【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件：9.8 抛物线

������1 -������2 2 ������2 =4( 1-x2) x ⇒ ·( 1+y2) y =4⇒ kAB=1. ������ -������
1 2
故 lAB: y-2=x-2, y=x. 即
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T 题型一抛物线的定义
例 1 已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F, P 是抛物线上的动 点 点, 又有点 A( 2)求|PA|+|PF|的最小值, 3, , 并求出取最小值时 P 点坐标.
2 ������ 2
2 2 , =- . k ������ OB ������
得 2 =-1,
m=6-4 2.
∴ 的取值范围为 0<m≤6-4 2. m 求抛物线的标准方程, 一般采用待定系数法, 但若开口方 向不确定时应分类讨论, 应避免只设定一种形式的标准方程后求解, 从而致使丢解情况发生.
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2
1 12
1 36
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������2 4.(2012·山东卷, 11)已知双曲线 C1: 2 ������
2
−
������2 ������
a>0, b>0) 的离心率为 2 =1(
2.若抛物线 C2: =2py( x p>0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2, 则抛物线 C2 的方程为( A.x2= C.x2=8y 【答案】 D
1 y=-x+2p.
设直线交抛物线于 A( 1, 1) B( 2, 2) 则由抛物 x y , x y , ������ ������ 线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+2+x2+2, 即 x1+ +x2+ =8.① 又∵ x1, 1) B( 2, 2) A( y , x y 是抛物线和直线的交点, ������ 2 = 2px, ∴ 1+x2=3p. x 将其代入①得 p=2, 所求抛物线方程为 y2=4x. ∴ 当抛物线方程设为 y2=-2px 时, 同理可求得抛物线方程为 y2=-4x.
2
∴ p=4. ∴ 抛物线方程为 x2=-8y.
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T 题型三抛物线的几何性质
例 3 抛物线的顶点在原点, x 轴为对称轴, 以 经过焦点且 倾斜角为 135° 的直线, 被抛物线所截得的弦长为 8, 试求抛物线方程.
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【解】 如图, 依题意设抛物线方程为 y2=2px( p>0) , 则直线方程为
8 3 y 3
)
16 3 y 3
B.x2=
D.x2=16y
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【解析】 由于 e=������=2, c=2a, c2=4a2. ∴ 即 又有 c2=a2+b2, b2=3a2, b= 3a. ∴ 即 ∴ 双曲线的渐近线方程 y=± x 即为 y=± 3x, ������ 即± 3x+y=0.
0+2 2
������
������
������
又抛物线的焦点坐标为 F 0, 2 , 到渐近线的距离为 2, F 即 =2, 解得 p=8.
������
∴ 抛物线 C2 的方程为 x2=16y.
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5.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点, 焦点为 F( 0)直线 l 与抛物线 C 1, , 相交于 A, 两点.若 AB 的中点为( 2)则直线 l 的方程为 B 2, , . 【答案】 y=x 【解析】由焦点 F( 0) 1, 知抛物线 C 的方程为 y2=4x, A( 1, 1) B( 2, 2) 设 x y , x y , 2 2 则有������1 =4x1, 2 =4x2, ������ 2 两式相减有������1 −
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������ 2������
( 设A 2)
2 2 ������1 -������2 2 2 kOA=������ , OB=������ , k tan∠AOB= 4 1+������ ������ 1 2 1 2
������2 1 ,������ 2 1
, B
������2 2 ,������ 2 2
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2.已知抛物线 A. C.
3 0, 16 1 ,0 3
3 2 y=4x , 则它的焦点坐标是( 3 B. 16 ,0 1 D. 0, 3
2
)
【答案】 D 【解析】 抛物线的标准方程为 x ∴ 抛物线
3 2 y=4x 的焦点坐标是 4 4 2 =3y.∴ 3.∴ 3. 2p= p=
1 0, 3
( 1>0>y2) y , =
2(������2 -������1 ) =-1, ������1 ������2+4
∴ 1y2+2( 2-y1) y y +4=0. 当 AB 的斜率存在时, 由( 知 1)
2 y1+y2= , 1y2=-2m. y ������ 4 ������
2
∴ 1-y2= (������1 + ������2 )2 -4������1 ������2 = y ∴ -2m+4=2 ∴
2������
的倾斜角).
(5)以 AB 为直径的圆与准线相切. (6)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. (7)∠CFD=90° .
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1.同一坐标平面内到定点 F( 0) -1, 的距离和到定直线 l: x=1 的距离相 等的点的轨迹方程是( ) A.y2=2x B.y2=-2x C.y2=4x D.y2=-4x 【答案】 D 【解析】 由抛物线的定义知, 点的轨迹是开口向左的抛物线, 且 p=2, 其方程为 y2=-2px=-4x. ∴
.
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3.点 M( 3) 5, 到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6, 那么抛物线的方程为 ( ) A.y=12x2 B.y=-36x2 C.y=12x2 或 y=-36x2 D.y= x2 或 y=- x2 【答案】 D
1 【解析】 将抛物线方程化为 x =������y, 抛物线的开口向上时, 准线方程 1 1 1 1 2 为 y=-4������.点 M 到它的距离为4������+3=6, a=12.抛物线的方程为 y=12x ; 即 1 1 抛物线的开口向下时, 准线方程为 y=-4������, M 到它的距离为-4������-3=6, 点 1 1 2 即 a=-36, 抛物线的方程为 y=-36x , 故选 D.
������
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与焦点弦有关的常用结论.( 以下图为依据)
(1)y1y2=-p
2
������2 , 1x2= . x 4
(2)|AB|=x1+x2+p=sin2 θ(θ 为 AB 的倾斜角).
������2 (3)S△AOB=2sin������(θ 为 AB 1 1 2 (4)|������������| + |������������|为定值������.
4 ������
2
+ 8m.
+ 8m.
4 ������
2
������ ≤ 2, ������2 -12m + 4 =
> 0.
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∴ 0<m<6-4 2. 当 AB 斜率不存在时, m, 2������ , m, , ∴ tan∠AOB=
12 ������
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1.抛物线的定义 平面内与一定点 F 和一条定直线 l( F∉l) 的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线.定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 l 叫做抛物线的准线. 定义中, 定点 F 不在定直线 l 上, 若点 F∈l, 则动点的轨迹是与 l 垂直且过点 F 的直线.
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2.抛物线的标准方程及几何性质 y2=2px y2=-2px x2=2py 方程 ( p>0) ( p>0) ( p>0) 图形
利用抛物线的定义可将|PF|转化为 P 到准线的距离 来考虑.
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【解】 由定义知, 抛物线上点 P 到焦点 F 的 距离等于点 P 到准线 l 的距离 d, 由图可知, 求 |PA|+|PF|的问题可转化为求|PA|+d 的问题. 将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x, y=± 6. 得 ∵ 6>2, A 点在抛物线内部. ∴ 设抛物线上点 P 到准线 l: x=- 的距离为 d, 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 由图可知, PA⊥l 时, 当 |PA|+d
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1.例 1 中条件不变, 求点 P 到点 B
1 x=-2的距离之和的最小值. 1
1 - 2 ,1
的距离与点 P 到直线
【解】 由于直线 x=-2即为抛物线的准线, 故|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|, 当且仅当 B, F 共线时取等号. P, 而|BF|=
1 1 2 + 2 2
+ 12 = 2,
第 8 讲 抛物线
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考 纲 展 示 1.掌握抛物线的定义、 几 何图形、标准方程及简 单几何性质. 2.能解决直线与抛物线 的位置关系等问题.
考 纲 解 读 通过分析近两年的高考试题可以看出,一方面以选 择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程 及简单几何性质等基础知识,另一方面以解答题的 形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位 置关系的综合问题,着力于数学思想方法及数学语 言的考查,题目的运算量一般不是很大,属于中档题.
x2=-2py ( p>0)