中考数学三轮专题强化卷【专题8】三角形和四边形(含答案)

2022年九年级中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合含答案

2022年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合1、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．2、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．3、如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB=3，BC=6，BF=，求AB的长．4、给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．5、如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB=6，AD=8，求FG的长．6、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．7、如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC 延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．9、在四边形ABCD中，︒∠.B，对角线AC平分BADD∠180=∠+（1）如图1，若︒∠90=B，试探究边AD、AB与对角线AC=∠120DAB，且︒的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“︒B”去掉，（1）中的结论是否成立？∠90=请说明理由.（3）如图3，若︒DAB，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明∠90=理由.10、如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．11、如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′，B ′C ′交对角线AC 于点M ，C ′D ′交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当MN ∥B ′D ′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B ′D ′交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C ′B ′交AB 于点E ，连接EH ．当△HEB ′的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．12、已知正方形的对角线，相交于点．（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，①求证：；②当时，求的长．CD AB C A D B O E G OB C O C E DG F DF C ⊥E G OE =O H C B H C EH ⊥B OB E D H C E F C O G G OE =O DG C ∠O =∠O E 1AB =C H13、已知正方形ABCD，点M为边AB的中点.（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且90∠=︒，延长AG，BG分别AGB与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE CF=；②求证：2=⋅.BE BC CE（2）如图2，在边BC上取一点E，满足2=⋅，连接AE交CM于点G，BE BC CE连接BG延长交CD于点F，求tan CBF∠的值.14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D 为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q 在边AC 上时，正方形DEFQ 的边长为 cm （用含x 的代数式表示）；（2）当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时x 的值；（3）当0＜x ＜2时，求y 关于x 的函数解析式；（4）直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围．15、如图AM 是ABC ∆的中线，D 是线段AM 上一点（不与点A 重合），AB DE //交AC 于点F ，AM CE //，连结AE .（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若AC BH ⊥，且AM BH =.当3=FH ，4=DM 时，求DH 的长.16、在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．若四边形ABCD 是正方形如图1：则有AC=BD ，AC ⊥BD ．旋转图1中的Rt △COD 到图2所示的位置，AC ′与BD ′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt △COD 至图3所示的位置，AC ′与BD ′又有什么关系？写出结论并证明．17、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m＞0，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；（2）在图2中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；（3）探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合1、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵BE=BC∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形．2、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．3、如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB=3，BC=6，BF=，求AB的长．【解答】解：（1）∵E是AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AEF和△CED中，∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=CD，又AB∥CD，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）∵AB∥CD，∴△GBF∽△GCD，∴=，即=，解得：CD=，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD=，∴AB=AF+BF=+=6．4、给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．5、如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB=6，AD=8，求FG的长．【解答】（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF=BF，∴四边形BFDG是菱形；②∵AB=6，AD=8，∴BD=10．∴OB=BD=5．假设DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=，即BF=，∴FO===，∴FG=2FO=．6、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°∵AD∥BC，AH∥DG∴四边形AHGD是平行四边形∴AH＝DG，AD＝HG＝CD∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG∴△DCG≌△HGF（SAS）∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD∴AH＝HF，∵∠HGD+∠DGF＝90°∴∠HFG+∠DGF＝90°∴DG⊥HF，且AH∥DG∴AH⊥HF，且AH＝HF∴△AHF为等腰直角三角形．（2）∵AB＝3，EC＝5，∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5∵AD∥EF∴＝，且DE＝2∴EM＝7、如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为∠BAD+∠ACB=180°；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．【解答】解：（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴===，∴=，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴（）2+﹣1=0，∴=（负根已经舍弃），∴=．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴==，∴=，即=∵CD=，∴PC=1．8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC 延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E 作EM ⊥DA 交DA 的延长线于M ，过E 作EN ⊥FC 交FC 的延长线于N ，在△AME 与△CNE 中，，∴△AME ≌△CNE ，∴∠ADE=∠CFE ，在△ADE 与△CFE 中，， ∴△ADE ≌△CFE ，∴∠DEA=∠FEC ，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED ⊥EF ．9、在四边形ABCD 中，︒=∠+∠180D B ，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图1，若︒=∠120DAB ，且︒=∠90B ，试探究边AD 、AB 与对角线AC的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“︒=∠90B ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若︒=∠90DAB ，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.解：（1）AB AD AC +=.证明如下：在四边形ABCD 中，︒=∠+∠180B D ，︒=∠90B ，∴ ︒=∠90D .︒=∠120DAB ，AC 平分DAB ∠, ∴ 60=∠=∠BAC DAC ,︒=∠90B ,∴AC AB 21=,同理AC AD 21=. ∴AB AD AC +=.（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C 为顶点，AC 为一边作 60=∠ACE ， ACE ∠的另一边交AB 延长线于点E , 60=∠BAC ,∴AEC ∆为等边三角形， ∴CE AE AC ==，︒=∠+∠180B D ,︒=∠120DAB ,∴ 60=∠DCB , ∴BEC DAC ∆≅∆,∴BE AD =,∴AB AD AC +=.（3）AC AB AD 2=+.理由如下：过点C 作AC CE ⊥交AB 的延长线于点E ， ︒=∠+∠180B D ,︒=∠90DAB ,∴ 90=DCB , 90=∠ACE ,∴BCE DCA ∠=∠, 又AC 平分DAB ∠，∴ 45=∠CAB ,∴ 45=∠E . ∴CE AC =.又︒=∠+∠180B D ，CBE D ∠=∠,∴CBE CDA ∆≅∆,∴BE AD =,∴AE AB AD =+.在ACE Rt ∆中， 45=∠CAB ,∴AC cos ACAE 245==, ∴AC AB AD 2=+.10、如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．【答案】（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上， ∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ， ∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°， ∴四边形EGFC 是矩形， ∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2， ∴AG 2=GF 2+GE 2．解得，[来源:学科网ZXXK] ∴， ∴BG=BN ÷cos30°=．11、如图1，菱形ABCD 的顶点A，D 在直线上，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′，B ′C ′6交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．【解答】解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，∵MN∥B′C′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，∴△C′MN是等边三角形，∴C′M＝C′N，∴MB′＝ND′，∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠CAD＝∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∴α＝15°．（2）∵∠C′B′D′＝60°，∴∠EB′G＝120°，∵∠EAG＝60°，∴∠EAG+∠EB′G＝180°，∴四边形EAGB′四点共圆，∴∠AEB ′＝∠AGD ′，∵∠EAB ′＝∠GAD ′，AB ′＝AD ′， ∴△AEB ′≌△AGD ′（AAS ）， ∴EB ′＝GD ′，AE ＝AG ， ∵AH ＝AH ，∠HAE ＝∠HAG ， ∴△AHE ≌△AHG （SAS ）， ∴EH ＝GH ，∵△EHB ′的周长为2，∴EH +EB ′+HB ′＝B ′H +HG +GD ′＝B ′D ′＝2， ∴AB ′＝AB ＝2， ∴菱形ABCD 的周长为8．12、已知正方形的对角线，相交于点．（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，①求证：； ②当时，求的长．CD AB C A D B O E G OB C O C E DG F DF C ⊥E G OE =O H C B H C EH ⊥B OB E D H C E F C O G G OE =O DG C ∠O =∠O E 1AB =CH∴∠DOG=∠COE=90°∴∠OEC+∠OCE=90°∵DF⊥CE∴∠OEC+∠ODG=90°∴∠ODG=∠OCE∴△DOG≌△COE（ASA）∴OE=OG②解：设CH=x，∵四边形ABCD是正方形，AB=1 ∴BH=1-x∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°∵EH⊥BC∴∠BEH=∠EBH=45°∴EH=BH=1-x∵∠ODG=∠OCE∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE ∴∠HDC=∠ECH∵EH⊥BC∴∠EHC=∠HCD=90° ∴△CHE ∽△DCH ∴∴HC 2=EH ·CD 得x 2+x-1=0 解得，（舍去） ∴13、已知正方形ABCD，点M 为边AB 的中点.（1）如图1，点G 为线段CM 上的一点，且90AGB ∠=︒，延长AG ，BG 分别与边BC ，CD 交于点E ，F .①求证：BE CF =； ②求证：2BE BC CE =⋅.（2）如图2，在边BC 上取一点E ，满足2BE BC CE =⋅，连接AE 交CM 于点G ，连接BG 延长交CD 于点F ，求tan CBF ∠的值.解答：(1)①证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC ，90ABC BCF ∠∠°，又90AGB ∠°，∴90BAE ABG ∠∠°，又90ABG CBF ∠∠°，∴BAE CBF ∠∠，∴ABE BCF △≌△(ASA)，∴BE CF .EH HCHC CD=1x =1x =②证明：∵90AGB ∠°，点M 为AB 中点，∴MG MA MB ，∴GAM AGM ∠∠，又∵CGE AGM ∠∠，从而CGE CGB ∠∠，又ECG GCB ∠∠，∴CGE CBG △∽△， ∴CE CGCGCB，即2CG BC CE ，由CFG GBMCGF ∠∠∠，得CFCG .由①知，BE CF ，∴BE CG ，∴2BE BC CE . (2)解：(方法一)延长AE ，DC 交于点N (如图1)，由于四边形ABCD 是正方形，所以AB CD ∥， ∴N EAB ∠∠，又CEN BEA ∠∠，∴CEN BEA △∽△，故CE CNBEBA，即BE CN AB CE ，∵AB BC ，2BE BC CE ，∴CN BE ，由AB DN ∥知，CN CG CFAM GM MB，又AM M B ，∴FC CN BE ，不妨假设正方形边长为1，设BE x ，则由2BE BC CE ，得211x x ，解得1512x ，2512x (舍去)，∴512BEBC，于是51tan 2FC BE CBFBC BC ∠,(方法二)不妨假设正方形边长为1，设BE x ，则由2BE BC CE ，得211x x ，解得1512x ，2512x (舍去)，即512BE ，作GN BC ∥交AB 于N (如图2)，则MNG MBC △∽△，∴12MN MB NGBC ，设MN y ，则2GN y ，5GM y ，∵GN AN BEAB ，即121y，解得125y，∴12GM，从而GM MAMB ，此时点G 在以AB 为直径的圆上，∴AGB △是直角三角形，且90AGB ∠°，由(1)知BE CF ，于是51tan 2FC BE CBFBCBC∠.14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D 为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，∴∠AQP=45°，∴PQ=AP=2x，∵D为PQ中点，∴DQ=x，∵D为PQ中点，∴DQ=x，∴GP=2x，∴2x+x+2x=4，∴x=45；（3）如图②，当0＜x≤45时，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，∴y=x2；如图③，当45＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=12AB=2，∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，∴y=S正方形DEFQ ﹣S△MNF=DQ2﹣12FM2，∴y=x2﹣12（5x﹣4）2=﹣232x2+20x﹣8，∴y=﹣232x2+20x﹣8；∴DQ=2﹣x ，∴y=S △DEQ =12DQ 2，∴y=12（2﹣x ）2，∴y=12x 2﹣2x+2；（4）当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，即2x=2， ∴x=1，当Q 为BC 的中点时， PB=1， ∴AP=3， ∴2x=3，∴x=32，∴边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围为：1＜x ＜32．15、如图AM 是ABC ∆的中线，D 是线段AM 上一点（不与点A 重合），AB DE //交AC 于点F ，AM CE //，连结AE .（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. （3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若AC BH ⊥，且AM BH =.当3=FH ，DM时，求DH的长.4【答案】：（1）证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，∵CE//AM，∴∠ECD=∠ADB，又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，∴△ABD≅△EDC，∴AB=ED，又∵AB//ED,∴四边形ABDE为平行四边形。

中考数学冲刺专题训练(附答案)：三角形与四边形

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学冲刺专题训练（附答案）：三角形与四边形一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（） A ．16 B ．12C ．14D ．12或16【答案】A 【解析】解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故选：A ．2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B 【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴∠EBM=12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线， ∴∠ECM=12∠ACM ，则∠BEC=∠ECM-∠EBM=12×（∠ACM-∠ABC ）=12∠A=30°，故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝57，则BC 的长是（）A ．10B ．8C ．3D ．6【答案】D 【解析】∵∠C ＝90°，cos ∠BDC ＝57，设CD ＝5x ，BD ＝7x ， ∴BC ＝6x ，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ， ∴AD ＝BD ＝7x ， ∴AC ＝12x ， ∵AC ＝12， ∴x ＝1， ∴BC ＝6；故选D.4．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A ．8 B ．12C ．16D ．32【答案】C 【解析】如图所示：四边形ABCD 是菱形，12AO CO AC ∴==， 12DC BO BD ==，AC BD ⊥，面积为28，∴12282AC BD OD AO ⋅=⋅=① 菱形的边长为6，2236OD OA ∴+=②，由①②两式可得：222()2362864OD AO OD OA OD AO +=++⋅=+=，8OD AO ∴+=，2()16OD AO ∴+=，即该菱形的两条对角线的长度之和为16，故选C ．5．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（）A ．AB =DE B ．AC =DF C ．∠A =∠D D ．BF =EC【答案】C 【解析】解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选项错误；选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项错误；选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项正确；选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误．故选C ．6．如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE ∆的周长为（）A ．28B ．24C ．21D ．14【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =，AB CD =，AD BC =， ∵平行四边形的周长为28， ∴14AB AD += ∵OE BD ⊥，∴OE 是线段BD 的中垂线， ∴BE ED =，∴ABE ∆的周长14AB BE AE AB AD =++=+=，故选：D ．7．如图，在ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】C 【解析】由折叠可得，90ACD ACE ︒∠=∠=，90BAC ︒∴∠=，又60B ︒∠=，30ACB ︒∴∠=，26BC AB ∴==，6AD ∴=，由折叠可得，60E D B ︒∠=∠=∠=，60DAE ︒∴∠=，ADE ∴∆是等边三角形， ADE ∴∆的周长为6318⨯=，故选：C ．8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF 、有以下结论：①AN ＝EN ，②当AE ＝AF 时，BEEC＝2﹣2，③BE+DF ＝EF ，④存在点E 、F ，使得NF ＞DF ，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 ①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM ＝∠ADM ＝∠FDN ＝∠ABD ＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM=，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90 AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt △CEF 中，OC ＝12EF ＝22x ， △EAF 中，∠EAO ＝∠FAO ＝22.5°＝∠BAE ＝22.5°， ∴OE ＝BE ， ∵AE ＝AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE （HL ）， ∴AO ＝AB ＝1， ∴AC ＝2＝AO+OC ，∴1+22x ＝2， x ＝2﹣2，∴BE EC ＝1(22)22---＝(21)(22)2-+＝22；故②不正确； ③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF ＝AH ，∠DAF ＝∠BAH ， ∵∠EAF ＝45°＝∠DAF+∠BAE ＝∠HAE ， ∵∠ABE ＝∠ABH ＝90°， ∴H 、B 、E 三点共线，在△AEF 和△AEH 中，AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH （SAS ）， ∴EF ＝EH ＝BE+BH ＝BE+DF ，故③正确；④△ADN 中，∠FND ＝∠ADN+∠NAD ＞45°， ∠FDN ＝45°， ∴DF ＞FN ，故存在点E 、F ，使得NF ＞DF ，故④不正确；故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 与点D ，连结AD ，若∠B =40°，∠C =36°，则∠DAC 的度数是____________．【答案】34° 【解析】由作图过程可知BD=BA ， ∵∠B=40°， ∴∠BDA=∠BAD=12(180°-∠B)=70°， ∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°. 故答案为34°. 10．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE α=．连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则 a 的值为________．【答案】53或53【解析】分两种情况：①当点B '落在AD 边上时，如图1．四边形ABCD 是矩形，90BAD B ︒∴∠=∠=，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，1452BAE B AE BAD '︒∴∠=∠=∠=，AB BE ∴=，315a ∴=， 53a ∴=；②当点B '落在CD 边上时，如图2． ∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ︒∴∠=∠=∠=∠=，AD BC a ==．将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，90B AB E '︒∴∠=∠=，1AB AB '==，35EB EB a '==，2221DB B A AD a ''∴=-=-，3255EC BC BE a a =-=-=．在ADB '∆与B CE '∆中，90A 90B AD EBC B DD C ︒︒⎧∠=∠=-∠'''⎨∠=∠=⎩， ADB B CE ''∴∆⋃∆，DB AB CE B E'''∴=，即2112355a a a -=，解得153a =，20a =（舍去）．综上，所求a 的值为53或53．故答案为53或53． 11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90°得ABG ∆，则CF 的长为_____．【答案】6-25 【解析】作FM AD M FN AG N ⊥⊥于，于，如图，易得四边形CFMD 为矩形，则4FM ＝∵正方形ABCD的边长为4，点是的中点，2DE ∴＝，∴224225AE =+=∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG ，∴252349090AG AE BG DE GAE ABG D ∠∠∠︒∠∠︒＝＝，＝＝，＝，＝，＝＝而90ABC ∠︒＝， ∴点G 在CB 的延长线上，∵AF 平分∠BAE 交BC 于点F ，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即F A 平分∠GAD ， ∴FN ＝FM ＝4， ∵11••22AB GF FN AG ＝, ∴425254GF ⨯==, ∴4225625CF CG GF +=-＝﹣＝﹣ ．故答案为6-25．12．如图，在平面直角坐标系中，OA ＝1，以OA 为一边，在第一象限作菱形OAA 1B ，并使∠AOB ＝60°，再以对角线OA 1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA 1A 2B 1，再依次作菱形OA 2A 3B 2，OA 3A 4B 3，……，则过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为_____．【答案】（-32018，3）2019）【解析】过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，∵四边形OAA1B是菱形，∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，∴A1C＝32，AC＝12，∴OC＝OA+AC＝32，在Rt△OA1C中，OA1＝2213OC AC+=，∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，∴∠A3A2B1＝90°，∴∠A2B1A3＝60°，∴B1A3＝23，A2A3＝3，∴OA3＝OB1+B1A3＝33＝（3）3∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（3）2，设B1A3的中点为O1，连接O1A2，O1B2，于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B133）1，∴过点B1，B2，A2的圆的圆心坐标为O1（0，23，∵菱形OA3A4B3的边长为333，∴OA4＝934，设B2A4的中点为O2，连接O2A3，O2B3，同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（3）2，∴过点B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，33），…以此类推，菱形OA2019A2020B2019的边长为（3）2019，OA2020＝（3）2020，设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O2018B2019，求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（3）2018，∴点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，∵2018÷12＝168…2，∴点O2018在射线OB2上，则点O2018的坐标为（﹣（3）2018，（3）2019），即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为：（﹣（3）2018，（3）2019），故答案为：（﹣（3）2018，（3）2019）．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.=；（1）求证：BG DEFH=，求菱形ABCD的周长。

中考数学压轴题专项复习练习---三角形与四边形专题练习

中考数学压轴题专项复习练习---三角形与四边形1．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：（1）△EAB≌△EDC；（2）∠EFG＝∠EGF．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AF＝CE．（1）求证：△BAE≌△DCF；（2）若BD⊥EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．3．如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC 的延长线交于点N．（1）求证：△ABE≌△NCE；（2）若AB＝3n，FB＝GE，试用含n的式子表示线段AN的长．4．如图1，在△ABC 和△EDC 中，AC=CE=CB=CD ；∠ACB=∠DCE=90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB ，BC ，分别交于M ，H ．（1）求证：CF=CH ；（2）如图2，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．5．如图，在ABC 中， 90ACB ∠=︒， CD 为AB 边上的中线，过点D 作DE 上DE BC ⊥于E ，过点C 作AB 的平行线与DE 的延长线交于点F ，连接BF ， AF ．（1）求证：四边形BDCF 为菱形；（2）若四边形BDCF 的面积为24， :2:3CE AC =，求AF 的长．6.如图，在四边形纸片ABCD 中，∠B=∠D=90°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，将AB ，AD 分别沿AE ，AF 折叠，点B ，D 恰好都和点G 重合，∠EAF=45°．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）求证：三角形ECF 的周长是四边形ABCD 周长的一半；（3）若EC=FC=1，求AB 的长度．E FA GDC B 7. 如图，在正方形ABCD 中，边长AB=3，点E （与B ，C 不重合）是BC 边上任意一点，把EA 绕点E 顺时针方向旋转90°到EF ，连接CF ．（1）求证：CF 是正方形ABCD 的外角平分线；（2）当∠BAE=30°时，求CF 的长．8．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点．（）求证：．（）若，，，点是的中点，求的长．9.已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）若tan∠PAO＝，求边AB的长．10．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．11．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连结FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF、BE．且BE⊥FG；（1）求证：BF＝BG．（2）若tan∠BFG＝，S△CGE＝6，求AD的长．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，B C＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？13.在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，点F，G在直线BC上，且BE＝EG，∠AEF＝∠BE G．（1）如图1，求证：△ABE≌△FGE；（2）如图2，当∠ABC＝120°时，求证：AB＝BE＋BF；（3）如图3，当∠ABC＝90°，点F在线段BC上时，线段AB，BE，BF的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)14．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，则PB＝．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．15.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．16．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G．（1）求四边形OEBF的面积；（2）求证：OG•BD=EF2；（3）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，求AE的长．17．已知：如图1，A（0，12），B（16，0），Rt△CDE中，∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝8，把它的斜边放在x 轴上，点C与点B重合．如图2，FA⊥y轴，△CDE从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向点O 匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿直线AF向右匀速移动，点Q为直线CD与线段AB的交点，连结PQ，作PM⊥x轴于M，交AB于N，当点M与点E相遇时，△CDE和点P同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）在整个运动过程中，当点D落在线段AB上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设△CDE与△BMN重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式（不用写自变量t的取值范围）．18.如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D 作DE//OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2-12+36+|n-2m|=0.(1)求A、B两点的坐标?(2)若点D为AB中点,求OE的长?(3)如图2,若点P(x,-2x+6)为直线AB 在x 轴下方的一点,点E 是y 轴的正半轴上一动点,以E 为直角顶点作等腰直角△PEF,使点F,求点P 的坐标.19．已知如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ，点D 在AB 上，DE ⊥AB 交BC 于E ，点F 是AE 的中点（1）写出线段FD 与线段FC 的关系并证明；（2）如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD 与线段FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE 绕点B 逆时针旋转一周，如果BC ＝4，BE ＝2，直接写出线段BF 的范围．20.某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD 中，AB ＝6，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与D 点重合，三角板的一边交AB 于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q.(1)求证：DP ＝DQ ；(2)如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ 的平分线DE 交BC 于点E ，连接PE ，他发现PE 和QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；图1(3)如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若AB∶AP＝3∶4，请帮小明算出△DEP的面积．21.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．22.已知，如图①，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝6，AB＝12，BC＝10．Rt△EFG（∠EGF＝90°）的边EF与BC完全重合，FG与BA在同一直线上．现将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，连接FM，当点E运动到点D时，Rt△EFG和点M都停止运动．设点M运动的时间为t（s）（1）当点Q是AC的中点时，求t的值；（2）判断四边形CHFM的形状，并说明理由；（3）如图③，连接HM，设四边形ABMH的面积为s，求s与t的函数关系式及s的最小值．23．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE 方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．。

初中数学组卷：三角形及四边形(附答案)

中考数学几何题一．选择题（共19小题）1．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，△ACF其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，=2S△ABE，其中结论正确的个数为（）⑤S△CEFA．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=5．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）=2S△CEF．①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BECA．①②③B．②③④C．①②④D．①③④6．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．207．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD=BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①△ABE≌△AHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点，连接DF，分析下=S△ABF其中列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（）A．10 B．2 C．D．411．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④12．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4；④DG=2其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠BAE=∠CDF=90°，则四边形AEDF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．514．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD=135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME=BC；③FH=HC；④AE2=EF•EB；⑤AF•BH=FH•BC，其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB，②△DEF始终为等腰直角三角形，③S=AB2，四边形CEDF④AE2+CE2=2DF2．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①④D．②③16．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A．105°B．110°C．100° D．120°17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD、DE、BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④18．已知，等腰Rt△ABC中AC=BC，点D在BC上，且∠ADB=105°，ED⊥AB，G 是AF延长线上一点，BE交AG于F，且DE=2FG，连GE、GB．则下列结论：①AG⊥BE；②∠DGE=60°；③BF=2FG；④AD+DC=AB．其中正确的结论有（）A．①②B．①②④C．①③④D．②③④19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，BE=CF，BF交CE于P，连PD，下列结论：①AC=AE，②CD=BE，③PB=PF，④DP=BF，其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．①②D．①③二．填空题（共5小题）20．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：=S△AFG；⑤∠AGB+∠AED=145°．①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥GF；④S△ABG其中正确的个数有个．21．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②BG=EG；③△MFG为等腰三角形；④DE：AB=1+，其中正确结论的序号为．22．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．23．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论，其中正确的有（填正确结论的序号）．=AB2．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD24．如图，在正方形ABCD中，分别以AD，BC为斜边作Rt△ADE和Rt△CBF，=20，S△ADE=3，则EF=．且Rt△ADE≌Rt△CBF，连结EF，若S正方形ABCD三．解答题（共15小题）25．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C 重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．26．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．27．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．28．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG ∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．29．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．①求证：DE⊥FG；②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．30．如图，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=∠BCE=90°．点M 为BC边上一点，连接EM、BD交于点N，点N恰好是BD中点，连接AN．（1）求证：MN=EN；（2）连接AM、AE，请探究AN与EN的位置关系与数量关系．①写出AN与EM：位置关系；数量关系；②请证明上述结论．31．已知等边三角形ABC中，E是AB边上一动点（与A、B不重合），D是CB 延长线上的一点，且DE=EC．（1）当E是AB边上中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AE DB （填“＞”，“＜”或“=”）（2）当E是AB边上任一点时，小敏与同桌小聪讨论后，认为（1）中的结论依然成立，并进行了如下解答：解：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你按照上述思路，补充完成全部解答过程）（3）当E是线段AB延长线上任一点时，如图3．（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．32．如图，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．（1）求证：AF⊥DE；（2）求证：FH=GH．33．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．34．操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．35．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．36．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．37．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．38．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）39．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．2017年02月28日账号1的初中数学组卷三角形及四边形参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2016•牡丹江）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD 于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，△ACF其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；≠1，错误；③可以直接求出FC的长，计算S△ACF④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所以⑤也正确．【解答】解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH=⊂FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，故选项①②正确；③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC=2，MC=DF=2﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，S△AFC=CF•AD≠1，所以选项③不正确；④AF===2，∵△ADF∽△CEF，∴，∴，∴CE=，∴CE=AF，故选项④正确；⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG2=FG•CG，cos∠FCE=，∴CG===1，∴DG=CG，∴EG2=FG•DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选C．【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长，勾股定理在正方形中运用得比较多．2．（2016•黑龙江模拟）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴CE=CF，故①正确；∵∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°，∴∠AEB=75°，故②正确；设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AG≠2GC，③错误；∵CG=x，AG=x，∴AC=x∴AB=AC•=x，∴BE=x﹣x=x，∴BE+DF=（﹣1）x，∴BE+DF≠EF，故④错误；∵S△CEF=x2，S△ABE=×BE×AB=x×x=x2，∴2S△ABE ═S△CEF，故⑤正确．综上所述，正确的有3个，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．3．（2016•南充模拟）如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥AE，∴∠BAE+∠BAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∵BE⊥DP，∴∠ABE+∠BPE=90°，又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AF；故①正确；∴AE=AF，BE=DF，∴∠AEF=∠AFE=45°，取EF的中点M，连接AM，∴AM⊥EF，AM=EM=FM，∴BE∥AM，∵AP=BP，∴AM=BE=DF，∴∠EMB=∠EBM=45°，∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，在△ABM和△FBM中，，∴△ABM≌△FBM（SAS），∴AB=BF，故②正确；∴∠BAM=∠BFM，∵∠BEF=90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，∴∠APF=∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD=∠FDC，∴∠EBF=∠FDC，在△BEF和△DFC中，，∴△BEF≌△DFC（SAS），∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，故④正确；∴CF⊥DEP，∵BE⊥DP，∴CF∥BE；故③正确．故选D．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．4．（2016秋•庐阳区期末）如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=【分析】A、作辅助线，构建矩形AGOF，利用面积为5，代入面积公式可求得AE的长为5，此说法正确；B、证明∠ABC+∠EOC=180°，根据对角互补的四边形四点共圆得：E、B、C、O 四点共圆，则∠BCE=∠BOE，此说法正确；C、因为E、B、C、O四点共圆，所以根据垂径定理可知：要想OB⊥CE，得保证过圆心的直线平分弧，即判断弦长BE和OE的大小即可；D、利用同角的三角函数计算．【解答】解：A、过O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∴AF=FD=AD=BC=2，∵∠AGO=∠BAD=∠AFO=90°，∴四边形AGOF是矩形，∴OG=AF=2，=AE•OG=5，∵S△AEO∴AE===5，所以此选项的说法正确；B、∵OE⊥AC，∴∠EOC=90°∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠EOC=180°，∴E、B、C、O四点共圆，∴∠BCE=∠BOE，所以此选项的说法正确；C、在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE==3，∴AB=3+5=8，∴AC===4，∴AO=AC=2，∴EO===，∴OE≠BE，∵E、B、C、O四点共圆，∵∠EOC=90°，∴EC是直径，∴EC与OB不垂直；此选项的说法不正确；D、sin∠BOE=sin∠BCE==，所以此选项的说法正确，因为本题选择说法错误的，故选C．【点评】本题考查了矩形的性质和判定、四点共圆的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形的有关知识，较为麻烦，此类题相当于解决四个问题，尤其是第三问利用了圆中的性质进行证明，比较容易理解；本题还利用了同角的三角函数求一个角的正弦，这在解直角三角形中经常运用，要熟练掌握．5．（2016春•开江县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）=2S△CEF．①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BECA．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【分析】①根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可；②延长EF，交CD延长线于M，证明△AEF≌△DMF，得到EF=FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；③设∠FEC=x，用x分别表示出∠DFE和∠AEF，比较即可；=S△CFM，根据MC＞BE，得到S△BEC＜2S△EFC．④根据EF=FM，得到S△EFC【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；②如图1，延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，故②正确；③设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确；④∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误，故选：A．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线、得出△AEF≌△DMF是解题关键．6．（2016春•镇江期中）如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．20【分析】首先根据图1，证明四边形ABCD是菱形；然后判断出菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设AB=BC=x，则BE=9﹣x，利用勾股定理求出x的值，即可求出四边形ABCD面积的最大值是多少．【解答】解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S=AE•BC=AF•CD，四边形ABCD∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，，设AB=BC=x，则BE=9﹣x，∵BC2=BE2+CE2，∴x2=（9﹣x）2+32，解得x=5，∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3=15．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．7．（2016春•重庆期中）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH 交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD= BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EJ⊥BD于J，连接EF，由全等三角形的判定定理可得△DJE≌△ECF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=CF，由GH＜BC，可得出结论；③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=BF；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．【解答】解：作EJ⊥BD于J，连接EF∵BE平分∠DBC∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°∵DH=HF，OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；∴OH=BF，∠DOH=∠CBD=45°，∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故②错误．∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴∠OHD=180°﹣∠ODH﹣∠DOH=67.5°，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH=BF；故③正确．故选B．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．8．（2016春•张家港市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①△ABE≌△AHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等；从而判断出①正确；②由①可得AB=BE=CD=HD，继而证得∠EDH=∠EDC，然后由角平分线的性质，证得②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；④判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），故①正确；∴BE=DH，∴AB=BE=CD=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，∵∠C=90°，DH⊥AE，∴∠EDH=∠EDC，∴HE=CE；故②正确；∵AB=AH，∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠OHE=∠AHB=67.5°，∴∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，即H是BF的中点；故③正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：C．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键．9．（2016秋•邹城市校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE ⊥AC于点，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S=S△ABF其中正确的结论有（）四边形CDEFA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD，即可得到AEFS四边形CDEF=S△ABF，故④正确．【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∴∠EAC=∠ACB，∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴==，∵AE=AD=BC，∴=，∴CF=2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴==，=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，∴S△AEF=S矩形ABCD，∴S△AEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF=S△ABF，故④正确；∴S四边形CDEF故选：A．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．10．（2015•常州模拟）已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（）A．10 B．2 C．D．4【分析】如图所示，根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，可得CD过线段AB的中点M，即CM=DM，根据A与B坐标求出M坐标，要求CD 的最小值只需求出CM的最小值即可．【解答】解：根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，∵A（0，6），B（0，﹣4），∴M（0，1），∵点到直线的距离垂线段最短，∴过M作直线的垂线交直线于点C，此时CM最小，直线3x﹣4y+12=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=﹣4，即F（﹣4，0），E（0，3），∴OE=3，OF=4，EM=2，EF==5，∵△EOF∽△ECM，∴=，即=，解得：CM=，则CD的最小值为．故选C．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．11．（2015•泰安模拟）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】由题可知A，B，N，M四点共圆，进而可得出∠ANM=∠NAM=45°，由等角对等边知，AM=MN，故①正确；由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出结论，故②正确；先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出△AMS≌△NMW，因为AS=NW，所以AB+BN=SB+BW=2BW，而BW：BM=1：，所以==，故④正确．因为∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ=90°，BN=NU，DQ=UQ，即可得出结论，故③正确；【解答】解：如图：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，∵∠AMN=∠ABC=90°，∴A，B，N，M四点共圆，∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，∴∠ANM=∠NAM=45°，∴由等角对等边知，AM=MN，故①正确．由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，∴Rt△AHM≌Rt△MPN∴MP=AH=AC=BD，故②正确，∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ则BN=NU，DQ=UQ，∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确．如图，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，∴△AMS≌△NMW，∴AS=NW，∴AB+BN=SB+BW=2BW，∵BW：BM=1：，∴==，故④正确．故选D．【点评】本题利用了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．12．（2015春•和平区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4；④DG=2其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，证明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角形，证明∠GEC=45°，根据四点共圆证明①正确；根据等腰三角形三线合一证明②正确；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EG的长，得到③正确；求出BE的长，根据DG=BE，求出BE证明④正确．【解答】解：连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，在△CBE和△CDG中，，∴△CBE≌△CDG，∴EC=GC，∠GCD=∠ECB，∵∠BCD=90°，∴∠ECG=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵∠ABC=90°，∠EHC=90°，∴E、B、C、H四点共圆，∴∠CBH=∠GEC=45°，①正确；∵CE=CG，CH⊥EG，∴点H是EG的中点，②正确；∵∠HBF=45°，BH=8，∴FH=FB=4，又BC=6，∴FC=2，∴CH==2，∴EG=2CH=4，③正确；∵CH=2，∠HEC=45°，∴EC=4，∴BE==2，∴DG=2，④正确，故选：D．【点评】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明三角形全等是解题的关键．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠BAE=∠CDF=90°，则四边形AEDF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先过B作BG⊥AD于G，过E作EH⊥AD于H，过F作FI⊥AD于I，过C 作CJ⊥AD于J，得出四边形BCJG是矩形，再判定△BAG≌△AEH，△CJD≌△DIF，最后根据四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积，进行计算即可．【解答】解：延长AD，过B作BG⊥AD于G，过E作EH⊥AD于H，过F作FI ⊥AD于I，过C作CJ⊥AD于J，则四边形BCJG是矩形∴∠EHA=∠G=90°∵△ABE是等腰直角三角形∴AE=BA，∠EAB=90°∴∠BAG+∠EAH=∠AEH+∠EAH=90°∴∠BAG=∠AEH在△BAG和△AEH中∴△BAG≌△AEH（AAS）∴AG=EH同理可得，△CJD≌△DIF∴DJ=FI∵四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积=×AD×EH+×AD×FI=×AD×（EH+FI）=×AD×（AG+DJ）=×AD×（JG﹣AD）=×AD×（BC﹣AD）=×2×（5﹣2）=3故选（B）【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形以及全等三角形．解题时注意：四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD=135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME=BC；③FH=HC；④AE2=EF•EB；⑤AF•BH=FH•BC，其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】①根据中点的定义以及三角形中位线定理，可得AG=AB=BC=GE；②根据AG＞AE，AM⊥GE，可得ME＜GE，进而得出ME＜BC；③根据菱形的性质，判定△BHF≌△AHC（ASA），即可得到FH=HC；④根据两角对应相等可判定△AEF∽△BEA，得出=，进而得到AE2=EF•EB；⑤根据AD∥BH，得出△ADF∽△HBF，进而得到=，即AF•BH=FH•AD，再根据AD=BC，得到AF•BH=FH•BC即可．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∴E是AC的中点，又∵G是AB中点，∴GE是△ABC的中位线，AG=AB，∴GE=BC，GE∥BC，∴AG=AB=BC=GE，即△AEG是等腰三角形，故①正确；∵菱形ABCD中，∠BAD=135°，∴∠DAC=67.5°=∠ACB，∠ABC=45°，∵GE∥BC，∴∠AGE=45°，∠AEG=67.5°，又∵AH⊥BC，∴AH⊥GE，∴ME＜GE=BC，故②错误；∵AH⊥BH，∠ABH=45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∠BHF=∠AHC=90°，∴AH=BH，∵∠BHF=∠AEF=90°，∠BFH=∠AFE，∴∠HBF=∠HAC，∴△BHF≌△AHC（ASA），∴FH=HC，故③正确；∵菱形ABCD中，∠ABE=∠CBE，而∠HBF=∠HAC，∴∠ABE=∠FAE，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，。

2021年九年级中考数学第三轮解答题冲刺专题复习：四边形综合练习(含答案)

2021年中考数学第三轮解答题冲刺专题复习：四边形综合练习1、如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．3、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．4、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB=2，求△AFD的面积．5、已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．6、如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH=ED；（2）当AE为何值时，△AEF的面积最大？7、如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．8、如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）9、已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：=；（3）若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．10、如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．11、如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变：①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出的值（用含α的三角函数表示）12、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．13、如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s 的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．14、对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）15、如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2 cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x= ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）直线AM 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分时，直接写出x 的值．16、在菱形ABCD 中，∠ABC =60°,点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，点E 的位置随点P 的位置变化而变化.（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是，CE 与AD 的位置关系是；（2）当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB =2√3 ,BE =2√19 ,求四边形ADPE 的面积.图1图2图3图4参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：四边形综合练习题1、如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC=2DE，又 EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC=25﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，解得，AB=13cm，3、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．4、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB=2，求△AFD的面积．【解答】解：（1）∵AB与AG关于AE对称，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，∴AF=EF=DF，∵AE与AF关于AG对称，∴AE=AF，则AE=AF=EF，∴△AEF是等边三角形；（2）记AG、EF交点为H，∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，∴∠EAG=30°，AG⊥EF，∵AB与AG关于AE对称，∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°，∵AB=2，∴BE=1、DF=AF=AE=，则EH=AE=、AH=，∴S=××=．△ADF5、已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．6、如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH=ED；（2）当AE为何值时，△AEF的面积最大？【解答】解：（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE=EF，∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，∴∠FEH=∠DCE，在△FEH和△ECD中，∴△FEH≌△ECD，∴FH=ED；（2）设AE=a，则ED=FH=4﹣a，=AE•FH=a（4﹣a），∴S△AEF=﹣（a﹣2）2+2，∴当AE=2时，△AEF的面积最大．7、如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．【解答】解：（1）证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB∴EG=ME，EG=EM′∴EG=ME=ME′=MM′同理可证：FH=NF=N′F=NN′∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′=NN′∴ME=NF=EG=FH又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD∴四边形EFNM是矩形．（2）∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB=180°，∵，∠2=∠DAB∴∠3+∠2=90°在Rt△DEA，∵AE=4，DE=3，∴AB==5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB，又∵∠2=∠DAB，∠5=∠DCB，∴∠2=∠5由（1）知GE=NF在Rt△GEA和Rt△CNF中∴△GEA≌△CNF∴AG=CN在Rt△DME和Rt△DGE中∵DE=DE，ME=EG∴△DME≌△DGE∴DG=DM∴DM+CN=DG+AG=AB=5∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4．∵四边形EFNM是矩形．∴EF=MN=48、如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）【解答】解：（1）依题意作出图形如图①所示，（2）EB是平分∠AEC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，∵点E是CD的中点，∴DE=CE=CD=1，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE，∴∠AED=∠BEC，在Rt△ADE中，AD=，DE=1，∴tan∠AED==，∴∠AED=60°，∴∠BCE=∠AED=60°，∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC，∴BE平分∠AEC；（3）∵BP=2CP，BC=，∴CP=，BP=，在Rt△CEP中，tan∠CEP==，∴∠CEP=30°，∴∠BEP=30°，∴∠AEP=90°，∵CD∥AB，∴∠F=∠CEP=30°，在Rt△ABP中，tan∠BAP==，∴∠PAB=30°，∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，∵CB⊥AF，∴AP=FP，∴△AEP≌△FBP，∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF折叠，②沿AE折叠．9、已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：=；（3）若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．【解答】解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO ∴BM=CO，∵AO∥BM，∴四边形OCBM是平行四边形，∵∠BMO=90°，∴▱OCBM是矩形，∵∠ABP=90°，C是AO的中点，∴OC=BC，∴矩形OCBM是正方形．（2）连接AP、OB，∵∠ABP=∠AOP=90°，∴A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，∵AO∥BM，∴∠AOB=∠OBM，∴∠APB=∠OBM，∴△APB∽△OBM，∴（3）当点P在O的左侧时，如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED，∴易证：四边形DBMO是矩形，∴MO=2PO=BD，∴，∵AO=2BM=2，∴BM=，∴OE=，DE=，易证△ADB∽△ABE，∴AB2=AD•AE，∵AD=DO=DM=，∴AE=AD+DE=∴AB=，由勾股定理可知：BE=，易证：△PEO∽△PBM，∴=，∴PB=当点P在O的右侧时，如图所示，过点B作BD⊥OA于点D，∵MO=2PO，∴点P是OM的中点，设PM=x，BD=2x，∵∠AOM=∠ABP=90°，∴A、O、P、B四点共圆，∴四边形AOPB是圆内接四边形，∴∠BPM=∠A，∴△ABD∽△PBM，∴，又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，∴=，解得：x=，∴BD=2x=2由勾股定理可知：AB=3，BM=310、如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM．在△FME和△BMH中，，∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH．∵CD=BC，∴CE=CH\1∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．（2如图2，连接AE，∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴点B、E、D在同一条直线上．∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，∴CM=AF，EM=AF，∴CM=ME．∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°．∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，∴∠MCF+∠MEF=135°，∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°，∴CM⊥ME．（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，在△EDM和△GDM中，，∴△EDM≌△GDM，∴ME=MG，∠MED=∠MGD．∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，∴MD=ME，∠MCG=∠MGC．∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°．∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的结论成立．11、如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变：①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出的值（用含α的三角函数表示）【解答】解：（1）BG=EG，理由是：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四边形CFED是菱形，∴EF=CD，EF∥CD，∴AB=EF，AB∥EF，∴∠A=∠GFE，∵∠AGB=∠FGE，∴△BAG≌△EFG，∴BG=EG；（2）①如图2，设AG=a，CD=b，则DF=AB=b，由（1）知：△BAG≌△EFG，∴FG=AG=a，∵CD∥BH，∴∠HAD=∠ADC=60°，∵∠ADE=60°，∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°，∴△ADH是等边三角形，∴AD=AH=2a+b，∴==；②如图3，连接EC交DF于O，∵四边形CFED是菱形，∴EC⊥AD，FD=2FO，设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，Rt△EFO中，cosα=，∴OF=bcosα，∴DG=a+2bcosα，过H作HM⊥AD于M，∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，∴AH=AD，∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，Rt△AHM中，cosα=，∴AH=，∴==cosα．12、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．13、如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s 的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为6cm；（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴OA=BC=16，∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，∴t=，此时，点Q的运动距离是×2=cm，故答案为，；（2）如图1，由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，∴四边形APEB是矩形，∴PE=AB=6，BE=6，∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6，根据勾股定理得，PQ=6，故答案为6；（3）设运动时间为t秒时，由运动知，AP=3t，CQ=2t，同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10cm，∴62+（16﹣5t）2=100，∴t=或t=；（4）k的值是不会变化，理由：∵四边形AOCB是矩形，∴OC=AB=6，OA=16，∴C（6，0），A（0，16），∴直线AC的解析式为y=﹣x+16①，设运动时间为t，∴AP=3t，CQ=2t，∴OP=16﹣3t，∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），∴PQ解析式为y=x+16﹣3t②，联立①②解得，x=，y=，∴D（，），∴k=×=是定值．14、对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE=∠BCD=45°，又∵∠B=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴=cos45°=，即CE=BC，由图②，可得CE=CD，而AD=BC，∴CD=AD，∴=；（2）①设AD=BC=a，则AB=CD=a，BE=a，∴AE=（﹣1）a，如图③，连接EH，则∠CEH=∠CDH=90°，∵∠BEC=45°，∠A=90°，∴∠AEH=45°=∠AHE，∴AH=AE=（﹣1）a，设AP=x，则BP=a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，∴AH2+AP2=BP2+BC2，即[（﹣1）a]2+x2=（a﹣x）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又∵PH=CP，∠A=∠B=90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH=∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，∴∠APH+∠BPC=90°，∴∠CPH=90°；②折法：如图，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，又∵∠DCH=∠ECH，∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．15、如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2 cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x= s ；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．【解答】解：（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，∴2x=2（2﹣2x），∴x=s．故答案为s．（2）①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．y=2x×x=2x2．②如图②中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．y=（2﹣x+2tx×x=x2+x③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．y=（2﹣x+2）×[x﹣2（x﹣1）]=x2﹣3x+4；综上所述，y=．（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．则有：tan∠EAB=tan∠QPB，∴=，解得x=．②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．此时tan ∠DEA=tan ∠QPB ， ∴=，解得x=，综上所述，当x=s 或时，直线AM 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分．16、在菱形ABCD 中，∠ABC =60°,点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，点E 的位置随点P 的位置变化而变化.（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是，CE 与AD 的位置关系是；（2）当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB =2√3 ,BE =2√19 ,求四边形ADPE 的面积.【解析】（1）① BP=CE 理由如下：连接AC∵菱形ABCD ，∠ABC=60°图1图2图3图4∴△ABC是等边三角形∴AB=AC ∠BAC=60°∵△APE是等边三角形∴AP=AE ∠PAE=60°∴∠BAP=∠CAE∴△ABP≌△ACE ∴BP=CE② CE⊥AD∵菱形对角线平分对角∴∠ABD=30°∵△ABP≌△ACE∴∠ACF=∠ABD=30°∴∠DCF=30°∴∠DCF＋∠ADC=90°∴∠CFD=90°∴CF⊥AD 即CE⊥AD（2）(1)中的结论：BP=CE , CE⊥AD 仍然成立，理由如下：连接AC∵菱形ABCD，∠ABC=60°∴△ABC和△ACD都是等边三角形∴AB=AC ∠BAD=120°∠BAP=120°＋∠DAP ∵△APE是等边三角形∴AP=AE ∠PAE=60°∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP∴∠BAP=∠CAE∴△ABP≌△ACE ∴BP=CE ∠ACE=∠ABD=30°∴∠DCE=30°∵∠ADC=60°∴∠DCE＋∠ADC=90°∴∠CHD=90°∴CE⊥AD∴(1)中的结论：BP=CE , CE⊥AD 仍然成立.(3) 连接AC交BD于点O , CE, 作EH⊥AP于H∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD BD平分∠ABC∵∠ABC=60°，AB=2√3∴∠ABO=30°∴AO=√3 BO=DO=3∴BD=6由(2)知CE⊥AD∵AD∥BC ∴CE⊥BC∵BE=2√19BC=AB=2√3∴CE=√(2√19)2－(2√3)2=8由(2)知BP=CE=8 ∴DP=2 ∴OP=5∴AP=√52＋(√3)2=2√7∵△APE是等边三角形，∴ PH=√7EH=√21∵S四ADPE=S△ADP+S△APE∴S四ADPE =12DP·AO+12AP·EH=12×2×√3 +12×2√7×√21=√3+7√3=8√3∴四边形ADPE的面积是8√3 .。

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

中考数学特训卷专题八三角形和四边形(有答案)

专题八三角形和四边形
⊙热点一：与三角形、四边形有关的计算、证明1．(2013年吉林长春)如图Z8-3，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，C
D.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为________ .
图Z8-3
2．(2013年河南)如图Z8-4，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠
B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为________．
图Z8-4
3．(2013年江苏扬州)如图Z8-5，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE的位置，连接AE.
(1)求证：AB⊥AE；
(2)若BC2＝AD·AB，求证：四边形ADCE是正方形．
图Z8-5
⊙热点二：与三角形、四边形有关的操作探究题1．(2013年湖南湘潭)在数学活动课中，小辉将边长为2
和3的2个正方形放置在直线l上，如图Z8-6(1)，他连接AD，CF，经测量发现AD＝CF.
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图Z8-6(2)，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由
；
(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图Z8-6(3)，请你求出CF的长．
(1) (2)(3)
图Z8-6。

中考压轴题—三角形、四边形综合(解析版)--2024年中考数学

中考压轴题-三角形、四边形综合1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

4.几何图形的归纳、猜想问题中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。

对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。

5.阅读理解问题如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。

阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。

对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。

所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。

解题策略1.学会运用数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

中考数学复习——三角形与四边形专题训练(含解析)

中考数学复习——三角形与四边形专项训练一．选择题（共9小题） 1．（2020•新昌县校级模拟）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容已知：如图，∠BEC ＝∠B +∠C ．求证：AB ∥CD ．证明：延长BE 交★于点F ．则∠BEC ＝■+∠C （三角形的外角等于它不相等的内角之和）．又∠BEC ＝∠B +∠C ，得∠B ＝▲．故AB ∥CD （●相等，两直线平行）．则回答错误的是（）A ．★代表CDB ．■代表∠EFC C ．▲代表∠EFCD ．●代表同位角 2．（2020•上虞区校级一模）已知△ABC 的两条中线的长分别为5、10．若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为（） A ．7 B ．8 C ．14 D ．15 3．（2020•柯桥区模拟）如图所示，∠α的度数是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 4．（2020•越城区模拟）用三角板作△ABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt △ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，AE =13AB ，AF =13AC ，分别以EF 、FC 为直径作半圆，面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（）BE 、A ．S 1+S 3＝2S 2B ．S 1+S 3＝4S 2C ．S 1＝S 3＝S 2D ．S 2=13（S 1+S 3）6．（2019•诸暨市模拟）已知，关于x 的不等式组{x −2x ＜02x −1≥7至少有三个整数解，且存在以3，a ，5为边的三角形，则a 的整数解有（） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 7．（2019•上虞区一模）在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，且BC ＝m •BD ，过D 点作直线AB ，AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB ＝n •AC ．则xx xx=（）A ．1x (x +1)B ．1x (1−x )C ．1x (1−x )D ．1x (x −1)8．（2019•上虞区一模）为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）．小聪为了说明“A ．正方形；B ．矩形；C ．四边形；D ．菱形；E ．平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、①、①、①”所标注的各区域中，正确的填法依次是（）（用名称前的字母代号表示）A ．C 、E 、B 、D B ．E 、C 、B 、D C ．E 、C 、D 、B D ．E 、D 、C 、B 9．（2019•诸暨市模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB ∥y 轴，CD 交x 轴于点M ，过原点的直线EF 分别交AD 、BC 边于点E 、F ，以EF 为一边作矩形EFGH ，并使EF 的对边GH 所在直线过点M ，若点A 的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH 的面积的大小变化情况是（）A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小二．填空题（共10小题）10．（2020•越城区模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE ＝∠B ＝30°，且xx xx=32，那么xx xx的值是．11．（2019•诸暨市模拟）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4．则S 1﹣S 2+S 3+S 4等于．12．（2018•柯桥区模拟）长度分别为3，4，5，7的四条线段首尾相接，相邻两线段的夹角可调整，则任意两端点的距离最大值为． 13．（2018•上虞区模拟）在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在边BC 上，E 在斜边AB 上，若△ADE 是等腰直角三角形，则BE 的长为． 14．（2020•新昌县校级模拟）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是直线BC 上一点，且BE ＝BO ，连结AE ，若∠BAC ＝60°，则∠CAE 的度数是．15．（2020•嵊州市模拟）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝12，点P 在菱形的边上，若满足PE +PF ＝a 的点P 只有4个，则a 的取值范围是．16．（2020•嵊州市模拟）如图，在矩形ABCD 中，E 是直线BC 上一点，且CE ＝CA ，连结AE ．若∠BAC ＝60°，则∠CAE 的度数为．17．（2019•绍兴模拟）如图，在正方形ABCD 中，分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点E ，∠EAB 的度数是．18．（2018•绍兴二模）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为（﹣4，0）．正方形OEFG 的顶点F 落在y 轴的正半轴上，直线AE 与直线FG 相交于点P ，若△OEP 的其中两边之比为√2：1，则点P 的坐标为．19．（2018•上虞区一模）如图，平面直角坐标系中O 是原点，①OABC 的顶点A ，C 的坐标分别是（8，0），（3，4），点D ，E 把线段OB 三等分，延长CD ，CE 分别交OA ，AB 于点F ，G ，连结FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；①△OFD 与△BEG 相似；①四边形DEGF 的面积是20；①OD =4√53；其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）三．解答题（共21小题） 20．（2020•新昌县模拟）如果一个直角三角形的三边长分别为a ﹣d ，a ，a +d ，（a ＞d ＞0），则称这个三角形为均匀直角三角形．（1）判定按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是（） A .1，2，3；B .1，√3，2；C .1，√3，3；D .3，4，5．（2）性质求证：任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3：4．（3）应用如图，在一块均匀直角三角形纸板ABC 中剪一个矩形，且矩形的一边在AB 上，其余两个顶点分别在BC ，AC 上，已知AB ＝50cm ，BC ＞AC ，∠C ＝90°，求剪出矩形面积的最大值．21．（2020•柯桥区模拟）如图，在△ABC 中，G 为边AB 中点，∠AGC ＝α．Q 为线段BG 上一动点（不与点B 重合），点P 在中线CG 上，连接P A ，PQ ，记BQ ＝kGP ．（1）若α＝60°，k ＝1， ①当BQ =12BG 时，求∠P AG 的度数．①写出线段P A 、PQ 的数量关系，并说明理由．（2）当α＝45°时．探究是否存在常数k ，使得①中的结论仍成立？若存在，写出k 的值并证明；若不存在，请说明理由．22．（2019•上虞区一模）在平面直角坐标系xOy 中，A （t ，0），B （t +2√2，0），对于线段AB 和点P 给出如下定义：当∠APB ＝90°时，称点P 为线段AB 的“直角视点”．（1）若t =−√2，在点C （0，√2），D （﹣1，√62），E （√22，√62）中，能够成为线段AB “直角视点”的是．（2）直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是（4√3，0），∠OMN ＝30°．①线段AB 的“直角视点”P 在直线MN 上，且∠ABP ＝60°，求点P 的坐标．①在①的条件下，记Q 为直线MN 上的动点，在点Q 的运动过程中，△QAB 的周长存在最小值，试求△QAB 周长的最小值．①若存在线段AB 的“直角视点”在△MON 内部，则t 的取值范围是．23．（2019•柯桥区模拟）如图，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．24．（2018•新昌县模拟）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，点M是AC的中点，在AD上取点E，使得DE＝AM，EM与DC的延长线交于点F．（1）当∠BAC＝90°时，①求AE的长；①求∠F的大小．（2）当∠BAC≠90°时，探究∠F与∠BAC的数量关系．25．（2018•柯桥区模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．26．（2020•上虞区模拟）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C分别是x，y轴上的点，且B（16，0），C（0，8），D为线段AC的中点，sin A=45，E（0，a）为y轴正半轴上的任意一点，连结DE，以DE为边按顺时针方向作正方形DEFG．（1）填空：点A的坐标为；（2）记正方形DEFG的面积为S，①求S关于a的函数关系式；①当DF∥AB时，求S的值；（3）是否存在满足条件的a的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的a 的值；若不存在，说明理由．27．（2020•上虞区模拟）如图，矩形ABCD的四个顶点在正△EFG的边上，已知正△EFG的边长为2，记矩形ABCD 的面积为S，边长AB为x．求：（1）S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；（2）当S=√32时，x的值．28．（2020•新昌县模拟）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝12，BC＝16，点O是对角线AC的中点，点E是AD 边上的动点，连结EO并延长交BC于点F，过O作GH⊥EF，分别交矩形的边于点G，H．（1）当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，①求证：四边形HFGE是菱形．①求AE的取值范围．（2）当四边形HFGE的面积为144时，求AE的长．29．（2020•新昌县模拟）小明对教材“课题学习”中的的“用一张正方形折出一个正八边形”的问题进行了认真的探索，他先把正方形ABCD沿对角线AC对折，再把∠BAC对折，使点B落在AC上，记为点E，然后沿CE的中垂线折叠，得到折痕PQ，如图1，类似地，折出其余三条折痕GH，IJ，KO，得到八边形GHIJKOPQ，如图2．（1）求证：△CPQ是等腰直角三角形；（2）若AB＝a，求PQ的长．（用含a的代数式表示）；（3）我们把八条边长相等，八个内角都相等的八边形叫做正八边形．试说明八边形GHIJKOPQ是正八边形，请把过程补充完整．解：理由如下：①∴∠GQP＝135°．同理可得：∠QPO＝∠POK＝∠OKJ＝∠KJI＝∠JIH＝∠IHG＝∠HGQ＝135°．①∴PQ＝QG．同理可得：QG＝GH＝HI＝IJ＝JK＝KO＝PO＝PQ．∴八边形GHIJKOPQ是正八边形．30．（2020•越城区模拟）如图，在①ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形．31．（2019•柯桥区模拟）如图，矩形OABC放置于平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、C分别在x、y轴上，OA ＝8，OC＝6，动直线MN交线段OA于点M，交线段AC于点N，且OM＝AN．（1）计算AC的长度，并求当MN∥AB时AN的长．（2）连结MC，当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标．（3）记矩形OABC关于直线MN的轴对称图形为矩形O'A'B'C'，O与O'，A与A'，B与B'，C与C'分别为对应点，当M、N与这四对对应点的其中一对点为顶点组成的四边形恰好是菱形时，直接写出点M的坐标．32．（2019•柯桥区模拟）如图1，正方形ABCD中，AB＝5，点E为BC边上一动点，连接AE，以AE为边，在线段AE右侧作正方形AEFG，连接CF、DF．设BE＝x（当点E与点B重合时，x的值为0），DF＝y1，CF＝y2．小明根据学习函数的经验，对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程．（1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x与y1、y2的几组对应值，请补全表格：x012345y1 5.00 4.12 3.61 4.12 5.00y20 1.41 2.83 4.24 5.657.07（2）根据表中各组数值，在同一平面直角坐标系xOy中，画出函数y1的图象．（3）结合图2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，请直接写出BE长度．（精确到0.1）33．（2019•绍兴模拟）有一道作业题：（1）请你完成这道题的证明；已知：如图1，在正方形ABCD中，G是对角线BD上一点（G与B，D不重合）连结AG，CG求证：△BAG≌△BCG（2）做完（1）后，小颖善于反思，她又提出了如下的问题，请你解答．如果在射线CB 上取点E ，使GE ＝GC ，连结GE ． ①如图2，当点E 在线段CB 上时，求证：AG ⊥EG ． ①探究线段AB ，BE ，BG 之间的数量关系． 34．（2019•上虞区一模）在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD ﹣2DE =√2BM ”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是．（3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若xx xx=13，CM ＝2，则线段DG ＝．35．（2019•柯桥区模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．（1）①依题意补全图1； ①求证：∠EDC ＝∠BAD ；（2）①小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为：；①小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ．想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ．想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形． ……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．（一种方法即可） 36．（2018•柯桥区模拟）定义：等腰三角形ABC ，如果腰长是底边长的两倍，则称三角形ABC 是等腰倍边三角形．（1）如图1，等腰倍边三角形ABC ，AB ＝AC ，BC ＝2，则AB ＝，tan B ＝；（2）如图2，平行四边形ABCD ，AB ＝8，对角线交于点O ，若分成的四个以O 为顶点的三角形中存在等腰倍边三角形，求AC +BD 的值．37．（2018•绍兴二模）在四边形ABCD 中，∠B +∠D ＝180°，对角线AC 平分∠BAD ．（1）问题发现：如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，求证：AD+AB＝AC；（2）思考探究：如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，则（1）中的结论是否仍成立？请说明理由；（3）拓展应用：如图3，若∠DAB＝90°，AD＝2，AB＝3，求线段AC的长度．38．（2018•绍兴二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若m＝6，在点P的运动过程中，① 求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．①①求当点A与点E距离最近时t的值，并求出该最近距离．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于1，求符合条件的m的取值范围．39．（2018•上虞区模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．概念理解：在“矩形、菱形和正方形”这三种特殊四边形中，不一定是“等邻角四边形”的是．问题探究：如图，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝3，BC＝9，P为线段BC上一动点（不包含端点B，C），Q为直线CD上一动点，连结P A，PQ，在P，Q的运动过程中始终满足∠APQ＝∠B，当CQ达到最大时，试求此时BP的长．应用拓展：在以60°为等角的等邻角四边形ABCD中，∠D＝90°，若AB＝3，AD=√3，试求等邻角四边形ABCD 的周长．40．（2018•上虞区模拟）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．（1）求证：△EDC≌△HFE；（2）连接BE、CH．①四边形BCHE是怎样的特殊四边形？证明你的结论．①当AB与BC满足什么数量关系时，四边形BCHE为菱形？试说明你的理由．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．【答案】D【解答】证明：延长BE交CD于点F．则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于它不相等的内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC，故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故★代表CD，■代表∠EFC，▲代表∠EFC，●代表内错角．故选：D．2．【答案】C【解答】解：如图，△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点O，且AD＝5，BE＝10，延长OD至G，使DG＝OD，则O为AG中点．∵O是重心，∴OB＝2OE，∵OB+OE＝BE＝10，∴OE=13BE=103，同理，可得OD=13AD=53，∴CG＝2OE=203，OG＝2OD=103，∵OC＜OG+CG=203+103=10，CF=32OC，∴CF＜10×32=15，∵第三条中线的长是整数，∴第三条中线长的最大值为14．故选：C．3．【答案】A【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故选：A．4．【答案】A【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．5．【答案】B【解答】解：∵在Rt△ABC中，AE=13AB，AF=13AC，∴AE=12BE，AF=12CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2=14BE2+14CF2．∴12π•14EF2=18π•（14BE2+14CF2），即S2=14（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．6．【答案】B【解答】解：解不等式①，可得x＜2a，解不等式①，可得x≥4，∵不等式组至少有三个整数解，∴a＞3，又∵存在以3，a，5为边的三角形，∴2＜a＜8，∴a的取值范围是3＜a＜8，∴a的整数解有4、5、6，7共4个，故选：B．7．【答案】C【解答】解：连接AD，∵BC＝m•BD，∴CD＝（1﹣m）BD∴S△ACD＝（1﹣m）S△ABD，又∵S△ABD=12⋅xx⋅xx，S△ACD=12⋅xx⋅xx，∴12⋅xx⋅xx=（1﹣m）12⋅xx⋅xx，∵AB＝n•AC，∴AC•DF＝（1﹣m）n•AC•DE ∴DF＝（1﹣m）n•DE∴xxxx=1(1−x)x故选：C．8．【答案】A【解答】解：①表示四边形，①表示平行四边形，①或①表示菱形或矩形，故选：A．9．【答案】B【解答】解：如图，设GH交AD于K，AD与轴交于点P．∵∠OEP+∠HEK＝90°，∠HEK+∠HKE＝90°，∴∠HKE＝∠OEP，∵∠OPE＝∠H＝90°，∴△OPE∽△EHK，∴xxxx=xxxx，∴OP•EK＝HE•OE，易证四边形OMKE是平行四边形，∴EK＝OM，∴OP•OM＝HE•OE，∵矩形ABCD的面积为定值，∴OP•OM是定值，∴HE•OE是定值，∵矩形EFGH的面积＝2HE•EO，∴矩形EFGH的面积是定值．故选：B．二．填空题（共10小题）10．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠DAE＝∠B＝30°，∴∠DAE＝∠B＝∠C，∵∠AED＝∠BEA，∴△ADE∽△BAE，∴xxxx=xxxx=xxxx，∴AE2＝DE×BE，同理：△ADE∽△CDA，∴xxxx=xxxx，∴AD2＝DE×CD，∴xx2xx2=xxxx=（32）2=94，设CD＝9x，则BE＝4x，∵xxxx=xxxx，∴AB=xxxx×BE=32×4x＝6x，作AM⊥BC于M，如图所示：∵AB＝AC，∴BM＝CM=12 BC，∵∠B＝30°，∴AM=12AB＝3x，BM=√3AM＝3√3x，∴BC＝2BM＝6√3x，∴DE＝BE+CD﹣BC＝13x﹣6√3x，∴xxxx=√3x63x=13√318−1；故答案为：13√318−1．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：过F 作AM 的垂线交AM 于D ，可证明Rt △ADF ≌Rt △ABC ，Rt △DFK ≌Rt △CAT ，所以S 2＝S Rt △ABC ．由Rt △DFK ≌Rt △CAT 可进一步证得：Rt △FPT ≌Rt △EMK ，∴S 3＝S △FPT ，又可证得Rt △AQF ≌Rt △ACB ，∴S 1+S 3＝S Rt △AQF ＝S Rt △ABC ．易证Rt △ABC ≌Rt △EBN ，∴S 4＝S Rt △ABC ，∴S 1﹣S 2+S 3+S 4＝（S 1+S 3）﹣S 2+S 4＝S Rt △ABC ﹣S Rt △ABC +S Rt △ABC＝6﹣6+6＝6，故答案是：6．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，已知4条线段的四边长为3、4、5、7；①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7；7﹣5＜7＜7+5，能构成三角形，此时任意两端点的最长距离为7；①选3、4+5、7作为三角形，则三边长为3、9、7；7﹣3＜9＜7+3，能构成三角形，此时任意两端点的最大距离为9．故答案为：9．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点E 作EF 作∥AC ，交BC 于点F ，∴∠BFC ＝∠C ＝90°，∵∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°∴AB ＝2AC ＝2，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：CB =√xx 2−xx 2=√3，∵△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝DA ，∵∠DAC +∠ADC ＝90°，∠EDF +∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝∠EDF在△ADC 和△DEF 中，{∠xxx =∠xxx xx =xxxx xx =xx，∴△ADC ≌△DEF （AAS ），∴DF ＝AC ＝1，设CD ＝x ，所以EF ＝x ，BF =√3−1﹣x∵EF ∥AC∴xx xx =xx xx ，即x 1=√3−√3，解得：x ＝2−√3，∴BE ＝2x ＝4﹣2√3，故答案为：4﹣2√3．14．【答案】15°．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∵∠BAC ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OB ，∵BE ＝BO ，∴AB ＝BE ，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAE ＝45°，∴∠CAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ＝60°﹣45°＝15°，故答案为：15°．15．【答案】a ＝4√7或12＜a ＜8√7．【解答】解：不妨假设点P 在线段BC 上，作点E 关于BC 的对称点G ，EG 现BC 交于点K ，连接FG 交BC 于点P ，此时PE +PF 的值最小，如图1，过F 作FH ⊥EK 于点H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝12，∠ACB ＝60°，∵点E ，F 将对角线AC 三等分，∴AE ＝EF ＝FC ＝4，∴GK ＝EK ＝EC •sin ∠ACB ＝4√3，CK =12CE ＝4，∵FH ⊥EG ，BC ⊥EG ，∴HF ∥BC ，∵EF ＝FC ，∴xx =xx =12xx =2√3，∴HF =12xx =2，∴xx =√xx 2+xx 2=√(6√3)2+22=4√7，根据菱形的对称性知，当PE+PF＝a＝4√7时，在菱形ABCD的四边各存在一点满足条件PE+PF＝a；当点P在C点时，PE+PF＝8+4＝12，当P点在B点时，连接BD，与AC交于点O，如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=12xx=6，∴xx=xx⋅xxx∠xxx=6√3，∵OE＝OF=12EF＝2，∴PE＝PF=√(6√3)2+22=4√7，∴xx+xx=8√7，当点P由C运动到B时，PE+PF的值由最大值12减小到4√7再增加到8√7，由菱形的对称性质知，当12＜PE+PF＜8√7时，即12＜a＜8√7时，在菱形ABCD的四边各存在一点满足条件PE+PF＝a；综上，点P在菱形的边上，若满足PE+PF＝a的点P只有4个，则a的取值范围是a＝4√7或12＜a＜8√7．故答案为：a＝4√7或12＜a＜8√7．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，如图，当点E在点B左侧时，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠AEC＝75°，若点E'在点C右侧时，∵AC＝CE'，∴∠CAE'＝∠CE'A，∵∠ACB＝∠CAE'+∠CE'A＝30°，∴∠CAE'＝15°，综上所述：∠CAE的度数为75°或15°，故答案为75°或15°．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，当点E在正方形ABCD内，∵四边形ABCD是正方形∴AD＝CD，∠ADC＝∠DAB＝90°∵分别以点C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E∴CD＝DE＝EC＝AD，∴∠EDC＝60°∴∠ADE＝30°，且AD＝DE∴∠DAE＝75°∴∠BAE＝15°当点E在正方形ABCD外，同理可得：∠BAE＝75°故答案为：15°或75°18．【答案】见试题解答内容【解答】解：①如图1，当P与F重合时，满足OP：OE=√2：1，∵四边形OEFG是正方形，∴∠OFE＝45°，∵∠AOF＝90°，∴∠OAF＝∠OFE＝45°，∴OA＝OF＝4，∴F（0，4），即P（0，4）；①如图2，当AE⊥x轴时，满足PE=√2OE，则EP∥OF，OE∥PG，∴四边形PEOF是平行四边形，∴EP＝OF=√2OE，Rt△AOE中，∵OA＝AE＝4，∴OE＝EF＝4√2，同理得：EP=√2EF＝8，∴P（﹣4，12）；①如图3，过P 作PM ⊥x 轴于M ，直线FG 交x 轴于N ，满足OP =√2PE 成立；设OE ＝a ，PF ＝b ，则EF ＝FG ＝OG ＝GN ＝a当OP =√2PE 时，则有OP 2＝2PE 2∴OG 2+PG 2＝2（EF 2+PF 2）即：a 2+（a +b ）2＝2（a 2+b 2）化简可得b ＝2a∴PN ＝4a ，即xx xx =14 而OE ∥PN∴△AOE ∽△ANP∴xx xx =xx xx =14 而OA ＝4，∴ON ＝12∴OG ＝GN ＝6√2，PN ＝24√2∴PM ＝MN ＝24而ON ＝12，∴OM ＝12∴点M 的坐标为（﹣12，0），点P 的坐标为（﹣12，24）．故答案为：P （0，4）或P （﹣4，12）或P （﹣12，24）19．【答案】见试题解答内容【解答】解：①∵四边形OABC 是平行四边形，∴BC ∥OA ，BC ＝OA ，∴△CDB ∽△FDO ，∴xx xx=xx xx ， ∵D 、E 为OB 的三等分点， ∴xx xx =21=2， ∴xx xx =2，∴BC ＝2OF ，∴OA ＝2OF ，∴F 是OA 的中点；所以①结论正确；①如图2，延长BC 交y 轴于H ，由C （3，4）知：OH ＝4，CH ＝3，∴OC ＝5，∴AB ＝OC ＝5，∵A （8，0），∴OA ＝8，∴OA ≠AB ，∴∠AOB ≠∠EBG ，∴△OFD ∽△BEG 不成立，所以①结论错误；①由①知：F 为OA 的中点，同理得；G 是AB 的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG=12OB，FG∥OB，∵OB＝3DE，∴FG=32 DE，∴xxxx=32，过C作CQ⊥AB于Q，S①OABC＝OA•OH＝AB•CQ，∴4×8＝5CQ，∴CQ=32 5，S△OCF=12OF•OH=12×4×4＝8，S△CGB=12BG•CQ=12×52×325=8，S△AFG=12×4×2＝4，∴S△CFG＝S①OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG＝8×4﹣8﹣8﹣4＝12，∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴x△xxxx△xxx=（xxxx）2=49，∴x四边形xxxxx△xxx=59，∴x四边形xxxx12=59，∴S四边形DEGF=20 3；所以①结论错误；①在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2＝BH2+OH2，∴OB=√42+(3+8)2=√137，∴OD=√137 3，所以①结论错误；故本题结论正确的有：①；故答案为：①．三．解答题（共21小题）20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）A、∵1+2＝3，∴1，2，3三条线段不能组成三角形，故A不符合题意；B、当√3−d＝1，√3+d＝2，得d＝1+√3，d＝2−√3，∵1+√3≠2−√3，故B不符合题意；C、∵1+√3＜3，∴1，√3，3三条线段不能组成三角形，故C不符合题意；D、当4﹣d＝3，4+d＝5，得d＝1，∵32+42＝52，∴3，4，5能组成均匀直角三角形，故D符合题意；故选D．（2）∵直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，∴（a﹣d）2+a2＝（a+d）2，化简得a2﹣4ad＝0，∴a（a﹣4d）＝0，∵a＞d＞0，∴a﹣4d＝0，∴a＝4d，∴较小直角边与较大直角边的比是（a﹣d）：a＝3d：4d＝3：4；（3）∵Rt△ABC是均匀直角三角形，∴设AC＝a﹣d，BC＝a，AB＝a+d，∵AB＝50，∴d＝50﹣a，∴AC＝2a﹣50，∵AC2+BC2＝AB2，∴（2a﹣50）2+a2＝502，∵a＞0，∴a＝40，∴BC＝40，AC＝30，过C作CH⊥AB于H交EF于M，∴CH=xx⋅xxxx=30×4050=24，∵四边形DEFG是矩形，∴设FG＝x，∴CM＝24﹣x，∵EF∥AB，∴△CFE∽△CBA，∴xxxx=xxxx，∴xx50=24−x24，∴EF=25(24−x)12，∴S矩形DEFG＝FG•EF=25x(24−x)12=−2512（x﹣12）2+300，∴剪出矩形面积的最大值是300cm2．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如图1，在GC上取点M，使得GM＝GA，连接AM，∵∠AGM＝α＝60°，∴△AGM为等边三角形，∴AG＝GM，∠MAG＝60°，∵BQ=12 BG，∴Q为GB的中点，∵G为AB的中点，∴AG＝BG＝2BQ，∵k＝1，∴BQ＝GP，∴GM＝AG＝BG＝MG＝2GP，∴GP＝MP，∴AP平分∠MAG，∴∠P AG＝∠P AM＝30°；①如图2，在AG上取点N，连接PN，使得PN＝PG，∵∠PGN＝60°，∴△PGN是等边三角形，∵BG＝GA，∴BQ＝PG＝PN＝NG＝GQ，∴GQ＝AN，∵∠ANP＝∠QGP，∴△ANP≌△QGP（SAS），∴P A＝PQ；（2）存在，k=√2，使得①中的结论成立；证明：如图3，过点P作PG的垂线交AG于点H．∵∠AGC＝45°，∴∠PHG＝45°，∴PH＝PG，∠PHA＝∠PGQ＝135°，∵xx=√2xx，xx=√2xx，∴HG＝BQ，∵AG＝BG，∴AH＝GQ．∴△AHP≌△QGP（SAS）∴P A＝PQ．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）若t =−√2，则A （−√2，0），B （√2，0），则AB ＝2√2，∴AB 2＝8，∵点C （0，√2），D （﹣1，√62），E （√22，√62），由勾股定理得：AC 2＝（√2）2+（√2）2＝4，BC 2＝（√2）2+（√2）2＝4， ∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴点C 是线段AB 的“直角视点”；同理：AD 2＝（√2−1）2+（√62）2=92−2√2，BD 2＝（√2+1）2+（√62）2=92+2√2， ∴AD 2+BD 2＝9≠AB 2，∴∠ADB ≠90°，∴点D 不是线段AB 的“直角视点”；同理：AE 2＝（√2+√22）2+（√62）2＝6，EE 2＝（√2−√22）2+（√62）2＝2， ∴AE 2+BE 2＝8＝AB 2，∴∠AEB ＝90°，∴点E 是线段AB 的“直角视点”；故答案为：C 、E ；（2）①分两种情况：a 、△ABP 在M 点左侧时；当MN 与x 轴的夹角∠OMN 在x 轴上方时， ∵点P 是线段AB 的“直角视点”， ∴∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∵∠ABP ＝60°，∴∠P AB ＝30°，∴PB =12AB =√2，P A =√3PB =√6，如图1所示：作PG ⊥AB 于G ，则PG =12P A =√62，∵点M 的坐标是（4√3，0），∠OMN ＝30°， ∴OM ＝4√3，GM =√3PG =3√22， ∴OG ＝OM ﹣GM ＝4√3−3√22，∴P （4√3−3√22，√62）；当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，同理得：P（4√3−3√22，−√62）；b、△ABP在M点右侧时，同理得：P（4√3+3√22，√62）或（4√3+3√22，−√62）；综上所述，点P的坐标为（4√3−3√22，√62）或（4√3−3√22，−√62）或（4√3+3√22，√62）或（4√3+3√22，−√62）；①∵AB＝2√2，若△QAB的周长最小，则AQ+BQ的值最小，作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，连接AA'，则AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，∵∠OMN＝30°，∴∠MAA'＝60°，∵AG=√3PG=3√2 2，∴BG＝AB﹣AG=√22，A'G=√3AG=3√62，由勾股定理得：A'B=√x′x2+xx2=√14，∴△QAB最小值为2√2+√14；故答案为：2√2+√14．①如图3所示：当B点与O重合，则t+2√2=0，∴t＝﹣2√2；当A与M重合时，t＝4√3，∴若存在线段AB的“直角视点”在△MON内部，t的取值范围是﹣2√2＜t＜4√3；故答案为：﹣2√2＜t＜4√3．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠MON ＝90°，∴∠OBA +∠OAB ＝90°，∵∠OBA 、∠OAB 的平分线交于点C ，∴∠ABC +∠BAC =12×90°＝45°， ∴∠ACB ＝180°﹣45°＝135°；故答案为：135；（2）在△AOB 中，∠OBA +∠OAB ＝180°﹣∠AOB ＝180°﹣n °，∵∠OBA 、∠OAB 的平分线交于点C ，∴∠ABC +∠BAC =12（∠OBA +∠OAB ）=12（180°﹣n °），即∠ABC +∠BAC ＝90°−12n °，∴∠ACB ＝180°﹣（∠ABC +∠BAC ）＝180°﹣（90°−12n °）＝90°+12n °；（3）∵BC 、BD 分别是∠OBA 和∠NBA 的角平分线，∴∠ABC =12∠OBA ，∠ABD =12∠NBA ，∠ABC +∠ABD =12∠OBA +12∠NBA ，∠ABC +∠ABD =12（∠OBA +∠NBA ）＝90°，即∠CBD ＝90°，同理：∠CAD ＝90°，∵四边形内角和等于360°，∴∠ACB +∠ADB ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，由（1）知：∠ACB ＝90°+12n °，∴∠ADB ＝180°﹣（90°+12n °）＝90°−12n °， ∴∠ACB +∠ADB ＝180°，∠ADB ＝90°−12n °；（4）∠E 的度数不变，∠E ＝40°；理由如下：∵∠NBA ＝∠AOB +∠OAB ，∴∠OAB ＝∠NBA ﹣∠AOB ，∵AE 、BC 分别是∠OAB 和∠NBA 的角平分线，∴∠BAE =12∠OAB ，∠CBA =12∠NBA ，∠CBA ＝∠E +∠BAE ，即12∠NBA ＝∠E +12∠OAB ， 12∠NBA ＝∠E +12（∠NBA ﹣80°）， 12∠NBA ＝∠E +12∠NBA ﹣40°，∴∠E ＝40°．24．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当∠BAC ＝90°时，①AE ＝AD ﹣DE =√22AB ﹣DE =5√22−52；①连接DM ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，AD ＝DC ．∵点M 是AC 的中点，∴DM ＝MC ＝AM ＝DE ，DM ⊥AC ，∴∠MDC ＝∠MDE ＝45°，∴∠DEM =12（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠F ＝90°﹣67.5°＝22.5°；（2）当∠BAC ≠90°时，∠BAC ＝4∠F ．理由如下：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴∠ADC ＝90°．设∠BAC ＝4x ，则∠DAC ＝2x ．∵点M 是AC 的中点，∴DM ＝MC ＝AM ＝DE ，∴∠ADM ＝∠DAC ＝2x ，∴∠DEM =12（180°﹣2x ）＝90°﹣x ， ∴∠F ＝90°﹣DEM ＝90°﹣（90°﹣x ）＝x ，∴∠BAC ＝4∠F ．25．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF ，在△ABC 和△DEF 中，{∠x =∠xxx =xxxx xx =xx，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．26．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵sin A =45，OC ＝8，∠AOC ＝90°，∴xx xx =45， ∴8xx =45，∴AC ＝10，∴OA =√xx 2−xx 2=√102−82=6，∴A （﹣6，0）．故答案为：（﹣6，0）；（2）①如图1，过点D 作DH ⊥y 轴于H ，∵D 为AC 的中点，∴DH ＝3，HO ＝4，EH ＝a ﹣4，∴S ＝DE 2＝EH 2+DH 2＝（a ﹣4）2+9；①当DF ∥x 轴时，点H 即为正方形DEFG 的中心，∴EH ＝DH ＝3，∴a ＝4+3＝7，∴S ＝（7﹣4）2+9＝18；（3）①当点F 落在BC 边上时，如图2，作DM ⊥y 轴于M ，FN ⊥y 轴于N ，在△DEM 与△EFN 中，{∠xxx =∠xxx =90°xxxx =xxxx xx =xx，∴△DEM ≌△EFN （AAS ），∴NF ＝EM ＝a ﹣4，EN ＝DM ＝3，∵EC ＝a ﹣8，∴CN ＝11﹣a ，∵NF ∥OB ，∴△CNF ∽△COB ，∴xx xx =xx xx ， ∴x −416=11−x 8．∴a =263．①当点G 落在BC 边上时，如图3，作DM ⊥y 轴于M ，GN ⊥DM 轴于N ，延长NG 交x 轴于点Q ，则四边形OMNQ 为矩形，由①同理可得△DEM ≌△GDN ，∴GN ＝DM ＝3，DN ＝EM ＝a ﹣4，∵GQ ＝1，QB ＝2，∴OQ＝MN＝14，又∵MN＝DN﹣DM＝a﹣4﹣3＝14，∴a＝21；①当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，∴OE＝DM＝3，即a＝3；①当点G落在AC边上时，如图5，∵∠CDE＝∠AOC＝90°，∠DCE＝∠OCA，∴△DCE∽△OCA，∴xxxx=xxxx，∴8−x10=58，∴a=7 4，显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况．综上可得，当a=263或21或3或74时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．27．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝x，则DC＝x，∵△EFG是等边三角形，∴ED＝DC＝x，∵正△EFG的边长为2，∴DF＝2﹣x，在Rt△DF A中，sin F＝sin60°=xxxx=xx2−x，∴DA=√32（2﹣x），∴S=√32（2﹣x）×x，即S关于x的函数表达式为S=−√32x2+√3x，自变量x的取值范围为0＜x＜2；（2）当S=√32时，√32=−√32x2+√3x，解得x＝1．28．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如图1，∵在矩形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∵∠EOA＝∠EOC，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴OE＝OF，同理可得：OG＝OH，又∵GH⊥EF，∴四边形HFGE是菱形；①当GH与BD重合时，如图2，∵在矩形ABCD中，DC＝AB＝12，BC＝16，∴BD=√xx2+xx2=√122+162=20，∴OB＝OD＝10，在Rt△ABD和Rt△EOD中，cos∠EDO＝cos∠ADB=4 5，∴DE=xxxxxxxxx=1045=12.5，∴AE＝AD﹣DE＝3.5，当GH与AC重合时，如图3，同理可得：sin∠AEO=xxxx=sin∠BAC=xxxx=45，∴10xx=45，∴AE＝12.5，∴3.5＜AE＜12.5．即当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，AE的取值范围是3.5＜AE＜12.5．（2）①当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的两条边上时，当点G在AD上，如图4，由（1）可知四边形HFGE是菱形，且菱形的高是12．∵S四边形HFGE＝144，∴EG＝12，∴EH＝EH＝12＝AB，∴EH⊥HF，∴四边形HFGE是正方形，由于正方形HFGE和矩形ABCD的对称轴为同一条，∴AE=12（16﹣12）＝2．同理可证：当点G在BC上时，如图5，AE＝14．①当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，如图6，过点O作OP⊥AD，OQ⊥CD，交AD，CD分别于点P，Q，则四边形POQD为矩形，∴∠POQ＝90°，∴∠POE＝∠GOQ，又∵∠EPO＝∠OQG＝90°，∴△EPO∽△GQO，∵OP=12AB＝6，OQ=12AD＝8，∴xxxx=xxxx=68=34，∴xxxx=xxxx=34，设EF＝3a，HG＝4a，∴S四边形HFGE=12EF•HG=12×3a×4a＝144，解得a＝2√6，∴OE=3x2=3√6，∴EP=√xx2−xx2=3√2，∴当E点在P点左侧时，AE＝8﹣3√2，由对称性可得，当点E在P点右侧时，如图7，AE＝8+3√2，综上所述，AE的长为8+3√2或8﹣3√2或2或14．29．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵正方形ABCD沿对角线AC对折，∴PQ⊥CE，∵AC为正方形的对角线，∴∠ACQ＝∠ACP＝45°，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，∴△CPQ是等腰直角三角形；（2）由折叠可知：QE＝CQ，CP＝PE，∵△CPQ是等腰直角三角形，∴QE＝CQ＝CP＝PE，∠BCD＝90°，∴四边形CQEP是正方形，∴PQ＝CE，在正方形ABCD中，AC=√2a，由折叠可知：AE＝AB＝a，∴CE=√2a﹣a，∴PQ=√2a﹣a．（3）①∵△CPQ是等腰直角三角形，∴∠CQP＝45°；①设AB＝a，由（2）可知：PQ=√2a﹣a，∵△CPQ是等腰直角三角形，∴CQ＝a−√22 a，同理可得：DG＝a−√22 a，∴QG＝CD﹣DG﹣CQ＝a﹣（a−√22a）﹣（a−√22a）=√2a﹣a．30．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，{xx=xx xx=xx xx=xx，∴△AEH≌△CGF．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF．∴△BEF≌△DGH．∴EF＝HG．又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF．∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴EFGH 是菱形．31．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1中，设OM ＝AN ＝m ．在Rt △AOC 中，∵∠AOC ＝90°，OC ＝6，OA ＝8，∴AC =√xx 2+xx 2=10，∵MN ∥AB ，AB ∥OC ，∴MN ∥OC ，∴xx xx =xx xx ， ∴8−x 8=x 10，∴m =409，∴AN =409．（2）如图2﹣1中，当∠MNC ＝90°时，设OM ＝AN ＝n ．∵∠ANM ＝∠AOC ，∠MAN ＝∠OAC ，∴△MAN ∽△CAO ，∴xx xx =xx xx ， ∴xx 10=x 8，∴AM =54n ，∵OM +AM ＝8， ∴n +54n ＝8，∴n =329，∴M （329，0）．如图2﹣2中，当∠CMN ＝90°时，作NH ⊥AM 于H ，设OM ＝AN ＝a ，则AH =45a ，HN =35a ，MH ＝8﹣a −45a ＝8−95a ， ∵△COM ∽△MHN ，∴xx xx =xx xx ，∴68−95x =x 35x ，解得a =229，∴M （229，0）．综上所述，满足条件的M 的坐标为（329，0）或（229，0）．（3）①如图3﹣1中，当四边形ONO ′M 是菱形时，易证ON ＝OM ＝AN ＝CN ＝5，此时M （5，0）．①如图3﹣2中，当四边形AMA ′N 是菱形时，易证OM ＝AM ＝4，此时M （4，0）．①如图3﹣3中，当四边形CMC ′N 是菱形时，设OM ＝AN ＝b ，∵CM ＝CN ，∴62+b 2＝（10﹣b ）2，解得b =165，此时M （165，0）．①如图3﹣4中，当四边形BNB ′M 是菱形时，设OM ＝AN ＝c ，作NJ ⊥AB 于J ．∵BM ＝BN ，∴62+（8﹣c ）2＝（6−35c ）2+（45c ）2，解得c =8011，此时M （8011，0）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为（5，0）或（4，0）或（165，0）或（8011，0）．32．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）补全表格如下：x 0 12 3 4 5 y 15.0 4.12 3.61 3.61 4.12 5.00 y 20 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07（2）函数图象如下：（3）结合函数图象2，解决问题：当△CDF 为等腰三角形时，BE 的长度约为2.59（图中点A ），当DF ＝CD ＝y 1＝5时x ＝5（图中点C ）当CF＝CD＝y2＝5时x＝3.5（图中点B）故答案为：2.59或5或3.5．33．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，∴BD平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG，又∵AB＝BC，BG＝BG，∴△BAG≌△BCG（SAS）；（2）①如图2，由（1）知△BAG≌△BCG，∴∠BAG＝∠BCG，∴GE＝GC，∴∠BCG＝∠GEC，∴∠GEC＝∠BAG，又∵∠GEC+∠BEG＝180°，∴∠BAG+∠BEG＝180°，∴∠ABE+∠AGE＝180°，又∵∠ABE＝90°，∴∠AEG＝90°，∴AG⊥EG．①如图3，当点E在线段CB上时，作GH⊥BC于H，在Rt△BGH中，BH=√22 BG，∵BE＝BH﹣EH①，AB＝BH+CH①，∵GE＝GC，∴EH＝CH，∴①+①，得：AB+BE＝2BH，∴AB+BE=√2BG；如图3，当点E在线段CB延长线上时，作GH⊥BC于H，在Rt △BGH 中，BH =√22BG ，∵BE ＝EH ﹣BH ①，AB ＝BH +HC ①，∴①﹣①，得：AB ﹣BE ＝2BH ，∴AB ﹣BE =√2BG ．34．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，过点M 作MP ∥CD ，交BD 于点P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，∠CBD ＝∠CDB ＝45°，∵PM ∥CD ，∴∠NDE ＝∠MPE ，∠BPM ＝∠CDB ＝45°，∴△BPM 是等腰直角三角形，∴PM ＝BM ，PB =√2BM ，∵BM ＝DN ，∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，{∠xxx =∠xxxxxxx =xxxx xx =xx，∴△EPM ≌△EDN （AAS ），∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =√2BM ，即BD ﹣2DE =√2BM ；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB ＝∠BCD ＝90°，∵∠CBD ＝45°，∴△BMP 是等腰直角三角形，∴BM ＝PM ＝DN ，与（1）证法类似：△EPM ≌△EDN （AAS ），∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD +PD ＝BD +2DE ，根据勾股定理得：BP =√2BM ，即BD +2DE ＝BP =√2BM ，故答案为：BD +2DE =√2BM ；（3）如图3，∵AB ∥CD ，∴AB ∥DN ，∴△ABF ∽△DNF ，∴AF ：FD ＝AB ：ND ，∵AF ：FD ＝1：2，∴AB ：ND ＝1：2，设AB ＝x ，则DN ＝2x ，∵BM ＝DN ，∴x +2＝2x ，x ＝2，∴AB ＝AD ＝2，DF =43，。

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

中考复习之—三角形与四边形练习题(含答案)

中考复习之——三角形与四边形1、三角形与平行四边形联手1，在平行四边形ABCD中, ∠ABC的平分线交C D于点E, ∠ADC的平分线交A B于例1、如图点F. 试判断A F与CE是否相等，并说明理由.解：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB=CD ，∠A=∠C，∠ADC= ∠CBA∵DF 平分∠ADC ，BE 平分∠CBA∴∠ADF=1/2 ∠ADC=1/2 ∠CBA= ∠CBE在△ADF 和△CBE 中∠A=∠CAD=BC∠ADF= ∠CBE∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF=CE2、三角形与矩形联手5，矩形ABCD 中，点 E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF⊥AE于例2、如图F，连结DE，求证：DF＝DC．证明：∵AE=AD∴∠AED=∠ADE∵AD‖BC ∴∠CED=∠ADE∴∠CED=∠AED∵∠DFE=∠C=90∠CED=∠AED（已证）DE=DE（公共边）∴△DFE≌△DCE（AAS）∴DF=DC例3、如图4所示，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为 F.（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.解：∵AB平行DC ∴∠AED=∠EDC∵CF⊥DE ∴∠DFC=∠DAE又∵DE=AB且AB=DC ∴DE=DC∵∠AED=∠EDC ∠DAE=∠DFC DE=DC∴△AED全等于△FCD∴AD=CF例4、如图6，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O点的直线EF与AB，CD 的延长线分别交于E，F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形．是菱形？证明你的结论证明：1、证明：∵矩形ABCD∴OA＝OC，AB∥CD∴∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO∴△BOE≌△DOF （AAS）2、EF⊥AC时，四边形AECF为菱形∵△BOE≌△DOF∴OE＝OF又∵OA＝OC∴平行四边形AECF∵EF⊥AC∴菱形AECF（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）例5、在矩形ABCD 中，AB=2，AD= 3．（1）在边CD 上找．一点E，使EB 平分∠AEC，并加以说明；F．E P 并延长交A B 的延长线于（2）若P 为BC 边上一点，且B P=2CP，连接①求证：点 B 平分线段A F；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．解：（1）∵∠AEB= ∠BEC=∠ABE∴∠AEB= ∠ABEAB=AE=2DE=1( 勾股定理计算)∴DE=EC=1E 是DC 的中点（2）∵⊿ECP∽⊿FBP∴EC/BF=PC/PB=1/2∴BF=2A F点B 平分线段②由（1）知⊿AED ≌⊿BEC⊿ABE 是等边三角形在⊿PEC 中tan∠PEC=√3/3∴∠PEC=30 o=∠F∴⊿AEF 是直角三角形∴AF=2AE=2AB3、三角形与正方形联手点(点G 与C、D 不重例6、如图8 所示，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG，连结B G，DE．我们探究下列B G、线段D E 的长度关系及所在直线的位置关系：图中线段D E 的长度关系及所在直线的位置关系；B G、线段（1）①猜想如图 1 中线段②将图 1 中的正方形CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a b，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（08年义乌市）（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BE DG的值．解：（1）①BG⊥DE，BG=D；E②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=D，C CG=C，E∠BCD=∠ECG=9°0，∴∠BCG∠=DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=D，E∠CBG∠=CDE，又∵∠CBG∠+BHC=9°0，∴∠CDE+∠DHG=9°0，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC/DC＝CG/CE =b/a ，又∵∠BCG∠=DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG∠+BHC=9°0，∴∠CDE+∠DHG=9°0，∴BG⊥DE．B E、DG．（3）连接根据题意，得A B=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=9°0∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25A D ，以线BC 上一动点，连接9- 甲，在△ ABC 中，∠ACB 为锐角．点 D 为射例 7、如图AD 为一边且在AD 的右侧作正方形A DEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点 D 在线段B C 上时（与点 B 不重合），如图9- 乙，线段C F、BD 之间的位置关系为▲，数量关系为▲．②当点D 在线段B C 的延长线上时，如图9- 丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？B C 上运动．试探究：当△ABC 满足一个（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90o，点D 在线段什么条件时，CF⊥BC（点C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC ＝4 2 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边D E 与线段C F 相．交于点P，求线段C P 长的最大值解：（1）①CF 与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF ，∠DAF=90o．∵∠BAC=90，o∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC，∴△DAB≌△FAC ，∴CF=BD∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90，o AB=AC ，∴∠ABC=45，o∴∠ACF=45o，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即CF⊥BD（2）画图正确当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁）．理由是：过点 A 作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即CF⊥BD（3）当具备∠BCA=45o 时，过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）∵DE与CF交于点P 时，∴此时点D位于线段C Q上，∵∠BCA=45，o可求出AQ= CQ=4．设C D=x ，∴DQ=4―x，容易说明△AQD∽△DCP，∴，∴，．∵0＜x≤ 3 ∴当x=2时，CP有最大值1．4三角形与梯形联手11，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E是CD 的中点，BE的延长线与AD 例8、已知：如图的延长线相交于点 F ．（1）求证：△BCE 和△FDE 全等（2）连结BD，CF ，判断四边形BCFD 的形状，并证明你的结论．1、证明：∵AD∥BC∴∠CFE＝∠BAE，∠FCE＝∠ABE∵E是BC的中点∴BE＝CE∴△ABE≌△FCE （AAS）∴AB＝CF2、菱形ABFC证明：∵AD∥BC，AB＝CF∴平行四边形ABFC∵△ADC沿AE折叠至△AEC，∠D＝90∴∠AEC＝∠D＝90∴AF⊥BC∴菱形ABFC例9、如图12，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是AD 的中点，求证：MB MC ．（1）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB=DC ，∠A=∠D．∵M 是AD 的中点，∴AM=DM ．在△ABM 和△DCM 中，AB ＝DC ∠A＝∠D AM ＝DM ∴△ABM ≌△DCM （SAS）．∴MB=MC ．例10、如图13 所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC 与BD 相交于点O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．解：∵ABCD 是等腰梯形∴AB=DC ∠ABC= ∠DCBBC 是公共边∴△ABC ≌△DCB(SAS)还有△ABD ≌△DCA(SAS)∵AD ‖BC ∠ABC= ∠DCB∴∠BAD= ∠CDAAD 是公共边且AB=DC∴△ABD ≌△DCA(SAS)14，在梯形ABCD 中，AD ∥BC，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF∥AB ，例11、已知：如图BF 的延长线交DC 于点E。

2021年中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形专题复习(含答案)

2021年中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形专题复习1、如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F 分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．4、如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．（1）求证：AD=BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．5、如图，是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合．将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a．（1）计算A1C1的长；（2）当α=30°时，证明：B1C1∥AB；（3）若a=，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；（4）当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．（参考数据：sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣，sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）6、如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC 与S四边形AFBD的关系；（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．7、如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．8、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a= ，b= ．如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= ，b= ．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．9、如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．10、已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．11、两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC 沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x （cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．（1）当点C落在边EF上时，x= cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．12、已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．13、已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB= ，PC= ；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）参考答案2021年中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形专题复习1、如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F 分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．解答:（1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13，设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴OE=2．3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．4、如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．（1）求证：AD=BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．解答（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，∴GA=GB，同理：GD=GC，在△AGD和△BGC中，，∴△AGD≌△BGC（SAS），∴AD=BC；（2）证明：∵∠AGD=∠BGC，∴∠AGB=∠DGC，在△AGB和△DGC中，，∴△AGB∽△DGC，∴，又∵∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF；（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：则AH⊥BH，∵△AGD≌△BGC，∴∠GAD=∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，∴∠AGB=∠AHB=90°，∴∠AGE=∠AGB=45°，∴，又∵△AGD∽△EGF，∴==．5、如图，是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合．将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a．（1）计算A1C1的长；（2）当α=30°时，证明：B1C1∥AB；（3）若a=，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；（4）当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．（参考数据：sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣，sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）解：（1）在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=a，由特殊锐角三角函数可知：，∴BC=．∴B1C=在Rt△A1B1C1，∠B1=∠45°，∴．∴A1C1==．（2）∵∠ACM=30°，∠A=60°，∴∠BMC=90°．∴∠C1=∠BMC．∴B1C1∥AB．（3）如下图：由（1）可知：A1C1===3+∴△A1B1C1的面积==∵∠A1B1C1=45°，∠ABC=30°∴∠MBC1=15°在Rt△BC1M中，C1M=BCtan15°=（3+）（2﹣）=3﹣，∴Rt△BC1M的面积===3．∴两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积=3+3．（4）由（1）可知：BC=，A1C1=，∴C1F=A1C1•tan30°=a，∴==×a×a=a2，∵∠MCA=60°，∠A=60°，∴∠AMC=60°∴MC=AC=MA=a．∴C1M=C1A1﹣MC=．∵∠MCA=60°，∴∠C1A1B=30°，∴∠C1MD=∠B+∠C1A1B=60°在Rt△DC1M中，由特殊锐角三角函数可知：C1D=C1M•tan60°=a，∴=C1M•C1D=a2，两个三角板重叠部分图形的面积=﹣=C1M=a2﹣a2=a2．6、如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC 与S四边形AFBD的关系；（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．解：（1）S△ABC =S四边形AFBD，理由：由题意可得：AD∥EC，则S△ADF =S△ABD，故S△ACF =S△ADF=S△ABD，则S△ABC =S四边形AFBD；（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，理由如下：∵F为BC的中点，∴CF=BF，∵CF=AD，∴AD=BF，又∵AD∥BF，∴四边形AFBD为平行四边形，∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，∴平行四边形AFBD为矩形，∵∠BAC=90°，F为BC的中点，∴AF=BC=BF，∴四边形AFBD为正方形；（3）如图3所示：由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理得：CG=k，sin∠CGF===．7、如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，∴∠ACM=∠BCN，在△MAC和△NBC中，，∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=90°，又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，∴∠NDE=90°；（2）不变，在△MAC≌△NBC中，，∴△MAC≌△NBC，∴∠N=∠AMC，又∵∠MFD=∠NFC，∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；（3）作GK⊥BC于K，∵∠EAC=15°，∴∠BAD=30°，∵∠ACM=60°，∴∠GCB=30°，∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，∠AMG=75°，∴AM=AG，∵△MAC≌△NBC，∴∠MAC=∠NBC，∴∠BDA=∠BCA=90°，∵BD=，∴AB=+，AC=BC=+1，设BK=a，则GK=a，CK=a，∴a+a=+1，∴a=1，∴KB=KG=1，BG=，AG=，∴AM=．8、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a= 2，b= 2．如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= 2，b= 2．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．解：（1）∵AH⊥BE，∠ABE=45°，∴AP=BP=AB=2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=AB=，∴∠PFE=∠PEF=45°，∴PE=PF=1，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE=BF==，∴AC=BC=2，∴a=b=2，如图2，连接EF，同理可得：EF=×4=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴，在Rt△ABP中，AB=4，∠ABP=30°，∴AP=2，PB=2，∴PF=1，PE=，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE=，BF=，∴a=2，b=2，故答案为：2，2，2，2；（2）猜想：a2+b2=5c2，如图3，连接EF，设∠ABP=α，∴AP=csinα，PB=ccosα，由（1）同理可得，PF=PA=，PE==，AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，∴+=+c2cos2α+c2sin2α+，∴a2+b2=5c2；（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EF∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴∠EAH=∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=AD，BF=BC，∴AE=BF=CF=AD=，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=3，AP=PF，在△AEH和△CFH中，，∴△AEH≌△CFH，∴EH=FH，∴EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，∴AF2=5﹣EF2=16，∴AF=4．9、如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴，∴．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案为：．（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC 于点P，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，在△ABC和△CDA中，∴BP=DQ，BP∥DQ，PQ⊥DQ，∴四边形BDQP为矩形，∴BD=PQ=AC﹣AP﹣CQ==．综上所述，BD的长为4或10、已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．解答：（1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2．∵α=90°，∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形，∴∠APP1=∠BPP2=45°，∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°；（2）证明：由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣，∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°）=α，在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α，又∵∠PP2P1=∠AP2P，∴△P2P1P∽△P2PA．（3）证明：如图，连接QB．∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线，∴EB=BP，FB=BP2．又BP=BP2，∴EB=FB．在Rt△QBE和Rt△QBF中，，∴Rt△QBE≌Rt△QBF，∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=，由中垂线性质得：QP=QB，∴∠QPB=∠QBE=，由（2）知∠APP1=90°﹣，∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣）=90°，即 P1P⊥PQ．11、两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC 沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x （cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．（1）当点C落在边EF上时，x= 15 cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．解：（1）如图1所示：作CG⊥AB于G点．，在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得BC==6．在Rt△BCG中，BG=BC•cos30°=9．四边形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答案为：15；（2）①当0≤x＜6时，如图2所示．，∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得DG=x，BG=x，重叠部分的面积为y=DG•BG=×x×x=x2②当6≤x＜12时，如图3所示．，BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．重叠部分的面积为y=S△BDG ﹣S△BEH=DG•BG﹣BE•EH，即y=×x×x﹣（x﹣6）（x﹣6）化简，得y=﹣x2+2x﹣6；③当12＜x≤15时，如图4所示．，AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），重叠部分的面积为y=S△ABC ﹣S△BEG=AC•BC﹣BE•EG，即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），化简，得y=18﹣（x2﹣12x+36）=﹣x2+2x+12；综上所述：y=；（3）如图5所示作NG⊥DE于G点．（4），点M在NG上时MN最短，NG是△DEF的中位线，NG=EF=．MB=CB=3，∠B=30°，MG=MB=，MN最小=3﹣=．12、已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN ；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．解：（1）①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN．理由如下：在△ADN与△ABM中，，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN=AM，∠NAD=∠MAB，∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，∴∠NAD=∠MAB=（360°﹣135°﹣90°）=67.5°，作AE⊥MN于E，则MN=2NE，∠NAE=∠MAN=67.5°．在△ADN与△AEN中，，∴△ADN≌△AEN（AAS），∴DN=EN，∵BM=DN，MN=2EN，∴MN=BM+DN．故答案为MN=BM+DN；②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．在△ANM与△ANP中，，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；（2）如图3，以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDA=∠DBA=45°，∴∠MDA=∠NBA=135°．∵∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°，∴∠1=∠3．在△ANB与△MAD中，，∴△ANB∽△MAD，∴=，∴AB2=BN•MD，∵AB=DB，∴BN•MD=（DB）2=BD2，∴BD2=2BN•MD，∴MD2+2MD•BD+BD2+BD2+2BD•BN+BN2=MD2+BD2+BN2+2MD•BD+2BD•BN+2BN•MD，∴（MD+BD）2+（BD+BN）2=（DM+BD+BN）2，即MB2+DN2=MN2，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．13、已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB= ，PC= 2 ；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为PA2+PB2=PQ2；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）解：（1）如图①：①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+∴AB===+，∵PA=，∴PB=，作CD⊥AB于D，则AD=CD=，∴PD=AD﹣PA=，在RT△PCD中，PC==2，故答案为，2；②如图1．∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB．∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DC•PD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DC •PD+PD2∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，∴AP2+BP2=2PC2．∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2=PQ2．∴AP2+BP2=PQ2（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB．∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DC•PD+PD2，PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DC•PD+PD2，∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，∴AP2+BP2=2PC2．∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2=PQ2．∴AP2+BP2=PQ2．（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．①当点P位于点P处时．1∵，∴．∴．D中，由勾股定理得：==DC，在Rt△CP1在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，∴=．处时．②当点P位于点P2∵=，∴．D中，由勾股定理得：==，在Rt△CP2在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，∴=．综上所述，的比值为或已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．。

2022年人教版中考数学一轮复习：三角形+四边形压轴专项练习题(Word版,含答案)

2022年人教版中考数学一轮复习：三角形+四边形压轴专项练习题三角形压轴专项练习题1．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正确的有．（将所有正确的序号填在横线上）．【延伸应用】（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．2．（1）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC＝90°；（2）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且∠BDC ＝90°，求证：∠ADB＝45°；（3）如图3，等边△ABC中，D是△ABC外一点，且∠BDC＝60°，①∠ADB的度数；②DA，DB，DC之间的关系．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在点E的运动过程中，若AF＝，求线段CE的长．4．定义：如果一个直角三角形的两条直角边的比为2：1，那么这个三角形叫做“倍直角三角形”．（1）如图1，下列三角形中是“倍直角三角形”的是；（2）已知“倍直角三角形”的一条直角边的长度为2，则另一条直角边的长度为；（3）如图2，正方形网格中，已知格点A、B、C、D，找出格点E，使△ABE、△CDE都是“倍直角三角形”，这样的点E共有个；（4）如图3，正方形网格中，已知格点A、B，找出格点C，使△ABC是“倍直角三角形”，请画出所有满足条件的点C．5．如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）如图1，若AB＝2AC，求AE的长；（2）如图2，若∠B＝30°，求△CEF的面积；（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC6．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点，FD⊥ED．（1）如图1，若点E在线段AB上，点F在线段AC上．请探究出线段AE，AF，AB的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若点E在线段AB的延长线上，点F在线段CA的延长线上．请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请探究出此时线段AE，AF，AB的数量关系，并加以证明．7．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．8．如图所示，正方形ABCD的边长是4，点E是边BC上的一个动点且∠AEF＝90°，EF 交DC于点G，交正方形外角平分线CF于点F，点M是AB的中点，连接EM．（1）求证：∠BAE＝∠FEC；（2）若E为BC的中点，求证：AE＝EF；（3）点E在何位置时线段DG最短，并求出此时DG的值．9．已知，在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B点作互相平行的直线AM、BN，过点C 的直线分别交直线AM、BN于点D、E．（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，求证：AD+DC＝BE．10．（1）问题提出：如图1，已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P是AD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）问题探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝，在三角形内有一点P满足∠APB＝∠BPC＝120°，求PA+PB+PC的值．（3）问题解决：如图3，某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了3个特色农产品种植基地A，B，C．现需根据产品中转点P修建通往种植基地A，B，C的道路PA，PB，PC，方便农产品的储藏运输，根据地质设计，PB路段每米造价是PA的倍，PC路段每米造价是PA的2倍．已知AB＝BC＝2000米，∠ABC＝30°，要使修建3条道路费用最小，即求PA+PB+2PC的最小值．11．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．①求证：BD＝CM；②若∠CMD＝90°，求的值；（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE 的长．12．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．13．如图在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（﹣2，0）、C（b，0）且（a+b﹣7）2+＝0（1）求点A、C的坐标；（2）求△ABC的面积S△ABC；（3）当点P的坐标是（m，4）且S△ABP＝S△ABC时，求m的值．14．如图，已知AB∥CD，∠1+3＝90°，BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE，试说明AB∥EF的理由．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（）．∵∠1+∠3＝90°（已知），∴∠2+∠3＝90°（）．即∠BCF＝90°．∵＝180°（三角形内角和等于180°），∴＝90°（等式性质）．∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），∴（）．∴∠ABF+∠BFE＝180°（）．∴AB∥FE（）．参考答案1．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，①正确，∠ADB＝∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE＝∠DGO，∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，∴∠DOE＝∠DAE＝60°，∴∠BOC＝60°，②正确，在OB上取一点F，使OF＝OC，连接CF，∴△OCF是等边三角形，∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACO，∵AB＝AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正确，连接AF，要使OC＝OE，则有OC＝CE，∵BD＝CE，∴CF＝OF＝BD，∴OF＝BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF＝∠OFC＝60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP＝DB，∵∠BDC＝60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD＝BP，∠DBP＝60°，∵∠ABC＝60°＝∠DBP，∴∠ABD＝∠CBP，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP＝∠A，∵∠BCD+∠BCP＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°．2．（1）证明：如图1，设BD与AC交于点F，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ACD+∠CFD＝90°，∴∠BDC＝90°；（2）如图2，过A作AE⊥AD交BD于E，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°；（3）①如图3，在形内作∠DAE＝60°，AE交BD于E点，与（2）同理△ABE≌△ACD，∴AE＝DA，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°；②∵BE＝DC，∴DB＝BE+DE＝DA+DC．3．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠CAD＝45°，∵△EFD是等腰直角三角形，∴∠EFD＝∠AFE＝90°，∴∠AEF＝180°﹣∠CAD﹣∠AFE＝45°，∴∠EAF＝∠AEF，∴AF＝EF；（2）解：当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论AF＝EF仍然成立，理由如下：如图2，取AC的中点G，连接DG，FG，在Rt△ADC中，∴DG＝CG＝AG，∴∠GDC＝∠C＝45°，∴∠DGC＝90°，∴△DGC是等腰直角三角形，∵△DFE是等腰直角三角形，∴＝，∵∠FDG＝∠FDE+∠EDG＝45°+∠EDG，∠EDC＝∠GDC+∠EDG＝45°+∠EDG，∴∠FDG＝∠EDC，∴△FDG∽△EDC，∴∠FGD＝∠ECD＝45°，∴∠FGA＝45°，在△FGA和△FGD中，，∴△FGA≌△FGD（SAS），∴AF＝DF，∵DF＝EF，（3）在Rt△ABC中，BC＝14，D是BC中点，∴AD＝7，取AC的中点G，连接DG，FG，设直线FG与AD相交于点P，由（2）可知∠FGD＝45°＝∠GDC，∴FG∥DC，∴GP⊥AD且AP＝DP＝PG＝AD＝，在Rt△APF中，AP＝，AF＝，∴PF＝＝＝，①如图2，当点F落在线段AD左侧时，FG＝4，∵△FDG∽△EDC，∴＝，∴EC＝4；②如图3，当点F落在线段AD的右侧时，∴FG＝PG﹣PF＝DP﹣PF＝3.5﹣0.5＝3，同理得△FDG∽△EDC，∴＝，综上，EC的长是4或3．4．解：（1）如图1中，∵AB＝，BC＝，AC＝3，∴AB2+BC2≠AC2，∴△ABC不是倍直角三角形，∵DF＝2，DE＝4，EF＝2，∴DF2+DE2＝EF2，∴∠FDE＝90°，∵DE＝2DF，∴△DEF是倍直角三角形，∵∠GHI＝90°，GH＝5，HL＝3，∴GH≠2HI，∴△GHI不是倍直角三角形，故答案为：△DEF．（2）∵“倍直角三角形”的一条直角边的长度为2，∴另一条直角边的长度为1或4，故答案为：1或4．（3）如图2中，满足条件的点E共有4个，故答案为：4．（4）如图3中，满足条件的点C共有5个．5．（1）解：如图1中，∵AB＝2AC，AC＝8，∴AB＝16，∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝8，∵AE⊥BC，∴S△ABC＝•BC•AE＝•AC•AB，∴AE＝＝．（2）解：如图2中，在CE上取一点T，使得FJ＝CJ，连接FJ．∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∵AE⊥BC，AC＝8，∴CE＝AC•cos60°＝4，∵∠DCA＝45°，∴∠FCE＝∠ACE﹣∠ACD＝15°，∵JF＝JC，∴∠JFC＝∠JCF＝15°，∴∠EJF＝∠JFC+∠JCF＝30°，设EF＝m，则FJ＝JC＝2m，EJ＝m，∴m+2m＝4，∴m＝4（2﹣），∴EF＝4（2﹣），∴S△ECF＝×4×4（2﹣）＝8（2﹣）．（3）证明：如图3中，过A点作AM⊥CD于点M，与BC交于点N，连接DN．∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴AM⊥CD，AM＝DM＝CM，∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴DN＝CN，∴∠NDM＝∠NCM，∵AE⊥BC，∴∠ECF+∠EFC＝∠MAF+∠AFM＝90°，∵∠AFM＝∠EFC，∴∠MAF＝∠ECF，∴∠MAF＝∠MDN，∵∠AMF＝∠AMN，∴△AMF≌△DMN（ASA），∴AF＝DN＝CN，∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴∠NAP＝∠CDB＝135°，∵∠MAF＝∠MDN，∴∠PAF＝∠BDN，∵AP＝DB，∴△APF≌△DBN（SAS），∴PF＝BN，∵AF＝CN，∴PF+AF＝CN+BN，即PF+AF＝BC．6．解：（1）AE+AF＝AB，理由如下：连接AD，如图1所示：∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点，∴∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC，∠DAF＝∠BAC＝45°，AD＝BC＝BD，∴∠B＝∠DAF，∠ADB＝90°，又∵FD⊥ED，∴∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AE+BE＝AB，∴AE+AF＝AB；（2）AB+AF＝AE，理由如下：连接AD，如图2所示：同①得：∠BDE＝∠ADF，AD＝BD，∠ABD＝∠CAD＝45°，∴∠DBE＝∠DAF＝135°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB+BE＝AE，∴AB+AF＝AE．7．解：（1）BP＝2t，则PC＝10﹣2t；故答案为（10﹣2t）；（2）存在．分两种情况讨论：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ．因为AB＝6，所以PC＝6．所以BP＝10﹣6＝4，即2t＝4．解得t＝2．因为CQ＝BP＝4，v×2＝4，所以v＝2．②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP．因为PB＝PC，所以BP＝PC＝BC＝5，即2t＝5．解得t＝2.5．因为CQ＝BA＝6，即v×2.5＝6，解得v＝2.4．综上所述，当v＝2.4或2时，△ABP与△PQC全等．8．解：（1）∵正方形ABCD，∴∠B＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，（2）证明：∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠DCG＝90°，∵E为BC的中点，∴AM＝EC＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF平分∠DCG，∴∠DCG＝∠FCG＝45°，∴∠ECF＝180°﹣∠FCG＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，又∠AEB+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF，（3）设BE＝x，CE＝4﹣x，由（1）知，∠BAE＝∠GEC，∵∠B＝∠ECG＝90°，∴△ABE∽△GEC，∴，∴，∴GC＝，∴DG＝4﹣＝x2﹣x+4＝（x﹣2）2+3，∴当x＝2即E为BC中点时，线段DG最短，DG的最小值为3．9．证明：（1）如图1，延长AC交BN于点F，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，又∵AB⊥AM，∴∠BAM＝90°，又∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠AFB，∴BC＝CF，∴AC＝FC，又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，，∴△ADC≌△FEC（ASA），∴DC＝EC；（2）如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等边三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC与△HCB中，，∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD．10．解：（1）如图1，过点P作PM⊥AC于M，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∴PM＝PA，∴PB+PA＝PB+PM，∴当B，P，M三点共线时，PB+PA的值最小，此时，BM⊥AC，∵AB＝2，∠BAC＝60°，∴BM＝＝，故答案为：；（2）如图2，把△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BEF，连接PE，由旋转得：PB＝BE，∠CBF＝∠PBE＝60°，∠BPC＝∠BEF＝120°，PC＝EF，∴△PBE是等边三角形，∴∠BPE＝∠BEP＝60°，PB＝PE，∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝30°+60°＝90°，∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴∠APB+∠BPE＝∠BEF+∠BEP＝120°+60°＝180°，∴A，P，E，F四点共线，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，AC＝，∴BC＝BF＝2，AB＝AC＝，在Rt△ABF中，AF＝＝＝7，∴PA+PB+PC＝PA+PE+FE＝AF＝7；（3）如图3，把△BPC绕点B顺时针旋转60°并扩大2倍得到△BED，连接AD，取BE的中点F，连接PF，PE，由旋转得：∠PBE＝∠CBD＝60°，BE＝2PB，DE＝2PC，BD＝2BC＝4000，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝30°+60°＝90°，∵BF＝BP，∴△BPF是等边三角形，∴BF＝EF＝PF，∴∠BPE＝90°，PE＝PB，∴PA+PB+2PC＝PA+PE+DE≥AD（当点A，P，E，D共线时取等号），在Rt△ABD中，AD＝＝＝2000（米）；∴PA+PB+2PC的最小值是2000米．11．（1）①证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAM＝120°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAM，∵AB＝AC，AD＝AM，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴BD＝CM；②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝30°，由①知：△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝30°，∴∠DCM＝60°，∵∠CMD＝90°，∴∠CDM＝30°，∴CM＝CD，∵BD＝CM，∴＝；（2）解：解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，∴EG＝CE＝，CG＝，∵AC＝AB＝2，∴AG＝AC﹣CG＝2﹣＝，∵AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴AF＝AC＝，∵∠DAE＝∠FAC＝60°，∴∠DAF＝∠EAG，∵∠AFD＝∠AGE＝90°，∴△ADF∽△AEG，∴，即＝，∴DF＝，由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，∴，解得：EF＝2或﹣2（舍），∴DE＝DF+EF＝+2＝；解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，由（1）同理得△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，∴∠MCQ＝60°，Rt△QMC中，CQ＝CM，设CQ＝x，则CM＝2x，QM＝x，∴EQ＝x﹣1，∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，∴∠DAE＝∠EAM，∵AD＝AM，AE＝AE，∴△ADE≌△AME（SAS），∴EM＝DE＝5﹣2x，由勾股定理得：EM2＝EQ2+QE2，∴（x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2，解得：x＝，∴DE＝5﹣2x＝．12．（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，∴∠A+∠C＝2∠E，∵∠A＝28°，∠C＝32°，∴∠E＝30°；（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．理由：∵∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，即∠A+2∠C＝3∠E．13．解：（1）∵（a+b﹣7）2+＝0，∴，解得，∴A（0，3），C（4，0）；（2）∵A（0，3）、B（﹣2，0）、C（4，0），∴BC＝6，OA＝3，∴S△ABC＝＝9；（3）当P点在第一象限，则PC∥AB，如图，作PM⊥x轴于M，∵PC∥AB，∴∠ABO＝∠PCM，∵∠AOB＝∠PMC，∴△AOB∽△PMC，∴＝，即＝，∴CM＝，∴OM＝OC+CM＝＝，∴m＝，当P点在第二象限，同理求得，综上，m的值为﹣或．14．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∵∠1+∠3＝90°（已知），∴∠2+∠3＝90°（等量代换）．即∠BCF＝90°．∵∠BCF+∠4+∠5＝180°（三角形内角和等于180°），∴∠4+∠5＝90°（等式性质）．∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），∴∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4（角平分线的定义）．∴∠ABF+∠BFE＝180°（等式的性质）．∴AB∥FE（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为两直线平行，内错角相等；等量代换；∠BCF+∠4+∠5；∠4+∠5；∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4；角平分线的定义；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行．2022年人教版中考数学一轮复习：四边形压轴专项练习题1．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．2．在▱ABCD中，点M为AB的中点．（1）如图1，若∠A＝90°，连接DM且∠BMD＝3∠ADM，试探究AB与BC的数量关系；（2）如图2，若∠A为锐角，过点C作CE⊥AD于点E，连接EM，∠BME＝3∠AEM，①求证：AB＝2BC；②若EA＝EC，求的值．3．如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，0），B（0，4）．（Ⅰ）点C的坐标是（，）；（Ⅱ）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转90°得OFDE，DF交OC于点P，交y 轴于点F，求△OPF的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平行四边形O'F'D'E′与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系式，并直接写出x的取值范围．4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．（1）求证：△EGF≌△EDF；（2）求证：BG＝CD；（3）若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．5．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是；位置关系是；（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．6．如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ 交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）求DE的长；（3）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．7．如图，四边形ABCD是矩形，点E在AB边上，且BC＝BE，连接EC、AC，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG分别交EC、DC于F、H两点．（1）如图1，若BC＝2，∠ECA＝15°，求线段EF的长．（2）如图2，延长AB到M，连接MF，使得∠BMF＝∠FBC，求证：BF+FM＝AC．（3）如图3，在（1）的条件下，点N是线段DC的三等分点，且DN＜CN，点P是线段AD的中点，连接AN，将△ADN绕点D逆时针旋转α°（0≤α≤360）到△A'DN'，连接PA'，NA'，当3NA'﹣PA'取最大值时，请直接写出△A'DH的面积．8．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系，位置关系；（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG 绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D 逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．9．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．10．如图，正方形ABCD和正方形DEFG有公共顶点D．（1）如图1，连接AG和CE，直接写出AG和CE的关系；（2）如图2，连接AE，M为AE中点，连接DM、CG，探究DM、CG的关系，并说明理由；（3）如图3，若AB＝4，DE＝2，直线AG与直线CE交于点P，请直接写出AP的取值范围：．11．在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C、D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN＝4，求线段PM的长度；（2）如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P'处，AB的中点为Q，直接写出P'Q的最小值．12．如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处．（1）如图①，若AB＝8，AD＝6，点F恰好落在矩形的对角线BD上，求线段BF的长；（2）如图②，连接BF，若△BEF为等边三角形，求的值；（3）如图③，已知E为AB中点，tan∠ADE＝，连接BF，FC，若△ADE的面积为S，求△BFC的面积．（结果用关于S的代数式表示）13．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD边于点E，连接BE．（1）如图1，求证：BD平分∠EBC；（2）如图2，延长EO交BC于点F，当BF＝2AE时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于CD的线段．14．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．（2）当射线PE与边AB交于点Q时，①请直接写出AQ长的取值范围：；②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．15．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．参考答案1．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，在△AMD和△CFD中，，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，在△EDF和△EDM中，，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；（2）EF2＝AE2+CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，在△EDF和△EDN中，，∴△EDF≌△EDN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．2．解：（1）BC＝AB，理由如下：∵∠BMD＝3∠ADM，∴∠A+∠ADM＝3∠ADM，∴∠A＝2∠ADM，∵∠A＝90°，∴∠ADM＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，∴AD＝BC，AM＝AB，∴BC＝AB；（2）①取CD的中点N，连接MN并延长交CE于F，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，N是CD的中点，∴DN＝CN＝CD＝AB＝AM＝BM，CD∥AB，∴四边形AMND、四边形BCNM是平行四边形，∴MN∥AD∥BC，∴＝，∠AEM＝∠EMF，∠CMF＝∠MCB，∴EF＝CF，∵CE⊥AD于点E，∴MN⊥CE，∴MF是CE的垂直平分线，∴ME＝MC，∴∠EMF＝∠CMF，设∠AEM＝α，则∠EMF＝∠CMF＝∠MCB＝α，∠EMC＝2α，∵∠BME＝3∠AEM，∴∠BME＝3α，∴∠BMC＝∠BME﹣∠EMC＝α，∴∠BMC＝∠MCB＝α，∴BC＝BM＝AB，∴AB＝2BC；②如图：由①知：AB＝2BC，∴CD＝2AD设ED＝x，EC＝y，则EA＝y，AD＝y﹣x，CD＝2（y﹣x），Rt△CDE中，ED2+EC2＝CD2，∴x2+y2＝4（y﹣x）2，化简整理得：3x2﹣8xy+3y2＝0，解得x＝y或x＝y，∵DE＜AE，∴x＝y，∴＝，即＝．3．解：（Ⅰ）∵A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC＝OA＝3，BC∥OA，AB∥OC，∴点C的坐标为：（﹣3，4）；故答案为：﹣3，4；（Ⅱ）由旋转的性质，可得：OD＝OB＝4，OF＝OA＝3，∠ODF＝∠OBA，∠OFD＝∠OAB，∵∠BOD＝90°，∴S△DOF＝OD•OF＝×4×3＝6，DF＝＝＝5，∵AB∥OC，∴∠OBA＝∠BOC，∴∠ODF＝∠BOC，∵∠OFP＝∠DFO，∴△OFP∽△DFO，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△OPF＝S△DOF＝×6＝；（Ⅲ）如图，重叠部分为五边形时，F′必须位于点B上方，∵OF＝3，OB＝4，∴d＞1，当点C在D′F′上时，重叠部分不构成五边形，设此时直线D′F′的解析式为y＝x+b，将C（﹣3，4）代入，得4＝×（﹣3）+b，解得：b＝，∴直线D′F′的解析式为y＝x+，令x＝0，得y＝，∴F′（0，），∴OF′＝，∴FF′＝OF′﹣OF＝﹣3＝，∴d＜，∴1＜d＜；∵＝sin∠F′OC＝，∴P′F′＝F′O＝（d+3），同理可得：P′O＝（d+3），∴S△F′P′O＝P′F′•P′O＝×（d+3）×（d+3）＝（d+3）2，∵＝cos∠D′F′O＝，BF′＝d﹣1，∴HF′＝（d﹣1），∵＝sin∠D′F′O＝，∴HB＝HF′＝×（d﹣1）＝（d﹣1），∴S△HBF′＝BF′•HB＝×（d﹣1）×（d﹣1）＝（d﹣1）2，∵OO′＝d，∴O′G＝OO′•sin∠BOC＝d，OG＝OO′•cos∠BOC＝d，∴S△OGO′＝O′G•OG＝×d×d＝d2，∴S＝S△F′P′O﹣S△HBF′﹣S△OGO′＝（d+3）2﹣（d﹣1）2﹣d2＝﹣d2+d+，∴S＝﹣d2+d+（1＜d＜）．4．（1）证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴△ABE≌△GBE，∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝∠D＝90°，∵EA＝ED，∴EG＝ED，在Rt△EGF和Rt△EDF中，，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；（2）证明：由折叠性质可得，AB＝BG，∵AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴BG＝DC．（3）解：由折叠可知AB＝GB，由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF，又∵∠C＝90°，AB＝CD，FD＝CF，∴GB＝2GF，BF+GF＝3GF，∵BF2＝BC2+CF2，∴（3GF）2＝64+GF2，∴GF＝2，∴CD＝2GF＝4．5．解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，∵△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AQB+∠ABE＝90°，∴∠AQB+∠ADG＝90°，∵∠AQB＝∠DQH，∴∠DQH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：DG＝BE，DG⊥BE；（2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴＝＝，∠ABE＝∠ADG，∴DG＝2BE，∵∠AKB+∠ABE＝90°，∴∠AKB+∠ADG＝90°，∵∠AKB＝∠DKH，∴∠DKH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）设EG与AD的交点为M，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得：EG＝＝，∵AB＝，∴EG＝AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上，如图5，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝＝2，由（2）知，△ABE∽△ADG，∴＝＝，即＝，∴DG＝4．6．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），解得：t＝2，即t＝2s时，△BPQ是直角三角形；。

2023年河南省各地市中考数学三模压轴题精选之四边形和相似三角形(含解析)

2023年河南省各地市中考数学三模压轴题精选之四边形和相似三角形1.(2023·河南省商丘市·三模)如图，平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作∠ABO的平分线，交OA于点P，交AC于点Q.若OP=2，则点Q的坐标为( )A. (3,2)B. (2+1,1)C. (2+2,2)D. (3,1)2.(2023·河南省天宏大联考·三模)如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若∠ABC=120°，AB=2，则PE―PF的值为( )A. 32B. 3 C. 2 D. 523.(2023·河南省天一大联考·三模)如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF//AB交AC于点E，交BC于点F，若AD=5，则DF的长为( )A. 32B. 3+3C. 4+3D. 3+324.(2023·河南省天宏大联考·三模)如图，在△ABC中，OA=4，OB=3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ=∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是______．5.(2023·河南省天一大联考·三模)如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，BC=1，点E是直线AB上一点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠，点B落在点B′处，若四边形BEB′C是菱形，则CE的长为______．6.(2023·河南省商丘市·三模)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD=6，∠ABD=30°，点E为CD 的中点，点P为BC，AB上一个动点，将△PEC沿PE折叠得到△PEQ，点C的对应点为点Q，当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，PC的长为______．7.(2023·河南省郑州市外国语学校·三模)如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，点E是边AC 上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是．8.(2023·河南省郑州一中·三模)如图，在△ABC中，AB=AC=3+1，∠BAC=120°，P、Q是边BC上两点，将△ABP沿直线AP折叠，△ACQ沿直线AQ折叠，使得B、C的对应点重合于点R.当△PQR为直角三角形时，线段AP的长为______．9.(2023·河南省洛阳市·三模)如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F.且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H.EN=1，AB=4，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．10.(2023·河南省濮阳市·三模)矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为______．11.(2023·河南省商丘一中·三模)折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A=60°，AC=1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPB，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC 时，AP的长为______．12.(2023·河南省驻马店市二中·三模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，AC=12，E为AB上的点，将EB绕点E在平面内旋转，点B的对应点为点D，且点D在△ABC的边上，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．13.(2023·河南省驻马店市确山县·三模)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=23，∠B=30°，点D在AB上且AD=2，点P为AC的中点，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ、DQ.当∠DAQ=60°时，DQ的长为______．14.(2023·河南省周口市西华县·三模)如图1，将两个等腰直角△ABC和△DEF如图1放置，∠C=∠F=90°，AC=DF=2，D为AB的中点.如图2，将△DEF绕点D在平面内旋转，当△DEF的边恰好经过点C时，AF的长为______．15.(2023·河南省天宏大联考·三模)(1)如图1，正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB>DE)，连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系______，位置关系______；(2)如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG，3AB=2DE，DC=DG，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，连接AG，CE交于点H，(1)中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG=6，3AB=2DE=12，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，直线AG，CE交于点H，当点B、E、G在同一条直线上时，请直接写出线段BE的长．16.(2023·河南省天一大联考·三模)综合与实践【问题发现】(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于点O.试猜想线段EG与FH的数量关系为______；【类比探究】(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，连接EG，FH，且EG⊥FH，垂足为O.试写出线段EG与FH的数量关系，并说明理由；【拓展应用】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=60°，点M，N分别在边AB，BC上，连接CM，DN，且CM⊥DN，垂足为O.已知AB=3，BC=DC=4，若点M为AB的三等分点，直接写出线段DN的长．17.(2023·河南省郑州市外国语学校·三模)【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图1，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6，点M和点P分别是斜边AB上的动点，并且满足AM=BP，分别过点M和点P作AC边的垂线，垂足分别为点N和点Q，那么MN+PQ的值是一个定值．问题：若AM=BP=2时，MN+PQ值为______；【操作探究】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AB=m；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当AM=BP时，MN+PQ的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图2进行证明，并用含α和m的式子表示MN+PQ的值．【解决问题】如图3，在菱形ABCD中，AB=8，BD=14.若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM=BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为______．18.(2023·河南省郑州市十九中·三模)如图，在矩形ABCD中，点M、N分别为AD、BC上的点，将矩形ABCD 沿MN折叠，使点B落在CD边上的点E处(不与点C，D重合)，连接BE，过点M作MH⊥BC于点H．(1)如图①，若BC=AB，求证：△EBC≌△NMH；(2)如图②，当BC=2AB时，①求证：△EBC∽△NMH；②若点E为CD的三等分点，请直接写出AM的值．BN【问题背景】如图(1)，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边上的点C′处．(1)【问题解决】填空：AC′的长为______；(2)如图(2)，展开后，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C′的对应点与点B重合，得到△D′BE′，D′E′与BC 交于点F，求线段EF的长．(3)【拓展探究】如图(3)，在△DC′E沿射线AB向右平移的过程中，设点C′的对应点为C″，则当△D′C″E′在线段BC上截得的线段PQ的长度为1时，直接写出平移的距离．=k，F是AC边上一动点，将△AFB沿着BF翻折得点A 【问题情景】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,ACBC的对应点D，连接CD，将射线CD绕点C顺时针旋转90°交BF于点E．【问题发现】(1)如图1，若k=1，设∠ABF=α．①求∠DAC的度数.(用含α的式子表示)②求证：CD=CE．【拓展应用】(2)如图2，若k=3，BC=2，在点F移动的过程中，当△ACD为直角三角形时，请直接写出BE的长．21.(2023·河南省商丘一中·三模)如图，矩形ABCD中，点M为CD上一点，AM⊥BM，点P为直线CD上一个动点，将射线PB绕点P逆时针旋转90°交直线AM于点Q．(1)当△AMB为等腰直角三角形时，①如图1，当点Q落在线段MA上时，试判断MB，MQ，MP的数量关系______；②如图2，当点Q落在射线MA上时，①中的结论是否变化，若不变，请证明.若变化，请说明理由；(2)如图3，若其他条件不变，Rt△AMB中，∠ABM=60°，AB=4，MQ=3，请直接写出MP的长．22.(2023·河南省周口市西华县·三模)实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．(1)折痕BM______(填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答______；进一步计算出∠MNE=______；(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN=______；拓展延伸：(3)如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA′交ST于点O，连接AT、A′S.求证：四边形SATA′是菱形．解决问题：(4)如图④，矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB 边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值______．23.(2023·河南省驻马店二中·三模)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是(美)乔治⋅波利亚.本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题(有些是非数学的))进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型．共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形．共高定理：如图①，设点M在直线AB上，点P为直线外一点，则有S△PAMS△PBM =AMBM．下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作PQ⊥AB于点Q，……按要求完成下列任务：(1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明；(2)如图②，△ABC，①画出∠BAC的平分线(不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)；②若∠BAC的平分线交BC于D，求证：ABAC =BDCD．(3)如图③，E是平行四边形ABCD边CD上一点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，CF，若△ADE的面积为2，则△CEF的面积为______．24.(2023·河南省新乡市封丘县·三模)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：正方形透明纸片ABCD，点E在BC边上，如图1，连接AE，沿经过点B的直线折叠，使点E的对应点E′落AE在上，如图2，把纸片展平，得到折痕BF，如图3，折痕BF交AE于点G．根据以上操作，请直接写出图3中AE与BF的位置关系：______，BE与CF的数量关系：______．(2)迁移探究小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下：将矩形透明纸片ABCD按照(1)中的方式操作，得到折痕BF，折痕BF交AE于点G，如图4.若mAB=nAD，改变点E在BC上的位置，那么BFAE 的值是否能用含m，n的代数式表示？如果能，请推理BFAE的值，如果不能，请说明理由；(3)拓展应用如图5，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D 向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：______，点G的运动路径长度为：______(直接写出答案即可)．参考答案1.【答案】B【解析】解：如图，过顶点P作PE⊥OB于点E，∵四边形ABCD为正方形，∴OC=BC=AB=OA，∠OAB=90°，∴∠AOB=45°，∵PE⊥OB，∴△OPE为等腰直角三角形，∴PE=OP2=22=2，∵BP为∠ABO的平分线，PA⊥AB，PE⊥OB，∴PE=PA=2，∴OA=OP+PA=2+2，∴C(0,2+2)，A(2+2,0)，P(2,0)，B(2+2,2+2)，设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将C(0,2+2)，A(2+2,0)代入得，b=2+2(2+2)k+b=0，解得：k=―1b=2+2，∴直线AC的解析式为y=―x+2+2，设直线BP的解析式为y=mx+n(m≠0)，将P(2,0)，B(2+2,2+2)代入得，2m+n=0(2+2)m+n=2+2，解得：m=2+1n=―22―2，∴直线BP的解析式为y=(2+1)x―22―2，联立直线AC 与直线BP 的解析式得，y =―x +2+ 2y =( 2+1)x ―2 2―2，解得：x = 2+1y =1，∴Q( 2+1,1)．故选：B ．过顶点P 作PE ⊥OB 于点E ，根据矩形的性质可得∠AOB =45°，则△OPE 为等腰直角三角形，PE =OP 2= 2，根据角平分线的性质可得PE =PA = 2，进而求出OA =2+ 2，于是C(0,2+ 2)，A(2+ 2,0)，P(2,0)，B(2+ 2,2+ 2)再利用待定系数法分别求出直线AC 与直线BP 的解析式，最后联立求解即可．本题主要考查正方形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、用待定系数法求一次函数解析式，解题关键是利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键．2.【答案】B【解析】解：设AC 交BD 于O ，如图：∵菱形ABCD ，∠ABC =120°，AB =2，∴∠BAD =∠BCD =60°，∠DAC =∠DCA =30°，AD =AB =2，BD ⊥AC ，Rt △AOD 中，OD =12AD =1，OA = AD 2―OA 2= 3，∴AC =2OA =2 3，Rt △APE 中，∠DAC =30°，PE =12AP ，Rt △CPF 中，∠PCF =∠DCA =30°，PF =12CP ，∴PE ―PF =12AP ―12CP =12(AP ―CP)=12AC ，∴PE ―PF = 3，故选：B ．设AC 交BD 于O ，根据已知可得AC =2 3，而PE ―PF =12AP ―12CP =12(AP ―CP)=12AC ，即可得到答案．本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出AC ，把PE ―PF 转化为12AC ．3.【答案】C【解析】解：在等边△ABC 中，AB =BC =AC =8，在等腰△ADC 中，AD =DC =5，∴BD 垂直平分AC ，∴AO =4，∠AOD =∠AOB =90°，∴∠ABO =∠CBO =30°，根据勾股定理，得OD = AD 2―AO 2= 52―42=3，BO = AB 2―AO 2= 82―42=4 3，∴BD =3+4 3，∵DF//AB ，∴∠FDB =∠ABD =30°，∴∠FDB =∠FBD =30°，∴DF =BF ，过点F 作FH ⊥BD 于点H ，则H 是BD 的中点，∴DH =12BD =3+432，设DF =x ，则FH =12x ，根据勾股定理，得(12x )2+(3+4 32)2=x 2，解得x =4+ 3或x =―4― 3(舍去)，∴DF =4+ 3，故选：C ．根据等边三角形和等腰三角形的性质可知BD 垂直平分AC ，再根据勾股定理求出OD 和BO 的长，进一步可得BD 的长，根据平行线的性质进一步可得DF =BF ，过点F 作FH ⊥BD 于点H ，根据等腰三角形的性质可得DH 的长，设DF =x ，则FH =12x ，根据勾股定理列方程，求解即可．本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．4.【答案】1或78【解析】【分析】分为三种情况：①PQ =BP ，②BQ =QP ，③BQ =BP ，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，题目综合性比较强，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．【解答】解：∵OA=4，OB=3，C点与A点关于直线OB对称，∴BC=AB=42+32=5，分为3种情况：①当PB=PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO=∠BCO，∵∠BPQ=∠BAO，∴∠BPQ=∠BCO，∵∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠BCO+∠CBP，∴∠APQ=∠CBP，在△APQ与△CBP中，∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP，QP=PB∴△APQ≌△CBP(AAS)，∴PA=BC=5，此时OP=5―4=1；②当BQ=BP时，∠BPQ=∠BQP，∵∠BPQ=∠BAO，∴∠BAO=∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP>∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB=QP时，∠QBP=∠BPQ=∠BAO，∴PB=PA，设OP=x，则PB=PA=4―x在Rt△OBP中，PB2=OP2+OB2，∴(4―x)2=x2+32，解得：x=7；8∵点P在AC上，∴点P在点O左边，．此时OP=78∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或7．8故答案为：1或7．85.【答案】1【解析】解：∵四边形BEB′C是菱形，∴BC=BE=B′E=B′C=1，∵∠B=60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE=BC=1，故答案为：1．根据菱形的性质证明△BCE是等边三角形，进而可以解决问题．本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．6.【答案】3或63【解析】解：当点P在BC上时，如图：由折叠的性质可知，DE=EQ，PC=PQ，∠EQP=90°，∵∠ABD=30°，四边形ABCD是矩形，∴∠EDQ=∠EQD=30°，∠PBQ=60°，∴∠PQB=60°，∴△PBQ是等边三角形，BC=3，∴PC=PQ=PB=12当点P在AB上时，Q刚好和点D重合，如图：由勾股定理得AB=63，∵E是中点，∴DE=33，由折叠的性质知PE⊥DC，在Rt△PEC中，CE=33，PE=6，∴PC=CE2+PE2=63．故答案为：3或63．分两种情况讨论，当点P在BC上时，可得△PBQ是等边三角形，从而得出PC=PQ=PB，此时PC=3，当点P在AB上时，Q刚好和点D重合，此时PC=63．本题考查矩形的性质和折叠的性质及勾股定理，本题要数形结合即可解答．7.【答案】2【解析】【分析】取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，可证得△BCF≌△BDE(SAS)，得出CF=DE，当且仅当AD=2为DE的最小值，即可得出CF的最小值为2．DE⊥AC，即点E与点H重合时，DE=DH=12本题考查了直角三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．【解答】解：如图，取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，则AD =BD =12AB ，∠AHD =∠ACB =90°，∵∠A =30°，BC =4，∴AB =2BC =8，∠ABC =90°―30°=60°，由旋转得：BF =BE ，∠EBF =60°，∴∠EBC +∠CBF =60°，∵∠EBC +∠DBE =60°，∴∠CBF =∠DBE ，∵AD =BD =12AB =4，∴BC =BD ，在△BCF 和△BDE 中BF =BE ∠CBF =∠DBE BC =BD∴△BCF ≌△BDE(SAS)，∴CF =DE ，当且仅当DE ⊥AC ，即点E 与点H 重合时，DE =DH =12AD =2为DE 的最小值，∴CF 的最小值为2．故答案为：2．8.【答案】 2或 6+ 22【解析】【分析】由翻折的性质，等腰三角形的性质可得∠PRQ =60°，要使△PQR 为直角三角形，于是有两种情况：即∠RPQ =90°或∠RQP =90°，分别画出相应的图形，根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可．本题考查翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，掌握翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的前提．【解答】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由翻折可知，∠ARQ =∠C ，∠ARP =∠B ，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC = 3+1，∴∠B =∠C =30°，AD =12AB = 3+12，BD =CD = 32AB =3+32，∴∠PRQ =∠B +∠C =60°，①当∠RPQ =90°时，如图1，设AR 与BC 交于点E ，∴RP//AD ，∴∠EAD =∠ERP =∠B =30°，在Rt △ADE 中，AD =3+12，∠EAD =30°，∴DE = 33AD =3+ 36，设BP =a ，则PR =a ，PE =BD ―BP ―DE =3+ 32―a ―3+ 36=3+33―a ，在Rt △PRE 中，∠PRE =30°，∴PR = 3PE ，即a = 3×(3+33―a)，解得a =1，∴BP =PR =1，PE =3+ 33―1=33，∴PD =PE +DE = 33+3+ 36=3+12=AD ，∴△PAD 是等腰直角三角形，∴AP = 2AD = 6+22；②当∠RQP =90°时，如图2，由①可得，CQ =QR =1，DQ =AD =3+12，设PD =b ，则BP =PR =BD ―PD =3+32―b ，在Rt △PQR 中，由勾股定理得，PR 2―PQ 2=QR 2，即(3+ 32―b )2―( 3+12+b )2=1，解得b =3―12，即PD =3―12，在Rt △APD 中，由勾股定理得，AP 2=AD 2+PD 2=( 3+12)2+(3―12)2=2，∴AP=2，综上所述，AP=2或AP=6+22，故答案为：2或6+22．9.【答案】73―12或3【解析】【分析】根据点H为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN=∠MNG，得到MG=NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，设MD=MF=x，根据勾股定理列方程求出x即可．本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．【解答】解：当HN=13GN时，GH=2HN，∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，∴MF=MD，CN=EN，∠E=∠C=∠D=∠MFE=90°，∠DMN=∠GMN，AD//BC，∴∠GFH=90°，∠DMN=∠MNG，∴∠GMN=∠MNG，∴MG=NG，∵∠GFH=∠E=90°，∠FHG=∠EHN，∴△FGH∽△ENH，∴FG EN =GHHN=2，∴FG=2EN=2，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，设MD=MF=x，则MG =GN =x +2，∴CG =x +3，∴PM =3，∵GP 2+PM 2=MG 2，∴42+32=(x +2)2，解得：x =3或―7(舍去)，∴MD =3；当GH =13GN 时，HN =2GH ，∵△FGH ∽△ENH ，∴FG EN =GH HN =12，∴FG =12EN =12，∴MG =GN =x +12，∴CG =x +32，∴PM =32，∵GP 2+PM 2=MG 2，∴42+(32)2=(x +12)2，解得：x =73―12或― 73―12(舍去)，∴MD = 73―12；故答案为：73―12或3．10.【答案】0.5或1.5【解析】解：①∠BMG 是直角，如图，过O 点作OH ⊥BC 于H ，∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∴AC=5，∴BH=CH=2，∴CO=2.5，∴OH=1.5，由折叠的性质可得∠OMH=45°，∴MH=OH=1.5，∴BM=BH―MH=4―2―1.5=0.5；②∠BGM是直角，如图，由折叠的性质可得OE=OC=2.5，∠ACB=∠E，∵∠ABC=∠EGO=90°，∴△OEG∽△ACB，∴OG：OE=AB：AC，即OG：2.5=3：5，解得OG=1.5，∴BG=2.5―1.5=1，∵∠ACB=∠MBG，∠ABC=∠MGB=90°，∴△ABC∽△MGB，∴BM：BG=CA：CB，即BM：1=5：4，解得BM=1.25．综上所述，线段BM的长为0.5或1.25．故答案为：0.5或1.25．分两种情况：①∠BMG是直角和②∠BGM是直角，进行讨论即可求解．本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，勾股定理是解决问题的关键．11.【答案】12或32【解析】【分析】分两种情形：如图1中，当DP ⊥BC ，延长DP 交BC 于点J.如图2中，当PD ⊥BC 于点J 时，分别求出PB ，可得结论．本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图1中，当DP ⊥BC ，延长DP 交BC 于点J ．∵∠C =90°，AC =1，∠A =60°，∴∠B =30°，∴AB =2AC =2，BC = 3AC = 3，由翻折变换的性质可知，∠D =∠B =30°，DM =BM =32，∴JM =12DM =34，∴BJ =BM ―JM =34，∴PB =BJ cos 30∘=12，∴AP =AB ―PB =2―12=32．如图2中，当PD ⊥BC 于点J 时，同法可得MJ =JC =34，∴BJ =334，∴PB =BJ cos 30∘=32，∴AP =AB ―PB =2―32=12．综上所述，AP 的值为12或32．故答案为：12或32．12.【答案】458或457【解析】解：∵∠ACB =90°，AB =15，AC =12，∴BC = 152―122=9.△ADE 为直角三角形时分两种情况：①如图，当∠ADE =90°时，设DE =x =BE ，由∠ADE =∠ACB ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE CB =AE AB，∴x 9=15―x 15，解得x =458；②当∠AED =90°时，设DE =y =BE ，同理可得：△AED ∽△ACB ，∴DE CB =AE AC，∴y 9=15―y 12，解得y =457．故答案为：458或457．先求解BC =9，再分两种情况讨论：如图，当∠ADE =90°时，当∠AED =90°时，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，作出正确的图形是解本题的关键．13.【答案】 7或 3【解析】解：∵∠ACB =90°，BC =2 3，∠B =30°，点P 为AC 的中点，∴∠BAC =60°，AC =BC ⋅tan30°=2，AP =12AC =1，AB AC 2+BC 2= 22+(2 3)2=4．∵AD =2，∴D 是AB 的中点．当∠DAQ =60°时，存在两种情况，当点Q 与点P 重合时，如图1所示，AQ =AP =1，此时DQ 为△ABC 的中位线，∴DQ=1BC=3；2当点Q在AP延长线上时，连接DP、DQ，如图2所示，∵PD为△ABC的中位线，∴PD//BC，∴∠DPQ+∠ACB=180°，∴∠DPQ=90°，∴DQ=PD2+PQ2=(3)2+22=7，综上，DQ的长为7或3，故答案为：7或3．AC=1，AB AC2+BC2=根据直角三角形的性质得到∠BAC=60°，AC=BC⋅tan30°=2，AP=1222+(23)2=4.求得D是AB的中点．当∠DAQ=60°时，存在两种情况，当点Q与点P重合时，如图1所示，AQ=AP=1，当点Q在AP延长线上时，连接DP、DQ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．14.【答案】2或6【解析】【分析】分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可得AD=CD=2，利用勾股定理和平行四边形的性质可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【解答】解：如图，当点C落在DF上时，∵AC=DF=2，∠CAB=∠EDF=45°，∠ACB=∠DFE=90°，△ACB和△DFE都是等腰直角三角形，∴AB=DE=22，∵点D是AB的中点，∴AD=CD=2，∴AF=AD2+DF2=2+4=6；当点C落在DE上时，连接CF，∵DE=AB=22，CD=2，∴CE=CD=2，∵△EFD是等腰直角三角形，∴CF=CD=2=AD，CF⊥DE，∴CF//AD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF=CD=2，故答案为：2或6．15.【答案】相等垂直【解析】解：(1)如图1，在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，即∠ADG=∠CDE，∵DG=DE，DA=DC，∴△GDA≌△EDC(SAS)，∴AG=CE，∠GAD=∠ECD，∵∠COD=∠AOH，∴∠AHO=∠CDO=90°，∴AG⊥CE，故答案为：相等，垂直；(2)不成立，新结论：3CE=2AG，AG⊥CE，理由如下：如图2，由(1)知，∠EDC=∠ADG，∵3AD=2DG，3AB=2DE，AD=DE，∴DG AD =32，DECD=DEAB=32，∴DG AD =EDDC=32，∴△GDA ∽△EDC ，∴AG CE =AD DC =32，即3CE =2AG ，∵△GDA ∽△EDC ，∴∠ECD =∠GAD ，∵∠COD =∠AOH ，∴∠AHO =∠CDO =90°，∴AG ⊥CE ；(3)①当点G 在线段BE 上时，如图3―1，连接BD ，过点D 作DT ⊥BE 于点T ．∵3AD =2DG =6，3AB =2DE =12，∴AD =2，DG =3，AB =4，DE =6，∵∠A =∠EDG =90°，∴BD = AD 2+AB 2= 22+42=2 5，EG = DG 2+DE 2= 32+62=3 5，∵DT ⊥EG ，∴12⋅DE ⋅DG =12⋅EG ⋅DT ，∴DT =3×63 5=6 55，∴ET =DE 2―DT 2=12 55，BT =BD 2―DT 2=(25)2―(655)2=855，∴BE =ET +BT =4 5．②当点G在EB放延长线上时，如图3―2，同法可得BE=ET―BT=1255―855=455，综上所述，满足条件的BE的值为45或455．(1)证明△GDA≌△EDC(SAS)，即可求解；(2)根据两边对应成比例且夹角相等证明△GDA∽△EDC，即可求解；(3)①当点G在线段BE上时，如图3―1，利用勾股定理求出ET，TB即可；②当点G在EB的延长线上时，如图3―2，同法可解．本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中(3)正确画图和分类讨论是解题的关键．16.【答案】EG=FH【解析】(1)证明：过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M，∵四边形ABCD是正方形，∴MG=HN，∵HF⊥EG，∴∠MGE=∠NHF，∴△HFN≌△GEM(ASA)，∴HF=EG；故答案为：HF=EG；(2)解：EG=2FH；理由：过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P，由(1)可得，∠QHF=∠PGE，∴△QHF∽△PGE，∴HF GE =HQPG，∵AB=a，BC=2a，∴PG=2a，HQ=a，∴HF GE =a2a=12；∴EG=2FH；(3)解：如图3，过点D作DS⊥BC于S，∴∠DSN=∠DSC=∠B=90°，∵∠DCS=60°，CD=4，∴DS=32CD=23，∵点M为AB的三等分点，AB=3，∴BM=2或BM=1，∵BC=4，∴CM=BC2+BM2=25或17，由(1)知△BCM∽△SDN，∴CM DN =BCSD，∴25DN =423或17DN=423，解得DN=15或512．(1)过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M，证明△HFN≌△GEM(ASA)即可求解；(2)过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P，由(1)可得△QHF∽△PGE；(3)如图3，过点D作DS⊥BC于S，根据垂直的定义得到∠DSN=∠DSC=∠B=90°，根据已知条件得到BM=2或BM=1，根据勾股定理得到CM=BC2+BM2=25或17，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．17.【答案】解：【问题发现】3；【操作探究】对，证明：∵MN⊥AC于点N，PQ⊥AC于点Q，AM=BP，∴∠ANM=∠AQP=∠C=90°，∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，△APQ∽△ABC，∴MNBC =AMAB，PQBC=APAB，∵AP=AM+MP=BP+MP=MB，∴PQ BC =MBAB，∴MNBC +PQBC=AMAB+MBAB=ABAB=1，∴MN+PQ=BC，∵BCAB=sinA，∠A=α，AB=m，∴BC=AB⋅sinA=m⋅sinα，∴MN+PQ=m⋅sinα，∴MN+PQ的值为定值，MN+PQ=m⋅sinα．【解决问题】15．【解析】【分析】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．【问题发现】由∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∠A =30°，得MN =12AM ，PQ =12AP =12(AM +PM)，而AM =BP ，则MN +PQ =12AM +12BM =12AB =3，于是得到问题的答案．【操作探究】由∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∠A =∠A ，可证明△AMN ∽△ABC ，△APQ ∽△ABC ，得MN BC=AM AB ，PQ BC =APBC ，因为AP =AM +MP =BP +MP =MB ，则PQ BC =MB AB ，于是可推导出MN BC +PQ BC =AB AB=1，所以MN +PQ =BC =m ⋅sinα；【解决问题】连AC 交BC 于点O ，在BC 上截取BL =DM ，作LI ⊥BO 于点I ，由菱形的性质得BC =AB =AD =8，BO =DO =12BD =7，∠BOC =90°，可求得CO = BC 2―BO 2= 15，再由AD =BC ，AM =BN ，证明DM =CN ，再证明△BLI ≌△DME ，得LI =ME ，则BL =CN ，由∠BOC =90°，LI ⊥BO ，NF ⊥BO ，得LI +NF =CO = 15，则ME +NF = 15．【解答】解：【问题发现】∵MN ⊥AC 于点N ，PQ ⊥AC 于点Q ，∴∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∵∠A =30°，∴MN =12AM ，PQ =12AP =12(AM +PM)，∵AM =BP ，∴PQ =12(BP +PM)=12BM ，∴MN +PQ =12AM +12BM =12AB ，∵AB =6，∴MN +PQ =12×6=3，故答案为：3．【操作探究】见答案；【解决问题】如图3，连AC 交BC 于点O ，在BC 上截取BL =DM ，作LI ⊥BO 于点I ，∵四边形ABCD 是菱形，AB =8，BD =14，∴BC =AB =AD =8，BO =DO =12BD =12×14=7，AC ⊥BD ，∴∠BOC =90°，∴CO = BC 2―BO 2= 82―72= 15，∵AD =BC ，AM =BN ，∴AD ―AM =BC ―BN ，∴DM =CN ，∵BC//AD ，∴∠LBI =∠MDE ，∵ME ⊥BD ，LI ⊥BO ，∴∠BIL =∠DEM =90°，在△BLI 和△DME 中，∠LBI =∠MDE∠BIL =∠DEM =90°BL =DM ,∴△BLI ≌△DME(AAS)，∴LI =ME ，∵AM =BN ，AD =BC ，∴DM =CN ，∴BL =CN ，∵∠BOC =90°，LI ⊥BO ，NF ⊥BO ，∴△BIL ∽△BFN ∽△BOC ，∴LI CO =BL BC ,NF CO =BN BC ，∴LI CO +NF CO =BL BC +BNBC ，即LI +NF CO =BL +BNBC=1，∴LI +NF =CO = 15，∴ME +NF = 15，故答案为： 15．18.【答案】(1)证明：如图①，BE 与MN 的交点记作点O ，由折叠知，∠BON =90°，∴∠CBE+∠BNM=90°，∵MH⊥BC，∴∠MHN=90°，∴∠HMN+∠BNM=90°，∴∠CBE=∠HMN，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=90°=∠BHM，∴四边形ABHM是矩形，∴AB=MH，∵BC=AB，∴BC=MH，在△EBC和△NMH中，∠C=∠BHMBC=MH∠CBE=∠HMN，∴△EBC≌△NMH(ASA)；(2)①证明：同(1)的方法得，∠C=∠BHM，∠CBE=∠HMN，∴△EBC∽△NMH；②解：设DE=x(x>0)，∵点E为CD的三等分点，Ⅰ、当CE=2DE时，∴CE=2x，CD=3x，∵BC=2BA，∴BC=6x，同①的方法得，四边形CDMH是矩形，∴MH=CD=3x，由①知，△EBC∽△NMH，∴EC NH =BCMH，∴2xNH =6x 3x，∴NH =x ，设AM =y(y >0)，同①的方法得，四边形AMHB 是矩形，∴BH =AM =y ，∴BN =x +y ，∴CN =BC ―BN =5x ―y ，由折叠知，EN =BN =x +y ，在Rt △ECN 中，根据勾股定理得，CN 2+CE 2=EN 2，∴(5x ―y )2+(2x )2=(x +y )2，∴y =73x 或x =0(舍)，∴AM =73x ，BN =x +y =103x ，∴AM BN =73x 103x =710，Ⅱ、当DE =2DE 时，同Ⅰ的方法得．AM BN=3137，即AMBN=710或3137．【解析】(1)根据同角的余角相等得出∠CBE =∠HMN ，再判断出四边形ABHM 是矩形，得出AB =MH ，进而判断出△EBC ≌△NMH ；(2)①同(1)的方法得，∠C =∠BHM ，∠CBE =∠HMN ，即可得出结论；②设DE =x(x >0)，Ⅰ、当CE =2DE 时，则CE =2x ，CD =3x ，BC =6x ，进而得出MH =CD =3x ，再根据△EBC ∽△NMH ，得出NH =x ，设AM =y(y >0)，表示出BH =AM =y ，BN =x +y ，CN =BC ―BN =5x ―y ，再根据勾股定理得，CN 2+CE 2=EN 2，建立方程得出y =73x 或x =0(舍)，Ⅱ、当DE =2CE 时，同Ⅰ的方法，即可求出答案．此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理得出y =73x 是解本题的关键．19.【答案】解：(1)3．(2)由(1)得：AC′=3，∴BC′=AB ―AC′=2，由折叠的性质得：C′E =CE ，设BE =x ，则C′E =CE =4―x ，在Rt △BEC′中，BE 2+BC′2=C′E 2，即x 2+22=(4―x )2，解得x =32，即BE =32，CE =4―32=52，连接EE′，如图所示：由平移的性质得：E′E =BC′=2，EE′//AB//CD ，D′E′//DE ，∴△FEE′∽△FCD′∽△ECD ，∴EF EE′=CE CD =525=12，∴EF =12EE′=1．(3)45或195．【解析】【分析】本题考查四边形综合，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．(1)由矩形的性质得∠A =90°，AB =CD =5，BC =AD =4，再由折叠的性质得C′D =CD =5，然后由勾股定理求解即可；(2)由折叠的性质得C′E =CE ，设BE =x ，则C′E =CE =4―x ，在Rt △BEC′中，由BE 2+BC′2=C′E 2求出BE =32，CE =52，连接EE′，根据相似三角形的判定可得△FEE′∽△FCD′∽△ECD ，即可求解；(3)分类讨论：当C″在AB 内(B 的左侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得E′E E′Q =45，根据平移的性质和等角对等边的性质可得PQ =QE′=1，即可求得；当C″在射线AB 上(B 的右侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得CD′=2CP ，CD′=34CQ ，求解可得CP =35，即可求得．【解答】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠B =90°，AB =CD =5，BC =AD =4，由折叠的性质得：C′D =CD =5，∴AC′= C′D 2―AD 2= 52―42=3，故答案为：3．(2)见答案．(3)当C″在AB 内(B 的左侧)时，连接EE′，如图所示：由平移的性质得：E′E =C′C″，EE′//AB ，C″E′//C′E ，∴△QEE′∽△QBC″∽△EBC′，∴E′E E ′Q =C′B C ′E =252=45，∵∠CPD′=∠EPE′=∠CED =∠D′E′Q ，∴PQ =QE′=1，∴E′E =45E′Q =45；当C″在射线AB 上(B 的右侧)时，连接EE′，如图，由平移的性质得：E′E =DD′，DE//D′E ，DC′//D′C″，∴△CD′P ∽△CDE ，△CD′Q ∽△AC′D ，。

中考数学三轮专题复习四边形-试卷

中考数学三轮专题复习四边形一、选择题（本大题共6道小题）1. 已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为()A.12B.10C.8D.62. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直3. 如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为 ()A.12B.15C.18D.214. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为()A.40B.24C.20D.155. 如图正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为()A.60°B.67.5°C.75°D.54°6. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=60°，则CF的长是()A.B.C.-1 D.二、填空题（本大题共6道小题）7. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是.(写出一个即可)8. 在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AD=4，BD=4，则平行四边形ABCD 的面积等于.9. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为.图K24-810. 如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是.11. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.12. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图②中的点E，G 重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.三、解答题（本大题共5道小题）13. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED 交DE于点F，交CD于点G.(1)求证:△ADG≌△DCE;(2)连接BF，求证:AB=FB.14. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长.15. 【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题:如图①，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路:思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数;思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数.请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图②，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数.16. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.17. 如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点(与D，C不重合)，连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH.显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角的平分线)，并说明理由.中考数学三轮专题复习四边形-答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】B易组卷：100378 难度：1 使用次数：0 入库日期：2020-05-27考点：多边形与平行四边形2. 【答案】C易组卷：100393 难度：3 使用次数：0 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形3. 【答案】C[解析]∵折叠后点D恰好落在DC的延长线上的点E处，∴AC⊥DE，EC=CD=AB=3，∴ED=6.∵∠B=60°，∴∠D=60°，∴AD=2CD=6，∴AE=6，∴△ADE的周长=AE+AD+ED=18，故选C.考点：多边形与平行四边形4. 【答案】B[解析]∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，∵O是BD的中点，∴BO=DO，又∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.在Rt△ABO中，BO=BD=4，AO===3，∴AC=2AO=6，∴四边形ABCD的面积为AC·BD=×6×8=24.故选B.易组卷：100397 难度：5 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形5. 【答案】A[解析]连接BF，∵E为AB中点，FE⊥AB，∴EF垂直平分AB，∴AF=BF.∵AF=2AE，∴AF=AB，∴AF=BF=AB，∴△ABF为等边三角形，∴∠FBA=60°，BF=BC，∴∠FCB=∠BFC=15°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.易组卷：100413 难度：6 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：正方形及四边形综合问题6. 【答案】C[解析]连接EF.∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=AD，∴Rt△ABE ≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF，∴EC=CF.设CF=x，则EC=x，AE=EF==x，BE=1-x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴1+(1-x)2=(x)2，解得x=-1(舍负).故选C.考点：正方形及四边形综合问题二、填空题（本大题共6道小题）7. 【答案】AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等易组卷：100400 难度：2 使用次数：0 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形8. 【答案】16或8[解析]过D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=4，∴DE=AD=2，AE=AD=6.在Rt△BDE中，∵BD=4，∴BE===2.如图①，AB=8，∴平行四边形ABCD的面积=AB·DE=8×2=16;如图②，AB=4，∴平行四边形ABCD的面积=AB·DE=4×2=8.故答案为:16或8.易组卷：100434 难度：3 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：多边形与平行四边形9. 【答案】12[解析]设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a，b(b>a)，则由图②，图③可列方程组解得所以菱形的面积S=×4×6=12.故答案为12.易组卷：100403 难度：5 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形10. 【答案】[解析]如图，当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长AC=x，则AB=4-x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即x2=(4-x)2+12，解得x=，∴菱形的最大周长=×4=.易组卷：100433 难度：5 使用次数：0 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形11. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.易组卷：100526 难度：7 使用次数：3 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形轴对称与中心对称12. 【答案】4[解析]如图，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M.在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，∴EG===4，∴EH==4.易组卷：100421 难度：8 使用次数：0 入库日期：2020-05-28考点：正方形及四边形综合问题三、解答题（本大题共5道小题）13. 【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，∴∠DAG=∠CDE，∴△ADG≌△DCE(ASA).(2)如图，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE=CE.又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)，∴BH=DC=AB，即B是AH的中点.又∵∠AFH=90°，∴Rt△AFH中，BF=AH=AB.易组卷：100420 难度：5 使用次数：0 入库日期：2020-05-28考点：正方形及四边形综合问题14. 【答案】解:(1)证明:在矩形EFGH中，EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF.∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG=DE.(2)连接EG，在菱形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，又∵AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，在矩形EFGH中，EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长为8.易组卷：100616 难度：5 使用次数：1 入库日期：2020-06-02考点：矩形、菱形15. 【答案】[解析]将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△P'BA，连接PP'，得到等腰直角三角形BP'P，从而得到PP'=2，∠BPP'=45°，又AP'=CP=3，AP=1，∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2，∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'=90°，从而求出∠APB=45°+90°=135°.将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'，方法和上述类似，求出∠APB=45°.解:【问题解决】如图①，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'.①∵P'B=PB=2，∠P'BP=90°，∴PP'=2，∠BPP'=45°.又AP'=CP=3，AP=1，∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=45°+90°=135°.【类比探究】如图②，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'.②∵P'B=PB=1，∠P'BP=90°，∴PP'=，∠BPP'=45°.又AP'=CP=，AP=3，∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=90°-45°=45°.易组卷：100422 难度：6 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：正方形及四边形综合问题16. 【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO=DO，∴四边形BECD是平行四边形.(2)100[解析]若四边形BECD为矩形，则BC=DE，BD⊥AE，又AD=BC，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.易组卷：100407 难度：6 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形17. 【答案】[解析]过点H作HN⊥BM于N，利用正方形的性质及轴对称的性质，证明△ABG ≌△AFG，可推出AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线;证明△ABG≌△GNH，推出HN=CN，得到∠DCH=∠NCH，推出CH是∠DCM的平分线;再证∠HGN=∠EGH，可知GH是∠EGM的平分线.解:过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=BC，∠D=∠DAB=∠B=∠DCB=∠DCM=90°.①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D=∠AFE=∠AFG=90°，AD=AF，∠DAE=∠F AE，∴AF=AB.又∵AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴∠BAG=∠F AG，∠AGB=∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线.②由①知，∠DAE=∠F AE，∠BAG=∠F AG，又∵∠BAD=90°，∴∠GAF+∠EAF=×90°=45°，即∠GAH=45°.∵GH⊥AG，∴∠GHA=90°-∠GAH=45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG=GH.∵∠AGB+∠BAG=90°，∠AGB+∠HGN=90°，∴∠BAG=∠NGH.又∵∠B=∠HNG=90°，AG=GH，∴△ABG≌△GNH(AAS)，∴BG=NH，AB=GN，∴BC=GN.∴BC-CG=GN-CG，∴BG=CN，∴CN=HN.∵∠HNC=90°，∴∠NCH=∠NHC=×90°=45°，∴∠DCH=∠DCM-∠NCH=45°，∴∠DCH=∠NCH，∴CH是∠DCM的平分线.③∵∠AGB+∠HGN=90°，∠AGF+∠EGH=90°，由①知，∠AGB=∠AGF，∴∠HGN=∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线.综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCM的平分线，GH是∠EGM的平分线.易组卷：100619 难度：8 使用次数：0 入库日期：2020-06-02考点：正方形及四边形综合问题中考数学三轮专题复习四边形-讲评卷一、选择题（本大题共6道小题）1. 已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为()A.12B.10C.8D.6【答案】B易组卷：100378 难度：1 使用次数：0 入库日期：2020-05-27考点：多边形与平行四边形2. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直【答案】C易组卷：100393 难度：3 使用次数：0 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形3. 如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为 ()A.12B.15C.18D.21【答案】C[解析]∵折叠后点D恰好落在DC的延长线上的点E处，∴AC⊥DE，EC=CD=AB=3，∴ED=6.∵∠B=60°，∴∠D=60°，∴AD=2CD=6，∴AE=6，∴△ADE的周长=AE+AD+ED=18，故选C.易组卷：100380 难度：4 使用次数：1 入库日期：2020-05-27考点：多边形与平行四边形4. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为()A.40B.24C.20D.15【答案】B[解析]∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，∵O是BD的中点，∴BO=DO，又∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.在Rt△ABO中，BO=BD=4，AO===3，∴AC=2AO=6，∴四边形ABCD的面积为AC·BD=×6×8=24.故选B.易组卷：100397 难度：5 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形5. 如图正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为()A.60°B.67.5°C.75°D.54°【答案】A[解析]连接BF，∵E为AB中点，FE⊥AB，∴EF垂直平分AB，∴AF=BF.∵AF=2AE，∴AF=AB，∴AF=BF=AB，∴△ABF为等边三角形，∴∠FBA=60°，BF=BC，∴∠FCB=∠BFC=15°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.易组卷：100413 难度：6 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：正方形及四边形综合问题6. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=60°，则CF的长是()A.B.C.-1 D.【答案】C[解析]连接EF.∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=AD，∴Rt△ABE ≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF，∴EC=CF.设CF=x，则EC=x，AE=EF==x，BE=1-x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴1+(1-x)2=(x)2，解得x=-1(舍负).故选C.易组卷：100414 难度：6 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：正方形及四边形综合问题二、填空题（本大题共6道小题）7. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是.(写出一个即可)【答案】AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等易组卷：100400 难度：2 使用次数：0 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形8. 在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AD=4，BD=4，则平行四边形ABCD 的面积等于.【答案】16或8[解析]过D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=4，∴DE=AD=2，AE=AD=6.在Rt△BDE中，∵BD=4，∴BE===2.如图①，AB=8，∴平行四边形ABCD的面积=AB·DE=8×2=16;如图②，AB=4，∴平行四边形ABCD的面积=AB·DE=4×2=8.故答案为:16或8.易组卷：100434 难度：3 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：多边形与平行四边形9. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为.图K24-8【答案】12[解析]设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a，b(b>a)，则由图②，图③可列方程组解得所以菱形的面积S=×4×6=12.故答案为12.易组卷：100403 难度：5 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形10. 如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是.【答案】[解析]如图，当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长AC=x，则AB=4-x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即x2=(4-x)2+12，解得x=，∴菱形的最大周长=×4=.易组卷：100433 难度：5 使用次数：0 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形11. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.易组卷：100526 难度：7 使用次数：3 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形轴对称与中心对称12. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图②中的点E，G 重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.【答案】4[解析]如图，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M.在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，∴EG===4，∴EH==4.易组卷：100421 难度：8 使用次数：0 入库日期：2020-05-28考点：正方形及四边形综合问题三、解答题（本大题共5道小题）13. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED 交DE于点F，交CD于点G.(1)求证:△ADG≌△DCE;(2)连接BF，求证:AB=FB.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，∴∠DAG=∠CDE，∴△ADG≌△DCE(ASA).(2)如图，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE=CE.又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)，∴BH=DC=AB，即B是AH的中点.又∵∠AFH=90°，∴Rt△AFH中，BF=AH=AB.易组卷：100420 难度：5 使用次数：0 入库日期：2020-05-28考点：正方形及四边形综合问题14. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长.【答案】解:(1)证明:在矩形EFGH中，EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF.∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG=DE.(2)连接EG，在菱形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，又∵AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，在矩形EFGH中，EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长为8.易组卷：100616 难度：5 使用次数：1 入库日期：2020-06-02考点：矩形、菱形15. 【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题:如图①，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路:思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数;思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数.请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图②，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数.【答案】[解析]将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△P'BA，连接PP'，得到等腰直角三角形BP'P，从而得到PP'=2，∠BPP'=45°，又AP'=CP=3，AP=1，∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2，∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'=90°，从而求出∠APB=45°+90°=135°.将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'，方法和上述类似，求出∠APB=45°.解:【问题解决】如图①，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'.①∵P'B=PB=2，∠P'BP=90°，∴PP'=2，∠BPP'=45°.又AP'=CP=3，AP=1，∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=45°+90°=135°.【类比探究】如图②，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'.②∵P'B=PB=1，∠P'BP=90°，∴PP'=，∠BPP'=45°.又AP'=CP=，AP=3，∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=90°-45°=45°.易组卷：100422 难度：6 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：正方形及四边形综合问题16. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO=DO，∴四边形BECD是平行四边形.(2)100[解析]若四边形BECD为矩形，则BC=DE，BD⊥AE，又AD=BC，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.易组卷：100407 难度：6 使用次数：1 入库日期：2020-05-28考点：矩形、菱形17. 如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点(与D，C不重合)，连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH.显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角的平分线)，并说明理由.【答案】[解析]过点H作HN⊥BM于N，利用正方形的性质及轴对称的性质，证明△ABG ≌△AFG，可推出AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线;证明△ABG≌△GNH，推出HN=CN，得到∠DCH=∠NCH，推出CH是∠DCM的平分线;再证∠HGN=∠EGH，可知GH是∠EGM的平分线.解:过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=BC，∠D=∠DAB=∠B=∠DCB=∠DCM=90°.①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D=∠AFE=∠AFG=90°，AD=AF，∠DAE=∠F AE，∴AF=AB.又∵AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴∠BAG=∠F AG，∠AGB=∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线.②由①知，∠DAE=∠F AE，∠BAG=∠F AG，又∵∠BAD=90°，∴∠GAF+∠EAF=×90°=45°，即∠GAH=45°.∵GH⊥AG，∴∠GHA=90°-∠GAH=45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG=GH.∵∠AGB+∠BAG=90°，∠AGB+∠HGN=90°，∴∠BAG=∠NGH.又∵∠B=∠HNG=90°，AG=GH，∴△ABG≌△GNH(AAS)，∴BG=NH，AB=GN，∴BC=GN.∴BC-CG=GN-CG，∴BG=CN，∴CN=HN.∵∠HNC=90°，∴∠NCH=∠NHC=×90°=45°，∴∠DCH=∠DCM-∠NCH=45°，∴∠DCH=∠NCH，∴CH是∠DCM的平分线.③∵∠AGB+∠HGN=90°，∠AGF+∠EGH=90°，由①知，∠AGB=∠AGF，∴∠HGN=∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线.综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCM的平分线，GH是∠EGM的平分线.易组卷：100619 难度：8 使用次数：0 入库日期：2020-06-02考点：正方形及四边形综合问题。

2020年中考数学三轮冲刺培优三角形与四边形综合

2020中考数学三轮冲刺培优三角形与四边形综合（含答案）1. 如图①,在Rt①ABC 中,①A =90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点. (1)观察猜想图①中,线段PM 与PN 的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明把①ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图①的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断①PMN 的形状,并说明理由; (3)拓展延伸把①ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出①PMN 面积的最大值.第1题图解：（1）PM =PN ,PM ①PN ;【解法提示】①AB =AC ,AD =AE ,①BD =CE ; ①点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点, ①PM ①21CE 且PM =21CE ,PN ①21BD 且PN ①21BD ; ①PM=PN ,①DPM =①DCE ,①CNP =①B , ①①DPN =①PNC +①PCN =①B +①PCN. ①①A =90°, ①①B +①ACB =90°,①①MPN =①MPD +①DPN =①DCE +①PCN +①B =90°, ①PM ①PN.（2）①PMN 为等腰直角三角形.理由如下：由题可知：①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形,①AB =AC ,AD =AE ,①BAC =①DAE =90°, ①①BAD +①DAC =①DAC +①CAE , ①①BAD =①EAC ,①①BAD ①①CAE （SAS ）, ①①ABD =①ACE ,BD =CE .又①点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点, ①PM 是①CDE 的中位线, ①PM ①21CE 且PM =21CE . 同理：PN ①21BD 且PN=21BD . ①PM=PN ,①MPD =①ECD ,①PNC =①DBC.①①MPD =①ECD =①ACD +①ACE =①ACD +①ABD ,①DPN =①PNC +①PCN =①DBC +①PCN , ①①MPN =①MPD +①DPN =①ACD +①ABD +①DBC +①PCN =①ABC +①ACB =90°, ①①PMN 为等腰直角三角形;. 【解法提示】①①PMN 为等腰直角三角形,①S ①PMN =21PM 2,要使①PMN 的面积最大,即PM 最大.第1题解图由（2）得,PM =21CE ,即当CE 最大时,PM 最大. 如解图所示,当点C 、E 在点A 异侧,且在同一直线上时,CE 最大,此时CE =AE +AC =14,则PM 最大值为7,故①PMN 最大面积为S ①PMN =21×7×7=249. 2. 如图,BD 是正方形ABCD 的对角线,BC =2,动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动,同时动点Q 从点C 出发,以相同的速度沿射线BC 运动,当点P 出发后,过点Q 作QE ①BD ,交直线BD 于点E ,连接AP 、AE 、PE 、QE ,设运动时间为t （秒）. （1）请直接写出动点P 运动过程中,四边形APQD 是什么四边形？（2）请判断AE ,PE 之间的数量关系和位置关系,并加以证明; （3）设①EPB 的面积为y ,求y 与t 之间的函数关系式; （4）直接写出①EPQ 的面积是①EDQ 面积的2倍时t 的值.第2题图解：（1）四边形APQD 是平行四边形; 理由如下：①四边形ABCD 是正方形,P 、Q 速度相同, ①①ABE =①EBQ =45°,AD //BQ ,AD =BC =2,BP =CQ , ①BC =AD =PQ ,①四边形APQD 是平行四边形; （2）AE =PE ,AE ①PE ; 理由如下： ①QE ①BD ,①①PQE =90°-45°=45°, ①①ABE =①EBQ =①PQE =45°, ①BE =QE ,在①AEB 和①PEQ 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=QE BE PQE ABE PQAB , ①①AEB ①①PEQ （SAS ）,①AE =PE ,①AEB =①PEQ , ①①AEP =①EBQ =90°, ①AE ①PE ;（3）如解图①,过点E 作EF ①BC 于点F ,第2题解图①①BC =2,CQ =t , ①BQ =t +2,①EF ①BC ,且①EBC =①EQB =45°, ①EF =BF =BQ ,①EF =21BQ =22+t , 又①BP =QC=t , ①y =21EF ×BP =21×22+t ×t , 即y =41t 2+21t ; （4）分两种情况：①当点P 在BC 的延长线上时,如解图①,作PM ①QE 于点M ,第2题解图①①PQ =2,①BQE =45°, ①PM =22PQ =2,BE =QE =22BQ =22(t +2), ①DE =BE -BD =22(t +2)-22=22t -2,①①EPQ 的面积是①EDQ 面积的2倍, ①21×22(t +2)×2=2×21(22t -2)×22(t +2),解得：t =3或t =-2（舍去）, ①t =3;①当P 在BC 边上时,解法同①,此时DE =2-22t , ①①EPQ 的面积是①EDQ 面积的2倍, ①21×22(t +2)×2=2×21(2-22t )×22(t +2),解得：t =1或t =-2（舍去）, ①t =1;综上所述,①EPQ 的面积是①EDQ 面积的2倍时,t 的值为1或3.3. 已知：如图,在Rt①ABC 中,AB =4,AC =3,点O 为BC 的中点,点P 从点A 出发,沿折线AC -CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动,当点P 与点A 不重合时,过点P 作PQ ①AB 于点Q ,以PQ 为边向右作正方形PQMN ,设正方形PQMN 与Rt①ABC 重叠部分图形的面积为S （平方单位）,点P 运动的时间为t （秒）.（1）当点N 落在BC 上时,求t 的值;（2）当点O 在正方形PQMN 内部时,求t 的取值范围;（3）当点P 在折线AC -CO 上运动时,求S 和t 之间的函数关系式;（4）设正方形PQMN 对角线的交点为E ,当直线CE 平分①ABC 面积时,直接写出t 的值.第3题图解：（1）如解图①,当点N 落在BC 上时, ①四边形PQMN 是正方形, ①PN //QM ,PN =PQ =t ,①①CPN ①①CQB . 第3题解图① ①QBPNCQ CP =, ①PN =PQ =AP =t ,CP =3-t ,QB =AB =4, ①43-3tt =, ①t =712; （2）①如解图①, 则有QM =QP =t ,MB =4-t ,①四边形PQMN 是正方形, ①MN //CQ , 第3题解图①①点O 是CB 的中点,MN //AC , ①OM 是①ABC 的中位线, ①QM =BM , ①t =4-t , ①t =2;①在Rt①ABC 中,AB =4,AC =3, ①CB =5,①点O 是CB 的中点, ①CO =25, ①1×t =AC +CO =3+25,①t =211, ①当点O 在正方形PQMN 内部时,t 的范围是2＜t ＜211; （3）①当0＜t ≤712时,如解图①,S =S 正方形PQMN =PQ 2=P A 2=t 2,第3题解图① 第3题解图①①当712＜t ≤3时,如解图①, ①tan①ACB =CAABCP PG =, ①34-3=t PG , ①PG =4-34t , ①GN =PN -PG =37t -4, ①34=NF GN , ①NF =43GN =47t -3, ①S =S 正方形PQMN -S ①GNF =t 2-21×（37t -4）×（47t -3）=-2425t 2+7t -6,①当3＜t ≤211时,如解图①,第3题解图①①四边形PQMN 是正方形, ①①PQM =①CAB =90°, ①PQ //AC , ①①BQP ①①BAC ,①ACPQBA BQ BC BP ==, ①BP =8-t ,BC =5,BA =4,AC =3, ①345-8PQBQ t ==, ①BQ =5-84）（t ,PQ =5-83）（t , ①QM =PQ =5-83）（t , ①BM =BQ -QM =5-8t, ①tan①ABC =43==AB AC BM FM , ①FM =43BM =20-83）（t , ①S =S 四边形PQMF =21（PQ +FM ）×QM =21×[3×（5-8t +20-83）（t ）×5-83）（t ]=572518-4092+t t ; （4）如解图①,第3题解图①①直线CE 平分①ABC 的面积,①点E 在①ABC 的①A 的平分线上,作EH //AB , ①ACHCAG HE =, ①点G 是AB 的中点, ①AG =21AB =2,由题意得,AP =t ,AH =PH =HE =21t ,HC =AC -AP +PH =3-t +21t =3-21t , ①321-3221tt =, ①t =512. 4. 已知①ABC 为等边三角形,点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合）,以AD 为边作菱形ADEF（A 、D 、E 、F 按逆时针排列）,使①DAF =60°,连接CF . （1）如图①,当点D 在边BC 上时,求证：①BD =CF ;①AC =CF +CD ;（2）如图①,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,结论AC =CF +CD 是否成立？若不成立,请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系,并说明理由;（3）如图①,当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系.第4题图（1）证明：①①四边形AFED 为菱形, ①AF =AD ,①①ABC 是等边三角形,①AB =AC =BC ,①BAC =60°=①DAF , ①①BAC -①DAC =①DAF -①DAC , 即①BAD =①CAF , 在①BAD 和①CAF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD AC AB , ①①BAD ①①CAF （SAS ）, ①BD =CF ,①CF +CD =BD +CD =BC =AC ;（2）解：不成立,AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC =CF -CD . 理由如下：由（1）知：AB =AC =BC , ①BAC =①DAF =60°,①①BAC +①DAC =①DAF +①DAC , 即①BAD =①CAF , 在①BAD 和①CAF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD AC AB , ①①BAD ①①CAF （SAS ）, ①BD =CF ,①CF -CD =BD -CD =BC =AC , 即AC =CF -CD .（3）解：补全图形如解图,AC =CD -CF .第4题解图【解法提示】①①BAC =①DAF =60°, ①①DAB =①CAF , 在①BAD 和①CAF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD AC AB , ①①BAD ①①CAF （SAS ）, ①BD =CF ,①CD -CF =CD -BD =BC =AC ,即AC =CD -CF .5. 已知,在①ABC 中,①BAC =90° ,AB =AC ,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B 、C 重合),以AD 为边在AD 的上边作正方形ADEF ,连接CF .（1）观察猜想:如图①,当点D 在线段BC 上时,①BC 与CF 的位置关系为: ;①BC 、CD 、CF 之间的数量关系为: ;（2）数学思考:如图①,当点D 在线段CB 的延长线上时,以上①①关系是否成立,请在后面的横线上写出正确的结论.①BC 与CF 的位置关系为: ;①BC 、CD 、CF 之间的数量关系为: ;（3）如图①,当点D 在线段BC 的延长线上时,延长BA 交CF 于点G ,连接GD ,若已知AB =22,CD =41BC ,请求出DG 的长(写出求解过程).第5题图解：（1）①BC ①CF ;【解法提示】①①BAC =90°,AB =AC ,①①ABC =①ACB =45°,①四边形ADEF 是正方形,①AD =AF ,①DAF =90°,①①BAC =①BAD +①DAC =90°,①DAF =①CAF +①DAC =90°,①①BAD =①CAF ,在①BAD 和①CAF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD AC AB , ①①BAD ①①CAF （SAS ）,①①ACF =①ABD =45°,①①ACF +①ACB =90°,①①BCF =90°,①BC ①CF ;①CF =BC -CD ;【解法提示】由①知①BAD ①①CAF ,①BD =CF ,①BD =BC -CD ,①CF =BC -CD ;（2）①BC ①CF ;【解法提示】①①BAC =90°,AB =AC ,①①ABC =①ACB =45°,①四边形ADEF 是正方形,①AD =AF ,①DAF =90°,①①BAC =①BAF +①F AC =90°,①DAF =①BAF +①DAB =90°,①①BAD =①CAF ,在①BAD 和①CAF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD AC AB ,①①BAD ①①CAF （SAS ）,①①ACF =①ABD =180°-45°=135°,①①ACB +①FCB =135°,①①FCB =90°,①BC ①CF ;①CF =CD-BC ;【解法提示】由（2）①知①BAD ①①CAF ,①BD =CF ,①BD =CD-BC ,①CF =CD-BC ;（3）由题意得：①BAC =①F AD =90°,①①BAD =①CAF ,在①BAD 和①CAF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD AC AB , ①①BAD ①①CAF （SAS ）,①①ACF =①ABD =45°,①①FCB =①ACF+①ACB =45°+45°=90°,①CF ①BC ,在Rt①ABC 中,①AC =AB =22,①BC =4,①CD =41BC =41×4=1, 在Rt①AGC 中,①①ACF =45°,①CG =2AC =2×22=4,①在Rt①DCG 中,DG =17142222=+=+CD CG .6. 如图,①ABC 中,①BAC 为钝角,①B =45°,点P 是边BC 延长线上一点,以点C 为顶点,CP 为边,在射线BP下方作①PCF =①B ．（1）在射线CF 上取点E ,连接AE 交线段BC 于点D ．①如图①,若AD =DE ,请直接写出线段AB 与CE 的数量关系和位置关系;①如图①,若AD =2DE ,判断线段AB 与CE 的数量关系和位置关系并说明理由;（2）如图①,反向延长射线CF ,交射线BA 于点C',将①PCF 沿CC'方向平移,使顶点C 落在点C'处,记平移后的①PCF 为①P'C'F',将①P'C'F'绕点C'顺时针旋转角α（0°＜α＜45°）,C'F'交线段BC 于点M ,C'P'交射线BP 于点N ,请直接写出线段BM ,MN 与CN 之间的数量关系．图① 图① 图①第6题图解：（1）①AB=CE,AB①CE.【解法提示】①如解图①,过点A作AG// CE交BC于点G,第6题解图①①①DAG=①DEC,①DGA=①DCE,①AD=DE,①①ADG①①EDC（AAS）,①AG=CE,①①PCF=45°,①①ECD=180°-①PCF=135°,①①AGD=①ECD=135°,①①AGB=180°-①AGD=45°=①B,①AB=AG,①BAG=90°,即AB=CE且AB①CE;①AB=2CE,AB①CE.理由：过点E作EG//AB交BP于点G,延长BA、EC交于点H,第6题解图①①①B=45°,EG//AB,①①EGD=①B=45°,①①ADB=①EDG,①①ABD①①EGD,①DEAD EG AB =, ①AD =2DE , ①22==DEDE EG AB , ①AB =2EG ,①①PCF =①B =45°,①①PCF =①EGD ,①EG =CE ,①AB =2CE ,①①HCB =①PCF =45°,①①H =180°-①B -①HCB =90°,①AB ①CE ;（2）MN 2=BM 2+CN 2.【解法提示】①①BCC'=①PCF =45°=①C'BC ,①①BC'C =90°,BC'=C'C ,①C'CN =135°,如解图①,将①CC'N 绕点C 顺时针旋转90°,得到①C'BQ ,连接QM ,第6题解图①则BQ =CN ,①BC'Q =①NC'C ,C'Q =C'N ,①①MC'N =①NC'C +①MC'C =45°,①①BC'Q +①MC'C =45°,①①QC'M =45°=①NC'M ,①C'M =C'M ,C'Q =C'P ,①①C'QM ①①C'NM （SAS ）,①QM =NM ,①①C'BQ =135°,①C'BM =45°,①①QBM =90°,①BQ2+BM2=QM2,即BM2+CN2=MN2.7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D从点B出发沿射线BA移动,同时,点E从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点D、E移动的速度相同,DE与直线BC相交于点F．(1)当点D在线段AB上时,过点D作AC的平行线交BC于点G,连接CD、GE,判定四边形CDG E的形状,并证明你的结论；(2)过点D作直线BC的垂线,垂足为M,当点D、E在移动的过程中,线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．解:(1)四边形CDGE是平行四边形．理由:如解图①,①D、E移动的速度相同, ①BD=CE,①DG①AE,①①DGB=①ACB, ①AB=AC,①①B=①ACB, ①①B=①DGB,①BD=GD=CE,又①DG①CE, ①四边形CDGE是平行四边形；(2)BM＋CF=MF或BM－CF=MF.【解法提示】如解图①,当点D在线段AB上时,由(1)得:BD=GD=CE,①DM①BC,①BM=GM,①四边形CDGE是平行四边形,①GF=CF,①BM＋CF=GM＋GF=MF；如解图①,当点D在线段BA的延长线上时,同理可得四边形ADGE是平行四边形,①CF=GF,①DG①AE,①①DGB=①ABG,①BD=DG,①DM①BC,①BM=MG,①MF=MG－FG,①BM－CF=MF.第7题解图8.已知:Rt△ABC的斜边AB上点D,E,满足∠DCE=45°．(1)如图①,当AC=1,BC且点D与A重合时,求线段BE的长；(2)如图①,当①ABC是等腰直角三角形时,求证:AD2＋BE2=DE2；(3)如图①,当AC=3,BC=4时,设AD=x,BE=y,求y关于x的函数关系式,并求x的取值范围.第8题图(1)解:如解图①,①①ACB=90°,BC AC=1,①AB=2, 过B作BF①AC交CE的延长线于F,①①F=①ACE,①①BCA=90°,①DCE=45°,①①BCE=①DCE,①①BCE =①F ,①BF =BC①①BEF ①①AEC ,①BE BF AE AC==①BE =3（2）证明:如解图①,过点A 作AF ①AB ,使AF =BE ,连接DF ,CF ,①在①ABC 中,AC =BC ,①ACB =90°,①①CAB =①B =45°,①①F AC =45°,①①CAF ①①CBE (SAS),①CF =CE ,①ACF =①BCE ,①①ACB =90°,①DCE =45°,①①ACD ＋①BCE =①ACB －①DCE =90°－45°=45°,①①ACF =①BCE , ①①ACD ＋①ACF =45°,即①DCF =45°, ①①DCF =①DCE ,又①CD =CD , ①①CDF ①①CDE (SAS), ①DF =DE ,①在Rt①ADF 中,AD 2＋AF 2=DF 2,①AD 2＋BE 2=DE 2；（3）解:如解图①,作①BCE ①①FCE ,①GCD ①①ACD ,延长DG 交EF 于H ,①①HFG =①B ,①HGF =①CGD =①A ,①A ＋①B =90°,①①DHF =90°,①FG =CF －CG =BC －AC =1,①B =①F ,①HF =45,HG =35, ①EH 2＋HD 2=ED 2, ①(y －45)2＋(x ＋35)2=(5－x －y )2, ①y =6028215x x --(0≤x ≤157)．第8题解图9.【操作发现】(1)如图①，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝30°，连接AF，EF.①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】(2)如图②，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝45°，连接AF，EF.请直接写出探究结果．①∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．第9题图解：(1)①∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠CAB ＝∠B ＝∠ACB ＝60°，∵∠ACB ＝60°，∠FCD ＝60°，∴∠FCA ＝∠BCD .在△FCA 与△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CD ∠FCA ＝∠BCD AC ＝BC，∴△FCA ≌△DCB ，∴∠CAF ＝∠B ＝60°，∴∠EAF ＝∠F AC ＋∠CAB ＝60°＋60°＝120°.②DE 与EF 相等．理由如下：∵∠FCD ＝60°，∠DCE ＝30°，∴∠FCE ＝30°，∴∠DCE ＝∠FCE ，在△FCE 与△DCE 中CF ＝CD ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ， ∴△FCE ≌△DCE ，∴EF ＝ED .(2)①∠EAF ＝90°.②ED 2＝AE 2＋BD 2.【解法提示】①∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴AC ＝BC ，∠BAC ＝∠B ＝45°，∵∠DCF ＝90°，∴∠ACF ＝∠BCD ，在①CF A 和①CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CD ∠ACF ＝∠BCD ，CB ＝CA∴△CFA ≌△CDB ，∴∠CAF ＝∠B ＝45°，AF ＝DB ，∴∠EAF ＝∠BAC ＋∠CAF ＝45°＋45°＝90°；②AE 2＋DB 2＝DE 2.理由如下：∵∠DCF ＝90°，∠DCE ＝45°，∴∠FCE ＝90°－45°＝45°，∴∠DCE ＝∠FCE ，在①DCE 和①FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CF ∠DCE ＝∠FCE CE ＝CE，∴△DCE ≌△FCE (SAS)，∴DE ＝EF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2，又∵AF ＝DB ，DE ＝EF ，∴AE 2＋DB 2＝DE 2.10. 问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上(不与A ，B 重合)，DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ，记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2.(1)初步尝试：如图①，当△ABC 是等边三角形，AB ＝6，∠EDF ＝∠A ，且DE ∥BC ，AD ＝2时，则S 1·S 2＝________；(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD ＝4，再将∠EDF 绕点D 旋转至如图②所示位置，求S 1·S 2的值；(3)延伸拓展：当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α.(Ⅰ)如图③，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1·S 2的表达式(结果用a ，b 和a 的三角函数表示)；(Ⅱ)如图④，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1·S 2的表达式，不必写出解答过程．第10题图解：(1)12；【解法提示】如解图①，过点D 分别作DG ⊥AC 于点G ，作DH ⊥BC 于点H .∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝60°，∵AB ＝6，AD ＝2，∴BD ＝4，∴在Rt △ADG 和Rt △BDH 中，DG ＝AD ·sin60°＝2×32＝3，DH ＝BD ·sin60°＝4×32＝23， ∵DE ∥BC ，∠EDF ＝∠A ＝60°，∴∠AMD ＝∠EDF ＝∠DNB ＝60°.∴△ADM 和△BDN 均为等边三角形．∴S 1·S 2＝12×2×3×12×4×23＝12.第10题解图(2)如解图②，过点D 分别作DG ⊥AC 于点G ，作DH ⊥BC 于点H . ∵∠A ＝∠EDF ＝60°，∴∠1＋∠2＝∠1＋∠BDF ＝120°，∴∠2＝∠BDF .又∵∠A ＝∠B ，∴△ADM ∽△BND ，∴AD BN ＝AM BD ，即4BN ＝AM 2. ∴AM ·BN ＝8，∵在Rt △ADG 和Rt △BDH 中，DG ＝AD ·sin60°＝4×32＝23， DH ＝BD ·sin60°＝2×32＝3， ∴S 1·S 2＝12AM ·23·12·BN ·3＝32·AM ·BN ＝32×8＝12； (3)(Ⅰ)如解图③与(2)同理可得AM ·BN ＝AD ·BD ＝ab ，DG ＝AD ·sin α，DH ＝BD ·sin α，∴S 1·S 2＝12AM ·DG ·12BN ·DH ＝12×12ab ·AD ·BD ·sin 2α＝14a 2b 2sin 2α. (Ⅱ)S 1·S 2＝14a 2b 2sin 2α.第10题解图③。

2021年中考数学三轮专题冲刺：三角形(含答案)

2021中考数学三轮专题冲刺：三角形一、选择题1. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B=30°，∠ADC=70°，则∠C的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°2. 下列命题是假命题的是()A.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B.同角(或等角)的余角相等C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D.正方形的对角线相等，且互相垂直平分3. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是()A. 6B. 3C. 2D. 114. 在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则()A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°5. 在△ABC中，∠A＝2∠B＝70°，则∠C的度数为()A．35°B．40°C．75°D．105°6. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是()A. 5B. 7C. 8D. 107. 如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是()A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为()A．70°B．108°C．110°D．125°二、填空题9. 如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD=∠ABC=40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE=°.10. 如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线．若∠B＝71°，则∠BAC＝________．11. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD 的面积之比是________．12. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为cm.13. 如图所示，在△ABC 中，∠A ＝36°，E 是BC 延长线上一点，∠DBE ＝23∠ABE ，∠DCE ＝23∠ACE ，则∠D 的度数为________．14. 模拟某人为机器人编制了一段程序(如图)，如果机器人以2 cm /s 的速度在平地上按照程序中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为________s .15. 在△ABC 中，∠A ＝50°，∠B ＝30°，点D 在AB 边上，连接CD.若△ACD为直角三角形，则∠BCD 的度数为________．16. 如图，在△ABC 中，点D 在BC 的延长线上，∠A ＝m°，∠ABC 和∠ACD的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…；∠A 2019BC 和∠A 2019CD 的平分线交于点A 2020，则∠A 2020＝________°.三、解答题17. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B ＝35°，∠BAD ＝30°，求∠C 的度数．18. 如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是AB边上的高，且∠ACB=60°，∠ADB=97°，求∠A和∠ACE的度数.19. 如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC.(1)如图①，作∠BAC的平分线AD，与CB，BE分别交于点D，F.求证:∠EFD=∠ADC;(2)如图②，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD，交CB的延长线于点D，反向延长AD交BE的延长线于点F，则(1)中的结论是否仍然成立?为什么?20. 已知：如图11－Z－12，在△ABC中，∠ABC＝∠C，D是AC边上一点，∠A ＝∠ADB，∠DBC＝30°.求∠BDC的度数．21. 如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高．(1)若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；(2)若∠C＞∠B，猜想∠DAE与∠C－∠B之间的数量关系，并加以证明．2021中考数学三轮专题冲刺：三角形-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]∵∠ADC=70°，∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC-∠B=70°-30°=40°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=80°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-80°=70°，故选C.2. 【答案】A3. 【答案】A【解析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则第三边长大于4小于10.4. 【答案】D[解析]不妨设∠A=∠C-∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选D.5. 【答案】C6. 【答案】D【解析】∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥BC，DE＝12AB，DF＝12BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AB＝4，BC＝6，∴DE＝BF＝2，DF＝BE＝3，∴四边形BEDF的周长为：2(DE＋DF)＝10.7. 【答案】B[解析] 因为∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(∠AED＋∠ADE)，所以∠B＋∠C＝∠AED＋∠ADE.在四边形BCED中，∠1＋∠2＝360°－∠B－∠C－∠A′ED－∠A′DE＝360°－(∠B＋∠C)－(∠AED＋∠ADE)＝360°－2(180°－∠A)，化简得∠1＋∠2＝2∠A.8. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠BCP＝∠1＋∠BCP＝∠ACB＝70°.∴∠BPC＝180°－∠2－∠BCP＝180°－70°＝110°.二、填空题9. 【答案】20[解析]∵∠BAD=∠ABC=40°，∴∠ADC=∠BAD+∠ABC=40°+40°=80°.∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠ADE=∠ADB=180°-∠ADC=180°-80°=100°.∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°.10. 【答案】38°【解析】∵AD∥BC，∠B＝71°，∴∠EAD＝∠B＝71°.∵AD 是∠EAC的平分线，∴∠EAC＝2∠EAD＝142°，∴∠BAC＝180°－∠EAC＝180°－142°＝38°.11. 【答案】4∶3【解析】如解图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则S△ABD S△ACD＝12AB·h12AC·h＝43.12. 【答案】19[解析] ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.∴△ABD的周长-△ACD的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.∵△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，∴△ACD的周长为25-6=19(cm).13. 【答案】24°[解析] ∠D ＝∠DCE －∠DBE ＝23∠ACE －23∠ABE ＝23(∠ACE －∠ABE)＝23∠A ＝23×36°＝24°.14. 【答案】16[解析] 由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，多边形的边数为36045＝8，则所走的路程是4×8＝32(cm)，故所用的时间是32÷2＝16(s)．15. 【答案】60°或10° [解析] 分两种情况：(1)如图①，当∠ADC ＝90°时， ∵∠B ＝30°，∴∠BCD ＝90°－30°＝60°；(2)如图②，当∠ACD ＝90°时，∵∠A ＝50°，∠B ＝30°， ∴∠ACB ＝180°－30°－50°＝100°. ∴∠BCD ＝100°－90°＝10°. 综上，∠BCD 的度数为60°或10°.16. 【答案】(m22020)三、解答题17. 【答案】解：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠BAD ＝2×30°＝60°.∴∠C ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－35°－60°＝85°.18. 【答案】解:∵∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC=74°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°.∵CE是AB边上的高，∴∠AEC=90°.∴∠ACE=90°-∠A=44°.19. 【答案】解:(1)证明:∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，且∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC.(2)∠EFD=∠ADC仍然成立.理由:∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD.∵∠F AE=∠GAD，∴∠F AE=∠BAD.∵∠EFD=∠AEB-∠F AE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，且∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC.20. 【答案】解：设∠C＝x°，则∠ABC＝x°，∠ABD＝x°－30°.∵∠ADB是△DBC的外角，∴∠ADB＝30°＋x°，于是∠A＝30°＋x°.在△ABD中，2(30＋x)＋(x－30)＝180，解得x＝50.故∠BDC＝180°－(30°＋50°)＝100°.21. 【答案】解：(1)在△ABC 中，∵∠B ＝50°，∠C ＝60°， ∴∠BAC ＝70°.∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ＝35°. ∵AE 是BC 上的高，∴∠AEB ＝90°. ∴∠BAE ＝90°－∠B ＝40°. ∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝5°. (2)∠DAE ＝12(∠C －∠B)．证明：∵AE 是△ABC 的高， ∴∠AEC ＝90°. ∴∠EAC ＝90°－∠C. ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAC ＝12∠BAC.∵∠BAC ＝180°－∠B －∠C ， ∴∠DAC ＝12(180°－∠B －∠C)． ∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAC ＝12(180°－∠B －∠C)－(90°－∠C) ＝12(∠C －∠B)．。

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