(新)江苏版2018年高考数学一轮复习专题2.6函数性质综合运用测

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2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题2.2 函数定义域、值域(讲)

专题2.2 函数定义域、值域【考纲解读】【直击考点】题组一常识题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D 【解析】y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意．2．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 【解析】由x ∈[－2，3]，得x ＋1∈[－1，4]，由2x －1∈[－1，4]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________．【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]．题组二常错题4．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【解析】由于函数y ＝f (cos x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，所以u ＝cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ∈[0，1]，92－32x ，x ∈（1，3]，当t ∈[0，1]时，f [f (t )]∈[0，1]，则实数t 的取值范围是______________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1【解析】因为t ∈[0，1]，所以f (t )＝3t ∈[1，3]，所以f [f (t )]＝f (3t)＝92－32·3t ∈[0，1]，即73≤3t≤3，所以log 373≤t ≤1.6．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 【解析】函数的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，符合题意；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，解得0<m <34.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.题组三常考题7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个．【答案】98．函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________．【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2.9．设函数f (x )在区间[0，1]上有意义，若存在x ∈R 使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有意义，则a 的取值范围为________. 【答案】 [－2，－1].【知识清单】1 函数的定义域1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R ；（4）0x 中的底数不等于0；（5）指数函数x y a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >；（7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭； 2.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈; （2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x = 的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义. 2 函数的值域函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的定义域【1-1】函数y（＋）的定义域为_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函数22-25+1+)cos (=x x log y 的定义域为_________．【答案】33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件，自变量x 需满足22log cos 10250x x +≥⎧⎨-≥⎩得1cos 22,23355x k x k k Z x ππππ⎧≥⇒-+≤≤+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ 所以33x ππ-≤≤故而所求函数定义域为33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【1-3】设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为________．【答案】()()2,11,2 --【解析】由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()2,11,2 -- 【1-4】若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．【答案】[－1,0]【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复．考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域．【答案】[0,15]．【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．【2-3】求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【2-4】求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1(,]2-∞.法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤=即函数的值域是1(,]2-∞.【2-5】求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件．如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---，解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2【解析】∵f (－1)＝4－1＝14，∴f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 2 14＝－2.。

(新)江苏版2018年高考数学一轮复习专题2.6函数性质综合运用练

专题2.6 函数性质综合运用1. 【2017山东改编，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是【答案】(][)0,13,+∞2. 【2017天津改编，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数， ()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为【答案】b a c <<【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<．3. 【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭4. 【2017北京，理13】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）5. 【2017山东，理15】若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+【答案】①④6. 【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.【答案】1Q ；2.p【解析】7. 【2017浙江，17】已知αR ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【答案】9(,]2-∞ 【解析】8【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数的取值范围是 ▲ . 【答案】1[1,]2-9. 【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】810.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， 0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．【答案】(25,34)【解析】令－12x ＋6＝0，得x ＝12.因为a ，b ，c 互不相等，令a<b<c ，作出f(x)的图像，如图所示．令f(a)＝f(b)＝f(c)＝t ，则根据图像可得1<a<10，b ＋c ＝2×12＝24，故a ＋b ＋c∈(25,34)．11.偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是________．【答案】4【解析】由f(x －1)＝f(x ＋1)可知T ＝2.∵x∈[0,1]时，f(x)＝x ，又∵f(x)是偶函数，∴可得图像如图．∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是4个．12.已知函数f (x )＝2x(x ∈R )，且f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数．若不等式2ag (x )＋h (2x )≥0对任意x ∈[1,2]恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1712，＋∞13.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x 的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.14.已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为________．【答案】0【解析】令g (x )＝f (x )－2＝a log 2x －b log 3x ，可得g (x )满足g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－g (x )．所以由g ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014－2＝2，得g (2 014)＝－2，所以f (2 014)＝0.。

(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3_2导数的应用第3课时导数与函数的综合问题教师

第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式有关的问题命题点1 解不等式例1 设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′x －f xx 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________. 答案 (－∞，－2)∪(0，2) 解析 ∵当x >0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′<0，∴φ(x )＝f xx为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数. 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2). 命题点2 证明不等式例2 (2016·全国丙卷)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ；(3)设c >1，证明：当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x.(1)解由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. (2)证明由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x－1，即1<x －1ln x<x .(3)证明由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x，则g ′(x )＝c －1－c xln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln c ln c.当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.由(2)知1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. 命题点3 不等式恒成立或有解问题例3 已知函数f (x )＝1＋ln xx.(1)若函数f (x )在区间(a ，a ＋12)上存在极值，求正实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1－ln x x 2＝－ln xx2，令f ′(x )＝0，得x ＝1；当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 所以x ＝1为极大值点，所以0<a <1<a ＋12，故12<a <1，即实数a 的取值范围为(12，1). (2)当x ≥1时，k ≤x ＋11＋ln xx恒成立，令g (x )＝x ＋11＋ln xx，则g ′(x )＝1＋ln x ＋1＋1xx －x ＋11＋ln xx 2＝x －ln xx 2. 再令h (x )＝x －ln x ，则h ′(x )＝1－1x≥0，所以h (x )≥h (1)＝1，所以g ′(x )>0，所以g (x )为单调增函数，所以g (x )≥g (1)＝2，故k ≤2.所以实数k 的取值范围是(－∞，2]. 引申探究本题(2)中，若改为存在x 0∈[1，e]，使不等式f (x )≥kx ＋1成立，求实数k 的取值范围.解当x ∈[1，e]时，k ≤x ＋11＋ln xx有解，令g (x )＝x ＋11＋ln xx，由例3(2)解题知，g (x )为单调增函数，∴g (x )max ＝g (e)＝2＋2e，∴k ≤2＋2e ，即实数k 的取值范围是(－∞，2＋2e ].思维升华 (1)利用导数解不等式的思路已知一个含f ′(x )的不等式，可得到和f (x )有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式.(2)利用导数证明不等式的方法证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x ).(3)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.(2015·福建)已知函数f (x )＝ln x －x －122.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1).(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞).由f ′(x )＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0.解得0＜x ＜1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞). 则有F ′(x )＝1－x2x.当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.(3)解由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意. 当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)，则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意.当k ＜1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋1－k x ＋1x.由G ′(x )＝0，得－x 2＋(1－k )x ＋1＝0. 解得x 1＝1－k －1－k 2＋42＜0，x 2＝1－k ＋1－k 2＋42＞1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )＞0，故G (x )在(1，x 2)内单调递增.从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )＞G (1)＝0，即f (x )＞k (x －1).综上，k 的取值范围是(－∞，1). 题型二利用导数研究函数零点问题例4 (2016·扬州模拟)设函数f (x )＝x e x－a sin x cos x (a ∈R ，其中e 是自然对数的底数). (1)当a ＝0时，求f (x )的极值；(2)若对于任意的x ∈[0，π2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围；(3)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间(0，π2)上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.解 (1) 当a ＝0时，f (x )＝x e x，f ′(x )＝e x(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1. 列表如下：↘↗所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝－1e，无极大值.(2)①当a ≤0时，由于对于任意x ∈[0，π2]，有sin x cos x ≥0，所以f (x )≥0恒成立，即当a ≤0时，符合题意；②当0<a ≤1时，因为f ′(x )＝e x(x ＋1)－a cos 2x ≥e 0(0＋1)－a cos 0＝1－a ≥0，所以函数f (x )在[0，π2]上为增函数.所以f (x )≥f (0)＝0，即当0<a ≤1时，符合题意； ③当a >1时，f ′(0)＝1－a <0， f ′(π4)＝4e(π4＋1)>0，设f ′(α)＝0，其中α是f ′(x )＝0中最接近x ＝0的零点. 所以f (x )在(0，α)上为减函数，此时f (x )<f (0)＝0，即当a >1时，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1].(3)不存在实数a ，使得函数f (x )在区间(0，π2)上有两个零点.由(2)知，当a ≤1时，f (x )在(0，π2)上是增函数，且f (0)＝0，故函数f (x )在区间(0，π2)上无零点.当a >1时，f ′(x )＝e x(x ＋1)－a cos 2x . 令g (x )＝e x(x ＋1)－a cos 2x ，则g ′(x )＝e x (x ＋2)＋2a sin 2x ，当x ∈(0，π2)时，恒有g ′(x )>0，所以g (x )在(0，π2)上是增函数.由g (0)＝1－a <0，g (π2)＝2e π(π2＋1)＋a >0，故g (x )在(0，π2)上存在唯一的零点x 0，即方程f ′(x )＝0在(0，π2)上存在唯一解x 0.且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，π2)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，π2)上单调递增.当x ∈(0，x 0)时，f (x )<f (0)＝0，即f (x )在(0，x 0)上无零点；当x ∈(x 0，π2)时，由于f (x 0)<f (0)＝0，f (π2)＝π22e π>0，所以f (x )在(x 0，π2)上有唯一零点.所以，当a >1时，f (x )在(0，π2)上有一个零点.综上所述，不存在实数a ，使得函数f (x )在区间(0，π2)上有两个零点.思维升华利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题.可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数.(2016·南通模拟)已知函数f (x )＝a ＋xln x (a ∈R ).(1)求f (x )的单调区间；(2)试求f (x )的零点个数，并证明你的结论.解 (1)由f (x )＝a ＋x ln x 知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝12x (2＋ln x ).令f ′(x )＝0，得x ＝1e2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，函数f (x )的单调减区间为(0，1e 2)，单调增区间为(1e 2，＋∞).(2)由(1)知[f (x )]min ＝f (1e 2)＝a －2e.①若a >2e ，因为f (x )≥[f (x )]min ＝f (1e 2)＝a －2e >0，所以此时函数f (x )的零点个数为0. ②若a ＝2e ，则[f (x )]min ＝f (1e 2)＝a －2e＝0，而函数f (x )在(0，1e 2)上是单调减函数，在(1e2，＋∞)上是单调增函数，即当0<x <1e 2时，f (x )>f (1e 2)＝0；当x >1e 2时，f (x )>f (1e2)＝0.于是，此时f (x )有唯一零点1e 2，即零点个数为1.③若a <2e ，则[f (x )]min ＝f (1e 2)＝a －2e <0.当a ≤0时，因为当x ∈(0，1e 2]时，f (x )＝a ＋x ln x <a ≤0，所以函数f (x )在区间(0，1e2]上无零点；因为函数f (x )在[1e 2，＋∞)上是单调增函数，且f (1e 2)＝a －2e <0，而e－2a∈(1e2，＋∞)，f (e －2a )＝a (1－2e －a)≥0，所以函数f (x )在(1e 2，e －2a)上恰有一个零点.于是函数f (x )在[1e 2，＋∞)上恰有一个零点.从而当a ≤0时，函数f (x )的零点个数为1；当0<a <2e时，因为函数f (x )在[1e 2，＋∞)上是单调增函数，且f (1)＝a >0，f (1e 2)＝a －2e<0，所以函数f (x )在(1e 2，1)上恰有一个零点，于是函数f (x )在(1e2，＋∞)上也恰有一个零点.因为函数f (x )在(0，1e 2)上是单调减函数，且f (1e 2)＝a －2e <0，而441e e a a-=∈(0，1e2)，且f (4ea-)＝24eaa a ->a －4a ·22a 2＝0(利用结论：“当x >0时，e x >x 2”进行放缩)，此时，函数f (x )在(0，1e2)上恰有一个零点，故当0<a <2e 时，函数f (x )的零点个数为2.综上，当a >2e 时，函数f (x )的零点个数为0；当a ＝2e 或a ≤0时，函数f (x )的零点个数为1；当0<a <2e 时，函数f (x )的零点个数为2.题型三利用导数研究生活中的优化问题例5 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6).于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，当x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值. 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 思维升华利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x ).(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；若函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点. (4)回归实际问题作答.(2016·苏北四市调研)经市场调查，某商品每吨的价格为x (1<x <14)百元时，该商品的月供给量为y 1吨，y 1＝ax ＋72a 2－a (a >0)；月需求量为y 2万吨，y 2＝－1224x 2－1112x ＋1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若a ＝17，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的取值范围.解 (1) 若a ＝17，由y 2>y 1，得－1224x 2－1112x ＋1>17x ＋72(17)2－17，解得－40<x <6 . 因为1<x <14，所以1<x <6. 设该商品的月销售额为g (x )，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧y 1·x ，1<x <6，y 2·x ，6≤x <14.当1<x <6时，g (x )＝17(x －12)x <g (6)＝337.当6≤x <14时，g (x )＝(－1224x 2－1112x ＋1)x ，则g ′(x )＝－1224(3x 2＋4x －224)＝－1224(x －8)(3x ＋28)，由g ′(x )>0，得x <8，所以g (x )在[6，8)上是增函数，在(8，14)上是减函数，故当x ＝8时，g (x )有最大值g (8)＝367.(2)设f (x )＝y 1－y 2＝1224x 2＋(1112＋a )x ＋72a 2－1－a ，因为a >0，所以f (x )在区间(1，14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，则函数f (x )在区间[6，14)上有零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f6≤0，f 14>0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋10a －117≤0，72a 2＋13a >0，解得0<a ≤17.答 (1)若a ＝17，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大；(2)若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a 的取值范围是(0，17].一审条件挖隐含典例 (16分)设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0，2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (2)如果对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围.(1)存在x 1，x 2∈[0，2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M ↓(正确理解“存在”的含义) [g (x 1)－g (x 2)]max ≥M↓挖掘[g (x 1)－g (x 2)]max 的隐含实质g (x )max －g (x )min ≥M↓求得M 的最大整数值(2)对任意s ，t ∈[12，2]都有f (s )≥g (t )↓(理解“任意”的含义)f (x )min ≥g (x )max↓求得g (x )max ＝1ax＋x ln x ≥1恒成立 ↓分离参数aa ≥x －x 2ln x 恒成立↓求h (x )＝x －x 2ln x 的最大值a ≥h (x )max ＝h (1)＝1↓a ≥1规范解答解 (1)存在x 1，x 2∈[0，2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M . [2分]由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x (x －23).令g ′(x )>0，得x <0或x >23，又x ∈[0，2]，所以g (x )在区间[0，23]上单调递减，在区间[23，2]上单调递增，所以g (x )min＝g (23)＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.[7分](2)对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间[12，2]上，函数f (x )min ≥g (x )max .[9分]由(1)可知在区间[12，2]上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在区间[12，2]上，f (x )＝a x＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立.设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在区间[12，2]上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0；当12<x <1时，h ′(x )>0.[14分]即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间(12，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以h (x )max＝h (1)＝1，所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞).[16分]1.函数f (x )＝(x －1)2(x －2)2的极大值是________. 答案116解析 ∵f (x )＝(x －1)2(x －2)2， ∴f ′(x )＝2(x －1)(2x －3)(x －2).令f ′(x )＝0，得可能的极值点x 1＝1，x 2＝32，x 3＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↘∴f (32)＝116是函数的极大值.2.已知曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线的斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时切点的坐标为________. 答案 (1，1)解析函数y ＝x 2＋a ln x (a ＞0)的定义域为{x |x ＞0}，y ′＝2x ＋ax≥22a ＝4，则a ＝2，当且仅当x ＝1时，“＝”成立，将x ＝1代入曲线方程得y ＝1，故所求的切点坐标是(1，1). 3.如果不等式ln kx x ≤1e 对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为____________.答案 (0，1]解析由题意知k ＞0，令f (x )＝ln kxx(x >0)，则f (x )＝ln kx x ＝ln k ＋ln xx，因此f ′(x )＝1－ln kx x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝e k ，且函数f (x )在x ＝e k处取得极大值，也是最大值，由题意有k e ≤1e，所以0<k ≤1.4.若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件. 答案 3解析 y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.故当x ＝3时，该商品的年利润最大.5.(2017·南京质检)直线x ＝t 分别与函数f (x )＝e x＋1的图象及g (x )＝2x －1的图象相交于点A 和点B ，则AB 的最小值为________. 答案 4－2ln 2解析由题意得，AB ＝|e x＋1－(2x －1)| ＝|e x －2x ＋2|，令h (x )＝e x－2x ＋2，则h ′(x )＝e x－2，所以h (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (ln 2)＝4－2ln 2>0，即AB 的最小值是4－2ln 2.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2xx ≤0，ln x ＋1x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是____________. 答案 [－2，0] 解析 |f (x )|≥ax ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－－x 2＋2x ≥ax x ≤0，1ln x ＋1≥ax x >0， 2成立.①由(1)得x (x －2)≥ax 在区间(－∞，0]上恒成立. 当x ＝0时，a ∈R ；当x <0时，有x －2≤a 恒成立，所以a ≥－2.故a ≥－2.②由(2)得ln(x ＋1)－ax ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln(x ＋1)－ax (x >0)，则h ′(x )＝1x ＋1－a (x >0)，可知h ′(x )为减函数. 当a ≤0时，h ′(x )>0，故h (x )为增函数，所以h (x )>h (0)＝0恒成立；当a ≥1时，因为1x ＋1∈(0，1)，所以h ′(x )＝1x ＋1－a <0，故h (x )为减函数，所以h (x )<h (0)＝0恒成立，显然不符合题意；当0<a <1时，对于给定的一个确定值a ，总可以至少找到一个x 0>0，满足h (x 0)＝ln(x 0＋1)－ax 0<0成立.如a ＝12时，取x 0＝4，则h (x 0)＝ln 5－2<0成立，可知0<a <1时，不符合题意.故a ≤0.由①②可知a 的取值范围是[－2，0].7.若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0，2]上有最大值f (2)，则a 的取值范围是________.答案 [－1，＋∞)解析 f ′(x )＝2ax ＋4，由f (x )在[0，2]上有最大值f (2)，则要求f (x )在[0，2]上单调递增，则2ax ＋4≥0在[0，2]上恒成立.当a ≥0时，2ax ＋4≥0恒成立；当a <0时，要求4a ＋4≥0恒成立，即a ≥－1.∴a 的取值范围是[－1，＋∞).8.(2016·苏州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式e x f (x )>e x＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为________________. 答案 (0，＋∞)解析设g (x )＝e x f (x )－e x(x ∈R )，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]，∵f (x )＋f ′(x )>1，∴f (x )＋f ′(x )－1>0， ∴g ′(x )>0，∴y ＝g (x )在定义域上单调递增， ∵e x f (x )>e x＋3，∴g (x )>3，又∵g (0)＝e 0f (0)－e 0＝4－1＝3， ∴g (x )>g (0)，∴x >0.9.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0且x 0>0，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－2)解析当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1有两个零点，不合题意，故a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a.若a >0，由三次函数图象知f (x )有负数零点，不合题意，故a <0. 由三次函数图象及f (0)＝1>0知，f (2a)>0，即a ×(2a )3－3×(2a)2＋1>0，化简得a 2－4>0，又a <0，所以a <－2.10.已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0，1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 [4，＋∞)解析当x ∈(0，1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x 3，设g (x )＝3x －1x3，x ∈(0，1]，g ′(x )＝3x 3－3x －1·3x2x 6＝－6x －12x4. g ′(x )与g (x )随x 的变化情况如下表：x (0，12)12 (12，1) g ′(x ) ＋ 0 － g (x )↗极大值4↘因此g (x )的最大值为4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞).11.(2016·盐城模拟)已知f (x )＝(1－x )e x－1. (1)求函数f (x )的最大值； (2)设g (x )＝f xx，x >－1且x ≠0，证明：g (x )<1. (1)解 f ′(x )＝－x e x.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 所以f (x )的最大值为f (0)＝0.(2)证明由(1)知，当x >0时，f (x )<0，g (x )<0<1. 当－1<x <0时，g (x )<1等价于f (x )>x . 设h (x )＝f (x )－x ，则h ′(x )＝－x e x－1. 当x ∈(－1，0)时，0<－x <1，0<e x<1，则0<－x e x<1，从而当x ∈(－1，0)时，h ′(x )<0，h (x )在(－1，0)上单调递减.当－1<x <0时，h (x )>h (0)＝0，即g (x )<1. 综上，当x >－1且x ≠0时总有g (x )<1.。

(江苏专用)2018年高考数学一轮复习第二章函数 2.2 函数的基本性质课件

3
.
22
思路分析利用函数的奇偶性将原不等式转化为f(2|a-1|)>f( 2),结合函数f(x)在(0,+∞)上单调递减即可求得a的取值范围.
C组教师专用题组
1.(2013四川理改编,10,5分)设函数f(x)= ex x a (a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sin x上存
a,b,c的大小关系为
.(用“<”连接)
答案 b<a<c
解析本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较.
奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时, f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时, f(x1)>f(x2)>0,∴x1 f(x1)>x2 f(x2),∴g(x) 在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2,由g(x)在 (0,+∞)上单调递增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c.
3.(2017江苏泰州中学第一学期第一次质量检测,10)已知函数f(x)=
x x

ln x 5,0 9 m, x
x 1
x
1
1,
的值域为R,
则实数m的取值范围为
.
答案 m≤1
解析当0<x≤1时,f(x)=x+ln x+5∈(-∞,6],当x>1时,f(x)=x+ 9 +m=x+1+ 9 +m-1≥2
在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是

(江苏专用)2018年高考数学一轮复习第二章函数 2.6 函数模型及其应用课件

|x-01|+
2
|1-y|
= 1 -1 (y-x),又y-x1> ,∴|f(x)-f(y1)|<1 -1 1× = .
22
2
22 2 4
综上所述,对所有x,y∈[0,1],都有|f(x)-f(y)|< 1 .因此,k≥1 ,即k的最小值为1 .
4
4
4
3.(2013课标全国Ⅰ理,21,12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x≥-2时, f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
t3
,B
3t 2
,.0
0,
3
000 t2
故f(t)=
32=t 2
3
,t0t20∈0 [52 ,2032].
t2
4 106 t4
②设g(t)=t2+ 41,则06 g'(t)=2t- .1令6g1'(0t6)=0,解得t=10 .
t4
t5
2
当t∈(5,10 2)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;
解得n> 24 ,
5
又∵n∈N*, ∴n≥5, ∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.
5.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e
=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题2.11 函数与方程(测)-数学备课大师【全免费】

专题2.11 函数与方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()221,0,0x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________．【答案】1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知函数311,,()11,,x f x x x x ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩若关于x的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．【答案】1(0,)2【解析】3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2,[0,1),()11|3|,[1,),xx f x x x x -⎧∈⎪=+⎨⎪--∈+∞⎩则函数1()()F x f x π=-的所有零点之和为．【答案】112π-【解析】试题分析：由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次为12345,,x x x x x ，，，满足1234516,,612x x x x x π+=-=+=-，因此所有零点之和为112π-4. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】23a <≤ 【解析】试题分析：()()0()1f x g x f x -=⇒=，所以要有4个零点，需满足21,1+11,23(1)1,1,a a a a a ⎧>-≤⎪⇒<≤⎨->>⎪⎩5. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知函数()()23,0(01)log 11,0a x a x f x a a x x ⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【解析】26. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当()1,4x ∈-时，x x x f 2)(2-=,则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________. 【答案】605 【解析】7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】若函数2,0ln ,0x a x y x a x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[)0,2ln2+ 【解析】试题分析:由题设可知函数a x y -=2与函数x a x y ln +-=在给定的区间]0,2(-和区间)2,0(内分别有一个根,结合图象可得⎪⎩⎪⎨⎧>+->-≤-02ln 2040a a a ,即⎪⎩⎪⎨⎧+<<≥2ln 240a a a ,所以2ln 20+<≤a ,故应填答案[)0,2ln 2+.8.已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1仅有一个零点，则m 的取值范围为 . 【答案】m ＝－29. [x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是．【答案】2【解析】作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B.10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点. ②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题4.5_函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(练)(有解析)

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【基础巩固】一、填空题1．(2016·全国Ⅱ卷改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．【答案】x ＝k π2＋π6(k ∈Z )2．(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．【答案】2，π3【解析】由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3.3．(2017·苏北四市调研)如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是________．【答案】4【解析】设函数的周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA →·OB →＝3T 216－3＝0，解得T ＝4.4．(2017·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数f (x )的图象过原点，则φ＝________.【答案】3π4【解析】将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f (x )的图象过原点，则f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝3π4.5．(2017·南京调研)如图，它是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0,2π))图象的一部分，则f (0)的值为________．【答案】3226．(2017·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】20.5【解析】因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －，所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为________．【答案】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π68．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是________．【答案】5【解析】函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝18.由log 12x ＝－3，可得x ＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f (x )有5个零点．二、解答题9．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中x ∈R ，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当f (x )的最小正周期为π时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x 的值．10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．【能力提升】11．(2017·南京模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，给出下列结论：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象．其中正确的是________(填序号)．【答案】③12．(2017·泰州一模)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 【答案】π214．(2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的部分图象与y 轴交于点(0，3)，最小正周期是π.(1)求ω，φ的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将点(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝32， ∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6.∵最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 中点，y 0＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.。

(新)江苏版2018年高考数学一轮复习专题2.5函数图像测

专题2.5 函数图像班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)．1. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知函数()()23,0(01)log11,0ax a xf x a ax x⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R上单调递减，且关于x的方程()2f x x=-恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_________.【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【解析】3231≤≤a或43=a,故应填答案123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭.3a2121y=2-x2Oyx2. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】定义在R上的函数()f x满足()()516f x f x++=，当()1,4x∈-时，xxxf2)(2-=,则函数()f x在[]0,2016上的零点个数是__________.【答案】605【解析】3. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】若函数2,0ln,0x a xyx a x x⎧-≤=⎨-+>⎩，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a的取值范围为__________．【答案】[)0,2ln2+【解析】试题分析:由题设可知函数axy-=2与函数xaxy ln+-=在给定的区间]0,2(-和区间)2,0(内分别有一个根,结合图象可得⎪⎩⎪⎨⎧>+->-≤-2ln24aaa,即⎪⎩⎪⎨⎧+<<≥2ln24aaa,所以2ln20+<≤a,故应填答案[)0,2ln2+.4. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】设函数22,0,(),0,x x xf xx x⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a≤，则实数a的取值范围是．【答案】2a≤【解析】试题分析：结合图像知(())2()22f f a f a a≤⇒≥-⇒≤5. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】定义在R上的奇函数()f x，当0x≥时，2,[0,1),()11|3|,[1,),xxf x xx x-⎧∈⎪=+⎨⎪--∈+∞⎩则函数1()()F x f xπ=-的所有零点之和为．【答案】112π-【解析】6.若函数y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点________．【答案】(4,4)【解析】函数y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的．故y＝f(x)的图象经过点(4,4)．7.一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为________(填入正确图象的序号)．【答案】③【解析】∵x＋y＝V，∴y＝－x＋V，∴由y ＝－x ＋V 的图象可知应为③.8.已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.9.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示．对满足0<x 1<x 2<1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f (x 1)－f (x 2)>x 1－x 2； ②f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2； ③x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ④f x 1＋f x 22＜f (x 1＋x 22)．其中正确结论的序号是________．【答案】③④ 【解析】10.函数y＝11－x的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．【答案】8【解析】如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。

2018年高考数学一轮总复习专题2.6 对数及对数函数练习(含解析)文

专题2.6 对数及对数函数真题回放1. 【2017高考天津文第6题】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【考点】1.指数，对数；2.函数性质的应用【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，()2log 5a f =，再比较0.822log 5,log 4.1,2比较大小.2.【2017高考全国卷文第9题】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ． ()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．【考点】函数性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 3. 【2017高考全国卷文第8题】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D4.【2015高考上海卷文第8题】方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【解析】依题意)834(log )59(log 1212-⋅=---x x ，所以8345911-⋅=---x x ，令)0(31>=-t t x ，所以0342=+-t t ，解得1=t 或3=t ，当1=t 时，131=-x ，所以1=x ，而05911<--，所以1=x 不合题意，舍去；当3=t 时，331=-x ，所以2=x ，045912>=--，012312>=--，所以2=x 满足条件，所以2=x 是原方程的解. 【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.5.【2015高考湖南卷文第8题】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A 【解析】【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数()f x 在(a ，b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认()'f x 在(a ，b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.6.【2015高考山东卷文第7题】在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）14【答案】A 【解析】由121-1log 2x ≤+≤（）1得，11122211113log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤（），所以，由几何概型概率的计算公式得，332204P -==-，故选A .【考点定位】1.几何概型；2.对数函数的性质.【名师点睛】本题考查几何概型及对数函数的性质，在理解几何概型概率计算方法的前提下，解答本题的关键，是利用对数函数的单调性，求得事件发生的x 范围. 本题属于小综合题，较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识. 7.【2015高考天津卷文第7题】已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（） (A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.【名师点睛】函数是高考中的重点与热点,客观题中也会出现较难的题,解决此类问题要充分利用相关结论.函数()0,1x my ab a a -=+>≠的图像关于直线x m = 对称,本题中求m 的值,用到了这一结论,本题中用到的另一个结论是对数恒等式:()log 0,1,0a Na N a a N =>≠>.考点分析融会贯通题型一对数式计算典例1(吉林省实验中学2016-2017学年高二下学期月考)化简．【变式训练1】(湖南省醴陵二中、醴陵四中2016-2017学年高二下学期期中)求下列表达式的值 (1)(2)()00.5239-7.5()(0.5)lg 25lg 4log 4-+-++-34【解析】根据实数指数幂的运算公式，即可求解上式的值.考点：实数指数幂的运算.【变式训练2】 (江西省2017届百所重点高中高三模拟试题文)设函数()39xxf x =+，则()3log 2f =______．【答案】6 【解析】()2233log log 23log 39246f =+=+=知识链接：对数的运算：①log MN a ＝log N M a a log + ②log N M NMa a alog log -= ③M n M a na log log =（M 、N ＞0, a ＞0, a ≠1）推广：M mnM a n a m log log =④换底公式：aNN b b a log log log =（a ，b ＞0，a ≠1，b ≠1）典例 2 (四川省简阳市2016-2017学年高一上学期期末)已知0.12a =，72log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A. c a b <<B. c b a <<C. b a c <<D. b c a << 【答案】A【解析】0.40.1221b =>>， 7772log 2log 4log 71=<=，所以c a b <<.【变式训练1】(2015-2016学年贵州花溪清华中学)设248log 3,log 6,log 9a b c ===,则下列关系中正确的是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】A 【解析】:c b a >>,故选A.考点：对数【变式训练2】(浙江省诸暨市牌头中学高一练习)已知0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】C知识链接：利用对数函数比较大小问题的处理方法：①看类型 ②同底用单调性 ③其它类型找中间量．零和负数无对数，是求函数定义域的又一条原则．典例3 (浙江省诸暨市牌头中学高一练习)324941log 7log 9log log 2a ⋅⋅=，则a =________【答案】2【变式训练】 (必修1P63习题5改编)若log 34·log 48·log 8m=log 416，则m= . 【答案】9【解析】由已知有lg4lg3·lg8lg4·lg lg8m=2⇔lg m=2lg 3⇔m=9.解题技巧与方法总结当对数函数的底数与指数之间有倍数或者次方数的关系时，此类题目需要巧妙运用对数函数的换底公式，从而达到分子分母相消的目的，简化计算题型二对数函数的图像与性质命题点1 对数函数的图像典例1 (2015·梅州一中)若函数()()1,023log ≠>-=a a x y a 的图象经过定点A ，则点A 的坐标是 . 【答案】(1，0)【解析】当3x-2=1，即x=1时，无论a 为何值，y=0，故函数的图象过定点(1，0).知识链接：对数函数（1）对数函数定义：形如y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）的函数，叫做对数函数．（2）对数函数的图象与性质【变式训练】(河北省廊坊市2016-2017学年高一上学期期末考试)函()log (23)4(01)a f x x a a =-->≠且的图象恒过定点（）A.B.C.D.【答案】D典例 2 (2015-2016学年海南省海南中学高二下学期期末数学（文）)函数()l o g 1(01)a f x x a =+<<的图象大致为（）【答案】A【解析】由对数函数性质可知函数过定点()1,1，当0x >时为减函数，且函数满足()()f x f x -=，函数为偶函数，因此A 正确考点：函数图像与性质解题技巧与方法总结利用图象解题具有形象直观性.作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象【变式训练】(海南省海南中学、文昌中学2017届高三下学期联考数学（文）)函数()af x x =满足()24f =，那么函数）A. B. C. D.【答案】C的定义域为{|1}x x ≠-，可知选项为C.典例 3 (2015-2016学年江苏徐州沛县中学高二下学期质检二数学（理）)已知函数在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是．【答案】4a ≤ 【解析】解题技巧与方法总结对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合来求解.一些含对数的方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数的图象问题，利用数形结合法求解.【变式训练】(2016-2017年安徽阜阳临泉县一中高一理12月考)已知函数（1）若()f x 定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在a R ∈，使()f x 在(),2-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围；不存在，说明理由．【答案】（1（2（3）不存在这样的实数a ．考点：对数函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了对数函数的图象与性质及其应用，其中解答中涉及到对数函数的定义域、值域，对数函数的单调性及其应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记对数函数的图象与性质，合理列出不等式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．知识链接：对数函数图象特征1,0≠>a a 时，)(log x y a -=与x y a log =的图象关于y 轴对称；x x x y a aalog 1log log 1-===，x y a1log =与x y a log =的图象关于x 轴对称；对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴，当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）．命题点2对数函数的性质典例若函数()ln(4)f x ax =+在区间(2,4)上是减函数，则a 的取值范围是________ 【答案】10a -≤<考点：对数函数的单调性【变式训练1】设定义在区间(,)b b -上的函数1()lg 12axf x x+=-是奇函数(,,2)a b R a ∈≠-且，则ba 的取值范围是（）A. (B. 2⎣C. (D. ( 【答案】A【解析】由题，定义在区间(,)b b -上的函数1()lg12axf x x+=-是奇函数，()()f x f x ∴-=- 11lglg 01212ax axx x -+∴+=+- 11lg()01212ax axx x-+∴⨯=+-2221142a x x a -=-∴= 12()lg12x f x x +=-，令12012x x +>-，可得1122x -<<，102b ∴<≤∴b a 的取值范围是(【变式训练2】(2016~2017浙江省诸暨市牌头中学练习17)已知函数211()log 1xf x x x+=--，求函数()f x 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性【答案】{}|110x x x -<<≠且奇函数在(1,0),(0,1)-是减函数【解析】由0x ≠且101xx+>-得定义域{}|110x x x -<<≠且 (-)()f x f x =-奇函数212()log (1)1f x x x=--+- ()f x ∴在(1,0),(0,1)-是减函数命题点3对数函数的图像与性质典例1 (2016~2017高一数学人教A 版)已知(5)3,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围为_________ 【答案】5,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】()f x 是R 上的增函数，则当1x ≥时，log a y x =是增函数，1a ∴>当1x <时，函数(5)3y a x a =--是增函数，50,5a a ∴->∴< 由5)13log 1a a a -⨯-≤，得54a ≥，554a ∴≤< 考点：分段函数的单调性【变式训练1】(2017届江西鹰潭一中高三上学期月考二数学理)已知20.5()log ()f x x mx m =--．（1）若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间上是增函数，求实数m 的取值范围．【答案】（1）0m ≥或4m ≤-；（2【解析】2400m m m ⇒∆=+≥⇒≥或4m ≤-．（2考点：函数的值域，复合函数的单调性．【变式训练2】(2017届河北省武邑中学高三上学期周考文科)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2[a a ，上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（）ABCD【答案】A考点：对数函数的图象和性质及运用.【易错点晴】指数函数对数函数是高中数学中重要的基本初等函数,指数函数与对数函数的图象和性质不仅是高中数学的重要内容,也是解答数学问题的重要思想和方法.解答本题时,要充分运用题设条件,借助当因10<<a ,故对数函数)10(log )(<<=a x x f a 是单调递减函数这一性质,分别求出函数)10(log )(<<=a x x f a 的最大值和最小值a a f x f a f x f a 2log )2()(,1)()(min max ====.最后通过典例 2 已知函数21log ,1()11,0.2xx x f x x ⎧⎛⎫≠0⎪⎪+⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩若()2(3)2f a f a －＞，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞)【解析】画图象可得()f x 是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由()2(3)2f a f a －＞，得232a a －＜，即2230a a ＋－＞，解得312a a <->或.【变式训练】已知函数3,()(1),0.x x f x ln x x ⎧≤0=⎨+>⎩若()2(2)f x f x －＞，则实数x 的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】画图象可知()f x 在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，于是由()2(2)f x f x －＞，得22x x －＞，即220x x ＋－＜，解得21x -＜＜.解题技巧与方法总结解函数不等式时，要充分利用函数的单调性和奇偶性，转化为代数不等式(组)，从而求解.对于不等式恒成立问题，通常利用分离参数的方法，转化为研究函数的最值(值域) 题型三对数函数的综合运用典例1(北京市西城区2017届高三4月统一测试（一模）理)个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【变式训练】(2017~2018学年高中数学章末分层突破) ()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，2016()2016log x f x x =+，则函数()f x 的零点的个数是________【答案】3【解析】作出函数1220162016,log x y y x ==-的图像，可知函数2016()2016log xf x x =+在(0,)x ∈+∞内存在一个零点，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(,0)x ∈-∞上也有一个零点，又(0)0f =，所以函数()f x 的零点的个数是3个典例2 (2016~2017高一数学人教A 版)函数2()log (32)xf x =+的值域为（）A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】322x+>Q22()=log (32)log 21xf x ∴+>=()f x ∴的值域为()1,+∞考点：指数、对数函数值域、复合函数值域【变式训练】函数()xf x a =+log (1)a x +在[01],上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 . 【答案】12典例3设函数12()421,()lg(4+1)xx f x g x ax x +=-+-=-，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为（）【答案】4a ≤【解析】2()(2)221x x f x =-+⋅-，令2xt =，则22()21(1)0f t t t t =-+-=--≤，设()g x 值域为A ，因为对任意1x R ∈都存在2x R ∈使12()()f x g x =，所以(],0A -∞⊆，设241y ax x =-+的值域为B ，则(]0,1B ⊆，显然当0a =时，上式成立；当0a >时，1640a =-≥V 解得04a <≤，当0a <时，max 41614a y a -=≥即max 411y a=-≥恒成立，综上4a ≤知识链接：对数函数与指数函数的关系对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）是指数函数xa y = )1,0(≠>a a 且的反函数．互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称．知识交汇1.(2017届河北省武邑中学高三上学期周考理科)为（）A ．]2,(--∞B ．),2[+∞-C ．]2,(-∞D ．),2[+∞ 【答案】A当且仅当11=-x ,即2=x 时取等号), A.【交汇技巧】本题考察基本不等式，复合函数的值域、对数函数的图像与性质等等，解答本题的关键是将真数部分凑成基本不等式的形式，求出真数部分所对应的值域，再求出整个复合函数的值域，本题需要注意运用基本不等式等号是否能取以及对数函数中真数大于零 2.(2015-2016学年河北省冀州市中学高一下开学考试)函数()lg(33)xxf x a -=+-的值域是R ,则实数a 的取值范围是________．【答案】[)2,+∞ 【解析】考点：1、基本不等式；2、对数函数的性质．【交汇技巧】本题主要考查基本不等式与对数函数的性质问题，本题解题的关键“是函数的值域为R ”这一条件的等价转换，求函数的值域问题转化为集合间的关系问题3. (2016-2017学年四川省乐山市高一上学期期末考试)已知a b ＞，函数f x x ax b =--（）（）（）的图象如图所示，则函数a g x log x b=+（）（）的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】B考点：对数函数的图象与性质；二次函数的图象．【交汇技巧】本题主要考察二次函数的图像、对数函数的图像与性质，解答本题的关键是根据二次函数图像与x 轴交点的分布，从而得到a ，b 的范围，再由对数函数的图像和性质确定函数图像单调性及渐近线4.(河北省定州市2016-2017学年高一上学期期末)已知()()2l o g2l o g 3(0m mf x x x m =+->，且1)m ≠ （1）当2m =时，解不等式()0f x <；（2）()0f x <在[]2,4恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（12【解析】试题分析：（1）2m =时，原不等式变为()222log 2log 30x x +-<，解这个一元二次不等式可求【交汇技巧】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想方法.第一问由于m 是已知的，利用一元二次不等式的解法，求得23log 1x -<<，解这个对数不等式可求得不等式的解集.第二问同样利用一元二次不等式的解法，求得3log 1m x -<<，由于m 的范围不确定，故要对m 分成两类，结合单调性来讨论.5.已知函数33,(0)()log (),(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，函数[]2()()()g x f x f x t =++，t R ∈，则下列判断不正确的是( )A ．若2t <-，则()g x 有四个零点B ．若2t =-，则()g x 有三个零点C ．若124t -<<，则()g x 有两个零点D ．若14t =，则()g x 有一个零点【答案】A【解析】令(),1m f x m =≥时，()m f x =有两根，1m <时，()m f x =有一根【交汇技巧】本题重点考察根的存在性即根的分布问题，对于复合函数根的个数问题应“由表及里”，先探究外函数的根的分布，再根据外函数的根探究()f x m =的根的个数练习检测1.(2017新疆乌什县二中高一数学测试)解下列对数方程（1）22log (1)log (21)x x -=+（2）22log (52)2x x --=（3）1642log log log 7x x x ++=（4）233log [1log (14log )]1x ++=【答案】-2 -1或2.比较下列各题中两个值的大小：（1）5log ,9log 76；（2）6.0log ,log 23π；（3）7.0log ,7.0log 32；【答案】（1）1>9log 6，1<5log 7，∴5log >9log 76；（2）0>log 3π，0<6.0log 2，∴6.0log >log 23π；（3）0<2log <3log 7.07.0，∴7.0log =2log 1>3log 1=7.0log 27.07.03． 3.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)函数x y a log =，当43l o g )1(l og 2a a x x ≤+-成立时，a 的取值范围是_________.【答案】01a << 【解析】2314x x -+≥Q Q 函数x y a log =，1a >时，单调递增，01a <<时，单调递减∴当43log )1(log 2aa x x ≤+-成立时， 01a ∴<<4.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)不等式1)3(log 221-≤-x x 的解集是___________________.【答案】33,,22x ⎡⎫⎛+∈+∞-∞⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U5.(2016-2017学年海南省海南中学高二下学期期末文)间为（）A ．（1，＋∞）C ．（－∞，1）【答案】A【解析】试题分析：令()()2231211x x x x t -+=--=，则函数（t ＞0）．令t 1，故函数y 的定义域为x ＞1}．本题即求t=（2x-1）（x-1）在区间（-1，+∞）上的增区间．利用二次函数的性质可得，函数t 在函数y 的定义域内的增区间为（1，+∞），考点：复合函数的单调性6. 已知函数2x f x lnx =+（），若242f x （﹣）＜，则实数x 的取值范围．【答案】（﹣，﹣2）∪（2，） 7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式2(log )0f x >的解集为________ 【答案】()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U8.(2016-2017学年江西省南城一中高二上学期期中考试理科)已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则）A ．3 C ．2 D ．4 【答案】D【解析】试题分析：()3lg2lg8lg2lg 22lg231x y x y x y +=∴⋅=∴+=4 8.已知函数241(log 2)log 2y x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，2≤x≤8. (1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围；(2)求该函数的值域．【答案】解：(1) 241(log 2)log 2y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即该函数的值域为1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

江苏版2018年高考数学一轮复习专题2.6函数性质综合运用测20171129337

专题2.6 函数性质综合运用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】如图，已知正方形的边长为2，平行于轴，顶点，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为__________．【答案】2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知函数()24,0,3,0,x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为．【答案】3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点,,O P M ，则()y f x =的最大值为 ▲ . 【答案】98【解析】设00(,)P x y ，则由2y x '=得000000022111(3)32PM y k y x x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒=---，而二次函数1(3)2y x x =--正好过,,O P M 三点，所以19()(3)28f x x x =--≤4. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知函数1221+=+x x y 与函数x x y 1+=的图象共有k （*∈N k ）个公共点：),(111y x A ， ),(222y x A ，… ，),(k k k y x A ，则=+∑=ki i iy x1)( ．【答案】2【解析】函数1221+=+x x y 与函数x x y 1+=的图象都关于)1,0(对称，共有2个公共点：所以220)(1=+=+∑=ki iiy x5. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知()1980,()ln()xf x axg x a a=-=∈R ，若在*x ∈N 上恒有()()0f x g x ≥，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】[44,45]6.已知幂函数f(x)=x 2+m 是定义在区间[-1,m]上的奇函数,则f(m+1)=__________. 【答案】8.【解析】因为幂函数在[-1,m]上是奇函数, 所以m=1,所以f(x)=x 2+m =x 3, 所以f(m+1)=f(1+1)=f(2)=23=8. 7.已知函数f(x)=x 2+,g(x)=-m.若∀x 1∈ [1,2],∃x 2∈[-1,1]使f(x 1)≥g(x 2),则实数m的取值范围是__________. 【答案】【解析】要使∀x 1∈[1,2],∃x 2∈[-1,1],8. f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,有f(x)+xf′(x)<0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为________.【答案】(-∞,-4)∪(0,4)【解析】因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),根据已知条件可知,x<0时,[xf(x)]′<0,所以F(x)=xf(x)在(-∞,0)上递减,又因为f(x)是R上的偶函数,所以F(x)是R 上的奇函数,则F(x)在(0,+∞)上递减,因为f(-4)=0,f(x)为R上的偶函数,所以f(4)=0,则F(-4)=F(4)=0,综合图象可知xf(x)>0的解集应为(-∞,-4)∪(0,4).9已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为________.【答案】3【解析】依题意得f(x)=sgn(lnx)-lnx=令f(x)=0,得x=e,1,,所以函数有3个零点.10.已知f(x)为R上的可导函数,且∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则f(2014)与e2014f(0)大小关系为________.【答案】f(2014)<e2014f(0)【解析】构造函数g(x)=,则g′(x)==.因为∀x∈R,均有f(x)>f′(x),并且e x>0,所以g′(x)<0,故函数g(x)=在R上单调递减,所以g(2014)<g(0),即<f(0),也就是f(2014)<e2014f(0)二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

【高三数学试题精选】2018高考数学一轮复习2.6函数性质综合运用讲练测(江苏版附答案)

2018高考数学一轮复习2.6函数性质综合运用讲练测（江
苏版附答案）
5 c 专题2
6 函数性质综合运用
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
(满分100分，测试时间50分钟)
一、填空题请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．
1 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）1,]上的奇函数,则f(+1)=__________
【答案】8
【解析】因为幂函数在[-1,]上是奇函数,
所以=1,所以f(x)=x2+=x3,
所以f(+1)=f(1+1)=f(2)=23=8
7已知函数f(x)=x2+ ,g(x)= -若x1∈ [1,2], x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),则实数的取值范围是__________
【答案】
【解析】要使x1∈[1,2], x2∈[-1,1],
8 f(x)是定义在R上的偶函数,当x 0时,有f(x)+xf′(x) 0,且f(-4)=0,则不等式xf(x) 0的解集为________
【答案】(-∞,-4)∪(0,4)
【解析】因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),根据已知条可知,x 0时, [xf(x)]′ 0,所以F(x)=xf(x)在(-∞,0)上递减,又因为f(x)是R上的偶函数,所以F(x)是R上的奇函数,则F(x)在(0,+∞)上递减,因为f(-4)=0,f(x)为R上的偶函数,所以f(4)=0,则F(-4)=F(4)=0, 综合图象可知xf(x) 0的解集应为(-∞,-4)∪(0,4)
9已知符号函数sgn(x)= 则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为________。

【推荐】专题2.6+函数性质综合运用(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)

【考纲解读】【直击考点】1.(2017·南通调研)函数f (x )＝lnxx －1＋的定义域为________．【解析】要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝lnxx －1＋的定义域为(1，＋∞)．2. (2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－x －2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}．3. (2017·衡水中学月考)设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下：映射f 的对应法则则f [.g (1)]的值为________．【解析】由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4，由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1. 4．(2017·盐城中学一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x，log 3x x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 5. (2017·南京、盐城一模)已知函数f (x )＝则f (f (3))＝________，函数f (x )的最大值是________．6. (2017·南通中学模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．【解析】∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增． ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，7. (2017·南京、盐城模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．【解析】由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.8. (2017·无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.9. (2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ，x ＝，－x 2x，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g (x )的减区间是[0,1)．10. (2017·泰州一检)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 【解析】当a >1，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．当0<a <1，则y ＝a x为减函数，有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数．故a ＝14.11. (2017·南京一中模拟)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为________．【解析】由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0，解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)．12. (2017·南通调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －b ，x ≥0，ax x ＋，x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．13. (2017·泰安一模改编)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为________．【解析】 ∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0. 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4. ∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.14. (2017·南通调研)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________. 由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.15. (2017·无锡调研)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．16.(2017·南京模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.【解析】由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.17.(2017·苏北四市摸底)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________．【解析】函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，故m 的取值范围是(－1,0)．18. (2017·安徽江南十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e|x －2|，x <1.【解析】当x ≥1时，f (x )＝e x≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e2－x>e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.19. (2017·南京模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是________(填序号)．20. (2017·苏北四市摸底)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－－x ，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是________．【解析】依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．【知识清单】1. 函数性质：定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等2．函数图像及其变换3. 函数与方程【考点深度剖析】1. 函数均是以填空题、解答题的形式进行考查，涉及到函数与方程、分类讨论和数形结合的思想，题目多为中高档题，着重考查学生运算求解能力、推理论证能力及分析问题和解决问题的能力.函数常与导数、方程、不等式等结合考查，有时单独设置题目.2. 对于函数复习，一要明确函数的定义域和值域，二要锻炼分析问题和解决问题的能力，三要从数和形两个角度理解函数的性质，注意加强对函数与方程、数形结合数学和分类讨论思想的运用.函数知识属于重点知识，考查的难点中等偏上，复习时应以中档题为主，适当难题为辅，加强对函数的性质、分段函数、对数函数的图像与性质和函数的模型及其应用的题目的训练.【重点难点突破】考点1 函数性质综合应用【1-1】 (x)f 是R 上的奇函数，当0x ≥时，3(x)x ln(1x)f =++，则当0x <时，()f x =_______【答案】3x ln(1x)--【解析】∵0x <，∴0x ->，∴3()()ln(1)f x x x -=-+-，又∵(x)f 是R 上的奇函数，∴3()()ln(1)f x x x -=-+-，∴3()ln(1)f x x x =--.【1-2】定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数)(x g =_______【答案】3【解析】∵不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，∴'(())0xf x >，∴函数()y xf x =在(0,)+∞上为增函数，又∵)(x f y =在R 上为奇函数，∴函数()y xf x =在(,0)(0,)-∞+∞上为偶函数，且过(3,0)和(3,0)-和(0,0)，∴函数)(x g =3个.【1-3】定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++(0)a ≠的单调增区间为(1,1)-，若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 .【1-4】设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x a y ay =+，则正实数的最小值是 .【1-5】有如下性质：若常数0a >，则函数在上是增函数.（m R ∈为常数），当()0,x ∈+∞时，若对任意x N ∈，都有()()4f x f ≥，则实数m 的取值范围是 .【答案】[]12,20 【解析】当0m <时，函数y x =(0,)+∞(0,)+∞单调递增，所以有(1)(4)f f <，不满足题意；当0m =时，()f x x =在(0,)+∞单调递增，所以有(1)(4)f f <，也不满足题意；当0m >时，根据题意可知函数()f x 在x N ∈，都有()(4)f x f ≥，则须满足(3)(4)(5)(4)f f f f ≥⎧⎨≥⎩即可，即须求解不等，解得1220m ≤≤ 【思想方法】1. 等价转换思想：将不等式恒成立，有解问题等价转化为对应函数最值问题2. 数形结合思想：利用函数图像，研究函数性质3. 函数与方程思想：将方程是否有解及实根分布转化为对应函数性质与图像问题【温馨提醒】利用函数性质解题时，须注意转化的等价性，分类的完备性．【易错试题常警惕】解对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分1a >和01a <<两种情况讨论．如：解不等式()()2log 4log 2a a x x ->-．【分析】（1）当1a >时，原不等式等价于()2424020x x x x ⎧->-⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩，解之得6x >；当01a <<时，原不等式等价于()2424020x x x x ⎧-<-⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩，解之得46x <<．∴当1a >时，不等式的解集为()6,+∞；当01a <<时，不等式的解集为()4,6．【易错点】本题容易忽视了对参数的讨论，以为1a >和对数中真数大于而致误．【练一练】已知f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求实数a 的取值范围.。

2018届江苏高考数学一轮复习课件函数的图象与性质

利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．
1 0，2， cos πx，x∈ 已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝则 1 2x－1，x∈ ，＋∞， 2
象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知 k≥2 或 k＝0，即实数 k 的取值范围为 k＝0 或 k≥2.
[ 规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性． 2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围． 3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
|a－1|
1 1 3 ＜ 2，即|a－1|＜2，所以2＜a＜2.]
☞角度 2
奇偶性与周期性结合
(2017· 南通二模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈[0，＋∞)，满足 f(x＋2)＝f(x)，若当 x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数 y ＝f(x)－1 在区间[ －2,4] 上的零点个数为________．
7 [由 f(x＋2)＝f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期为 2 的函数，又 x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，且 f(x)为偶函数，故 f(x)在[ －2,4] 上的图象如图所示．由图可知 y＝f(x)与 y＝1 有 7 个交点，故函数 y＝f(x)－1 在区间[ －2,4] 上有 7 个零点． ]
－ ∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)>f(－ 2)，则 a 的取值范围是________．

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题2.12_函数模型及其应用(测)(有解析)

专题2.12 函数模型及其应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 【答案】202.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是________．(lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3) 【答案】2011年【解析】设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x＝4a .∴x ＝2lg2lg1.09≈16.3. 给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).【答案】①【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 4.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【答案】16【解析】当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 5.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．【答案】(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，116t －0.1，t >0.1 (2)0.66.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤才可以排放．【答案】5 h【解析】设原污染物数量为a ，则P 0＝a .由题意有10%a ＝a e －5k，所以5k ＝ln10.设t h 后污染物的含量不得超过1%，则有1%a ≥a e－tk，所以tk ≥2ln10，t ≥10.因此至少还需过滤10－5＝5 h 才可以排放．7.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 【答案】9【解析】设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8.由y ＝22.6，解得x ＝9.8.某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4 000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是【答案】3元9.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游，其中旅行社的包机费为30 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团中的人数在30或30以下，飞机票每张收费1 800元.若旅游团的人数多于30人，则给以优惠，每多1人，机票费每张减少20元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为_______人时，旅行社获得的利润最大. 【答案】60【解析】设旅游团的人数为x 人，飞机票为y 元，利润为Q 元，依题意，①当1≤x ≤30时，y =1 800元，此时利润Q=yx-30 000=1 800x-30 000，此时最大值是当x=30时，Q max =1 800×30-30 000=24 000(元);②当30＜x ≤75时，y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润Q=yx-30 000 =-20x 2+2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000,所以当x=60时，旅行社可获得的最大利润42 000元.综上，当旅游团的人数为60人时，旅行社获得的利润最大.10.某地西红柿从2 月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：. Q=at+b,Q=at 2+bc+c,Q=a ·b t,Q=a ·log b t 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________. (2)最低种植成本是________(元/100kg).【答案】(1)120 (2)80二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(测)

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用一、填空题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移_____个单位【解析】由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可 2. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝3．(2017·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为【解析】把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6(x ∈R)．4．(2016·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为【解析】将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z【解析】根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.【答案】32【解析】观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.8．(2017·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．【答案】 5【解析】由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－2＝ 5.9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.【答案】2210．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 【答案】143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.二、解答题11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ) 0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y 关于t 的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60，又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60.由题设知t ＝0时y ＝10，将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2，因此y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0)．(2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π3t >85，即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π3，即1<t <2，所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。

高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.6函数性质综合运用(讲)(含答案解析)

【最新考纲解读】要求备注内容A CB对知识的考察要求挨次分为认识、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A 、B、C 表示） .函数概念与认识：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解基本初等函√决有关的简单问题.函数的图像与性质数Ⅰ理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.【考点深度分析】1.函数在 12-14 年均是以填空题、解答题的形式进行考察，波及到函数与方程、分类议论和数形联合的思想，题目多为中高档题，侧重考察学生运算求解能力、推理论证能力及分析问题和解决问题的能力.函数常与导数、方程、不等式等联合考察，有时独自设置题目.2.关于函数复习，一要明确函数的定义域和值域，二要锻炼分析问题和解决问题的能力，三要从数和形两个角度理解函数的性质，注意增强对函数与方程、数形联合数学和分类议论思想的运用 .函数知识属于要点知识，考察的难点中等偏上，复习时应以中档题为主，适合难题为辅，增强对函数的性质、分段函数、对数函数的图像与性质和函数的模型及其应用的题目的训练 .【课前检测训练】[判一判 ](1)log a x2＝ 2log a x.()分析错误 .当 x>0 时，等式建立.(2) 函数 y＝ log2(x＋ 1)是对数函数 .()分析错误 .由对数函数的定义可知y＝ log2(x ＋1) 不是对数函数 .(3) 函数 y＝ ln 1＋x与 y＝ ln(1 ＋ x)－ ln(1－ x)是同一个函数 .() 1－ x分析正确 .经求解可知，定义域同样 .(4) 若 log a m<log a n，则 m<n.()分析错误 .若 a>1，则 m<n；若 0<a<1，则 m>n.(5) 若 log a M 2＝ log a N2，则 M ＝ N；若 M ＝N ，则 log a M 2＝ log a N2.()分析222222错误 .若 log a M ＝ log a N ，则M ＝N ，即 |M|＝|N|；当 M＝N≠0时， log a M＝ log a N .[练一练 ]1－2，则 a,b,c 的大小次序是 ________ 1．设 a＝ log 2π， b＝ log π， c＝π22．若函数 y＝ f(x) 是函数 y＝ 2x的反函数，则f(2) 的值是 ________分析y＝ 2x的反函数为 y＝log 2x，即 f(x) ＝ log 2x，∴ f(2) ＝ log22＝ 1.答案12log23 ＋log433．计算： log 22＝ ________， 2＝ ________.分析log2211log23 ＋log43＝ 2log23 2log43·＝3×2log23 3. 2＝－ log22＝－； 2＝ 322答案－1， 33 24．函数 y＝ log a(x－ 1)＋ 2(a>0，a≠ 1)的图像恒过必定点是________.分析依题意，当 x＝ 2 时，函数 y＝ log a(x－ 1)＋ 2(a>0， a≠ 1)的值为2，所以其图像恒过定点 (2,2).答案(2,2)。