2017年秋九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)教案(新版)新人教版 (1)

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人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)一等奖优秀教学设计

人教版义务教育课程标准教科书九年级上册22.3实际问题与二次函数(3)一、教材分析1、地位和作用：本节课的内容是人教版九年级下册第二十二章第三节第三课时，本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值。

2、目标及目标分析：【目标】：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题。

【目标分析】：在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。

通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维。

通过对拱桥图片的欣赏，感受数学在生活中的应用，激发学习热情。

3、教学重、难点教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题。

教学难点：建立二次函数数学模型。

突破难点的方法：自主探究，小组讨论、师生交流，多媒体展示二、学情分析从学生的认知水平和能力状况来看，初三学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段。

受认知结构、能力水平的限制，对事物的认识还停留在表面上，一部分学生还存在学习目的不明确，学习动力不足等问题。

但是他们已具备了一定的小组合作学习的能力，能开展小组合作学习。

且学生在这节课之前，已学习了二次函数的图像和性质，且已经学过了用二次函数的图像和性质解决面积最大和利润最大的实际问题，已有一定的解决实际问题的基础，所以本节课的知识不难。

但是学生可能难以把实际问题与二次函数问题联系起来，不会建立二次函数模型，所以建模的过程需教师引导进行。

三、教学准备：多媒体课件四、教学过程一、创设情境引入课题师出示一组图片，要求学生观赏，并提出问题：这组图片都有什么共同特征？师：在我们日常生活中，许多物体的形状或运动轨迹都具有二次函数的图像抛物线的特征，由此相关的实际问题，我们就可用二次函数的知识解决。

九年级数学上册教学课件《实际问题与二次函数(第3课时)》

当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1, 这时有-1=-0.5(x-2)2+2，解得x1=2- 6 ， x2=2+ 6
这时水面的宽度为x2-x1=2 6，因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2 6-4)m.
2m l=4m
o
探究新知
22.3 实际问题与二次函数
【思考】“二次函数应用”的思路
回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，a 7 .
45
∴抛物线的表达式为 y
7
x2 .
45
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
探究新知怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
22.3 实际问题与二次函数
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为y ax2.

新人教版九年级数学上册22.3.3实际问题与二次函数教案新版

22.3.3实际问题与二次函数一、教学目标1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题二、课时安排1课时三、教学重点会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.四、教学难点建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题五、教学过程（一）导入新课我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！（二）讲授新课探究3：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?解：建立如图所示坐标系,设二次函数解析式为2.y ax =由抛物线经过点（2，-2），可得1,2a =- 所以，这条抛物线的解析式为21.2y x =- 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为 3.y =-当 3.y =- 时，x =所以，水面下降1m ，水面的宽度为m .所以水面的宽度增加了()4m.探究4：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?请同学们分别求出对应的函数解析式解：设y =-ax 2+2将（-2,0）代入得a =12- ∴y =2122x -+；设y =-a （x-2）2+2将（0,0）代入得a =12- ∴y =21(2)2x -- +2；归纳：解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.（三）重难点精讲在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？解：如图建立直角坐标系.则点A 的坐标是（0，209），B 点坐标是（4，4），C 点坐标是（8，3）.因此可设抛物线的解析式是y =a (x -4)2+4 ①. 把点A (0,209 )代入①得220=(04)4,9a -+ 解得 1.9a =- 所以抛物线的解析式是21(4)49y x =--+ 当x =8时，则2120(84)43,99y =--+=≠ 所以此球不能投中.若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.（四）归纳小结用二次函数解决抛物线形建筑问题都可以构建二次函数解析式，解此类问题的思想方法是利用数形结合和函数思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用待定系数求出运动轨迹（即抛物线）的解析式，再用二次的性质去分析解决问题。

《实际问题与二次函数(第3课时)》公开课教学设计

《实际问题与二次函数》教学设计第3课时一、教学目标1．学会将实际问题转化为数学问题．2．掌握用二次函数的知识解决有关的实际问题．二、教学重点及难点重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．难点：从现实问题中建立二次函数模型．三、教学用具多媒体课件。

四、相关资源《抛物线形拱桥》动画，《》动画，《》图片。

五、教学过程【创设情景，揭示课题】问题图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？师生活动：小组交流、讨论，由两小组代表汇报结果，全班评比哪组的解法最好．教师巡查，指导不会数学建模的小组．设计意图：创设问题情境，激发学生的学习兴趣．现实的、有意义的、富有挑战性的问题有利于学生主动地进行观察、交流、猜想、验证．【合作探究，形成新知】教师引导：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．解：如图所示：设这条抛物线表示的二次函数为y =ax 2．由抛物线经过点（2，－2），可得－2=a ×22．解得12a =-．故这条抛物线表示的二次函数为212y x =-．当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为－3，所以2132x -=-．解得16x =-（不合题意，舍去），26x = 所以水面宽度为26．所以当水面下降1 m 时，水面宽度增加了(264)m ．设计意图：通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心．【例题分析，深化提高】例某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m (如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )．A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 【解析】如图，建立坐标系．设抛物线的解析式为y=ax2＋k，∵(0，0.5)，(1，0)在抛物线上，∴0.50 ka k=⎧⎨+=⎩，．解得0.50.5 ka=⎧⎨=-⎩，．∴y=－0.5x2＋0.5．当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32．∴需要不锈钢支柱的总长度为(0.48＋0.32)×2×100=160(m)．故选C．设计意图：通过问题，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值．【练习巩固，综合应用】1．某一拱桥呈抛物线形，其函数解析式为y=－0.25x2，当拱桥下水面宽为12 m时，水面离拱桥顶端的高度h是( )．A．3m B．26m C．43m D．9m2．如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下水面处在目前的水位时，水面宽AB=10 m．如果水位上升2 m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8 m．若洪水到来，水位以每小时0.1 m 的速度上升，经过多少小时会达到拱顶?参考答案1．D2．解：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立直角坐标系．则抛物线的顶点E 在y 轴上，且B ，D 两点的坐标分别为(5，0)，(4，2)，设抛物线的解析式为y =ax 2＋k ．由B ，D 两点在抛物线y =ax 2＋k 上，得162250a k a k +=⎧⎨+=⎩，．解这个方程组，得a =－29，k =509．所以y =29-x 2＋509．所以顶点E 的坐标为5009⎛⎫ ⎪⎝⎭，．则OE =509m ，509÷0.1=5009(h )，所以，若洪水到来，水位以每小时0.1 m 速度上升，经过5009h 会达到拱顶．设计意图：加深认识，深化提高，查漏补缺．六、课堂小结1．一般地，当a ＞0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最小值244ac b a -．当a ＜0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值244ac b a -． 2．解决二次函数最值问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．设计意图：总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识．七、板书设计22.3 实际问题与二次函数（3）1．用二次函数的知识解决有关的实际问题。

人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.二次函数图像与实际问题的联系，通过图像分析实际问题，求解最优解。
本节内容将结合具体案例，让学生在实际问题中理解和掌握二次函数的性质和应用，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识，特别是二次函数知识解决实际问题的能力，提高数学应用意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它在生活中有着广泛的应用。它可以帮助我们解决最优化问题，如成本最小化、利润最大化等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个工厂的成本与生产数量之间的关系是二次函数，如何求解成本最小时的生产数量？通过这个案例，展示二次函数在实际中的应用。
在小组讨论环节，学生们的表现让我感到欣慰。他们能够围绕二次函数在实际生活中的应用展开讨论，并提出自己的观点。这说明他们在思考问题和解决问题的能力上有了很大的提升。但在引导讨论时，我意识到需要提出更具针对性和启发性的问题，以激发学生的思考和创新能力。
最后，总结回顾环节，学生们对今天的学习内容有了较好的掌握。但我也发现，仍有一些学生对二次函数的应用不够熟练。在今后的教学中，我会加强对这部分学生的辅导和关注，确保他们能够跟上教学进度。

数学人教版九年级上册22.3.3实际问题与二次函数(第3课时)教学设计

人教新课标版九年级数学（上）22.3 实际问题与二次函数（第3课时）【教学目标】◆知识技能1.能够正确灵活地建立直角坐标系解决实际问题；2.能综合利用方程、二次函数的知识解决实际问题。

◆过程与方法1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立二次函数模型进而解决问题，让学生体会数学建模的思想；2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用数学方法解决实际问题的能力，渗透转化思想。

◆情感态度1.积极参与交流，并积极发表意见；2.体验二次函数是有效描述世界的重要手段，让学生亲自体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣。

【重点】掌握从实际问题中构建二次函数模型【难点】充分运用所学知识分析实际问题，建立函数模型，渗透渗透数形结合思想。

【教学过程】一、情景导入，初步认识问题1: 欣赏下列图片，你能想到什么？师生活动：教师提出问题，学生尝试回答。

指导学生得出抛物线在我们生活中经常遇到。

教师关注：学生是否对教师提出的知识产生深厚的兴趣，注意力是否迅速集中，最后是否注意到了桥拱的形状。

设计意图：通过学生的认知冲突，激发了学生的好奇心和学习的兴趣，同时为探究二次函数的实际应用提供了背景材料。

问题2: 如图是赵州桥的桥拱，把它的图形放在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为：y= 21218x -+ (1) 拱桥的最高点离水面多少米？(2) 拱桥的跨度是多少米？(3) 若在跨度中心点O 左右3米处各垂直竖立一根石柱支撑拱桥，则石柱有多高？师生活动：教师展示问题情境，并读题。

学生观看动画演示之后，先独立思考，自主解答，然后展示成果。

教师关注：（1）学生能否将问题中所求线段转化为求点的坐标；（2）学生的书写是否正确规范；设计意图：（1）初步感受用二次函数可以解决拱桥中一些简单的实际问题；（2）渗透数形结合的数学思想；（3）为下一环节的探究新知做好铺垫。

二、类比引入探究问题活动（一）：自主探究（课本P25探究3）如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱桥离水面2米，水面宽4米。

人教版初三数学上册22.3实际问题与二次函数(3).3实际问题与二次函数(3)教学设计

课题：22.3实际问题与二次函数(3)设计：如皋市石庄镇初级中学张小军教学目标1．利用实际问题中变量关系建立二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题．2．体会二次函数解决实际问题时，如何建立适当的坐标系从而使解题简便．重点难点重点：利用实际问题中变量关系建立二次函数模型难点：如何建立适当的坐标系使解题简便教法学法教法：借助于现代教育技术，创设“生活数学”情境，利用电子交互白板形成“抽象数学”，在师生互动中，促进“四基”的生成。

学法：自主探究、动手实践、合作交流、全面展示。

教学流程设计意图一、创设情境、引入课题以标题拱桥图片引入课题二、探究新知、解决问题：活动一探索抛物线形拱桥水面宽度问题，获得利用数学方法解决实际问题的经验下图是抛物线形拱桥，当拱高离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？归纳：遇到此类问题时，我们一般会怎么做？让学生经历从生活情境中抽象出数学模型的过程。

让学生经历探索抛物线形拱桥水面宽度问题，获得利用数学方法解决实际问题的经验．活动二进一步巩固解题方法，选择合适的坐标系，建立模型1．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高是多少？（水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1米）2．永和大桥(钢管混凝土拱桥)是南宁市的一标志性建筑，其拱桥图形为抛物线的一部分(如图)，在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为400 m，拱高为9m．（1）在所给的直角坐标系中假设抛物线的表达式为y=ax2+b，请你根据上述数据求出a，b的值，并写出抛物线的表达式；（2）七月份讯期将要来临，当江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨3m时，位于水面上的桥拱跨度有多大?四、归纳小结通过本节课的学习你有什么收获？【检测反馈】1．如图，小红家门前有一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面1m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加．2．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，这时水面宽度为10m ．（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？适时的归纳有利于学生知识网络的建构.通过综合练习，巩固学生对抛物线形拱桥水面宽度问题认识，提高学生解决此类问题的能力。

2017年秋九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数教案 (新版)新人教版

22.3 实际问题与二次函数第1课时用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．一、复习旧知，引入新课1．二次函数常见的形式有哪几种？二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a＞0时，图象开口向________，当a＜0时，图象开口向________．2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动3：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w最大为1 600元．三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业布置教材第51～52页习题第1～3题，第8题．第2课时二次函数与几何综合运用能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．一、引入新课上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用．二、教学过程问题1：教材第49页探究1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S最大？分析：提问1：矩形面积公式是什么？提问2：如何用l表示另一边？提问3：面积S的函数关系式是什么？问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：提问1：问题2与问题1有什么不同？提问2：我们可以设面积为S ，如何设自变量？提问3：面积S 的函数关系式是什么？答案：设垂直于墙的边长为x 米，S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.提问4：如何求解自变量x 的取值范围？墙长32 m 对此题有什么作用？答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？答案：x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S max ＝450.问题3：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？提问1：问题3与问题2有什么异同？提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？提问3：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x＝－x22＋30x.提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？提问5：如何求自变量的取值范围？答案：0＜x≤18.提问6：如何求最值？答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S max ＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．三、回归教材阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？四、基础练习1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题． 2．阅读教材第52～54页．五、课堂小结与作业布置课堂小结1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．作业布置教材第52页习题第4～7题，第9题．。

九年级数学上册22.3实际问题与二次函数教案1(新版)新人教版

根据所学内容解答习题
2、总结归纳
谈谈本节课的收获？
3、作业：课堂
必做：教材第51页2题
选做：教材第51页4题
家庭
同步轻松练习
教材51—52页1、5、6、7、9
板书设计
实际问题与二次函数
问题1探究1探究2练习
教后记
聆听、思考、回答
四、总结提高
1、出示精选习题
1．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只且每日生产的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)，且R、P与x的关系分别为R= 500 +30x，
P= 170－2x．
(1)当每日产量为多少时，每日获得利润为1750元?
涨价时怎样确定x的取值范围呢？
由300-10x≥0,x≥0得0≤x≤30
在降价的情况下，最大利润是多少？
Y=(60-x-40)(300+10x)
Y=-10x2-100x+6000
取值范围：60-x-40≥0，x≥0得0≤x≤20
当x=5时最大利润为5250
⑶利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大值和最小值的问题，它的一般方法是：①列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围值。
明确目标
出示自学提纲
⑴自学教材49页问题回答小球何时运动到最高点？最大高度是多少?
⑵阅读49页探究1列出S关于L的函数关系式并求出当L是多少米时，S的面积最大？
⑶阅读教材50页探究2
⑷探究2中有几种调整价格的方法？题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
⑸涨价x元时，每星期少卖10x件，
销售量可表示为：销售额可表示为：

2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期22.3、实际问题与二次函数教案13

生
教学流程安排
决问题通过建模，解决实际问题，体会数形结合思想，激发探索精神．
回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．
教学过程设计
展示问题
学生自主分析，得出结论：
）利润随着价格的变化而变化；
分析问题
一种数学模型，可以解决现实问题；
讨论是让学生更实际问题中抽象出数学问题；
教学设计说明
本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：生活中利润问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值．
二次函数与现实生活联系紧密，运用函数知识解决生活实际问题是数学的实际应用价值的体现．本节课的设计就是从现实生活入手，通过对图形的理解和分析，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，让学生在解题的过程中体会数学的应用价值，培养学生的数学实践能力．
教学从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，让学生体会解决现实生活问题的快乐．。

九年级数学上册第二十二章二次函数 22.3 实际问题与二次函数(3)教案新人教版

22.3 实际问题与二次函数教学设计课标要求能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教材及学情分析1、教材分析：本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。

教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。

这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

2、学情分析知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，利用类比的方法让学生进行交流合作学习应该不是难题；学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。

课时教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．难点将实际问题转化成二次函数问题．教法学法指导启发法归纳法练习法教具准备课件教学过程提要环节学生要解决的问题或完成的任务师生活动设计意图引入新课一、复习导入一、复习导入1、二次函数的一般式、顶点坐标、对称轴是什么?极值情况是怎样的？2、二次函数与一元二次方程的关系是什么？4、导入：复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．复习上节内容，为本节课的学习做铺垫。

过时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？a＝－2．＝－2面的函数解析式可得水面的横坐标为6，－6，26．26－教学过程方法三：三、巩固练习：有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面2.1m。

秋九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数(第3课时)教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初

word1 / 3实际问题与二次函数（第3课时）【教学任务分析】教学目标知识技能 2.用二次函数的知识分析解决有关抛物问题的实际问题. 过程方法 1.在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想． 2.通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维．3.在转化、建模中，学会合作、交流.情感态度 1．通过对拱桥图片的欣赏，感受数学在生活中的应用，激发学习热情． 2．在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．重点利用二次函数解决有关拱桥等问题．用二次函数的知识分析解决有关抛物问题的实际问题.难点建立二次函数数学模型．【教学环节安排】环节教学问题设计教学活动设计情境引入欣赏一组石拱桥的图片26.3.3－1，观察桥拱的形状．图26.3.3－1问：你见过石拱桥吗？你观察过桥拱的形状吗？教师出示图片．学生观察图片发表见解．自主探究合作交流【问题】一抛物线形拱桥，如图26.3.3－2当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水面下降1米，水面宽度增加多少？一、独立思考——题目探究 1．分析问题（1）如何建坐标系；（2）如何设抛物线的解析式？图26.3.3－2（3）水面下降1米的含义是什么，怎样把距离转化成坐标？（4）如何求宽度增加多少？ 2．解决问题解：设抛物线表示的二次函数为2ax y ．如图26.3.3－3.教师展示图片并提出问题；学生观察图片，自主分析，得出结论. 设二次函数，用抛物线知识解决教师关注：（1）二次函数是生活中实际问题的模型，可以解决现word2 / 3图26.3.3－3由题意知抛物线经过点)2,2(-，可得 22ax =-，21-=a ．这条抛物线表示的二次函数为221x y -=．又知水面下降1米时，水面的纵坐标为3-=y ，则对应的横坐标是6-和6所以水面增加的宽度是)462(-米．二、小组活动——归纳总结请你按以下思路分析本类型题目的解法.⑴考察实物（抛物线形）；⑵选建坐标系；⑶化距离成坐标； ⑷构建二次函数；⑸解决实际问题实问题；（2）通过数学模型的使用，感受数学的应用价值．尝试应用1.有一抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面的宽度是64米，水位上升4米就达到警戒线CD ，这时水面宽是34米．若洪水到来时，水位以每小时速度上升，如图26.3.3－4求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M 处．2.要修建一个圆形喷水池，如图26.3.3－5池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？学生独立完成．教师关注：（1）学生能否独立找到两个变量之间的关系；（2）由已给抛物线图象如何求解析式；（3）如果题中不给图象，关注学生怎样建立抛物线模型.成果展示 1.本节课你有哪些收获？还有那些疑惑？2.在课上你参与了多少问题的讨论，哪些问题得到了其他同学的认可？你最赞同哪一位同学的发言.学习小组内互相交流，讨论，展示.M —5word3 / 3补偿提高1.—6，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的和距离都是1m, 拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，建立适当坐标系.（1）求抛物线的解析式（2）求两盏景观丁之间的水平距离.针对前几个环节出现的问题，进行针对性的补偿，对学有余力的学生拓展提高.作业设计作业：1.必做：课本第52页，7、8题. 作业设必做题。

人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数(3)》名师教案

实际问题与二次函数〔3〕——二次函数与建模问题〔杜星兰〕一、教学目标〔一〕学习目标1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；2.建立适当的直角坐标系，在问题转化，建摸的过程中，开展合情推理，体会；3.利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解；4.通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用.〔二〕学习重点建立适当的直角坐标系，在问题转化，建摸的过程中，开展合情推理，体会；利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.〔三〕学习难点建立适当的直角坐标系，建立二次函数数学模型二、教学设计〔一〕课前设计预习任务1. 二次函数2(0)y ax a =≠的图象是一条抛物线,对称轴是_y 轴_,顶点坐标是_〔0,0〕,当a _<__0时，开口向下；当a __>___0时，开口向上.2. 抛物线214y x =的顶点坐标是〔0,0〕,对称轴是y 轴__,开口向上;抛物线23y x =-的顶点坐标是〔0,0〕,对称轴是y 轴,开口向下.3. 抛物线的顶点坐标是〔-1，-5〕，与y 轴的交点坐标是〔0， 5〕，那么这条抛物线的解析式是210205y x x =++预习自测1．二次函数223y x x =--与y 轴的交点坐标为_______，与x 轴的交点坐标为_______.【知识点】求二次函数与两轴的交点【解题过程】解：因为223y x x =--，所以令0y =，2230x x --=解得123,1x x ==-.故223y x x =--与x 轴的交点为(3,0),(1,0)-；与y 轴交点(0,3)-【思路点拨】求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与x 轴交点即为(0,)c【答案】(0,3)-；(3,0),(1,0)-【设计意图】复习任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠与两轴的交点,为解决实际问题准备计算工具.2．二次函数223y x x =--，①当22x -<<时，y 的取值范围为__________；②当30x -<<时，y 的取值范围为__________；③当24x <<时，y 的取值范围为__________.【知识点】求区间最值．【思路点拨】由上面可知对称轴是1x =，需要判断区间和对称轴的位置关系，结合图象判断.【解题过程】解：∵223y x x =--开口向上，对称轴是1x =①当22x -<<，可知当1x =时min 4y =-，当2x =-时max 5y =，∴45y -≤< ②当30x -<<，可知此时对称轴1x =在区间的右侧，此时y 此随x 的增大而减小，因此当max 3,12x y =-=，min 0,3x y ==-.所以当30x -<<时，312y -<< ③当24x <<，可知此时对称轴1x =在区间的左侧，此时y 此随x 的增大而增大，因此当min 2,3x y ==-，max 4,5x y ==.所以当24x <<时，35y -<<.【答案】①45y -≤<；②312y -<<；③35y -<<【设计意图】复习给定区间求最值，有时区间包含对称轴，有时区间不包含对称轴, 从学生已有的知识储藏出发，为解决实际问题准备计算工具.3.教练对小明推铅球的录像进展技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为() x －y 24121=-3，由此可知铅球推出的距离是_________m. 【知识点】抛物线的实际应用【思路点拨】要求铅球推出的距离实际是求当y ＝0时x 的值，【解题过程】令21(4)3012x --=，解得10x =．【答案】10【设计意图】此题考察点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 4.隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为211384y x =-+,一辆车高3 m, 宽4 m ，该车___________(填“能〞或“不能〞)通过该隧道.【知识点】通过函数值来求自变量的取值范围【解题过程】在211384y x =-+中令3y =，解得x =因为4<，因此不能通过.【思路点拨】结合实际问题，把3y =代入解析式计算对应的自变量，两个自变量之间的距离和4比拟即可.【答案】不能【设计意图】设计具有一定的挑战性目的是激发学生的探究欲望教师引导学生将实际问题转化成数学问题.〔二〕课堂设计〔1〕利用点的坐标，求出抛物线的解析式：当三个点的坐标时，可用一般式y=ax 2+bx+c 求其解析式；当顶点坐标为(k ，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式2()y a x h k =-+求其解析式；当抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为1(,0)x 、(2(,0)x 时，可用交点式12()()y a x x x x =--求其解析式；〔2〕对于任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠，可以利用配方把它化为顶点式，进而写出顶点坐标和对称轴；〔3〕求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与y 轴交点即为(0,)c ；〔4〕将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值.探究一利用二次函数解决抛物线形拱桥问题〔★〕●活动1 情景导入明确目标师问：现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？学生答复：见过.教师ppt 展示：教师引导：生活中有很多各种各样美丽、实用的桥梁，它们无不给我们以抛物线的形象感受，我们在本节课就来主要研究与桥有关的抛物线问题.●活动2 自学互研生成能力阅读教材P51探究3，完成以下填空：1.以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为________．生答：2y ax =2．一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为__________，当水位线在AB 位置时，水面宽4 m ，这时水面离桥顶的高度为______m ；当桥拱顶点到水面距离为2 m时，水面宽为______m ，A 点坐标为________，B 点坐标为_______，那么函数解析式为__________．生答：2y ax =；2；4；()2,2--；()2,2-；212y x =-．师问：如何根据图建立平面直角坐标系？不同的建立方式，求得抛物线解析式是否一样？各小组分别建立不同的平面直角坐标系求解后展示．根据建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【设计意图】此题中建立平面直角坐标系的方法有多种，但以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系的方法较为简单， A 点坐标为〔-2，-2〕代入解析式即可计算出横坐标．教师带着学生提问总结：用二次函数知识解决抛物线形建筑问题的一般步骤是怎样的？生答：首先是审题，弄清和未知，再建立适当的平面直角坐标系后，合理的设出二次函数的解析式并求解出解析式，最后利用解析式求解得出实际问题的答案．〔教师随时引导〕探究二建立二次函数模型，解决其它实际问题例、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一局部，如下图，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离L 是多少？【知识点】实际问题与函数关系——投球问题【数学思想】数形结合【思路点拨】将代入可得出x 的值，继而得出L【解题过程】解：当时，215x -，解得：121.5, 1.5x x ==-所以【答案】【设计意图】此题考察了二次函数的应用，涉及了将实际问题转化为数学模型，难度一般．探究三利用二次函数解决实际问题的训练●活动① 根底性例题例1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，那么水面下降1m 时，水面宽度增加〔〕A ．1mB ．2mC ．〔26﹣4〕mD ．〔6﹣2〕m【知识点】利用二次函数解决拱桥问题【数学思想】数形结合【解题过程】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，那么通过画图可得知O 为原点.抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为〔0，2〕，通过以上条件可设顶点式y=ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标〔﹣2，0〕，代入到抛物线解析式得出：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣2+2，解得：x=±6，所以水面宽度增加到26米，比原先的宽度当然是增加了〔26﹣4〕米．【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系,根据题意找出点的坐标；求出抛物线解析式，直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．【答案】C【设计意图】此题主要考察了二次函数的应用，根据建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．练习.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如下图的坐标系中，那么抛物线的函数关系式为_________【知识点】建立坐标系，根据图象利用交点式求二次函数解析式【数学思想】数形结合【思路点拨】由图象可先设出二次函数的解析式，然后带值计算【解题过程】因为抛物线过点〔0，0〕和〔40，0〕，∴y=ax 〔x-40〕① 又∵函数过点〔20，16〕代入①得20a 〔20-40〕=16，解得125a =- ∴抛物线的解析式为218255y x x =-+ 【答案】218255y x x =-+ 【设计意图】建立适当的平面直角坐标系,根据题意找出点的坐标；求出抛物线解析式；直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．例2.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，那么水面CD 的宽是10米．〔1〕建立如下图的直角坐标系，求此抛物线的解析式；〔2〕当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面米的长方体货物〔货物与货船同宽〕．问：此船能否顺利通过这座拱桥？【知识点】利用二次函数解决拱桥问题【数学思想】数形结合【思路点拨】〔1〕以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．〔2〕先求x=3米时y 的值，用拱桥最大高度减去｜y ｜，然后与相比拟即可得出答案．【解题过程】〔1〕设抛物线解析式为y=ax 2，因为抛物线关于y 轴对称，AB=20，所以点B 的横坐标为10，设点B 〔10，n 〕，点D 〔5，n+3〕，n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a ，即100325n a n a =⎧⎨+=⎩，解得4125n a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴2125y x =-. 〔2〕∵货轮经过拱桥时的横坐标为x=3， ∴当x=3时，1925y =-⨯ ∵925-﹣〔﹣4〕＞ ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．【答案】〔1〕2125y x =-〔2〕此船能顺利通过这座拱桥【设计意图】此题考察了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．练习.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20 m ，水位上升3 m 就到达戒备线CD ，这时水面宽度为10 m.(1)建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)假设洪水到来时水位以0.2 m/h 的速度上升，从正常水位开场，再过几小时就能到达桥面？【知识点】求二次函数解析式，利用二次函数解决拱桥问题.【数学思想】数形结合【思路点拨】根据题目的条件设出二次函数的解析式，进而进展求解.【解题过程】解：(1)由题意知点D 的横坐标为5，点B 的横坐标为10，EF ＝3，设OE ＝h ，那么OF ＝h －3，那么点B(10，－h)，D(5，3－h)．设抛物线的函数解析式为y=ax 2，那么⎩⎨⎧100a ＝－h ，25a ＝3－h ，解得⎩⎨⎧a ＝－125，h ＝4，∴抛物线的函数解析式为y ＝－125x 2 (2) ∵B(10，﹣4)，∴拱桥顶O 到CD 的距离为4， ∴4200.2=小时．所以再过20 h 就能到达桥面【答案】〔1〕2125y x =-〔2〕再过20h 能到达桥面【设计意图】此题考察了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值． ●活动2 提升型例题例3．在一次羽毛球赛中，甲运发动在离地面43米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一局部，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运发动站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O 为原点建立如下图的坐标系，乙运发动站立地点M的坐标为〔m，0〕〔1〕求抛物线的解析式〔不要求写自变量的取值范围〕；〔2〕求羽毛球落地点N离球网的水平距离〔即NC的长〕；〔3〕乙原地起跳后可接球的最大高度为米，假设乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．【知识点】实际问题与函数关系——投球问题【数学思想】数形结合【思路点拨】〔1〕设抛物线解析式为y=a〔x﹣5〕2+3，将点〔0，43〕代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；〔2〕令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON﹣OC即可得出答案．〔3〕先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运发动接球高度不够m的取值范围．【解题过程】解：〔1〕设抛物线解析式为y=a〔x﹣5〕2+3，将点〔0，43〕代入可得：43=a〔0﹣5〕2+3，解得：a=﹣1 15，故抛物线的解析式为：y=﹣115〔x﹣5〕2+3．〔2〕当y=0时，﹣115〔x﹣5〕2+3=0，解得：x1=5﹣5x25即5∵OC=6，∴1米．〔3〕假设运发动乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时﹣115〔m ﹣5〕2，解得：m 1=2，m 2=8，∵运发动接球高度不够，∴2＜m ＜8，∵OC=6，乙运发动接球时不能触网〔接不到〕，∴m 的取值范围为：6＜m ＜8．【答案】〔1〕y=﹣115〔x ﹣5〕2+3；〔2〕﹣1；〔3〕6＜m ＜8. 【设计意图】此题考察了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答此题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．练习. 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式2515010y t t =-++表示．经过_______s ，火箭到达它的最高点．【知识点】利用二次函数解决火箭发射的问题【数学思想】数形结合【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：配方可得225150105(15)1135y t t t =-++=--+因此当t=15秒时火箭到达最高点.【答案】15【设计意图】此题考察了二次函数的应用，涉及了将一个二次函数的一般式转化为顶点式，将实际问题转化为数学模型，难度一般．例4．某桥的局部横截面如下图，上方可看作是一个经过A 、C 、B 三点的抛物线，以桥面的水平线为x 轴，经过抛物线的顶点C 与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2m 〔图中用线段AD 、CO 、BE 等表示桥柱〕，CO=1m ，FG=2m〔1〕求经过A 、B 、C 三点的抛物线相应的二次函数关系式；〔2〕求柱子AD的高度．【知识点】利用图象求函数解析式，自变量x的值求函数值y【数学思想】数形结合【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：(1)由题意可知：点C坐标为(0，1)，点F坐标为(－4，2)，设抛物线解析式为y＝ax2＋c，把这两个点代入函数解析式可以解得抛物线解析式y＝116x2＋1.(2)因为点A的横坐标为－8，当x=－8时，y＝5. 所以柱子AD的高度为5米．【答案】(1) y＝116x2＋1；(2) 柱子AD的高度为5米【设计意图】此题考察了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．练习.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高．(准确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)【知识点】建立坐标系，求二次函数解析式【数学思想】数形结合【思路点拨】先建立坐标系，然后根据线段的长度写出点的坐标，再设出函数的解析式，利用点的坐标求出解析式【解题过程】解：以大门的地面为x 轴，大门的正中间为y 轴建立直角坐标系，由题意可知抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点．∵抛物线关于y 轴对称，可设解析式为y ＝ax 2＋c ，那么⎩⎨⎧16a ＋c ＝0，9a ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－47，c ＝647，∴解析式为y ＝－47x 2＋647， ∴顶点坐标为(0，647)，那么校门的高为647≈9.1(米) 【答案】【设计意图】此题考察了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．●活动3 探究型例题例5．如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都一样．正常水位时，大孔水面宽度AB ＝20米，顶点M 距水面6米(即MO ＝6米)，小孔顶点N 距水面4.5米(NC ＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.图1 图2【知识点】求二次函数解析式，【数学思想】数形结合【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF 的宽度.【解题过程】解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为26y ax =+依题意，得B(10，0)．∴a×10²＋6＝0.20.066y x =-+，20.066 4.5x -+=，解得5x =±∴DF ＝5，EF ＝10.即水面宽度为10米．【答案】水面宽度为10米【设计意图】此题考察了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．练习.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如下图．〔1〕以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；〔2〕某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m ，车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？并说明理由．【知识点】求二次函数解析式，【数学思想】数形结合【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出相应的宽度.【解题过程】解：〔1〕设抛物线对应的函数关系式为2y ax=因为抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，所以抛物线过点A〔-3，-3〕，代入得-3=9a，解得13a=-所以函数关系式为213y x=-〔2〕如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x=1.5代入抛物线方程，得y=-0.75，此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25＜4.5．从而此车不能通过此隧道．【答案】此车不能通过此隧道【设计意图】：此题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点OC点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如下图的平面直角坐标系．(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式．(不要求写自变量x的取值范围)(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．(3)假设队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)【知识点】求二次函数解析式，求自变量的取值范围；判断函数值的范围【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给的条件可以求出函数解析式，再根据解析式分别来计算自变量和函数值得取值范围.【解题过程】解： (1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7)，设抛物线解析式为y＝a(x－7)2将点C(0，1.8)代入得49a＋＝1.8，解得a＝－135，∴y＝－135(x－7)2＋165，y＝－135(9.5－7)2＋165，故这次她可以拦网成功．(3)设抛物线解析式为y＝a(x－7)2＋h，将点C(0，∴a＝1.849h，∴此时抛物线解析式为y＝1.8－h49(x－7)2＋h，根据题意得，．【答案】〔1〕y＝－135(x－7)2＋165；〔2〕故这次她可以拦网成功；.【设计意图】：此题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.练习.如图，杂技团进展杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一局部．〔1〕求演员弹跳离地面的最大高度；〔2〕人梯高BC ，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由【知识点】求二次函数解析式，求自变量的取值范围；判断函数值的范围【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给的条件可以求出函数解析式，再根据解析式分别来计算自变量和函数值得取值范围.【解题过程】解：(1)配方得y ＝－35(x －52)2＋194，当x ＝52时，y 有最大值194， ∴.，即点B(4)在抛物线23315y x x =-++上， ∴表演成功.【答案】〔1〕演员弹跳离地面的最大高度是4.75米；〔2〕表演成功；【设计意图】：此题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.3. 课堂总结：本节课是将实际问题抽象成二次函数模型，通过建立适当的坐标系，求解二次函数的解析式，再利用二次函数的知识解决相关的问题知识梳理1.解拱桥问题、投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题时，一般分为以下五个步骤：〔1〕建立适当的直角坐标系(假设题目中给出，不用重建)；〔2〕确定解析式的类型，假设顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为2y ax =；假设顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为2y ax k =+；(3)根据给定的条件，找出抛物线上的点，并写出坐标；(4)利用点的坐标，求出抛物线的解析式：当三个点的坐标时，可用一般式2(0)y ax bx c a =++≠求其解析式；当顶点坐标为(k ，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式2()y a x h k =-+求其解析式；当抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为1(,0)x 、(2(,0)x ，时，可用交点式12()()y a x x x x =--求其解析式；(5)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.2.建立坐标系之后，根据线段的长度写出点的坐标，把点的坐标代入到相关的解析式中求出解析式，利用解析式求解相关问题.重难点归纳1.根据实际问题，建立适当的直角坐标系.2.根据给定的条件,确定二次函数的解析式，求出与问题相关的点的坐标.3.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.〔三〕课后作业根底型自主突破1.小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在如图①所示情况时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水面下降1 m 时，水面宽度增加多少?【知识点】建立坐标系求相应的值【数学思想】数形结合【解题过程】如图，建立直角坐标，可设这条抛物线为2y ax =，把点〔2，﹣2〕代入，解得12a =-，因此该抛物线的解析式为212y x =- 当3y =-时，2132x -=-解得6x =± 所以水面下降1米，水面的宽度增加264-米【思路点拨】结合题意，建立适当的坐标是是解决此题的关键【答案】264-米2.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m.〔1〕如下图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；〔2〕在正常水位的根底上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d 表示为h 的函数解析式；〔3〕设正常水位时桥下的水深为2 m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m ，求水深超过多少m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行.【知识点】利用图象求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】〔1〕如上图建立坐标系，可设这条抛物线为2y ax =，又∵函数过点〔10，-4〕代入上面的式子解得125a =- ∴抛物线的解析式为2125y x =-〔2〕把点(,4)2d h -代入函数解析式2125y x =-，解得214100h d =- 〔3〕把9x =代入解析式2125y x =-中，解得8125y =-， 8169422525+-= 当水深超过6925时，超过了正常水位1925，就会影响过往船只在桥下顺利航行. 【思路点拨】以桥面所在直线为x 轴，以桥拱的对称轴所在直线为y 轴建立坐标系.设抛物线线解析式为y=ax2，然后点B 的坐标为(10，-4)，即可求出解析式.【答案】〔1〕2125y x =-；〔2〕214100h d =-；〔3〕当水深超过6925时就会影响过往船只在桥下顺利航行.3.某公司草坪的护栏是由50段形状一样的抛物线组成的，为结实起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管如下图的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如下图的数据.〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕计算所需不锈钢管的总长度. 【知识点】利用图象求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】〔1〕在如下图的直角坐标系中，设解析式为y=ax 2+c ，B 〔0，0.5〕，C 〔1，0〕，分别代入y=ax 2+c 得0.50c a c =⎧⎨=+⎩，∴0.50.5c a =⎧⎨=-⎩，∴2+0.5；〔2〕分别过AC 的五等分点C 1、C 2、C 3、C 4作x 轴的垂线交抛物线于B 1、B 2、B 3、B 4，那么C 1B 1、C 2B 2、C 3B 3、C 4B 4的长就是一段护栏的四根立柱的长，点C 3、C 4的坐标为〔0.2，0〕，〔0.6，0〕，那么B 3、B 4的横坐标分别为x 3=0.2，x 4=0.6，将x 343=0.48，y 4=0.32，由对称性知，B 1、B 2的纵坐标y 1=0.32，y 2=0.48，那么四条立柱的长为C 1B 1=C 4B 4=0.32m ，C 2B 2=C 3B 3=0.48m ，所需不锈钢立柱总长为〔0.32+0.48〕×2×50=80〔m 〕，答：所需不锈钢立柱的总长为80m.【思路点拨】此题可以通过建立不同的平面直角坐标系，求出不同的抛物线的解析式，但对计算总长度没有影响.【答案】〔1〕y=-0.5x2+0.5；〔2〕所需不锈钢立柱的总长为80m4.校运会上，小明参加铅球比赛，假设某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.【知识点】利用函数解析式求y 的值【数学思想】数形结合【解题过程】当y=0时212501233x x -++=。

九年级数学上册第二十二章 22.3 实际问题与二次函数 22.3.2 实际问题与二次函数(二)备课资料教案 (新版

第二十二章 22.3.2实际问题与二次函数（二）
用二次函数解决抛物线建筑的有关问题
的直角坐标系
求大孔的水面宽度
解:设大孔对应的抛物线所对应的函数解析式为
得a=-0.06,即y=-0.06x2+6.当y=4.5时,-0.06x2+6=4.5,
故可设其对应的函数解+6.
2
【例2】如图,已知正三角形ABC 的边长为1,E,F,G 分别是AB,BC,CA 上的点,且AE=BF=CG,设△EFG 的面积为y,AE 的长为x,则y 关于x 的函数的图象大致是图中的( )
A B
C D
答案:C
点拨：本题是三角形的有关面积以及函数图象的综合题,解答时根据已知首先求得△EFG 的面积y 关于x 的函数解析式,然后根据函数解析式判断函数图象.
因为正三角形ABC 的边长为1,所以其面积为.因为AE=BF=CG=x,所以BE=FC=AG=1-x,又因为∠A=∠B=∠C=60°,所以△AEG ≌△BFE ≌△CGF,所以△AEG 、△BFE 、△CGF 的面积都相等.过点E 作EH ⊥A G 于H,易求得EH=x,所以△AEG 的面积为x(1-x),所以y=-3×x(1-x)=
x 2-x+.因为
>0,所以抛物线y=x 2-x+开口向上.又因为b 2
-4ac<0,所以抛物线与x 轴无交点.故应选C.。

九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数(第3课时)课件 (新版)新人教版

（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
C A
y O
h 20 m
DB x
第十页，共11页。
4．小结 (xiǎojié)
（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？（2）解决问题的一般步骤(bùzhòu)是什么？应注意哪些问题？（3）你学到了哪些思考问题的方法？用函数的思想方法解决抛物线形拱桥问题应注意什么？
x b 时，二次函数 y = ax 2 + bx +2ca有最小（大）值
y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数(hánshù)的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数(hánshù)的最大值或最小值.
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2．探究“拱桥 (gǒngqiáo)”问题
22.3 实际(shíjì)问题与二次函数（第3课时）
第一页，共11页。
课件说明 Leabharlann shuōmíng)• 二次函数是单变量(biànliàng)最优化问题的数学模型，如生活中涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要研究建立坐标系解决实际问题．
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活(shēnghuó)中问题时，还应注意哪些问题？
第四页，共11页。
1．复习利用(lìyòng)二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点(dǐngdiǎn)是最低（高）点，当

九年级数学上册 22.3.2 实际问题与二次函数教案 (新版

22.3.2 实际问题与二次函数一、教学目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.二、课时安排1课时三、教学重点能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.四、教学难点弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.五、教学过程（一）导入新课在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？引导学生进行讨论分析：（二）讲授新课活动1：小组合作问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.涉及到的数量关系：（1）销售额= 售价×销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空建立函数关系式：y =(20-x )(300+20x )，即：y =-20x 2+60x+6000.②自变量x 的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.③涨价多少元时，利润最大，是多少？即：y =-20x 2+60x +6000，当6032(20)2x =-=⨯-时, 23520()6060005920.23y =-⨯+⨯+= 即定价58.5元时，最大利润是5920元.由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 活动2：探究归纳求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.（三）重难点精讲某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x (元）之间满足关系：y=ax 2+bx -75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：(1)由题中条件可求y =-x 2+20x -75∵-1<0,对称轴x =10,∴当x =10时，y 值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y =16时，x =7和13.故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.（四）归纳小结最大利润问题的基本步骤：1.建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.2.确定自变量取值范围：涨价:要保证销售量≥0；降件：要保证单件利润≥03. 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出（五）随堂检测1、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100-x ）件，应如何定价才能使利润最大？2、一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.（1）要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多，是多少？【答案】1. 解：设最大利润为y 元，根据题意得y=（x-30）×（100-x ）= 2(65)1225x --+∴当x=65时，二次函数有最大值1225，∴定价是65元时，利润最大．2. 解：（1）设市场某天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x 元，由题意得（10+x ）（500﹣20x ）=6000，整理，得215500x x -+= 解得 125,10x x ==因为顾客得到了实惠，应取x=5.六．板书设计22.3.2 实际问题与二次函数探究问题1：问题2：例题最大利润问题的基本步骤：1.建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.2.确定自变量取值范围：涨价:要保证销售量≥0；降件：要保证单件利润≥03. 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出七、作业布置课本P51习题2、8；练习册相关练习八、教学反思。