甘肃省武威第六中学2020-2021学年高二上学期第一次学段考试数学试题含解析

武威六中2020—2021学年度第一学期第一次学段考试
高二数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（共60分）
1. 如果命题“p 或q ”是真命题,“非p ”是假命题,那么 A. 命题p 一定是假命题 B. 命题q 一定是假命题 C. 命题q 一定是真命题 D. 命题q 是真命题或者假命题
【答案】D 【解析】
【详解】“非p ”是假命题,故p 为真命题；“p 或q ”是真命题, 所以命题q 是真命题或者假命题.
2. 若a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列结论正确的是（ ） A. 22a b <
B.
11a b
> C. 3223a b a b >
D.
22ac bc <
【答案】B 【解析】 【分析】
根据不等式的性质对选项进行逐一判断,找出正确的选项,. 【详解】A. 由0a b <<，则||||a b >即22a b >，所以A 不正确. B. 由0a b <<,则
11
a b
>，所以B 正确. C. 由0a b <<，则220a b >，则3223a b a b <，所以C 不正确. D. 当0c 时，22ac bc =，所以D 不正确.
故选：B
【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于基础题.
3. 焦点坐标为()()0,3,0,3-，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（ ）
A. 22110091
x y +=
B. 2100y 2191x +=
C. 2212516
y x +=
D.
22
12516x y += 【答案】C 【解析】 【分析】
根据长轴长算出a 后可得b 的值，从而可得椭圆的标准方程.
【详解】因为长轴长为10，故长半轴长5a =，因为半焦距3c =，故4b =，
又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为2212516
y x
+= ，故选C
【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.注意焦点的位置与标准方程形式上的对应. 4. “20x x -≤”是“1x ≤”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
先解不等式20x x -≤，再由充分条件和必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】解不等式20x x -≤得01x ≤≤,
所以由“01x ≤≤”能推出“1x ≤”，反之不成立， 所以“20x x -≤”是“1x ≤”的充分而不必要条件. 故选A
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的问题，熟记概念即可，属于基础题型.
5. 已知实数,x y 满足25,
{2,7,
x y x y x -≥≤≤则4
3
y x --的取值范围为（ ）
A.
5 7,
3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.
5
7,
4
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
C.
5
6,
3
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
D.
5
6,
4
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦【答案】B
【解析】
如图，画出可行域，()
3,4
D，
4
3
y
x
-
-
表示可行域内的点到和点()
3,4
D连线的斜率，如图，求出边界,
AD DC直线的斜率，
25
{1
2
x y
y x
-=
=
，解得
105
,
33
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
25
{
6
x y
x
-=
=
，解得()
7,9
C，那么
5
4
37
10
3
3
AD
k
-
==-
-
，
495
374
DC
k
-
==
-
，所以
4
3
y
x
-
-
的范围是
5
7,
4
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
，故选B.
6. 已知E、F分别为椭圆
22
1
259
x y
+=的左、右焦点，倾斜角为60的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则FAB的周长为()
A. 10
B. 12
C. 16
D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义即可得到结果．
【详解】椭圆
22
1
259
x y
+=，
可得5
a=，
三角形2
AF B的周长
22
AF BF AB
=++，
11
AB AF BF
=+，
所以：周长
1212
AF AF BF BF
=+++，
由椭圆的第一定义，1212210AF AF BF BF a +=+==， 所以，周长420a ==． 故选D ．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．
7. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. 4
y x x
=+
B. 4
sin sin y x x
=+
（0πx <<） C. 4e e x
x
y -=+
D. 3log log 3x y x =+（01x <<）
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式求函数最值的条件逐项检验即可． 【详解】解：对于A ：当0x <时，44y x x
=+
-，∴该函数的最小值不是4，排除A ；
对于B ：若取到最小值，则sin 2x =，显然不成立，故排除B ；
对于C ：4244x x x y e e e e --=+=，当且仅当4x x e e -=即2x ln =-时取等号，
4e e x x y -∴=+的最小值为4， 对于D ：
01x <<，0y ∴<，其最小值不为4，排除D ，
故选：C ．
【点睛】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题
8. 设椭圆2
221x y a
+=（1a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 都在椭圆上，直线AB
过点1F ，2ABF 的周长为8，则该椭圆的离心率为( )
A.
14
B.
12
【答案】D 【解析】 【分析】
由2ABF 的周长，所以2a =，再根据222c a b =-，求出c ，即可求出椭圆的离心率； 【详解】解：因为2ABF 的周长为8，所以2
48ABF C
a ==，所以2a =，
所以2
214
x y +=，所以222413c a b =-=-=，所以3c =，
所以3
c e a =
=
， 故选：D
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.
9. 函数268y kx x k =-++R ，则k 的取值范围是（ ） A. (][),91,-∞-⋃+∞ B. [)1,+∞ C. []9,1- D. (]0,1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意得到：2680kx x k -++≥在R 上恒成立，分别讨论0k =和0k ≠的情况即可. 【详解】由题知：2680kx x k -++≥在R 上恒成立. 当0k =时，680x -+≥，舍去.
当0k ≠时，0
364(8)0k k k >⎧⎨∆=-+≤⎩
，解得：1k
.
故选：B
【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，同时考查了函数的定义域，属于简单题.
10. 已知椭圆22
17525
+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，
则M 的坐标为（ ） A. 11,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 11,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ D. 11,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意知：斜率为3的弦中点01
(,)2
M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得
122
b
x x +=-即可求b ，进而求M 的坐标.
【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++-=，
∴22123648(75)02
b b b x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，而121x x =+，故2b =-， ∴:32AB y x =-，又01
(,)2M y 在AB 上，则012
y =-， 故选：C
【点睛】本题考查了求椭圆的弦中点坐标，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
11. 已知椭圆22
11612
x y C +=：的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上且异于长轴端点．点
M ，N 在△PF 1F 2所围区域之外，且始终满足10MP MF ⋅=，20NP NF ⋅=，则|MN |的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14
【答案】A 【解析】 【分析】
设1PF ，2PF 的中点分别为C ，D ，则M ，N 在分别以C ，D 为圆心的圆上，直线CD 与两圆的交点(△12PF F 所围区域之外）分别为M ，N 时，||MN 的最大，可得||MN 的最大值为
12
2
PF PF CD a c ++=+即可． 【详解】解：设1PF ，2PF 的中点分别为C ，D ，
10MP MF =，20NP NF =，则M ，N 在分别以C ，D 为圆心的圆上，
∴直线CD 与两圆的交点(△12PF F 所围区域之外）分别为M ，N 时，||MN 最大， ∴||MN 的最大值为12
4262
PF PF CD a c ++=+=+=， 故选：A ．
【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题．
12. 如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x y
a b a b
+=>>的右焦点，直线
2
b
y =
与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）
6 B.
34
C.
12
3【答案】A 【解析】 【分析】
联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的
坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，
由离心率定义可得结果.
【详解】由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得3
2x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以3,2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,2b C ⎫⎪⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c ，所以3,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，3,22b CF c a ⎛⎫
=--
⎪ ⎪⎝⎭. 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以
2222
22233331044442b a c BF CF c c c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=++=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.
所以2232c a =，所以6
c e a ==
， 故选：A .
【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率
公式，属于基础题.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共20分）
13. 命题:P 存在x R ∈,使得210x x +-<，则p ⌝为 . 【答案】任意x R ∈,均有210x x +-≥ 【解析】 【分析】
带量词的否定应：变量词，否结论 【详解】任意x ∈R ,均有210x x +-≥
14. 已知函数3(1),0,()1,0,x x f x x x
-+⎧⎪
=⎨>⎪⎩则不等式()0f x >的解集是______．
【答案】(,1)(0,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】
令()0f x >，当0x ≤时，当0x >时，分别解不等式即可求解.
【详解】由3(1),0,()1,0,x x f x x x
-+⎧⎪
=⎨>⎪⎩
令()0f x >，当0x ≤时，则()3101x x -+>⇒<-，解得1x <-； 当0x >时，则
1
00x x
>⇒>，解得0x >， 综上不等式的解集为(,1)(0,)-∞-+∞. 故答案为：(,1)(0,)-∞-+∞
【点睛】本题考查了解分段函数的不等式，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
15. 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，过原点的直线与双曲线C 相交于
,A B 两点，连接,AF BF ，若||6AF =，||8BF =，2
AFB π
∠=
，则该双曲线的离心率为
__________．
【答案】5 【解析】 【分析】
设双曲线的另一个焦点为F '，分类连接,BF AF ''，根据双曲线的对称性可知，四边形AF BF '为矩形，结合矩形的性质，求得5c =，再由双曲线的定义，求得1a =，即可求解双曲线的离心率.
【详解】在直角ABF ∆中，由勾股定理可得2
2
2
2268100AB AF BF
=+=+=，解得
10AB =，
设双曲线的另一个焦点为F '，分类连接,BF AF ''， 根据双曲线的对称性可知，四边形AF BF '为矩形， 结合矩形的性质，可得210c =，即5c =，
由双曲线的
定义可知2862a AF AF -=-'==，解得1a =， 所以双曲线的离心率为5c
e a
=
=.
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，对称性，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中利用双曲线的对称性和双曲线的定义求得,a c 的值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 16. 给出下列五个命题：
①已知直线a 、b 和平面α，若a //b ，则//a α；
②双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，则直线b y x m a =+()m R ∈与双曲线有且只有一个公共
点；
③若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
④过()2,0M 的直线l 与椭圆2212
x y +=交于1P 、2P 两点，线段12PP 中点为P ，设直线l 斜率为1k ()0k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于12-
． 其中，正确命题的序号为_______．
【答案】③④
【解析】
【分析】
利用线面平行的判定定理可判断①的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断②的正误；利用反证法结合线面垂直的定义可判断③的正误；利用点差法可判断④的正误.
【详解】①线面平行的前提条件是直线a α⊄，所以条件中没有a α⊄，所以①错误； ②因为双曲线的渐近线方程为b y x a
=±，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以②错误；
③若αβ⊥，a αβ⋂=，l α⊂，且l 与a 不垂直，
假设l β⊥，由于a β⊂，则l a ⊥，这与已知条件矛盾，假设不成立，则l 与β不垂直，所以③正确；
④设()111,P x y 、()222,P x y ，中点()00,P x y ，则12112y y k x x -=-，0122012
y y y k x x x +==+， 把()111,P x y ，()222,P x y 分别代入椭圆方程2
212
x y +=， 得221122222222
x y x y ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()2222121220x x y y -+-=， 整理得1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，即1212
k k =-，所以④正确. 所以正确命题的序号为③④
故答案：③④
【点睛】本题考查空间线面平行判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，考查学生的运算能力与推理能力，属于中等题.
三、解答题（共70分）
17. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x 轴上，2a =，离心率为32
； (2)焦点的坐标为()5,0，()5,0-，渐近线方程为43y x =±
. 【答案】（1）22
145
x y -=；（2）221916x y -= 【解析】
【分析】
（1）设双曲线的标准方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，利用2a =及离心率32c e a ==得双曲线方程；（2）设双曲线的标准方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，利用c=5及43b a =得到双曲线的方程.
【详解】(1)因为焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b
-=>>， 其中222c a b =+.
由2a =及离心率32
c e a ==得，3c =，所以22222325b c a =-=-=， 所以，所求双曲线的标准方程为22
145
x y -=. (2)由焦点的坐标为()5,0，()5,0-知双曲线的焦点在x 轴上， 故设双曲线的标准方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，且222=25c a b =+，① 因为渐近线方程为43y x =±，所以43
b a =， ② 由①②得29a =，2
16b =，所以，所求双曲线的标准方程为22
1916x y -=. 【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．
18. 已知p ：实数x 满足4a x a <<（其中0a >）q ：实数x 满足25x <
（1）若1a =，且p 与q 都为真命题，求实数x 的取值范围.
（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) ()2,4 (2) 5,24⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】
【分析】 （1）由题意明确二者为x 真时的范围，进而求交集即可；
（2）p 是q 的必要不充分条件则B A ，即245
a a ⎧⎨>⎩. 【详解】（1）若1a =，p 为真:14p x <<，q 为真：25x <
∵p ，q 都为真命题，
∴x 的取值范围为()2,4
（2）设{|4}A x a x a =<<，{|25}B x x =<
∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，∴245
a a ⎧⎨>⎩，∴解得524a < 综上a 的范围为5,24⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【点睛】本题考查解集合间的关系，p∧q 的真假和p ，q 真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．
19. 若圆M 的方程为22(1)(4)4x y -+-=，ABC ∆中，
已知(7,2)A ,(4,6)B ,点C 为圆M 上的动点．
（1）求AC 中点D 的轨迹方程；
（2）求ABC ∆面积的最小值．
【答案】（1）22
(4)(3)1x y -+-=；（2）4
【解析】
【分析】 （1）设00(,),(,)D x y C x y ，根据中点坐标公式得出00
2722x x y y =-⎧⎨=-⎩，由相关点法即可求出点D 的轨迹方程；
（2）利用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）设00(,),(,)D x y C x y 有0000
72722222x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩
， 由2200(1)(4)4x y -+-=得22(271)(224)4x y --+--=，
即D 点的轨迹方程为22(4)(3)1x y -+-=.
（2）计算得5AB =, 直线AB 为43340x y +-=,
点(1,4)到直线AB 的距离412341855
d +-==, ∴点C 到直线AB 的最小距离为
188255-= min 18()5425
ABC S ∆∴=⨯⨯=. 【点睛】本题考查了相关点法求点的轨迹方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.
20. 设命题p ：实数x 满足22230(0)x ax a a --<>，命题q ：实数x 满足
624x x -≥-． （I ）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；
（II ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）[)2,3（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】 (1)将1a =代入不等式，利用一元二次不等式的解法与分式不等式的解法，分别求得命题p 为真命题与命题q 为真命题时x 的取值范围，再求交集即可；(2)由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，利用包含关系列出不等式组，即可解出a 的取值范围.
【详解】（1）当1a =时，由2
230x x --<得13x -<<， 由
204
x x -≥-得24x ≤<， ∵p q ∧为真命题，∴命题,p q 均为真命题， ∴13,24,
x x -<<⎧⎨
≤<⎩解得23x ≤<，
∴实数x 的取值范围是[
)2,3．
（2）由条件得不等式22230x ax a --<的解集为(),3a a -，
∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件， ∴[)2,4是(),3a a -的子集，∴2,34,
a a -<⎧⎨≥⎩解得43a ≥， ∴实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．
【点睛】本题主要考查逻辑联接词的应用以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
21. 已知函数()2()(2)4f x x a x a R =-++∈. （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,b ，求a 和b 的值；
（2）若对14x ∀≤≤，()1f x a ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）34a b =⎧⎨=⎩
；（2）4a ≤ 【解析】
【分析】
（1）依题意1x =，x b =为方程2(2)40x a x -++=的两解，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意对任意的[]1,4x ∈ ()2251x x a x -+≥-恒成立，当1x =时，显然成立，当(]
1,4x ∈时，参变分离，利用基本不等式求出a 的取值范围；
【详解】解：（1）关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,b ，即1x =，x b =为方程
2
(2)40x a x -++=的两解，所以124b a b +=+⎧⎨=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩ （2）对任意的[]1,4x ∈，()1f x a ≥--恒成立，即2
(2)50x a x a -+++≥对任意的[]1,4x ∈恒
成立，即()2251x x a x -+≥-恒成立，
①当1x =时，不等式04≤恒成立，此时a R ∈
②当(]1,4x ∈时，2254111
x x a x x x -+≤=-+--，
因为14x <≤，所以013x <-≤，所以4141x x -+
≥=- 当且仅当411x x -=
-时，即12x -=，即3x =时取等号，所以4a ≤，
综上4a ≤ 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，不等式恒成立问题，属于中档题.
22. 椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
，短轴端点与两焦点围成的三角形面积
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且过点()0,4，O 为坐标原点，当△OAB 为直角三角形，求直线l 的斜率.
【答案】(1)2
214
x y +=；(2)【解析】
【分析】
(1)利用题中所给面积及离心率列出方程组求解a ,b ,c ，即可求得椭圆的标准方程；(2)根据题意设出直线方程并与椭圆方程联立，得到关于x 的二次方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +,①当AOB ∠为直角时，由0OA OB ⋅=列出方程即可求得k ；②当OAB ∠或OBA ∠为直角时，
不妨设OAB ∠为直角，由1OA k k ⋅=-及221114
x y +=列出方程组求点A 的坐标，从而求出直线的斜率k .
【详解】(1)
根据题意可得22212221c b a c e b a c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎧⎪=⎪⎪==
⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩
， 所以椭圆方程为2
214
x y +=； (2)根据题意，过点()0,4D 满足题意得直线斜率存在，设:4l y kx =+， 联立2
2144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 得：()221432600k x kx +++=，
()222(32)2401464240k k k ∆=-+=-，令>0∆，解得2154
k >
， 1212223260,1414k x x x x k k +=-=++， 设A 、B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，
①当AOB ∠为直角时，0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，
所以()()2121214160k x x k x x ++++=，
则()2
22215132401414k k k k
⨯+-+=++
，解得k =； ②当OAB ∠或OBA ∠为直角时，不妨设OAB ∠为直角，
此时，1OA k k ⋅=-，则1111
41y y x x -⋅=-，221114x y y =-①， 又221114
x y +=②，将①代入②可得2113440y y +-=， 解得123
y =或12y =-(舍去)， 将123
y =代入①
，得1x =
，所以114y k x -== 经检验，所求k 值均与题意相符，综上，k
的值为
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，韦达定理设而不求的应用，直线与椭圆方程联立求解交点坐标，属于中档题.。