12×4＝2. 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时等号成立．即函数y ＝x－2x 的最大值为 2.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2－4x15－4x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.]►考法2 常数代换法求最值【例2】已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．故xy 的最小值为64.(2)法一：(消元法)由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x ＞0，y ＞0，所以y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．故x ＋y 的最小值为18.法二：(常数代换法)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立，故x ＋y 的最小值为18.(1)已知＞0，＞0，＋3＋＝9，则＋3的最小值为________．(2)(2019·皖南八校联考)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn＝－1上，且m ＞0，n ＞0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28(1)6 (2)B [(1)∵x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9， ∴9－(x ＋3y )＝xy ＝13×x ×3y ≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ，x ＋3y ＋xy ＝9，因为x ＞0，y ＞0，计算得出⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴x ＋3y 的最小值为6.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图像恒过A (－3，－1)，由点A 在直线x m ＋y n＝－1上可得，－3m ＋－1n＝－1，即3m ＋1n＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )⎝⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝⎛⎭⎪⎫n m ＋m n，因为m ＞0，n ＞0，所以n m ＋mn ≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn，即m ＝n 时取等号)，故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B ．]利用基本不等式解决实际问题【例3】随着社会的发展，汽车逐步成为人们的代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生，据调查某段公路在某时段内的车流量y (单位：千辆/时)与汽车的平均速度v (单位：千米/时)之间有函数关系：y ＝900vv 2＋8v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？[解] (1)由题知，v ＞0，则y ＝900vv 2＋8v ＋1 600＝900v ＋1 600v＋8≤90080＋8＝90088＝22522，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时取等号．所以y m ax ＝22522≈10.23.故当v ＝40时，车流量y 最大，最大约为10.23千辆/时． (2)由y ＝900v v 2＋8v ＋1 600≥10，得90v v 2＋8v ＋1 600≥1，即90v ≥v 2＋8v ＋1 600，整理得v2－82v ＋1 600≤0，即(v －32)(v －50)≤0，解得32≤v ≤50.所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内.要制作一个容积为4 m ，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [设底面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．] 基本不等式的综合应用【例4】 (1)已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．(1)B (2)92 [(1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b＝9b a ＋ab ＋6.又9b a＋a b＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab，即a ＝3b 时等号成立)，∴m ≤12，∴m 的最大值为12. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92.](1)当x ∈R 时，32x－(k ＋1)3x＋2＞0恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b的最小值等于________．(1)B (2)22 [(1)由32x －(k ＋1)·3x ＋2＞0，解得k ＋1＜3x＋23x .∵3x ＞0，∴3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴3x＋23x 的最小值为2 2.又当x ∈R 时，32x－(k ＋1)3x＋2＞0恒成立，∴当x ∈R 时，k ＋1＜⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋23x min ，即k ＋1＜22，即k ＜22－1.(2)由f (x )＝|lg x |，且f (a )＝f (b )可知 |lg a |＝|lg b |，又a ＞b ＞0，∴lg a ＝－lg b ，即lg ab ＝0，∴ab ＝1.∴a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2a －b的最小值为2 2.]。

高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件文

夹在两条斜率
为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( 3 5 A． 5 3 2 C． 2 B． 2 D． 5
)
【解析】 (1)两直线方程分别为 x－2y＋2＝0 与 x＋y－1＝0. 由(0,0)点在直线 x－2y＋2＝0 右下方可知 x－2y＋2≥0，又(0,0)点在直线 x＋y－1＝0 左下方可知示的可行域．
线性目标函数关于 x，y 的______解析式
可行解满足线性约束条件的解______ 可行域所有可行解组成的______ 最优解使目标函数取得________或 ________的可行解
线性规划在线性约束条件下求线性目标问题函数的______或________问题
2.会用求二元一次函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法 a z 将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－ x＋，通过 b b z 求直线的截距的最值间接求出 z 的最值． b z z (1)当 b>0 时，截距取最大值时，z 也取最大值；截距取最 b b 小值时，z 也取最小值； z z (2)当 b<0 时，截距取最大值时，z 取最小值；截距取最小 b b 值时，z 取最大值．
3．(必修⑤P86 练习第 2 题改编)在平面直角坐标系中，不等式 x＋y－2≤0，组x－y＋2≥0， y≥0
表示的平面区域的面积是________．
解析：不等式组表示的平面区域是三角形( 如图所示)，则该 1 三角形的面积是2×4×2＝4.
答案：4
知识点二
简单的线性规划
1．线性规划中的基本概念名称约束条件线性约束条件意义由变量 x，y 组成的__________ 由 x， y 的______不等式(或方程) 组成的不等式(组) 目标函数关于 x，y 的函数________，如 z＝2x＋3y 等

2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明2第2讲二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件文

y≥0
表示的平面区域如图中阴影部分所示，分析可知，目标函数 z ＝40x＋50y 在 M(1 000，1 000)处取得最大值，最大值为 90 000 元．
【答案】 9
利用线性规划解决实际问题的步骤 (1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，主要变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多，为了了解题目中量与量之间的关系，可以借助表格或图形； (2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量 x， y，并列出相应的不等式组和目标函数； (3)作图：准确作图，平移找点(最优解)； (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)； (5)检验：根据结果，检验反馈．
答案：23，＋∞
2．若点(x，y)位于曲线 y＝|x|与 y＝2 所围成的封闭区域，则 2x－y 的最小值是________．解析：作出函数 y＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0，和 y＝2 围成的等腰直角三角形的可行域(如图阴影部分所示)，则可得过交点 A(－2，2)时，2x－y 取得最小值为－6.
x＋2y－1≥0，答案：x－y＋2≥0，
2x＋y－5≤0
2．已知变量 x，y 满足约束条件xx＋－yy≤ ≤11，，则 z＝x＋2y 的最小 x＋1≥0，
值为________． x＋y≤1，
解析：变量 x，y 满足的不等式组x－y≤1，表示的平面区域如 x＋1≥0
x－y≥0，若不等式组2y≥x＋0，y≤2，表示的平面区域是一
x＋y≤a
个三角形，则 a 的取值范围是________．
解析：不等式组x2－ x＋y≥y≤0， 2，表示的平面区域如图所示(阴影部 y≥0
分)．
解y2＝x＋x，y＝2得 A23，23；解y2＝x＋0，y＝2得 B(1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线 x＋y＝a 中的 a 的取值范围是 0<a≤1 或 a≥43. 答案：(0，1]∪43，＋∞

2020版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6_3二元一次不等式(组)与简单的线性规划课件文新人教A版

(1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
57x0＋x＋5y6≥0y3≤0，600，解 (1)由已知，x，y 满足x≤2y，
答案 D
3．(方向 3)已知实数 x，y 满足约束条件2y≥x－x，y≥0， y≥－x＋b，
若 z＝2x＋y 的
最小值为 3，则实数 b＝( )
A．49
B．32 C．1
D．34
解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示。
由 z＝2x＋y 得 y＝－2x＋z，平移直线 y＝－2x，由图可知当直线 y＝－2x＋z 经过点 A 时，直线 y＝－2x＋ z 的截距最小，此时 z 最小，为 3，即 2x＋y＝3。由
在通过求直线的截距bz的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b>0 时，截距bz取最大值时，z 也取最大值；截距bz取最小值时，z 也取最小值；当 b<0 时，截距bz取最大值时，z 取最小值；截距bz取最小值时，z 取最大值。
一、走进教材
x－3y＋6≥0，
1．(必修 5P86 练习 T3 改编)不等式组x－y＋2<0
方向 3：含参数的线性规划问题【例 4 】 (2019·山西八校联考 ) 若实数 x ， y 满足不等式组
x－y＋2≥0， x＋2y－4≥0， 2x＋y－5≤0，
且 z＝3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为 5，则 a＝________。
解析设 z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
答案 23，25
目标函数不是直线形式时，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件文北师大版

2.线性规划中的有关概念名称
意义
约束条件由变量 x，y 组成的_不__等__式__(_组__)_
线性约束条件由 x，y 的一次不等式组成的_不__等__式__(_组__)_ 目标函数关于 x，y 的函数__解__析__式___，如 z＝x＋2y
线性目标函数关于 x，y 的___一__次____解析式
第六章不等式、推理与证明
第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[基础梳理]
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线 Ax＋By＋C＝0
不包括边界直线
某一侧的所有点组成 Ax＋By＋C≥0
的平面区域
包括_边__界__直__线__
不等式组
各个不等式所表示平面区域的_公__共__部__分__
挖掘 3 非线性目标函数的最值/互动探究
[例 3]
(1)(2020·河南郑州一模)已知变量
x，y
满足xx－ ≥22y，＋4≤0，则 x＋y－6≥0，
k＝xy＋－13的取
值范围是( )
A．k＞12或 k≤－5
B．－5≤k＜12
C．－5≤k≤12
D．k≥12或 k≤－5
[解析]
x－2y＋4≤0，
由约束条件 x≥2，
作出可行
x＋y－6≥0
域，如图中阴影部分所示，其中 A(2，4)，k＝xy＋－13
的几何意义为可行域内的动点(x，y)与定点 P(3，
－1)连线的斜率，由图可知，k≤kPA＝4－2（－－31）
＝－5，或 k＞12.故选 A. [答案] A
x－y＋2≥0， (2)(2020·广州模拟)若 x，y 满足约束条件2y－1≥0 则 z＝x2＋2x＋y2 的最小值

2020版高考一轮数学：6.2-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

时z＝x－my在点B(－2，－2)处取得最大值4.所以－2＋2m＝4，解得
m＝3.
(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z＝x＋y，
则y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过点A时，x＋y有最大值，此时x＋
y＝9，由
x＋y＝9， 2x－y－3＝0
得A(4,5)，将A(4,5)代入x－my＋1＝0得4－
x－y＋5≥0，

2．若不等式组 y≥a， 0≤x≤2，
表示的平面区域是一个三角
形，则a的取值范围是( )
A．a<5
B．a≥7
C．5≤a<7
D．a<5或a≥7
C [如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.
]
0≤x≤2，

3．已知关于x，y的不等式组 x＋y－2≥0， kx－y＋2≥0，
02 课堂题型全突破
导 03 真题自主验效果航
04 课后限时集训
课前知识全通关
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线 Ax＋By＋C＝0 不包括_边__界__直__线_
Ax＋By＋C≥0
某一侧的所有点组成的平面区域
包括_边__界__直__线___
不等式组
()
(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和
二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)不等式组
x－3y＋6<0， x－y＋2≥0Biblioteka 表示的平面区域是()
C [x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y ＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]

高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时分

课时分层训练(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )【导学号：31222205】A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )【导学号：31222206】A.32 B.23 C.43D.34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2017·广州综合测试(二))不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最大值是( )A ．1B ．4C ．－1D ．－4A [由题意得a ，b 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≤0，a ＋b ≥－2，a －2b ≥－2，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z ＝2a －3b 经过平面区域内的点(－1，－1)时，z ＝2a －3b 取得最大值z max ＝2×(－1)－3×(－1)＝1，故选A.]5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )A ．1B ．2 C.32D.12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B.]二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．【导学号：31222207】4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x－b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．【导学号：31222208】[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以m 的取值范围是m <－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1，所以z 的最大值为1，最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.10分故所求a 的取值范围为(－4,2).12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1C.43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．]2．(2017·东北三省三校二模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝yx的最大值为__________．1 [不等式组对应的可行域是以点(1,1)，(1，－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫53，13为顶点的三角形及其内部，z ＝y x 可看作可行域内的点与原点所连线的斜率，当目标函数z ＝y x经过点(1,1)时，z 取得最大值1.]3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ [解] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.5分 (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .8分目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.12分。

全国高考数学第6章不等式推理与证明第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教师用书文

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题————————————————————————————————[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．32[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32.] 4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝__________.6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________. 【导学号：31222202】1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)，由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)，由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.](1)(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2C.322D. 5(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )【导学号：31222203】A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.][规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________．4 [不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2，∴A (0,2)，B (2,0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0)．因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.]☞角度1 求线性目标函数的最值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y的最小值为________．(2)(2017·福州质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 为等差数列，则实数z 的最大值是__________．(1)－5 (2)3 [(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z ＝2x ＋y ，所以当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(1,1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]☞角度2 求非线性目标函数的最值(1)(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值范围是__________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.]☞角度3 线性规划中的参数问题(2016·河北石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) 【导学号：31222204】A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.][规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值时常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 易错警示：注意转化的等价性及几何意义.(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大.7分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )C ．17万元D ．18万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.][思想与方法]1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．[易错与防范]1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－ab x ＋z b的截距z b 的最值间接求出z 的最值，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值．当b <0时，结论与b >0的情形恰好相反．课时分层训练(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )【导学号：31222205】A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )【导学号：31222206】A.32 B.23 C.43D.34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2017·广州综合测试(二))不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最大值是( )A ．1B ．4C ．－1D ．－4A [由题意得a ，b 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≤0，a ＋b ≥－2，a －2b ≥－2，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z ＝2a －3b 经过平面区域内的点(－1，－1)时，z ＝2a －3b 取得最大值z max ＝2×(－1)－3×(－1)＝1，故选A.]5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )C.32D.12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B.]二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．【导学号：31222207】4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．【导学号：31222208】[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以m 的取值范围是m <－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1，所以z 的最大值为1，最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.10分故所求a 的取值范围为(－4,2).12分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．]2．(2017·东北三省三校二模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝yx的最大值为__________．1 [不等式组对应的可行域是以点(1,1)，(1，－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫53，13为顶点的三角形及其内部，z ＝y x 可看作可行域内的点与原点所连线的斜率，当目标函数z ＝y x经过点(1,1)时，z 取得最大值1.]3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[解] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.5分(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .8分目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.12分。

2020版高考数学一轮复习第6章不等式第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义理

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划相关概念3．重要结论(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．(3)最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．4．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤(1)作可行域；(2)将目标函数进行变形；(3)确定最优解；(4)求最值．1．概念辨析(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．小题热身(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案 B解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.故选B.(2)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 A解析由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)(a －24)<0，所以－7<a <24. (3)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x ＋y －4≥0，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 5解析由题意可得可行域为如图所示(含边界)，z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，则在点A 处取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1,2)．代入z ＝x ＋2y 得最小值5.(4)(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 9解析不等式组表示的可行域是以A (5,4)，B (1,2)，C (5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z ＝x ＋y 的最大值在顶点A 处取得，即当x ＝5，y ＝4时，z max ＝9.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域1．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43答案 D解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．故选D.2．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0.由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．条件探究把举例说明1中的不等式组改为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≤a ，“三角形”改为“四边形”，求a 的取值范围．解平面区域如图中的阴影部分，直线2x ＋y ＝6交x 轴于点A (3,0)，交直线x ＝1于点B (1,4)，当直线x ＋y ＝a 与直线2x ＋y ＝6的交点在线段AB (不包括线段端点)上时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得3＋0＝a ，即a ＝3，将点B 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得a ＝1＋4＝5，故实数a 的取值范围是(3,5)．1．解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．2．根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．如举例说明1.已知平面上的单位向量e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34 答案 D解析建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎨⎧λ＝x －3y 3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，故选D. 题型二线性规划中的最值问题角度1 求线性目标函数的最值1．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 6解析根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋12z ，画出直线y ＝－32x ，将其上下移动，结合z2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2＝0，y ＝0，解得B (2,0)，此时z max ＝3×2＋0＝6.角度2 由目标函数最值求参数2．(2018·华南师大附中二模)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3，若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a ＝( )A.12B.13 C ．1 D ．2 答案 A解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)．当直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.角度3 非线性目标函数的最值问题 3．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．解作出可行域，如图阴影部分所示．通过联立方程，解得A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方．过点M 作AC 的垂线，垂足为点N ，故|MN |＝|0－5＋2|1＋－12＝322，|MN |2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92. 故z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －－1表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍．因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z 的范围是⎣⎡⎦⎤34，72.求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值．(2)由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．(3)求非线性目标函数最值问题的解题策略解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有：①对形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．如举例说明3.②对形如z ＝ay ＋b cx ＋d (ac ≠0)型的目标函数，可先变形为 z ＝a c ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等．如举例说明3. ③对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．1．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．答案 3解析 x ＋1≤y ≤2x ，等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋1≤y ，画出可行域如图，令z ＝2y －x ，化为斜截式得y ＝12x ＋12z ，直线斜率为12，在y 轴上的截距为12z ，直线越往下，12z 越小，z 越小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋1＝y ，得最优解为(1,2)，所以z ＝2y －x 的最小值为3.2．(2018·安徽皖江最后一卷)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －4≤0，x －1≥0，则点(0,0)到点(x ，y )的距离的最小值是________．答案2解析 ∵z ＝y －0x －0，∴如图所示，原点到点P (1,1)的距离最小，且为12＋12＝ 2.3．(2018·福州五校二联)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －5≤0，4x ＋y －8≥0，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数多个，则z ＝x ＋ay 的最大值为________．答案 72解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (3,2)，B (1,4)，C ⎝⎛⎭⎫95，45.当a ＞0时，y ＝－1a x ＋1a z ，作直线l 0：y ＝－1a x ，平移l 0，易知当直线y ＝－1a x ＋1az 与4x ＋y －8＝0重合时，z 取得最小值的最优解有无数多个，此时a ＝14，当直线过点A 时，z 取得最大值，且z max ＝3＋12＝72；当a ≤0时，数形结合知，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解不可能有无数多个．综上所述z max ＝72.题型三线性规划的实际应用(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案216000解析设生产产品A x 件，产品B y 件，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，设生产产品A ，产品B 的利润之和为E 元，则E ＝2100x ＋900y .画出可行域(如图)，易知最优解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝100，则E max ＝216000.线性规划解决实际问题的一般步骤(1)能建立线性规划模型的实际问题①给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大； ②给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少． (2)解决线性规划实际问题的一般步骤①转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；②求解：解决这个纯数学的线性规划问题；③作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元答案 C解析设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N .目标函数为z ＝1600x ＋2400y.画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N 时，取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，故N (5,12)，故z min ＝1600×5＋2400×12＝36800(元)．高频考点线性规划问题考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有三类：①目标函数是线性的；②目标函数是非线性的；③已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题．[典例1] (2018·吉林省实验中学模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，2x －y ≥m .若z ＝x ＋2y 有最大值4，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．1 答案 B解析依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋2y ＝4，如图所示，结合图形可知，当且仅当直线2x －y ＝m 过直线x ＋2y ＝4与x ＋y ＝2的交点(0,2)时，才满足题意，于是有2×0－2＝m ，即m ＝－2，选B.[典例2] (2018·全国卷Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________．答案 3解析作出可行域如图阴影部分．由图可知目标函数在直线x －2y ＋4＝0与x ＝2的交点(2,3)处取得最大值3.。