第十一章圆锥曲线与方程(含答案)

合集下载

2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案-圆锥曲线的方程-章末总结-含答案

章末总结体系构建题型整合题型1 圆锥曲线的定义及应用例1 （1）（2021黑龙江双鸭山一中高二期中）若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点F1,F2的距离之比为2:1，且存在△PF1F2，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是( )A.x236+y232=1 B.x216+y215=1C.x25−y24=1 D.x2−y215=1（2）已知点P是抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，求|PA|+|PQ|的最小值.答案：（1）C解析：（1）|PF1||PF2|=21，则|PF1|=2|PF2|，若是椭圆，则|PF1|+|PF2|=3|PF2|=2a，所以|PF2|=2a3，|PF1|=4a3；若是双曲线，则|PF1|−|PF2|=|PF2|=2a，|PF1|=4a .A中椭圆，a=6，c=2，|PF2|=4，|PF1|=8，|F1F2|=4，不存在△PF1F2，不存在“Ω点”；B中椭圆，a=4，c=1，|PF2|=83，|PF1|=163，|F1F2|=2，不存在△PF1F2，不存在“Ω点”；C中双曲线，a=√5，c=3，双曲线上的点到右焦点的距离的最小值是c−a=3−√5＜2a，|PF2|=2√5，|PF1|=4√5，|F1F2|=6，构成△PF1F2，存在“Ω点”；D中双曲线，a=1,c=4，双曲线上的点到右焦点的距离的最小值是c−a=3＞2a,|PF2|= 2,|PF1|=4,|F1F2|=8，不存在△PF1F2,不存在“Ω点”.故选C.答案：（2）抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y=−1，如图，设点P在准线上的射影是点M，根据抛物线的定义知，|PF|=|PM|=|PQ|+1，所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|−1=|PA|+|PF|−1≥|AF|−1=√82+(7−1)2−1=10−1=9，当且仅当A,P,F三点共线时，等号成立.故|PA|+|PQ|的最小值为9.方法归纳（1）涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义并结合图象解题.（2）求抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.迁移应用1.已知A(−4,0)，B是圆(x−1)2+(y−4)2=1上的点，点P在双曲线x29−y27=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为( )A.9B.2√5+6C.10D.12答案：C解析：设点C(1,4)，因为点B在圆上，所以|PB|≥|PC|−r=|PC|−1，设点A为双曲线的左焦点，A′为双曲线的右焦点，所以由双曲线定义知|PA|=|PA′|+2a=|PA′|+6，所以|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|+6≥|PA′|+|PC|+6−1≥|A′C|+5=5+5=10 .2.已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的一点M(2,m)满足|MF|=6，则抛物线C 的方程为 .答案：y2=16x解析：∵抛物线C:y2=2px(p＞0)，∴抛物线的准线方程是x=−p2，∵抛物线上的一点M(2,m)到焦点F的距离是6，∴由抛物线的定义可得点M(2,m)到准线的距离也是6，即2+p2=6，解得p=8，∴抛物线C的方程是y2=16x .题型2 圆锥曲线的方程例2（1）（2021河南豫南九校高二联考）已知椭圆C:x 2m2+y2n2=1(m＞0,n＞0,m≠n)，长轴长为4，离心率为√22，则椭圆C的标准方程为( )A.x24+y22=1 B.x24+y22=1或x22+y24=1C.x216+y28=1 D.x216+y28=1或x28+y216=1（2）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，点M为圆O:x2+y2=12与C 的一个交点，且|MF|=3，则C的标准方程是( )A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x答案：（1）B（2）C解析：（1）设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，离心率为e . ∵ 长轴长为4，∴2a =4 ，∴a =2 ，a 2=4 ， ∵e =√22，∴e 2=12=c 2a2=a 2−b 2a 2=4−b 24，∴b 2=2 ，∴ 当椭圆C 的焦点在x 轴上时，椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1 ；当椭圆C 的焦点在y 轴上时，椭圆C 的标准方程为x 22+y 24=1 ，故选B.（2）设抛物线C 的方程为y 2=2px(p ＞0) ，M(x M ,y M ) ，连接MO ，过M 作MM 1⊥ 准线，交y 轴于M 2 ，因为|MF|=3=x M +p2 ，所以|MM 2|=x M =3−p2 ，所以|M 2O|=y M =√2px M =√6p −p 2 ，在Rt △OMM 2 中，|M 2O|2+|MM 2|2=|MO|2 ，所以6p −p 2+(3−p2)2=12 ，解得p =2 ，所以抛物线C 的标准方程为y 2=4x ，故选C. 方法归纳求圆锥曲线方程的一般步骤：求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 迁移应用3.（2021福建南平高级中学高二期中）已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0) 的离心率e =32，且与椭圆x 212+y 23=1 有相同的焦点，则C 的标准方程为( )A.x 28−y 210=1 B.x 24−y 25=1 C.x 25−y 24=1 D.x 24−y 23=1答案：B解析：因为双曲线C 的离心率e =32，所以ca=32.又椭圆x 212+y 23=1 与双曲线C 有相同的焦点，所以双曲线C 的焦点为(±3,0) ，即c =3 ，则a =2 ，所以b 2=c 2−a 2=9−4=5 ，则双曲线C 的标准方程为x 24−y 25=1 .4.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0) 的两条渐近线与抛物线y 2=2px(p ＞0) 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△ABO 的面积为2√3 ，则抛物线的标准方程为 . 答案： y 2=4√2x解析：因为ca=2 ，所以ba=√3 ，所以双曲线的渐近线方程为y =±√3x .又抛物线y 2=2px(p ＞0) 的准线方程为x =−p2 ，联立得{y =√3x,x =−p 2⇒y =−√32p ，所以|AB|=√3p . 因为S △ABO =12×√3p ×p2=2√3 ，所以p =2√2 或−2√2 （舍去），所以抛物线的标准方程为y2=4√2x .题型3 圆锥曲线的几何性质例3 （1）设椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q(c,a2)在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜32|F1F2|恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.(√22,56) B.(√22,34)C.(56,1) D.(34,1)（2）已知F1,F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M,N，设四边形F1NF2M的周长为p，面积为S，且满足32S= p2，则该双曲线的渐近线方程为 .答案：（1）C（2）y=±√22x解析：（1）因为点Q(c,a2)在椭圆的外部，所以a2＞b2a，即a2＞2b2，所以e=√1−b2a2＞√22，又|PF1|+|PQ|＜32|F1F2|恒成立，所以|PF1|+|PQ|=2a+|PQ|−|PF2|≤2a+|QF2|=2a+a2=5 2a＜3c，即a＜6c5，所以e=ca＞56.又e＜1，所以e∈(56,1) .（2）由题意可得|MF1|−|MF2|=2a，|MF1|+|MF2|=p2，解得|MF1|=a+p4，|MF2|=p4−a，又F1F2为圆的直径，所以四边形F1NF2M为矩形，所以S=|MF1||MF2|=(p4)2−a2，即p232=p216−a2，即p2=32a2，由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2得2a2+p28=4c2，即3a2=2c2，a2=2b2，所以ba=√22，所以该双曲线的渐近线方程为y=±√22x .方法归纳应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合、方程等思想的综合运用. 迁移应用5.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a＞0,b＞0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且与C的左支交于M,N两点，若|MN|=2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( )A.y=±√3xB.y=±√33xC.y=±2xD.y=±12x答案：B解析：设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性知，四边形AFBF′是矩形，所以S△ABF=S△AFF′，即bc=8，由{x2+y2=c2,x2a2−y2b2=1,得y=±b2c，所以|MN|=2b2c=2，所以b2=c，所以b=2，c=4，所以a=2√3，故C的渐近线方程为y=±√33x .6.已知抛物线C:y 2=2px(p ＞0) 的焦点为F ，点M(x 0,2√2)(x 0＞p2) 是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线x =p 2 交于E,G 两点，若sin∠MFG =13 ，则p = . 答案： 2解析：作MD ⊥EG ，垂足为点D （图略）.因为点M(x 0,2√2)(x 0＞p2) 在抛物线上，所以8=2px 0 ，即px 0=4 .① 由抛物线的性质得|DM|=x 0−p2 ，因为sin∠MFG =13 ，所以|DM|=13|MF|=13(x 0+p 2) ，所以x 0−p 2=13(x 0+p2) ，解得x 0=p ，② 联立①②，解得x 0=p =−2 （舍去）或x 0=p =2 .题型4 圆锥曲线中的证明问题例4已知曲线C 上的任意一点P 到定点F(1,0) 的距离比它到定直线x =−2 的距离少1. （1）求曲线C 的方程；（2）已知A(−1,0) ，过点F 作直线l 与曲线C 交于M,N 两点.求证：直线AM ，AN 关于x 轴对称. 答案：（1）因为曲线C 上的任意一点P 到定点F(1,0) 的距离比它到定直线x =−2 的距离少1，所以点P 到定点F(1,0) 的距离和它到定直线x =−1 的距离相等，所以曲线C 的轨迹为抛物线，且p =2 ，故曲线C 的方程为y 2=4x .（2）证明：易知直线l 与x 轴不重合，所以可设l:x =my +1 ，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，由{x =my +1,y 2=4x, 消去x 得y 2−4my −4=0 ，因此y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4 . 因为k AM +k AN =y 1x 1+1+y 2x 2+1=y 1my 1+2+y 2my 2+2=2my 1y 2+2(y 1+y 2)(my 1+2)(my 2+2)=−8m+8m (my 1+2)(my 2+2)=0 ，所以k AM =−k AN ，即∠FAM =∠FAN ，故直线AM ，AN 关于x 轴对称.方法归纳解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 迁移应用 7.已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的长轴长是焦距的2倍，且过点(−1,32) .（1）求椭圆C 的方程；（2）设P(x,y) 为椭圆C 上的动点，F 为椭圆C 的右焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P ′满足PP ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x,0) .证明：|PP ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 是常数. 答案：（1）由题意可得a =2c ，1a 2+94b 2=1 ，a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4 ，b 2=3 ，所以椭圆C的方程为x 24+y 23=1 .（2）证明：由（1）可得A(−2,0),B(2,0),F(1,0) ，因为P(x,y) 为椭圆C 上的动点，所以x 24+y 23=1 ，又点P ′ 满足PP′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x,0) ，所以|PP ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4−x| ，且|PF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x −1)2+y 2=√(x −1)2+3(1−x 24) =√14x 2−2x +4=12√(x −4)2=12|x −4| ，所以|PP ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PF⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4−x|12|x−4|=2 ，所以|PP′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PF⃗⃗⃗⃗⃗ | 为常数2.题型5 圆锥曲线中的轨迹问题例5（2021重庆万州沙河中学高二月考）已知点A(−2,0) 和点B(2,0) ，动点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 . （1）求动点P 的轨迹方程；（2）过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程. 答案：（1）设P(x,y) ，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,y) ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y) ，由AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 得(x +2)(x −2)+y 2=0 ，即x 2+y 2=4 ，所以动点P 的轨迹方程是x 2+y 2=4 . （2）设M(x 0,y 0) ，则P(x 0,2y 0) ，因为点P 在圆x 2+y 2=4 上，所以x 02+(2y 0)2=4 ，即x 024+y 02=1 ，所以线段PQ 的中点M 的轨迹方程是x 24+y 2=1 .方法归纳求圆锥曲线中的轨迹方程的三种方法：（1）直接法：把题设条件直接“翻译”成含x ，y 的等式就能得到轨迹方程.（2）定义法：运用解析几何中常用的定义（如圆锥曲线的定义），直接写出轨迹方程，或从圆锥曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.（3）相关点法：首先要有主动点和从动点，若主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 迁移应用8.已知点A(1,0) ，E,F 为直线x =−1 上的两个动点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，动点P 满足EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OP ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中O 为坐标原点）. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若直线l 与动点P 的轨迹曲线相交于M 、N 两点，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4 ，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标.答案：（1）设P(x,y)、E(−1,a)、F(−1,b) ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,a) ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,b) ，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y −a) ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0) ，FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−b) ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y) . 由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+ab =0 ，且点E 、F 均不在x 轴上，故ab =−4 ，且a ≠0,b ≠0 . 由EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y −a =0 ，即y =a . 由FO⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得bx +y =0 ，即y =−bx . 所以y 2=−abx =4x ，所以动点P 的轨迹方程为y 2=4x(x ≠0) .（2）若直线l 的斜率为0，则直线l 与动点P 的轨迹曲线至多有一个公共点，不符合题意，当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为x =ty +n(n ≠0) .由{x =ty +n,y 2=4x, 得y 2−4ty −4n =0 .设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2), 则y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4n .∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)216+y 1y 2=n 2−4n =−4 ，解得n =2 ，∴ 直线l 的方程为x =ty +2, 即直线l 恒过定点(2,0).高考链接1.（2020北京，7，4分）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l,P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP答案：B解析：如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，且点P在抛物线上，所以根据定义可知，|PQ|=|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P .2.（2020天津，7，5分）设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a＞0,b＞0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l .若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )A.x24−y24=1 B.x2−y24=1C.x24−y2=1 D.x2−y2=1答案：D解析：由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l的方程为x+yb=1，即直线l的斜率为−b，又双曲线C的渐近线方程为y=±ba x，所以−b=−ba，−b×ba=−1，因为a＞0,b＞0，所以a=1，b=1，故双曲线C的方程为x2−y2=1 .3.（多选题）（2020新高考Ⅰ，9，5分）已知曲线C：mx2+ny2=1 .( )A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n＞0，则C是圆，其半径为√nC.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnxD.若m=0,n＞0，则C是两条直线答案：A ; C ; D解析：若m＞n＞0，则mx2+ny2=1可化为x21m +y21n=1，因为m＞n＞0，所以0＜1m＜1n，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；若m=n＞0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为√nn的圆，故B不正确；若mn＜0，则mx2+ny2=1可化为x21m +y21n=1，此时曲线C表示双曲线，由mx2+ny2=0可得y=±√−mnx，故C正确；若m =0,n ＞0 ，则mx 2+ny 2=1 可化为y =±√nn，此时C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确.4.（2020新高考Ⅰ，13，5分）斜率为√3 的直线过抛物线C:y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB|= . 答案： 163解析：设B(x 1,y 1),A(x 2,y 2) ，∵ 抛物线C 的方程为y 2=4x ，∴ 抛物线C 的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵ 直线AB 过焦点F 且斜率为√3 ，∴ 直线AB 的方程为y =√3(x −1) ，代入抛物线的方程消去y 并化简得3x 2−10x +3=0 ，解得x 1=13，x 2=3 ，∴|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+3×|3−13|=163 .5.（2020天津，18，15分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的一个顶点为A(0,−3) ，右焦点为F ，且|OA|=|OF| ，其中O 为原点. （1）求椭圆的方程；（2）已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.答案：（1）∵ 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的一个顶点为A(0,−3) ，∴b =3 ，由|OA|=|OF| 得c =b =3 ，由a 2=b 2+c 2 得a 2=32+32=18 ，∴ 椭圆的方程为x 218+y 29=1 .（2）∵ 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，∴CP ⊥AB ，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y +3=kx ，即y =kx −3 ，联立得{y =kx −3,x 218+y 29=1, 消去y ，可得(2k 2+1)⋅x 2−12kx =0 ，解得x =0 （舍去）或x =12k 2k 2+1 .将x =12k 2k 2+1代入y =kx −3 ，得y =k ⋅12k 2k 2+1−3=6k 2−32k 2+1，∴ 点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1) ，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,-3)， ∴ 点P 的坐标为(6k 2k 2+1,−32k 2+1) ，由3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 得点C 的坐标为(1,0)， ∴ 直线CP 的斜率k CP =−32k 2+1−06k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，又CP ⊥AB ，∴k ⋅32k 2−6k+1=−1 ，整理得2k 2−3k +1=0 ，解得k =12 或k =1 . ∴ 直线AB 的方程为y =12x −3 或y =x −3 .6.（2020北京，20，15分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 过点A(−2,−1) ，且a =2b . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点B(−4,0) 的直线l 交椭圆C 于点M,N ，直线MA ，NA 分别交直线x =−4 于点P,Q .求|PB||BQ| 的值.答案：（1）由题意可得{4a2+1b2=1,a=2b, 解得{a2=8,b2=2,故椭圆C的方程为x28+y22=1 .（2）由题意得直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+4)，当k≠0时，直线l与椭圆C交于M、N两点，设M(x1,y1),N(x2,y2)，联立得{x28+y22=1,y=k(x+4),化简并整理得(4k2+1)x2+32k2x+(64k2−8)=0，则x1+x2=−32k24k2+1，x1x2=64k2−84k2+1，Δ=(32k2)2−4×(4k2+1)×(64k2−8)=32(1−4k2)＞0，解得−12＜k＜12.直线MA的方程为y+1=y1+1x1+2(x+2)，令x=−4，可得y P=−2×y1+1x1+2−1=−2×k(x1+4)+1x1+2−x1+2x1+2=−(2k+1)(x1+4)x1+2，同理可得y Q=−(2k+1)(x2+4)x2+2.∴y P+y Q=−(2k+1)(x1+4x1+2+x2+4x2+2)=−(2k+1)×(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)(x1+2)(x2+2)，∵(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)=2[x1x2+3(x1+x2)+8]=2[64k2−84k2+1+3×−32k24k2+1+8]=0，∴y P+y Q=0，即y P=−y Q，从而|PB||BQ|=|y P||y Q|=1 .当k=0时，易得直线l与椭圆C的两个交点分别为(−2√2,0)和(2√2,0)，不妨设M(−2√2,0),N(2√2,0) .则直线MA的方程为y=−√2+12(x+2√2)，令x=−4，得y P=√2，同理可得y Q=−√2，此时也满足|PB||BQ|=1 .综上所述，|PB||BQ|=1 .。

圆锥曲线练习题含答案

圆锥曲线一、选择题（共13小题；共65分）1. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是A. B.C. D.2. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是A. B. C. D.4. 是双曲线上一点，，分别是双曲线左右焦点，若，则A. B.C. 或D. 以上答案均不对5. 已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为，则椭圆的方程为A. B. C. D.6. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，若直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.7. 已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为A. B. C. D.8. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为A. 或B. 或C.D.9. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是A. B.C. D.10. 已知椭圆：的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为A. B. C. D.11. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，满足，则A. B. C. D.12. 已知双曲线右支上一点到左、右焦点的距离之差为，到左准线的距离为，则到右焦点的距离为A. B. C. D.13. 已知椭圆的左右顶点分别为，，上顶点为，若是底角为的等腰三角形，则A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）14. 已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．15. 设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，设为线段的中点，为坐标原点，若，则，．16. 已知点，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，那么椭圆的方程为．17. 若拋物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则．18. 设是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为．三、解答题（共6小题；共78分）19. 在抛物线上求一点，使到焦点与到点的距离之和最小．20. 已知，是双曲线的两个焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，且，求的周长．21. 已知，为双曲线的焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于点，且．求双曲线的渐近线方程．22. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且两曲线的一个公共点满足：是直角三角形且，求双曲线的标准方程．23. 在中，，如果一个椭圆通过，两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，求这个椭圆的焦距．24. 如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于点，且．求：（1）双曲线的离心率；（2）双曲线的渐近线方程．答案第一部分1. D2. B3. D4. B 【解析】双曲线的，，，由双曲线的定义可得，，可得或，若，则在右支上，应有，不成立；若，则在左支上，应有，成立．5. C【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，因为以这四个交点为顶点的四边形的面积为，所以边长为所以在椭圆上，所以因为椭圆的离心率为，所以，则联立解得：，．所以椭圆方程为：．6. B 【解析】由题意，，所以，所以，所以．7. B 【解析】设点到准线的距离为，点到准线的距离为，则，则线段的中点到轴的距离为．8. B 【解析】因为以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以或，当时，，，，此时，当时，，，，此时．10. A【解析】依题意可得：解出所以椭圆方程为．11. C12. B 【解析】由题意可知：双曲线焦点在轴上，焦点为，，则，即，则，由，双曲线的准线方程为，点到右准线的距离为，由双曲线的第二定义，点到右焦点的距离为，故到右焦点的距离．13. D第二部分14.15. ，或【解析】如图，由题意，为的一条中位线，所以．由双曲线的定义，得，所以，或．16.【解析】由题意知，且，解得，，所以椭圆的方程为．【解析】拋物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，可得，所以．18.【解析】如图，易知抛物线的焦点为，准线是，由抛物线的定义知：点到直线的距离等于点到的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小，显然，连接与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为．第三部分19. 如图所示，设抛物线上的点到准线的距离为．所以．显然当、、三点共线时，最小．因为，可设为，将其代入得，故的坐标为．20. 由题意及双曲线的定义可知，，所以．又因为，所以，所以的周长为．21. 如图，设，，则，解得，所以．在直角三角形中，，所以，由双曲线定义可知，得．因为，所以，即，所以 .故所求双曲线的渐近线方程为．22. 设双曲线的标准方程为．由题意得．由题意不妨设，则．又，所以，，所以，所以，所以双曲线的标准方程为．23. 如图所示，在中，得由得．所以．得．所以焦距．故椭圆的焦距为．24. （1）因为，．在中，，，又，即，，所以．（2）对于双曲线，有，所以，所以．所以双曲线的渐近线方程为．。

完美版圆锥曲线知识点总结

完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

圆锥曲线与方程测试题及答案

2013-2014学年度第二学期３月月考高二数学试卷满分：150分，时间：120分钟一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、抛物线y 2=-2px （p>0）的焦点为F ，准线为l ，则p 表示（） A 、F 到准线l 的距离 B 、F 到y 轴的距离C 、F 点的横坐标D 、F 到准线l 的距离的一半2．抛物线22x y =的焦点坐标是（）A ．)0,1(B ．)0,41( C ．)81,0(D ．)41,0(3．离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是（）A ．22195x y += B ．22195x y +=或22159x y +=C ．2213620x y +=D ．2213620x y +=或2212036x y +=4、焦点在x 轴上，且6,8==b a 的双曲线的渐近线方程是（） A ．043=+y x B ．043=-y x C ．043=±y x D ． 034=±y x5、以椭圆15822=+y x 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程为（） A ．15322=-y x B ．13522=-y x C ．181322=-y x D ．151322=-y x 6．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是（）A.y x 292-=或x y 342=B.x y 292-=或y x 342= C.y x 342=D.x y 292-= 7．抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p = ( ) A ．4 B ．4- C ．2 D ． 2- 8、双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为（） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．329．以椭圆22=1169144x y +的右焦点为圆心，且与双曲线22=1916x y -的渐近线相切的圆方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x －9＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝010．已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是 ( ) A ． 1<k B ．2>kC ． 1<k 或2>kD ． 21<<k11．已知椭圆()222109x y a a+=>与双曲线22143x y -=有相同的焦点, 则a 的值为 ( )A ．B ．C ． 4D ．1012．对任意实数θ，则方程x 2＋y 2sin θ＝4所表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆二、填空题：（本大题共5小题，共20分）13．若一个椭圆的短轴长是长轴长与焦距的等差中项，则该椭圆的离心率是14．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是15．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则实数a = . 16．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y 轴正半轴上；（2）焦点在x 轴正半轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的准线方程为25-=x其中适合抛物线y 2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号）．三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．（本题10分）求与椭圆205422=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程.18．（本题12分）双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．19．（本题12分）已知双曲线的离心率25=e ，且与椭圆131322=+y x 有共同的焦点，求该双曲线的标准方程。

2020年高中数学人教A版选修2-1 圆锥曲线与方程 2.1.1、2.1.2 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4，0)和(－1，0) B ．(4，0)和(－2，0) C ．(4，0)和(1，0)D ．(4，0)和(2，0)【解析】在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1，2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C. 【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分 7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN→|，则点N 的轨迹方程是________. 【导学号：18490037】【解析】由于|PM→|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2-1-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2-1-1【解】以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2，0)，O2(2，0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC 内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】注意到|AB |＝5，则满足到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)【解析】设P(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P(x，y)，依题意|P A|＝2|PB|，∴（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【导学号：18490038】【解】法一设点M的坐标为(x，y)，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x ，0)，B 点的坐标为(0，2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2，4)， ∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1，而k P A ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x·2－y 1＝－1(x ≠1)，整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝（x －2）2＋（y －4）2， |AB |＝（2x ）2＋（2y ）2，∴2（x －2）2＋（y －4）2＝4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

2020高考江苏数学(理)大一轮复习课件：第十一章第60课抛物线

4. 焦点弦：AB 为抛物线 y2＝2px(p>0)经过焦点 F 的弦(简称焦点弦)．已知点 A(x1， y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的倾斜角为 α，那么：
(1) x1x2＝p42；(2) y1y2＝－p2；(3) AB＝x1＋x2＋p＝si2np2α，当且仅当 α＝π2时，ABmin ＝2p.
3. 焦半径：抛物线上的点 P(x0，y0)与焦点 F 的距离 PF 称作焦半径． (1) y2＝2px(p>0)，PF＝x0＋p2； (2) y2＝－2px(p>0)，PF＝－x0＋p2； (3) x2＝2py(p>0)，PF＝y0＋p2； (4) x2＝－2py(p>0)，PF＝－y0＋p2.
将 x1＝yk1＋2，x2＝yk2＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式的分子，得 x2y1＋x1y2 ＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4kky1＋y2＝－8k＋8＝0，
所以 kBM＋kBN＝0，所以直线 BM，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
【高频考点·题组强化】 1. (2018·北京卷)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴．若直线 l 被抛物线 y2＝4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为___(1_,_0_)__．【解析】将 x＝1 代入 y2＝4ax，得 y2＝4a，因为直线 l 被抛物线截得的线段长为 4，所以 4 a＝4，解得 a＝1，所以抛物线的方程为 y2＝4x，其焦点坐标为(1,0)．
(例 1(1))
【解析】如图(2)，分别过点 A，B 作准线的垂线，垂足分别为 E，D. 设 BF＝a，则 BC＝3a，BD＝a，
所以BBDC＝13.
在 Rt△ACE 中，因为 AB＝9，AC＝9＋3a，

(完整版)圆锥曲线常见题型及答案

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。

此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）；（5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。

此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。

圆锥曲线切线

3.1圆锥曲线切线的定义设直线l '与圆锥曲线相交于P 、Q 两点（对于双曲线P 、Q 在同一支上），将直线绕点P 旋转，使点Q 逐渐靠近点P ，当l '转到直线l 的位置时，点P 与Q 重合，这时直线l 叫做圆锥曲线在点P 的切线，P 叫做切点.经过点P 与切线垂直的直线叫做圆锥曲线在点P 的法线[10].以抛物线为例，作图1如下：3.2圆锥曲线的切线方程（1）过圆锥曲线上一点的切线方程容易得到，过圆锥曲线上一点的切线方程如下：经过椭圆 12222=+by a x 上一点()00,y x P 的切线方程为:12020=+b y y a x x ；经过双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 上一点()00,y x P 的切线方程分别为:12020=-b y y a x x 、12020=-bxx a y y ；经过抛物线px y 22±=、py x 22±=的切线方程分别为:()x x p y y o o +±=、()y y p x x o o +±=.所以经过圆锥曲线上一点()00,y x P 的切线方程，就是把圆锥曲线方程中的2x 和2y'分别为换为0x x 和0y y ,x 和y 分别换为)2(0x x +和)2(0y y +，即“替换法则”. （2）定斜率的切线方程容易证明，对于定斜率圆锥曲线的切线方程如下：斜率为k ，并且和椭圆12222=+by a x 相切的切线方程为:222b k a kx y +±=(不问ab的大小)；斜率为k ，并且和双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 相切的切线方程分别为:222b k a kx y -±=(222b k a ≥)、222b k a kx y -±=(222a k b ≤)；斜率为k ，并且和抛物线px y 22±=、py x 22±=相切的切线方程分别为:kp y 2±=（k 0≠）、22pk y =.3.3圆锥曲线切点弦从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线（如果存在），那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦[11].圆锥曲线外一点()11,P x y 向圆锥曲线引两条切线，求经过两切点的切点弦方程同样可用2x 和2y 分别换为x x 1和y y 1,x 换成21x x +,y 换成21yy +的“替换法则”去求它，即[12]：经过椭圆 12222=+by a x 上一点()11,y x P 的切点弦方程为:12121=+b y y a x x ；经过双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 上一点()11,y x P 的切点弦方程分别为:12121=+b y y a x x ,12121=-bxx a y y ；经过抛物线px y 22±=、py x 22±=上一点()11,y x P 的切点弦方程分别为:()x x p y y o +±=1,()y y p x x o +±=1. 3.4圆锥曲线焦点弦如果经过焦点的直线和圆锥曲线相交于两点，那么经过这两交点的圆锥曲线的弦叫做焦点弦[13]．4 圆锥曲线切线的性质及其应用探讨圆锥曲线有许多共同的优美性质[14].下面我们探讨圆锥曲线的几个简单性质，并给出应用例子，希望这些性质及其应用能有助于初学者对圆锥曲线切线有所了解，从而有效解决相关问题.性质1：在圆锥曲线的准线l （相应准线）上任取一点P ，经过P 点引圆锥曲线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 经过焦点F （相应焦点）且AB 垂直于PF .证明：首先看椭圆的情形.如图2，设椭圆的方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞０）,在左准线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n c a P ,2，经过P 点所引两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 的方程为：22222b a ny a x cb a =+- . 又左焦点()0,1c F -满足切点弦AB 的方程，所以点1F 在AB 这条直线上，即切点弦AB 过焦点1F ．又因为2201b cnca c c n k PF -=+-+--= ,cn b n a b a k AB 2222=--=,所以有122-=⋅-=cnb b cn k k ABPF即AB 垂直PF ．同理可证在右准线上的点P 引椭圆的两条切线PA ，PB 的切点弦AB 经过右焦点且AB 垂直PF .同理可证对双曲线12222=-by a x 和12222=-bx a y ，性质1也成立.下面看抛物线的情形.如图3，设抛物线的方程为px y 22=，在其准线上任取一点⎪⎭⎫⎝⎛-n p P ,2，则经过点P 引两切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x p p ny 2.又因为抛物线px y 22=的焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，满足切点弦AB 的方程，所以切点弦AB经过焦点F .又p np p n k PF -=--=22 ,n p k AB = ，所以有 1-=⋅-=n p p n k k AB PF 即AB 垂直PF .同理可证对于抛物线px y 22-=和py x 22±=，性质1也成立.推论：在圆锥曲线上经过焦点弦AB 两端点的切线的交点P 落在（相应）准线l 上.证明：先看椭圆的情形.设经过椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的焦点弦AB 的两端点A 、B 的两条切线相交于()11,y x P ，则直线AB 的方程为12121=+byy a x x . x又因为焦点()0,C F ±的坐标满足切点弦方程121=±acx ，即c a x 21±= ，故P 点落在圆锥曲线的准线上.同理可证对于双曲线、抛物线推论也成立. 下面举例说明性质1及推论的应用.例1[14]：（2006年全国高考题（Ⅱ）理第21题）已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且−→−−→−=FB AF λ(λ＞0)，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（1）证明−→−−→−⋅FB FA 为定值；（2）设的△ABM 面积为S ，写出()λf S =的表达式并求S 的最小值. 解法一:详见2006年全国高考题（Ⅱ）理第21题数学试题卷(理科类)答案. 解法二：（1）−→−−→−=FB AF λ∴A 、F 、B 三点共线.即直线AB 经过抛物线y x 42=的焦点F . ∴由性质1知 AB FM ⊥. ∴−→−−→−⊥AB FM . 即0=⊥−→−−→−AB FM .∴−→−−→−⋅FB FA 为定值0.（2）直线AB 经过抛物线y x 42=的焦点 ∴两切线的交点M 在准线上 −→−−→−⊥AB FM AB FM S ⋅=∴21AB 为定值且4=AB∴要求S 的最小值，需求FM 的最小值∴当且仅当M 在y 轴上时，即()1,0-M 时，S 取得最小值4422121=⨯⨯=⋅=∴AB FM S ∴S 的最小值为4.说明：（1）由性质1的结论知，本题中的M 事实上在准线2py -=上且−→−−→−⊥AB FM ，这样此题便可迎刃而解.（2）由推论知M 在准线上，当且仅当M 在y 轴上，即()1,0-M 时,S 取得最小值.这样来解答相对较简单，节约解题时间.例2[15]:（2006年重庆高考试题文科22题）如图4,对每一个正整数n ,()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点,过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点()n n n t s B ,.(1)试证: 4-=n n s x (n ≥1);(2)取n n x 2=,并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两切线的交点.试证:122121+-=++++-n n n FC FC FC .下面主要看第二问的解答.解法一:详见2006年全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文科类)答案.解法二:(1)略.(2)nn x 2= ∴42422n n x y ==,则n A 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝4,22n n n A ，所以过n A 的直线的斜率()n n x x y k 22211==='=-. 设()y x C n ,，则直线n n C A 的方程为:()n n nx y 224212-=--.由性质1推论知, n n C A 与n n C B 的交点n C 在相应准线1-=y 上.把1-=y 代入直线n n C A 方程解得1212--=n n x .yx故有⎪⎭⎫⎝⎛----1,21211n n n C ,又()1,0F .∴1121122112122122212------+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==n n n n n n n FC .().1222112112121212121122211121221+-=--+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=++++---n n n nn n n FC FC FC 说明：此解法优点在于,利用圆锥曲线切线性质求出两切线交点坐标,可大大减少运算量，减少运算时间.由推论知当直线l 过焦点并与圆锥曲线交于A 、B 两点，则经过A 、B 的两切线的交点落在相应的准线上；那么对于任一点()00,y x P 任作直线l 与圆锥曲线交于M 、N 两点,经过M 、N 的两切线的交点是否也落在某一固定的直线上呢？为此通过证明得出性质2.性质2：过圆锥曲线外任一点()00,y x P 作直线l ，交圆锥曲线于M 、N 两点,若圆锥曲线在点M 、N 处切线的交点为Q ，则点Q 在一定直线上.证明：首先来看椭圆的情形.设椭圆的方程为12222=+by a x (a ＞b ＞０),过椭圆外一点()00,y x P 任作直线l 交椭圆于M 、N 两点,椭圆在点M 、N 处切线的交点为Q .设),(11y x M 、),(22y x N ,则两切线的方程分别为:MQ :12121=+b y y a x x ，NQ :12222=+byy a x x . 可解得交点的坐标为：1221122)(y x y x y y a x --=， 1221122)(y x y x x x b y ---=. 设过点()00,y x P 的直线l 的方程为)(00x x k y y -=-,则0011)(y x x k y +-=, 0022)(y x x k y +-=.于是()[][]()()0012002200211221)(y kx x x y x x k x y x x k x y x y x --=+--+-=-，()1212x x k y y -=-.所以()()()00200121221221122)(y kx ka y kx x x x x ka y x y x y y a x -=---=--=, ()()()00200121221221122)(y kx b y kx x x x x b y x y x x x b y --=----=---=. 消去k ,得12020=+b y y a x x .所以点P 在定直线12020=+by y a x x 上. 说明:（1）当点P 在椭圆内部时,任作直线l 与椭圆都有两个交点,此时轨迹为直线12020=+byy a x x .(2）当点P 在椭圆外部时,要使过点P 的直线与椭圆有两个交点,则斜率k 受到限制.同理可证双曲线对性质2也成立.设双曲线方程为12222=-by a x (a ＞0，b ＞０),过双曲线外一点()00,y x P 任作直线l 交双曲线于M 、N 两点,双曲线在点M 、N 处切线的交点为Q ,则点Q 在定直线12020=-byy a x x 上. 说明：当点P 在无穷远处时,过点P 任作直线即为一族平行直线.此时问题变为:斜率为k 一组平行直线交圆锥曲线于M 、N 两点,过M 、N 两点的切线的交点在一定直线上.下面看抛物线的情形.已知抛物线px y 22=，过抛物线外一点()00,y x P 任作直线l 与交抛物线于M 、N 两点,曲线在点M 、N 处的切线交点为Q .设),(11y x M 、),(22y x N ,则两切线的方程分别为:MQ :)(11x x p y y +=,NQ :)(22x x p y y +=.可解得交点的坐标为：211221y y y x y x x --=，2121y y x x p y --=.设过()00,y x P 的直线l 的方程为:()00x x k y y -=-.把0011)(y x x k y +-=,0022)(y x x k y +-=代入直线l 的方程解得:kkx y x 00-=，n py =.再消去k ，得()00x x p y y +=.所以点P 在定直线()00x x p y y +=上,故性质2得证. 特别地，当点P 坐标取圆锥曲线的焦点坐标时，该性质变为性质1的推论，即性质2为性质1的推论推广[16].例3：已知抛物线C :2x y =,过点()2,0P 的直线交抛物线于M 、N 两点,曲线C 在点M 、N 处的切线交点为Q ,求点Q 所在的直线.解法一:设()11,y x M , ()22,y x N ,则211x y =,222x y =,过点M 、N 的切线方程分别为()1121y y x x +=，()2221y y x x +=. ∴()11212x x x x y -=- ，()22222x x x x y -=-, 由这两方程解得221x x x +=，21x x y =. 设过点()2,0P 的直线斜率为k ，则方程为2+=kx y (1) 把（1）式代入抛物线方程2x y =，消去y ，得 022=--kx x .由韦达定理得 2,2121-==+x x k x x ,所以2-=y .即点Q 的轨迹在定直线2-=y (x ∈R)上.解法二：由性质2和2x y =知21=p 把00=x ，20=y 代入方程 ()00y y p x x += 得2-=y ，即点Q 的轨迹在定直线2-=y (x ∈R)上.说明：在解题时如果学生懂得性质2，那么就可以直接利用公式来解决，节约做题时间.例4[17]:(2005年江西高考题理科试卷)设抛物线C :2x y =的焦点为F ,动点P 在直线：02=--y x 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB 且与抛物线C 分别相交于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程; （2）证明：∠PFA =∠PFB .解：详见2005年江西高考题理科试卷答案.由（2）的结论和答案激发了一种思想：对于圆锥曲线外一点P 作圆锥曲线的两条切线，切点分别为A 、B .F 为圆锥曲线的其一焦点.当P 点在F 相应的准线上时，由性质1知AB PF ⊥,即∠PFA =∠PFB = 90.当点P 不在准线上时，是否也有∠PFA =∠PFB ？为此通过证明得出性质3.性质3：过圆锥曲线外一点P 作圆锥曲线的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点，F 为圆锥曲线的焦点，则PFB PAF ∠=∠.证明：先看椭圆的情形.如图5,设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０）,()n m P ,，()11,y x A ，()22,y x B ，则直线AB 的方程为122=+bny a mx ,即 02222=-+b a ny a mx b . 所以 0221212=-+b a ny a mx b ，则有212221amx b b a ny -=. 设F 为左焦点，则()0,c F -，所以()11,y c x FA +=−→−，()n c m FP ,+=−→−,故P=⋅−→−−→−FP FA ()11,y c x +()n c m ,+()()11ny c x c m +++=()()212221a mx b b a c x c m -+++=()()22212a a cm a x a mc c +++=()()2212mc a cx a a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=m ac a x ac a 1()()em a ex a ++=1（e 是椭圆的离心率）.由向量的内积公式PFA FP FA FP FA ∠⋅=⋅−→−−→−−→−−→−cos ||||，所以()()−→−−→−−→−−→−−→−−→−⋅+⋅+=⋅⋅=∠FPFA em a ex a FPFA FPFA PFA 1cos又由椭圆的焦半径公式可知：1||ex a FA +=−→−，所以()()()()−→−−→−+=⋅++⋅+=∠FPem a FPex a em a ex a PFA 11cos同理可得:()−→−+=∠FPem a PFB cos ，所以PFB PFA ∠=∠.说明：当F 为右焦点时，同理可得PFB PFA ∠=∠. 同理可证对双曲线性质3也成立.下面看抛物线的情形.如图6，设抛物线的方程为：px y 22=，()n m P ,，()1,1y x A ，()2,2y x B ，则直线AB 的方程为: ()x m p ny +=.所以()11x m p ny += ，又⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−→−11,2y p x FA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−→−n p m FP ,2,故()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅−→−−→−222222,2,21111111p m p x x m p p m p x ny p m p x n p m y p x FP FA由向量的内积公式 PFA FP FA FP FA ∠⋅=⋅−→−−→−−→−−→−cos ||||，所以||||22||||cos 1−→−−→−−→−−→−−→−−→−⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅=∠FP FA p m p x FP FA FP FA PFA又由抛物线的焦半径可知：2||1px FA +=−→−，所以 ||2||222||||cos 11−→−−→−−→−−→−−→−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅=∠FP p m FP p x p m p x FP FA FP FA PFA 同理可得：||2cos −→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∠FP p m PFB ，所以 PFB PFA ∠=∠.说明：如果在教学中教师能引导学生这样分析和探讨得出性质3，那么像例4第二问这样的题目学生在解答时可做到心中有数,且能信心十足地解答好该题[18].性质4：经过圆锥曲线外一点P （双曲线两焦点所在的线段中点除外）作圆锥曲线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .过P 作倾斜角为θ的直线交圆锥曲线于M 、N 两点，与切点弦交于C 点，则直线MN 上的三线段PM 1、PC 1、PN1成等差数列. 证明：首先看椭圆的情形.如图7,设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０），椭圆外一点()00,y x P ，两切点为A 、B 两点，则直线AB 的方程为：12020=+by y ax x （1）.设直线MN 的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（2）,由（1）、（2）式得2020220220sin cos 1b y a x b y a x t +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 且PC t =. 再将（2）代入椭圆方程12222=+by a x ，得关于t 的方程：01sin cos 2sin cos 220220202022222=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x b y a x t t b a θθθθ.因为直线与圆锥曲线有两个交点,所以()2002222sin sin sin cos θθθθy x a b --+=∆>0，方程有两根，设两根为1t 、2t ，则PM t =1，PN t =2,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+220222020*******sin cos 21111b y a x b y a x t t t t t t PN PM o θθ 由此可发现PCt PN PM 2211==+ 故PM 1、PC 1、PN1成等差数列.同理可证对双曲线性质4也成立.下面看抛物线的情形.如图8，设抛物线的方程为px y 22=，抛物线外一点()00,y x P ，两切点分别为A 、B 两点，则直线AB 的方程为：()x x p yy +=00（1）.设直线MN 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（2）,由（1）、（2）式得:θθcos sin 2020p y y px t --=且PC t = 把（2）带入抛物线方程px y 22=，得关于t 的方程：()()θθcos 2sin 020t x p t y +=+.所以()02cos sin 2sin 02002=-+-+px y t p y θθθ因为直线与圆锥曲线有两个交点,所以∆＞0，方程有两根，设其两根为1t 、2t ，则PM t =1，PN t =2,所以().22cos sin 21111200212121t y px p y t t t t t t PN PM =--=+=+=+θθ 所以PM 1、PC 1、PN1成等差数列. 特别地，当0=θ时，过P 点的直线PM 平行于对称轴与抛物线只有一个交点M ，这时由高等几何的知识，N 可视作无穷远点，因而有01→PN. 即有 PM 1= PC 2, 故M 是PC 的中点.例5[19]：双曲线方程1422=-y x ，)3,1(-P ,ST 为切点弦，过P 点的直线为2+-=x y ，并与双曲线交于A 、B 两点，与切点弦交于C 点.证明三线段PA1、PC 1、PB1成等差数列.证明: ST 的方程为,134=--y x 与2+-=x y 的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-116,1128C . 11239=∴PC , 392112=PC . 又2+-=x y 与1422=-y x 的交点为()0,2A ，⎪⎭⎫⎝⎛-34,310B . 621=∴PA , 26231=PB ∴PC PB PA 23921126236211==+=+ ∴PA 1、PC 1、PB1成等差数列. 性质5：从圆锥曲线上一点P 引切线和法线分别交x 轴所在直线于T 、N ，交y 轴所在直线于T '、N '，则N P PN T P PT '⋅='⋅.证明：先看椭圆等的情形.如图10，设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０）,经过其上一点()ααsin ,cos b a P 的切线与法线方程分为:ab y a x b =⋅+⋅ααsin cos ,()ααααcos sin cos sin 22b a y b x a -=⋅-⋅x它们与长轴所在直线的交点是：⎪⎭⎫ ⎝⎛0,cos αa T ，()⎪⎭⎫⎝⎛-0,cos 122αb a a N .它们与短轴所在直线的交点是：⎪⎭⎫ ⎝⎛'αsin ,0b T ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'b b a N αsin ,022. 于是有 222222sin sin cos sin cos cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅ααααααb b a b a a T P PTαα2222cos sin b a +=()()2222222222sin sin cos sin cos cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='⋅b b a b a b a b a a N P PN αααααα αα2222cos sin b a +=故N P PN T P PT '⋅='⋅其次看双曲线的情形.如图11，设双曲线的方程为12222=-by a x ，过其上一点()θθtan ,sec b a P 的切线与法线方程分为:ab y a x b =⋅-⋅θθtan sec ，()θθθθsec tan sec tan 2⋅+=⋅+⋅b a y b x a .故T 、T '、N 、N '的坐标分别为:⎪⎭⎫ ⎝⎛0,sec θa T ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-'θtan ,0b T ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,sec 22a b a N θ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'b b a N θtan ,022 于是有 22222tan tan sec tan sec sec ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅θθθθθθb b a b a a T P PTθθ2222sec tan b a +=22222222tan sec tan sec ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⋅b a a b a b N P PN θθθθ θθ2222sec tan b a += 即N P PN T P PT '⋅='⋅再次看抛物线的情形.如图12，设抛物线的方程为px y 22±=,过其上一点()pt pt P 2,22的切线与法线方程分别为:0222=+-pt ty x ，()22122t pt y tx +-+故T 、T '、N 、N '的坐标分别为:()0,22pt T -，()()0,212t p N +，()pt o T ,'，()()2212,0t pt N +'于是有 ()()()()2222222222pt pt pt pt pt pt T P PT -+⋅++='⋅()222412t t p +=()()[]()()[]22222221222212t pt pt pt t p pt N P PN +-+⋅+-='⋅()222412t t p +=所以N P PN T P PT '⋅='⋅ ，即性质5得证.例6: 椭圆的方程为192522=+y x ，过其上一点⎪⎭⎫ ⎝⎛-59,4P 得切线l 与x 轴、y 轴相交于T 、T '，过点P 的法线l '与x 轴、y 轴相交于N 、N ',求N P PN '⋅的值.分析：由性质5可知//PN PN PT PT ⋅=⋅，要求N P PN '⋅可转化为求T P PT '⋅.解：直线l 为椭圆的切线，且切点⎪⎭⎫ ⎝⎛-59,4P∴直线l 的方程为1959254=+-yx∴⎪⎭⎫⎝⎛-0,425T ，()5,0T 'x由两点间的距离公式得：20419590442522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=PT ，()54145954022=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='T P N P PN T P PT '⋅='⋅ ∴N P PN '⋅=25369541420419=⨯. 总之，在教学过程中引导学生通过探究性学习获得圆锥曲线的一些切线的性质并加以应用，不仅可以让学生进一步加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力，而且可以培养学生的创造性思维，提高学生的学习数学的兴趣[20].5 结论5.1主要发现圆锥曲线切线的性质及其应用为相关问题的求解和证明提供十分有效的解题思路，有助于学生对圆锥曲线切线知识有更深刻认识.探讨圆锥曲线切线的性质，不仅需要对基础知识熟练掌握，而且要灵活运用相关知识，善于将知识点衔接起来，归纳总结三种圆锥曲线的内在个性特点.只有通过不断地分析典型题目，找出内在规律及它们的一些性质进行总结，才能找出圆锥曲线具有的统一性质.总之，在高考中圆锥曲线切线的相关问题既有一定难度，又有一定的技巧性和整体性，但只要我们善于思考和总结就容易找到解决问题的突破口，也会发现圆锥曲线切线的性质对求解该类问题有着很大的帮助. 5.2启示圆锥曲线切线的性质是解决与圆锥曲线切线相关问题的关键点，理解掌握圆锥曲线切线的性质和证明思路，对解决圆锥曲线的相关问题有极大的帮助.但要理解掌握和灵活运用性质去解决问题时，必须对基础知识熟练掌握，且能够将知识点融会贯通. 5.3局限性本毕业论文提供的仅是有限的几个性质及证明方法，还有许多性质未能得出，限我个人能力有限，不能提供更多的性质以便解决许多相关的问题，同时也没能完全给出相应的应用，这是本毕业论文的不足. 5.4努力方向除了文中所述的几个性质外，根据三种圆锥曲线的内在个性特点可能还有其他的一些性质，这些性质将有待我们作进一步探讨研究，以弥补本论文的不足.参考文献[1] 郑观宝.圆锥曲线的一个共通性质[J].中学数学研究，2006，（8）：44.[2] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书(第二册上)[M].北京：人民教育出版社，2004:91-122.[3] 张留杰. 圆锥曲线的一个性质的证明与推广[J]. 数学通讯，2003，（15）:25-27.[4] 周伟林. 圆锥曲线切点弦的一个性质[J].考试周刊，2007,（3）:49-50.[5] 黄继创. 圆锥曲线的一个几何特征[J].数学通讯，2006,（6）:94-95.[6] 吴翔雁. 圆的重要性质在圆锥曲线上的推广[J].数学通讯，2005,（7）:25-27.[7] 张家瑞.圆锥曲线的一个性质[J].数学教学通讯，2006，（8）:55-56.[8] 潘德党. 圆锥曲线的一个性质及应用[J].数学教学研究，2007,（3）:25-26.[9] 李铭祺.高中几何学习指导[M].西安：陕西人民教育出版社.1987:125-126.[10] 刘膺淳.高中数学知识转化为能力的途径[M].长沙：湖南人民出版社,1988: 115-118.[11] 黄熙宗.圆锥曲线切点弦方程的简易求法[J].苏州教育学院学报,1991，5（3）：18-19.[12] 王保庆，杨振兴，蔡凯.圆锥曲线切点弦方程的性质新探[J]. 数学教学通讯，2009, 5：28-29.[13] 邱昌银.圆锥曲线准切线焦点弦的相关性质[J].数学通讯，2003，（5）：12-13.[14] 杨宣文，杨国平.圆锥曲线的又一性质[J].数学教学通讯，2006,（7）:35-37.[15] 蔡献慧.圆锥曲线切点弦的应用[J].洛阳师范学院学报，2006,5（5）:158-159.[16] 储炳南.圆锥曲线的一个统一性质[J].数学教学，2006，（11）：24—26.[17] 梁平. 圆锥曲线切线性质在高考试题中应用[J].解题研究,2001，(3):34-35.[18] 卢伟峰.圆锥曲线切线的一个性质[J].数学教学通讯，2008，(4)：16-17.[19] 李建明.两道高考题引出的圆锥曲线的一个性质[J].数学通讯，2007，（3）：10-11.[20] 李凤华.相似圆锥曲线的一条优美性质[J]. 数学通讯,2008,(11)：33-34.。

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。

圆锥曲线大题全攻略含答案详解

圆锥曲线大题全攻略含答案详解本文介绍了圆锥曲线中常见的问题和解题技巧，包括求轨迹方程问题、定点问题、定值问题、最值问题、点差法解决中点弦问题、常见几何关系的代数化方法、非对称“韦达定理”问题处理技巧、三点共线问题、巧用曲线系方程解决四点共圆问题、抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用、双切线题型等。

求轨迹方程问题是圆锥曲线中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。

直译法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，由已知条件建立关于x,y的方程，化简整理；相关点法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，相关点为Q(xO,yO)，根据点的产生过程，找到(x,y)与(xO,yO)的关系，并将xO,yO用x和y表示，将(xO,yO)代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程；定义法的步骤是分析几何关系，由曲线的定义直接得出轨迹方程；参数法的步骤是引入参数，将求轨迹的点(x,y)用参数表示，消去参数，研究范围。

本文还给出了四个例题，分别是求点P的轨迹方程、求动点M的轨迹方程、求动点Q的轨迹方程、求AB中点M的轨迹方程。

最后，给出两道专题练题，帮助读者巩固所学知识。

3.抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，点P满足AP=-2FA，求动点P的轨迹方程。

改写：已知抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，设点P的坐标为(x,y)，则有AP=-2FA，求P的轨迹方程。

4.已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，动圆P过定点F且与定圆M内切，求动圆圆心P的轨迹方程。

改写：已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，设动圆P的圆心坐标为(x,y)，则P过定点F且与定圆M内切，求P的轨迹方程。

5.已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，动圆H与直线l相切，与定圆A外切，求动圆圆心H的轨迹方程。

改写：已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，设动圆H的圆心坐标为(x,y)，则H与直线l相切，与定圆A外切，求H的轨迹方程。

【推荐】山东省2016届高三数学(文)优题精练：圆锥曲线 Word版含答案[ 高考]

14、如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正
半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且
已知椭圆D：的焦距等于，且过点
( I )求圆C和椭圆D的方程；
(Ⅱ)若过点M斜率不为零的直线与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．
15、已知椭圆 : 的焦距为 ,离心率为 ,其右焦点为 ,过点作直线交椭圆于另一点 .
山东省2016届高三数学文优题精练
圆锥曲线
一、选择、填空题
1、（2015年高考）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点 .若点的横坐标为 ,则的离心率为.
2、（2014年高考）已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。
(1)求椭圆C的方程；
(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝t ，求实数t的值．
4、（滨州市2015届高三一模）已知椭圆的左右焦点分别是，且的坐标为，离心率为。
直线与椭圆交于两点，当时，M是椭圆C的上顶点，且的周长为6.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）点P（2，），Q（2，－）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点。当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
6、（菏泽市2015届高三一模）椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点。
（1）求椭圆的方程；
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.

圆锥曲线求方程真题练习(解析版)

圆锥曲线求方程真题练习（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．2．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点． (1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；①PQ AB ∥；①||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.4．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求①AMN 的面积的最大值.9．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．10．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析11．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.12．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.13．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．14．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.15．已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ①x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.（1C 上. （①）求C 的方程；（①）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.17．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.18．已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AFO 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．19．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 M ：22221x y a b +=（ 0a b >>）右焦点的直线0x y +交 M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且 OP 的斜率为12.（①）求椭圆M 的方程；（①）C ， D 为M 上的两点，若四边形ACBD的对角线 CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，长轴长为4，离心率为12．过点(4,0)Q 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线,AF BF 的斜率分别为()122,0k k k ≠，求证：12k k 为定值．。

圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)

圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)1.若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线y^2=4x上，则PF 等于多少？解析：抛物线的准线为x=-1，焦点为F(-1,0)，参数方程为x=4t^2，y=4t。

因此PF为P到准线x=-1的距离，即PF=|3+1|=4.所以选C。

2.参数方程{x=sinθ+cosθ，y=1+sin^2θ}所表示的曲线是什么？解析：将参数方程化为普通方程，得x^2=y(0≤y≤2)，表示抛物线的一部分。

所以选B。

3.椭圆{x=5cosφ，y=3sinφ}的焦点坐标是什么？解析：椭圆的普通方程为x^2/25+y^2/9=1，因此c=sqrt(25-9)=4.又因为椭圆焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±4,0)。

所以选B。

4.已知过曲线{x=3cosθ，y=4sinθ}上一点P和原点O的连线PO的倾斜角为π/4，则P点的坐标是什么？解析：直线PO的方程为y=x，又点P为曲线{x=3cosθ，y=4sinθ}上一点，因此3cosθ=4sinθ，即tanθ=3/4.因为倾斜角为π/4，所以θ∈[0,π/4]。

解得sinθ=3/5，cosθ=4/5.因此P点的坐标为(3,4/5×3)= (3,12/5)。

所以选D。

5.已知O为原点，P为椭圆{x=4cosα，y=2/3sinα}上第一象限内一点，OP的倾斜角为π/3，则点P坐标为什么？解析：椭圆的普通方程为16cos^2α/16+9sin^2α/4=1，即cos^2α/4+sin^2α/16=1.直线OP的斜率为tan(π/3)=sqrt(3)，因此OP的方程为y=sqrt(3)x。

联立解得x=4/5，y=4sqrt(3)/15.因此点P的坐标为(4cosα,2/3sinα)=(4×4/5,2/3×4sqrt(3)/5)=(16/5,4sqrt(3)/5)。

所以选D。

高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计

因为 cos 2θ＝1－2sin2θ，所以13＝1－21a2，得 a2＝3. 又 c2＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 B.
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1，解析联立ax22＋by22＝1，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2，则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32，综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.

第11章第60课椭圆的方程

52－22＋－322＝2 10，又 c＝2，所以椭圆的方程为1x02 ＋y62＝1.
第23页
栏目导航
高考总复习一轮复习导学案 ·数学理科
第十一章圆锥曲线与方程
2. 若椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x＝－4，则该椭圆的标准方程为___x8_2＋__y_42_＝__1__．
【精要点评】(1)△ABC 的三个点 A，B，C 不能在一条直线上．(2)求轨迹要先求出方程，再剔除不合条件的点．
第14页
栏目导航
高考总复习一轮复习导学案 ·数学理科
第十一章圆锥曲线与方程
已知一动圆与圆 x2＋y2＋6x＋5＝0 外切，同时与圆 x2＋y2－6x－91＝0 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
第25页
栏目导航
高考总复习一轮复习导学案 ·数学理科
第十一章圆锥曲线与方程
圆
C
4.已知 F 于 A，B
1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆 C 两点，且 AB＝3，则椭圆
C的的两方个程焦为点_，__过_x_4F2_＋_2_且y3_2_＝垂__1直__于．x
轴的直线交椭
【解析】由题意知椭圆焦点在 x 轴上，且 c＝1，可设椭圆 C 的方程为ax22＋a2y－2 1＝
准线方程
x＝±167
7 .
第5页
栏目导航
高考总复习一轮复习导学案 ·数学理科
第十一章圆锥曲线与方程
则 m3的.(选取修值范1－围1为P3_5(_－习__∞题__，_4_－改__1编_)∪_)_若_1_，方__32程__|m_．|x－2 1＋2－y2m＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，【解析】由题意知 2－m>|m|－1>0，解得 1<m<32或 m<－1.

第十一章 圆锥曲线与方程(含答案)

2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案-圆锥曲线的方程-章末总结-含答案

圆锥曲线练习题含答案

完美版圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线与方程测试题及答案

2020年高中数学人教A版选修2-1 圆锥曲线与方程 2.1.1、2.1.2 Word版含答案

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

2020高考江苏数学(理)大一轮复习课件：第十一章 第60课 抛物线

(完整版)圆锥曲线常见题型及答案

圆锥曲线切线

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx

圆锥曲线大题全攻略含答案详解

【推荐】山东省2016届高三数学(文)优题精练：圆锥曲线 Word版含答案[ 高考]

最新版精选2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整题(含答案)

圆锥曲线求方程真题练习(解析版)

圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)

高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计

第11章 第60课 椭圆的方程

第十一章圆锥曲线与方程(含答案)

2020高考江苏数学(理)大一轮复习课件：第十一章第60课抛物线

第11章第60课椭圆的方程