自动控制原理(第五章)第四节
精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第5章
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
自动控制原理第五章
自动控制原理第五章为了实现各种复杂的控制任务，首先要将被控制对象和控制装置按照一定的方式连接起来，组成一个有机的整体，这就是自动控制系统。
在自动控制系统中，被控对象的输出量即被控量是要求严格加以控制的物理量，它可以要求保持为某一恒定值，例如温度、压力或飞行轨迹等;而控制装置则是对被控对象施加控制作用的相关机构的总体，它可以采用不同的原理和方式对被控对象进行控制，但最基本的一种是基于反馈控制原理的反馈控制系统。
折叠反馈控制系统在反馈控制系统中，控制装置对被控装置施加的控制作用，是取自被控量的反馈信息，用来不断修正被控量和控制量之间的偏差从而实现对被控量进行控制的任务，这就是反馈控制的原理。
下面是一个标准的反馈模型:开方:公式:X(n+1)=Xn+(A/Xn^2-Xn)1/3设A=5，开3次方5介于1^3至2^3之间(1的3次方=1，2的3次方=8)X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。
例如我们取2.0。
按照公式:第一步:X1={2.0+[5/(2.0^2-2.0)]1/3=1.7}。
即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，输入值大于输出值，负反馈2-0.25=1.75，取2位数字，即1.7。
第二步:X2={1.7+[5/(1.7^2-1.7)]1/3=1.71}.。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，输入值小于输出值正反馈1.7+0.01=1.71。
取3位数字，比前面多取一位数字。
第三步:X3={1.71+[5/(1.71^2-1.71)]1/3=1.709} 输入值大于输出值，负反馈第四步:X4={1.709+[5/(1.709^2-1.709)]1/3=1.7099} 输入值小于输出值正反馈这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动减小;第二步，第四步输入值偏小，输出值自动增大。
自动控制原理第5章
自动控制原理第5章第5章自动控制原理自动控制是利用控制器来实现对一些过程的自动调节和控制。
自动控制原理是自动控制系统设计与应用的基础。
本章主要介绍自动控制的一般原理和方法。
5.1自动控制系统的基本概念自动控制系统由控制对象、传感器、执行器和控制器组成。
控制对象是需要进行调节和控制的实际系统或过程，如温度、速度、压力等。
传感器用于将控制对象的状态参数转换成电信号，以便控制器进行处理。
执行器则负责根据控制器输出的控制信号，改变控制对象的状态。
控制器是实现控制策略的处理器，根据传感器的反馈信息和设定值，产生控制信号。
5.2自动控制的基本原理自动控制的基本原理是反馈控制原理。
反馈控制是通过对控制对象的测量结果进行反馈，并根据反馈信号与设定值之间的差异，产生控制信号来实现调节和控制。
运用反馈控制原理可以使系统具有自动调节和稳定性。
5.3自动控制设计的基本步骤自动控制设计的基本步骤包括系统建模、性能要求分析、控制器设计和系统仿真。
系统建模是将控制对象抽象为数学模型，以便进行分析和设计。
性能要求分析是根据控制对象的特性和应用需求，确定控制系统的性能指标和要求。
控制器设计是根据控制对象的数学模型和性能要求，设计合适的控制器结构和参数。
系统仿真是利用仿真软件对设计的控制系统进行验证和优化。
5.4自动控制的稳定性分析稳定性是自动控制系统要求的基本性能之一，稳定性分析主要用于确定控制系统的稳定性边界。
控制系统的稳定性可以通过特征方程或奈奎斯特准则进行判定。
特征方程是特性方程增益为零时，系统特征根的解。
奈奎斯特准则是通过绘制奈奎斯特图来判断系统是否稳定，奈奎斯特准则基于控制系统的频率响应特性。
5.5自动控制的性能指标自动控制系统的性能指标包括稳定性、速度、准确性和抗干扰性。
稳定性是指系统的输出在长时间的过程中保持在设定值附近。
速度是系统从一个稳定工作状态达到另一个稳定工作状态所需要的时间。
准确性是系统输出与设定值之间的差距。
自动控制原理第五章
•表5-1 RC网络的幅频特性和相频特性数据
A( )
( )
0 1 0
1 0.707
45
2 0.45
5 0.196
0
63.4 78.69 90
图5-2 RC网络的幅频和相频特性
图5-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包 括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线， 其中，幅频特性曲线可以表示一个线性系 统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态 增益；而相频特性曲线则可以表示一个线 性系统或环节对不同频率正弦输入信号的 相位差。对数频率特性图通常绘制在半对 数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
图5-20控制系统结构图
将系统的开环频率特性函数按典型环节划分， 可以分解为： ( j 1) ( ( j ) 2 ( j ) 1) k
m1 m2
G ( j ) H ( j )
k
2 l
2
l l
( j )
0
k 1 n1
( i s 1) ( 2 ( j ) 2 2 j j ( j ) 1) j
图5-19 Ⅱ型三阶系统幅相频率特性图
讨论更一般的情况，对于如图5-20所示的闭 环控制系统结构图，其开环传递函数为 G( s) H ( s) ，可以把系统的开环频率特性写作如 下的极坐标形式或直角坐标形式：
G( j)H ( j) G( j)H ( j) e j () P() jQ()
•图5-6积分环节频率特性的极坐标图
在伯德图上，积分环节的对数频率特性为
L( ) lg A( ) lg G( j ) lg ( ) 2
图5-7积分环节的伯德图
自动控制原理第04讲
T = R1C
R2 α= R1 + R2
8
第四节 典型环节的数学模型
五、振荡环节 弹簧阻尼系统的传递函数为： G ( s ) = RLC电路的传递函数为：
1 ms 2 + fs + k 1 G ( s) = LCs 2 + RCs + 1
振荡环节的微分方程为：
d2 d 2 τ y (t ) + 2ζτ y (t ) + y (t ) = Ku (t ) 2 dt dt
s + ζωn ζωn ωd 1 C (s) = − − ⋅ 2 2 ωd ( s + ζωn ) 2 + ωd 2 s ( s + ζωn ) + ωd
13
第四节 典型环节的数学模型
五、振荡环节
c(t ) = 1 − e = 1− e
−ζωn t
−ζωn t
ζωn −ζω t cos ωd t − ⋅e sin ωd t ωd
传递函数为：
Y (s) K G(s) = = 2 2 U ( s ) τ s + 2ζτ s + 1
9
第四节 典型环节的数学模型
五、振荡环节
Y (s) K = 2 2 G(s) = U ( s ) τ s + 2ζτ s + 1
2 K ⋅ ωn Y ( s) G ( s) = = 2 2 U ( s ) s + 2ζωn s + ωn
ωn = 1/ τ
ωd = ω n 1 − ζ 2
无阻尼自然振荡频率 阻尼自然振荡频率
ζ
阻尼系数、阻尼比
10
第四节 典型环节的数学模型
五、振荡环节
自动控制原理-频率特性与系统性能的关系
A(ω)= ω
1
ω 2ζωn
第四节 频率特性与系统性能的关系
二阶系统的开环对数频率特性曲线
时域法中：
L(ω)/dB
σ%—系统的平稳性
-20dB/dec
ts —系统的快速性
0
ωc
Φ(ω)
2ξ ωn
ω
频域法中：
0
-40dB/dec
ω
ωc
-90
—系统的快速性 -180
第五章 频率特性法
第五节 频率特性与系统性能的关系
频率特性法是通过系统的开环频 率特性和闭环频率特性的频域性能指 标间接地表征系统瞬态响应的性能。
一、开环频率特性与系统性能的关系 二、闭环频率特性与时域指标的关系
第四节 频率特性与系统性能的关系
一 、开环频率特性与系统性能的关系
常将开环频率特性分成低、中、高 三个频段。
第四节 频率特性与系统性能的关系
（2）中频段的斜率与动态性能的关系 频段较Φ设(宽s系)=，统1可+G中G(近频s()s似)段=认斜1+为率ωSωS整2c为22c2个-=4曲0Sd2ω+线Bωc/2是dce2 c一，条且斜中 率为-40系dB统/d处ec的于直临线界。稳定状态。
开环传递函数：
L(ω)/dB
2. 中频段
穿越频率ωc附近的区段为中频段。它 反映了系统动态响应的平稳性和快速性。
（1）穿越频率ωc与动态性能的关系 设系统中频段斜率为20dB/dec且中频
段比较宽，如图所示。可近似认为整个曲 线是一条斜率为-20dB/dec的直线。
第四节 频率特性与系统性能的关系
中频段对数幅频特性曲线
开环传递函数：
G解对(设 ωj：tωt应g性1g：)-的(-1=11ωω的的ωω)变ωcjω3c2曲频关ω--3c化tt(g线=率系g1ω-ω范K-+111如3特。3jc(21围=ω==ω性图+73110j2ω8):ω～o(o12ω+) j2ωω,0可3L-)2(求ω0ωd)B1得//dd-ω4Be0:c2dBω/d-4ec0cdBω/d3ec ω
自动控制原理 第五章 频率法
频率特性
在稳态下输出：e2 = E2Sin(wt +υ ) 仍是正弦信号, 频率不变, 幅值和相角发生变化. 变化与w有关. 1/jwC 1 写成矢量形式：e2 = ————— e1 = ———— e1 R + 1/jwC 1+jwRC e2 1
-— = ———— e1 1+jwRC
与电路参数RC有关、与输入电压的频率有关
自动控制原理
蒋大明
幅相特性与传递函数之间的关系
输出输入的振幅比（幅频特性）： A(w) = Ac/Ar = | G(jw)| = G(S) | 输出输入的相位差（相频特性）： υ (w) = υ - 0 =∠G(jw) =∠G(S) | 所以：G(jw) = G(S)|S=jw 频率特性 传递函数 证毕
自动控制原理
蒋大明
一阶不稳定环节
一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所 不同，是在-180至-90范围内变化.
L ( )
0 -20
1
10
(a )
( )
0o
90o
(b)
180o
图5-20 一阶不稳定环节 的对数频率特性
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
传递函数： G(S) = e-τ
S
幅相频率特性：
G(jw) = e-jτ
A(w) = 1 υ (w) = -τ w
w
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
对数频率特性： L(w) = 20 lg A(w) = 20lg 1 = 0 υ (w) = -τ w
（横坐标对数分度，曲线）
自动控制原理
蒋大明
第三节
1.
自动控制原理(胡寿松版)完整第五章ppt课件
-20
φ (ω )
ω=0.1 L(ω )=20lg0.1=-20dB 90
对数相频特性：φ (ω )=90o 0 0.1
1
10ω
第二节 典型环节与系统的频率特性
4)．惯性环节
G(s)=Ts1+1
G(ωj
)=
jω
1 T+1
(1) 奈氏图
A(ω
)=
1 1+(ω T)2
φ (ω )= -tg-ω1 T
取特可殊以点证：绘明ω制：=0奈氏图近似方I法m : AA图心半A点(ω(ω(是 ， 圆ω，))=以 以 。惯=)0然=根ωω0(1性.171==/后据0/环2∞27为T将幅1节φ,jφo半φ它频的(ω)(ω径为(ω奈们特))=的圆)=氏平-性=09-o0滑4和o5连o相ω接频起∞特来0性-。求45ω=出T1特殊ω1=0Re
5）二阶微分环节 s 2 /n 2 2s /n 1(n 0 ,0 1 )
6）积分环节 1 / s
7）微分环节 s
第二节 典型环节与系统的频率特性
（2）非最小相位系统环节
1）比例环节 K (K0)
2）惯性环节 1/( T s1 ) (T0) 3）一阶微分环节 Ts1 (T0)
4）振荡环节 1 /( s 2 /n 2 2 s /n 1 )(n 0 ,0 1 )
第一节 频率特性
系统输入输出曲线 定义频率特性为:
r(t) c(t)
r(t)=Asinωt
G(ωj )
=|G(jω)|e j G(jω) =A(ω )e φj (ω )
A 0
幅频特性： t A(ω )=|G(jω)|
G(jω)
A G(jω )
相频特性： φ (ω )= G(jω)
自动控制原理第5章
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1 sin(t arctanT ) 1 2T 2
1
e jarctanT
j 1
e 1 jT
1 2T 2
jT
1
1 jT
RC网络的频率特性
只要把传递函数式中的s以j置换，就可以 得到频率特性，即
1
1
1 jT 1 Ts sj
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
对数相频特性：( ) arctan 特征点： 1 , L( ) 3dB, 45
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
一阶微分环节的伯德图 幅相曲线
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
六、振荡环节
传递函数： 频率特性：
G(s)
2 n
s2 2n s n2
1
s
n
2
2 n
s1
G( j
M ( ) G(j )
G1(j ) G2 (j ) G3(j ) M1( ) M2 ( ) M3 ( )
( ) G(j ) G1(j ) G2(j ) G3(j ) 1( ) 2( ) 3( )
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1.开环幅相特性曲线的绘制
例 某0型单位负反馈控制系统，系统开环
频率特性： G(j) 2 j 2 2 j 1
对数幅频特性：
L() 20lg G j 20lg 1 22 2 2 2
对数相频特性：
arctan
1
2 2
2
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅相曲线: 0时，M 1, 0 ; 时，M =, =180
自动控制原理
自动控制原理第五章
自动控制原理第五章1. 频率特性:在正弦信号作用下，系统输出稳态分量与输入复数的比值;其中,比(W)的振幅输出的稳态分量的振幅输入称为振幅频率特性,和φ的差异之间的相位角(W)输出稳态组件和输入相角称为相位频率特性,即(公式)。
2. 频率特性的几何表示幅相频率特性曲线(简称幅相曲线或奈奎斯特曲线或极坐标图):w从0到∞变化时，G (JW)在复平面上的轨迹。
绘制方法:方法1:计算每个W值的幅值A (W)和相位角(W)，然后跟踪点并将其连接成光滑曲线;方法二:对每个W值计算U (W)和V (W)，然后跟踪点线。
对数频率特性曲线：（简称对数坐标图或伯德图）①对数幅频特性：[公式]②对数相频特性：[公式]③横坐标是频率w，采用对数分度，单位是rad/s；对数幅频特性曲线的纵坐标为对数幅频特性的函数值，采用均匀分度，单位是dB；对数相频特性曲线的纵坐标为相频特性的函数值，采用均匀分度，单位是（°）。
注：采用对数显著优点是将频率特性的幅值乘除变为相加减，简化作图。
3、典型环节的频率特性①比例环节G(s)=K幅相频率特性：G(jw)=K，幅频特性A(w)=K；相频特性φ(w)=0°；曲线为实轴上一点。
对数频率特性：L(w)=20lgK；φ(w)=0°改变K：幅频曲线升高或降低；相频曲线不变②积分环节G(S)= [公式]幅相频率特性：G(jw)= [公式]；幅频特性：A(w)= [公式] ；相频特性：-90°对数频率特性：L(w)=20lg [公式] =-20lgw；φ(w)=-90°③微分环节G(S)=S(纯微分)幅相频率特性：G(jw)=jw；幅频特性：A(w)=w；相频特性：φ(w)=90°对数频率特性：L(w)=20lgw；φ(w)=90°④惯性环节G(S)= [公式]幅相频率特性：G(jw)= [公式]；A(w)= [公式] ；φ(w)=-arctanTw 【当w=0时，A(0)=1，φ(0)=0°；当w=1/T时，A(1/T)= [公式] ，φ(1/T)=-45°；当w=∞时，A(∞)=0，φ(∞)=-90°】对数频率特性：L(w)=20lg[公式]，φ(w)=-arctanTw【[公式]时，L(w)≈20lg1=0，[公式]时，L(w)≈20lg [公式]】⑤振荡环节G(s)=[公式](式中T= [公式] , 0<ζ<1)；G(jw)= [公式] 幅相频率特性：A(jw)= [公式]；φ(w)=-arctan [公式]【当w=0时，A(0)=1，φ(0)=0°；当w=1/T=wn时，A(1/T)= 1/2ζ，φ(1/T)=-90°；当w=∞时，A(∞)=0，φ(∞)=-180°】【令[公式] =0，有谐振频率[公式] = [公式] ，谐振峰值：[公式]=A( [公式] )= [公式]当[公式]固定，[公式] 越小，[公式]越接近[公式]，[公式]越大；当ζ大于[公式] 时，将不发生谐振，即A(w)随着w增大而单调减小】⑥延时环节G(S)= [公式]幅相频率特性：G(jw)=[公式]；幅频特性：A(w)=1；相频特性：φ(w)=-57.3τw对数频率特性：L(w)=0；φ(w)=-57.3w4、绘图奈氏曲线制图方法：[公式]①起点:令w→0，则[公式]= [公式]0型系统：始于实轴(K,j0)的点Ⅰ型系统：始于相角为-90°的无穷远处;当w趋于0+时，曲线与虚轴平行Ⅱ型系统：始于相角为-180°的无穷远处;当w趋于0+时，曲线渐进与负实轴平行②终点: [公式] ,n>m。
自动控制原理课件第五章
1 幅相频率特性
• • •
曲线或极坐标图。 在复平面，把频率特性的模和角同时表示出来的图就是 幅相曲线或极坐标图。 它是以 为参变量，以复平面上的矢量 G ( j ) 表示的一 种方法。 例 惯性环节幅相频率特性
G ( j ) k 1 jT k 1 T
2 2
•幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist）
模从- 相角从-/2-3/2
-1
Im
ω
∞
Re
ω ω
0
系统开环对数频率特性例题2
系统开环对数频率特性
系统开环对数频率特性例题3
系统开环传函：
G (s)
-1 -1 0.05 0.1 1 2 10 100 -2 -90°
20 lg 40 20 lg 1 0 . 05 20 lg
L( )
为横坐标，
为纵坐标。
5-3 典型环节及开环频率特性 一、典型环节的频率特性p177
•要求掌握以下各环节幅相频率特性及对数频率 特性。
比例环节、微分环节、 积分环节、 惯性环 节、 振荡环节、 一阶微分环节、 二阶微分 环节、 延时环节。 非最小相位环节 开环传函中包含右半平 面 的零点或极点。
比例 G( s ) k , G( j ) k , 积分 ( s ) , G ( j ) G , s j 微分
1 1
k, 0
1
, 90
G( s ) s, G( j ) j ,
, 90
惯性环节（对比一阶微分环节）
G( s) 1 Ts 1 1 1 T
s
G ( j ) e
j
cos j sin
自动控制原理第五章
自动控制原理第五章
现代控制理论基础
20世纪50年代诞生，60年代发展。
标志和基础：状态空间法。
特点：揭示系统内部的关系和特性，研究和采用优良和复杂的控制方法。
适用范围：单变量系统，多变量系统，线性定常系统，线性时变系统，非线性系统。
状态：时间域中系统的运动信息。
状态变量：确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量。
能完全确定系统运动状态而个数又最少的一组变量。
知道初始时刻一组状态变量的值及此后的输入变量，可以确定此后全部状态（或变量）的值。
n阶微分方程描述的n阶系统，状态变量的个数是n。
状态变量的选取不是唯一的。
状态向量：由n个状态变量组成的向量。
状态空间：以状态变量为坐标构成的n维空间。
状态方程：描述系统状态变量之间及其和输入之间的函数关系的一阶微分方程组。
输出方程：描述系统输出变量与状态变量（有时包括输入）之间的函数关系的代数方程。
状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合。
2.方程含有输入的导数,传递函数有零点
根据传函实数极点建状态空间表达式
状态变量个数一定，选取方法很多，系数矩阵多样。
z=Px(│P│≠0)是状态向量。
│sI-A│：系统或矩阵的特征多项式。
│sI-A│=0：特征值或特征根，传递函数极点。
同一个系统特征值不变。
状态变量图包括积分器，加法器，比例器。
表示状态变量、输入、输出的关系。
n阶系统有n个积分器。
状态变量图↔状态空间表达式。
自动控制原理第五章(第4次)
x 3 1.732rad / s
autocumt@ 21
中国矿业大学信电学院 常俊林
5.4 频域稳定裕度—相对稳定性
K A( j x ) 0.5 2 3 8 ( 1 x ) K K 4
自动控制原理
幅值裕度:
A( jc )
相角裕度:
autocumt@ 3
闭环系统不稳定
中国矿业大学信电学院 常俊林
5-3 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
例1.某最小相位系统的开环Nyqusit曲线如图所示 试确定其闭环系统的稳定性
N 1； N 1
Z P 2N P 2( N N ) 0 2(1 1) 0
绘制>T和<T情况下的幅相曲线并判定闭环稳定性。
j
0
T
0
0
P=0, N=0，Z=P-2N=0
autocumt@ 8
中国矿业大学信电学院 常俊林
5-3 频域稳定判据（奈氏判据）
K（ S 1 ） G(S ) H ( S ) 2 , T , , K 0 S (TS 1)
- 3K - K (1 - 2 ) j (1 2 )(1 4 2 )
2
(-1,0j)
G ( j )
0
Re
据临界稳定条件： x Im( x ) 0
2 0.707 2
0
rad s
Re(x ) － 1
autocumt@ 10
自动控制原理
0
j
0
T
0
N 0 N 1
P=0, N=-1，Z=P-2N=2
自动控制原理(胡寿松) 第五章
27
（2）相频特性
()arct1a 2T n T2 2
可知，当ω=0时，()=0；ω=1/T时，()=-90°；ω→∞时，()→ -
180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及
() =-90°这一点斜对称。
振荡环节具有 相位滞后的作用， 输出滞后于输入的 范围为0º→-180º；
10
5.1 频率特性的基本概念
G(jω)C R • • A Acr 1 2 A(ω) (ω)
R 表示输入正弦量的相量 C 表示输出正弦量的相量
G(jω)称为系统的频率特性，它表示了系统在正弦作用下， 稳态输出的振幅，相位随频率变化的关系。
A()AcG(j) 称为系统的幅频特性
Ar
φ(ω)= ∠G(jω) 称为系统的相频特性
=0+3=3dB。
24
6．二阶振荡环节
1
T2s2 2Ts 1
（1）对数幅频特性
L
20lg
T2
j2
1
j2T
1
20lg 12T2 2 2T2
1.低频段
T<<1(或<<1/T)时，L() 20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线
重合。 0≤≤1
25
L 2 0 l g1 2 T 22 2T 2
13
Bode图
5.1 频率特性的基本概念
也称对数频率特性，就是将A(ω)和φ(ω)分别表示在两 个图上，横坐标采用对数刻度。
L(ω)
对数频率特性定义为：
L(ω)=20lgA(ω) dB L(ω)的图形就是Bode图
G(s) 1 Ts1
Bode图
对数相频特 性：纵轴均 匀刻度，标 以φ(ω)值 (单位为度)； 横轴刻度及 标值方法与 幅频特性相 同。
西安科技大学自动控制原理教学同步教程-第五章详解
G ( j )
1
e j 90 j
1
20lgG（）（dB）
-20分贝的直线（简称 20dB dec ），且过零分贝的ω为1。由 o 于 () 90，所以积分环节的对数相频特性是一条与横轴平 40 0 行且纵轴为 90 的直线。
20
0
20
40
Байду номын сангаас
jV
• 式（5-10）和（5-14）是两种频率特性的定义： • 式（5-10）是在零初始条件时线性系统在正弦信号 作用下，其输出响应的稳态分量与输入信号复振幅 之比； • 式（5-14）是在零初始条件时线性系统输出的富氏 变换 C ( j )与输入信号富氏变换 R( j ) 之比。 • 但频率特性的求取一般采用式（5-11），即用虚数 “ ” s ” 代换环节或系统传递函数中的复数 j“ 。
R(s) G(s) C(s)
图5-1 线性定常系统方框图
设图5-1表示线性定常控制 系统，其传递函数一般是具 有实系数的有理真分式，可 以表达为
G( s)
N ( s) N ( s) D( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
N ( s )为s的多项式。 式中，
0
U
00
( )
90 0
0.01
180 0
a） 图5-5 积分环节的频率特性图
a—极坐标图；b—对数坐标图
0
0.1
1 (rad/s)
b）
10
100
（三）微分环节 微分环节的传递函数为
G( s) s
其频率特性为 （5-21） () 90o，频率ω增大， G (单调增， ) G( ) ， (不变，因此微 ) 分环节的幅相频率特性是一条与正虚轴重合的直线。 对 G ( ) 取分贝可得微分环节对数幅频特性 20lg G() 20lg （5-22） G( 0 由上式可知ω=1， 20lg ， ω)每增大 10倍，上升20分贝，所以微 分环节对数幅频特性是一条斜率为每十倍频程
自动控制原理—第五章(4)
例5-3 一个闭环系统如图所示。其开环 传递函数为 G(s)=K/(Ts-1),K＞1 这是一个不稳定的惯性环节,开环特征 方程式在右半 s平面有一个根,P=1。闭 环传递函数为 (s)=K/(Ts+K-1) 由于 K＞1,闭环特征方程式的根在左半 s 平面,所以利用代数方法可以判断闭环 是稳定的。 系统开环幅频特性为 A( )
可以看出,当由-变到+时, G(j)矢量逆时针围绕(-1,j0)点 转一圈,即N=-1。 由于Z = N + P = 0，,故由奈氏 稳定判据知闭环系统是稳定的。 另外，可知K＜1时N=0，Z = N + P = 1，闭环系统不稳定； K=1时， G(j)轨迹过(-1,j0)点， 为临界稳定。奈氏判据与代数判 据结论相同.
故由奈氏稳定判据知该闭环系统是稳定的。
4.型别v≥1系统开环频率特性G(j)曲线的处理
在=0附近,幅相特性以为半径,逆时针补画= v· 90°的圆弧，添加圆弧后相当于得到新的开环频率 特性G(j)曲线。此圆弧与实轴或虚轴的交点相当于 新的起点，对应=0，原有曲线的起点对应于=0+ 。 注意所指曲线仍为由0变到+时的开环幅相频率特 性G(j)。 当系统的开环奈氏曲线作如上处理后，代入简化奈 氏稳定判据即可。
对于型别v≥1（v为系统开环传递函数在原点处的极点数）的系 统，应将Bode图对数相频特性在 ω→0处附加一段自上而下的、变 化范围为-v· 90°的曲线与相频特性曲线在 ω→0处相连。相频特性 经过处理后，再使用上述稳定性判据。
Gk ( s )
K s 2 (Ts 1)
相频特性曲线经处理后，可见N- =1 ， 则有 Z = 2（N- - N+） + P =2 闭环系统有两个右极点，为结构不稳定系 统。 图示系统如果不添加相应曲线，则会 得出闭环系统稳定的根据上述对应关系，结合使用正、负穿越情况的稳定判据， 在伯德图上使用奈奎斯特稳定判据时，就是在L（ω）>0dB的频 率范围内，根据相频曲线穿越-180º 的相位线的次数对系统稳定 性做出判定。可将对数频率特性判断闭环系统稳定性的奈氏稳定 判据表述如下: 设开环传递函数在右半S平面上的极点数为P，则L（ω） >0dB的频率范围内，当频率增加时对数相频特性曲线对-180º 的相位线的正、负穿越次数为N+与N- ，闭环右极点个数为 Z = 2（N- - N+） + P
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的： ①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n -+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1 若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t 稳态响应为：t j t j ss e A eA t y ωω⋅+⋅=-)( 而)(21)()(22ωωωωωj G R j j s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-= )(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m t j m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(=φωωj e j G j G -=-)()( ∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j m ss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m=)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
自动控制原理 第五章第四节对数频率特性(上)
⑹ 振荡环节
G ( j )
=
1−
2 n2
1 + j2
n
L() = −20lg [1 − 2 ]2 + [2 ]2
2 n
n
( ) =
−
arctan
2
n
1
-2Βιβλιοθήκη 2 n−360
+
arctan 2
n
1
-
2
2 n
1
L( ) 0
n
( ) 0 − 3 6 0
1
n
L() −40lg( n )
( ) −180
5.4 对数频率特性(Bode图)（上）
⑺ 二阶复合微分
G ( j )
=
1−
2
2 n
+
j2
n
L( ) = 20lg
[1
−
2
2 n
]2
+
[2
n
]2
( ) =
2
arctan
n 2
1
-
2 n
2
360 − arctan
n 2
1
-
2 n
5.4 对数频率特性(Bode图)（上） ⑻ 延迟环节 G(j ) = e−j
G(j) = j
L( ) = 20 lg ( ) = 90
G(j) = 1 j
L( ) = −20lg ( ) = −90
5.4 对数频率特性(Bode图)（上）
⑷ 惯性环节
G(j) = 1 +1 + jT
L( ) = −20lg 1 + 2T2
− arctanT
( ) = − 180 + arctan T
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2015-6-16
自动控制原理
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
二.幅角原理 设F ( S )是复变量的多项式之比 ,.又设P为F ( S )极点数目 , Z为F ( S )的零点数目 , 其中包括重极点与重零 点数目 , 以及 F ( S )的全部极点与零点均分 布在S平面的封闭轨线 S内, 而S 不通过F ( S )的任何极点与零点 . 在这种情况下 , 当点S以顺时针方向沿 S 运动, S 在[ F ( S )]平面上的映射 F 按顺时针方向包围原点 的次数 N Z-P
的极点和零点可能位于右半s平面，但如果 闭环传递函数 的所有极点均位于左半s平面， 则系统是稳定的。
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应
H ( j )G( j ) 与 1 H (s)G(s)
在右半s平面内的开环的极点数和闭环的极 点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭 环极点，得到广泛应用。
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jw
.Zi S [S]
A (a)
k(S- Z1 )(S- Z n ) (S- P1 )(S- Pn )
自动控制原理
Im [F(S)] B Re F (b)
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
F(S)
k(S- Z1 )(S- Z n ) (S- P1 )(S- Pn )
F(S) (S - Z1 ) (S - Z n ) - (S - P1 ) - - (S - Pn ) 这里(S - Zi )表示S按图(a)的S路线变动时, 复数S Z i (即向量)的相位角变化, 当S内只 含零点Z i而不含极点与其他零点时, 除了 ( S Z i )等于 2外, 其余均为零, 所以
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函 数理论中的图形影射基础上的。
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
一.辅助函数 右图所示系统的闭环传函为 G(S) (S) 1 G(S)H(S) 开环传函为 b m s m b m-1s m-1 b1s b 0 G(S)H(S) v s ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n v ) 选取辅助函数 F(S) 1 G(S)H(S) k(S - Z1 )(S - Z 2 ) (S - Z n ) s v ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n v )
i 1 j1
n 1
k 1
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第四节 用频率法分析系统的稳定性 奈氏图
一般，有 n m ，故当 时，有 即特性总是以顺时针方向趋于点，并按上式的 角度终止于原点。
G( j)
幅相特性的高频部分
lim G ( j ) 0(m n)90
i 1 j1
n 1
k 1
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：
G(s) G1 (s)G 2 (s)...G n (s)
G( j) A1 ()e
j1 ( )
A2 ()e
j2 ( )
..An ()e
在＝0 时，P(0) K (T1 T2 )，Q(0) KTT 1 在 时，P( ) 1 2 ，Q( ) 0 T1 T2 TT 1 2
T1 T2 P( ) 1时，达到稳定边界，这时K TT 1 2
T1 T2 K 时，闭环系统稳定。 TT 1 2
jn ( )
A() A1 ()A2 ()...An ()
() 1 () 2 () ... n ()
幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。 相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
奈氏图 幅相特性的低频部分 当 0 时，可以确定特性的低频部分，其特 点由系统的类型近似确定，如下图所示：
G( j)
2 2 K ( j 1 ) (( j ) k 2 k k ( j) 1) m n m 1
( j) ( jTi 1) (( j) 2 Tj2 2 jTj ( j) 1)
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
四.根据Bode 图应用Nyquist 稳定判据分析闭环系统 的稳定性 1.Bode图与Nyquist 图的对应关系 a. Nyquist 图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode 图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg | G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域 对应
F (s) 2 Z (2 P) 2 (Z P)
N Z P
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
三.Nyquist 稳定判据 推导 : (1).s 平面的Nyquist 轨迹 a. s平面虚轴上无开环极点 的情况
jw (2) (3) s
r=0
jw
(2) (1) (3)
[s]
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s
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
所以S平面右半部的全部零点 与极点都将包围 在修正轨线S内,同时和虚轴不含开环极 点的 情况相同。
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
(2) [F(S)]平面上的Nyquist 轨迹 [F(S)]平面上的Nyquist 轨迹按F ( S )函数做出。 若其图形如图所示 , 则其曲线不包围原点 即N 0, 说明S 曲线所包围的 F(S)函数的 零极点数相等 , 故N Z - P 0。
K ( j
m m 1 n 1 i 1
n
1) (( j) 2 2 k 2 k k ( j) 1)
k 1
( j) ( jTi 1) (( j) 2 Tj2 2 jTj ( j) 1)
j1
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
N Z-P N0 N0 N 0 表示F 顺时针包围原点 N次 表示F 逆时针包围原点 N次 表示F 不包围原点
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
有关幅角定理的说明 : 在S 上选择点A, 使S从这点移动 , 绕Z i 顺时针转一圈 , 回到原来的位置 当S这样变化时 , F(S)也相应的变化 , 它从B点出发沿F 回到点B, 这个变化 造成了F ( S )的相位角F ( S )的变化 F(S)
s (Tis 1) (Tj2s 2 2 jTjs 1)
i 1
j1
G ( j)
2 2 K ( j 1 ) (( j ) k 2 k k ( j) 1) m n m 1
( j) ( jTi 1) (( j) 2 Tj2 2 jTj ( j) 1)
自动化专业11(1)(2)班
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授课教师：胡玉玲
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
奈氏稳定判据 应用举例
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
系统开环 奈氏图
G (s)
2 2 K ( s 1 ) ( m n ks 2 k ks 1) m 1 n 1 k 1
r
[s]
0 (1)
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
在虚轴无开环极点的情 况下, 可选包括虚轴在内 的整个s 平面右半部的封闭轨线 为s .s 称为Nyquist 轨线。 其中(1), (2)两段是由 -到 的整个虚轴组成 , (3) 段由半径R趋于无穷大的圆弧组成 的,因此(1), (2), (3) 段就封闭了整个右半平 面。
R(s) G(s) H(s) C(s)
由此我们看到
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GB(S) F(S) 极点 零点 极点 零点 相同
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GK(S) 零点 极点 相同
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
由上述关系知 , 原系统稳定的充要条件 是G B ( S ) 的全部极点均具有负实 部, 现在却变成辅助函数 F ( S )的全部零点均具有负实 部。
Im
[F(S)]
(1,j0)
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Re
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
(3)[GH ]平面上的Nyquist 轨迹 以上研究了F ( S ) 1 G ( S ) H ( S )平面上的情况 , [GH ] 平面上的情况与此相似 ,因为 G(S)H(S) F(S) - 1
[GH] . (-1,j0)
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第四节 用频率法分析系统的稳定性
可见[GH ]平面只是将 [ F ( S )] 平面虚轴右移了一个单 位之后 所构成的新复平面 , [GH ]平面 上的 (-1, j 0) 点就是[ F ( S )]平面 上的原点 , 在[GH ]平面上包围 (1, j 0) 圈数N .