格林公式及其在曲线积分求解中的应用
格林公式的应用
格林公式的应用
格林公式是数学中的一个重要定理，它描述了二维平面区域内的
曲线积分与对应的面积积分之间的关系。格林公式的应用非常广泛，
涉及到物理、工程、地理等多个领域。本文将介绍格林公式的基本概
念和原理，并探讨其在实际问题中的应用。
格林公式是由德国数学家格林（Green）于1828年提出的，它建
立了曲线积分与面积积分之间的联系。在二维平面上，设D是一个有
界闭区域，边界为C，f(x, y)和g(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式：
∮<sub>C</sub> (f(x, y)dx + g(x, y)dy) = ∬<sub>D</sub> (∂g/∂x - ∂f/∂y) dxdy
其中，∮<sub>C</sub>表示沿着曲线C的曲线积分，
∬<sub>D</sub>表示在区域D上的面积积分，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示f 和g对x和y的偏导数。
格林公式的应用可以帮助我们求解各种与曲线积分和面积积分相
关的问题。下面将通过几个具体的例子来说明格林公式在实际中的应用。
**例1：计算曲线积分**
考虑曲线C：x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1，逆时针方向，要计算曲线积分∮<sub>C</sub> (x<sup>2</sup>dx +
y<sup>2</sup>dy)。
格林公式及其应用
_______________在 内处处成立； _______________在 D 内处处成立； 所围成的闭区域, 3 、 设 D 为由分段光滑的曲线L 所围成的闭区域, 其面 5,又 积为 5, 又 P ( x , y ) 及 Q( x , y ) 在 D 上有一阶连续偏 ∂P ∂Q = −1 ,则 ∫ Pdx + Qdy = ___. 导数, = 1, ___. 导数,且 L ∂y ∂x
二、计算 ∫ ( 2 xy − x 2 )dx + ( x + y 2 )dy 其中L 是由抛物线 所围成的区域的正向边界曲线, y = x 和 y 2 = x 所围成的区域的正向边界曲线, 并 验证格林公式的正确性 . 利用曲线积分, 三、利用曲线积分, 求星形线 x = a cos 3 t , y = a sin 3 t 所 围成的图形的面积 . 四、证明曲线积分
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
du = P dx + Qdy
则
∂u = P( x, y), ∂x
∂u = Q( x, y) ∂y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 从而在 内每一点都有 ∂P ∂Q = ∂ y ∂x
证明 (4)
∂P ∂Q (4) 在D内 , = 题 ∂y ∂x
第3节 格林公式及其应用
L
L2
L1
d
c
c Q( 2 ( y), y)dy d Q(1( y), y)dy
d c
Q(
2
(
y)
,
y)
Q(1
(
y)
,
y)
dy
.
比较上面两式 , 得
Q
D
x
dxdy
L
Qdy .
(3)
合并 (2) ` (3) 两式, 格林公式成立 .
(2) D 为单连通区域的一般情形 : 如果平行于坐标轴的直线与 D的
那末 Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
由于 Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
L2
即 Pdx Qdy 0 .
L1
L
2
L1 L2 是 G内一条有向闭曲线 .
因此 , G内由曲线积分与路径无关
可推出,在 G 内沿闭曲线的积分为零 .
解 L不闭,L BA为闭曲线,可以用格林公式.
y
P ex cos y y 1, Q x ex sin y,
L
Q P 1 ex sin y ex sin y 1 2, x y
D
B(1, 0)
o
x
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
03
格林公式与曲线积分的关系
格林公式在曲线积分中的应用
计算封闭曲线的线积分
通过格林公式，可以将封闭曲线的线积分转 化为其围成的区域上的面积分，从而简化计 算。
解决向量场中的曲线积分问 题
在向量场中，格林公式可以用于计算沿曲线的积分 ，将问题转化为求面积分，从而简化计算过程。
判断积分与路径是否无关
路径无关的定义
路径无关
如果两个路径的积分值相同，则称该 积分与路径无关。
举例
对于函数 $f(x,y)$，如果 $int_{C} f(x,y) dx = int_{C^{prime}} f(x,y) dx$，则称该积分与路径无关。
曲线积分与路径无关的条件
条件一
条件二
条件三
条件四
被积函数 $f(x,y)$ 在区 域内具有连续的一阶偏 导数。
工程学中的流体力学问题
流量恒定
在流体力学中，如果曲线积分的路径无关，那么流量将保持恒定。这意味着流体不会因 为路径的改变而发生改变。
压力恒定
在流体力学中，如果曲线积分的路径无关，那么压力将保持恒定。这意味着流体不会因 为路径的改变而发生改变。
05
总结与展望
总结格林公式曲线积分与路径无关的条件
总结
对未来研究的展望
探索更多应用场景
随着科技的发展和研究的深入，格林公式曲线积分与路径无关的条 件有望在更多领域得到应用，例如物理、工程等。
高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式
连通区域从而变成(2)的情形.
高 Q P 等 )dxdy P( x, y )dx Q( x, y )dy中取 在公式 D ( 数 x y L 学 电 子 P y, Q x ，即得 案
2 dxdy xdy ydx
D L
1 S dxdy xdy ydx D 2 L
高 例2 设C是任意一条分段光滑的闭曲线,计算 等 2 3 2 数 2 x ydx x dy C 3 学 电 子 解：记 P 2x 2 y, Q 2x3 / 3, 则 案
Q P 2 P 2 Q 2x , 2x , 0 x y x y
2 3 2 x ydx x dy 0dxdy 0 C D 3
C1
Pdx Qdy Pdx Qdy
C2
则称该曲线积分在D内与积分路径无关.
高 如果与路径无关,再注意一下曲线积分 等 数 的方向,可把上式写成 学 电 Pdx Qdy Pdx Qdy C C 子 案
1 2
y
C2
C-2 A D
B
C1
x
C1
Pdx Qdy
高 等 若L是平面区域D的边界曲线，规定L的正向如下： 数 学 电 我们沿L的方向行走时，D内在我们近处的那一部分总在我们 子 案 的左边.
例如:D为复连通区域，其边界曲线为L与l. 作为D的正向边界， L的正向是逆时针方向，l的正向是顺时针方向.
格林公式与曲线积分路径无关
A 2 22
-1
练习2 求星形线 L：x cos3 t, y sin3 t 所界图形的面积。
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
D
L2
B
由(2)知
D
(
Q x
P y
)dxdy
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
高等数学-格林公式及其应用
D
闭区域 D的面积
A
1 2
L
xdy
ydx .
取 P 0, Q x, 得 A L xdy
取 P y, Q 0, 得 A L ydx
13
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pdx
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如, 椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
y
B
D
y 1 x
解法2 P y2 Q x2
Q P 2x y
x y
0
A x I 2x yd xd y
D
4
xd xd y ( 4
yd xd y)
4
1
xd x
1x2 d y 2
D
D
0
1 x
3
轮换对称法 17
例7. 计算
其中L为 y
B(1,1)
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x y2
高等数学
第二十讲
第三节源自文库
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
格林公式及其应用
P y ， Q x ，得平面图形的面积为
A
d
D
1 2
L
xdy
ydx
．
（12-7）
1.1 格林公式
例 1 求椭圆 x acos ，y bsin 所围成图形的面积 A ．
解 根据式（12-7）得椭圆面积为
A 1
xdy ydx 1
2π (abcos2 absin2 )d 1 ab
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
a
1 ( x)
b a
P
[
x
，2
(
x)]dx
b a
P[x
，1(x)]dx
．
1.1 格林公式
根据对坐标的曲线积分计算方法及性质，有
P(x ，y)dx L
Pdx
L1
Pdx
11-3格林公式及其应用
L 1
B
L2
A
(1)Ñ PdxQdy0 c
C 是 G 内 的 任 意 闭 曲 线 。
G x
2、曲线积分与路径无关的条件
定理 2 设区域 G 是一个单连通域, 函数
P( x, y), Q( x, y)在 G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积分 Pdx Qdy在 G 内与路径无关的充 L
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
1、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的 部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则 称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
2、格林公式
定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数
P( x, y)及Q( x, y)在 D 上具有一阶连续偏导数, 则
Ñ (2xyx2)dx(xy2)dy L
1(2x3x22x22x5)dx0(4y42y5y2y2)dy 1
0
1
30
解 法 2 ： （ 用 格 林 公 式 计 算 ）
令 P 2 x yx 2,Q xy2Q-P 12x, x y
Ñ L ( 2 x y x 2 ) d x ( x y 2 ) d y D ( 1 2 x ) d x d y
于 是 ： Lxd xy2 y yd 2xl
格林公式及其在曲线积分求解中的应用
格林公式及其在曲线积分求解中的应用
格林公式及其在曲线积分求解中的应用课程名称数分选讲系院理学院专业信息与计算科学班级 xx级1班学生姓名魏志辉学号 xx101316 指导教师禹海雄设计起止时间：
xx年6月11日至 xx年6月15日什么是曲线积分？？
1、设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L 上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积
f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds)，若Σ
f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
2、曲线积分的类别:曲线积分分为：对弧长的曲线积分
（第一类曲线积分）
对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意
义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。
3、两种曲线积分的联系：对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式
格林公式及其应用
格林公式及其应用
格林公式是微积分中的一个重要工具，用于计算其中一区域内的面积和体积。它是由德国数学家格林（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初提出的，被广泛应用于物理、工程、经济等领域的计算中。
格林公式的一般形式如下：
$$
\oint_C (Pdx + Qdy) = \iint_D ( \frac{{\partial
Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} ) dA $$
其中，$C$表示封闭曲线，$D$表示被封闭曲线围成的区域，$P$和$Q$是$D$内的函数，$\frac{{\partial P}}{{\partial y}}$表示$P$对$y$求偏导数，$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$表示$Q$对$x$求偏导数，$dA$表示面积元素。
格林公式的应用有以下几个方面：
1.计算曲线积分：格林公式将曲线积分转化为了面积积分，使得计算曲线积分更加简便。通过计算封闭曲线上其中一函数和微分形式 $Pdx + Qdy$ 的积分，可以得到围成该区域的面积。
2.计算平面区域的面积：通过格林公式可以计算出封闭曲线围成的平面区域的面积。将面积元素 $dA$ 替换为 $1$，$Pdx + Qdy$ 替换为$dx$，然后对曲线积分进行计算，即可得到该区域的面积。
3.计算体积：对于封闭曲线$C$，通过格林公式可以计算出围成该曲
线的曲面的面积。再通过计算该曲面旁切平面上函数的面积积分，就可以
得到该曲面的体积。
格林公式及其应用(课堂PPT)
内容
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
应用 常用来将较复杂的曲线积分的计算转化为较
简单的二重积分的计算.
2、曲线积分与路径无关的条件
Q P x y
25
3.等价条件 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
Pdx Qdy L
在 D 内与路径无关.
对 D 内任意闭曲线 L 有L Pdx Qdy 0;
5
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
Pdx
Qdy
其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。
(1) 注意哦
对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。
P(x, y)dx Q(x, y)dy
Baidu Nhomakorabeax y ( , ) 00
y x
y
P(x, x0
)dx Q(x, y)dy,
0
y
0
y
或u(x, y)
y
y0 Q(x0, y)dy
x
P(x, y)dx.
x0
y0
O
格林公式及其在曲线积分求解中的应用.doc
格林公式及其在曲线积分求解中的应用
.南昌工程学院《数分选讲》课程设计题目格林公式及其在曲线积分求解中的应用课程名称数分选讲系院理学院专业信息与计算科学班级XXXX年6月11日至XXXX年6月15日什么是曲线积分？？1. 设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n 个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：
∫f(x,y)*ds ；
其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
2. 曲线积分的类别:曲线积分分为：
对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；
对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；
例如：
对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：
对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线
积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。3. 两种曲线积分的联系：对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx) ]*dx; 或者ds=√[1+(dx/dy) ]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。在数学中，曲线积分或路径积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式（比如说）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出4. 格林公式
第三节 格林公式及应用
第三节格林公式及应用
第三节格林公式及应用
第三节格林公式及应用
3.1自学目标
掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.
3.2内容提要
1.格林公式
设闭区域d由分段扁平的曲线l围起，函数p?x,y?,q?x,y?在d内具备一阶已连续略
偏导数，则存有
q?p?pdx?qdy?dxdy，lx?y?d?其中l是d的取正向的边界曲线．
【备注】（1）格林公式阐明了二重积分与曲线分数的联系．（2）d可以就是为丛藓
科扭口藓相连区域．
（3）l为正向的封闭曲线，p?x,y?,q?x,y?在d内具有一阶连续偏导数，两者缺一不可．在利用格林公式计算曲线积分时，若l不封闭，则考虑适当补边使之封闭；若在d内
函数有奇点，应考虑将奇点挖掉．
（4）当p??y,q?x时，纡出来半封闭曲线所围区域的面积
a?1xdy?ydx??l22.平面上曲线积分与路径无关的条件
设立区域g就是一个单相连域，函数p?x,y?,q?x,y?在区域g内具备一阶已连续的偏
导数，则曲线分数必须条件就是
pdxqdy在g内与路径无关（或沿g内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
l?q?p??x?y在g内恒设立．
【注】若曲线积分与路径无关，在进行曲线积分的计算时，可以在g内选择简单路径，选择折线是常用的方法．
3.二元函数的全微分算草
设区域g是一个单连通域，函数p?x,y?,q?x,y?在区域g内具有一阶连续的偏导数，
则p(x,y)dx?q(x,y)dy在g内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是
qpxy在g内恒设立．
(x,y)xyu(x,y)??或
微积分中的曲线积分与格林公式的应用
微积分是数学的一门重要的分支，它研究的是函数的变化与极限。在微积分中，曲线积分是一个重要的概念，它与格林公式有着密切的关系，并广泛应用于实
际问题的求解中。首先，我们来了解一下曲线积分的概念。曲线积分是指在曲线上对向量场进行积分的过程。对于一个曲线C，可以将其参数化为
r(t)=<x(t), y(t)>，其中t是一个参数，x(t)和y(t)是关于t的函数。向量
场F=<P(x, y), Q(x, y)>可以表示为F=<P(r(t)), Q(r(t))>。那么曲线积分可以表示为∫F·dr，其中dr是曲线上的微元向量。曲线积分在物理、工程等领域有着广泛的应用。例如，在机械工程中，可以用曲线积分来计算力的沿曲线
的积分，以及在闭合路径上力的环量。另外，在电磁学中，可以利用曲线积分
来计算电场强度、磁感应强度等物理量。接下来，我们来介绍一下格林公式。格林公式是曲线积分与二重积分之间的重要联系。它实质上是一个积分定理，
可以将曲线上的积分转化为曲线所围成区域上的二重积分。格林公式的数学表
达为∮Pdx+Qdy=∬[∂Q/∂x-∂P/∂y]dxdy，其中P和Q是关于x和y的函数，[∂
Q/∂x-∂P/∂y]是P和Q的二阶偏导数交叉相减的结果。这个公式表明，在一个
有界的、光滑的区域D上，曲线积分∮Pdx+Qdy等于区域D上∂Q/∂x-∂P/∂y的
二重积分。格林公式的应用范围很广泛。它可以用于计算曲线围成的区域的面积、重心、质心等物理量。例如，在工程中，常常需要计算复杂形状的物体的
高等数学教材格林公式及其应用
y)dx
(x
y)dy
,其中曲线
L是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的正向边界
解 P x y, Q x y P 1, Q 1
y
x
L( x y)dx ( x y)dy 2dxdy 2ab D
y
例 3 计算AB xdy,其中曲线 AB是半
A
径为r 的圆在第一象限部分.
解 引入辅助曲线 L, L OA AB BO
在D 内作圆周 取逆时针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为
对区域 应用格林公式 , 得
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
在D 内
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
思考与练习
1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ?
提示:
提示:
2. 设 提示:
一、 填空题:
练习题
1、 设 闭 区 域 D 由 分 段 光 滑 的 曲 线 L 围 成 , 函 数
P(x, y) , Q(x, y)及在 D上具有一阶连续偏导数,则有
D
(Q x
P y
)dxdy
________________；
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
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南昌工程学院
《数分选讲》课程设计题目格林公式及其在曲线积分求解中的应用
课程名称数分选讲
系院理学院
专业信息与计算科学
班级2012级1班
学生姓名魏志辉
学号2012101316
指导教师禹海雄
设计起止时间：2015年6月11日至2015年6月15日
什么是曲线积分？？
1.设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插
入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σf(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σf(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；
其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
2.曲线积分的类别:
曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）
对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。
3.两种曲线积分的联系：
对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;
或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对
坐标轴的曲线积分了。
在数学中，曲线积分或路径积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。
在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式（比如说
）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出4.格林公式
【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有
(1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy
其中是的取正向的边界曲线.
公式(1)叫做格林(green)公式.
【证明】先证
假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)
易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.
另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有
因此
再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证
综合有
当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴)的任何直线的交点至多是两点时,我们有
5., 若曲线积分在开区域内与路径无关,那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为,终点为,可用记号
或
来表示,而不需要明确地写出积分路径.
显然,这一积分形式与定积分非常相似, 事实上,我们有下列重要定理
【定理一】设是一个单连通的开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,且【证明】依条件知,对内任意一条以点为起点,点为终点的曲线,曲线积分与路径无关,仅与的起点和终点的坐标有关,亦即, 确为点的单值函数.
下面证明
由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分,取如下路径,有
类似地可证明
因此
【定理二】设是单连通的开区域,,在上具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数全微分的充要条件是
在内恒成立.
【证明】显然,充分性就是定理一
下面证明必要性
若存在使得,则
由于,在内连续, 则二阶混合偏导数适合等式
从而
【定理三】设是一个单连通的开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数, 若存在二元函数使得
则
其中,是内的任意两点.
【证明】由定理1知,函数
适合
于是或
因此(是某一常数)
即
而
这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线,故
因此□
【确定的全微分函数的方法】
因为,而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径(当然折线应完全属于单连通区域).
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【证明】先证
假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)
易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.
另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有
因此
再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证
综合有
当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴)的任何直线的交点至多是两点时,我们有
,
同时成立.
将两式合并之后即得格林公式
注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.
6. 牛顿—莱布尼兹公式⎰-
=
b
a
a
F
b
F
dx
x
F)
(
)
(
)
('
表示：)
('x
F在区间[]b a,上