2019届高三下学期教学质量检查(4月)数学(理)试题

2019届高三下学期教学质量检查

数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i 是虚数单位，复数i z -=2，则)21(i z +⋅的共轭复数为（ ） A ．i +2 B ．i 34+ C ．i 34- D ．i 34--

2．已知集合}0,0|{2>≤-=a ax x x A ，}3,2,1,0{=B ，若B A 有3个真子集，则a 的取值范围是（ ）

A ．]2,1(

B ．)2,1[

C ．]2,0(

D ．]2,1()1,0(

3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（ ） A ．

152 B ．52 C ．154 D ．5

1

4．已知实数y x ,满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤+-≥-+4020

632x y x y x ，则23+-=y x z 的最大值为（ ）

A ．30-

B ．2

C ．4

D ．4-

5．执行如图所示的程序框图，若输入c b a ,,的值分别为6，5，1，则输出的结果为（ ）

A ．2,3--

B ．3-

C ．2

1

,31-

- D ．方程没有实数根 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A. 83+π

B. 82+π

C. 2442++π

D.

2443++π

7．3log 2,3

,2log 2

13

1log 3

12

==-=c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）

A ．b a c <<

B ．c b a <<

C ．b c a <<

D ．a b c << 8．已知二项式4)21

1(x x

-+

，则展开式的常数项为（ ） A ．1- B ．1 C ．47- D ．49

9．已知以圆4)1(:2

2

=+-y x C 的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，B 点

是抛物线2C ：y x 82=上任意一点，BM 与直线2-=y 垂直，垂足为M ，则||||AB BM -的最大值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．1-

D ．8 10．已知)2

||,2

0)(sin()(π

ϕπ

ωϕω<

≤

<+=x x f 满足)()1(x f x f =-，且

)()2(x f x f -=+，对于定义域内满足2

3

)()(21=

=x f x f 的任意R x x ∈21,，21x x ≠，当||21x x -取最小值时，)(21x x f -的值为（ ）

A ．

42

6-或426+ B ．426+或462- C ．32 D ．2

3

11．设函数R t t tx e x x f x ∈+--=,5)3()(.若存在唯一的整数0x ，使得0)(0>x f ，则实数t 的取值范围为（ ）

A ．]2,3(2e e --

B ．)2,3(2e

e -- C ．]2,3(2e e - D ．)2

,3(2e e -

12．如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）

A ．

3

22π

B ．2552π

C ．25169π

D ．25338π

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知向量a 与b 的夹角为0

60，且32|2|,1||=-=b a a ，则=||b .

14．已知点)2,1(-P 在直线2+=kx y 上，则圆锥曲线C ：132

2

=+y kx 的离心率为 . 15．在ABC ∆中，若2,3==a bc ，则ABC ∆的外接圆的面积的最小值为 .

16．已知)('x f 是函数)(x f 的导函数，在定义域),0(+∞内满足0)()('=--x e x xf x xf ，且

e f 2)1(=，若e e a

f 1

)21

1(≤-，则实数a 的取值范围是 .

三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知数列}{n a 的前n 项和是n S ，且),2(1

222

N n n S S a n n

n ∈≥-=.

（1）若11=a ，求}{n a 的通项公式；

（2）在（1）的条件下，求数列}{1+⋅n n S S 的前n 项和n T .

18．支付宝自助付款可以实现人像识别身份认证和自动支付业务，于是出现了无人超市.无人超市的出现大大方便了顾客，也为商家节约了人工成本.某超市对随机进入无人超市的100名顾客的付款时间与购物金额进行了统计，统计数据如图所示：（时间单位：秒，付款金额RMB ：元）

（1）用统计中的频率代表一位顾客随机进店消费付款时间的概率，试求该顾客进店购物结算时所用时间的期望；

（2）若一位顾客在结算时，前面恰有3个人正在排队，求该顾客等候时间不少于2分钟的概率. 19．已知四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，0603

2

=∠=

∠=∠BAD BCD ABC ，22==CD AB ，BC CE BF 3

2

=

=.

（1）求证：⊥DE 平面PAF ；