棱锥的概念与性质1
棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
棱锥极其性质
棱锥概念引入
棱锥印象举例
棱锥定义讲解
棱锥概念引入
观察下列多面体,有什么相同点
棱锥印象举例
棱锥定义讲解
1.棱锥定义
定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形， 那么这个多面体叫做棱锥
S
（1）棱锥的基本概念 底面与侧面 侧棱 顶点 高
D E
C B
S SSSS S S SS S S SS
S
E A OO O O OOOO O OOO O G GG G G GGGG GGGG G B BBBB返回 B B BBB B BB
O
D
C
B
2.正棱锥及其性质
（1）正棱锥定义 正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射 影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
（ 2） 证 （ 3） 证
SA1 A1B1 SA AB
SA1 SH 1 SA SH
E1 A1 B1
D1
H1
D
C1
E A B
2.面积比与高的平方比的证明思路 思路：相似多边形面积比 等比相似比的平方
H
C
返回
3. 棱锥的性质 定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截。那么截面和底面 相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的 高的平方比。
棱锥基本概念
A
棱锥的基本概念
S
棱锥的顶点 棱锥的侧棱
棱锥的高
D E A O B
棱锥的侧面
棱锥的底面
表示法
C
1.棱锥定义
定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其
S
（1）棱锥的基本概念 底面与侧面 侧棱 顶点 高 （2）棱锥的表示方法 如：S-ABCDE 或 S-AC （3）棱锥的分类
棱柱与棱锥
食盐
明矾
石膏
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C D
A
E 问：以上多面体哪个为凸多面体？
B
多面体分类：
按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等
（3）正多面体：
定义：每个面都是有相同边数正多边形，且以每个顶点 为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。
例3 作一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱 锥直观图。(比例尺1:5)
y
D E N C E1 N1
1 D ·
y1
o
A M B
x
A1
· M1
o
· 1
B1
C1
x1
正棱锥的直观图的画法
S
z’
y’
D
E A O’ B C x’
画轴．画 加以整理，就得到所画的正五棱锥的直观图 x′轴、 y′SB 轴、 z′ 轴，记坐标原点为 O′ ，使 ， 画底面．按 x′ 轴、 y′、 轴画正五边形的直观图 ABCDE ..成图．连结 画高线．在 z′ SA 轴上取 、 O′S SC ＝ 、 11.5 SD、 ÷SE 5＝ ， 2.3(cm) ． ∠ x′O′y′＝45°，∠x′O′z′ ＝1(cm) 90° ，并使正五边形的中心 按比例尺取边长等于 5÷ 5＝ 对应于点O′．
直观图的画法 E’ z’ D’ C’
y’
F’ A’
E D
E1
O’
B’
D1
C1 x’ B1
F A B
C
F1 A1
直棱柱的直观图的画法
E’ F’ A’
z’
棱锥的概念和性质
E H
D
C
又∵
'
过SC、SH的平面与截面和 底面分别交于 C ' H ' 和 CH
'
C H // CH , 得
C B CB
'
'
SC SC
'
SH SH
'
A
B
A B
'
'
同理
'
SH SH
'
,...
S
'
AB
A B AB
'
B C BC
'
'
SH SH
D
'
因此
底面A’B’C’D’E’ ∽底面ABCDE
( B ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3 1 )
( C ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3 2 )
( D ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3
2)
提示：
3.
D
4.C
应用
例1 已知正三棱锥S-ABC的 高SO=h，斜高SM= l
求 .经过SO的中点平行于底面的 截面 A ' B ' C ' 的面积.
棱锥的高
D E A
棱锥的侧面
O
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
棱锥的底面
棱锥的分类
三棱锥
棱 底边的边数 锥 四棱锥
S
五棱锥
六棱锥 ……
D E O C
A
B
棱锥有如下重要性质
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么， 截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱 锥的高和已知棱锥的高的平方比
棱锥有关概念及性质
解题回顾】 点 到面 到面A 的距离， 【 解题回顾 】(3)点 B到面 1ACC1 的距离 ， 即 为三棱锥B—AA1C的高 ， 可由三棱锥的体积 的高， 为三棱锥 的高 转换法而求得， 转换法而求得，即VB - AA C = V A - ABC 1 1
4.三棱锥 三棱锥S-ABC是底面边长为 的正三角形 ， A 是底面边长为a的正三角形 三棱锥 是底面边长为 的正三角形， 在侧面SBC上的射影 是△SBC的垂心 上的射影H是 的垂心. 在侧面 上的射影 的垂心 (1)证明三棱锥 证明三棱锥S—ABC是正三棱锥； 是正三棱锥； 证明三棱锥 是正三棱锥 (2)设BC中点为 ，若 设 中点为 中点为D，
解题回顾】 求距离时， 用了多次转化； 【 解题回顾 】 求距离时 ， 用了多次转化 ； 求 二面角的平面角时， 直接用定义， 二面角的平面角时 ， 直接用定义 ， 本题有新 意。
2.求证 ： 平行六面体的对角线交于一点 ， 且在 求证： 平行六面体的对角线交于一点， 求证 这点互相平分。 这点互相平分。
sin2 α +sin2 β+ sin2 γ=2 返回
能力·思维· 能力·思维·方法
1. 在底面是直角梯形的四棱锥 P- ABCD 中，侧 美国广播公司=90 °， 棱 PA ⊥底面 ABCD ，∠美国广播公司 PA 西元前 =AB= =2 西元，=1 西元， (1)求 D 到平面 PBC 的距离； 的距离； 求 (2)求面 PAB 与面 PCD 所成的 求面 二面角的大小 二面角的大小
返回
延伸· 延伸·拓展
5.已知直三棱柱美国广播公司 A1B1C1 ， AB 已知直三棱柱美国广播公司— 已知直三棱柱美国广播公司 上一点， 西元前 =AC ， F 为 BB1 上一点， BF==2 ， FB1=一。 一 (1) 若 D 西元前为中点 ， E 西元为上不同于 西元前为中点， A,D 的任意一点，求证： EF ⊥ FC1 ； 的任意一点，求证： (2)若 A1B1=3 ，求 FC1 与平面 AA1B1B 所成角 若 的大小。 的大小。 【说明】本例 (1) 中，由于 E 西元在上的任意 说明】 给证题带来些迷惑，但若认真分析题意， 性 ， 给证题带来些迷惑 ， 但若认真分析题意 ， 点位置是无关的。 将会发现 EF ⊥ FC1 与 E 点位置是无关的。
高二数学 棱锥基本性质及其应用
高二数学棱锥基本性质及其应用本周学习内容：棱锥的性质、侧面积公式及体积公式；本周学习重点：棱锥的性质及其应用一、基本概念1. 定义、概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面构成的几何体叫棱锥。
2. 分类：按底面多边形的数，(底面、侧面、棱、侧棱、顶点、高、斜高)3. 棱锥的性质：1. 平行于底面的截面与底面是相似的多边形；2. 有一个面是多边形，其余各面是三角形，但反之不然。
4. 正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
判断一个棱锥是否是正棱锥必须满足下列两个条件：一是底面是正多边形，二是顶点在底面上的射影是正多边形的中心。
5. 正棱锥的性质：1. 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高；2. 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
6. 棱锥的体积及侧面积：；棱锥的侧面积等各侧面三角形面积之和。
二、相关例题：例1. 判断问题：(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥。
( )(2)所有的侧棱都相等的棱锥是正棱锥。
( )(3)侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥。
( )例2. 如图正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的大小为( C )A. 30°B. 60°C.D.例3.若正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则底面与底面所成的二面角是( D )(A)15° (B)30° (C)45° (D)60°分析：可利用二面角的定义或者说二面角的投影面积公式得到答案例4.正四棱锥的侧棱与底面成45°角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为( D )(A)(B)(C)(D)分析：可设棱高为1，通过转化可得顶点在底面的射影到正多边形的距离，进而可得。
七年级有关棱锥的知识点
七年级有关棱锥的知识点棱锥是一种几何体，由一个多边形的底面和相连的三角形面组成。
在七年级数学学习中，棱锥是一个比较重要的概念，掌握相关知识对于学生来说是非常必要的。
下面我们将介绍有关棱锥的各种知识点。
一、棱锥定义棱锥是一种几何体，由一个多边形的底面和相连的三角形面组成。
底面的任意两点之间都可以用棱线连接起来，并在每条棱线的一端连接一条三角形面，形成一个尖端。
尖端处的三角形面称为棱锥的顶面，连接顶面的每一条棱线都称为棱锥的母线。
棱锥的高是从顶面到底面的垂直距离。
二、棱锥分类1. 正棱锥：当上下底面为正多边形且底面中心与顶点连线垂直时，称其为正棱锥。
2. 锥顶角：将任意一点向顶点作射线，这条射线与棱锥底面相交成角，称为锥顶角。
3. 棱锥的性质：- 棱锥的侧面是由底面上的每一条边与顶面连接而成；- 棱锥的侧面三角形两边之和大于第三边；- 棱锥的底面视情况而定，可以是任何多边形。
三、棱锥图形的测量1. 棱锥体积公式：棱锥的体积可以用下式来计算：V = 1/3 ×底面面积 ×高其中，底面面积指的是棱锥底面所围成的面积大小，高为从顶面到底面的垂直距离。
2. 棱锥侧面积公式：棱锥的侧面积可以用下式来计算：S = 1/2 ×母线 ×母线生成的三角形面积其中，母线指的是棱锥底边的一条边，母线生成的三角形面积指的是以该条母线为斜边的棱锥侧面三角形围成的面积。
综上所述，棱锥是一种基本几何体，在七年级数学的双入口阶段中，掌握棱锥的相关知识点是很重要的。
希望通过本文的介绍，能够帮助学生们更好的理解和掌握棱锥的知识。
棱柱和棱锥知识点归纳总结
棱柱和棱锥知识点归纳总结棱柱和棱锥是几何学中常见的立体图形，它们都具有特定的几何属性和计算方法。
本文将对棱柱和棱锥的定义、性质和计算方法进行归纳总结。
一、棱柱的定义与性质棱柱是指具有两个平行的底面，并且侧面由若干个连接两个底面相对点的四边形构成的立体图形。
棱柱的侧面都是平行四边形，而底面则可以是任意形状的多边形。
棱柱的性质包括：1. 底面：棱柱有两个相同形状的底面，且底面之间平行。
2. 侧面：棱柱的侧面是若干个平行四边形，且平行四边形两对边相互平行。
3. 高度：棱柱的高度是两个底面之间的垂直距离。
4. 体积：棱柱的体积等于底面面积乘以高度，即V = 底面积 ×高度。
5. 表面积：棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面的面积之和。
二、棱锥的定义与性质棱锥是指具有一个底面和一个顶点，并且侧面由底面上的点与顶点相连而成的三角形构成的立体图形。
棱锥的底面可以是任意形状的多边形，而侧面都是三角形。
棱锥的性质包括：1. 底面：棱锥有一个底面，可以是任意形状的多边形。
2. 顶点：棱锥有一个顶点，位于侧面的同一平面上。
3. 侧面：棱锥的侧面是若干个三角形，每个三角形的一个顶点是棱锥的顶点。
4. 高度：棱锥的高度是从顶点向底面垂直引出的线段。
5. 体积：棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3，即V = (底面积×高度) / 3。
6. 表面积：棱锥的表面积等于底面积加上所有侧面的面积之和。
三、棱柱和棱锥的计算方法1. 底面积的计算：棱柱和棱锥的底面积可以根据底面的形状来计算，比如矩形的底面积等于长乘以宽，三角形的底面积等于底边乘以高再除以2。
2. 侧面积的计算：棱柱和棱锥的侧面积可以根据其侧面的形状来计算，比如平行四边形的侧面积等于底边乘以高，三角形的侧面积等于底边乘以高再除以2。
3. 体积的计算：棱柱的体积等于底面积乘以高度，棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3。
通过了解棱柱和棱锥的定义、性质以及计算方法，我们可以更好地理解和运用这两个几何图形。
棱锥概念和性质
(4)正棱锥的侧棱与底面所成角相等 (4)正棱锥的侧棱与底面所成角相等 (5)正棱锥的侧面与底面所成二面角相等 (5)正棱锥的侧面与底面所成二面角相等
(6)正棱锥定点在底面上的射影为底面正 (6)正棱锥定点在底面上的射影为底面正 多边形的外接圆圆心和内接圆的圆心。 多边形的外接圆圆心和内接圆的圆心。
A P
4
D O C B
6
练习2 练习2
正三棱锥P ABC侧棱长为 正三棱锥P-ABC侧棱长为5，底 侧棱长为5 面边长为6 面边长为6，求： 侧棱PA与底面ABC的夹角。 PA与底面ABC的夹角 （1）侧棱PA与底面ABC的夹角。 侧棱PA与底边BC PA与底边BC所成的 （2）侧棱PA与底边BC所成的 角。 侧面PAB与底面所成的角。 PAB与底面所成的角 （3）侧面PAB与底面所成的角。 侧面PAB与侧面PBC PAB与侧面PBC所成 （4）侧面PAB与侧面PBC所成 A 的两面角。 的两面角。
二 选择
1 已知一个正四棱锥，它的相邻两个 已知一个正四棱锥， 侧面所成的二面角的平面角是（ 侧面所成的二面角的平面角是（ ）
A
锐角
B 钝角 C直角 D以上均有可能
2 一棱锥被平行于底面的截面所截，顶点到 一棱锥被平行于底面的截面所截，
离与截面到底面的距离比为2： ， 截 面的距 离与截面到底面的距离比为 ：3， 则截面与底面的面积比为（ 则截面与底面的面积比为（ ）
（A) 2:5 (C) 2:3
(B) 4:25 (D) 4:9
3.正四棱锥S ABCD中 底面边长为2 3.正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高 正四棱锥 为2，求：（1）侧棱长 （2）棱锥的高 侧棱与底面所成的角的正切值 所成的角的正切值； （3）侧棱与底面所成的角的正切值； 侧面与底面所成的角； （4）侧面与底面所成的角； S
棱锥的概念和性质PPT课件
2020年10月2日
1
观察下列图形，概括出棱锥的概念：
2020年10月2日
2
棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，
这些面围成的几何体叫做棱锥。
S
棱锥的顶点
棱锥的高
E
棱锥的侧棱
D O AB
棱锥的侧面
C
棱锥的底面 返回
棱锥的分类
按底面多边形的边数分为：三棱 锥，四棱锥，五棱锥等。
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
10
2020年10月2日
4
正棱锥的定义
如果一个棱锥的底面是正多边 形，并且顶点在底面内的射影是底 面中心，这样的棱锥叫正棱锥。
2020年10月2日
5
正棱锥的基本性质
S
1、各侧棱相等，各侧 面是全等的等腰三角形。
2、两条斜高相等。
D
3、斜高大于高。
E
O
C
G
F
AB
正棱锥的重要性质
例 1： 已 知 ： 正 四 棱 锥 S－ － A BC D中 ， 底 面 边 长 为 2，
图形 ，是 正棱 锥的关键 部分。它 集
中反 映了 正棱 锥的线面 关系，将 正
棱 锥 中 基 本 量 L ， h， h ′ ， a ， R ， r，
以及 侧棱 与底 面所成角 ，侧面与 底
h
h’
面所 成的 角， 通过四个 直角三角 形
有机 地联 系在 一起，因 而解题时 可
r
将题 目中 各量 转化进这 个小三棱 锥 O 中进行计算。
斜 高 为 2。 求 ： （ 1） 侧 棱 长 ； （ 2） 棱 锥 的 高 ； （ 3）
棱锥
三、棱锥的性质：
1.棱锥的性质： 定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截 面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的平方比。
2.正棱锥的性质: (1)正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形,各等腰 三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高). (2)正棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直 角三角形;正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一 个直角三角形;正棱锥的侧棱、斜高及底面的半边长组成一个 直角三角形；正棱锥的侧棱在底面上的射影、斜高在底面上 的射影及底面的半边长组成一个直角三角形.
（答：4）
F
B C E
A
D G
例6.正三棱锥的底面边长为a,侧棱与底面成45º 角,求此棱锥 的侧面积和体积. S P
A O A O D B D
C
B
C
例7.棱锥的底面ABCD为梯形,∠DAB= ∠ABC=90º .AD=2a,AB=BC=a,侧棱PA⊥平面ABCD, PA=a,求四棱锥P- ABCD的侧面积.
(5)正四面体的外接球半径 (6)正四面体的内切球半径
R 6 a 4
r
6 a 12
(7)正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为 3 : 1，且R+r =h.
S 3a2 (8)正四面体的表面积
(9)正四面体的体积
V
2 3 a 12
特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法(割补成易 求体积的多面体);补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分 割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是_____ （答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性 质转换)法等.
例8.棱锥P-ABCD的底面是正方形,侧面PAB,PAD都垂直于 底面,另两侧面都与底面成45º 角,M,N分别为BC,CD的中点,最 长的侧棱为15cm,求: (1)棱锥的高; (2)棱锥底面中心O到平面PMN的距离. P
棱锥的概念和性质
18
练习2（1）一正棱锥的所有侧面与底面所成的角为600，
高是 3，则它的斜高为 2
（2）已知正三棱锥的底面边长为a，过各侧棱中点
的截面面积为
3a2
16
（3）一个棱锥被平行于底面的截面所截，若截面
面积与底面面积之比为1：2，求棱锥的高被分成的
两段的比。（自上而下） 1: ( 2 1)
2019/5/19
2019/5/19
17
练习1、判断正误： （1）正棱锥的侧面是正三角形； （2）正棱锥的侧面是等腰三角形； （3）底面是正多边形的棱锥是正棱锥； （4）正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等； （5）侧棱都相等的棱锥是正棱锥； （6）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何 体是棱锥
2019/5/19
3AB2=
4
43×4×3（ l 2 - h 2）
根据棱锥截面的性质，有
OC
S △A’B’C’ S△ABC
=
1 4
B
2019/5/19
S △A’B’C’ = 3 3 （l 2 - h 2）
4
过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面15
例 2 ：已知：正四棱锥 S－－ABCD 中，底面边长为 2，斜 高为 2。求：（1）侧棱长； （2）棱锥的高； （3）侧 棱与底所成的角的正切值； （4）侧面与底面所成的角；
=
SH’ SH
A’ E’
D’ H’ C’
同理
B’C’ BC
=
SH’ SH
…
∴A’B’ AB= NhomakorabeaB’C’ BC
=
…
=
SH’ SH
B’
因此截面A’B’C’D’E’∽底面ABCDE
棱锥1
土豆形态的身材和有些魔法的浅黑色萝卜模样的皮肤，似乎有点猛爆而霸气，他头上是神气的淡黄色谷堆般的头发，戴着一顶崭新的墨灰色谷堆似的弹弓雪影盔，他上穿破旧
的暗红色熊猫一样的试管枫翠灵冰衫，下穿古怪的的亮白色犀牛一样的面包云舞围腰，脚穿古怪的暗橙色怪石一样的冬瓜微宫鞋……有时很喜欢露出露着尖细的粉红色烟囱般
的水红色喷壶耳朵，鼻子下面是脏脏的亮灰色狮子一般的嘴唇，说话时露出破烂的锅底色狼精似的牙齿，一条肥胖的银橙色板尺样的舌头仿佛特别朦胧温柔。他活似白杏仁色
海参一样的身材仿佛特别风流和寒酸，粗壮的金橙色细小路灯模样的胡须仿佛特别粗野同时还隐现着几丝标新立异。粗壮的碳黑色肥肠般的面罩确实非常飘忽不定但又露出一
2. 已知一个正六棱锥的高为h，侧棱为l ，求它
的底面边长和斜高。
作业布置 习题9.8： 2、3、5
教学目的
棱锥
1、了解棱锥及其底面、侧面、侧棱、顶点、高 以及正棱锥及其斜高的概念。
2、掌握一般棱锥的性质及正棱锥的性质。 3、掌握锥体的体积公式。
重点难点分析
重点：一般棱锥的性质和正棱锥的性质。
新课讲授
1. 棱锥的概念 （1）定义：有一个面是多边形，其余各面是
有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何 体叫做棱锥。这个多边形叫做棱锥的底面，其 余各面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫 做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的 顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
牙刷模样的骨骼确实非常迷离而与众不同，那种优雅的暗绿色鸡爪一般的神态真的有些冷酷又酷野。…………那个身穿破旧的灵冰衫的精英是
爱瓜乌保镖。他出生在
Ｄ．日西日世界的钢轨湖，绰号：八腿驴肾！年龄看上去大约十岁左右，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十多公斤。此人最善使用的兵器是『白风
棱 锥
底面的距离比为
。
A′
B′
A B
E′
H′
D′ C′
D C
E H
例4． ．
一棱锥被平行于底面的截面所截， 一棱锥被平行于底面的截面所截， 顶点到截面的距离与截面到底面的 距离比为2：3，则截面与底面的面 距离比为2 积比为（ 积比为（ ）
B
（A) (C) 2:5 2:3 (B) (D) 4:25 4:9
D．3个 ． 个
5)棱锥的性质
S
截面A' B' C ' D ' ∽ 底面ABCDE D’ A’ C’ B’
E’
S A'B 'C 'D 'E ' SH '2 = S ABCDE SH 2
D O
E A
C B
棱锥
5) 性质： 如果棱锥被平行于底面的平面所截， 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么 截面和底面相似， 截面和底面相似，并且他们的面积的比等于 截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。 截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。 面积比=相似比的平方 相似比的平方） （面积比 相似比的平方）
注: 如果两个多边形的各对应角 相等,各对应边的比也相等 各对应边的比也相等,那么 相等 各对应边的比也相等 那么 这两个多边形是相似多边形.相似 这两个多边形是相似多边形 相似 多边形的面积比等于对应边的平 方比.
中截面： 中截面：经过棱锥高的 中点且平行于底面的截 叫棱锥的中截面 面，叫棱锥的中截面
A′B′ SA′ SH ′ BC ′ SH ′ = = . 同理, = ,- - AB SA SH BC SH A′B′ B′C ′ SH ′ ∴ = = --- = . AB BC SH
棱柱、棱锥的概念和性质
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
三角形
3
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底
面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六
棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边
形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长
必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
15
题型二 棱柱、棱锥中的平行与垂直 【例2】如图所示，在直三棱柱ABC—
A1B1C1中，∠ACB=90°,AB=2,BC=1, AA1= 3 . （1）证明：A1C⊥平面AB1C1； （2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点 E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质 定理.
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直
D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直
3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为
初中数学知识归纳棱锥的基本概念与性质
初中数学知识归纳棱锥的基本概念与性质在初中数学中，我们学习了很多几何形体的知识，其中包括棱锥。
本文将对棱锥的基本概念和性质进行归纳总结。
通过对棱锥的深入了解，我们可以更好地理解和运用这一几何形体。
一、棱锥的定义棱锥是由一个多边形的一个顶点和其他顶点连线所围成的几何体。
这个多边形叫做底面，其他顶点叫做棱锥的顶点，连接底面和顶点的线段叫做棱锥的侧面。
二、棱锥的分类根据棱锥底面的形状，我们可以将棱锥分为不同的类型，比如三角锥、四边形锥、五边形锥等等。
1. 三角锥：棱锥的底面是一个三角形，侧面是由底面的三条边和顶点连接而成的三个三角形。
2. 四边形锥：棱锥的底面是一个四边形，侧面是由底面的四条边和顶点连接而成的四个三角形。
3. 五边形锥：棱锥的底面是一个五边形，侧面是由底面的五条边和顶点连接而成的五个三角形。
以此类推，根据底面形状的不同，我们可以得到不同类型的棱锥。
三、棱锥的性质除了以上的分类，棱锥还有一些基本的性质，它们有助于我们理解和计算棱锥的各个方面。
1. 棱锥的顶角：棱锥的顶点所对应的角叫做棱锥的顶角。
棱锥的顶角可以由顶点和底面上的两个相邻顶点连接线所围成。
2. 棱锥的高：棱锥的高是从顶点到底面上垂直的一条线段。
我们可以通过底面到顶点的长度和顶角的大小来计算棱锥的高。
3. 棱锥的体积：棱锥的体积是指棱锥所包围的三维空间的容积大小。
计算棱锥的体积可以使用公式V=1/3Ah，其中A表示底面的面积，h表示棱锥的高。
四、棱锥的应用棱锥作为几何形体，有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑学：许多建筑物的屋顶形状就是棱锥，例如一些教堂或塔楼的尖顶。
2. 地质学：地质学中的山峰或山脉形状可以近似看作棱锥。
3. 工程学：一些锥形状的工程设施，如防波堤或烟囱，也属于棱锥的应用。
通过学习和了解棱锥的基本概念和性质，我们可以更好地应用数学知识来解决与棱锥相关的问题。
同时，这也有助于我们在现实生活中观察和理解棱锥形状的事物。
棱锥的概念与性质(一)
二、棱锥的表示
如图中的棱锥可表示为棱锥S— ABCDE或者棱锥S—AC
S
三、棱锥的分类
A
O
E C
D
B
三棱锥
四棱锥
五棱锥
四、棱锥的性质
定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么所得的截面与底面相似，截面面 积与底面面积的比等于顶点到截面的 距离与棱锥的高的平方比。 S
已知： 如图，在棱锥S—AC中，SH是 D1 高。截面A1B1C1D1E1 平行于底面 ， E1 H1 A1 并与SH交于H1。 求证： B1 E 截面A1B1C1D1E1∽ 底面ABCDE，且
3 ( l2 _ h2 )
s
∴
S
△ A1 B1 C1
=
( l 2_ h 2 )
七、练习：
1、三棱锥P—ABC各侧面与底面所成的 二面角都是600，底面三角形的边长分别 为 3、4、5，求此棱锥的侧面积。
PHale Waihona Puke AB PC
2、过棱锥的高的两个三等分点作平行 与底面的截面，设两个截面面积与及底 A1 H1 C1 面面积分别为S1 、S2 、S3 ，求S1 ：S2 ： A2 B1 H C2 S3（S1 S2） 2 A B2 C H B
B1C1 SH1 同理 = SH BC A1B1 B1C1 … SH1 ∴ = BC = = SH AB
AB
SA
SH
E1 A1 B1 E
.
D1 H1
C1 D
因此，截面A1B1C1D1E1 ∽ 底面ABCDE
∴
s
s
A 1B1C1D1E1 ABCDE
A1B12 SH12 = AB2 = SH2 A
B
.H
棱锥它的性质.
别为α、β、γ，求 cosα+cosβ+cosγ
的值.
A
B
D
C
略解 如图所示，由已知所有侧面三角形
和底面三角形都是全等的三角形，记
其面积为S，侧面在底面的射影面积分
别为S1、S2、S3 ，则
cosα+cosβ+cosγ=
（S1+S2+S3）/S =1
S
A
s3
C
s1 s2
B
• 小结
• 有一个面是多边形，其余各面是有一个公 共顶点的三角形围成的几何体叫棱锥.
∴CE⊥SB
∴∠AEC为侧面SAB与侧面SBC所成二面角 的平面角.
∴∠AEC=120°，连结EO
∵AO=CO，AE=EC
∴∠AEO=60°
• 棱锥的斜高为 2 a,高为 a/2, • 侧棱长为 3 a. 2
2
• 例1 已知正六棱锥的侧面和底面所成的角 为φ，底面边长为a，求这个正六棱锥的高、 侧棱和斜高．
ABCD，且 AB⊥AD， ∴ AB⊥面 PAD，∴ AB⊥PA，AB⊥PD， ∴ l ⊥ PA，l ⊥ PD， ∴∠APD 为二面角 AB－l －CD 的平面角， ∵△PAD 为正三角形，∴∠APD=60° .
• 证明：如图，P—ABC是一个四面体. ∵ΔPAB，ΔPBC，ΔPCA都是直角三角形. ∴
D O
A
S
C
M
B
O
M
B
• 作业
1.教材P62 第7、8题
2. 思考：将正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、 正六棱锥中基本量l，h，h′，a，R，r，以及 侧棱与底面所成角α，侧面与底面所成的角β， 通过四个直角三角形将它们联系在一起，找出 它们之间的关系。
正棱锥的性质和实际应用
正棱锥的性质和实际应用正棱锥是一种具有特殊形状的几何体，它有着独特的性质和广泛的实际应用。
本文将探讨正棱锥的性质以及它在不同领域中的实际应用。
一、正棱锥的性质正棱锥是一种具有五个顶点的多面体，其中四个顶点位于底面上，而另一个顶点位于顶部。
它由一个底面、一个侧面和一个顶点组成。
以下是正棱锥的主要性质：1. 面的数量：正棱锥有五个面，包括一个底面、四个侧面。
2. 边的数量：正棱锥的边数为八条，其中一条底边和四条斜边位于侧面上，其余三条边连接顶点和底面的边。
3. 角的数量：正棱锥有五个角，包括一个顶角和四个底角。
4. 对称性：正棱锥具有旋转对称性，即通过将其围绕顶点旋转180度，可以得到相同的形状。
二、正棱锥的实际应用由于正棱锥具有独特的形状和性质，它在各个领域中都有着广泛的实际应用。
以下是正棱锥在一些领域中的具体应用：1. 建筑与工程：正棱锥常用于建筑和工程中的结构设计。
例如，在建筑物的顶部常常会使用正棱锥形的结构来增加稳定性，并且能够有效分散风力和其他外部压力。
2. 几何学和数学：正棱锥是几何学中的重要概念，它可以用于解决各种几何问题。
在数学中，正棱锥也是研究的对象之一，人们通过对其性质和特征进行研究来推导出一些重要的数学定理。
3. 物理学：正棱锥的形状和性质使得它在物理实验中有着广泛的应用。
例如，在光学实验中，人们可以使用正棱锥来进行光线的折射和反射实验，以研究光的传播规律。
4. 地理学：正棱锥也可以用于地理学中地形模型的制作。
通过将正棱锥的侧面展开，可以得到一个金字塔形状的图案，从而可以用来表示山脉、河流等地理要素的高度、流向等信息。
5. 艺术与设计：正棱锥的形状美观而独特，因此在艺术和设计领域中常被作为灵感的来源。
许多建筑和雕塑作品中都可以看到正棱锥的应用，它们给人以美的享受和视觉冲击。
综上所述，正棱锥具有独特的性质和广泛的实际应用。
无论是在建筑与工程、几何学和数学、物理学、地理学，还是在艺术与设计领域，正棱锥都扮演着重要的角色。
小学数学认识棱柱和棱锥
小学数学认识棱柱和棱锥棱柱和棱锥是小学数学中的基础概念，通过学习它们的定义、特点和例题运算，学生可以提高对空间几何图形的认识和理解。
本文将详细介绍棱柱和棱锥的概念、特点以及一些实际应用。
一、棱柱的定义和特点棱柱是一种具有两个相等且平行的底面，以及连接底面上相对点的若干个侧面的几何体。
棱柱的特点如下：1. 底面：棱柱的底面是两个相等的多边形，可以是三角形、正方形、长方形或其他多边形。
2. 侧面：棱柱的侧面是由底面的对应边相连而成的矩形或平行四边形。
3. 顶点：棱柱的顶点是连接底面上对应顶点的直线段所形成的点。
举个例子，考虑一个底面为正方形的棱柱。
它有两个相等的正方形底面，以及四个连接底面对应顶点的矩形侧面。
这样的棱柱在实际生活中很常见，比如电池、筒形笔筒等。
二、棱锥的定义和特点棱锥是一种具有一个封闭底面和以该底面上一点为顶点所形成的侧面的几何体。
棱锥的特点如下：1. 底面：棱锥的底面是一个封闭的多边形，可以是三角形、正方形、长方形或其他多边形。
2. 侧面：棱锥的侧面是由底面上顶点与其他顶点相连形成的三角形，这些三角形共同构成棱锥的侧面。
3. 顶点：棱锥的顶点是连接底面上一点（顶点）与底面其他顶点相连而成的直线段所形成的点。
比如，考虑一个底面为三角形的棱锥。
它有一个三角形底面和三条连接顶点和底面其他顶点的侧面直线段，这些侧面构成了该棱锥的侧面。
棱锥在现实生活中也有很多应用，比如路灯、运动场上的旗帜等。
三、棱柱和棱锥的应用举例除了在几何学中的定义和特点，棱柱和棱锥还有一些实际的应用场景。
1. 容器：棱柱和棱锥可以被用作容器，比如玻璃加工厂制作的玻璃小瓶就是棱柱。
一些塑料、金属容器也常常采用棱柱或棱锥的形状，便于存储和运输。
2. 建筑：在建筑中，柱形结构和尖塔形状常常采用棱柱和棱锥。
比如大教堂的塔尖、金字塔等都是棱锥的典型应用。
3. 工业：在工业生产中，棱柱和棱锥的形状也有很多应用。
比如机械工程中的许多零件采用棱柱形状，以增加结构的稳定性和强度。
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正棱锥的性质 1.侧棱： 每条侧棱的长都相等 2.侧面： 都是全等的等腰三角形 3.斜高： (等腰三角形底边上的高): 都相等
*斜高是正棱锥的专利
S
E
A O B C
几个重要的直角三角形 1.RtSBO：由高、侧棱和 侧棱在底面的射影组成 2.RtSMO：由高、斜高和 斜高在底面的射影组成 3.RtOMB：由底面中心O 与底边中点M连线，与半条 底边MB，还有中心与底面 顶点连线组成 4.RtSMB：由斜高、侧棱、 半条底边组成
4
正棱锥的侧面积
正棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高为h'，问 这个展开图的面积是多少？正棱椎的侧面积又是多少？ 如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h'，那么
1 S正棱锥侧＝ ch 2
棱锥的体积
如果正棱锥的底面面积是S，高是h，那么
1 V锥体＝ Sh 3
习题9.8
2、、 35
§9.9
棱柱与棱锥（二）
——棱锥的概念与性质
棱锥
棱锥是由这样一些面围成的几何体: (1)有一个面是多边形 (2)其余各面是有一个公共顶点的三角形 棱锥的定义 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点 的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
棱锥的有关概念
（1）棱锥的底面 （2）棱锥的棱 棱锥的侧面 棱锥的侧棱
O
M
C
正棱锥
B
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面 内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质 （1）各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形.
侧面等腰三角形底边上的高相等,它们叫做正棱锥的斜高．
（2）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
概念辨析 (1) 侧棱长都相等的棱锥是正棱锥.( X )
(2)侧面与底面所成的二面角都相等的棱 锥是正棱锥.( X )
(3) 底面是正多边形,各侧面都是等腰三角形的 棱锥是正棱锥.( X )
(4)底面是正多边形,各侧棱与底面所成的角相 等的棱锥是正棱锥.( √ )
例1
已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM＝l， 求经过SO的中点平行于底面的截面△A’B’C ’的面积.
（3）棱锥的顶点, 底面的顶点 （4）棱锥的高
S ---棱锥的顶点
棱锥的高----E
---棱锥的侧棱
D ---棱锥的侧面
棱锥的表示方法
棱锥S ABCDE
棱锥S AC
A
C ---棱锥的底面
O
B
S
棱锥的分类
分类标准1：底面多边形的边数
三棱锥、四棱锥、五棱锥……
E
D
分类标准2： 正棱锥
非正棱锥
A
D
M
涉及到正三棱锥的相关量： 对一般的正棱锥 *都有四个基本的直角三角形： 1.线：
RtSBO、RtSMO、 高h、斜高h’、 侧棱b、 底半径R、 h’ RtOMB、RtSMB； h 边心距r 、 边长的一半a/2 *都存在一个基本的小三棱锥
E
S S
2.角： O A D 侧棱与底面所成的线面角SBO、 M 侧面与底面所成的 B a/2 二面角SMO 性质：对正棱锥，有： 各条侧棱与底面所成的角相等 各个侧面与底面所成的角相等
棱锥的性质
定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截
面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的 高和已知棱锥的高的平方比．
S
S截 S底
h 2
2
A
A
E
D O
O
C
D
E B
C
B
棱锥的定义
有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角 形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
小结
例1、如图，已知正三棱锥S – ABC的高SO=h，斜高 SM=l ，求经过SO的中点且平行于底面的截面 △A’B’C’的面积。 解：连结OM、OA。在Rt△SOM中， OM= √l 2 - h 2 因为棱锥S – ABC是正棱锥 S 所以点O是正三角形ABC的中心 AB=2AM=2•OM •t a n 600 =2√3 • √ l 2 - h 2 A’ C’ 3 2 3 O’ S△ABC = AB = 4×4×3（ l 2 - h 2） 4 B’ 根据棱锥截面的性质，有 A C O S △A’B’C’ = 1 M S△ABC 4 3 3 2 B S △A’B’C’ = （l - h 2） 过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面
棱锥的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且 它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．
O
正棱锥的特点： 1.底面为正多边形 正棱柱——正棱锥？ 2.顶点在底面的射影恰好 是底面正多边形的中心
正棱柱： 1.侧棱与底面垂直 2.底面为正多边形
S
E A M O B C D
棱锥的有关概念、表示方法、分类
正棱锥:如果一个棱锥的底面是正多边形，并
且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱 锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质
（1）各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形 （2）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形
b
r
R
基础练习 1.下列判断错误的是（ C ） A 棱锥的各个侧面都是三角形 B 三棱锥的面有四个，它是面数最少的 棱锥。 C 棱锥的顶点在底面上的射影在底面多 边形内 D 棱锥的侧棱中至多有一条与底面垂直 2.A={棱锥}，B={正棱锥}，C={正三棱锥}， D={正四面体}，写出这四个集合的包含 C B A D 关系_________