代几综合
中考压轴题代几综合题
❖ 分类讨论是要依据一定的标准，对问题分类、求 解，要特别注意分类原则是不重不漏、最简.
分类常见的依据是：
❖ 一是依概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角 可以是直角，两个三角形相似时分清谁与谁可以是 对应角；
在中考试卷中，代成.
► 热考一 坐标系中的几何问题
❖ 本类题通常先给定函数解析式和几何图形，由几何 图形的性质或解析法确定待定系数所需的条件，求 出函数解析式，然后根据所求的函数关系进行探索 研究．探索研究的一般类型有：①在什么条件下三 角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、 梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④ 探究线段之间的位置关系等．
❖ 二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一 个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以 是三角形，也可以是四边形、五边形等；
❖ 三是依据图形间的位置关系，如点在线段上(不与端 点重合)、点与端点重合、点在线段延长线上等．
► 热考二 动点问题
❖ 解决动态几何问题我们需要用运动与变化的 眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变 化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关 系，并特别关注一些不变量和不变关系或特 殊关系；在求有关图形的变量之间关系时， 通常建立函数模型或不等式模型来求解；求 图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时， 通常建立方程模型求解
二、应用举例 [2012·北京]
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝－m－4 1x2＋54mx＋m2－3m ＋2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上.
(1) 求 B 点的坐标；(2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点 运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，
学生提高初二下----代几综合
yMO A xNPlB代几综合题 7月3日 以代数式、坐标系、函数知识为载体，考察：(1)函数性质（反比例垂线段围面积、单调性、对称性等） (2)特殊几何图形的特殊性质 (3)计算解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。
教学建议：（1）因为代数与几何综合比较难，所以注意层次，由易到难，逐步递进，别使学生畏惧，应该增强学生的信心；（2）帮助学生分析问题、挖掘条件、展开联想，尽量多角度来分析问题，开阔学生思路； （3）养成类比、归纳形成方法的习惯。
1.（燕山23）已知：如图，在直角坐标系xOy 中，直线y=2x 与函数y=x2的图象在第一象限的交于A 点，AM ⊥x 轴，垂足是M ，把线段OA 的垂直平分线记作l ，线段AN 与OM 关于l 对称.（1）画出线段AN （保留画图痕迹）； （2）求点A 的坐标；点A （1，2） （3）求直线AN 的函数解析式. y=34 x+310.2.（大兴24）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，直线)0,2121(332≠≤≤-+=k k m kx y 其中经过点A （23,4）,且与y 轴相交于点C. 点B 在y 轴上，且727OB OA =+-. △ABC 的面积为S. （1）求m 的取值范围; （2）求S 关于m 的函数关系式;（3）设点B 在y 轴的正半轴上，当S 取得最大值时，将△ABC 沿AC 折叠得到C B A '∆，求点B '的坐标.3.(31中27．13中23）如图，已知反比例函数12y x=的图像和一次函数y=kx-7的图像都经过点P(m,2)． （1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图像上，顶点C 、D 在这个反比例函数的图 像上，两底AD 、BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 、b （b>a>0）,求代数式ab 的值．4.（41中27）如图，已知反比例函数xky =1和一次函数b ax y +=2的图象相交于点A 和点D ，且点 A 的横坐标为1，点D 的纵坐标为-1. 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1. （1）求反比例函数和一次函数的解析式.（2）若一次函数b ax y +=2的图象与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数. （3）结合图象直接写出：当1y ＞2y 时，x 的取值范围.5.（159中26）如图，直线b x k y +=1与反比例函数xk y 2=(x ＞0)的图象交于A )6,1(，B )3,(a 两点． （1）求1k 、2k 的值； （2）直接写出021>-+xk b x k 时x 的取值范围； （3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC //OD ，OB =CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的 图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．Dbax y +=2OPE DCBAyx6.（161中24）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数y=xk（k>0）的图象经过点 A (2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为21. （1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数y=xk的图象上，求当1≤x ≤3时函数值y 的取值范围.7.（35中24）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y ＝kx过点A （－4，1），点P 是双曲线上一动点（不与A 重合），过点A 和P 分别向两坐标轴作垂线，垂足分别为B 、C 和D 、E ． （1）求k 、S △ADC 及S △PDC 的值；（2）判断AP 和DC 的位置关系，并说明理由；（3）若点P 在双曲线上运动时，探索以A 、P 、C 、D 四点为顶点的四边形能否成为菱形和等腰梯形？ 若能，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．O C B D P E x Ay8.(156中24）如图，正比例函数x y 21=的图象与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴 上求一点P ，使PA PB +最小.9.(八中26) 如图，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图象上有两点A 、B ，已知点A （3m ， m ），点B （n ， n +1）（其中m >0，n >0），OA =210 （1）求A 、B 点的坐标及反比例函数解析式；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为坐标平面内一点，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，请直接写 出符合条件的M 、N 点的坐标，并画出相应的矩形.OMxyA (第24题)11AyOxB7月7日 10.(八中怡海29）如图，点A 是反比例函数4(0)y x x=>上的一个动点，过点A 作AC y ⊥轴于点C ， 点M 是AC 的中点，过点M 作BD AC ⊥交x 轴于点D ，交曲线于点B ，顺次连接A 、B 、C 、D 得到 四边形ABCD ．（1）探究四边形ABCD 的形状并说明理由；（2）四边形ABCD 可能是正方形吗？若能，求出此时点A 、B 的坐标11.(四中23)已知反比例函数)0(1<=k xky 的图象过点A(m ,3-)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ， 且△ AOB 的面积为3 (1) 求k 和m 的值；(2) 若一次函数12+=ax y 的图象经过点A ， 并且与x 轴相交于点C ，求AC AO :的值；My=4x yxODC BAxyOABC7月8日12.（实验27）在平面直角坐标系中，M是双曲线36yx=-（x<0）上一点，把双曲线36yx=-（x<0）关于y轴作对称，点M的对称点为N，N点坐标为（m,6），作NA⊥x轴于A，NB⊥y轴于B．（1）如图27-1，以OA为一边在四边形OANB内部作等边△OAC，求点C的坐标；（2）在（1）的前提下，在平面内找到点D，使以O、C、N、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标；（3）如图27-2，若在四边形BOAN内部有一点P，满足∠PBN=∠PNB=15︒,连接PO、PA．求证：△POA为等边三角形．图27-1 xyMCB NO A图27-2 xyMPB NO A7月9日 14.（三中26）已知：如图1，直线13y x =与双曲线ky x=交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（6,m ）． （1）求双曲线ky x=的解析式； （2）点C （,4n ）在双曲线ky x=上，求△AOC 的面积；（3）过原点O 作另一条直线l 与双曲线ky x=交于P ，Q 两点，且点P 在第一象限．若由点A ，P ，B ，Q 为顶点组成的四边形的面积为20，请直接写出．．．．所有符合条件的点P 的坐标．yxCBOA图17月10日 15.(十三分24）已知反比例函数y =xk的图像经过点A (-3，1)。
八年级数学代几综合难点题型
八年级数学代几综合难点题型一次函数综合1、已知直线 $y=kx-2k+6$ 经过定点 $Q$。
1）点 $Q$ 的坐标为 $(2k-6,-2k+6)$；2）设点 $M$ 的坐标为 $(t,t)$，则直线 $QM$ 的解析式为$y=(k+1)x-2k+6-t(k+1)$；3）设点 $E$ 的坐标为 $(m,n)$，则点 $A$ 的坐标为$(t,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,-2k+6-t)$，线段 $CE$ 的长度为$\sqrt{(m-t)^2+(n+t-2k+6)^2}$。
由 $\angle AEO=45^\circ$，可知 $\angle AEC=135^\circ$，因此 $CE$ 的最大值为$\sqrt{2}(k-1)$。
2、正方形 $AOCD$ 的顶点 $A$、$C$ 分别在 $x$、$y$ 轴上，点 $P$ 为对角线 $AC$ 上一动点，过点 $P$ 作$PQ\perp OP$ 交 $CD$ 边于点 $Q$。
1）设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则直线 $PQ$ 的解析式为$y=-\frac{1}{t}(x-t+4)$。
将直线 $EF$ 向上平移 $2$ 个单位，则其解析式为 $y=-x$；2）由勾股定理可知 $OQ^2=2PA^2=24$，$PC^2=2PA^2-AC^2=12$，因此 $OQ^2-PC^2=12$；3）当点 $P$ 沿 $AC$ 方向移动 $2$ 个单位时，点 $M$ 移动的路径长为 $\sqrt{2}$。
设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则$Q$ 的坐标为 $(4-t,t)$，$OQ$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(2-t,2+t)$。
当四边形 $OMNB$ 为菱形时，有 $OM=MB$，因此$t=3$。
此时，$OM$ 与 $BC$ 的交点 $H$ 的坐标为 $(3,1)$，$PQ$ 的长度为 $2\sqrt{2}-2$，四边形 $OPQH$ 的周长为$2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$，点 $P$ 的坐标为 $(3-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$。
中考复习之代几综合问题知识讲解
代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1， 即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出． 【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5， 此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值． 解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2）， （2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。
代几综合复习(精品) 2
建立代数模型求解
数形结合!! 百般好
代数中的数 量关系
点、线位置及方 程根的情况
以形助数
以数解形
寻找图形中 的几何关系
21
如何解代几综合题？
方法：
1、审题，挖掘隐含条件
2、分解复杂问题 3、恰当使用分析综合法，关注重要 的数学思想方法
22
与特殊三角形、四边形等结合的代几综合
等腰三角形：体会数形结合
如图，在直角坐标系中，已知点 A（2，4） ，B（5，0） ， 动点 P 从 B 点出发沿 BO 向终点 O 运动，动点 Q 从 A 点 出发沿 AB 向终点 B 运动．两点同时出发，速度均为每秒 1 个单位，设从出发起运动了 x 秒．
y A
（1）Q 点的坐标为 （用含 x 的代数式表示）
Q G
O
P
成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到 达 A 点.若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短.
六年考题
07 年北京市 24（本题满分 7 分）
内容方法
函数解析式的确定 直线的平移 点的坐标 勾股定理
并以此为背景
等边三角形 角平分线
能力考察
数形结合、分类讨论
11
六年考题
08 年北京市 24（满分 7 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧 ） ．． ，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标 为（3，0） ，将直线 y kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经 过 B、C 两点．
代几综合题(题目部分)
代几综合题一直是大家的弱项，这个寒假希望同学们有所改善，考虑到大家自己找题很困难，故为同学们安排了练习，请认真完成！请先做56到75，再从1到55，其实题目都不错，只是后面的题目是近年的。
请同学们做的时候关注一下老师对题目的点评！请尽量不要移动图像，按照我排好的格式打印.1、图9是某汽车行驶的路程S(km)与时间t(min)的函数关系图.观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？（2）汽车在中途停了多长时间？（3）当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式.2、（04河北）如图15—1和15—2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.（1）如图15—1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图15—2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？点评：很好的一道和一次函数有关的点运动的问题！MB1AB图15—1ON PQ MCAB图15—23、记三角形三边长为a 、b 、c ，对应边上的高为a h 、b h 、c h ，请解答： （1）已知a h ：b h ：c h 4:3:2 ，且这三角形周长为26cm ，求a 、b 、c . （2）若三角形的三条高分别为2、x 、6，求x 的取值范围. （3）若三条高分别为2、x 、6的三角形是直角三角形，求x .（4）若三条高分别为2、x 、6的三角形是等腰三角形，求这等腰三角形的三边长. 点评：这种类型的题我们平时做的少，遇到了一定要弄明白！4、（04河北）探索下列问题：（1）在图12—1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；（2）一条竖直方向的直线m 以及任意的直线n ，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S 1和S 2.①请你在图12—2中相应图形下方的横线上分别填写S 1与S 2的数量关系式（用“<”，“=”，“>”连接）； ②请你在图12—3中分别画出反映S 1与S 2三种大小关系的直线n ，并在相应图形下方的横线上分别填写S 1与S 2的数量关系式（用“<”，“=”，“>”连接）.（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图12—4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由.图12—1图12—3 图12—4图12—2图4 P N M CBA Oy x 5、（04上海）如图４，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG=DG ．（无答案，自己证明）6、（04苏州）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）。
八年级数学全等三角形代几综合(二)
全等三角形代几综合《二》（硚口区八上期末第16题）1、如图，在平面直角坐标系中，OC 是等边△OAB 的角平分线，点D 与点C 关于y 轴对称，DA 交OB 于E ．若已知A(8，0)，则OE 的长度为___________。
2（广雅二中训五）2、如图，D 为等腰Rt △ABC 斜边AB 的中点，P 为BC 上的动点，以DP 为直角边在其左侧作等腰Rt △DPE ，∠DPE ＝90°．若AB ＝32，当P 从B 运动到C 点的过程中，E 点经过的路径长为____________。
32思考如下两个图形的辅助线方法以及相关结论1、如图，分别以△ABC 的两边AB 、AC 为斜边构造等腰R t △ABD 和等腰R t △ACE ，取BC 的中点F ，连接DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 是等腰直角三角形。
连DC 交OB 于F2、如图等腰R t△ABC和等腰R t△ADE都以点A为顶角顶点，BE、CD是经典线段，若点G平分CD，则AG⊥BE且AG＝12 BE。
知识点全等三角形代几综合【知识梳理】三角形与全等三角形性质判定三角形稳定性三边关系：中线：角度计算：①②③全等三角形边：角：大小：.(1)A(0，2)，B(－2，0) (2)AH+FD=AD，在AD上取K使AH=AK，设∠HFO=α，∴∠OAF=45－α，∵HF∥CD，∴∠CDO=∠ADC=α∴∠FAD=45－α ∴△AHF≌△AKF，∴∠AFK=45°∴∠KFD=90－α，∠FKD=90－α，∴FD=DK ∴AH+FD=AD(3)∠DAO=60°，30°或150° 12分（写对一个给1分，不管另外对错）(1) ∵2a 2＋b 2＋c 2－2ab －8a －2c ＋17＝0∴(a －b )2＋(a －4)2＋(c －1)2＝0∴a ＝b ＝4，c ＝1∴OA ＝OB ∵∠AOB ＝90°∴△AOB 为等腰直角三角形∵∠ODA ＝∠OCB 可证：△ODA ≌△OCB （AAS ） ∴OD ＝OC ＝1∴D (0，1)（2）设AD 、BC 交于点G ∵△ODA ≌△OCB ∴∠OBC ＝∠OAD ∴∠CBA ＝∠DAB∴GA ＝GB 又OA ＝OB ∴OG 为线段AB 的垂直平分线∴∠OGC ＝∠OGD ＝45°∵OE ⊥BC ∴∠AOE ＋∠BOC ＝90°∵∠OBG ＋∠BOC ＝90°∴∠AOE ＝∠OBG 可证：△OBG ≌△AOE （ASA ）∴AE ＝OG ，OE ＝BG ∵∠EOA ＝∠OBC ＝∠OAD ，EF ⊥AD ∴∠OCB ＝∠ANE ∴∠FCN ＝∠FNC ∴FN ＝FC 可证：△OCG ≌△ANE （AAS ）∴CG ＝NE ∴EF ＝FG ∴BF ＝BG ＋FG ＝OE ＋EF（3）延长GE 至H ，且使EG ＝EH ，连接OH 、BH 、BE 则△OHG 为等腰直角三角形 由共顶点等腰三角形旋转模型，得OBH ≌OAG （SAS ）∴∠OBH ＝∠OAG ＝135°∵∠OBA ＝45°∴∠HBG ＝90°接下来就是用倍长BE 而来证明“斜边中线”的结论，得BE ＝EG ＝EO ∵EF ⊥OB ∴OF ＝BF（黄陂区12月24题）3、如图，直线AB 交x 轴于点)0,(a A ，交y 轴于点),0(b B ，且b a 、满足a b ++2(5)a -=0， （1）点A 的坐标为 ；点B 的坐标为 ；（2）如图1，若点C 的坐标为(－3,－2),且AC BE ⊥于点E ，OC OD ⊥交BE 延长线于D ，试求点D 的坐标；（3）如图2，N M 、分别为OB OA 、边上的点，ON OM =，AN OP ⊥交AB 于点P ，过点P 作BM PG ⊥，交AN 的延长线于点G ，请写出线段OP AG 、与PG 之间的数量关系，并证明你的结论。
九年级数学二次函数之面积问题与代几综合
二次函数之面积问题与代几综合知识点一 二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数2y ax bx c ＝＋＋（a ≠0）在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是12x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围12x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性：（1）如果在12x x x ≤≤范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；（2）如果在12x x x ≤≤范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
知识点二 方法提示1、面积和差关系（铅锤法求面积）、角平分线的性质、中垂线的性质、30°角所对直角边与斜边的关系、斜边中线、中位线；2、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形的存在性及其画法。
【例题精讲一】二次函数的面积问题1、某农户准备在墙外空地上（墙长20米，空地最窄处宽6米）利用36米长的篱笆围成三个面积相等且相连的矩形鸡、鸭、鹅场地各一个，设每个小矩形的长为x 米。
（三个场地之间也用篱笆隔开） （1）如果三个矩形场地总面积为72m 2，求x 的值；（2）怎样设计围法，才能保证围成的三个矩形场地的总面积最大？最大面积是多少？ （3）如果三个矩形的总面积不小于77m 2，请求出小矩形的长x 的取值范围。
解：2、在一块矩形ABCD的空地上划一块四边形MNPQ进行绿化，如图，四边形的顶点在矩形的边上，且AN＝AM ＝CP＝CQ＝xm。
已知矩形的边BC＝200m，边AB＝am，a为大于200的常数，设四边形MNPQ的面积为S m2。
代几综合题
• （2）求B、C两点的坐标及图2中OF的长；
• （3）若OM是∠AOB的角平分线，且点G与点H分别是 线段AO与射线OM上的两个动点，直接写出HG+AH的 最小值，请在图3中画出示意图并简述理由。
动点+面积问题
• （12门头沟二模）如图，在直角坐标系 中，y梯 形34 xA13B6 CD的底边AB在x轴上，底 边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式
抛物线+等分面积
• （东城区25）如图，在平面直角坐标系 中 ，已知二次函数 的图像与 轴交于点 ，与 轴 交于A、B两点，点B的坐标为 （1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标 ； （2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点 ，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2 的两部分，求出此时点 的坐标； （3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点 ，问：点P在何处时△ 的面积最大？最大面
• 解题中用到的数学思想方法主要 有：
• 方程与函数思想、数形结合思想、 分类讨论思想、转化思想及待定系数 法、配方法等。
基本思路
1、借助几何直观解题； 2、运用方程思想、函数思想解题； 3、灵活运用数形结合的思想方法，由形 导数，以数促形，综合运用代数和几何 知识解题。
教学建议
• 1、因为代数与几何综合比较难，所以要 注意层次，由易到难，逐步递进，别使学 生畏惧，应该增强学生的自信心；
• （2013东城期末25）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 交x轴负半轴于点A，交y轴正半 轴于点B（0 , 3），顶点C位于第二象限， 连结AB，AC，BC．
• (1) 求抛物线的解析式；
• (2) 点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方 ，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD 与AC的位置关系；
数学压轴题不会做、没思路？这5种方法必须会!
数学压轴题不会做、没思路？这5种方法必须会！“对于数学考试非常头疼，选择题和填空题都还勉强能做完，可对于大题就有点束手无策，特别是最后的压轴题，压根儿没碰过！”的确，对于中考数学，压轴题往往是考生最怕的，很多考生都以为它一定很难，不敢碰它。
其实，对历年中考的压轴题作一番分析，就会发现，其实也不是很难。
通常来说，压轴题难度也是有约定的：历年中考，压轴题一般都由3个小题组成。
第1题容易上手，得分率在0.8以上第2题稍难，一般还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间第3题较难，能力要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间而从近几年的中考压轴题来看，大多不偏不怪，得分率稳定在0.5与0.6之间，即考生的平均得分在7分或8分。
由此可见，压轴题也并不可怕。
中考数学常考压轴题类型1、线段、角的计算与证明中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
2、一元二次方程与函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。
3、多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
2020中考数学 一轮复习 二次函数之代几综合(含答案)
2020中考数学 一轮复习 二次函数之代几综合（含答案）1.如图，已知抛物线经过A （1,0），B （6,0），与y 轴交于点C （0，-3），顶点为M. （1）求出抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点R ，使得CR ＋AR 的值最小，并求出其最小值和点R 的坐标； （3）以 AB 为直径作⊙N 交抛物线于点 P (点P 在对称轴的左侧)，求证：直线MP 是⊙N 的切线．第 1 题图（1）解：设抛物线的解析式为()()61--=x x a y ， ∵点C 在抛物线上，∴()()60103--=-a ，解得21-=a ，∴()()6121---=x x y =327212-+-x x ， ∵y=327212-+-x x =82527212+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x ，∴顶点D 的坐标为（82527，）；（2）解：如解图，连接BC ，与对称轴相交于点R ，连接AR ， ∵B ，A 关于对称轴对称，BC 的值即为CR +AR 的最小值，A （1,0）， B （6,0），C （0，-3），第1题解图①∴CR +AR 的最小值为53362222=+=+=OC OB BC , 设直线BC 的解析式为b kx y +=（k ≠0），将B （6,0）、C （0，-3）两点代入b kx y +=（k ≠0），得，⎩⎨⎧-==+306b b k 解得,321⎪⎩⎪⎨⎧-==b k∴直线BC 的解析式为321-=x y ， ∵抛物线的对称轴为直线27212227=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=-=ab x ， 把x =27代入321-=x y 中得y =45-， ∴点R 的坐标为（4527-，）， （3）证明：如解图②，连接NP 、AP 、BP ， 设点P 的横坐标为a ，则纵坐标为()()6121---a a ，其中1＜a ＜27， ∵A （1,0），B （6,0），N （27，0）， ∴AB =6-1=5，∴PN =AN =25，过点P 作PD ⊥OB 交OB 于点D ， ∵PD =()()6121---a a ，DN =27-a ， 在Rt △PDN 中，222PN DN PD =+，即()()22225612127⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a ，()()()256172222=--+-a a a ，即()()()()()()2561612612222=--+--+-+-a a a a a a ①，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠APB =90°，在Rt △APB 中，由勾股定理得222AB PB PA =+， ∴()()()()256121612222=--+-+-a a a a ②， 由①-②，得()()()()0612161222=--+--a a a a ， 解得()()461-=--a a 或()()061=--a a （舍去）③，把③代入①中，得()()176122=-+-a a ，解得a =2或a =5（舍去），∴P （2,2），∴6462525222522722222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+PN MP ,6462582522=⎪⎭⎫ ⎝⎛=MN ,∴222MN PN MP =+，由勾股定理逆定理得△PMN 为直角三角形，∴∠MPN =90°， ∵PN 是⊙N 的半径，∴直线M P 是⊙N 的切线.第1题解图②2.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A (－1，0)、C (0，5)、D (1，8)在抛物线上，M 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB 的面积；（3）在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：（1）∵A (－1，0)，C (0，5)，D (1，8)三点在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，∴⎪⎩⎪⎨⎧++==+-=c b a c c b a 850，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=541c b a ， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；（2）如解图，过点M 作MN ∥y 轴交BC 于点N ， ∴S △MCB ＝S △MCN ＋S △MNB ＝12MN ·OB .∵y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －5)(x ＋1)＝－(x －2)2＋9， ∴M (2，9)，B (5，0)，由B ，C 两点的坐标易求得直线BC 的解析式为：y ＝－x ＋5， 当x ＝2时，y ＝－2＋5＝3，则N (2，3)， 则MN ＝9－3＝6， 则S △MCB ＝12×6×5＝15；第2题解图（3）在抛物线上存在点P，使△P AB的面积等于△MCB的面积．∵A(－1，0)，B(5，0)，∴AB＝6，∵S△P AB＝S△MCB，∴12×6×|y P|＝15，∴|y P|＝5，即y P＝±5.当y P＝5时，－x2＋4x＋5＝5，解得x1＝0，x2＝4；当y P＝－5时，－x2＋4x＋5＝－5，解得x3＝2＋14，x4＝2－14.故在抛物线上存在点P1(0，5)，P2(4，5)，P3(2＋14，－5)，P4(2－14，－5)，使△P AB的面积等于△MCB的面积．3.如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，与y轴交于点C(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D. （1）求抛物线的解析式；（2）求sin∠ABC的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第3题图解：（1）将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中得， ⎩⎨⎧－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝32c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2； （2）令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，0)， 在Rt △BOC 中，BC ＝OC 2＋OB 2＝22＋42＝25，∴sin ∠ABC ＝OC BC ＝225＝55；（3）存在，点P 坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．【解法提示】由抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2得对称轴为直线x ＝32，∴点D 的坐标为(32，0)． ∴CD ＝OC 2＋OD 2＝22＋（32）2＝52.∵点P 在对称轴x ＝32上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴当点D 为顶点时，有DP ＝CD ＝52， 此时点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)；当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ，第3题解图∵DG ＝2， ∴PG ＝2，PD ＝4， ∴点P 的坐标为(32，4)．综上，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为 (32，52)或(32，－52)或(32，4)．类型三 直角三角形的存在性问题4.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .（1）若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；（2）在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第4题图解：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得 ⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3； （2）如解图，连接MA ，第4题解图∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得 y ＝2.∴M (－1，2);（3）设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2， PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10， 解得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2， 解得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即： 4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．5. 如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （-3,0），B （1,0），与 y 轴交于点C （0，3），顶点为D . （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）如图①，在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图②，F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：（1）∵A (－3，0)，B （1,0），C (0，3)在抛物线上，∴,32130390⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=c b a c c b a c b a 解得 ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3， ∵y ＝－x 2－2x ＋3=()412++-x ，∴点D 的坐标为（-1,4）；（2）如解图①，作点C 关于x 轴的对称点M ，则M (0，－3)，连接DM ，DM 与x 轴的交点为E ，连接CE ，此时△CDE 的周长最小，设直线DM 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将D (－1，4)，M (0，－3)代入y ＝kx ＋b ，得,37,34⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==+-b k b b k 解得∴直线DM 的解析式为y ＝－7x －3， 令y ＝0，则y ＝－7x －3＝0， 解得x ＝－37，∴点E 的坐标为(－37，0)；第5题解图①（3）存在．由（1）知，OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°， ∴∠CAB ＝45°，如解图②，①当∠AFP ＝90°时，即∠AF 1P 1＝90°，∴点P 1既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 1与点B 重合，点P 1的坐标为(1，0)；第5题解图②②当∠F AP ＝90°时，即∠F 2AP 2＝90°，则∠P 2AO ＝45°，设AP 2与y 轴的交点为点N ， ∴OA ＝ON ＝3，则N (0，－3)， ∴直线AP 2的解析式为y ＝－x －3，联立抛物线与直线AP 2的解析式，得方程组⎩⎨⎧+--=--=3232x x y x y ， 解得⎩⎨⎧=-=03y x 或⎩⎨⎧-==52y x ，∵A (－3，0)， ∴P 2(2，－5)；③当∠APF ＝90°时，即∠AP 3F 3＝90°，点P 3既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 3与点B 重合，点P 3的坐标为(1，0)．综上所述，抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，其坐标为P (1，0)或(2，－5)． 6. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E.第6题图（1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的一条直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．解：（1）∵点A (－2，0)与点B 关于直线x ＝1对称，∴B (4，0)， 将点A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝0c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝1c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；（2）不存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17，理由如下： ∵B (4，0)，C (0，4)， ∴BC 的解析式为y ＝－x ＋4，如解图，过点F 作x 轴垂线，交BC 于G ，设F 点的坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则G (m ，－m ＋4)，∴FG＝(－12m2＋m＋4)－(－m＋4)＝－12m2＋2m，∴S四边形ABFC＝S△ABC＋S△BCF＝12AB·y C＋12FG·(x B－x C)＝1 2×6×4＋12×4(－12m2＋2m)＝17，整理得m2－4m＋5＝0，∵b2－4ac＝16－4×1×5＝－4<0.∴方程无解，∴F点不存在；第6题解图（3）当x＝1时，－12x2＋x＋4＝92，即D(1，92)．当x＝1时，－x＋4＝3，即E(1，3)，∴DE＝92－3＝32.设Q点坐标为(m，－12m2＋m＋4)，则P(m，－m＋4)．∴|PQ|＝|(－12m2＋m＋4)－(－m＋4)|＝|－12m2＋2m|.由PQ∥DE，PQ＝DE得|－12m2＋2m|＝32，∴－12m2＋2m＝32或－12m2＋2m＝－32，解得m 1＝1(PQ 与DE 重合，舍去)，m 2＝3，m 3＝2＋7，m 4＝2－7. ∴P 点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．7.如图，一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝12x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)．第7题图（1）求二次函数的解析式；（2）若抛物线上存在点P ，使S △BDC ＝S △PBC ，求出P 点坐标(不与已知点重合)；（3）在x 轴上存在点N ，平面内存在点M ，使得B 、N 、C 、M 为顶点构成矩形，请直接写出M 点坐标．解：（1）将x ＝0代入y ＝12x ＋1中，得：y ＝1， ∴B (0，1)，将B (0，1)，D (1，0)代入y ＝12x 2＋bx ＋c 得：,123,0211⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=c b c b c 解得 ∴二次函数的解析式为y ＝12x 2－32x ＋1；（2）如解图①，过点D 作DF ∥y 轴交AC 于点F ，过点P 作PG ∥y 轴交AC 于点G ， 将x ＝1代入直线BC 的解析式得：y ＝32，即F (1，32)，设点P (x ，12x 2－32x ＋1)， 则G (x ，12x ＋1)，∴GP ＝|12x ＋1－(12x 2－32x ＋1)|＝|－12x 2＋2x |. ∵△PBC 的面积＝△DBC 的面积， ∴DF ＝GP ，即|12x 2－2x |＝32，当12x 2－2x ＝32时，解得x ＝2＋7或x ＝2－7， ∴点P 的坐标为(2＋7，7＋72)或(2－7，7－72)， 当12x 2－2x ＝－32时，解得x ＝3或x ＝1(舍去)， ∴点P 的坐标为(3，1)，综上所述，点P 的坐标为(3，1)或(2＋7，7＋72)或(2－7，7－72)；第7题解图①（3）点M 的坐标为(92，2)，(32，－2)，(3，4)或(1，4).【解法提示】如解图②所示：当∠CBN ＝90°时，则BN 的解析式为y ＝－2x ＋1， 将直线BC 的解析式与抛物线的解析式联立得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋1y ＝12x 2－32x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3，∴点C 的坐标为(4，3)，将y ＝0代入直线BN 的解析式得：－2x ＋1＝0， 解得x ＝12，∴点N 的坐标为(12，0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNMC 为矩形，∴12＋42＝0＋x 2，0＋32＝1＋y 2，解得x ＝92，y ＝2， ∴点M 的坐标为(92，2)；第7题解图②如解图③所示：当∠CNM ＝90°时，设CN 的解析式为y ＝－2x ＋n ，将点C 的坐标代入得：－8＋n ＝3， 解得n ＝11，∴CN 的解析式为y ＝－2x ＋11， 将y ＝0代入得－2x ＋11＝0， 解得x ＝112，∴点N 的坐标为(112，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BMNC 为矩形， ∴0＋1122＝4＋x 2，1＋02＝3＋y 2， 解得x ＝32，y ＝－2， ∴点M 的坐标为(32，－2)；第7题解图③如解图④所示：当∠BNC ＝90°时，过点C 作CF ⊥x 轴，垂足为F ，第7题解图④设ON ＝a ，则NF ＝4－a ，∵∠BNO ＋∠OBN ＝90°，∠BNO ＋∠CNF ＝90°， ∴∠OBN ＝∠CNF ， 又∵∠BON ＝∠CFN ， ∴△BON ∽△NFC ，∴ON CF ＝OB NF ，即a 3＝14－a，解得：a ＝1或a ＝3，当a ＝1时，点N 的坐标为(1，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNCM 为矩形，∴0＋42＝1＋x 2，1＋32＝0＋y 2， 解得x ＝3，y ＝4， ∴点M 的坐标为(3，4)；当a ＝3时，点N 的坐标为(3，0 )，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNCM 为矩形， ∴0＋42＝3＋x 2，1＋32＝0＋y 2， 解得x ＝1，y ＝4， ∴点M 的坐标为(1，4)，综上所述，点M 的坐标为(92，2)，(32，－2)，(3，4)或(1，4)．8.如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐分别为(－1，0)、(0，－3)． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点D 为y 轴上一点，且DC ＝DE ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线DE 上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC相似？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．第8题图解：（1）∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)、B (0，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； （2）令y ＝0，则x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)， ∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴点E 的坐标为(1，－4)，设点D 的坐标为(0，m )，如解图①，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ， ∵DC 2＝OD 2＋OC 2＝m 2＋32， DE 2＝DF 2＋EF 2＝(m ＋4)2＋12， DC ＝DE ，∴DC 2=DE 2，即m 2＋32＝(m ＋4)2＋12， 解得m ＝－1，∴点D 的坐标为(0，－1)；第8题解图①（3）存在点P 使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似， 其坐标为(－13，0)、(13，－2)、(－3，8)、(3，－10)． 【解法提示】∵点C (3，0)，D (0，－1)，E (1，－4)， ∴CO ＝DF ＝3，DO ＝EF ＝1， 根据勾股定理得，CD ＝OC 2＋OD 2＝32＋12＝10，在△COD 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝DF ∠COD ＝∠DFE ＝90°DO ＝EF ，∴△COD ≌△DFE (SAS)， ∴∠EDF ＝∠DCO ， 又∵∠DCO ＋∠CDO ＝90°，∴∠CDE＝180°－90°＝90°，∴CD⊥DE，①OC与CD是对应边时，∵△DOC∽△PDC，∴OCDC＝ODDP，即310＝1DP，解得DP＝103，如解图②，过点P作PG⊥y轴于点G，∵EF⊥y轴，∴△DGP∽△DFE，∴DGDF＝GPFE＝DPDE，即DG3＝PG1＝10310，解得DG＝1，PG＝13，当点P在点D的左边时，OG＝DG－DO＝1－1＝0，∴点P1(－13，0)，当点P在点D的右边时，OG＝DO＋DG＝1＋1＝2，∴点P2(13，－2)；第8题解图②②OC与DP是对应边时，∵△DOC∽△CDP，∴OCDP＝DOCD，即3DP＝110，解得DP＝310，如解图③，过点P作PG⊥y轴于点G，∵EF⊥y，∴△DGP∽△DFE，∴DGDF＝PGEF＝DPDE，即DG3＝PG1＝31010，解得DG＝9，PG＝3，当点P在点D的左边时，OG＝DG－OD＝9－1＝8，∴点P3的坐标是(－3，8)，当点P在点D的右边时，OG＝OD＋DG＝1＋9＝10，∴点P4的坐标是(3，－10)，第8题解图③综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为(－13，0)、( 13，－2)、(－3，8)、(3，－10)．9. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC.点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E.第9题图（1）求抛物线的表达式；（2）当P在y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，垂足为F.当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；（3）如图②，当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，连接PC，PB.请问△PBC的面积S 能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）由于抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和B(4，0)，∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－4)＝－x2＋3x＋4；（2）对于抛物线y＝－x2＋3x＋4，令x＝0，则y＝4，∴C(0，4)，∵B(4，0)，∴OC＝OB＝4，设P点的坐标为(t，－t2＋3t＋4)，则CF＝t，PF＝|－t2＋3t＋4－4|＝|－t2＋3t|，如果以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似，则CF＝PF，即t＝|－t2＋3t|，当t＝－t2＋3t时，解得t1＝0(舍去)，t2＝2，此时，－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，∴P的坐标为(2，6)；当－t＝－t2＋3t时，解得t3＝0(舍去)，t4＝4，此时，－t2＋3t＋4＝－42＋3×4＋4＝0，∴P的坐标为(4，0)．∴P 点的坐标为(2，6)或(4，0)；（3）△PBC 的面积S 能取得最大值.设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入点B (4，0)和点C (0，4)得：⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋m ＝0m ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1m ＝4， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4.设P 点坐标为(n ，－n 2＋3n ＋4)，∵点G 在直线BC 上，∴G (n ，－n ＋4)，∵点P 在直线BC 上方抛物线上运动，∴PG ＝－n 2＋3n ＋4－(－n ＋4)＝－n 2＋4n ，∵S △PBC ＝S △PGC ＋S △PGB＝12PG ·OE ＋12PG ·BE＝12PG ×OB＝12×(－n 2＋4n )×4＝－2(n －2)2＋8，∵－2＜0，0＜n ＜4，∴当n ＝2时，S △PBC 有最大值为8，此时P 点的坐标为(2，6)．10.如图，经过点A （3,3）的抛物线bx ax y +=2与x 轴交于点B （4,0）和原点O ，P 为二次函数上一动点，过P 作x 轴垂线，垂足为D (x'，0)(x'>0)，并与直线OA 交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）当点P 在线段OA 上方时，过P 作x 轴的平行线与线段OA 相交于点E ，求△PCE 周长的最大值及此时P 点的坐标；（3）当PC ＝CO 时，求P 点坐标.第10题图解：（1）∵A （3,3），B （4,0）两点在抛物线bx ax y +=2上， ∴,4160393⎩⎨⎧+=+=b a b a 解得,41⎩⎨⎧=-=b a ∴抛物线的表达式为x x y 42+-=；（2）如解图①，设点P 的坐标为(x ，－x 2＋4x )，第10题解图①∵点A 坐标为(3，3)；∴∠AOB ＝45°，∴OD ＝CD ＝x ，∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，∵PE∥x轴，∴△PCE是等腰直角三角形，∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．∵PE与线段OA相交，∴0≤x≤1，由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，抛物线的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝，∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋，∴△PCE周长的最大值为4＋，把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，∴点P的坐标为(1，3)；（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，D2第10题解图②①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC12x，∵P1C1＝OC1，∴－x2＋3x2x，解得x1＝32，x2＝0(舍去)．把x＝32代入y＝－x2＋4x得，y＝－(32)2＋4(32)＝1＋2，∴P1(32，1＋2)，②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC22x，∵P2C2＝OC2，∴x2－3x2x，解得x1＝32x2＝0(舍去)，把x＝32代入y＝－x2＋4x，得y＝－(32＋4(3)＝1－，∴P2(3，1－)．综上所述，P点坐标为(3，1＋)或(3，1－)．。
代几综合问题--知识讲解(基础)
代几综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.【思路点拨】过B 作DA 的垂线交DA 的延长线于M，M 为垂足，延长DM 到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BGM，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE 中，根据AE 2=AD 2+DE 2求x 的值，即CE 的长度．【答案与解析】解：过B 作DA 的垂线交DA 的延长线于M，M 为垂足，延长DM 到G，使MG=CE，连接BG，∴∠AMB=90°，∵AD∥CB，∠DCB=90°，∴∠D=90°，∴∠AMB=∠DCB=∠D=90°，∴四边形BCDM 为矩形．∵BC=CD，∴四边形BCDM 是正方形，∴BC=BM，且∠ECB=∠GMB，MG=CE，∴Rt△BEC≌Rt△BGM．∴BG=BE，∠CBE=∠GBM，∵∠CBE+∠EBA+∠ABM=90°，且∠ABE=45°∴∠CBE+∠ABM=45°∴∠ABM+∠GBM=45°∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10．设CE=x，则AM=10-x，AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，在Rt△ADE 中，AE 2=AD 2+DE 2，∴100=（x+2）2+（12-x）2，即x 2-10x+24=0；解得：x 1=4，x 2=6．故CE 的长为4或6．【总结升华】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ABE≌△ABG，从而说明AG=AE=10是解题的关键．类型二、函数与几何问题2．如图，二次函数y =（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．【思路点拨】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m 求出m 的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B 的交点坐标可直接求出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m 得，（1-2）2+m=0，1+m=0，m=－1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．当x=0时，y=4-1=3，故C 点坐标为（0，3），由于C 和B 关于对称轴对称，在设B 点坐标为（x，3），令y=3，有（x-2）2-1=3，解得x=4或x=0．则B 点坐标为（4，3）．设一次函数解析式为y=kx+b，将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b 中，得，解得，则一次函数解析式为y=x-1；（2）∵A、B 坐标为（1，0），（4，3），∴当kx+b≥（x-2）2+m 时，1≤x≤4．【总结升华】本题考察了待定系数法求二次函数,一次函数函数解析式以及数形结合法解不等式.求出B 点坐标是解题的关键．举一反三：【变式】如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A、B 两点，其中A 点坐标为（－1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）求△MCB的面积．【答案】解：(1)设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，根据题意，得058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解之，得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴所求抛物线的解析式为245y x x =-++．（2）∵C 点的坐标为（0，5）．∴OC＝5．令0y =，则2450x x -++=，解得121,5x x =-=．∴B 点坐标为（5，0）．∴OB＝5．∵2245(2)9y x x x =-++=--+，∴顶点M 坐标为（2，9）．过点M 作MN⊥AB 于点N，则ON＝2，MN＝9．∴11(59)9(52)551522MCB BNM OBC OCMN S S S S ∆∆∆=+-=+⨯⨯--⨯⨯=梯形.类型三、动态几何中的函数问题3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P 与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）把A、B、O 的坐标代入到y=ax 2+bx+c 得到方程组，求出方程组的解即可；（2）根据对称求出点O 关于对称轴的对称点B，连接AB,根据勾股定理求出AB 的长，就可得到AM+OM 的最小值.（3）①若OB∥AP，根据点A 与点P 关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得出P 的坐标；②若OA∥BP，设直线OA 的表达式为y=kx，设直线BP 的表达式为y=2x+m，由B （2，0）求出直线BP 的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可；③若AB∥OP，设直线AB 的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可.【答案与解析】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax 2+bx+c，得4420420a b c a b c c -=-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩解得：1,21,0.a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数表达式为y=212x x -+（2）由y=212x x -+=211(1)22x x --+可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB 的垂直平分线，连接AB 交直线x=1于点M，M 点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB,作AC⊥x 轴，垂足为C，则|AC|=4，|BC|=4，∴AB=42,∴MO+MA 的最小值为42.答：MO+MA 的最小值为42.（3）①如图1，若OB∥AP，此时点A 与点P 关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得P（4，-4），则得梯形OAPB．②如图2，若OA∥BP，设直线OA 的表达式为y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．设直线BP 的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4，∴直线BP 的表达式为y=2x-4.由12⎧⎪⎨⎪⎩２ｙ＝２ｘ－４，ｙ＝－ｘ＋ｘ．解得x 1=-4，x 2=2（不合题意，舍去）,当x=-4时，y=-12，∴点P（-4，-12），则得梯形OAPB．③如图3，若AB∥OP，设直线AB 的表达式为y=kx+m，则4202k m k m -=-+⎧⎨=+⎩，．解得12k m =⎧⎨=-⎩，．∴AB 的表达式为y=x-2．∵AB∥OP，∴直线OP 的表达式为y=x．由2,12y x y x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩得x 2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P 不存在．综上所述，存在两点P（4，-4）或P（-4，-12）,使得以点P 与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形．【总结升华】本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，直线434+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为B、C，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S．①求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）证明：y=443x -+∵当x=0时，y=4；当y=0时，x=3，∴B（3，0），C（0，4），∵A（-2，0），由勾股定理得：BC=22345+=∵AB=3-（-2）=5，∴AB=BC=5，∴△ABC 是等腰三角形；（2）解：①∵C（0，4），B（3，0），BC=5，∴sin∠B=40.85OC BC ==过N 作NH⊥x 轴于H．∵点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，又∵AB=BC=5，∴当t=5秒时，同时到达终点，∴△MON 的面积是S=12OM NH ⨯⨯∴S=20.4t t -⨯②点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形．理由如下：∵C（0，4），B（3，0），BC=5，∴sin∠B=40.85OC BC ==根据题意得：∵S=4，∴|t-2|×0.4t=4，∵点M 在线段OB 上运动，OA=2，∴t-2＞0，即（t-2）×0.4t=4，化为t 2-2t-10=0，解得：111,111(t t =+=-舍去）∴点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形，此时对应的t 是（111t =+）秒．③∵C（0，4）B（3，0）BC=5，∴cos∠B=30.65OB BC ==分为三种情况：I、当∠NOM=90°时，N 在y 轴上，即此时t=5；II、当∠NMO=90°时，M、N 的横坐标相等，即t-2=3-0.6t，解得：t=3.125，III、∠MNO 不可能是90°，即在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，t 的值是5秒或3.125秒．类型四、直角坐标系中的几何问题4．（2015•阳山县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）．（1）点A 的坐标是，点C 的坐标是；（2）当t=秒或秒时，MN=AC；（3）设△OMN 的面积为S，求S 与t 的函数关系式．【思路点拨】（1）根据BC∥x 轴，AB∥y 轴即可求得A 和C 的坐标；（2）分成MN 是△OAC 的中位线和MN 是△ABC 的中位线时两种情况进行讨论；（3）根据时间t 值的范围不同，M,N 与矩形的两边相交构成不同的三角形，画出图形进行分类讨论，然后正确表示出△OMN 的面积即可.【答案与解析】解：（1）A 的坐标是（4，0），C 的坐标是（0，3）；（2）当MN 是△OAC 的中位线时，M 是OA 的中点，则t=OA=×4=2；当MN 是△ABC 的中位线时，如图1．则△AME∽△OCA，则AE=OA=×4=2，则E 的坐标是（6，0），即平移了6个单位长度．故答案是：2或6．（3）当0＜t≤4时，OA=t，则ON=t，则S △OMN =×t×t=238t (0＜t≤4).即当4＜t＜8时，如图1．设直线AC 的解析式是y=kx+b，根据题意得，解得：，则直线AC 的解析式是y=﹣x+3．设MN 的解析式是y=﹣x+c，E 的坐标是（t，0），代入解析式得：c=t，则直线MN 的解析式是y=﹣x+t．令x=4，解得y=﹣3+t，即M 的坐标是（4，﹣3+t）．令y=3，解得：x=t﹣4，则N 的坐标是（t﹣4，3）．则S 矩形OABC=3×4=12，S △OCN =OC•CN=×3•（t﹣4）=3 6.2t -S △OAM =OA•AM=×4•（﹣3+t）=﹣6．S △BMN =BN•BM=[4﹣（t﹣4）][3﹣（﹣3+t）]=t 2﹣6t+24．则S=12﹣（﹣6）﹣（t﹣6）﹣（t 2﹣6t+24），即S=﹣t 2+3t(4＜t＜8).【总结升华】本题考查了矩形的性质以及待定系数法求一次函数的解析式，直线平行的条件，正确利用t 表示出M 和N 的坐标是关键．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5．一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______.【思路点拨】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，即可得出第35秒时质点所在位置的坐标．【答案与解析】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒0123x y 123…数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．【总结升华】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间.举一反三：【变式】（2016•泰山区一模）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）【答案】B.【解析】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故选；B．。
代几综合题解题指导
怎样解决代数几何综合题
• 第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含 条件，翻译并转化为显性条件； • 第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐 个击破； • 第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性 条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论。 要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与 函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类 讨论思想、运动观点等数学思想方法。能更有 效地解决问题。
2010年北京卷24题
（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的 垂线，与直线OB交于点E．延长PE到点D．使得ED=PE．以PD 为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C 点、D点也随之运动）,
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的 长；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的 垂线，与直线OB交于点E．延长PE到点D．使得ED=PE．以PD 为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C 点、D点也随之运动）,
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的 D y 长；
E B o P C
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的 长；
②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位长 度，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速 度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同 时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F．延 长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等 腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运 动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条 边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
二次函数代几综合专题
二次函数代几综合（类型一）
———求面积最大值问题
1. 某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．
（1）求△ABC的面积；
（2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。
(3) 若动点D在第一象限的抛物线上且抛物线的对称轴交CB于点P，
当S△DCP最大时，请求D点的坐标和△DCP的最大面积。
2、如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．
（1）求抛物线的解析式
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．
（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值并求出此时S △BDP的面积．。
八上数学代几综合压轴题
八上数学代几综合压轴题
八上数学代几综合压轴题指的是在八年级上学期数学中，结合代数和几何知识，难度较大、综合性较强的压轴题目。
这类题目通常涉及多个知识点，需要学生具备扎实的数学基础和较高的思维能力才能解决。
以下是3道八上数学代几综合压轴题的示例：
1.题目：在直角坐标系中，点A的坐标为(-3, 2)，点B的坐标为(1, t)。
如果
线段AB的长度为5，求t的值。
2.题目：已知抛物线y = ax^2 + bx + c经过点(0, 1)和点(4, 7)，且与x轴只
有一个交点，求该抛物线的解析式。
3.题目：在四边形ABCD中，已知AB平行于CD，且AB = 2，CD = 4，如
果四边形ABCD的面积是10，求BC和AD的长度。
总结：八上数学代几综合压轴题指的是在八年级上学期数学中，结合代数和几何知识，难度较大、综合性较强的压轴题目。
这些题目需要学生具备扎实的数学基础和较高的思维能力才能解决，通过解决这些题目，学生可以进一步提高自己的数学能力，拓展思维视野。
[第2讲]反比例函数代几综合
![[第2讲]反比例函数代几综合](https://img.taocdn.com/s3/m/16a7da27974bcf84b9d528ea81c758f5f71f2978.png)
[第2讲]反比例函数代几综合反比例函数的代数综合问题指的是针对反比例函数的实际应用问题，通过代入具体数值进行求解的问题。
本文将继续介绍反比例函数的代数综合问题。
在上一讲中，我们了解了反比例函数的定义及其基本性质，同时也学习了如何通过代入具体数值进行求解。
接下来，我们将通过实际应用问题来更深入地理解反比例函数的代数综合。
假设人利用一台机器来完成生产任务，设机器每小时可以生产x件商品。
现在，有一个生产任务需要在y小时内完成，那么我们可以根据反比例函数建立关系式：y=k/x。
问题1：如果这个任务需要在12小时内完成，那么这台机器每小时能够生产多少件商品？解法：根据关系式y=k/x，将y值代入，可以得到12=k/x。
我们需要求解x的值，可以通过移项得到k=12x。
这里k表示机器的生产能力，即机器每小时能够生产k件商品。
因此，这台机器每小时可以生产12件商品。
问题2：如果这台机器每小时能够生产10件商品，那么这个生产任务需要多少小时完成？解法：同样根据关系式y=k/x，将k值代入，可以得到y=10/x。
我们需要求解y的值，可以通过移项得到xy=10。
将已知的x值10代入，可以得到10y=10。
进一步化简得到y=1、因此，这个生产任务需要在1小时内完成。
问题3：机器每小时能够生产8件商品，如果要在6小时内完成生产任务，那么需要多少台机器同时工作？解法：设需要的机器数量为n，那么根据关系式y=k/x，我们可以得到6=n/8、我们需要求解n的值，可以通过移项得到6*8=n。
计算得到n=48、因此，需要48台机器同时工作才能在6小时内完成生产任务。
通过这些实际应用问题，我们可以更加深入地理解反比例函数的代数综合。
在解决这些问题时，需要根据具体题目分析，建立合适的关系式，通过代入具体数值进行求解。
同时，还需要注意对方程进行变形和化简，从而得到最终的答案。
在实际应用中，反比例函数也有许多其他的代数综合问题，如：设工厂的水泥库存量为x，每天消耗的水泥量为y，如果水泥库存要维持在20吨，那么每天至少需要消耗多少吨水泥？等等。
七年级数学代几综合复习
【例题精讲】例1.1、已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(2，a)，点B的坐标为(b，2)，点C的坐标为(c，0)，其中a、b满足(a＋b－10)2＋|a－b＋2|＝0。
(1) 求A、B两点的坐标；(2) 当△ABC的面积为10时，求点C的坐标；(3) 当2≤S△ABC≤12时，则点C的横坐标c的取值范围是___________。
2、如图，点A的坐标为(4，3)，点B的坐标为(1，2)，点M的坐标为(m，n)，三角形ABM的面积为3 。
(1) 三角形ABM的面积为3，当m＝4时，直接写出点M的坐标；(2) 若三角形ABM的面积不超过3，当m＝3时，求n的取值范围；(3) 三角形ABM的面积为3，当1≤m≤4时,直接写出m与n的数量关系。
.3、如图：在平面直角坐标系中，A（0，a），B（0，b），C（m，b），且2a--2a-+2(1)b-+=0，S△ABC=3．（1）直接填空：a= ，b= ，m= ；（2）设AC交x轴于D，ED⊥AC交y轴于E，∠ADO、∠AED的角平分线交于F点，求∠DFE的度数；（3）点E为AC延长线上一点，EH⊥AO于H，EG平分∠AEH直线OK⊥EG于G交AE于K，KT平分∠EKO交x轴于T点，则在E点AC的延长线上运动时，求290KTOGEH∠-︒∠的值．【课堂练习】1、在直角坐标系中，已知点A(a ，0)，B （b ，c ），C （d ，0）且a 是−8的立方根；方程2x 3b−5−3y 2b−2c+5=1是关于x,y 的二元一次方程，d 为不等式组{x >b x <6的最大整数解。
（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）如图1，若D 为y 轴负半轴上的一个动点，连BD 交x 轴于点E ，问是否存在点D ，使得S △ADE =S △BCE ？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，若将线段AB 向上平移2个单位长度，点G 为x 轴上一点，点F （5，n ）为第一象限内一动点，连BF 、CF 、CA ，若△ABG 的面积等于由AB 、BF 、CF 、AC 四条线段围成图形的面积，求点G 的横坐标的取值范围(用含n 的式子表示)。
【超级精练】中考数学：代几综合题—以代数为主的综合
代几综合题（以代数为主的综合）知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，，，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1） 求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。
几道一次函数的代几综合题
1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB(1) 求AC 的解析式；(2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。
(3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM 的值不变；②(MQ －AC )/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。
xyxy2、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。
(1)当OA =OB 时，试确定直线L 的解析式；(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM =4，BN =3，求MN 的长。
(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。
问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。
第2题图①第2题图②第2题图③3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（3分）（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E ,过点C作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
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1.（2013.昌平一模25）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上，点A，E在y轴上，OB︰OC=1︰3，AE=7，且tan∠OCE=3，tan∠ABO=2.（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）点D在（1）中的抛物线上，四边形ABCD是以BC为一底边的梯形，求经过B、D 两点的一次函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点D作直线DQ∥y轴交线段CE于点Q，在抛物线上是否存在点P，使直线PQ与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2.（2013.朝阳一模25）如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．(1)求此二次函数的解析式．(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．①直接写出点P所经过的路线长．②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．3.（2013.大兴一模25）小明同学在研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请你帮小明解答以下问题： （1）若测得OA OB ==1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥ 轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，小明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 所连的线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．4.（2013.东城一模25）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2229y x mx m =-+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧，且OA ＜OB ），与y 轴的交点坐标为（0，-5）.点M 是线段AB 上的任意一点，过点M （a ，0）作直线MC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，记点C 关于抛物线对称轴的对称点为D （C ，D 不重合），点P 是线段MC 上一点，连结CD ，BD ，PD .（1）求此抛物线的解析式；（2）当1a =时，问点P 在什么位置时，能使得PD ⊥BD ； （3）若点P 满足14MP MC =，作PE ⊥PD 交x 轴于点E ，问是否存在这样的点E ，使得PE =PD ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.5.（2013.房山一模25）已知：半径为1的⊙O1与x轴交A、B两点，圆心O1的坐标为（2,0)，二次函数2=-++的图象经过A、B两点，与y轴交于点Cy x bx c（1）求这个二次函数的解析式；（2）经过坐标原点O的直线l与⊙O1相切，求直线l的解析式；（3）若M为二次函数2=-++的图象上一点，且横坐标为2，点P是x轴上的y x bx c任意一点，分别联结BC、BM．试判断PC PM-的大小关系，并说明理由.-与BC BM（第25题图）6.（2013.丰台一模25）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为2．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为直线AB 上一动点．（1）若△POA是等腰三角形，且点P不与点A、B重合，直接写出点P的坐标；（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．7.（2013.海淀一模25）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C .（1）求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧. ①若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积；②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得'2QB +的值最小，则这个最小值为 .8.（2013.怀柔一模25）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．9.（2013.门头沟一模25）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=-++与x轴交于A、y x bx c B两点，与y轴交于点C，顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，且点B的坐标为（3，0），点E的坐标为（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点G为抛物线对称轴上的一个动点，H为x轴上一点，当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G、H的坐标；（3）设直线AE与抛物线对称轴的交点为P，M为直线AE上的任意一点，过点M作MN ∥PD交抛物线于点N，以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求点M的坐标；若不能，请说明理由．10.（2013.密云一模25）如图，经过原点的抛物线22(0)y x mx m =-+>与x 轴的另一个交点为A.过点(1,)P m 作直线PM x ⊥轴于点M ，交抛物线于点B.记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B 、C 不重合）.连结CB,CP 。
（1）当3m =时，求点A 的坐标及BC 的长；（2）当1m >时，连结CA ，问m 为何值时CA CP ⊥？（3）过点P 作PE PC ⊥且PE PC =，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并定出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由.第24题图11.（2013.平谷一模25）如图1，在直角坐标系中，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段BC为边向上作正方形ABCD.（1）点C的坐标为（），点D的坐标为（）；（2）若抛物线22(0)y ax bx a=++≠经过C、D两点，求该抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线BA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时，正方形停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围.12.（2013.石景山一模25）如图，把两个全等的Rt△AOB 和Rt△ECD 分别置于平面直角坐标系xOy 中，使点E 与点B 重合，直角边OB 、BC 在y 轴上．已知点D (4，2)，过A 、D 两点的直线交y 轴于点F ．若△ECD 沿DA 方向以每秒2个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t （秒），记△ECD 在平移过程中某时刻为△'''E C D ， ''E D 与AB 交于点M ，与y 轴交于点N ， ''C D 与AB 交于点Q ，与y 轴交于点P (注：平移过程中，点'D 始终在线段DA 上，且不与点A 重合). （1）求直线AD 的函数解析式；（2）试探究在△ECD 平移过程中，四边形MNPQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t 的取值；若不存在，请说明理由；（3）以MN 为边，在''E D 的下方作正方形MNRH ，求正方形MNRH 与坐标轴有两个公共点时t 的取值范围．13.（2013.西城一模25）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B (0,-1)，抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C (4,n )．(1) 求n 的值和抛物线的解析式；(2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0< t <4）．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；(3) M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．．．．图1图2第十章 代几综合参考答案1.（2013.昌平一模25）解：（1）依题意得：∠AOB =∠COE =90°，∴OA OB =tan ∠ABO =2,OE=OCtan ∠OCE =3. …………………………………………1分∴OA =2OB ,OE =3OC . ∵OB =OC =1︰3, ∴OC =3OB . ∴OE =9OB . ∵ AE =7, ∴9OB -2OB =7.∴OB =1,OC =3,OA =2,OE =9.∴A (0,2),B (-1,0),C (3,0),E (0,9).……………………………………2分 设抛物线的解析式为：y =a (x +1)(x -3), ∴ 2=-3a ，即a =-23. ∴抛物线解析式为：224233y x x =-++.…………………………………3分 （2）过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D .∴ 2D A y y ==.∴D (2,2). …………………………………………4分 设直线BD 的解析式为y =kx +b ，∴022k bk b =-+⎧⎨=+⎩∴k=23, b =23. ∴直线BD 的解析式为2233y x =+.…………5分 （3）易知直线CE 的解析式为y = -3x + 9, Q (2,3). 设与y 轴交于点F ，过点Q 作QM ⊥y 轴于点M . 则∠QMF =∠AOB = 90°. ∵∠QFM =∠ABO ，∴tan ∠QFM = tan ∠ABO =2 . ∴2QMMF=.∵Q (2,3)，∴1132MF QM ,MO ===.∴F (0,2)即P (0,2).经验证，P (0,2)在抛物线224233y x x =-++上. 易求得，此时直线PQ 的解析式为122y x =+，直线PQ 与抛物线224233y x x =-++的另一个交点的坐标为52148,⎛⎫⎪⎝⎭. ……………………………………………7分 同理可求得满足条件的另两个点P 的坐标为22,-+⎝和122,--⎛ ⎝. ……………………………………9分 综上所述，满足条件的点P 的坐标为P 1(0,2), P 252148,⎛⎫⎪⎝⎭，P3122(,-+-, P4122(,--.2.（2013.朝阳一模25）解：(1)根据题意，C (0，4)．∴OC =4．∵tan∠CBO =2，∴OB =2．∴B (2，0)．………………………………………………………………………1分∴ 0444a a =++．∴12a =-． ∴二次函数的解析式为2142y x x =--+．……………………………………2分(2) ①点P……………………………………………3分②∠EPF 的大小不发生改变．………………………………………………………4分 由2142y x x =--+可得，A (-4，0)． ∴OA = OC ．∴△AOC 是等腰直角三角形． ∴∠CAO =45°． ∵DE ⊥AC ， DF ⊥AB ， ∴∠AED = ∠AFD =90°． ∵点P 是线段AD 的中点，∴PE= PF =12AD= AP．∴∠EPD=2∠EAD，∠FPD=2∠FAD．∴∠EPF =∠EPD+∠FPD =2∠EAD +2∠FAD= 2∠CAO=90°．…………………5分③由②知，△EPF是等腰直角三角形．∴EF=2AD．……………………………………………………………6分∴当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小．……………………………………7分在Rt△ABD中，∵tan∠CBO=2，AB=6，∴AD．∴EF即此时EF．……………………………………………………8分3.（2013.大兴一模25）解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C 为AB中点，OA OB==90AOB∠=︒，∴2AC OC BC===.∴B(2，2-).将B(2，2-)代入抛物线2(0)y ax a=<求得，12a=-. ……………………………………1分（2）过点A作AE x⊥轴于点E，点B的横坐标为1，∴B (1，12-)， (2)∴1tan212OFOBFBF∠===90AOB∠=︒，易知AOE OBF∠=∠，∴tan tan2AEAOE OBFOE=∠=∠=，∴2AE OE=设点A（-m，212m-）（0m>），则OE m =，212AE m =， ∴2122m m = ∴ 4m =，即点A 的横坐标为4-. ……………………………4分（3）设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >）设直线AB 的解析式为：y kx b =+，则221 (1) 21 (2)2mk b m nk b n ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩(1)(2)n m ⨯+⨯得，2211()()()22m n b m n mn mn m n +=-+=-+， ∴ 12b mn =-又易知△AEO ∽△OFB ，∴ AE OEOF BF=. ∴ 220.50.5m mn n =. ∴ 4mn =. ∴ 1422b =-⨯=-.由此可知不论k 为何值，直线AB 恒过点（0，2-） (8)分4.（2013.东城一模25）（本小题满分8分） 解：（1）抛物线2229y x mx m =-+-与y 轴交点坐标为（0,-5），259m ∴-=-. 解得2m =±.抛物线2229y x mx m =-+-与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧，且OA OB <）， 2m ∴=.∴抛物线的解析式为245y x x =--. ……….. 2 分（2）过D 点作DF x ⊥轴于点F ，//,CD MF DF MF ⊥，CD MF ∴⊥.PD BD ⊥,PDC BDF ∴∠=∠.又=90PCD BFD ∠=∠︒， PCD BFD ∴∆∆∽. CD PC FD BF∴=.(1,8),(3,8),(3,0),(5,0)C D F B --，设Py （1，），28=82y +∴. 解得152y =-.∴当P 的坐标为15(1,)2-时，PD BD ⊥. ……….. 4分（3）假设E 点存在，MC EM ⊥，CD MC ⊥， EMP PCD ∴∠=∠. PE PD ⊥，EPM PDC ∴∠=∠. ,PE PD =EPM PDC ∴∆∆≌. ,PM DC EM PD ∴==.设00(,)C x y ，则00(4,)D x y -，001(,)4P x y . 001244x y ∴-=-. 2000124(45)4x x x ∴-=---.解得01x =或03x =.(1,-2)(3,-2)P P ∴或.6PC ∴=.6ME PC ∴==.(7,0)E ∴或(-3,0)E . ……… 8分5.（2013.房山一模25）解：（1）由题意可知(1,0),(3,0)A B ------- 1分因为二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ，B 两点∴193b cb c =+⎧⎨=+⎩解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数的解析式243y x x =-+---------------------------2分（2）如图，设直线l 与⊙O 相切于点E ，∴O 1E ⊥l ∵O 1O=2, O 1E=1，∴OE =过点E 作EH ⊥x 轴于点H∴2EH =,32OH =∴3(2E ,∴l的解析式为：y = --3分 根据对称性，满足条件的另一条直线l的解析式为：y x = -----4分 ∴所求直线l的解析式为：y x =或y x = （3）结论：PC PM BC BM -≤- -----5分理由：∵M 为二次函数2y x bx c =-++的图象上一点且 横坐标为2， ∴(2,1)M当点P 与点B 重合时，有PC PM BC BM -=- ---------------6分P 点异于点B 时，∵直线BM 经过点(3,0)B 、(2,1)M ，∴直线BM 的解析式为3y x =-+∵直线BM 与y 轴相交于点F 的坐标为(0,3)F ∴(0,3)(0,3)F C -与关于x 轴对称 联结结PF ，∴BC BF =，PF PC = -------------------7分 ∴BC BM BF BM MF -=-=，PF PM PC PM -=- ∵在FPM ∆中，有PF PM FM -< ∴PM PC -BM BF -综上所述：PC PM BC BM -≤- -------8分6.（2013.丰台一模25）（1）延长CO 交AB 于D ，过点C 作CG x ⊥轴于点G ．因为直线AB 的函数关系式是2y x =-+，所以易得(20)A ，，(02)B ，，所以2AO BO ==，又因为90AOB ∠=，所以45DAO ∠=． ················ 1分 因为(22)C --，，所以2CG OG ==，所以45COG ∠=，45AOD ∠=， ··················· 2分 所以90ODA ∠=，所以OD AB ⊥，即CO AB ⊥． ···················· 3分（2）要使POA △为等腰三角形，①当OP OA =时，此时点P 与点B 重合， 所以点P 坐标为 （0，2）； ②当PO PA =时，由45OAB ∠=，所以点P 恰好是AB 的中点，所以点P 坐标为（1，1）； ③当AP AO =时，则2AP =．过点P 作PH OA ⊥交OA 于 点H ，在Rt APH △中， 易得PH AH ==2OH =，所以点P的坐标为(2．所以，若POA △为等腰三角形，则点P 的坐标为（0， 2），或（1，1），或(2．（3）当直线PO 与C 相切时，设切点为K ，连接CK ，则CK OK ⊥．由点C 的坐标为（22--，），易得CO = 又因为C30COK ∠=，所以30POD ∠=，又45AOD ∠=，所以POA ∠=同理可求出POA ∠的别一个值为15，所以POA ∠等于75或15． ········ 10分因为M 为EF 的中点，所以CM EF ⊥， 又因为COM POD CO AB ∠=∠，⊥， 所以COM POD △∽△， 所以CO MOPO DO=，即MO PO CO DO =， 因为PO t MO s CO DO ====，，4st =． ········ 12分当PO 过圆心C 时，MO CO PO DO ====4MO PO =，也满足4st =．所以4s t =3t <． 7.（2013.海淀一模25）解：（1）()2222y x mx m m x m m =-++=-+，……………………1分∴顶点坐标为C m ,m ().……………………2分 （2）①2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点，∴2222x x mx m m +=-++.解方程，得121,2x m x m =-=+.……………………4分A 点在点B 的左侧，∴(1,1),(2,4).A m m B m m -+++∴AB =……………………5分直线OC 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+，∴AB ∥OC ，两直线AB 、OC 之间距离h =∴11322APBSAB h =⋅=⨯=.………………………6分① ……………………8分8.（2013.怀柔一模25）解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，……………………………1分解得132a b c =-==-，， ························ 2分232y x x ∴=-+-（2）当△EDB 与△AOC 相似时，得AO CO ED BD =或AO CO BD ED=， ∵122AO CO BD m ===-，，， 当AO CO ED BD =时，得122ED m =-， ∴22m ED -=，∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫⎪⎝⎭，． ·················· 3分 当AO CO BD ED =时，得122m ED=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． ·················· 4分 （3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形 则1EF AB ==，点F 的横坐标为1m - 当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∵点1F 在抛物线的图象上， ∴22(1)3(1)22mm m -=--+--， 全品中考网∴2211140m m -+=， ∴(27)(2)0m m --=， ∴722m m ==，（舍去）， ∴15324F ⎛⎫-⎪⎝⎭，，……………………………5分 ∴43431ABEF =⨯=平行四边形S ……………………………6分 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上∴242(1)3(1)2m m m -=--+-- ∴27100m m -+= ∴(2)(5)0m m --= ∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，……………………………7分∴661A BEF =⨯=平行四边形S ……………………………8分9.（2013.门头沟一模25）解：（1）由二次函数2y x bx c =-++的图象经过B （3，0）、E (2,3)两点，得 930,42 3.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩ 解这个方程组，得2,3.b c =⎧⎨=⎩ ………………………………1分∴抛物线的解析式为223y x x =-++． …………………………………………2分（2）令y =0，得2230x x -++=．解这个方程，得x 1=－1，x 2=3．∴A （－1，0）． 令x =0，得3y =．∴C （0，3）．如图，在y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点I 关于x 轴对称， 在x 轴上取一点H ，连结HF 、HI 、HG 、GC 、GE ，则HF ＝HI ． ∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴点C 与点E 关于直线1x =对称，CG =EG ．设直线AE 的解析式为y ＝kx ＋b ． ∴0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得 1,1.k b =⎧⎨=⎩ ∴直线AE 的解析式为y ＝x ＋1．令x ＝0，得y ＝1．∴点F 的坐标为（0，1）． ∴CF =2．∵点F 与点I 关于x 轴对称，∴I （0，－1）．∴EI ==∵要使四边形CFHG 的周长最小，由于CF 是一个定值， ∴只要使CG ＋GH ＋HF 最小即可． ∵CG ＋GH ＋HF ＝EG ＋GH ＋HI ，∴只有当EI 为一条直线时，EG ＋GH ＋HI 最小． 设直线EI 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1．∴11123,1.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得112,1.k b =⎧⎨=-⎩∴直线EI 的解析式为y ＝2x －1． ∵当x ＝1时，y ＝1，∴点G 的坐标为（1，1）．…………………………………3分∵当y ＝0时，12x =，∴点H 的坐标为（12，0）． ……………………………4分∴四边形CFHG 周长的最小值=CF ＋CG ＋GH ＋HF ＝CF ＋EI=2+ 5 分(3) 以P 、D 、M 、N 为顶点的四边形能为平行四边形．由抛物线223y x x =-++的顶点D 的坐标为（1，4）， 直线AE 与对称轴的交点P 的坐标为（1，2)，得PD =2∵点M 在直线AE 上， 设M （x ，x ＋1），①当点M 在线段AE 上时，点N 在点M 上方， 则N (x ，x ＋3) ．∵N 在抛物线上，∴x ＋3＝－x 2＋2x ＋3．解得，x ＝0或x ＝1（舍去）∴M （0，1）． ………………………………………………………………………6 分②当点M 在线段AE （或EA ）的延长线上时，点N 在点M 下方，则N （x ，x －1）． ∵N 在抛物线上, ∴x －1＝－x 2＋2x ＋3． 解得x x ． ∴M 或．……………………………………8 分∴点M 的坐标为(0，1)或或． 10.（2013.密云一模25）（1）当m=3时，y=－x ²+6x令y=0，得－x ²+6x=0， ∴12=0,=6x x ∴A(6,0) 当x=1时，y=5，∴B （1,5）又∵抛物线26y x x =-+的对称轴为直线x=3， 又∵B 、C 关于对称轴对称，∴BC=4……………1分 （2）过点C 作CH ⊥x 轴于点H （如图1） 由已知得∠ACP=∠BCH=90° ∴∠ACH=∠PCB又∵∠AHC=∠PBC=90°， ∴△ACH ∽△PCBAH PBCH PC∴= ∵抛物线22(0)y x mx m =-+>的 对称轴为直线x=m ，其中1m >，又∵B ，C 关于对称轴对称， ∴BC=2(m －1)∵B(1,2 m －1),P(1,m), ∴BP= m －1，又∵A(2m,0),C(2m －1,2m －1),∴H(2m －1,0) ∴AH=1,CH=2m －1∴1-1=2-12(m-1)3= (32)m m m分（3）∵B ，C 不重合，∴m ≠1， (Ⅰ)当m ＞1时，BC=2(m －1) PM=m, BP= m －1.(ⅰ)若点E 在x 轴上（如图2）， ∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP =90° ∴∠MEP=∠BPC又∵∠PME=∠CBP=90°，PC=EP ∴△BPC ≌△MEP ∴BC=PM ， ∴2(m －1)=m ∴m=2此时点E 的坐标是（2,0(ⅱ)若点E 在y 轴上（如图3） 过点P 作PN ⊥y 轴于点N ， 易证△BPC ≌△NPE ， ∴BP=NP=OM=1， ∴ m －1=1， ∴m=2，此时点E 的坐标是（0,4）…………………………………6分 (Ⅱ)当0＜m ＜1时， BC=2(m －1)，PM=m BP= m －1.(ⅰ) 若点E 在x 轴上（如图4）， 易证△PBC ≌△MEP ， ∴BC=PM 2(m －1)=m ∴m=23此时点E 的坐标是（43,0）…………………………8分 (ⅱ)若点E 在y 轴上（如图5） 过点P 作PN ⊥y 轴于点N ， 易证△BPC ≌△NPE ，第24题图∴BP=NP=OM=1， ∴ 1－m =1，∴m=0，（∵m>0,舍去）综上所述，当m=2时，点E 的坐标是（2,0）或（0,4）； 当m=23时，点E 的坐标是（43,0） 11.（2013.平谷一模25）解：（1）C （－3，2），D （－1，3）2分（2）抛物线经过（－1，3）、（－3，2），则93222 3.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得 123.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 223212+--=x x y ……………….…3分 （3）①当点D 运动到y 轴上时，t =12. …………..…4分当0＜t ≤21时，如图1设D ′A ′交y 轴于点E.∵tan ∠BAO =OBOA=2,又∵∠BAO =∠EAA ′∴tan ∠EAA ′=2, 即''EA AA=2 ∵AA, ∴EA ’=. ∴S △EA ’A21AA ′·EA ′=521t ×52t =5 t 2………5分当点B 运动到点A 时，t 6分当21＜t ≤1时，如图 2 设D ′C ′交y 轴于点G ，过G 作GH ⊥A ′B ′于H . 在Rt △AOB 中，AB =51222=+ ∴ GH =5,AH =21GH =25 ∵ AA ′=5t ,∴HA ′=5t －25,GD ′=5t －25∴S 梯形AA ′D ′G21(5t －25+5t ) 5=5t －45……………………………7分当点C 运动到y 轴上时，t =23.当1＜t ≤23时，如右图所示设C ′D ′、C ′B ′分别交y 轴于点M 、N∵AA ′=5t ，A ′B ′=5, ∴AB ′=5t －5B ′N =2AB ′=52t －52∵B ′C ′=5,∴C ′N =B ′C ′－B ′N =53－52t∴'C M =21C ′N =21(53－52t )∴'C MN S ∆=21(53－52t )·21(53－52t )=5t 2－15t +445∴S 五边形B ′A ′D ′MN =S 正方形B ′A ′D ′C ′－S △MNC ′=-2)5((5t 2－15t +445)=－5t 2+15t －425综上所述，S 与x 的函数关系式为：当0＜t ≤21时, S =52t当21＜t ≤1时，S =5t 45-当1＜t ≤23时，S =－5t 2+15t 425-………………………………………………..8分12.（2013.石景山一模25）解：（1）由题意A (2.0) …………………………………………………………………1分 由D (4,2),可得直线AD 解析式：2-=x y …………………………………………………2分 由B (0，4)，可得直线AB 解析式：42+-=x y ，直线BD 解析式：421+-=x y ，J （21，）. （2）在△ECD 平移t 秒时，由∠CDF =45°，可得D’（t t --24，），N （t 2340-，） 设直线E’D’解析式为：13422y x t =-+- 可得M (t t 24,-)，…………………………………………………3分Q （t t -+222，），P （t -20，） 由△MQ D’∽△BJD ,得2)3233'tS S BJDMQD -=∆∆（，可得S △MQD ’ 2)211(3t -=…………………………………………………4分 S 梯形E’C’ PN t t t t 241)2122(212+-=-+=………………………………………5分S 四边形MNPQ = S △E’C’D ’― S △MQD ’― S 梯形E’C’ PN23)1(2112122+--=++-=t t t ∴当1=t 时,S 最大=23…………………………………………………6分（3）当点H 在x 轴上时，有M (t t 24,-)横纵坐标相等 即t t 24-=∴34=t∴340<<t .…………………………………………………8分13.（2013.西城一模25）解：（1）∵直线l ：34y x m =+经过点B （0，1-）， ∴1m =-.∴直线l 的解析式为314y x =-. ∵直线l ：314y x =-经过点C （4，n ）， ∴34124n =⨯-=. ………………………………………………1分 ∵抛物线212y x bx c =++经过点C （4，2）和点B （0，1-），∴21244,21.b c c ⎧=⨯++⎪⎨⎪-=⎩ 解得5,41.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为215124y x x =--. …………………………2分（2）∵直线l ：314y x =-与x 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（43，0）.∴OA=43. 在Rt △OAB 中，OB=∴AB∵DE ∥y 轴， ∴∠OBA =∠FED .∵矩形DFEG 中，∠DFE =90°， ∴∠DFE =∠AOB =90°. ∴△OAB∽△FDE .∴OA OB AB FD FE DE==. ∴45OA FD DE DE AB =⋅=，35OB FE DE DE AB =⋅=. …………………………………………4分∴p =2(FD+ FE )=43142()555DE DE ⨯+=.∵D （t ，215124t t --），E （t ，314t -），且04t <<，∴223151(1)(1)24242DE t t t t t =----=-+.∴22141728(2)5255p t t t t =⨯-+=-+. …………………………… 5分∵2728(2)55p t =--+，且705-<，∴当2t =时，p 有最大值285. …………………………………… 6分（3）点A 1的横坐标为34或712-. ……………………………………………8分说明：两种情况参看图9和图10，其中O 1B 1与x 轴平行，O 1A 1与y 轴平行.。