12.3.1.平方差公式(公开课)ppt

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华东师大版数学八年级上册 12.3.1平方差公式课件(共18张ppt)

=16x2-25y2
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (3m＋2n)(－3m＋2n) 变式四 (3m＋2n)(－3m－2n) 变式五 (－3m－2n)(3m＋2n) 变式六 (－2n＋3m)(3m＋2n)
下列式子能用平方差公式计算吗？如不能,请说明理由
平方差公式
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
相同项的平方减去相反项的平方
注意:1、应用条件：一组相等，一组相反；
2、给一个整体平方时要带括号。
3、公式中的a，b既可代表单项式，
还可代表具体的数或多项式。
拓展
计算
(a-b+c)(a+b+c) 解：原式=（a+c）2-b2
=a2+2ac+c2-b2
进行化简
两数的和乘以这相同项相反项两数的差
结果
(1+x)(1-x)
1
x 12-x2
(-3+a)(-3-a)
-3
a (-3)2-a2
(1+a)(-1+a)
a
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x
1 a2-12 1 ( 0.3x)2-12
练习
运用平方差公式计算:
(1)、(2+3a2)(3a2-2)
(1) ( 2x-3)(-2x+3) ( )
(2) (2+3a2)(3a2-2)
(3) ( 1 x 2 y)( 1 x 2 y) ( )
2
2
(4) (-5-2x)(2x+5) ( )

平方差公式课件(公开课)

3.化简
( x y)( x y)( x y ) (x4+y4 )
2 2
解原式 x y )( x y )(x4+y4 ) （
2 2 2 2
x y ） 4+y4) (x （
4 4
x y
8
8
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
2-(b)2 (a+b)(a-b)=(a)
相反为b
⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
⑷ 5678×5680－56792 =(5679－1)(5679+1)－56792
= 56792－1－ 56792
=-1
(1) (x+3)( X-3 )=x2-9 1-4x2 (2) (-1-2x)( 2x-1)= (3) (m+n)( n-m )=n2-m2 (4) ( -1+y )(-y-1)=1-y2 (5) (-3a2+2b2)( -3a2-2b2 )=9a4-4b4
下列各式能否用平方差公式进行计算？ ⑴ (7ab-3b)(7ab+3b) ⑵ (-8+a)(a-8) ⑶ ( 2a 3b)( 2a 3b) ⑷ (x+3)(y-3) ⑸ (-3-m)(m-3) ⑹ (a-b)(b-a)
⑺ (a2+b2)(a2-b2)
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
例1、用平方差公式计算 (1)（3x+2)(3x-2)
2 解：原式＝ (3x)
注意 1、先把要计算的式子与公式对照, 2、哪个是 a
-
2 (2)
哪个是 b

《平方差公式》优质课件

培养学生的数学思维和问题解决能力。
课件目标
能够熟练运用平方差公式解决各种问题。
理解平方差公式的概念和基本性质。
平方差公式的定义和应用领域
平方差公式的定义
平方差公式是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。相乘的结果为：右边是乘式中两项中相同项的平方减去相反项的平方。
步骤四
合并同类项，即 $-ab$ 和 $ab$ 相消，得到 $a^2 - b^2$。
综合以上步骤，得出 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，即为平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的应用实例
在代数运算中的应用
01
02
03
简化计算
利用平方差公式，可以将一些复杂的代数式简化，从而更容易进行计算，提高效率。
乘法分配律
$(a+b)(c)=ac+bc$，乘法分配律是平方差公式的基础，平方差公式可看作乘法分配律的特例。
平方差公式的深入拓展与研究
高次幂的差分
通过反复利用平方差公式，可以求出高次幂的差分，例如 $a^n-b^n$ 的形式。
在解析几何中的应用
平方差公式在解析几何中求解两点间距离等问题时有着广泛应用。
综合应用题
设计一些涉及平方差公式的综合应用题，引导学生在实际问题中运用所学知识。
思考题
提出一些有关平方差公式的思考题，供学有余力的学生深入探究。
自主学习与拓展阅读建议
01
自主学习建议
鼓励学生通过查找资料、观看视频等方式，自主学习与平方差公式相关
的拓展知识。
02
拓展阅读材料
推荐一些与平方差公式相关的优秀教材、论文或网络资源，供学生自主

八年级数学《平方差公式》课件图文详解

知2－导
利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.
这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁:
(a + b) (a－b)=a2 －b2.
这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
知2－讲
平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差．用式子表示为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
-2 0192 =2 0192-1-2 0192=-1.
总结
知3－讲
本题运用转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与这两数的差的积的形式，利用平方差公式可求解．
知3－练
1 计算2 0162－2 015×2 017的结果是( )
项的平方减去相反项的平方 . 3. 理解字母a,b的意义，平方差公式中的a,b既
可代表一个单项式，也可代表一个多项式 .
知1－讲
知1－练
1 下列计算能运用平方差公式的是( )
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D.
2 3
m2
3 4
解: (1) (a+3)(a-3)=a2-32=a2-9. (2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (3) (1+2c)(1-2c)=12-(2c)2=1-4c2. (4)(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2.
n3

华师版八年级上册第十二章 12.3.1 两数和乘以这两数的差

课题12.3.1 两数和乘以这两数的差主备人课型新授课课时安排 1 总课时数 1 上课日期学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.学习重难点重点：经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.难点灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.教·学过程札记一．导多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．算一算：根据多项式乘以多项式的法则进行计算：①（x ＋ 1)( x－1）=x2-x+x-1=_______________；②（m ＋ 2)( m－2）=m2-2m+2m-4=_______________；③（2m＋ 1)(2m－1）=_______________=_______________.二、思阅读课本完成探究一探究点1：平方差公式问题观察算一算中的式子与它的结果，它们有什么共同的特点？【要点归纳】当出现两个多项式相乘的时候，呈现的形式如(a+b)(a−b)=_________,（其中a,b代表数、字母或式子）即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.试一试：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？剩余部分的面积为：____________，新长方形的面积为：____________，则有等式为：___________________.例1利用平方差公式计算：(1)(x－5)(x＋5)； (2)(－a－b)(b－a)；（3）（12x+1）（﹣12x+1）.三、检测1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x －y)2.计算（2x2+1）（2x2-1）等于（）A．4x4-1 B．2x4-1 C．4x2-1 D．4x4+13.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．图1 图24.已知x2-y2=8，x+y=4，则x-y= .5.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．6.利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a- 3b)；（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).7.计算：（1）20222－2021×2023；（2)(a-2)(a+2)(a2 + 4).8.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.9.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？。

平方差公式 (课件)

对于不符合平方差公式标准形式者，或提取两“−”号中的“−”号，要利用加法交换律，变成公式标准形式后，再用公式．
Bye bye
（3）公式中的 a和b 可以是数，也可以是代数式．
例2 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) =(3x)2－22 =9x2－4；
(2) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
某中学计划将边长m米的正方形花坛改造成长为（m+1）米，宽为（m-1）米的长方形花坛，你会计算改造后的花坛面积么？花坛的面积有什么变化？
（m＋1)(m－1) 解原式： =m2−m+m-1
=m2-1
课堂小结
平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2．
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．
平方差公式
[来源:学科网ZXXK]
(a+b)(a-b)=?
学习目标
1．理解平方差公式的意义； 2．掌握平方差公式的结构特征； 3．正确地运用平方差公式进行计算；
探索发现
1. (x+1)(x-1) =x2-x+x-1 =x2-1 =x22. (m+2)(m-2)=m2-2m+2m-4=m122-4 =m2-22 3. (2x+1)(2x-1)=4x2-2x+2x-1 =4x2-1 =(2x)2-12
图2 的阴影部分的面积是—(a— b—)(a—b)
b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b b
互为相反数
(a+b)(a−b)=a2−b2

平方差公式 (优质课)获奖课件 (优质课)获奖课件

三、归纳概括计算(a＋b)(a－b)．让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式．然后，教师系统总结平方差公式．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 语言叙述：________________．教师引导学生归纳这个公式的一些特点：如公式左、右两边的结构，教给学生记忆公式的方法．
角形的外角？
2．探究三角形外角的性质．老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出以下问题：你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？
学生归纳得出三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三、举例分析例1 如图， ∠ BAE ， ∠ CBF ， ∠ ACD 是△ ABC 的三个外角，它们的和是多少？
而简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果，运
用公式计算一定要看是否符合公式的特征，这两个数分别是什么，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字
母，单项式，也可以代表多项式．
11．2
与三角形有关的角
三角形的外角
11．2.2
1．了解三角形的外角． 2 ．知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平
方差公式计算．
教材例2 计算：
(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；
(2)102×98. 此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，
允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简
便计算的目的．
五、巩固练习
教材第108页练习第1，2题．
第1题口述完成；第 2 题采用大组竞赛的形式进行，其中 (1)(4) 由两个大

12.3.1 两数和乘以这两数的差大赛获奖教学课件

高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。
青春风采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141分文综255分
毕业学校：北京二中报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市文科状元阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
讲授新课
平方差公式
探究发现
面积变了吗？
原来
现在
a2 a米
5米
(a+5)米
(a-5) (a+5)(a-5)
5米相等吗？
算一算：看谁算得又快又准.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x ＋ 1)( x－1)； ②(m ＋ 2)( m－2)； ③(2m＋ 1)(2m－1)； ④(5y ＋ z)(5y－z).
(4)(a-b)(-a-b)= __b_2_-a_2____.

12.3.1.平方差公式(公开课)ppt

2
(
)
3.运用平方差公式计算:
(1)(2+3a )(3a -2)
1 1 (2) ( x 2 y)( x 2 y) 2 2
2
2
(3) (3y − x)(− x − 3y）
4.你能很快算出下列算式的结果吗？
(1)103×97
(2)59.8×60.2
比一比&赛一赛
看哪组的
多!
以小组为单位,每一小组派一代表为对方小组选题并要求回答,答对方可得到一颗星,同时继续为另外小组选题,依次类推,看哪个小组得到的星最多
2
2 2 2 (1 3a )(1 3a ) 1 3a 3a 9a 2 1 9 a 1 ( 3a )
22 22 2 2 （3） ( m 1)( m 1) m 1 (－ m )) m =( m － 1 m 1 ( m) 1
1
1
a 2 -1 2
( 0.3x)2-12
2. 下列式子能用平方差公式计算吗？如不能,请说明理由
(1) ( 2x-3)(-2x+3) (2) (2+3a2)(3a2-2)
2 2
(
( ( (
)
) ) ) )
(3) ( 1 x 2 y )( 1 x 2 y ) (
(4) (-5-2x)(2x+5) (5) (2x+y)(y−2x).
2 2 25a b －1
(9) 49 51
2499
(3) (−0.1x+1)(−0.1x−1)
2 0.01x －1
6 1 9 × 10 7 7
48 99 49
（4）(-2x-y)(-y+2 )( a ) 2 2 1 4 a

第12章 12.3 12.3. 1 两数和乘以这两数的差

10. 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形．
(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积； (2)这个题从几何角度验证了哪个公式？
解：(1)阴影部分的面积为 a2－b2 或(a＋b)(a－b)； (2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
7. 如果(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，那么 a＋b 的值为 ±8 ．
【解析】∵(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，∴(a＋b)2－1＝63， (a＋b)2＝64，∴a＋b＝±8.
8. 计算：
(1)(12x－31)(－13－12x)；解：原式＝19－14x2； (2)12(1＋21)(1＋14)(1＋116)；解：原式＝(1－12)(1＋21)(1＋14)(1＋116)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/12021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月1日星期三2021/9/12021/9/12021/9/1 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/12021/9/1September 1, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/12021/9/12021/9/12021/9/1
3. 平方差公式逆用：a2－b2＝ (a＋b)(a－b)

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12.3.1 两数和乘以这两数的差 大赛获奖教学课件

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第12章 12.3 12.3. 1 两数和乘以这两数的差

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