2019年高三数学二轮复习试题：专题五 第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系(一) 含解析

第4讲直线与圆锥曲线的位置关系(一)

选题明细表

巩固提高A

一、选择题

1.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于( C )

(A)(B)2 (C)(D)4

解析:易知直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点(,0),所以|AB|为焦点弦.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则AB中点N(,),

所以|AB|=x1+x2+p=4.所以=.

所以AB中点到直线x+=0的距离为+=.

2.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( B )

(A)有且只有一条(B)有且只有两条

(C)有且只有三条(D)有且只有四条

解析:设该抛物线焦点为F,A(x A,y A),B(x B,y B),则|AB|=|AF|+|FB|=x A++x B+=x A+x B+1=3>2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.故选B.

3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( C )

(A)2 (B)(C)(D)

解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,

由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,

则x1+x2=-t,x1x2=.

所以|AB|=|x1-x2|

=·

=·

=·,

当t=0时,|AB|max=.

4.直线l与抛物线y2=x交于点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1y2=-1,点O为坐标原点,则△AOB 是( A )

(A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)任意三角形 解析:=x 1,=x 2,故x 1x 2=(y 1y 2)2=1. 所以·=x 1x 2+y 1y 2=0. 所以⊥,即OA ⊥OB.

所以△AOB 是直角三角形.故选A.

5.(2018·嵊州模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线截圆M:(x-1)2+y 2=1所得弦长为,则该双曲线的离心率为( B ) (A) (B)

(C) (D)

解析:双曲线的一条渐近线为bx-ay=0,圆心到直线的距离为d==,c=2b,a==b,

故离心率e=

.

6.点P 为直线y=x 上任一点,F 1(-5,0),F 2(5,0),则下列结论正确的是( C ) (A)||PF 1|-|PF 2||>8 (B)||PF 1|-|PF 2||=8 (C)||PF 1|-|PF 2||<8 (D)以上都有可能

解析:若||PF 1|-|PF 2||=8,则点P 的轨迹是以F 1(-5,0),F 2(5,0)为焦点的双曲线,其方程

为

-=1.因为直线y=x 是它的渐近线,整条直线在双曲线的外面,因此有

||PF 1|-|PF 2||<8.

7.已知F 为抛物线y 2=8x 的焦点,过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A,B 两点,则

||FA|-|FB||的值为( C )

(A)4 (B)8 (C)8 (D)16

解析:依题意知F(2,0),所以直线l的方程为y=x-2,

联立方程,得

消去y得x2-12x+4=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1x2=4,x1+x2=12,

则||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+2)|

=|x1-x2|=

==8.

二、填空题

8.直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两点,且AB中点的横坐标为2,则k的值是.

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),

由

消去y得k2x2-4(k+2)x+4=0,

由题意得

所以即k=2.

答案:2

9.过椭圆+=1内一点P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是.

解析:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,

由于A,B两点均在椭圆上,

故+=1,+=1,

两式相减得

+=0.

又因为P是A,B的中点,所以x1+x2=6,y1+y2=2,

所以k AB==-.

所以直线AB的方程为y-1=-(x-3).

即3x+4y-13=0.

答案:3x+4y-13=0

10.已知O为坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,P为C上一点,M是线段PF的中点,则直线OM的斜率的最大值为.

解析:根据题意可得F(,0),设P(,y0),M(x,y),

因为M是线段PF的中点,则M(+,),

所以k OM==≤=1,当且仅当y0=p时取等号,

所以直线OM的斜率的最大值为1.

答案:1

11.已知椭圆的方程为+=1,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A点的坐标为(2,1),P为

椭圆上一点,则|PA|+|PF2|的最大值是,最小值是.

解析:连结PF1,AF1,如图,

因为P为椭圆上一点,

所以|PF1|+|PF2|=10.

因此|PA|+|PF2|=10+|PA|-|PF1|.

因为A(2,1),F1(-3,0),

所以||PA|-|PF1||≤|AF1|=.

所以10-≤|PA|+|PF2|≤10+,

即|PA|+|PF2|的最大值和最小值分别为10+和10-.

答案:10+10-

12.若△OAB的垂心H(1,0)恰好为抛物线y2=2px的焦点,O为坐标原点,点A,B在此抛物线上,则此抛物线的方程是,△AOB的面积是.

解析:因为焦点为H(1,0),所以抛物线的方程是y2=4x.设A(a2,2a),B(b2,2b),由抛物线的对称性可知,b=-a.又因为AH⊥OB,得·=-1,解得a=(不妨取正值),从而可得

S△OAB=×5×4=10.

答案:y2=4x 10

13.已知A是射线x+y=0(x≤0)上的动点,B是x轴正半轴上的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值是.

解析:法一设A(-a,a),B(b,0)(a,b>0),则直线AB的方程是ax+(a+b)y-ab=0.因为直线