九年级数学上册 第二十四章 圆小节与重热点专练 新人教版
人教版九年级数学上册第24章《圆》知识小结与复习
A
A.140°B.135°C.130°D.125°
DF
∠BOC＝90°+ 1∠A 2
R
E
BM
Q
O
G
P
NC
3、边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外 接圆半径的比为( )
A.1∶5 B.2∶5 C.3∶5 D.4∶5
4.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。则 △ABC的外接圆半径为 。内切圆半径____ 5. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆的半 径分别是______, ____
O1
AM
O
B
如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点 ⊙p从A开始折线A—B—C—D以4cm/秒的速度 移动,点⊙Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移 动,如果点⊙P, ⊙Q分别从A,C同时出发,当其中一 点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时 间t（秒） 如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t 为何值时, ⊙P和⊙Q外切？
(2)若C△ABC= 36, S△ABC=18,则r内=_1____; (3)若BE=3,CE=2, △ABC的周长为18,则AB=_7___;
A
D
8
F
4
o
B
6E
C
1 S △ABC= 2 C △ABC·r内
2.△ABC中, ∠A=70°,⊙O截△ABC三条边所得的
弦长相等.则 ∠BOC=__D__.
3.两圆相切,圆心距为10cm,其中一个圆的半径为 6cm,则另一个圆的半径为_____.
4. 已知圆O1与圆O 2的半径分别为12和2,圆心O1的 坐标为(0,8),圆心O2 的坐标为(-6,0),则两圆的位置 关系是______.
人教版九年级数学上册第二十四章圆知识点提要和练习
人教版九年级数学上册第二十四章圆知识点提要一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD）直径等于半径的2倍。
（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
人教版 九年级数学上册 第24章 圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角 专题练习(含答案)
圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角专题练习（含答案）例1. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°例2. 如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE CE=1．则弧BD 的长是（）B C D例3．如图，已知A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C例4. 如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3巩固练习1．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．2．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________．3．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是AB上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．120°D．130°4．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．5. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为AD的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数6．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F，交BA的延长线于G，试说明弧EF和弧FG相等.7. ⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AM C．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定8. 如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想AD与CB之间的关系，并证明你的猜想．9. 如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在ANB上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．10．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．10题图11题图12题图11．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠FAE=______，∠DAB=______，∠EFA=______．12．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是AB上一点，则∠BPC=______；若M是BC上一点，则∠BMC=______．13．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是AB上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°14．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°15．如图，AC 是⊙O 的直径，弦AB ∥CD ，若∠BAC =32°，则∠AOD 等于( )．A ．64°B ．48°C ．32°D ．76°16．如图，弦AB ，CD 相交于E 点，若∠BAC =27°，∠BEC =64°，则∠AOD 等于( )．A ．37°B ．74°C ．54°D ．64°17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则x ＝ 。
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷
《圆》章节知识点复习和练习附参考答案一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
新人教版九年级上册第二十四章《圆》单元小结导航测试及答案
第20章《圆》单元小结导航一.知识要点总结：1.知识网络归纳：特征和识别方法： （1）、①判断一个点P 是否在⊙O 上.设⊙O 的半径R ，OP=d 则有d >R ⇔点P 在⊙O 外；d=R ⇔点P 在⊙O 上； d <R ⇔点P 在⊙O 内..②判断几个点A 1、A 2…、A n 在同一个圆上的方法：当O A 1=OA 2=…=OA n =R 时，A 1、A 2…、A n 在⊙O 上.（2）圆具有旋转不变性：轴对称：圆周角的特征： （3）三角形的“四心”： 外心、内心、重心、垂心. （4）直线和圆的位置关系：相离、相切、相交.（5）圆和圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含. （6）切线的特征和识别：①切线的特征：a ：圆的切线和圆有唯一公共点；b ：圆心到直线的距离等于圆的半径；c ：圆的切线垂直于经过切点的半径；d ：经过切点作圆的切线必经过圆心.②切线的识别：a ：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；b ：圆心到直线的距离等于圆的半径，直线是圆的切线；c ：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.常用的计算公式：（1） 圆的面积公式：S=πR 2；（2）圆的周长公式：C=2πR ；（3）弧长公式：l=180Rn π；（4）扇形面积公式：S=3602R n π（或S=21lR ）；（5）圆锥的侧面积S=πRl ；（6）圆锥的全面积S ′=πRl+πR 2.二.点击考点：本章主要内容是与圆有关的一些特征及识别方法的运用，常以填空、选择、解答等形式出现，尤其是与日常生活联系比较密切的问题和开放、探索性问题是近几年中考的热点.例1 （2003年北京市）AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，AB=10，CD=8，那么AE 的长为（ ）A . 2B . 3C . 4D . 5与圆有关的角：圆心角、圆周角圆心角、弧、弦、弦心距关系垂径定理对称性：旋转对称、轴对称、中心对称基本元素：定义、弧、弦、圆心、半径圆的认识切线及切线长相离相切相交圆与圆的位置关系（5种）直线与圆点与圆与圆有关的位置关系圆锥与圆锥的侧面展开图弧长和扇形的面积圆中的有关计算分析：连结OC ，由AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 知CE=DE=4， 设AE=x ，在Rt △CEO 中，OC 2=OE 2+CE 2，即52=（5-x ）2+42， 则1x =2，2x =8（舍去）.解： A.点评：这是一道与一元二次方程、垂径定理、勾股定理联系起来的题目.例2 （2004年山东临沂中考题）小芳同学在出黑板报时画出了一月牙形的图案如图，其中△AOB 为等腰直角三角形，以O 为圆心，OA 为半径作扇形OAB ，再以AB 的中点C 为圆心，以AB 为直径作半圆，则月牙形阴影部分的面积S 1与△AOB 的面积S 2之间的大小关系是（ ） A . S 1 ＜S 2 B .S 1 ＝S 2 C .S 1 ＞S 2 D .无法确定 分析：这是一道比较面积大小（实际上是计算阴影部分面积的题目）， 设OA=a ，AB=2R ，S 2=21 R 2，则中间部分面积为41πR 2-21 R 2而S 1 ＝21π（22R ）2-（41πR 2-21 R 2）=21R 2＝S 2解：B .点评： 有些图形的面积是不能直接计算的，要把它和其它的图形结合起来，形成规则的几何图形，借助常见的几何图形面积公式计算.1.学习方法指导：（1） 要善于抓住概念的本质，通过对比的方法来研究它们之间的区别与联系； （2） 应注意分类讨论的思想方法的运用，如求弦所对的圆周角度数问题；（3） 注意类比方法的运用，如学习直线和圆的位置关系可与点与圆的位置关系相类比… （4） 要用运动变化的观点和数形结合的思想方法；（5） 运用从“特殊到一般”的数学思想方法探索，如弧长、扇形面积公式等的推导； （6） 公式法：一定要弄清有关公式中的字母的意义，避免混淆. （7） 要学会规律方法总结：如常见辅助线的作法. 四、误区莫入例1 如图PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠APB=78º，点C 是⊙O 上的异于A 、B 的任意一点，那么∠ACB= .错解：51º.正解：51º或129º.误区分析：由于点C 是⊙O 上的异于B 的任意一点，故点C 可能在劣弧AB 上，也可能在优弧AB 上，即点C 有两种位置关系，∠ACB有两解，错因就是对位置关系考虑不全面，产生少一解的错误.例2 圆锥的侧面展开图是半径为3cm 的半圆，则此圆锥的底面半径 .A.cmB.2cmC.D.3cm错解: D.正解：A.误区分析：在圆锥及其侧面展开图的计算中，将两个半径 （圆锥底面半径、侧面展开图半径）的概念混淆，以致计算错S 2S 1OCBAP O C BA 底面r R=3S B Ar ，则2πr=21π⨯2⨯3， r=23，因此选 A. 类似的问题不胜枚举，由于篇幅有限，在这里不能一 一列举，需同学们在学习过程中认真体会、认真总结，在今后的学习、考试中吸取教训.争取把本章及相关内容学好.《圆》单元检测(时间100分钟 满分100分)班级： 姓名： 评价结果：同学们！当你学完本章内容之后，一定会感到有很大收获吧，通过本单元检测，让我们师生共同体验胜利的喜悦吧！（认真思考，仔细答题，千万不要马虎） 一、选择题（每小题3分，共30分）1. 已知⊙O 的半径为6，点A 是平面上的一点，OA=7，点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A .点A 在⊙O 上 B .点A 在⊙O 内 C .点A 在⊙O 外 D .不能确定2.已知⊙O 的半径为10，圆心O 到直线MN 的距离等于8 ，则直线MN 与⊙O 的位置关系是（ ） A .相交 B .相切 C . 相离 D .不能确定3.（2004年山东临沂中考题）若半径分别为2与6的两个圆有公共点，则圆心距d 的取值范围是（ ） A .d ＜8 B .d ≤8 C .4＜d ＜8 D .4≤d ≤84.如图，AB 是⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点， PC 切⊙O 于点C ，PC=4，PB=2.则⊙O 的半径等于（ ）A .1B .2C .3D .4 5. 两圆既不相交也不相切，半径分别为4和5，则圆心距d 的取值范围是（ ） A .d ＜1 B .d >9 C .1＜d ＜9 D . d ＜1或d >96. 在⊙Ｏ中，点Ｃ是优弧ＡＢ上的一点，∠ＡＣＢ＝３５º，∠ＡＯＢ等于 （ ）Ａ.３５º Ｂ.７０º Ｃ.１０５º Ｄ.１４０º7.AB 、CD 是⊙Ｏ的两条平行弦，⊙Ｏ的半径为10，AB=12，CD=16，则AB 、CD 之间的距离为（ ）A . 2B .7C . 2或7D . 不确定8.如图，A Ｂ为⊙Ｏ的直径，ＣＤ为弦，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｅ， 下列说法错误的是（ ）9.（2004年浙江湖州中考题）一机械零件的横截面如图所示，作⊙O 1的弦AB 与⊙O 2相切，且AB ∥O 1O 2，如果AB=10cm ，则下列说法正确的是（ ）A ．阴影面积为25π cm 2B ．阴影面积为50π cm 2C ．阴影面积为100π cm 2 D. 因缺少数据阴影面积无法计算 10.下面四个判断中，正确的个数是（ ） ①三角形的外心到各个顶点的距离相等；②平行四边形的对称中心是对角线的交点；③等腰直角三角形的外心、内心、垂心在一条直线上； ④圆既是轴对称又是中心对称图形. A.4个 B.3个 C.2个 D. 1个 二.填空题（每小题3分，共30分）11. ΔABC 中，AB=13，AC=5，BC=12，则此三角形的外接圆半径是 .A . ∠COE=∠DOEB . CE=DEC . AE=BED . BC=BD（4题图）P O CB A （8题图）OD CBA （9题图）12. 已知⊙O 的半径OA=AB ，弦AB 所对的圆心角度数为 .13.. (只填一种)14.如果圆锥的底面半径是４，母线的长是16，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 ． 15.AB 是⊙O 的直径，AC=AD ，OC=2，∠CAB=30º，点O 到CD 的距离OE= .16.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=，则此光盘的直径是_____cm..17.已知⊙O 的半径OA 长为5，弦AB 长为8，C 是AB 的中点，则OC 的长为 .18. ΔABC 中，AB=11，AC=8，BC=5，以每个顶点为圆心的圆两两相切，⊙A. ⊙B. ⊙C 的半径分别是 .19.两等圆⊙Ａ、⊙Ｂ外切，过Ａ作⊙Ｂ的两条切线ＡＣ、ＡＤ，Ｃ、Ｄ是切点，则∠ＣＡＤ等于 .20.两个同心圆半径分别是9cm 和5cm ，另有一个圆与这两个圆都相切，则此圆的半径为 . 三.解答题（21---26每题５分，27题1０分，共４0分）附加分３分21．在半径为5的⊙O 中，弦AB 的长是6，求AB 的弦心距OM.22. 在⊙∠AOB 的大小.M（21题图）O B A （22题图）O D CB AO DCB A （19题图） （20题图）EDOC BA（15题图）24. 已知：ΔABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D. 求证：BD=CD .（图不清楚，建议可删）24. AD 是ΔABC 的高，AE 是ΔABC 的外接圆的直径.试说明AB •AC=AE •AD.25.（2004年南通市中考题）如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA 和OB 的夹角为120°，OC 长为8cm ，贴纸部分的CA 长为15cm ，则贴纸部分的面积为多少？（结果保留π）26. 许多几何图形是优美的.对称，就是一种美.请你运用“二个圆、二个三角形、二条线段”在下图的左．方框．．内设计一幅轴对称．．．图形，并用简练的文字说明这幅图形的名称（或创意）. （说明：若在右方框内．．．．按本题要求再设计一幅，则另加5分.） （３分） （２分）名称（或创意）______________（2分） 名称（或创意）_________________（１分）O D C B A（23题图）（24题图）O EDCBA（25题图）27. （绍兴2004）如图，CB ，CD 是⊙⊙O 直径BE 的延长线交于A 点，连OC ，ED. （1）探索OC 与ED 的位置关系，并加以证明；（2）若OC=5，CD=4，求tan ∠ADE 的值.《圆》单元检测 一、CA ＣCD B CCA A二、11.６.５ 12. 60°13.外切（内切） 14. .90°15.23 17.3 18. 7,4,1 19. 60°cm 或7cm三、21.连结OA 由圆的对称性可得AM=21AB=4 ∵OM ⊥AB ∴△AOM 是Rt △在Rt △AOM 中OM=22AM OA -=3 2 2. ∵OC=21OD ，OA=OD ∴OC=21OA 在Rt △AOC 中，cos ∠AOC=OA OC =21 ∴∠AOC= 60° 由圆的对称性 ∠AOC=∠BOD=60°∠AOB=∠AOC+∠BOD=120° 24.连结AD ∵AB 是直径，∴∠ADB= 90°∴AD ⊥BC 又∵AB=AC ∴BD=CD 24.证明：连结BE ，∵AE 是直径，∴∠ABE=Rt ∠. ∵CD ⊥AB. ∴∠ADC=Rt ∠. ∠ABE=∠ADC ， 又∵∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC.∴AB ∶AD=AE ∶AC ∴AB •AC=AE •AD.OAB =360158120π）（+⨯=323π S OCD =3608120π⨯=38π ∴ S ABDC =323π-38π=5π 26.只要合情合理就给分 ，教师酌情处理. 27.解：（ 1 ）ED ∥OC. 证明：连OD ，BD. ∵BE 是直径，∴∠BDE=Rt ∠.∴DE ⊥BD ， 由切线长定理得 CD=CB ，∠BCO=∠DCO ，∴CO ⊥BD.） ∴ED ∥OC. （2）∵ED ∥OC ，∴ ∠ADE=∠ACO. 又∵ CB ，CD 是⊙O 的切线，切点分别为B ，D ，∴ ∠BCO=∠ACO ，∴ ∠ADE =∠BCO. ∵ CB 是⊙O 的切线，∴CB ⊥OB. 在Rt ΔOBC 中，CB=CD=4，OC=5，OB=22BC OC -=3 ∴ tan ∠ADE= tan ∠BCO=BC OB =43.（27题图）。
第二十四章 圆单元小结—知识点+练习+检测课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
6.如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为 ，OP=1，求BC的长
7.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．
本章知识框架
追忆往昔
圆
难点：（1）掌握垂径定理及其推论 （2）掌握圆心角及圆周角定理 （3）三角形的外接圆，内切圆的画法 （4）掌握弧长和扇形面积 （5）掌握切线的判断和应用
重点：掌握圆的有关概念、弧弦圆心角的关系、圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、圆内接四边形。
第二部分 拔高习题训练
1.如图1，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）A．40° B．50° C．65° D．75°
2.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8 cm，水面最深地方的高度为2 cm，则该输水管的半径为（ ）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
教学反思
1.时间与课程安排 时间紧张，未系统串讲知识，应让学生先整理，教师再补充。课上没有足够时间订正学生不规范的书写过程。不能为赶课程让学生知识掌握不扎实，要留足够时间让学生消化知识 2.学生表现与问题 学生思路有了，但过程书写不够规范；学生综合应用面积公式计算圆柱表面积的正确率低
教学目标
1.帮助学生巩固圆的相关知识，能熟练运用圆的知识解决问题。 2.培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生复习、构建知识网络的能力。
教学重难点
九年级数学上册第二十四章圆必练题总结(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆必练题总结单选题1、如图，点A 是⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C 两点，连结AC 并延长交BO 的延长线于点D ．若AB ＝3，BD ＝4，则⊙O 的半径为（ ）A ．94B ．83C ．52D ．32答案：D分析：连接OC ，根据题意得到RtΔABD 、RtΔCOD ，由切线长定理求得AC =AB =3，最后根据勾股定理在RtΔABD 、RtΔCOD 中求解即可．解：连接OC ，如图所示：∵点A 是⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C 两点，∴OC ⊥AD ，BD ⊥AB ，∴AC =AB =3，在RtΔABD 中，∠ABD =90°，AB ＝3，BD ＝4，由勾股定理得AD =5，∴CD =AD −AC =5−3=2，设半径OC =OB =r ，则OD =BD −OB =4−r ，在RtΔCOD 中，∠OCD =90°，CD ＝2，OC =r ，OD =4−r ，由勾股定理知CD2+OC2=OD2，得r2+22=(4−r)2，即8r=12，，解得r=32故选：D．小提示：本题考查在圆背景下利用勾股定理求线段长，掌握切线的性质、切线长定理以及在直角三角形中根据勾股定理列方程求解问题是解题关键．2、如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°答案：C分析：首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠B=20°，再用三角形内角和定理求得答案．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．∵∠D=∠B=20°，∴∠CAD=180°−90°−∠D=180°−90°−20°=70°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．3、小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能答案：B分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．小提示：本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（3，﹣2）C．（3，﹣3）D．（3，﹣4）答案：B分析：根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可．解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，∴点M为AC中点，∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），设点C横坐标为（x,y）,∴x+32=−1,y+42=1，解得x=-5，y=-2，∴点C（-5，-2），∵AB⊥x轴，∴点A，B的横坐标相同都是3，∵∠ABC＝90°，∴BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标相同都是-2，∴点B（3，-2）．故选：B．小提示：本题考查直角三角形的外心，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征，掌握直角三角形的外心的性质，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征是解题关键．5、如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（）A．√32B．√3C．2√3D．3√3答案：D分析：过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =60°，∵O 为三角形外心，∴∠OAH =30°，∴OH =12OB =1，∴BH =√BO 2−OH 2=√3，AH =-AO +OH =2+1=3∴BC =2BH =2√3∴S ΔABC =12BC ×AH =12×2√3×3=3√3故选：D小提示：本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6、将一张正方形的透明纸片ABCD 和⊙O 按如图位置叠放，顶点A 、D 在⊙O 上，边AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相交于点E 、F 、G 、H ，则下列弧长关系中正确的是（ ）A ．AD⌢=AE ⌢B ．AD ⌢=AF ⌢ C ．AF⌢=DG ⌢D ．AF ⌢=DH ⌢ 答案：C分析：连接AF,DG ，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．如图，连接AF,DG ，过点O 作NM ⊥AD ，交AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB =BC =CD ，∠B =∠C ，∴ AM =MD ，∴四边形AMNB,MNCD 是矩形，∴NB =AM =MD =NC ，∴FN =GN ，∴FB =GC ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDG ，∴ AF =DG ，A. ∵AD >AE ，∴ AD⌢>AE ⌢，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵AD =AB <AF ，∴AD⌢<AF ⌢，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵ AF =DG ，∴ AF⌢=DG ⌢，故该选项正确，符合题意； D.∵DH <DC <DG =AF ，∴ AF⌢>DH ⌢，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C.小提示：本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．7、如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点G ，则下列结论：①∠BAD =∠CAD ；②若∠BAC =60°，则∠BEC =120°；③若点G 为BC 的中点，则∠BGD =90°；④BD =DE ．其中一定正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D分析：根据点E 是△ABC 的内心，可得∠BAD =∠CAD ，故①正确；连接BE ，CE ，可得∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），从而得到∠CBE +∠BCE =60°，进而得到∠BEC =120°，故②正确； ∠BAD =∠CAD ，得出BD⌢=CD ⌢，再由点G 为BC 的中点，则∠BGD =90°成立，故③正确；根据点E 是△ABC 的内心和三角形的外角的性质，可得∠BED =12(∠BAC +∠ABC )，再由圆周角定理可得∠DBE =12(∠BAC +∠ABC )，从而得到∠DBE =∠BED ，故④正确；即可求解．解：∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAD =∠CAD ，故①正确；如图，连接BE ，CE ，∵点E 是△ABC 的内心，∴∠ABC =2∠CBE ，∠ACB =2∠BCE ，∴∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），∵∠BAC =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BEC=120°，故②正确；∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD⌢=CD⌢,∵点G为BC的中点，∴线段AD经过圆心O，∴∠BGD=90°成立，故③正确；∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC,∠ABE=∠CBE=12∠ABC，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∴∠BED=12(∠BAC+∠ABC)，∵∠CBD=∠CAD，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，∴∠DBE=12(∠BAC+∠ABC)，∴∠DBE=∠BED，∴BD=DE，故④正确；∴正确的有4个．故选：D小提示：本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．8、如图，从一个边长为2m的正六边形ABCDEF铁皮上剪出一个扇形CAE，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（）A ．√32mB ．√33mC ．√34mD ．√3m答案：B分析：先求出扇形的半径R 与弧长，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径r ． 解：过B 作BM ⊥AC 于M ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴ AB =BC =CD =DE =2m ，∠ABC =∠BCD =∠CDE =120°，∴ ∠BCA =∠DCE =180°−120°2=30°，∠ACE =180°−30°−30°=60°， ∴ BM =12BC =1m ，AM =√BC 2−BM 2=√22−12=√3m ，∵ AB =BC ，BM ⊥AC ，∴ AC =2CM =2√3m ，∴ AE ⌢=60360×2π×2√3=2πr ， 解得r =√33． 故选：B ． 小提示：本题考查了正多边形内角和定理，圆、扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系是解决本题的关键．9、如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°,∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）A．π3cm2B．π4cm2C．(π3−√38)cm2D．π6cm2答案：B分析：根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=12cm，∴B′C′=√32cm，∴S扇形B′OB=120π×12360=π3cm2，S扇形C′OC=120π×1 4360=π12cm2，∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=π3−π12=π4cm2；故选：B．小提示：此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．10、如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，BC⌢=2AC⌢，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°答案：D分析：由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，∵BC⌢=2AC⌢，∴∠CAB=2∠ABC，∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=30°，∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，∴AH=CH=HG，∴∠CAH=∠ACE=30°，∵∠CAF=∠CBF，∴∠CBF=30°，故选：D．小提示：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．填空题11、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．答案：（2，1）分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．小提示：本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．12、如图1，把一个半径是7cm的圆分成20等份，然后把它剪开，按照图2的形状拼起来，拼成图形的周长是___________cm．答案：57.96分析：由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而可知这个长方形的周长，据此可得答案．因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，所以这个长方形的周长就比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度，即：3.14×2×7+7×2=57.96．所以答案是：57.96．小提示：本题考查了图形的拼接，解答的主要依据是圆的面积的推导过程．13、已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为_______．答案：60πcm2分析：利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm，×12π×10=60πcm2．侧面展开图的面积=12所以答案是：60πcm2．小提示：本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．14、如图，作⊙O的任意一条直经FC，分别以F､C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E､A和D､B，顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为______；答案：2√3π3分析：可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长为a，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解连接OE，OD，OB，OA，由题可得：EF=OF=OE=FA=OA=AB=OB=BC=OC=CD=OD∴△EFO,△OFA,△OAB,△OBC,△OCD,△ODE为边长相等的等边三角形∴可将图中阴影部分的面积转化为△ODE和△OAB的面积之和，如图所示：设⊙O的半径与等边三角形的边长为a，∴⊙O的面积为S=πr2=πa2∵等边△OED与等边△OAB的边长为a∴S△OED=S△OAB=√3a2 4∴S阴=S△OED+S△OAB=√3a22∴⊙O的面积与阴影部分的面积比为SS阴2√3a22=2√3π3所以答案是：2√3π3．小提示：本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．15、如图，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）答案：9π4−92分析：由∠C=45°，根据圆周角定理得出∠AOB=90°，根据S阴影=S扇形AOB－S△AOB可得出结论．解：∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴S阴影=S扇形AOB－S△AOB=90×π×32360−12×3×3=9π4−92，所以答案是：9π4−92．小提示：本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．解答题16、如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，且BD=CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，交⊙O于点H．(1)求证：DF⊥AC；(2)若OG=1，求AE的长．答案：(1)证明见解析(2)AE=2分析：（1）根据切线，得到∠ODF=90°；连接OD，通过证OD是△ABC的中位线，证OD∥AC，进而得到∠CFD=∠ODF=90°，即可证明；（2）连接DE，分别证AC= AB=2OB，CD=DE，得到CF=BG，CF=EF，再利用AE=AC−CF−EF=2OB−2BG= 2OG，即可求解．（1）证明：∵过点D作⊙O的切线交AC于点F，∴∠ODF=90°，连接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．（2）解：设圆与AC 相交于点E ，连接DE ，由（1）可知，OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C ，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠ABC ，∴∠C =∠ABC ，∴AC = AB =2OB ，∵在Rt △CFD 和Rt △BGD 中，{∠DFC =∠DGB =90°∠C =∠ABCCD =BD， ∴Rt △CFD ≌Rt △BGD(AAS)，∴CF =BG ，又∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠AED +∠ABC =180°，又∵∠AED +∠CED =180°，∴∠ABC =∠CED ，∴∠C =∠CED ，∴CD =DE ，又∵DF ⊥AC ，∴CF =EF ，∴AE =AC −CF −EF =2OB −2BG ，即AE =2(OB −BG)=2OG =2．小提示：本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．17、如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）求AD 的长；（2）试探究CA 、CB 、CD 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接OD,P 为半圆ADB 上任意一点，过P 点作PE ⊥OD 于点E ，设ΔOPE 的内心为M ，当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长答案：（1）5√2；（2）CA +CB =√2CD ，证明见解析；（3）5√22π． 分析：(1)根据直径所对的角是90°，判断△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交O 于D ，判断△ADB 为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出值；(2)延长CA 到F ，使AF=CB ，可证△CDF 为等腰直角三角形,从而得到CA 、CB 、CD 之间的等量关系；(3)作辅助线，连接OM ，PM,正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，先求OD ⏜的长度，再得到点M 经过路径的长．解：(1)∵AB 是直径∴∠ADB =90°∵CD 是∠ACB 的平分线∴∠ACD =∠BCD∴AD=BD 在RtΔABD中，AD2+BD2=AB2∴AD=BD=√22AB=√22×10=5√2(2)CA+CB=√2CD，证明如下延长CA到F，使AF=CB，连接DF∵∠CBD+∠CAD=180°,∠FAD+∠CAD=180°∴∠CBD=∠FAD又AD=BD,AF=BC∴ΔADF≌ΔBDC，∴CD=FD,∠CDF=90°,ΔCDF为等腰直角三角形∴CA+CB=CF=√2CD(3)连接OM、PM∵PE⊥OD∴∠PEO=90°∵点M为ΔOPE的内心∴∠OMP=135°∵OD=OP，∠DOM=∠POM，OM=OM∴ΔOMD≌ΔOMP∴∠OMD=∠OMP=135°∴所以点M 在以OD 为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（分OD 左右两种情况）；设OMD 所在圆的圆心O′∵∠OMD =135°∴∠OO′D =90°∴O′O =√22OD =5√22 弧OD ⏜的长为90π×5√22180=5√24π ∴点M 经过路径长为2×5√24π=5√22π小提示：本题综合考查了圆周角定理，全等三角形，等腰直角三角形，圆弧的长，勾股定理等知识，解答此题要抓住三个关键，(1)判断出ABC 和 △ABD 是直角三角形，以便利用勾股定理；(2)判断出线段△CDF 和△ABD 是等腰直角三角形，然后将各种线段转化到等腰直角三角形中利用勾股定理解答，(3)通过作辅助线，正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，再利用弧长公式解答．18、用反证法证明：一条线段只有一个中点．答案：见解析．分析：首先假设结论的反面：一条线段可以有多个中点，不妨设有两个，根据中点的定义得出矛盾，即可证得．解：已知：一条线段AB，点M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M，证明：假设线段AB有两个中点，分别为点M、N，不妨设点M在点N的左边，则AM<AN，又∵AM=1AB=AN，2这与AM<AN矛盾，∴假设不成立，线段AB只有一个中点M．∴一条线段只有一个中点．小提示：本题主要考查了反证法，正确理解反证法的基本思想是解题的关键．。
2022年九年级数学上册 第二十四章 圆知识点总结素材 (新版)新人教版
圆一、知识回顾圆的周长： C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr ²圆环面积计算方法：S=πR ²-πr ²或S=π（R ²-r ²）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点 一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O 为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；r dd CBAOdrd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；rRd图3rR d五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
九年级数学上册 第二十四章《圆》章末小结与提升试题 (新版)新人教版
圆章末小结与提升类型1垂径定理典例1如图,AB是☉O的弦,C是AB的三等分点,连接OC并延长交☉O于点D.若OC=3,CD=2,则圆心O到弦AB的距离是()A.6B.9-C. D.25-3【解析】过点O作OE⊥AB于点E,则BE=AE=AB.∵OC=3,CD=2,∴OB=5.又C是AB三等分点,∴AC=AB.∴CE=AB.在Rt△OCE中,OE2=OC2-CE2=9-AB2,在Rt△OBE中,OE2=OB2-BE2=25-AB2,∴9-AB2=25-AB2,解得AB=6,∴OE=.【答案】C【针对训练】如图,某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为12米,拱顶离水面的高CD为3米,现有一艘宽9米,船舱顶部为长方形,并且高出水面1.8米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座桥吗?(此图仅供参考)解:货船不能顺利通过这座拱桥.类型2圆心角与圆周角典例2如图,AD为☉O的直径,∠ABC=75°,且AC=BC,则∠BED=.【解析】∵AD为☉O的直径,∴∠ABD=90°,∵AC=BC,∠ABC=75°,∴∠BAC=∠ABC=75°,∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=30°,∠CBD=∠ABD-∠ABC=15°,∴∠D=∠C=30°,∴∠BED=180°-∠CBD-∠D=135°.【答案】135°【针对训练】1.圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为(D)A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°2.(台州中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;(2)求证:∠1=∠2.解:(1)78°.(2)略.类型3点、直线和圆的位置关系典例3如图,平面直角坐标系中,已知P(6,8),M为OP中点,以P为圆心,6为半径作☉P,给出以下结论:①点O在☉P外;②点M在☉P上;③x轴与☉P相离;④y轴与☉P相切.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】∵P(6,8),且M为OP的中点,∴OP=10>6,PM=OP=5<6,∴①正确,②错误;又∵点P到x轴的距离为8>6,到y轴的距离为6,∴③④正确.【答案】C【针对训练】已知P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,B,∠APB=50°,点C为☉O上一点(不与点A,B)重合,则∠ACB的度数为65°或115°.类型4切线的性质与判定典例4如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.(1)求证:DE为☉O的切线;(2)若☉O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.【解析】(1)如图,连接OD.∵OA=OB,CD=BD,∴OD∥AC,∴∠ODE=∠CED.又∵DE⊥AC,∴∠CED=90°,∴∠ODE=90°,即OD⊥DE,∴DE是☉O的切线.(2)∵OD∥AC,∠BAC=60°,∴∠BOD=∠BAC=60°,∠C=∠ODB.又∵OB=OD,∴△BOD是等边三角形.∴∠C=∠ODB=60°,CD=BD=5.∵DE⊥AC,∴∠CED=90°.在Rt△CED中,∠C=60°,CD=5,∴CE=,由勾股定理得DE=.【针对训练】如图,AB是☉O的直径,AM,BN分别与☉O相切于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)设AD=4,AB=x(x>0),BC=y(y>0).求y关于x的函数解析式.解:(1)过O作OE⊥CD于点E,则∠OED=90°.∵☉O与AM相切于点A,∴∠OAD=90°.∵OD平分∠ADE,∴∠ADO=∠EDO.∵OD=OD,∴△OAD≌△OED.∴OE=OA.∵OA是☉O的半径,∴OE是☉O的半径.∴CD是☉O的切线.(2)如图2所示:过O作OE⊥CD于点E,过点D作DF⊥BC于点F,则DF=AB=x.∵AD=4,BC=y,∴CF=BC-AD=y-4.由切线长定理可得DE=DA,CE=CB,∴CD=CE+ED=BC+AD=4+y.在Rt△DFC中,∵CD2=DF2+FC2,∴(y+4)=x2+(y-4)2.整理得y=x2,则y关于x的函数解析式为y=x2.类型5切线长定理及三角形的内切圆典例5如图,正方形ABCD的边长为4,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD 内作半圆,过点A作半圆的切线,与半圆相切于点F,与DC相交于点E,则△ADE的面积()A.12B.24C.8D.6【解析】由题易得AB,AE,DC都是☉O的切线,∴AF=AB,EC=EF.设DE=x,则EC=EF=4-x,∴AE=8-x.在Rt△ADE中,42+x2=(8-x)2,解得x=3,∴S△ADE=·AD·DE=6.【答案】D【针对训练】如图:EB,EC是☉O的两条切线,B,C是切点,A,D是☉O上两点,如果∠E=50°,∠DCF=35°,则∠A的度数是100度.类型6与圆有关的计算典例6如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-2,-2),C(4,-2),则△ABC的外接圆圆心的坐标为,外接圆半径的长度为.【解析】由题易得BC的垂直平分线的解析式是x=1,AC的垂直平分线的解析式是y=x-1,联立解得所以圆心坐标为(1,0),半径为.【答案】(1,0)【针对训练】1.如图,四边形OABC为菱形,点B,C在以点O为圆心的上,若OA=2 cm,∠1=∠2,则的长为(C)A. cmB. cmC. cmD. cm2.如图,☉O的半径为6 cm,以☉O的半径OA为直径作☉O'交半径OC于B,若∠AOC=45°,则图中阴影部分的面积为π- .3.如图,已知在钝角△ABC中,BC=2-2,∠C=30°,BC边上的高为2.试求:(1)AB的长;(2)∠BAC的度数;(3)△ABC内切圆的半径.(结果精确到0.01)解:(1)过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,∵∠C=30°,BC边上的高AD为2,∴AC=2AD=4,由勾股定理得DC==2,∴DB=DC-BC=2-(2-2)=2,在Rt△ADB中,AB==2.(2)∵AD=DB=2,∴∠DAB=∠ABD=45°.在Rt△ADC中,∠C=30°,∴∠DAC=60°,∴∠BAC=∠DAC-∠DAB=15°.(3)设△ABC内切圆的半径是r,则由三角形面积公式得×BC×AD=×(AB+BC+AC)r, r=≈0.35,即△ABC内切圆的半径约为0.35.感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
初三数学上册(人教版)第二十四章圆24.2知识点总结含同步练习及答案
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹
定圆 O 的半径是 4 cm，动圆 P 的半径是 2 cm，动圆 P 在直线 l 上移动，当两圆相切时， OP 的值是（ ）
A. 2 cm 或 6 cm
B. 2 cm
C. 4 cm
D. 6 cm
解：A．
分析：两圆内切时圆心距等于半径差此时为 2 cm，外切时圆心距等于半径和此时为 6 cm．
已知两圆的半径分别为 7 和 1，圆心距为 10，则其外公切线长和内公切线长分别为（
弧也未必等，故 ② 错．
已知 △ABC 中，∠C = 90∘ ，AC = 2 ，BC = 3 ，AB 的中点为 M， （1）以 C 为圆心， 2 为半径作 ⊙C ，则点 A ，B ，M 与 ⊙C 的位置关系如何？ （2）若以 C 为圆心作 ⊙C ，使 A ，B ，M 三点至少有一点在 ⊙C 内，且至少有一点在 ⊙C 外，求 ⊙C 半径 r 的取值范围．
三角形内切圆的半径与三边的关系
设 a，b， c 分别为 △ABC 中 ∠A，∠B，∠C 的对边，面积为 S，则内切圆半径为
r=
S P
，其中
P
=
1 2
(a
+
b 1
+
c)．
当
P ∠C = 90∘
九年级数学上册第24章圆小结与复习课件(新版)新人教版
第三十页，共39页。
8.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心 ，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影(yīnyǐng)部分的面
积等于_______．2 3
第三十一页，共39页。
例6 如图所示，在正方形ABCD内有一条(yī tiáo)折线段，其 中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中 阴影部分的面积.
(3)推论(tuīlùn)2：90°的圆周角所对的弦是直径. (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
第十一页，共39页。
3.与切线(qiēxiàn)相关的定理
(1)判定定理：经过(jīngguò)圆的半径的外端且垂直于 这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线(qiēxiàn)垂直于经过切点的半 径.
120 12
S扇形OEF =
360
3
第二十九页，共39页。
针对 (zhēnduì) 7.（1训）练一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径为 5cm的圆的周长(zhōu chánɡ)的3倍，则这条弧的40半cm径为 .
（2）若一个正六边形的周长(zhōu chánɡ)为24，则该正六边 形的面积为______.
·
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6.等弧:在同圆或等圆中，能够(nénggòu)互相重合的弧.
7.圆心角:顶点(dǐngdiǎn)在圆心，角的两边与圆相交.
8.圆周角:顶点(dǐngdiǎn)在圆上，角的两边与圆相交.
[注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大 小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
图b
考点三 与圆有关的位置关系
例3 如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心 (yuánxīn)，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
最新：人教版九年级上册数学第24章《圆》小结与复习【练习】
分析:因为是用扇形
围成一个圆锥,所以围
成的圆锥的侧面积就
是这个扇形的面积,所
以圆维的側面积是：
120 R2
S=
12
360
★跟踪训练 4.(白州中考)如图,△ABC内接于⊙O,点D在半径OB的 延长线上,∠BCD=∠A=30゜。 (1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若⊙O的半径长为1,求由弧BC、线段CD和BD所围 成的阴影部分面积(结果保留π和根号).
作OC⊥AB于D,交弧AB于C.
∵OC⊥AB
∴BD=
1 2
AB=
1 2
×16=8
cm
由题意可知,CD=4cm.
设半径为xcm, 则OD=(x-4)cm.
在Rt△BOD中,由勾股定理得:
OD2+BD2=OB2,
∴(x-4)2+82=x2
∴x=10
答:这个圆形截面的半径为10cm
O D
C
★跟踪训练
1.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°,则 ∠DCF等于( )
∴BD是⊙O的切线
【例2】(南平中考)如图,线段AB经过圆心O,交⊙O 于点A,C,点D在AB⊙O上,连接AD,BD,∠A=∠B=30°。 BD是⊙O的切线吗?请说明理由。
证明四: 连接OD ∵OA=OD, ∴∠ADO=∠A=30° 连接CD， 则∠ADC=90° ∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=60° ∵OD=OC ∴∠OCD=60° ∵∠B=30° ∴∠BDC=∠ODC+∠BDC=90° ∴OD⊥BD ∴BD是⊙O的切线
★跟踪训练
3.(履门中考)已知:如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径 的⊙O交BC于点P,PD⊥AC于点D.
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆(拓展提高)检测(含解析)新人教版(2
九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆（拓展提高）同步检测（含解析）（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆（拓展提高）同步检测（含解析）（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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24。
1 圆的有关性质24.1。
1 圆基础闯关全练拓展训练1. 如图,是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点,若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是( )A.15 B。
20 C。
15+5D。
15+52.如图,点B，O，O',C,D在一条直线上，BC是半圆O的直径，OD是半圆O'的直径,两半圆相交于点A,连接AB,AO',若∠BAO’=67。
2°,则∠AO'C=度。
3。
如图所示，三圆同心于O，AB=4 cm，CD⊥AB于O,则图中阴影部分的面积为cm2。
能力提升全练拓展训练1。
在平面直角坐标系中,☉C的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB为☉C的直径，若点A的坐标为（a,b),则点B的坐标为（）A.（-a-1，-b)B.(-a+1,—b）C.(—a+2,—b) D。
（—a—2，—b)2.已知半径为R的半圆O,过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D,且CD=R，则AC的长为.三年模拟全练拓展训练1.(2016江苏无锡期中,9,★★☆)如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M、N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( ）A.变大B。
通用版九年级数学上册第二十四章圆本章小结与复习作业课件新版新人教版
18．用等分圆的方法，在半径为 OA 的圆中，画出
了如图所示的四叶幸运草．若 OA＝2，则四叶幸运
草的周长是
．
19．如图，在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，AD 是 ∠BAC 的平分线，且 AD＝6，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧 EF，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F. (1)求由弧 EF 及线段 FC、CB、BE 围成图形(图中阴 影部分)的面积；
◆考点三 与圆有关的计算 15．(2020·苏州中考)如图，在扇形 OAB 中，已知
∠AOB＝90°，OA＝ 2，过A︵B的中点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC 作 CD⊥OA，
CE⊥OB，垂足分别为 D、E，则图中阴影部分的面 积为( B ) A．π－1 B.π2－1 C．π－12 D.π2－12
16．(2020·绥化中考)如图，正五边形 ABCDE 内接
∵P︵A＝P︵B，∴OP⊥AB.
∴OP 交 AB 于 H. ∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°. ∵OA＝OP，∴△AOP 是等边三角形． ∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA＝12OA＝ 33.
7．如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB 于 E，AM⊥BC 于 M，交 CD 于 N，连接 AD. (1)求证：AD＝AN； (2)若 AB＝4 2，ON＝1，求⊙O 的半径．
解：(1)如图，作 OH⊥AB 于 H.
在 Rt△ACB 中，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2.
∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1.
在 Rt△AOH 中，OA＝2OH，
∴OA2＝(OA)2＋12. 2
∴OA＝2
3 3，即⊙O
的半径为2 3
3.
(2)如图，作 PQ⊥AC 于 Q，连接 OP，PA.