石家庄二南自主招生数学试题

北
C
西
东
南 45°
22.5°
A． 4km
A
B． 2 2 km
l
B
D
C． 2 2km
D． 4 2 km
11．如图所示，正六边形 ABCDEF 内接于圆 O ，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和弧 BC 的 长分别为（ ）
F
E
A
O D
A．2、 π 3
B． 2 3 、 π
2
1
3
（1）每次只能移动一个金属片； （2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。将 n 个金属片从1
号针移到3号针最少需要移动的次数记为 f n 。
则：（Ⅰ） f 3 __________（Ⅱ） f n __________．
三．解答下列各题 33．（6分）分解因式
17．将 1，2，3 填入 3× 3 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填 写方法共有（ ）
12 3
31 2
23 1
A．6
B．12
C．18wenku.baidu.com
D．24
18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周 八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个 圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ）
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
二．填空题（每小题 3 分，共 42 分）
19．比较大小： 5 1 __________ 5 ．（填“ > ”，“ < ”，或“ ”）
2
8
20．石家庄二中自主招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60% ，物理占 40% 计算．已 知小明数学得分为 95 分，综合得分为 93 分，那么小明物理得分是__________分．
y
y
y
y
-1 0
1 x
-1
1x
0 x
0
x
则 a 的值为（ A． 1 5
2
） B． 1 5 2
C．1
D． 1
14．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6
时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y x
点 Q 共有（ ）
A．5 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．菱形 ABCD 中， AB 5 ，∠BCD 120 ，则对角线 BD 的长是（
A．20
B．10
C． 5 3
） D．5
8．将抛物线 y x2 2x 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的抛物线的函数表达
A
B
G F
H
E
D
C
28．设 m R ， x1 ， x2 是方程 x2 2mx 1 m2 0 的两个实数根，则 x12 x22 的最小值是__________．
29．在平面四边形 ABCD 中，∠A ∠B ∠C 75 ， BC 2 ，则 AD 的取值范围是__________．
B
C
C． 3 、 2π 3
D． 2 3 、 4π 3
12．已知函数 y x2 2x 3 在闭区间 0 ，m 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是（ ）
A． m ≥1
B． 0 ≤ m ≤ 2
C．1≤ m ≤ 2
D． m ≤ 2
13．设 b>0 ，二次函数 y ax2 bx a2 1的图象下列之一：
① 2x2 x 6 __________ ② x3 3x 2 __________
34．（6分）解下列方程 ① 2 1 1 x2 1 x 1
35．（6分）已知： x2 x 1 0 ． 求值：① x2 1 ； x2
②x22 x2 3 ② x3 2x2 2015
21．一次函数 y 3m 1 x m 5 的图象不过第一象限，则实数 m 的取值范围是__________．
22．使代数式 2x 1 有意义 x 的取值范围是__________． x x
23．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字
37．（本小题满分10分）
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 2ax 3a a<0 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A
在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l : y kx b 与 y 轴负半轴交于点 C ，与抛物线的另一个交点为 D ，且 CD 4AC 。 （1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k 、 b 用含 a 的式子表示）；
36．（本小题满分8分）直线 y x m 与双曲线 y k ． x
（1）无论 m 为何值，直线与双曲线都有交点，求 k 的取值范围；
（2）若直线
y

x

m
与双曲线
y

k x
的交点为
A x1
，y1
，
B x2
，y2
， x1

x2
≠ 0
问
y1 x1

y2 x2
的
值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由。
30．若实数
m
，n
满足等式
m3 n3
3m2 2n
3
5m

0
，则
m

n

__________．
31．由数字1，2，3，4组成所有可能的没有重复数字的四位数，它们的和为__________．
32．汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一． 如图所示：有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到 另一根针上。
通话时间 x / min
0<x ≤ 5
5<x ≤10
10<x ≤15
15<x ≤ 20
频数（通话次数）
20
16
9
5
则通话时间不超过15min 的频率为（ ）
A． 0.1
B． 0.4
C． 0.5
D． 0.9
3．两名同学进行了 10 次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩
哪一位更稳定，通常还需要比较他们的成绩的（ ）
（ x 表示不大于 x 的最大整数）可以表示为（ ）
A．
y

x 10

B．
y


x3 10

C．
y


x4 10

D．
y


x5 10

15．如果实数 x ，y 满足 x2 1 x y2 1 y 1，那么 x y 的值为（ ）
B
O
C
A
A． 4π 3 3
D
B． 4π 2 3 3
C． π 3
D． 2π 3 3
10．如图所示，在一笔直的海岸线 l 上有 A 、B 两个观测站，AB 2km ，从 A 测得船 C 在北偏东 45 的 方向，从 B 测得船 C 在北偏东 22.5 的方向，则船 C 离海岸线 l 的距离（即 CD 的长）为（ ）
__________．
25．函数 y x2 2x 1 x2 4x 4 的最小值为__________．
26．已知 2 3 是方程 x2 mx 1 0 的一个实数根，则实数 m 的值为__________．
27．如图所示“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和 △DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形，如果 AB 10 ， EF 2 ，那么 AH 等于__________．
A．0
B． 1
C．1
D．2
16．植树节某班 20 名在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树 苗集中在某一树坑旁边，现将树坑从 1 到 20 依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所 走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ） A．（1）和（20） B．（9）和（10） C．（9）和（11） D．（10）和（11）
石家庄二中自主招生
数学试题
（时间：70 分钟
满分：120 分）
一．选择题（每小题 2 分，共 36 分） 1．下列计算正确的是（ ）
A． a2 a2 2a4
C． a2 2 a4
B． a2 a3 a6
D． a 12 a2 1
2．小明统计了他家今年 5 月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
4x ≥ 3 x 1
为
a
，则关于
x
的不等式组
2x

x
2
1
<a
有解的概率为__________．
24 ． x2 2x 3 x3 5x2 6x 7 a5x5 a4 x4 a3x3 a2 x2 a1x a0 ， 则 a0 a1 a2 a3 a4 a5
式为（ ）
A． y x2
B． y x 22
C． y x2 2
D． y x2 2
9．如图所示， AB 为 O 的切线，切点为 B ，连接 AO ， AO 与 O 交于点 C ， BD 为 O 的直径，连 接 CD ．若∠A 30 ， O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．众数
B．中位数
C．方差
D．以上都不对
4．如图所示的三棱柱的主视图是（ ）
A
B
C
D
5．若点 Aa ，b 在反比例函数 y 2 的图像上，则代数式 ab 4 的值为（ ）
x
A． 2
B．0
C．2
D． 6
6．在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 P 2 ，2 ，点 Q 在 y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的