第三章 空间力系

理论力学东北大学理学院力学系张英杰4123空间汇交力系力对点的矩和力对轴的矩空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩空间力偶5空间任意力系的平衡方程6重心2F zyxABC D1F 空间力系:力系各分力的作用线分布在空间,而且不能简化到某一平面的力系。

齿轮传动轴Az F Ay F Cz F CyF⎪⎩⎪⎨⎧===γβαcos ;cos ;cos F F F F F F zy x 直接投影法间接投影法γxyzO FyF zF x F ϕxyF §3-1空间汇交力系一、力在直角坐标轴上的投影β;sin γF F xy =ϕγϕγsin sin ;cos sin ⋅=⋅=F F F F y x ;cos γF F z =⎪⎪⎨⎧=++=⇒F F i F F F F F z y x ),cos(;222方向 大小F j F i F F zy x++=α3-1空间汇交力系二、空间汇交力系的合力与平衡条件合力等于各分力的矢量和，合力作用线过汇交点。

空间汇交力系由组成；n F F F21,i R F F ∑=nF F F +++=21)(111k F j F i F z y x ++=i F F F nx x x )(21+++=kF F F nz z z)(21++++k F j F i F iz iy ix ∑+∑+∑=kF j F i F Rz Ry Rx++=)(k F j F i F nz ny nx++++)(222k F j F i F z y x+++jF F F ny y y)(21++++222)()()(iz iy ix R F F F F ∑+∑+∑=222RzRyRxFF F ++=R iz R R iy R R ix R F F k ,F F F j ,F F F i ,F ∑=∑=∑=)(cos )(cos )(cos 合力的大小合力的方向RRzRRyRRxF F F F F F ===kF j F i F k F j F i F F F Rz Ry Rx iz iy ix i R++=∑+∑+∑=∑=二、空间汇交力系的合力与平衡条件=R F 即空间汇交力系平衡的充要条件:力系的合力等于零—空间汇交力系的平衡方程二、空间汇交力系的合力与平衡条件⎪⎩⎪⎨⎧=∑∑=∑00iziy ix F F F ===⇒000z y x 222)()()(iz iy ix R F F F F ∑+∑+∑=⇒空间汇交力系平衡的解析条件:力系各力在三个坐标轴上投影的代数和分别为零。

例3-1 不计自重的起重杆AB 用球铰链固定在地面上,CD 连线与x 轴平行,CE = EB = DE ,P = 10kN 。

求杆AB 和绳子的受力。

解:⑴取AB 杆和重物为研究对象,画受力图yz xEA BCDF30 30PTDF TCF AF ⑵选坐标系,列平衡方程;54.3kN F F TD TC ==⇒.66.8kN F A =,0=∑z F 045sin 45sin =-TD TC F F ,0=∑x F 030cos 45cos )(30sin =⋅+- TD TC A F F F ,0=∑y F 030sin 45cos )( 30cos =⋅++-TD TC A F F PF一、空间的力对点之矩AB力矩矢)(F M OxyzO Frh方位:与力矩作用面的法线方向相同指向:符合右手螺旋法则|)(|F M Oh F ⋅=OABA ∆=2力矩作用面:力与矩心组成的平面矩心:点O空间的一个力使物体绕某一空间点的作用效果。

模:)(F M O Fr⨯=力作用点的矢径:r—矢量A B)(F M O x yzOFrh x , y , z )ijki F M x O)]([=一、空间的力对点之矩;k z j y i x r++=kF j F i F F z y x ++=Fr F M O ⨯=)(zyx F F F z y x k j i =kyF xF j xF zF i zF yF x y z x y z)()()(-+-+-=kF M j F M z O y O )]([)]([++力对轴之矩可以度量力使刚体绕该轴转动的作用效果。

力与轴在同平面时，力对该轴的矩为零。

二、空间的力对轴之矩—代数量z正负:迎着z 轴,力使物体绕z 轴逆时针转,力矩为正;反之为负。

单位:N · m 或kN · mh OABxyF zF 二、空间的力对轴之矩)(F M z )(xy z F M=)(z z F M +)(xy z F M=h F xy ⋅±=OABA ∆±=2力对轴之矩的绝对值等于力在垂直于该轴的平面上的投影对这个平面与该轴交点之矩。

符合右手螺旋法则。

—代数量=zABh OxyF zF )()()(xy O xy z z F M F M F M ==)()(y O x O F M F M +=x y yF xF -=三、力对点之矩与力对轴之矩的关系z O F M )]([=)()]([F M F M z z O =⇒力对点的矩矢在过该点的坐标轴上的投影等于力对该轴的矩。

—力对轴之矩的解析式力对点之矩的大小力对点之矩的方向余弦|)(|)()(cos |)(|)()(cos |)(|)()(cos F M F M k ,M F M F M j ,M F M F M i ,M O z O O y O O x O ===⎪⎭⎪⎬⎫-=-=-=x y z z x y y z x yF xF F M xF zF F M zF yF F M )()()(===z O y O x O F M F M F M )]()]()]([[[ 222)]([)]([)]([ |)(|F M F M F M F Mz y x O ++=三、力对点之矩与力对轴之矩的关系例3-2手柄ABCD 的上作用一力F ,已知F 与xz 平面平行且与CD 的夹角为α,尺寸如图。

求力在三轴上的投影及对三轴之矩。

解:⑴定义法力在轴上的投影力对轴之矩AB 、BC 、CD 分别与z 轴、y 轴、x 轴平行ααsin ;0;cos ⋅==⋅-=F F F F F z y x =)(F M xbF ⋅)sin (α=)(F M ya F ⋅-)cos (αcF ⋅+)sin (α=)(F MbF ⋅)cos (ααxzAB CDabc yF xF zF ()()k F F F i F F z y xααsin ;0;cos ==-=⑵解析法例3-2手柄ABCD 的上作用一力F ,已知F 与xz 平面平行且与CD 的夹角为α,尺寸如图。

求力在三轴上的投影及对三轴之矩。

ααsin ;0;cos ;;⋅==⋅-===-=F F F F F az b y c x z y x 力对轴之矩y z x zF yF F M -=)(ααsin 0sin Fb a F b =⋅-⋅=zx y xF zF F M -=)(ααααcos sin sin )()cos (Fa Fc F c F a -=---=x y z yF xF F M -=)(ααcos )cos (0Fb F b c =-⋅-⋅-=αx z A BCDa bc yF xF zF3;3FF F F F z y x =-==【课堂练习】3-1 边长为a 的正方体如图所示，沿对角线DA 方向作用一个力，则该力对x 轴的力矩。

FFy x zAD O (a ,a ,0)zF y F xF yz F yz x zF yF F M -=)(303F F a -⋅-⋅=3Fa=a F z ⋅=a F ⋅=32aF yz ⋅=232a F ⋅=)(z x F M =)(yz x F M =xF x O F M )]([ =AFBAr B 'FOBr Ar 力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关。

力偶矩矢一、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢对刚体的作用效果由力偶矩矢度量。

空间力偶),('F F )('F F M O )()(),(''F M F M F F M O O O +='F r F r B A ⨯+⨯=FF-=Fr r B A⨯-=)(F r BA⨯='Fr AB ⨯=),('F F M MAB'FOBr Ar 决定空间力偶对刚体作用效果的因素：⑴矢量的模，即力偶矩的大小；⑵矢量的方位，与力偶作用面垂直；⑶矢量的指向，与力偶的转向服从右手螺旋法则。

C dMFd M =ABCS ∆=2FBAr 一、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢1A 1B Ⅰ2F 1F Ⅱ2A 2B 二、空间力偶等效定理作用在同一刚体上的两个空间力偶，若其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

654321F F F F F F ===== ; 511F F F R +=◆空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上，而不改变力偶对刚体的作用效果。

6F 3F 4F 5F O 1R F 2R F422F F F R +=BA '1F 1F 二、空间力偶等效定理2F '2F 'F RF BAr 作用在同一刚体上的两个空间力偶，若其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

◆保持力偶矩矢不变，可同时改变力偶中力与力偶臂的大小，也可在其作用面内任意移转，对刚体的作用效果不变。

1'11),(F r F F M BA ⨯=R BA R R F r F F M⨯=),(')(21F F r BA +⨯=21F r F r BA BA⨯+⨯=1F r BA⨯=),('11F F M =三、空间力偶系的合成与平衡条件1M2M 3M M O 合力偶矩矢= 各分力偶矩矢的矢量和3F1F 2F '2F'3F 2d 3d 1d '1F n M M M M +++=21)(111k M j M i M z y x ++=)()(222k M j M i M k M j M i M nz ny nx z y x+++++++jM M M i M M M ny y y nx x x)()(2121+++++++=k M M M nz z z )(21++++k M j M i M iz iy ix )()()(∑+∑+∑=kM j M i M z y x++=例3-3在工件四个面上同时钻5个孔时,每个孔所受切削力偶矩均为80N ·m ,求工件所受合力偶之矩在三个坐标轴上的投影。

解:把力偶用力偶矩矢表示,并平移到一点zyx A3M 1M 54 M M ix x M M ∑=2M -=mN ⋅-=80iyy M M ∑=45cos 45cos 541M M M ---=m N .⋅-=1193izz M M ∑=45cos 45cos 543M M M ---=mN .⋅-=11932M合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向空间力偶系平衡的充要条件：合力偶矩等于零—空间力偶系的平衡方程⎪=∑∑=00iz iy ix M M ⎩⎪⎨⎧===∑⇒000z y x M 0=M 三、空间力偶系的合成与平衡条件⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑=∑=MM k ,M M M j ,M MM i ,M iz iy ix )(cos )(cos )(cos222][][][iz iy ix M M M M ∑+∑+∑=例3-4已知两圆盘半径均为0.2m ,AB =0.8m , 圆盘O 1⊥y 轴,圆盘O 2⊥z 轴,两盘面上作用有力偶,F 1=3N ,F 2=5N 。