马井堂-高考数学汇编-第3讲函数与方程及函数的应用(学生)

马井堂-高考数学汇编-专题 1 函数与导数、不等式
第3讲 函数与方程及函数的应用
一．瞄准高考
1.函数的零点
(1)三个等价关系：方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．
(2)函数零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f (a )f (b )<0,那么函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )＝0,这个c 也就是方程f (x )＝0的根．
(尤其注意,f (a )f (b )<0是“函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有零点”的充分不必要条件)
2.函数模型及其应用
解决实际应用题,一般先考虑建立函数解析式,将其函数化,然后运用函数的知识解决问题.具体策略是:
(1)审:审即审题,首先通过阅读能准确理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步预测所属数学模型,这一步是基础.
(2)建:建即建立数学模型,也就是将文字语言转化为数学语言,利用已有的数学知识,建立相应的数学模型.正确进行建“模”是解应用题的关键的一步.
(3)解:解即求解数学模型,得到数学结论.解题时,一要充分注意数学模型中元素的实际意义,二要注意优化过程.
(4)答:答即将数学结论还原为实际问题的结果.
二．解析高考
题型一 函数零点的判定
例1 已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6.
(1)证明：f (x )在其定义域上是增函数；
(2)证明：f (x )有且只有一个零点；
(3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过14
.
题型二 函数与方程的综合应用
例2 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象的零点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范围.
【变式】已知a、b是不全为0的实数,求证：方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个根．
题型三函数模型及应用
例3某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD
的中点P处,已知AB＝20 km,CB＝10 km,为了处理三家工厂的污
水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且与A,B等距离的一点O
处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的
总长为y km.
(1)按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO＝θ(rad),将y表示成θ的函数关系式；
②设OP＝x(km),将y表示成x的函数关系式．
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂位置,使三条排污管道总长度最短．
三．感悟高考
1．判断函数的零点,要善于运用“三个转化”,时常将函数的零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题,或转化为两个函数图象交点问题．需特别注意的是下面式子是错的：“f(a)f(b)<0⇔函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点”．
2．对函数零点的考查,通常以函数为载体判断方程根的个数,或以此为背景求参数的范围,此类问题都是利用数形结合,借助函数图象(复杂函数的图象可用导数工具)加以解决．
3．与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
4．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析,处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．
四．备战高考
1.若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3,那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是.
2.设函数y＝x3与y＝(1
2)
x－2的图象的交点为(x
,y0),若x0所在的区间为(k,k+1)(k∈Z),则
k= .
3.(2010·福建)函数
223,0,
()
2ln,0
x x x
f x
x x
⎧+-≤
=⎨
-+>
⎩
的零点个数为.
4.食用油的零售价今年比去年只上涨25%,政府欲使明年比去年上涨10%,则明年比今年降
价.
5.已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a,b],且b－a＝1,a,b∈N*,则a＋b＝________.
6.已知函数f(x)＝x2－1,g(x)＝a|x－1|.若|f(x)|＝g(x)有两个不同的解,则a= .
7.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时
1
2
log(1).[0,1)
()
1|3|,[1,)
x x
f x
x x
+∈
⎧⎪
=⎨
⎪--∈+∞
⎩
,则关于x的方程f(x)
＝a(－1<a<1)的所有根之和S= (用a表示)．
8.(2009·山东)若函数f(x)＝a x－x－a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是
________．
9.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若f(－1)＝0,试判断函数f(x)的零点个数；
(2)若对∀x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明∃x0∈(x1,x2),使f(x0)=1
2[f(x1)+f(x2)]成立.
10.某生产旅游纪念品的工厂,拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算,
该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t＋1成反比例．若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元,每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生产成本－促销费用)
(1)求出x与t所满足的关系式；
(2)请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；
(3)试问：当2010年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大？。