江苏省南师附中2014届高三数学第一轮复习课课练：07 函数性质的运用(教师版)

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苏教版版高考数学一轮复习第二章函数函数性质的综合问题教学案

考点１函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路（１）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．（２）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x１）＞f（x２）或f （x１）＜f（x２）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响．（１）（２0１9·全国卷Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，＋∞）单调递减，则（）（２）（２0１7·全国卷Ⅰ）函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数．若f（１）＝—１，则满足—１≤f（x—２）≤１的x的取值范围是（）Ａ．[—２,２] Ｂ．[—１,１]Ｃ．[0,４] Ｄ．[１,３]（１）C（２）D[（１）∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（—x）＝f（x）．∴f错误!＝f（—log３４）＝f（log３４）．又∵log３４＞log３３＝１，且１＞２错误!＞２错误!＞0，∴log３４＞２错误!＞２错误!＞0．∵f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（２错误!）＞f（２错误!）＞f（log３４）＝f错误!.故选Ｃ．（２）∵f（x）为奇函数，∴f（—x）＝—f（x）．∵f（１）＝—１，∴f（—１）＝—f（１）＝１．故由—１≤f（x—２）≤１，得f（１）≤f（x—２）≤f（—１）．又f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，∴—１≤x—２≤１，∴１≤x≤３．][逆向问题] 设f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，且在[—２b,0]上为增函数，则f（x—１）≥f（３）的解集为（）Ａ．[—３,３] Ｂ．[—２,４]Ｃ．[—１,５] Ｄ．[0,6]B[因为f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，所以有—２b＋３＋b＝0，解得b＝３，由函数f（x）在[—6,0]上为增函数，得f（x）在（0,6]上为减函数，故f（x—１）≥f（３）⇒f（|x—１|）≥f（３）⇒|x—１|≤３，故—２≤x≤４．]（１）函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．（２）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x１）＞f（x２）的形式，再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式，如x１＜x２（或x１＞x２）求解．１．已知函数f（x）满足以下两个条件：１任意x１，x２∈（0，＋∞）且x１≠x２，（x１—x２）·[f（x１）—f（x２）]＜0；２对定义域内任意x有f（x）＋f（—x）＝0，则符合条件的函数是（）Ａ．f（x）＝２xＢ．f（x）＝１—|x|Ｃ．f（x）＝—x３Ｄ．f（x）＝ln（x２＋３）C[由条件１可知，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则可排除A、D选项，由条件２可知，f（x）为奇函数，则可排除B选项，故选Ｃ．]２．函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，则下列结论成立的是（）Ａ．f（１）＜f错误!＜f错误!Ｂ．f错误!＜f（１）＜f错误!Ｃ．f错误!＜f错误!＜f（１）Ｄ．f错误!＜f（１）＜f错误!B[∵函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，∴函数y＝f（x）在[２,４]上单调递减，且在[0,４]上函数y＝f（x）满足f（２—x）＝f（２＋x），∴f（１）＝f（３），f错误!＜f（３）＜f错误!，即f错误!＜f（１）＜f错误!.]３．（２0１9·滨州模拟）设奇函数f（x）定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）上，f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，则不等式错误!＜0的解集为（）Ａ．（—１,0）∪（１，＋∞）Ｂ．（—∞，—１）∪（0,１）Ｃ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｄ．（—１,0）∪（0,１）D[∵奇函数f（x）定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）上，在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，∴函数f（x）的图象关于原点对称，且过点（１,0）和（—１,0），且f（x）在（—∞，0）上也是增函数．∴函数f（x）的大致图象如图所示．∵f（—x）＝—f（x），∴不等式错误!＜0可化为错误!＜0，即xf （x）＜0．不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图象可知x∈（—１,0）∪（0,１）．]考点２函数的周期性与奇偶性已知f（x）是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．（２0１9·福州质量检测）已知函数f（x）对任意的x∈R都满足f（x）＋f（—x）＝0，f错误!为偶函数，当0＜x≤错误!时，f（x）＝—x，则f（２0１7）＋f（２0１8）＝________.—２[依题意，f（—x）＝—f（x），f错误!＝f错误!，所以f（x＋３）＝f（—x）＝—f（x），所以f（x＋6）＝f（x），所以f（２0１7）＝f（１）＝—１，f（２0１8）＝f（２）＝f错误!＝f错误!＝f（１）＝—１，所以f（２0１7）＋f（２0１8）＝—２．]解奇偶性、周期性的综合性问题的２个关键点（１）利用奇偶性和已知等式求周期．（２）将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解．１．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝—f错误!，且f（１）＝２，则f（２0１8）＝________.—２[因为f（x）＝—f错误!，所以f（x＋３）＝f错误!＝—f错误!＝f（x）．所以f（x）是以３为周期的周期函数．则f（２0１8）＝f（67２×３＋２）＝f（２）＝f（—１）＝—f（１）＝—２．]２．已知f（x）是定义在R上以３为周期的偶函数，若f（１）＜１，f（５）＝２a—３，则实数a 的取值范围为________．（—∞，２）[∵f（x）是定义在R上的周期为３的偶函数，∴f（５）＝f（５—6）＝f（—１）＝f （１），∵f（１）＜１，∴f（５）＝２a—３＜１，即a＜２．]考点３单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[一题多解]（２0１8·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f （１—x）＝f（１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝（）Ａ．—５0 Ｂ．0 Ｃ．２Ｄ．５0C[法一：（直接法）∵f（x）是奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（１—x）＝—f（x—１）．由f（１—x）＝f（１＋x），得—f（x—１）＝f（x＋１），∴f（x＋２）＝—f（x），∴f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），∴函数f（x）是周期为４的周期函数．由f（x）为奇函数得f（0）＝0．又∵f（１—x）＝f（１＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝１对称，∴f（２）＝f（0）＝0，∴f（—２）＝0．又f（１）＝２，∴f（—１）＝—２，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＝f（１）＋f（２）＋f（—１）＋f（0）＝２＋0—２＋0＝0，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＋…＋f（４9）＋f（５0）＝0×１２＋f（４9）＋f（５0）＝f（１）＋f（２）＝２＋0＝２．法二：（特例法）由题意可设f（x）＝２sin错误!，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为４，所以f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（４9）＋f（５0）＝１２×0＋f（１）＋f（２）＝２．]（１）函数的奇偶性与对称性的关系１若函数f（x）满足f（a＋x）＝f（a—x），则其函数图象关于直线x＝a对称；当a＝0时可以得出f（x）＝f（—x），函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．２若函数f（x）满足f（２a—x）＝２b—f（x），则其函数图象关于点（a，b）对称；当a＝0，b ＝0时得出f（—x）＝—f（x），函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．（２）函数的对称性与周期性的关系１若函数f（x）关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是２|b—a|.２若函数f（x）关于点（a,0）对称，又关于点（b,0）对称，那么函数的周期是２|b—a|.３若函数f（x）关于直线x＝a对称，又关于点（b,0）对称，那么函数的周期是４|b—a|.（３）函数的奇偶性、周期性、对称性的关系其中a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．[教师备选例题]（１）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋１）＝—f（x），若f（x）在[—１,0]上单调递减，则f（x）在[１,３]上是（）Ａ．增函数Ｂ．减函数Ｃ．先增后减的函数Ｄ．先减后增的函数１函数f（x）的图象关于直线x＝４k＋２（k∈Z）对称；２函数f（x）的单调递增区间为[8k—6,8k—２]（k∈Z）；３函数f（x）在区间（—２0１8,２0１8）上恰有１008个极值点；４若关于x的方程f（x）—m＝0在区间[—8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±４或±8．其中真命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（１）D（２）C[（１）根据题意，因为f（x＋１）＝—f（x），所以f（x＋２）＝—f（x＋１）＝f（x），所以函数f（x）的周期是２．又因为f（x）在定义域R上是偶函数，在[—１,0]上是减函数，所以函数f（x）在[0,１]上是增函数，所以函数f（x）在[１,２]上是减函数，在[２,３]上是增函数，所以f （x）在[１,３]上是先减后增的函数，故选Ｄ．（２）１正确，∵定义在R上的连续奇函数f（x）满足f（x—４）＝—f（x），∴f[（x—４）—４]＝—f（x—４）＝f（x），即f（x—8）＝f（x），∴f（x）是以8为周期的周期函数，8k（k∈Z且k≠0）也是其周期．又f（x）为R上的连续奇函数，由f（x—４）＝—f（x），即f（x）＝—f（x—４），得f （x）＝f（４—x），∴函数f（x）的一条对称轴为x＝错误!＝２．又8k（k∈Z且k≠0）是f（x）的周期，∴f（x）＝f（x＋8k）＝f（４—x），∴函数的对称轴为x＝错误!＝４k＋２（k∈Z且k≠0）．综上，函数f（x）的图象关于直线x＝４k＋２（k∈Z）对称，故１正确；２错误，作图如下：由图可知，函数f（x）的单调递减区间为[8k—6,8k—２]（k∈Z），故２错误；３正确，由图可知，f（x）在一个周期内有两个极值点，在区间（—２0１6,２0１6）上有５0４个完整周期，有１008个极值点，在区间（—２0１8，—２0１6]和[２0１6,２0１8）上没有极值点，故在区间（—２0１8,２0１8）上有１008个极值点，３正确；４正确，由图中m１，m２，m３，m４，m５五条直线可知，关于x的方程f（x）—m＝0在区间[—8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±４或±8，故４正确．综上所述，１３４正确，故选Ｃ．]１．（２0１6·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），若函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!（x i＋y i）＝（）Ａ．0 Ｂ．mＣ．２mＤ．４mB[函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），即f（x）＋f（—x）＝２，可得f（x）的图象关于点（0,１）对称，函数y＝错误!，即y＝１＋错误!的图象关于点（0,１）对称，∴函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点也关于（0,１）对称，关于（0,１）对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为２．当交点不在对称轴上时，m为偶数，∴错误!（x i＋y i）＝错误!x i＋错误!y i＝0×错误!＋２×错误!＝m；当有交点在对称轴上时，m为奇数，则错误!（x i＋y i）＝错误!x i＋错误!y i＝0×错误!＋0＋２×错误!＋１＝m.综上，错误!（x i＋y i）＝m.]２．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x—４）＝—f（x），且在区间[0,２]上是增函数，则（）Ａ．f（—２５）＜f（１１）＜f（80）Ｂ．f（80）＜f（１１）＜f（—２５）Ｃ．f（１１）＜f（80）＜f（—２５）Ｄ．f（—２５）＜f（80）＜f（１１）D[因为f（x）满足f（x—４）＝—f（x），所以f（x—8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（—２５）＝f（—１），f （80）＝f（0），f（１１）＝f（３）．由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x—４）＝—f（x），得f（１１）＝f（３）＝—f（—１）＝f（１）．因为f（x）在区间[0,２]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，所以f（x）在区间[—２,２]上是增函数，所以f（—１）＜f（0）＜f（１），即f（—２５）＜f（80）＜f（１１）．]课外素养提升２数学运算——用活函数性质中的三个结论论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．奇函数的最值性质已知函数f（x（x）＋f（—x）＝0．特别地，若奇函数f（x）在D上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝0，且若0∈D，则f（0）＝0．【例１】设函数f（x）＝错误!的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.２[显然函数f（x）的定义域为R，f（x）＝错误!＝１＋错误!，设g（x）＝错误!，则g（—x）＝—g（x），∴g（x）为奇函数，由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，∴M＋m＝[g（x）＋１]max＋[g（x）＋１]min＝２＋g（x）max＋g（x）min＝２．]【素养提升练习】已知函数f（x）＝ln（错误!—３x）＋１，则f（lg ２）＋f错误!＝（）Ａ．—１Ｂ．0 Ｃ．１Ｄ．２D[设g（x）＝ln（错误!—３x），易知函数的定义域为R，关于原点对称，∵g（x）＋g（—x）＝ln（错误!—３x）＋ln（错误!＋３x）＝ln（错误!—３x）（错误!＋３x）＝ln １＝0，∴g（x）为奇函数，∴g（lg ２）＋g错误!＝g（lg ２）＋g（—lg ２）＝0，又∵f（x）＝g（x）＋１，∴f（lg ２）＋f错误!＝g（lg ２）＋１＋g错误!＋１＝２．]抽象函数的周期性（１）如果f（x＋a）＝—f（x）（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T＝２a.（２）如果f（x＋a）＝错误!（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.（３）如果f（x＋a）＋f（x）＝c（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.【例２】已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x＋３）＝—f（x），且当x∈（0,３）时，f（x）＝x＋１，则f（—２0１7）＋f（２0１8）＝（）A．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0C[因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（—２0１7）＝—f（２0１7），因为当x≥0时，有f（x＋３）＝—f（x），所以f（x＋6）＝—f（x＋３）＝f（x），即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈（0,３）时，f（x）＝x＋１，∴f（２0１7）＝f（３３6×6＋１）＝f（１）＝２，f（２0１8）＝f（３３6×6＋２）＝f（２）＝３．故f（—２0１7）＋f（２0１8）＝—f（２0１7）＋３＝１．]【素养提升练习】（２0１9·山西八校联考）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x＋２）＝—错误!，当２≤x≤３时，f（x）＝x，则f错误!＝________.错误![∵f（x＋２）＝—错误!，∴f（x＋４）＝f（x），∴f错误!＝f错误!，又２≤x≤３时，f（x）＝x，∴f错误!＝错误!，∴f错误!＝错误!.]抽象函数的对称性已知函数f（x（１）若f（a＋x）＝f（b—x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝错误!对称，特别地，若f （a＋x）＝f（a—x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．（２）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（a—x）＝0，即f（x）＝—f（２a—x），则f（x）的图象关于点（a,0）对称．【例３】函数y＝f（x）对任意x∈R都有f（x＋２）＝f（—x）成立，且函数y＝f（x—１）的图象关于点（１,0）对称，f（１）＝４，则f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）的值为________．４[因为函数y＝f（x—１）的图象关于点（１,0）对称，所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）是R上的奇函数，则f（x＋２）＝f（—x）＝—f（x），所以f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），故f（x）的周期为４．所以f（２0１7）＝f（５0４×４＋１）＝f（１）＝４，所以f（２0１6）＋f（２0１8）＝—f（２0１４）＋f（２0１４＋４）＝—f（２0１４）＋f （２0１４）＝0，所以f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）＝４．]【素养提升练习】已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（２—x），若函数y＝|x２—２x—３|与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!x i＝（）Ａ．0 Ｂ．mＣ．２mＤ．４mB[∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（２—x），故函数f（x）的图象关于直线x＝１对称，函数y＝|x２—２x—３|的图象也关于直线x＝１对称，故函数y＝|x２—２x—３|与y＝f（x）图象的交点也关于直线x＝１对称，且相互对称的两点横坐标和为２．当f（x）不过点（１,４）时，错误!x i＝错误!×２＝m，当f（x）过点（１,４）时，错误!x i＝错误!×２＋１＝m.综上，错误!x i＝m.]。

高考数学一轮配套学案讲解：《函数的应用》(苏教版)

§2.9函数的应用1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b (k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0)(2)函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x2.(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下：1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大. ( × ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (3)不存在x 0，使0xa <x n 0<0log x a .( × )(4)美缘公司2010年新上市的一种化妆品，由于脱销，在2011年曾提价25%,2014年想要恢复成原价，则应降价25%.( × )(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ ) (6)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x ).( √ )2.某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处. 答案 5解析由题意得，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号.3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是________.(填序号)答案 ①解析汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的. 4.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元. 答案 108解析设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.5.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个.答案 2ln 2 1 024解析当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 21k，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.题型一二次函数模型例1 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板 AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ，CE ＝5 m ，CF ＝6 m ，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点 h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴， CB 为纵轴建立直角坐标系.(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h 的取值范围.思维启迪 (1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程； ( 2)利用x ＝5，x ＝6时函数值的符号求h 范围.解(1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h≥1，设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4，当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4，将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4得ah2＝－1，所以a＝－1h2.由题意，得方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解.令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－12＋4，h2[x－(2＋h)]则f(5)＝－12＋4≥0，且f(6)＝－1h2(4－h)2＋4≤0.h2(3－h)解得1≤h≤43.达到压水花的训练要求时h的取值范围为[1，43].思维升华实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2 (0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台.答案150解析设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000 (0<x<240，x∈N*).令f(x)≥0，得x≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台.题型二指数函数模型例2诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加.假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元.设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推).(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.(参考数据：1.031 29＝1.32)思维启迪从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型. 解 (1)由题意知，f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)·6.24%＝f (1)(1＋3.12%)，f (3)＝f (2)(1＋6.24%)－12f (2)·6.24%＝f (2)(1＋3.12%)＝f (1)(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －1 (x ∈N *). (2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为 f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻.思维升华此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t＋21－t (t ≥0，并且m >0).(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围. 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度.(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立. 令12t ＝x ，则0<x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)，由于x －x 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 题型三分段函数模型例3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？思维启迪题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量的关系也是分段函数关系.解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利. 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损. (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为y x ＝⎩⎨⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144).12x ＋80 000x－200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.②当x ∈[144,500]时， y x ＝12x ＋80 000x－200≥2 12x ×80 000x－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 思维升华本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨). (1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增；当x ∈[0，45]时，y ≤f (45)<26.4；当x ∈(45，43]时，y ≤f (43)<26.4；当x ∈(43，＋∞)时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨；付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元).函数应用问题典例：(14分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元) 的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？思维启迪 (1)认真阅读题干内容，理清数量关系.(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的.(3)建立函数模型，确定解决模型的方法. 规范解答解设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20<P ≤26)，[3分]代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600 (20<P ≤26)，[6分](1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元.[10分] (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫.[14分]解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.温馨提醒(1)本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q与P的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式.(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛.(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.方法与技巧1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；2.实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.3.解函数应用题的四个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原.失误与防范1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.拟定从甲地到乙地通话m min 的电话费由f (m )＝1.06·(0.5·[m ]＋1)(元)决定，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数，如[3]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min 的电话费为________元. 答案 4.24解析 f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.2.利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为________. 答案 200解析依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx≥2 x 10·4 000x－30＝10，当且仅当x 10＝4 000x ，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨.3.某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为________. 答案 (1＋a )12－1解析不妨设第一年8月份的产值为b ，则9月份的产值为b (1＋a )，10月份的产值为b (1＋a )2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b (1＋a )12－bb ＝(1＋a )12－1.4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费 s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元答案 10解析设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分) 备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 分别为______. 答案 15、12 解析由三角形相似得24－y24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.6.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16解析当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.7.如图，A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km/h ，B 的速度是16 km/h ，经过________小时，AB 间的距离最短. 答案258解析设经过x h ，A 、B 相距为y km ，则y ＝(145－40x )2＋(16x )2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.8.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤38＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤88＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 二、解答题9.某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例.又当x ＝0.65时，y ＝0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝k x －0.4(k ≠0).把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%).整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去.∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时) 解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13(200－x )， 20<x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x (200－x )， 20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立.所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.B 组专项能力提升 (时间：35分钟)1.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)，下列说法正确的是________.(填序号) ①略有盈利；②略有亏损； ③没有盈利也没有亏损；④无法判断盈亏情况.答案 ②解析设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损.2.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分 5% 超过500元的部分10%y 关于x 的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤800，5%(x －800)，800<x ≤1 300，10%(x －1 300)＋25，x >1 300.若y ＝30元，则他购物实际所付金额为________元. 答案 1 350解析若x ＝1 300元，则y ＝5%(1 300－800)＝25(元)<30(元)，因此x >1 300. ∴由10%(x －1 300)＋25＝30，得x ＝1 350(元).3.将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________. 答案3233解析如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m ，则梯形的周长为x ＋(1－x )＋(1－x )＋1＝3－x ，梯形的面积为34－34x 2， ∴s ＝(3－x )234(1－x 2)＝433·x 2－6x ＋91－x2(0<x <1)，对s 求导得s ′＝433·－2(3x 2－10x ＋3)(1－x 2)2.令s ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去).∴s min ＝s (13)＝3233.4.某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人.假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个. 答案 4解析设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则⎩⎪⎨⎪⎧N ＋40M ＝40K ， ①N ＋15M ＝15K ×2， ②N ＋8M ≤8Kx . ③由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧K ＝2.5M ，N ＝60M ，代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4. 故至少同时开放4个窗口才能满足要求.5.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________. 答案 20 解析由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去).∴x ≥20，即x 的最小值为20.6.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元).通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完. (1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)当0<x <80，x ∈N *时， L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)，∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80，x ∈N *)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80，x ∈N *).(2)当0<x <80，x ∈N *时， L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000， ∴当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.7.经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N ).前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值.解当1≤t ≤40，t ∈N 时， S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22)＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003，所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝2 5003.当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52)＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83，所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝1 4912. 综上，S (t )的最大值为2 5003，最小值为8.。

江苏省南师附中2014届高三数学第一轮复习函数的图像课时训练苏科版

§08 函数的图象一、填空题：1．为得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象向平移单位.2．若点(a ,b )在函数y ＝f (x )的图象上，则下列几个判断中正确的序号为 .①点(－a ,－b )必在函数y ＝f (x )的图象上；②点(－a ,b )必在函数y ＝f (x )的图象上； ③点(a ＋1,b )必在函数y ＝f (x )的图象上；④点(a ,b ＋1)必在函数y ＝f (x )＋1的图象上.3．若函数()21y f x =+的图象有唯一的对称轴，其方程是x ＝0，则函数()21y f x =-的图象的对称轴方程为 .4．函数312x y x -=+的图象关于点________对称.5．若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有六个不同实根，则这些实根之和为 .6．方程|2x －1|＝2x +1有个实数解。

7. 设函数(1)x y a b =--(0a >且2a ≠）的图象不经过第二象限，则,a b 的取值范围分别为 .8．设()21f x ax a =++，当||1x ≤时，()f x 的值有负有正，则实数a 的取值范围是 .9. 当m ∈ 时，函数2(2)2(23)y m x mx m =--+-的图象总在x 轴下方.10. 若直线y x b =+与函数y =b 的取值范围是__________.二、解答题11．如图，函数y ＝23|x |在x ∈［－1，1］的图象上有两点A 、B ，AB ∥Ox 轴，点M (1，m )(m ∈R 且m >23)是△ABC 的BC 边的中点。

(1)写出用B 点横坐标t 表示△ABC 面积S 的函数解析式S =f (t )；(2)求函数S =f (t )的最大值，并求出相应的C 点坐标.12．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并且满足 f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )又是偶函数，且x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4，0]时的f (x )的表达式．13．若函数y mx =与函数||1|1|x y x -=-的图象无公共点，求实数m 的取值范围.三、反思与小结：§08 函数的图象答案姓名等级一、填空题：1．为得到函数133x y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图象，可以把函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向平移单位.向右平移一个单位。

江苏南师附中2014高三数学第一轮复习课课练-函数性质的运用

§07 函数性质运用姓名等级一、填空题：1. 函数①y =|x |＋1；②y ＝－x 2＋1；③y =2－|x |；④y ＝x 2|x |中，既是偶函数又在(0,＋∞)单调递增的函数是．2. 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，f (2) ．3. 函数f (x )＝|ln(2－x )|的增区间是．4. 若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝．5. 已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a －12)(x －1)，x ＜1，log x a ，x ≥1在区间(－∞,＋∞)内是单调减函数，则a 的取值范围是．6. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f 为]1,0[上的增函数”是“()f x 为]4,3[上的减函数”的条件．7. 设函数,01)(⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 下面四个结论：①D (x )的值域为{0,1}；②D (x )是偶函数；③D (x )不是周期函数；④D (x )不是单调函数中，正确的是．8. 已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数），若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是．9. 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a -x ＋2,(a ＞0,a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝．10. 设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4 (x ≥0），则{x |f (x －2)＞0}= ．二、解答题：11. 函数()y f x =(0)x ≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式1[()]02f x x -<的解集.12．已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-，当12a ≤时，讨论()f x 的单调性。

南师附中2014届高三数学第一轮复习课课练02函数的概念(学生版)

§02 函数的概念姓名等级一．填空题：1．函数()y f x =的图象与直线x ＝2的公共点共有个．2．在函数①x y sin 1= ，② x x y ln =，③y ＝xe x ，④x x y sin =中，与函数31xy =定义域相同的函数为．3．已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为．4．函数()f x =的定义域为．5．若函数()22log 21y ax ax =++的定义域为R ，则a 的取值范围是．6．已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，则f (log 2x )的定义域为．7．若函数f (x )=log a (x +1)(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是［0，1］，则a 等于．8．若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间内．9．如果函数f (x )=ax -1的定义域为[－21，+)∞，那么实数a 的取值是．10．若一系列函数的解析式相同值域相同但是定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y =2x 2+1,值域为{1,5}的孪生函数共有个．40m二．解答题：11．判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？（1）3)5)(3(1+-+=x x x y ；52-=x y （2）111-⋅+=x x y ；)1)(1(2-+=x x y （3）21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f（4） f (n )=2n -1,g (n )=2n +1,(n ∈Z )．（5）||)(2x x x f =， ⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈=)0,(,),0(,)(t t t t t g12．求下列函数的定义域：（1）1lg 4x y x -=-；（2）lg 4y x x =-13．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 求其边长x (单位m )的取值范围．三．反思与小结：。

江苏省南师附中2014届高三数学第一轮复习幂函数、指数函数、对数函数课时训练苏科版

§12 幂函数、指数函数、对数函数1、已知幂函数()223m m y x m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，则m ＝ .2、若函数()0,1x y a b a a =->≠的图象不过第二象限，则a 、b 的取值范围分别是3、直线2y a =与函数()10,1x y a a a =->≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 .4、函数132x y -=的定义域为__________,值域为___________.5、设函数()f x 定义在实数集上，它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则2()3f 、1()3f 及3()2f 的大小顺序为__________..6、若函数f （x ）=log a （x +1）（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a 等于 .7、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， .8、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是9、已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++的值等于．10、设2()lg()1f x a x=+-的奇函数，则使得()0f x <的x 的取值范围是_________ 11、已知910390x x -⋅+≤，求函数1114242x x y -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值与最小值。

12、已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1)（1）证明函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数（2）证明：方程f (x )=0没有负数根13、已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。

江苏省南师大附校高三数学一轮复习教学案：第3课时函数的单调性学案

第3课时函数的单调性【基础过关】一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有，则称f (x )在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；②都有，则称f (x )在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 . 若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间，则f (x )称为 . 2．判断单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法，若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导，①若，则f (x )在这个区间上是增函数；②若，则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为；3．互为反函数的两个函数有的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性 . 【典型例题】例1. 已知函数f(x)=a x+12+-x x (a ＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 证明方法一任取x 1,x 2∈(-1,+∞),不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, 12x x a -＞1且1x a ＞0,∴0)1(12112>-=--x x x x x aa a a ，又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0,∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x ＞0, 于是f(x 2)-f(x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x ＞0, 故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法二 f(x)=a x+1-13+x (a ＞1), 求导数得)(x f '=a xlna+2)1(3+x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a xlna ＞0,2)1(3+x ＞0, )(x f '＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法三 ∵a ＞1,∴y=a x为增函数，又y=13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数. ∴y=a x+12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数. 变式训练1：讨论函数f （x ）=x+xa（a ＞0）的单调性. 解：方法一显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，设x 1＞x 2＞0,则 f(x 1)-f(x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a ）=(x 1-x 2)·（1-21x x a ）.∴当0＜x 2＜x 1≤a 时，21x x a＞1, 则f （x 1）-f （x 2）＜0，即f(x 1)＜f(x 2),故f （x ）在（0，a ］上是减函数. 当x 1＞x 2≥a 时，0＜21x x a＜1，则f （x 1）-f （x 2）＞0,即f(x 1)＞f(x 2), 故f （x ）在［a ，+∞）上是增函数.∵f （x ）是奇函数， ∴f （x ）分别在（-∞，-a ］、［a ，+∞）上为增函数； f （x ）分别在［-a ，0）、（0，a ］上为减函数. 方法二由)(x f '=1-2x a=0可得x=±a 当x ＞a 或x ＜-a 时，)(x f '＞0∴f （x ）分别在（a ，+∞）、（-∞，-a ］上是增函数. 同理0＜x ＜a 或-a ＜x ＜0时，)(x f '＜0即f （x ）分别在（0，a ］、［-a ，0）上是减函数. 例2. 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.解：函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1}, 则f(x)= 12-x ,可分解成两个简单函数.f(x)=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时，u(x)为增函数，)(x u 为增函数.∴f （x ）=12-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u （x)为减函数，)(x u 为减函数，∴f(x)=12-x 在（-∞,-1］上为减函数.变式训练2：求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.解：由4x-x 2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x 2，则y=21log t.∵t=4x-x 2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y=21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y=21log （4x-x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).例3. 求下列函数的最值与值域：（1）y=4-223x x -+; (2)y=x+x4;(3)y=4)2(122+-++x x . 解：（1）由3+2x-x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x 2=4-(x-1)2.∴t ∈［0，4］，t ∈［0，2］，从而，当x=1时，y min =2，当x=-1或x=3时，y max =4.故值域为［2，4］. (2)方法一函数y=x+x4是定义域为{x|x ≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论 x ＞0时,即可知x ＜0时的最值. ∴当x ＞0时,y=x+x 4≥2xx 4⋅=4，等号当且仅当x=2时取得.当x ＜0时，y ≤-4, 等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值. 方法二任取x 1,x 2,且x 1＜x 2,因为f(x 1)-f(x 2)=x 1+14x -(x 2+24x )=,)4)((212121x x x x x x -- 所以当x ≤-2或x ≥2时，f(x)递增,当-2＜x ＜0或0＜x ＜2时，f(x)递减. 故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （3）将函数式变形为y=2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ,可视为动点M （x,0）与定点A （0，1）、B （2，-2）距离之和，连结AB ，则直线AB 与x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.y min =|AB|=13)21()20(22=++-，可求得x=32时，y min =13.显然无最大值.故值域为［13，+∞）.变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf （x ）=f （x+1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x ＞0）台的收入函数为R （x ）=3 000x-20x 2(单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）是否具有相同的最大值？解：（1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=（3 000x-20x 2）-（500x+4 000）=-20x 2+2 500x-4 000（x ∈［1，100］且x ∈N,）MP （x ）=P （x+1）-P （x ）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x 2+2 500x-4 000） =2 480-40x （x ∈［1，100］且x ∈N ）. （2）P （x ）=-20(x-)21252+74 125，当x=62或63时，P(x)max =74 120（元）. 因为MP （x ）=2 480-40x 是减函数，所以当x=1时，MP(x)max =2 440(元）. 因此，利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）不具有相同的最大值. 例4．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.解：（1）令x 1=x 2＞0,代入得f(1)=f(x 1)-f(x 1)=0,故f(1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则21x x ＞1,由于当x ＞1时，f(x)＜0, 所以f )(21x x ＜0,即f(x 1)-f(x 2)＜0,因此f(x 1)＜f(x 2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f(21x x )=f(x 1)-f(x 2)得f()39=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x|x ＞9或x ＜-9}.变式训练4：函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3. 解：（1）设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,∴f(x 2-x 1)＞1.f(x 2)-f(x 1)=f((x 2-x 1)+x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-1-f(x 1)=f(x 2-x 1)-1＞0. ∴f （x 2）＞f(x 1). 即f(x)是R 上的增函数.（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5，∴f （2）=3，∴原不等式可化为f(3m 2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R 上的增函数，∴3m 2-m-2＜2, 解得-1＜m ＜34,故解集为（-1,34）.【小结归纳】1．证明一个函数在区间D 上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论.2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围. 【课后作业】1.在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 2.已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x1|)<f(1)的实数x 的取值范围是（-1，1） 3.已知定义域为R 的函数f(x)在),8(+∞上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，则DA.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)4.函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（2,∞-）5.函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是C6.如果奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是 ( )Ａ．增函数且最小值为5- Ｂ．增函数且最大值为5- Ｃ．减函数且最小值为5-Ｄ．减函数且最大值为5-7.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是(31,71)8.如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，求()2f 的取值范围．9.求函数2322y x x =--+11．已知函数()1f x x x=+．判断()f x 在区间(0，1]和[1，+∞)上的单调性，说明理由12.作出函数()21y x x =-+的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上都有意义，且在此区间上 ①)(x f 为增函数，0)(>x f ； ②)(x g 为减函数，0)(<x g .判断)()(x g x f 在],[b a 的单调性，并给出证明.。

江苏省南师附中高三数学第一轮复习课课练：函数解析式教师

§04 函数的解析式姓名等级一．填空题：1．已知2(1)21f x x +=+，则(1)__________f x -=．2289x x -+2．已知()f x 是二次函数，且()02f =，()()11f x f x x +-=-，则()f x =213222x x -+ 3．函数f (x )＝若f (a )＝12，则a = ．-14．已知定义在),0[+∞的函数⎩⎨⎧<≤≥+=)20()2(2)(2x xx x x f , 若425)))(((=k f f f ，则实数=k 235. 已知()21cos sin f x x -=，则()f x = ．[]()220,2x x x -∈ 6．若f (x )＋21f (x1)＝x , 则 f (x )＝．x x 3234-7．已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：则()[]1g f 的值；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值 .8. 已知2211()x x f x x x+++=，则()f x =__________________；21x x -+，x R ∈且0x ≠ 9. 已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足2()()21f x g x x x +=+-，则()f x =____________________，()g x =__________________.2x ，21x -10. 已知函数2()f x x x =+与()y g x =的图像关于直线2x =对称，求()g x 的解析式为．2920x x -+二．解答题11．已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；解：设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+，⎩⎨⎧≤>.,,,log 0202x x x x∴2a =，7b =，∴()27f x x =+。

江苏省南师附中2014届高三数学第一轮复习二次函数1课时训练苏科版

§09 二次函数（1）1、已知函数()2224f x x ax a =-++的定义域为R ，值域为[)1,+∞，则a 的值为2、函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是3、已知二次函数f (x )=ax 2＋bx ＋c ，对任意实数t 都有f (t )=f (2－t )，则下列式子①f (0)＝f(2)＜f (1)； ②f (－1)＜f (2)＜f (4)； ③f (4)＜f (3)＜f (0)； ④f (1)≤f (x )．可能正确的有4、已知y ＝log 2a (x 2－2x )在区间(－∞，0)上单调递增，则a 的取值范围是。

5、函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____________.6、y =()63a -≤≤的最大值为________________.7、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。

则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=_____________.8、已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=______________.9、已知函数224422y x mx m m =-+-+在区间[0,2]上有最大值3,则实数m 的取值范围为_______________.10、若方程22sin sin (1)0x x a -+-=有实数解，则a 的取值范围是_________.11、己知二次函数)(x f 满足条件)1()1(x f x f -=+，且15max =y ，又0)(=x f 的两根立方和等于17，求)(x f 的解析式.12、设函数f (x )＝x 2－tx －1，在区间［t ，t ＋1］上的最小值是g (t )，求g ( t )的解析式。

高考数学一轮复习专题一函数图象与性质的综合应用课时规范练习苏教版必修1

高考数学一轮复习专题一函数图象与性质的综合应用课时规范练习苏教版必修1一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是____________． ①y ＝x 3＋x ②y ＝－log 2x ③y ＝3x④y ＝－1x2．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x 和残留消毒液y 之间的函数解析式为____________．3．关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＝2＋3a 5－a有负数根，则实数a 的取值范围为____________．4．方程log 2(x ＋2)＝2x的实数解的个数为________个．5．1994年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x %,2010年底世界人口为y 亿，那么y 与x 的函数关系式为______________．6． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x ≥0)，－x 2－x (x <0)，则不等式f (x )＋2>0的解集是________．8．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为______．9．已知x 2>31x ，则实数x 的取值范围是________．二、解答题(本大题共3小题，共46分) 10．(14分)已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性； (3)求f (x 2－3x ＋2)<0的解集．11．(16分)设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．12．(16分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．答案 1.① 2.y ＝20(1920)x 3.－23<a <34 4.2 5.y ＝54.8(1＋x %)166.37.(－2，＋∞) 8.(2，＋∞) 9.{x |x <0或x >1} 10.解 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t，且f (t )＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a t －1a t . ∴f (x )＝aa 2－1(a x －a －x) (x ∈R )．(2)当a >1时，a x －a －x为增函数，又a a 2－1>0，∴f (x )为增函数；当0<a <1时，a x －a －x为减函数，又aa 2－1<0，∴f (x )为增函数．∴函数f (x )在R 上为增函数．(3)∵f (0)＝aa 2－1(a 0－a 0)＝0，∴f (x 2－3x ＋2)<0＝f (0)．由(2)知：x 2－3x ＋2<0，∴1<x <2. ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．11.解原不等式为(x 2－1)m －(2x －1)<0，设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f (m )的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)<0f (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2(x 2－1)－(2x －1)<0－2(x 2－1)－(2x －1)<0，解得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.所以x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.12.解 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则g (x )＝m 就有实根．方法二作出g (x )＝x ＋e2x的图象如图：可知若使g (x )＝m 有实根，则只需m ≥2e. 方法三解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e或m ≤－2e，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。

江苏省南师附中高三数学第一轮复习课课练：函数性质的运用教师

§07 函数性质运用姓名等级一、填空题：1.①④2. f(2)=63. 函数f(x)＝|ln(2－x)|的增区间是（1,2）4. a＝12 5. （0, 0.5）6.充要条件7.①②④8. ]1,(-∞9.15410. {x| x＜0或x＞4)二、解答题：11. 函数()y f x=(0)x≠是奇函数，且当(0,)x∈+∞时是增函数，若(1)0f=，求不等式1[()]02f x x-<的解集.分析：利用函数的奇偶性及函数的单调性.解：∵函数()y f x=(0)x≠是奇函数，且(1)0f=∴(1)(1)0f f=-=由()y f x=在(0,)x∈+∞时是增函数得：()y f x=在(,0)x∈-∞时也是增函数∴1[()]02f x x-<1()021()12x xx x⎧-<⎪⎪⇔⎨⎪-<-⎪⎩或1()021()12x xx x⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩1()12x x⇔-<-或1()12x x⇔->，解得：1171117{|02x x x-+<<<<或，∴不等式1[()]02f x x-<的解集为：｛|x1174x-<<或111724x+<<｝12．已知函数1()ln1af x x axx-=-+-，当12a≤时，讨论()f x的单调性。

解：因为1()ln1af x x axx-=-+-，所以2'22111()(0,)a ax x af x a xx x x--+-=-+=∈+∞，令2()1,(0,)h x ax x a x=-+-∈+∞，①当12a=时，12,()0x x h x=≥恒成立，此时'()0f x≤，函数()f x在∞（0，+）上单调递减；②当1101102aa-＜＜时，＞＞，(0,1)x∈时，()0h x＞，此时'()0f x＜，函数()f x单调递减；1(1,1)xa∈-时()0h x＜，此时'()0f x＞，函数()f x单调递增；1(1,)xa∈-+∞时，()0h x＞，此时'()0f x＜，函数()f x单调递减；③当0a＜时，由于110a-＜，(0,1)x∈，()0h x＞,此时'()0f x＜，函数()f x单调递减；(1,)x∈+∞时，()0h x＜，此时'()0f x＞，函数()f x单调递增.综上所述：13. 已知定义域为R的函数12()2xxbf xa+-+=+是奇函数.(1)求,a b的值；(2)若对任意的t R∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k-+-<恒成立，求k的取值范围. 解：（Ⅰ）因为()f x是奇函数，所以(0)f=0，即111201()22xxbb f xa a+--=⇒=∴=++又由f（1）= -f（-1）知111222.41aa a--=-⇒=++（Ⅱ）由（Ⅰ）知11211()22221xx xf x+-==-+++，易知()f x在(,)-∞+∞上为减函数。

高考数学一轮复习备课手册第7课函数的性质(1)

第课函数的性质（）一、教学目标．理解函数的单调性、最大（小）值的概念及其几何特征．会运用定义判断或证明一些简单函数在给定区间上的单调性．掌握判断一些简单函数的单调性的常用方法二、知识梳理[回顾要求].阅读必修一第页并完成以下任务:（）圈出页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词。

（）在空白处用图象描述增减函数特征。

（）对于增函数，从左向右看图象的变化趋势是怎样的？对于减函数，从左向右看图象的变化趋势又是怎样的？．回顾课本页例题.思考：（）如何求函数的单调区间？（）你知道有哪些方法？（）单调区间如何表示?两个以上的单调区间用什么符号连接?（）函数的单调区间和定义域有什么关系?．在空白处重新完成课本页例题.总结归纳：（）用定义法判断函数单调性的一般步骤和注意点。

（）你还可以用什么方法证明函数的单调性?可以用函数的图象吗?.阅读第页，理解函数最值的概念,完成例题.并思考:（）对于基本的初等函数,我们一般用什么方法求函数的最值?（）若是复杂一些的函数又如何求?.在教材上的空白处做以下题目:第页练习第题.[要点解析].函数的单调性是局部性质.函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的特征.在区间上单调,在整个定义域上不一定具有单调性..函数单调区间的求法()函数的单调区间都是其定义域的子集,故首先应注意函数的定义域；其次要熟练掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间的常用求法：根据定义、借助图象、运用单调函数的性质、利用导数的性质.()单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示.多个单调区间不能用””连接,要用”逗号”或者”和”表示..定义法判断函数单调性的一般步骤及注意点:——作差()－()(或()－())，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.导数法也是比较常用的一种方法.但图象法证明单调性在解答题中会导致过程不严谨..基本初等函数一般是借助函数图象研究其最值.热身、对于定义在上的函数，下列判断是否正确？①若，则在上是增函数；②若，则在上一定不是减函数；③若在区间上是增函数，在上也是增函数，则在上是增函数；④若在区间上是减函数，在上也是减函数，则在上是减函数．【教学建议】本题选自课本第页练习，主要是复习函数单调性的概念。

江苏省南师附中高三数学第一轮复习课课练：函数的单调性教师

§06 函数的单调性姓名等级一、填空题：1．函数y ＝322+--x x 的递增区间是 [―3, ―1] ，递减区间是 [－1, 1] ．2. 已知偶函数f （x ）在〔0，π〕上单调递增，则f （－π）,f （－2π）,f （log 214）从大到小排列为．f （－π）＞f （log 214）＞f （－2π） 3．二次函数f (x )满足(2)(2)f x f x +=-, 又f (x )在] ,[20上是增函数, 且f (a )≥f (0), 那么实数a 的取值范围是．0≤a ≤44．函数22()log (45)f x x x =--的单调增区间为．(5,)+∞5.若函数2()2(1)8f x x a x =--+的单调减区间是(,4]-∞，则实数a 为____3a =-____.6．函数()log |1|a f x x =-在区间(0,1)上递减,那么f (x )在(1, +∞)上递．增7.若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是．)1,43[8. 函数22(31)y ax a x a =--+在[1,+∞)递增,则a 的取值范围是 . [0,1]9. 已知函数f (x )的图象与函数1()()4x g x =的图象关于直线y =x 对称,那么2(2)f x x -的单调减区间是 . (0,1]10．已知2()82f x x x =+-,如果2()(2)g x f x =-,那么g (x )的减区间为． (-1,0)和（0,1）二、解答题：11.求下列函数的单调减区间：⑴)34(log 221-+-=x x y ⑵sin()y x =- （3）2y x x=+(复合函数的单调性(1)(1,2]（2）[2,2],.2k k k Z πππ-∈（3）[2,0),(0,2]-)12.函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x ＞0时，恒有f (x )＞1．(1) 求证: f (x )在R 上是增函数；(2 ) 若f (3 )＝4, 解不等式f (25a a +-)＜2.解：(1)设12x x <, 210x x ∴->, 当0x >时, ()1f x >,21() 1.f x x ∴->2211211()[()]()()1f x f x x x f x x f x =-+=-+-212112()()()10()()f x f x f x x f x f x ∴-=-->⇒<()f x ∴在R 上为增函数(2) ,m n R ∈, 不妨设1m n ==(11)(1)(1)1(2)2(1)1f f f f f ∴+=+-⇒=-(3)4(21)4(2)(1)143(1)24f f f f f =⇒+=⇒+-=⇒-=(1)2,(2)2213f f ∴==⨯-= 2(5)2(1)f a a f ∴+-<=, ()f x 在R 上为增函数25132a a a ∴+-<⇒-<<即(3,2) a ∈-13. 已知函数)0(,11lg)(>∈--=k R k x kx x f 且.（Ⅰ）求函数f （x ）的定义域；（Ⅱ）若函数f （x ）在[10，+∞)上单调递增，求k 的取值范围.解答:（Ⅰ）由1100:0.11x kx k k x x -->>>--及得（1）当0<k <1时，得111,(,1)(,)x x x k k<>∴∈-∞+∞或；（2）当k =1时，得10,1;1x x x R x ->∴≠∈-且（3）当k >1时，得111,(,)(1);x x x k k<>∈-∞+∞或即综上所求函数的定义域：当0<k <1时为1(,1)(,);1k k -∞+∞≥当时为1(,)(1).k -∞+∞ （Ⅱ）由()[10)f x +∞在上是增函数 1011010110k k -∴>>-得. 又11()lg lg()11kx k f x k x x --==+--对任意的1x 、2x ，当2110x x <≤时，有121211()(),lg()lg(),11k k f x f x k k x x --<+<+--即得： 12121111(1)()0,1111k k k x x x x --<⇔--<----又1211,10, 1.11k k x x >∴-<∴<-- 综上可知k 的取值是（1,101）说明: 第（Ⅰ）题:根据对数的真数大于0,将求函数的定义域转化为求关于x 的不等式的解集,为此要对字母系数k 分类讨论求解; 第（Ⅱ）题: 根据单调性的定义,函数f （x ）在[10，+∞)上单调递增等价于()f x 满足对任意的1x 、2x ，当2110x x <≤时，有12()()f x f x <恒成立,根据对数函数的单调性,进一步等价转化为121111k k x x --<⇔--11(1)(1k x ---21)1x - 0<对2110x x <≤恒成立,再根据不等式的性质可得k <1.。

江苏省南京邮电大学附中高三数学一轮复习函数概念与

南京邮电大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：函数概念与基本处等函数I本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y=－5xB ．y=（31）1－xC ．y=1)21(-xD ．y=x 21-【答案】B2．函数21()log (2),(01),(0,)()0,()2a f x x x a a f x f x =+>≠>且在区间上恒有则的单调增区间为( ) A ．1(,)4-∞- B ．1(,)4+∞C ．(0,)+∞D ．1(,)2-∞-【答案】D3．函数f （x ）=xx 2cos 在区间[0,4]上的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C4．已知直线(0)y kx k =>与函数|sin |y x =的图象恰有三个公共点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，其中123x x x <<，则有( )A ．3sin 1x = B ．333sin cos x x x =C ．333sin tan x x x =D ．33sin cos x k x =【答案】B 5．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f>，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 6．设函数⎩⎨⎧<≥-=)1(1)1(1)(x x x x f ，则)))2(((f f f =( )A ．0B ．1C ．2D ．2【答案】A7．若函数ax x x f 2)(2+-=与xa x g -+=1)1()(在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．（－1，0） B ．（0，1] C ．（0，1） D ．（－1，0）∪（0，1]【答案】B8．函数3()31f x x x =+-在以下哪个区间内一定有零点( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B9．下列四类函数中，有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是( ) A ．幂函数 B ．对数函数 C ．余弦函数 D ．指数函数【答案】D10．若f(x)=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是( ) A ．)1,0()0,1(⋃- B ．]1,0()0,1(⋃- C ．（0，1） D ．]1,0(【答案】D11．函数234x x y x--+=的定义域为( )A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-U【答案】D12．已知奇函数f （x ）满足f （x+1）=f （x-l ），给出以下命题：①函数f （x ）是周期为2的周期函数；②函数f （x ）的图象关于直线x=1对称；③函数f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称；④若函数f （x ）是（0，1）上的增函数，则f （x ）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的番号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④ 【答案】A第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．关于函数)0(||1lg )(2≠+=x x x x f ，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当0>x 时，)(x f 是增函数；当0<x 时，)(x f 是减函数；③)(x f 的最小值是2lg ； ④)(x f 在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤)(x f 无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④14．函数f (x)满足f （－1）＝14．对于x,y ∈，有4()()()()22x y x y f f f x f y +-=+，则f （－2012）＝＿＿【答案】14-15．已知()[]3,92,log 1f x x x ∈=+，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域为_____________.【答案】[]6,13 16．已知函数21121)(-+=xx f 的定义域是R ，则)(x f 的值域是【答案】⎪⎭⎫⎝⎛-21,21 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(1)m 为何值时，f(x)＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.有且仅有一个零点；(2)若函数f(x)＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．【答案】 (1)f(x)＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.(2)令f(x)＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，即|4x －x 2|＝－a. 令g(x)＝|4x －x2|， h(x)＝－a. 作出g(x)、h(x)的图象．由图象可知，当0<－a<4，即－4<a<0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a 的取值范围为(－4,0)． 18．已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)．(1)求实数m 的值，并写出区间D ；(2)若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；(3)当[)x A a b ∈=，(A D ≠⊂，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b 、的值．【答案】(1) ∵()y f x =是奇函数， ∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121log log 011aa m mx m mxx x---++=+-．化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间)，必有2210(21)10m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1m =． ∴1()log (11)1axf x D x-==-+，，． (2) 当1a >时，函数1()log (11)1a xf x D x-==-+在，上是单调减函数．理由：令12111x t x x-==-+++．易知1x +在(11)D =-，上是随x 增大而增大，21x+在(11)D =-，上是随x 增大而减小，故12111x t x x-==-+++在(11)D =-，上是随x 增大而减小．于是，当1a >时，函数1()log (11)1a xf x D x-==-+在，上是单调减函数．(3) ∵[)A a b D ≠=⊂，，∴011a a b <<<≤，．∴依据(2)的道理，当01a <<时，函数1()log 1a xf x A x-=+在上是增函数，即1()1log 11aaf a a-==+，，解得21(21)a a =-=--舍去．若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为1[1log )1abb-+，，不满足函数值组成的集合是[1)+∞，的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1) ∴必有1b =．因此，所求实数a b 、的值是211a b =-=、．19．设函数f (x)= ,求使f(x)≥2的x 的取值范围.【答案】令u=, y=f(x), 则y=2 为u 的指数函数.∴f(x)≥ 2 ≥ 2 ≥ u ≥① ∴f(x) ≥≥ ②(1)当x ≥1时,不等式② (x+1)－(x －1) ≥ 2≥ 成立.(2)当－1≤x<1时,由②得,(x+1)－(1－x) ≥x ≥ 即 ≤x<1;(3)当x<－1时,由②得－(x+1)－(1－x) ≥ 即－2≥不成立.于是综合(1)(2)(3)得所求的x 的取值范围为[ ,1]∪[1,+∞),也就是[ ,+∞)20．已知定义域为R 的函数ab x f x x+-=22)(是奇函数.(Ⅰ)求b a ,的值;(Ⅱ）若对于任意R t ∈,不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的范围.【答案】（1）.1,0)0(,R )(==∴b f x f 上的奇函数为Θ.1),1()1(=-=-a f f 得又经检验1,1==b a 符合题意.(2)Θ R t ∈,不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立,)2()2(22k t f t t f --<-∴)(x f ∴为奇函数, )2()2(22t k f t t f -<-∴ )(x f ∴为减函数, .2222t k t t ->-∴即t t k 232-<恒成立,而.3131)31(32322-≥--=-t t t .31-<∴k21．已知定义在实数集R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当(0,1)x ∈时，2().41xx f x =+(1）证明()f x 在(0,1)上为减函数； (2）求函数()f x 在[]1,1-上的解析式；(3）当λ取何值时，方程()f x λ=在R 上有实数解. 【答案】（1）设1212,(0,1)x x x x ∈<且则，12121222()()4141x x x x f x f x -=-++ 1221122412414141x x x x x x +-+=++（）（）（）（） 211212+22214141x x x x x x --=++（）（）（）（）1201x x <<<Q ，211222,21x x x x +∴>> 1212()-()0,()()f x f x f x f x ∴>>即，∴()f x 在(0,1)上为减函数. (2）(1,0)(0,1)x x ∈-∴-∈,2()41xxf x --∴-=+, ()f x Q 又为奇函数，2()()41xx f x f x --∴-==-+2()41xxf x --∴=-+ (1)=(1)(1)=(1)f f f f ---Q 又，且 (1)(1)=0f f ∴=-2(0,1),4100,1,()2(1,0)41xxxx x x f x x ⎧∈⎪+⎪=±⎪∴=⎨⎪∈-⎪+⎪⎩(3）若(0,1),x ∈21()14122x x x xf x ∴==++ 又152(2,),22x x +∈Q 21()(,),52f x ∴∈若(1,0),x ∈-21()14122x x x x f x ∴=-=-++12()(,),25f x ∴∈--λ∴的取值范围是1221|=0,<<<.2552λλλλ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或-,或22．设关于x 的方程0222=--ax x 的两根为)(βαβα<、，函数14)(2+-=x ax x f ． (1）求)()(βαf f 、的值；(2）证明)(x f 是[]βα,上的增函数；(3）当α为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小？【答案】（1）.4)()(,168)(,168)(22-=⋅++=-+-=βαβαf f aa f aa f(2）设22)(2--=Φax x x ，则当β<<x a 时，.0)(<Φx2222222)1()4(2)1(4)1()1)(4()1()4()(+--+=+'+--+'-='x a x x x x x a x x a x x f0)1()(2)1()22(222222>+Φ-=++-=x x x ax x∴函数)(x f 在()βα,上是增函数．(3）函数)(x f 在[]βα,上最大值0)(>βf ，最小值4)()(,0)(=⋅<βααf f f Θ， ∴当且仅当2)()(=-=αβf f 时，)()()()(αβαβf f f f +=-取最小值4，此时.2)(,0==βf a。

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