自动控制原理第三章时域分析

典型信号选取条件
(1) 信号（实验室、现场）容易产生 (2) 尽可能接近实际工作时的外加信号 (3) 反映系统最不利的工作(环境)条件
瞬态响应：系统在某一典型信号输入作用下，其系统输出量 从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态响应也称动态响应 或过渡过程或暂态响应。 稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当时间趋于 无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称为静态响应。 分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点
1) 动态过程与稳态过程 控制系统的时间响应，可以分为动态（瞬态）过程和稳态过程。
1)
动态过程与稳态过程
程。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，表现为衰减(等幅
动态过程：系统在典型信号作用下，输出量从初始状态到接近最终状态的响应过
振荡、发散属于不稳定)过程。
稳态过程：系统在典型信号作用下，时间t趋于无穷时，系统的输出状态。研 究系统的稳态特性，以确定输出信号对输入信号跟踪的能力。提供 稳态误差信息，用稳态性能（稳态误差）描述。
例1： 输入：(t)——角度 E——恒定电压 输出：u(t)——电压
+
E
-
(s)
(t )
K

U (s)
u(t)
+
运动方程： u(t)=K(t) 传递函数： U(s)
G(s)
(s)
K
K——比例系数，量纲为伏/弧度。
例 2：输入：n1(t)——转速 输出：n2(t)——转速
Z1——主动轮的齿数 Z2——从动轮的齿数
h 流出量与液面高度： 或 Q0 R R为流出端负载阀门的阻 力，即液阻
整理后得：T
dh dt
h Ku 式中： T＝RA , K K u R
0
12
t
M ( s) ck lim ( s pk ) s pk N ( s)
传递函数的零点影响到各模态在运动中所占的“比重”
从工程的角度看，决不能认为系统的动态性质唯一 地或者主要地由传递函数的极点决定，必须注意到 零点的作用。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.2.2 传递函数G(s)的零点和极点对输出的影响 极点用 表示 p z 传递函数G(s)的零点 和极点
4. 加速度信号
1 0 r (t ) 2 at 2 t0 t0
1 R(s) 2 s
R(s)
1 s3
5. 谐波信号
R( S )
C1 ( s ) 4S 2 G1 ( s ) ＝ R ( s ) ( S 1)( S 2)
1 1
G( S )
C (S )
C2 (s) 1 .5 S 2 G2 ( s ) ＝ R ( s ) ( S 1)( S 2) 1 .5 S 2 c2 (t )＝ L S ( S 1 )( S 2 )
i (t )
uc (t ) R
运动方程： 传递函数：
（Tc=RC）
u r (t)
G(s)
1 RC
u
c
(t)dt u c (t)
U c (s) Tc s U r (s) Tc s 1
当Tc<<1时，又可表示成：
G(s)
U c (s) Tc s U r (s)
3、积分环节



r (t ) dt 1
R( s ) 1
0, t h, t 0 r (t ) 1 0t h , h
2.阶跃信号
t0 r( t ) 0 au( t ) t 0
1 R(s) s
3.斜坡（速度）信号
0 t 0 r (t ) at t 0
C(s) 1 K R(s) Ts s
4、惯性环节(又叫惰性环节)
特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输 入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。
R(s) dc(t) T c(t) Kr(t) dt
运动方程：
1 Ts 1
C (s)
1 传递函数： G(s) Ts 1
工程上典型测试信号（输入函数）
时域函数：r(t) t 0 单位脉冲 单位阶跃 (t) 复域：F（s） r(t) 图形
o
1
1 S
1 S2
t t t t t
1
o
1(t )
单位速度 单位加速度
单位正弦
t
1 2 t 2
sin t
o o
1 S3
s2 2
o
3.2 一阶系统的瞬态响应
[提示]：上述几种典型响应有如下关系： 单位脉冲 函数响应
N1 s
z1 z2
N2 s
Z1
n1 (t )
n2 ( t )
Z2
运动方程：
z1 n 2 (t) n1 (t) z2
G(s) N 2 (s) z1 K N1 (s) z 2
传递函数：
其它一些比例环节
+ Ec
R
ic (t )
R2 R1
r (t )
r1
+
R3
K
c (t )
r2
3.1 时域分析中的典型信号 3.2 一阶系统的瞬态响应 3.3 二阶系统的瞬态响应
3.4 稳定性与劳斯判据 3.5 稳态误差
时域分析中的典型信号
输入信号r(t) 系统的微分方程
输出信号c(t)
控制系统的输入信号（如扰动）常常具有随机性而无法预 先确定，为了分析和设计控制系统，必须对各种控制系统性能 进行评判，需要选择若干典型输入信号。通过对这些系统施加 各种典型（试验、测试）信号，比较它们的响应，能否满足工 程实际要求。
第三章 时域分析
时域分析：指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分 析系统的稳定性、瞬态、稳态性能。
优点：直观、准确，它可以给出系统精确的时间响应曲线和性能指标， 具有明确物理意义（时间、空间）。 缺点：人工求解困难，不利于分析系统结构和参数变化对系统响应的影 响。用计算机求解（matlab软件包）就很简单。
r (t ) c (t )
ib (t )
R(s)
r2 r1 r2
C s
R(s)

R2 R1
C s
Ib (s)

Ic (s)
2、微分环节
特 点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。 R(s) C (s)
S
运动方程：
C(t) K
dr(t) dt
传递函数：
G(s)
C(s) KS R(s)
控制量是随时间变化的函数，像雷达天线、火炮、温控装 置等，则选择斜坡函数； 控制系统为冲击输入量，像导弹发射、卫星发射等，则选择脉 冲函数； 如果控制系统的输入量是随时间变化的往返运动量，如机器振 动，则以选择正（余）弦函数； 如果控制系统的输入量是突然变化的量，像突然合电、断电等， 则选择阶跃信号。
i i
零点用表示
C ( s ) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M ( s ) G (s) n n 1 R ( s ) a0 s a1s an 1s an N (s) m
b0 ( s z1 ) ( s z m ) K* a0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
t
td
单位阶跃响应曲线
延迟时间 ： 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间 t r : ： 响应曲线从稳态值的 10%上升到90%，所需的时间。 峰值时间 t p :响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间。
3.1 时域分析中的典型信号
1. 脉冲信号
0, t 0 r (t ) , t 0
微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭 零点（若0 1）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯 的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。
例1
RC电路
u r (t )
i (t )
C
R
u c (t )
设：输入——ur(t) 输出——uc(t) 消去i(t)，得到：
1 u r (t) i(t)dt i(t)R c
1
4S 2 c1 (t ) L C1 ( s ) ＝L S ( S 1 )( S 2 )
j
1 -1.33 -2 -1 -0.5 0
c(t) c1(t) 1 2et 3e2t

1.0
c2 (t) 1 0.5et 0.5e2t
-1 极点和零点分布图
积分
单位阶跃 函数响应
积分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
微分
微分
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系 统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输 入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数 为典型输入信号。
线性系统的时域性能指标
(s z )
i i 1 n j
(s p
j 1
)
N ( s) a0 s n a1s n 1 an 1s an＝0 决定系统响应的类型（运动模态）
特征方程 式
特征方程的根等于（就是）传递函数的极点Pj , 它们
传递函数的零点Z j , 它们决定系统响应的形状
特 点：输出量的变化速度和输入量成正比。
R(s)
1 s
C (s)
运动方程： 传递函数：
dc(t) Kr(t) dt K G(s) s
y(t )
y kt
S平面
j 0
x(t ) 1(t )

t 0 有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ” 表示。K表示比例系数，T称为时间常数。
ess lim e(t )
t

动态性能
通常在阶跃函数作用下，研究系统的动态性能。一般认为阶跃函数 输入能够反映系统最严峻的工作状态。
动态性能指标（振荡型）
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
0.5 h()
0.1 h()
td
td
0.02或 0.05
0
tr tp ts
Re
例1：积分电路
ic (t )
C
i1 (t )
R1
+
R3
K
c (t )
r (t )
输入为r(t)，输出为c(t)
r(t) i c (t) i1 (t) R1
R(s)
1 R1Cs
C (s)
运动方程： 传递函数： （T=R1C）
c(t)
G(s)
1 1 1 i (t)dt r(t)dt r(t)dt c C R1C T
RC充电电路
i
R ui C uo
U o ( s) G ( s) 1 U i ( s) R Cs 1 1 RCs 1 Ts 1
1 Cs
时间常数T＝RC，当T小时，充电快
输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：
y 1 通过原点切线斜率为1/T j S平面
0.632
1
tT
)
例： 单容水槽（水位控制系统的被控对象）
Qi 水流入量 u 调节阀开度
V 槽水量 R 液阻
Q0 水流出量 h 水位高度
A 槽截面积 K u－－流量系数
Qi Qi h0 h Q0 Q0
开度与流量: Qi K u u
dh 流入量与流出量之差： Qi－Q0＝ dV A dt dt
14
2.2.3 典型环节及其传递函数
1、比例环节（又叫放大环节）
R( s)
K
C ( s)
特 点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。 运动方程: 传递函数： c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。
G(s) C(s) K R(s)
比例环节又称为放大环节。k为放大系数。 实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。
0 T t

1
T
0
Re
通过原点的 斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。
求单位阶跃输入的输出响应： k 1 1 Y ( s) 1 1 Y ( s ) k ( ) , X ( s) , 1 s(Ts 1) s s T X ( s) Ts 1 s
y(t ) L [Y (s)] k (1 e
y
瞬态过程
稳态过程
0
t
2) 动态性能与稳态性能
稳定是控制系统能够运行的首要条件，只 有动态过程收敛，研究动态性能与稳态性 能才有意义。

R(S)
E(S )
B(S)
G(S ) H (S )
C(S)
稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的指标，是系统控制精度或 抗干扰能力的一种度量。 通常在典型输入信号（阶跃函数、速度函数、加速度函数）作用下 进行计算。时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量，则系统存在 稳态误差。