152分式的运算1522分式的加减二
八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.2分式的加减15.2.2.2分式的混合运算教案新版新人教版2
第2课时分式混合运算
◇教学目标◇
【知识与技能】
明确分式混合运算的顺序.
【过程与方法】
经历探索分式混合运算步骤的过程,能熟练地进行分式的混合运算.【情感、态度与价值观】
结合已有的数学经验解决新问题,获得成就感和克服困难的方法和勇气.
◇教学重难点◇
【教学重点】
分式混合运算的顺序.
【教学难点】
分式的混合运算.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们学习了分式的加减乘除、乘方运算,你能解决下面的问题吗?
化简:.
二、合作探究
探究点1分式乘除混合运算
典例1化简:.
[解析]原式=-=-.
探究点2分式混合运算
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典例2先化简,再求值:,其中x=5.
[解析]原式=
=
=-(x-2)
=-x+2.
当x=5时,原式=-5+2=-3.
探究点3化简求值
典例3先化简,再求值:.其中x的值从不等式组的整数解中选取.
[解析]由不等式组可解得-1<x≤2.
∵x是整数,
∴x=0或1或2.
∴原式==(x+2)·,
当x=0时,原式=0.
当x=2时,原式=.
当x=1时,原式=.
三、板书设计
分式混合运算
分式混合运算
◇教学反思◇
本节是一节习题课,内容是分式的混合运算,要把握运算顺序.不少学生在分式运算中出错,就是因为不重视审题,题没看完就动笔计算,或者受题中部分算式的特殊结构的影响而不遵循运算顺序,如化简,就常出现乱约分而不遵循运算顺序的典型错误,要同学通过练习、板演充分暴露问题所在,纠正,最后总结出容易忽视和出错的地方,提醒自己.
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八年级数学人教版上册第15章分式15.2.2分式的加减(图文详解)第1课时
= 5a2b 3 3a2b 5 8 a2b ab2
= a2b ab2
=
a b
把分子看作一 个整体,先用 括号括起来!
注意:结果要化 为最简分式!
八年级上册第15章分式
1.直接说出运算结果
(1) m x
y x
c x
m y x
c
(2)
m 2abc
n 2bca
d 2cab
八年级上册第15章分式
3.猜一猜, 同分母的分式应该如何加减? 【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减,
分母不变,把分子相加 减. 【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减, 分母不变,把分子相加减. 即: a b a b cc c
八年级上册第15章分式
例1 计算:
xy
八年级上册第15章分式
( 2)
1 2 a 1 1 a2
解:原式
1 2 a 1 a2 1
1
2
a 1 (a 1)(a 1)
a 1
2
(a 1)(a 1) (a 1)(a 1)
a 1 (a 1)(a 1)
1 a1
八年级上册第15章分式
例2 计算 (1) 解:原式
八年级上册第15章分式
(2)a22a
4
a
1
2
a2 -4 能分解 :
解:原式
(a
2a 2)(a
2)
(a
a2 2)(a
2)
2a (a 2) (a 2)(a 2)
2a a 2 (a 2)(a 2)
第十五章 15.2 15.2.2 第1课时 分式的加减
解:原式=(x+5)10(x x-5)-(x+5)2(x x-5)=
(x+5)8(x x-5), 解不等式得-5≤x<6,取 x=0, 则原式=0.
9. 已知: (x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)÷4y=1, 求4x24-x y2-2x+1 y的值. 解:由已知得 x-12y=1, 原式=2x1-y=12.
∴A--3AB-=B1, =5,解得
A=-1, B=-2.
1. (2017·滨州)观察下列各式:1×23=11-13,2×24=12- 14,3×25=13-15,
… 请利用你所得结论,化简代数式1×13+2×14+3×15+… +n(n1+2)(n≥3 且 n 为整数),其结果为
3n2+5n 4(n+1)(n+2) .
.
知识点 同分母分式加减
15.2.2分式的加减(2)混合运算(教案)
(1)讲解分式加减混合运算的法则时,通过具体例题强调加法交换律和结合律在分式运算中的应用,如:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与分式混合运算相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如计算不同商品打折后的总价。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“分式混合运算在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
五、教学反思
在今天的教学中,我重点关注了分式混合运算的概念和实际应用。通过引入日常生活中的例子,我试图让学生认识到数学知识在解决实际问题中的重要性。课堂上,我注意到学生们在理解合并同类项和通分的过程中遇到了一些挑战,这让我意识到这些概念需要更多的解释和练习。
我尝试通过具体的案例分析和逐步解题来帮助学生理解难点,但我也发现,对于一些学生来说,这些概念仍然难以消化。在今后的教学中,我需要寻找更多直观和生动的方法来解释这些难点,比如使用实物或动画来展示分式的通分过程,让学生能够更直观地理解。
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$
难点在于如何确定最简公分母,如$a$和$b$的最小公倍数$ab$。
人教版八年级数学上册 15.2 分式的运算(含答案)
15.2 分式的运算知识要点: 1.分式的乘除 ①乘法法则:db c a d c b a ⋅⋅=⋅。
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
②除法法则:cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
③分式的乘方:nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂:1nna a -=。
2.分式的加减同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减。
①同分母分式的加减:a b a b c c c±±=; ②异分母分式的加法:a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=一、单选题 1.化简a ÷b •1b的结果是( ) A .2a b B .aC .ab 2D .ab2.化简的结果是( )A.x +3B.x –9C.x -3D.x +93.计算的结果为( )A. B. C.D.4.下列计算正确的是( ) A.B.C.D.5.已知P=999999,Q= 990119,则P 、Q 的大小关系是( )A .P >QB .P =QC .P <QD .无法确定6.化简2m mn mnm n m n +÷--的结果是( ) A .m nn+B .2m m n-C .m nn- D .2m7.计算22m n m n n m+--的结果为( ) A.22m n + B.m n + C.m n - D.n m -8.化简的结果是( )A.x+1B.C.x-1D.9.若分式运算结果为 ,则在“□”中添加的运算符号为( )A.+B.—C.—或÷D.+或×10.清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到:“白日不到处,青春恰自来.苔花如米小,也学牡丹开”,若苔花的花粉直径约为0.0000084米,用科学记数法表示0.0000084( )A .68.410⨯B .78410-⨯C .50.8410-⨯D .68.410-⨯11.22--的值是( ) A.4 B.4-C.14-D.14二、填空题12.若3m =4,3n =2,则92m-n =________.13.某种生物孢子的直径为0.0000016cm ,把该数用科学记数法表示为________.14.计算:20191009142⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭______.15.()0201927318--⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭__________________.16.老师设计了接力游戏,甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简过程如图所示接力中,自己负责的一步出现错误的同学是_____.三、解答题 17.计算:(1)×3-21()2-+|1;(2)2m n mm n n m++--. 18.(1)计算:()1132π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)化简:()()()32223x x y x y x yxy -++÷19.先化简,再求值:22923693x x x x x x -⎛⎫+-- ⎪+++⎝⎭,其中1x =-.20.阅读下面的解题过程已知2212374y y =++,求代数式21461y y +-的值. 解:由2212374y y =++,取倒数得,223742y y ++=,即2231y y +=, 所以()2246122312111y y y y +-=+-=⨯-=则可得211461y y =+-. 该题的解题方法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法”解下面的题目:已知32321x x +=+++,求35--2242x x x x -⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭的值.答案1.A 2.C 3.B 4.D 5.B6.A7.B8.A9.C10.D 11.C 12.64 13.-61.610⨯14.1 2 -15.1 9 -16.乙和丁17.(1) 225;(2) -1 18.(1)3;(2)25x;19.4x-;-5.2032+。
第1套人教初中数学八上 15.2.2 分式的加减课件 【通用,最新经典教案】
2
3
4
5
6
).
B.a7
C.a6
D.a12
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
2.下列计算正确的是(
).
A.b4·
b2=b8
B.x3+x2=x6
C.a4+a2=a6
D.m3·
m=m4
关闭
选项 A 和 D 都是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;选项 B 和 D 的左边都不是同类项,
不能合并.
关闭
D
解析
答案
b
A.
a b
b a
÷
a-b
=( A
a
a-b
B.
b
).
a-b
a
C.
a+b
a
D.
一
二
1.分式的加减法
x+2y
y
2x
+ − ;
y-x
x-y
y-x
x
3
(2)先化简,再求值: −
-1,其中
x-1
(x-1)(x+2)
【例 1】 (1)化简:
2
x=-3.
关闭
x+2y
y
2x x+2y-y-2x y-x
(1)原式=
(3)底数是多项式,应把
x+y 看作一个整体当底数.
(1)a3·a2·a=a3+2+1=a6;
(2)(-x)2·x5=x2·x5=x2+5=x7;
(3)(x+y)2·(x+y)3=(x+y)2+3=(x+y)5.
第53课时1522分式的加减(2)PPT课件
9-m2 2-m
•
2m-4 3-m
(3+m)(3-m) 2(m-2) = 2-m • 3-m
= -2(3+m) = -6 -2m
(2)
(
x+2 x2-2x
-ห้องสมุดไป่ตู้
x-1 x2-4x+4
)
÷
x-4 x
=
[
xx(+x-22)-
x-1 (x-2)2
]
•
x x-4
= [(x+x(x2-)(x2-)2 2)
-
x(x-1) x(x-2)2 ]•
3
-
S
)
2
-
S(2
S
2
-
S
)
1
S1S 2
S1S 2
= S1S3-S1S2 -S22+S1S2 = S1S3-S22 .
S1S 2
S1S 2
S 即2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了
1
S S
3 1
S
S
2
2
2
.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
x x-4
(x2-4)-(x2-x) x
= x(x-2)2
• x-4
x2-4-x2+x = x(x-2)2
•
x x-4
= x(xx--42)2
•
x x-4
=(x-1 2)2
通过对例2的解答,同学们有何收获?
对于带括号的分式混合运算: (1)将各分式的分子、分母分解因式后,再进行计算; (2)注意处理好每一步运算中遇到的符号; (3)计算结果要化为最简分式.
人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》教案
人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》教案一. 教材分析人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》一节,主要让学生掌握分式的加减乘除运算规则,以及混合运算的运算顺序。
这一节内容在分式知识体系中占据重要地位,为后续分式方程和不等式的学习打下基础。
教材通过例题和练习,使学生熟练掌握分式混合运算的方法和技巧。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了分式的基本概念和运算规则,对分式有了一定的认识。
但学生在混合运算方面,可能会存在运算顺序混乱、对运算规则理解不深等问题。
因此,在教学过程中,需要引导学生理清运算顺序,加深对运算规则的理解。
三. 教学目标1.让学生掌握分式的加减乘除运算规则。
2.培养学生解决分式混合运算问题的能力。
3.提高学生对数学运算的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点:分式的加减乘除运算规则,混合运算的运算顺序。
2.难点:理解并运用运算规则解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生主动探究分式混合运算的规则。
2.用实例讲解,让学生在实际问题中体会运算规则的应用。
3.运用小组合作学习,培养学生团队合作精神。
4.及时反馈,激发学生学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题,涵盖分式混合运算的各种情况。
2.制作课件,辅助讲解和展示。
3.准备黑板,用于板书关键步骤和结论。
七. 教学过程1. 导入(5分钟)以一个实际问题引入:某商店举行打折活动,原价100元的商品,打8折后售价是多少?让学生尝试用分式混合运算解决这个问题。
2. 呈现(10分钟)讲解分式混合运算的规则,通过PPT展示各种类型的题目,让学生观察和分析,引导学生发现运算规律。
3. 操练(10分钟)让学生独立完成PPT上的练习题,教师巡回指导,及时解答学生的疑问。
4. 巩固(10分钟)学生分组讨论,互相检查答案,教师随机抽取学生回答,检验掌握情况。
5. 拓展(10分钟)让学生举例说明分式混合运算在实际生活中的应用,分享给其他同学。
人教版数学八年级上册15.2.2 分式的加减(2)-课件
12 a 4a 2
a 4a 2
13 a 4a 2
13 4a
先找出最简公分母,
例 2 计算:
6a52b3a2b2 4a3bc
再正确通分,转化 为同分母的分式相
加减。
解:原式= 11a 22 b 0 b2c c18 a 2 a 2b2c c19 a 2 a 2b2b c
10b1c2a8a2b2cc9ab
.
练 3 :阅读下面题目的计算过程。
x 3 2
x 3
2 x 1 ①
x 2 11 x x 1 x 1 x 1 x 1
= x32x1
②
=
③
x32x2
=
④
(1)上x 述计1算过程,从哪一步开始错误,请写上该步的代号
(2)错误原因
(3)本题的正确结论为
• 在图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R1欧姆,又知CBD支
;;
You made my day!
伦 理 使 人 庄 重 ; 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
写 作 与 笔 记 使 人 精 确 ; 史 鉴 使 人 明 智 ; 诗
歌
使
人
巧
慧
;
我们,还在路上……
路的电阻R2比R1大50欧姆,根据电学的有关定律可知总电阻R
与R1R2满足关系式 表示总电阻R
1 R
1 1
R1
R2
,试用含有R1的式子
A
C
D
B
再来试试
•
计算:
2ba2
•1 ab
a b
b 4
解:原式
4ba22
• 1 a4 ab b b
4a2 4a 4a2 4a(ab) b2(ab)b2b2(ab)b2(ab)
1522分式的加减--混合运算
15.2.2 分式的加减(二)
一.学习目标
1、懂得分式混合运算的顺序,熟练地进行分式混合运算;
二.重点难点
重点:熟练地进行分式的混合运算
难点:熟练地进行分式的混合运算
三.教学过程
反思:本节课内容是有了数的混合运算的基础上学习的,两者有很大的类似性,因此在教学中采用类比法进行讲解,学生对运算的顺序掌握得较好,但由于前面的因式分解、通分等知识掌握不是很好,计算速度比较慢、仅能做完课本练习,没办法进行检测。
对此今后对相应的知识还需要多训练。
海丰县一中八年级数学上册 第十五章 分式 15.2 分式的运算15.2.2 分式的加减第2课时 分
第2课时分式的混合运算一、新课导入1.导入课题:你还记得分数的四则混合运算顺序吗?分式的混合运算是否类似呢?2.学习目标:(1)会进行简单分式的加减乘除运算,能从数的四则运算类比分式的四则混合运算.(2)明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算.3.学习重、难点:重点:混合运算运算顺序的确定.难点:通分和约分在计算中的运用.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第141页例7.(2)自学时间:5分钟.(3)自学方法:回忆有理数的四则混合运算,然后思考分式四则混合运算的顺序.(4)自学参考提纲:①有乘方运算的混合运算的顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号,先算括号里面的.②例7中计算顺序是先乘方,再乘除,后减法③计算结果中如果分子与分母中有公因式,应约去公因式,化成最简分式.2.自学:同学们结合自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:了解学生是否能从例题计算的每一步中总结出分式混合运算的顺序.②差异指导:对部分运算顺序不清的学生引导阅读和总结.(2)生助生:学生之间相互交流互相帮助.4.强化:(1)分式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减.(2)计算:1.自学指导:(1)自学内容:教材第141页例8.(2)自学时间:5分钟.(3)自学方法:认真阅读计算的每一步变形方法及依据,总结分式混合运算的思路和方法步骤要点.(4)自学参考提纲:①计算(1)题中有括号,应先算括号里面的,m+2+52m的最简公分母是2-m.②计算(2)题中,括号内的分母是多项式,应先因式分解,这样便于确定最简公分母,然后进行通分,再相减,最后将除法统一成乘法,约分后得出结果.2.自学:学生边看例题边围绕自学提纲进行学习.3.助学:(1)师助生:①明了学情:了解学生是否看懂例题中每步计算的依据及方法.②差异指导:指导学生如何将括号内分式进行通分.(2)生助生:学生之间相互交流帮助.三、评价1.学生的自我评价:学生代表交流自己的学习收获和困惑.2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:对学生的学习态度、方法、成果及不足进行总结点评.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)一、基础巩固(60分)1.计算:二、综合应用(20分)三、拓展延伸(20分)1.起重机的底座、人字架、输电线路支架等,在日常生产生活中,很多物体都采用三角形结构,是利用三角形的__________.2.有下列图形:①正方形;②长方形;③直角三角形;④平行四边形.其中具有稳定性的是_________.(填序号).3.如图,一扇窗户打开后,用窗钩BC可将其固定,这里所运用的几何原理是_________.4.要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,至少要钉上_________根木条.5.铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如,是利用四边形的_________.6.在建筑工地我们常可看见如图7-31所示,用木条EF固定矩形门框ABCD的情形.这种做法根据( )A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.三角形的稳定性D.矩形的四个角都是直角7.探究:如图,用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处连接起来,用橡皮筋把AD连接起来,设橡皮筋AD的长是x,(1)若AB=5,CD=3,BC=11,试求x的最大值和最小值;(2)在(1)的条件下要围成一个四边形,你能求出x的取值范围吗?答案:(1)三角形的稳定性和四边形的不稳定性 (2)由折叠示意图b的第三个图形和第四个图形可知,在折叠过程中有:AB+AD=CD+BC,即6+AD=15+30,AD=39[ ]参考答案:1. 稳定性 2.③ 3.三角形具有稳定性 4.2 5.不稳定性6.C7. (1)最大值为19,最小值为3 (2)3<x<19正方形由于正方形的性质特征和判定方法较多,教科书中没有明确列举,因而教学时要注意:1.通过“大家谈谈”,让学生摘清正方形和平行四边形、矩形和菱形的关系。
1522分式的加减2
(1)
2a 5a 2b
3b 10ab2
4ab 10a 2b 2
3ab 10a 2b 2
4ab 3ab 10a 2b 2
7ab 10a 2b
2
7 10ab
(2)
2m 5n2 p
3n 4mp 2
8n2 p
15n2
20mn2 p2 20mn2 p2
8n2 p 15n2 20mn2 p2
a a2
2 2a
a2
a
1 4a
4
4 a2
a 2a
a2 4 a(a 1) a2 2a
•
a(a 2)2
4a
a 4 • a(a 2) a(a 2)2 4 a
1 a2
1.解法二:
a a2
2 2a
a2
a
1 4a
4
4 a2
a 2a
a 2 a2 2a a 1 a2 2a a2 2a 4 a a2 4a 4 4 a
2a2 ab 2b2 3(a2 b2 )
2.计算:
(1)
a2
a2
2a
a2
a
1 4a
4
4 a2
a 2a
(2) x 3 ( 5 x 2)
2x 4 x 2
(3)
x2
x2 4x
4
x2
x 2x
•
x
4 x
(4)(a
4a2 8a 2)•(a
1)
a a
1 1
a a
b)2 b)2
•
2(a b) 3(a b)
a2 a2 b2
•
b a
2(a b) ab 3(a b) a2 b2
八年级数学上册1522分式的加减人教版范文整理
八年级数学上册15.2.2分式的加减(人教版)2.2 分式的加减第1课时分式的加减运算【教学目标】经历探索分式加减运算法则的过程,理解其算法、算理,会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力.学习过程中不断总结运算方法和技巧,提高运算能力,增强“用数学”的意识.【重点难点】重点:分式的加减运算.难点:异分母的分式加减法运算.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境,导入新问题1:分式是如何进行乘除的?它们与分数乘除类似吗?ba×dc=bdac,ba÷dc=ba?cd=bcad,它们与分数的乘除类似.问题2:从完善运算的角度出发,分式的运算还需要研究什么吗?数的运算有加、减、乘、除、乘方,估计分式的运算也有这类运算,所以估计还需要研究分式的加减运算.问题3:从甲地到乙地有两条路,每条路都是3,其中条是平路,第二条有1的上坡路,2的下坡路,小丽在上坡路上的骑车速度为v/h,在平路上的骑车速度为2v/h,在下坡路上的骑车速度为3v/h,那么当走第二条路时,她从甲地到乙地需要多长时间?她走哪条路花费时间少?少用多长时间?师:当小丽从甲地到乙地走第二条路时需要多少时间?用式子表示为?生:.师:小丽走哪条路花费时间少?怎么比较?生:作差比较,用式子表示为师:以上两个式子你会计算吗?涉及什么运算?生:分式的加法和减法,现在还不会.师顺势点题:那我们现在就来一起学习分式的加减.通过问题导引,从知识的发展所需和实际问题的解决所求,营造出探索未知领域的氛围.以回顾分式的乘除法则为起点,类比分数的运算,通过一个贴近学生生活的实际问题打破认知平衡,不论是情景问题的解决还是分式运算的完善,都能让学生顺其自然地感受到分式的加减运算“势在必学”.二、师生互动,探究新知活动1:找朋友:①45-15;②215+815;③43+23;④23;⑤2;⑥35.在找朋友的过程中,复习了同分母的分数的加减运算及算法:同分母分数相加减时,分母不变,分子相加减.用符号表示为ac±bc=a±bc.活动2:继续找朋友:①4;②3a-1a;③7-3;④3n-1-2n-1;⑤1n-1;⑥2a.有了活动1的引导,估计学生不难得出,朋友分别是:①与③,②与⑥,④与⑤.可通过追问:“你们是怎样得到的?”引导学生发现数与式的内在联系.只要将式☆中的a,b,c由数转换成整式即可,至此得到同分母分式的加减法法则:分母不变,分子相加减.式子与数一样.活动3:计算:)5x+3yx2-y2-2xx2-y2;yx-y+xy-x;xy2+12-1+2x2y2.解:5x+3yx2-y2-2xx2-y2=5x+3y-2xx2-y2=3x+3yx2-y2=3=3x-y.yx-y+xy-x=yx-y+x-=yx-y-xx-y=y-xx-y=-x-y=-1.xy2+12-1+2x2y2=2xy2+12-1+2x2y2=2xy2+1-2=2xy2-2x2y2=-2xy2=-2xyx-y.是同分母分式的加减法,学生可以独立完成,但要注意最后的化简;实际上是的变式,教学时注意引导:①它们能直接运算吗?不能,因为它们的分母不相同.②怎样处理后能进行运算?化为同分母,也就是通分.完成后,提出问题:从上述问题的解决过程中你觉得分式加减要注意什么?①要注意把不同分母化为同分母;②相反因式的奇偶次数要分清,奇次幂仍为相反因式,偶次幂变成相同的因式;③要注意符号的变化;④加减步骤完成后要看分式是否已化为最简.活动4:有了前面的经验,你能计算yx-y+xx+y吗?学生试做,完成后引导学生归纳异分母分式的加减法则:先通分,变为同分母的分式,再加减.用式子表示为ab±cd =adbd±bcbd=ad±bcbd.设置这两个找朋友的活动的目的是为了促成同分母分数加减运算的正迁移,以实现数式转换.活动3中,由于异分母运算是难点,两小题在做好引导的前提下要敢于放手,学生在试做的过程中,估计会暴露问题,此时可通过学生的辨析自行明晰,便于分散突破本节的难点.过程中要注意反问的引导,完成后要发挥反思归纳的作用,题就是一个异分母的特例,通过此题的解决,让学生从特殊到一般自然地意识到异分母分式加减时必须先化为同分母,为比较复杂的异分母的出场扫清了障碍.活动4把真正的异分母提出,可通过学生尝试后交流获得异分母加减法则.三、运用新知,解决问题计算:12p+3q+12p-3q;x+2+12-x+2xx2-4;x2x-1-x-1.第小题学生解答应该没有问题;第小题有一定的综合性,可把分母的各多项式按x的降幂排列,再将能分解因式的实施分解,找最简公分母,转化为同分母的分式加减法;难度不大,但比较特殊,是一个整式与一个分式相加减,对初学的学生而言可能产生阻力,应把这个整式看作一个分母是1的式子来进行通分,注意-x-1=-,负号问题不容忽视.教材第141页练习2.递进式的三个计算,使学生的思维不断面对新的挑战,锻炼学生的计算技能与转化意识.要引导学生通过反思得到异分母的分式加减法的一般步骤:通分,将异分母的分式化成同分母的分式;写成“分母不变,分子相加减”的形式;分子去括号,合并同类项;分子、分母约分,将结果化成分式的最简形式或整式的形式.四、课堂小结,提炼观点本节课学习了哪些知识?在知识应用过程中需要注意什么?你有什么收获?五、布置作业,巩固提升必做题:教材第146页、147页第4,5,12题选做题:教材第147页第13,15题【教学反思】本设计的特点突出表现在:从学生的最近发展区组织教学,类比分数的加减运算,促成正向迁移,同化新知,巩固新知.培根说过:类比联想,支配发明.可见,指导学生学会类比将受益终生.把情境创设贯穿于课堂的始终,引导学生学会反思、学会归纳,有助于内化学习数学的策略方法,提高认知水平.第2课时分式的混合运算【教学目标】明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算.通过尝试性练习,经历运算顺序的探索过程,学会类比分数的运算并迁移到分式运算中去.能利用事物之间的类比性分析问题、解决问题.通过学习混合运算以及在生活中的应用,知道任何事物.之间是相互联系的,理论于实践,服务于实践.【重点难点】重点:熟练地进行分式的混合运算.难点:熟练地进行分式的混合运算.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境,导入新请同学们计算下列题目:a2a-b-b2a-b;2aa2-4+12-a;;a2-48a2b?12ab3a-6.解:a2a-b-b2a-b=a2-b2a-b=a-b=a+B.aa2-4+12-a=2aa2-4-1a-2=2a-a+2=2a-=a -2=1a+2.=a69x2y4÷=-8a3x49y7.a2-48a2b?12ab3a-6=8a2b?12ab3=a+22a.首先引导学生进行观察、思考,然后让学生独立练习,完成后小组交流.二、师生互动,探究新知问题1:以上四个题目分别涉及分式的什么运算?是同分母分式的减法运算;是异分母分式的加法运算;是分式的除法与乘方的混合运算;是分式的乘法运算.督促学生养成解题前仔细审题的习惯,为方法策略的选择提供判断的依据.问题2:它们涉及的运算法则我们熟悉吗?说说看!并用公式表示.都是我们已经熟悉的内容,它们涉及的运算法则有:①分式的乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.ab?cd=a?cb?d.②分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子和分母颠倒位置后,再和被除式相乘.ab÷cd=ab?dc=a?db?c.③分式的乘方法则:分式的乘方,把分子分母分别乘方=anbn.④同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.ac±bc=a±bc.⑤异分母分式的加减法法则:异分母的分式相加减,先通分,变成同分母分式,再加减.ab±cd=adbd±bcbd=ad±bcbd.问题3:你会计算?1a-b-ab÷b4吗?学生尝试练习,老师巡回指导,捕捉有关信息,生成教学资源,类比仍然发挥作用,在交流中达成共识,式与数有相同的混合运算顺序:在进行分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左到右的方向,先乘方,再乘除,然后加减.有括号要按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是分式的最简形式或整式.拓展延伸拓展一:用两种方法计算:?x2-4x.分析:方法一:按运算顺序,先计算括号里的算式;方法二:利用乘法分配律.总结:解题不要拘泥于基本思路,要善于捕捉有用信息,根据题目的特点,选择合适的方法灵活处理,可能会收到事半功倍的效果.拓展二:若x-3=Ax+1+Bx-1恒成立,求A,B的值.分析:本题把一个真分式化成两个部分分式之和的形式,这里A和B都是待定系数,待定系数可根据对应项的系数来求解.通过学生的独立练习,把相关的法则进行盘点,为新知的探索奠定坚实的基础,而问题3亦即教材的例7,为了巩固新成果,增强训练的力度,使学生熟练掌握分式的混合运算,在教材练习的前提下,补充一个带括号的化简求值题.具体教学要注意细节的指导.通过题目唤起旧知,避开了泛泛回顾基本知识的弊端,让学生在具体解题应用中加深对旧知的认识,然后把新知嵌于尝试练习问题3中,在生生、师生的立体交流中推出分式的四则混合运算法则及运算的顺序.设置两个拓展题,其一是期望通过两个方法在巩固分式混合运算的同时,督促学生在对比中开阔思路,进而找到合适的方法,以提高速度与准确率;其二是体现分式混合运算的应用并综合了方程思想,对学生而言,具有一定的挑战性.三、课堂小结,提炼观点本节课学习了哪些知识?在知识应用过程中需要注意什么?你有什么收获?四、布置作业,巩固提升必做题:教材第146页第6题选做题:教材第147页第16题已知:x+y+z=3y=2z,求xx+y+z的值.已知:1x-1y=3,求2x+3xy-2yx-2xy-y的值.【板书设计】分式的混合运算分式的乘法法则分式的除法法则分式的乘方法则同分母分式的加减法法则异分母分式的加减法法则拓展一:拓展二:【教学反思】分式的四则混合运算是分式这一章的重点,主要是会进行基本的运算,而不是计算的繁和难,从本节的教学设计中可以看出,它立足基本运算,通过拓展的方式适当增加了题目,给了学生更多的施展空间,以利于学生熟练掌握分式的运算法则,掌握算理,弄清运算依据,做到步步有据,减少计算的错误率.。
万年县第五中学八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.2分式的加减1导学案新版新人教版
15.2.2 分式的加减(1)1.使学生掌握同分母、异分母分式的加减,能熟练地进行同分母,异分母分式的加减运算.2.通过同分母、异分母分式的加减运算,复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式的通分,培养学生分式运算的能力.重点:让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法.难点:分式的分子是多项式的做减法时注意符号,去括号法则的应用.一、自学指导自学1:自学课本P139-140页“问题3、问题4、思考、例6”,掌握同分母、异分母分式加减的方法,完成填空.(7分钟)①计算:15+25,15-25,12+13,12-13.总结归纳:同分母分式相加减,分母不变,分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母分式,再加减.a c +bc =a +b c ;a b +cd =ad bd +bc bd =ad +bc bd. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示、点评,教师巡视.(8分钟) 1.课本P141页练习题1,2. 2.计算:(1)2x -5x 2;(2)x 2+xy xy -x 2-xy xy ;(3)a -2a +1-2a -3a +1; (4)a +1a -1-a -1a +1; (5)x 2x -2-4x x -2+4x -2; (6)2m -n n -m +m m -n +n n -m.点拨精讲:分式加减的结果要化为最简分式.小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(6分钟) 探究1 已知A x -1+B x +1=x -3x 2-1,求A 与B 的值.解:∵A x -1+B x +1=A (x +1)(x +1)(x -1)+B (x -1)(x +1)(x -1)=A (x +1)+B (x -1)(x +1)(x -1)=(A +B )x +(A -B )(x +1)(x -1),又∵A x -1+B x +1=x -3x 2-1,∴⎩⎪⎨⎪⎧A +B =1,A -B =-3,∴⎩⎪⎨⎪⎧A =-1,B =2.点拨精讲:先将左边相加,再与右边对比即可. 探究2 计算:11-x +11+x +21+x 2+41+x4.解:原式=21-x 2+21+x 2+41+x 4=41-x 4+41+x 4=81-x 8.点拨精讲:巧用乘法公式,逐项通分.学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.计算:(1)(5a +3b a +b +3b -4a a +b -a +3ba +b ;(2)12-x +4x 2-4+x -12+x ; (3)a -b +2b2a +b.2.分式1a +1+1a (a +1)的计算结果是1a .3.先化简,再求值:a2a -1-a -1,其中a =-1.解:(略)(3分钟)1.异分母分式的加减法步骤:①正确地找出各分式的最简公分母;②准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式;③通分后进行同分母分式的加减运算;④公分母保持积的形式,将各分子展开;⑤将得到的结果化成最简分式(整式).求最简公分母概括为:①取各分母系数的最小公倍数;②凡出现以字母为底数的幂的因式都要取;③相同字母的幂的因式取指数最大的.这些因式的积就是最简公分母.(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)4 分式方程第1课时分式方程的概念及解法【知识与技能]1.理解分式方程的概念;2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程 ;3.学生掌握解分式方程的基本方式和步骤.【过程与方式]通过列出的方程归纳出它们的共同特点 , 得出分式方程的概念.了解分式的概念 , 明确分式和整式的区别 ; 经历和体会解分式方程的必要步骤 ; 使学生进一步了解数学思想中的〞转化〞思想.【情感态度]在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气 , 并从中获得成就感 , 提高解决问题的能力.【教学重点]掌握分式方程的解法、解 , 分式方程要验根.【教学难点]掌握分式方程的解法、解 , 分式方程要验根.一.情景导入 , 初步认知在这一章的第一节【分式]中 , 我们曾研究过一个〞固沙造林 , 绿化家园〞的问题.面対日益严重的土地沙化问题 , 某县决定分期分批固沙造林 , 一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷 , 实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷 , 结果提前4个月完成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷?分析 : 这一问题中有哪些已知量和未知量?已知量 : 造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务未知量 : 原计划每月固沙造林多少公顷这一问题中有哪些等量关系?实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷原计划完成的时间-完成实际的时间=4个月我们设原计划每月固沙造林x公顷 , 那么原计划完成一期工程需要_____个月 , 实际完成一期工程用了______个月 , 根据题意 , 可得方程____________.【教学说明]为了让学生经历从实际问题抽象.概括分式方程这一〞数学化〞的过程 , 体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用 , 利用第一节【分式]中一个熟悉的问题 , 引导学生努力寻找问题中的所有等量关系 , 发展学生分析问题.解决问题的能力.二.思考探究 , 获取新知探究1 : 分式方程的概念问题 : 甲.乙两地相距 1400 km , 乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h , 已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍.〔1〕你能找出这一问题中的所有等量关系吗?〔2〕如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h , 那么 x 满足怎样的方程?〔3〕如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h , 那么 y 满足怎样的方程?问题 : 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园 , 某学校号召同学们自愿捐款.已知初一同学捐款总额为4800 元 , 初二同学捐款总额为5000元 , 初二捐款人数比初一多20人 , 而且两个年级人均捐款额恰好相等.如果设初一捐款人数为 x 人 , 那么 x 满足怎样的方程?【教学说明]再次让学生经历从实际问题抽象.概括分式方程这一〞数学化〞的过程 , 体会分式方程的模型作用.回顾刚才我们得出的 4个方程 :它们和我们以前所碰到的方程一样吗?有什么不一样的地方?上面所得到的方程有什么共同特点?【教学说明]【归纳结论]分母中中含有未知数的方程叫做分式方程探究2 : 分式方程的解法1.解以下分式方程 :【教学说明]通过观察 , 使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师対例题讲解 , 让学生明确解分式方程的一般步骤.【归纳结论]1.解分式方程的一般步骤 :〔1〕去分母〔即在方程的两边都乘以最简公分母〕 , 把原分式方程化为_____ ;〔2〕解这个整式方程 ;2.以下哪种解法正确?解分式方程解法一 : 将原方程变形为方程两边都乘以x-2,得 : 1-x=-1-2解这个方程 , 得 : x=4.解法二 : 将原方程变形为方程两边都乘以x-2 ,得 : 1-x=-1-2(x-2)解这个方程 , 得 : x=2你认为x=2是原方程的根?与同伴交流.【归纳结论]增根概念 : 将分式方程变形为整式方程时 , 方程两边同乘以一个含未知数的整式 , 并约去分母 , 有时可能产生不适合原分式方程的解(或根) , 这种根通常称为增根 ;认识增根 :①增根是去分母后所得的根 ;①增根使最简公分母的值为 ;③增根〔填〞是〞或〞不是〞〕原方程的根.三.运用新知 , 深化理解A.2个 B.3个 C.4个 D.5个答案 : B.〔〕是分式方程,〔〕是整式方程.答案 : B;A、C3.王军同学准备在课外活动时间组织局部同学参加电脑网络培训 , 按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍 , 费用享受了优惠 , 一共只需要480元 , 参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元 , 原定的人数是多少?如果设原定是x人 , 那么 x 满足怎样的分式方程?解 : 方程两边都乘以y〔y-1〕 ,得2y2+y〔y-1〕=〔y-1〕〔3y-1〕 ,2y2+y2-y=3y2-4y+1 , 3y=1 ,解得y=1/3.检验 : 当y=1/3时 , y〔y-1〕=1/3×1/3-1=-2/9≠0 ,∴y=1/3是原方程的解 ,∴原方程的解为y=1/3.解 : 两边同时乘以〔x+1〕〔x-2〕 ,得x〔x-2〕-〔x+1〕〔x-2〕=3.解这个方程 , 得x=-1.检验 : x=-1时〔x+1〕〔x-2〕=0 , x=-1不是原分式方程的解 ,∴原分式方程无解.〔3〕解 : 方程的两边同乘〔x-1〕〔x+1〕 ,得3x+3-x-3=0 , 解得x=0.检验 : 把x=0代入〔x-1〕〔x+1〕=-1≠0.∴原方程的解为 : x=0.〔4〕解 : 方程的两边同乘〔x+2〕〔x-2〕 , 得2-〔x-2〕=0 , 解得x=4.检验 : 把x=4代入〔x+2〕〔x-2〕=12≠0.∴原方程的解为 : x=4.再两边同乘以3x-1 , 得3〔3x-1〕-1=2 , 3x-1=1 , x=2/3.检验 : 把x=2/3代入〔3x-1〕 : 〔3x-1〕≠0 ,∴x=2/3是原方程的根.∴原方程的解为x=2/3.〔6〕解 : 方程两边同乘以2〔3x-1〕 ,得 : -2+3x-1=3 , 解得 : x=2 ,检验 : x=2时 , 2〔3x-1〕≠0.所以x=2是原方程的解.【教学说明]通过学生的反馈练习 , 考察学生対分式方程概念的理解 ; 以及解分式方程.使教师能全面了解学生対解分式方程是否清楚 , 以便教师能及时地进行查缺补漏.四.师生互动,课堂小结1.什么样的方程是分式方程?2.解分式方程的一般步骤 :〔1〕去分母〔即在方程的两边都乘以最简公分母〕 , 把原分式方程化为_____ ;〔2〕解这个整式方程 ;〔3〕检验 : 把整式方程的根代入最简公分母 , 使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的_____ , 使最简公分母的值等于零的根是原方程的_____.五.教学板书布置作业:教材〞习题5.7”中第1、2、3题.〞习题5.8”中第1、2题.虽然在课堂上做了很多 , 但也存在许多缺乏的地方 , 以下是教师在教学中应该注意的地方 : 第一 , 讲例题时 , 先讲一个产生增根的较好 , 这样便于说明分式方程有时无解的原因 , 也便于讲清分式方程检验的必要性 , 也是解分式方程与整式方程最大的区别所在 , 从而再强调解分式方程必须检验 , 不能省略不写这一步 ; 第二 , 给学生的鼓励不是很多.鼓励可以让学生有充分的自信心.〞信心是成功的一半〞 , 在今后的课堂教学中 , 应尊重其差异性 , 尽可能分层教学 , 评价标准多样化 , 多鼓励 , 少批评 ; 多肯定 , 少指责.用动态的、发展的、积极的眼光看待每个学生 , 帮助他们树立自信心.赞美的力量是巨大的 , 有时 , 一句赞美的话 , 可以改变人的一生.一句肯定的话、一个赞许的点头、一张表示优秀的卡片 , 都是很好的鼓励 , 会起到意想不到的良好结果.巧用“规形”性质求星形角度之和如图1,这种图形形似圆规,我们不妨称之为“规形”.它有一条重要性质:∠BOC=∠A+∠B+∠C.证明留给读者.本文运用这条性质来求一类星形角度和,既快又准确.例1 如图2,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=__.(第三届“希望杯”初二试题)解依“规形”性质得:∠7=∠6=∠5+∠2+∠4.而∠1+∠3+∠7=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°.例2 如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__.(1986年吉林省八市初中数学赛题)解依“规形”性质得:∠1=∠2=∠B+∠C+∠D,而∠A+∠1+∠E+∠F=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.例3 如图4所示的七角星形中,已知∠B=14°,∠C=15°,∠F=16°,并且∠A+∠D+∠E+∠G=k·45°,则k=__.(1991年北京市初二数学赛题)解依“规形”性质得:∠2=∠1=∠B+∠F+∠C,∠4=∠3=∠A+∠D+∠G.而∠E+∠2+∠4=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°,∴k·45°+14°+15°+16°=180°,∴k=3.。
分式的运算如何进行分式的加减法运算
分式的运算如何进行分式的加减法运算分式是数学中常见的一种表达形式,用于表示两个数的比值或算式的一部分。
在进行分式的加减法运算时,需要根据相应的规则进行化简和通分,并最终得到最简形式的结果。
一、分式的加法运算1. 化简分式:首先要化简分式,即将分子、分母约分至最简形式。
如有必要,使用最大公约数将分子、分母的公因式约掉。
2. 通分:对于两个分式进行加法运算,需要先将两个分式的分母通分,使其相同。
通分的方法为,将两个分式的分母的乘积作为新分式的分母,并对应调整分子。
3. 分子相加:将通分后的两个分子相加,得到新的分子。
4. 最简形式:将得到的分子与通分后的分母组合,得到最简形式的结果。
举例说明:2/3 + 1/4首先将分式化简至最简形式,2/3 已经是最简形式,1/4 也是最简形式。
然后找到两个分式的分母的最小公倍数,分母为 3 和 4,最小公倍数为 12。
对于 1/4,将其分母乘以 3,得到 3/12。
相加得到新分子 8 + 3 = 11。
将新分子11 与通分后的分母12 组合,得到最简形式的结果11/12。
二、分式的减法运算分式的减法运算与加法运算类似,只需要将加号换成减号即可。
1. 化简分式:首先要化简分式,即将分子、分母约分至最简形式。
2. 通分:对于两个分式进行减法运算,同样需要先将其分母通分。
3. 分子相减:将通分后的两个分子相减,得到新的分子。
4. 最简形式:将得到的分子与通分后的分母组合,得到最简形式的结果。
举例说明:5/6 - 2/5首先将分式化简至最简形式,5/6 已经是最简形式,2/5 也是最简形式。
然后找到两个分式的分母的最小公倍数,分母为 6 和 5,最小公倍数为 30。
对于 5/6,将其分母乘以 5,得到 25/30。
相减得到新分子 25 - 12 = 13。
将新分子13 与通分后的分母30 组合,得到最简形式的结果13/30。
综上所述,分式的加减法运算需要化简分式、通分、分子相加或相减,最后得到最简形式的结果。