1.2.3排列复习课(第三课时)

分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难， 可用实验法逐步解决。
第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。
若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。
若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。
同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应 填3。因而，第一格填2有3种方法。 不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。

n! ( n m )!
练习：
1） 由数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其 中偶数共有 48 个。
2） 用 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的三位数，共 有 100 个。
3）五名同学排成一排，其中的甲乙两同学必须站在两端 ， 共有 12 种不同排法。
4）用数字1, 2, 3可写出多少个没有重复数字且小于1000的
（八）住店法
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复 的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利 用乘法原理直接求解。
例10 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一 人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）
A. 75
B. 57
A C
5 7
D.
C5 7
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列， 将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个 “客”有7种住宿法，由乘法原理5 得 种。
7 5 注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 7 呢？
用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。
(九) 对应法
例11 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场 比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要 举行几场？
分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无 其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以
不同的坐法有 A77 种.
练习6
（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、 后排四人，有几种不同排法？
A73 A44 A77
或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，
所以
两排可看作一排来处理
不同的坐法有A77 种
（3）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数 字且大于31250的五位数？
分类： A21 A54 A31 A43 A21 A32 1 325
（4）31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复 数字的五位数中从小到大第几个数？
方法一：（排除法） A51 A54 325 275
A77 2 A66 A55
（2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头， 乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ）
A.120
B.96
C.78
D.72
直接A44 A13A13A33 78种 间接A55 2A44 A33 78
（3）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字 且个位数字不是4的五位数？
(1 2 3 4 5) A44 10 2 (1 2 3 4 5) A44 101
(1 2 3 4 5) A44 100 3999960 .
解题技巧分类讲解：
（一）特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。
A65 2A54 A43 (个）
（4）用间接法解例1—“6个同学和2个老师排成一排 照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不 站排尾，共有多少种不同的排法？”
2(6!25!4!) 1008(种）
（三）相邻问题——捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相
邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元 （组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组） 内部进行排列。
例7 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，
将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高
排列，有多少种排法？
分析：先在7个位置上作全排列，有 A77 种排法。其中
3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故A33 只
对应一种排法， 所以共有
A77 A33

A74
种。
本题也可以这样考虑：对应于先将没有限制
所以，所有五位数各位数上数字之和是：1800.
例2、由数字1、2、3、4、5可以组成没有 重复数字的五位数120个，把这些数从小 到大排成一列数，构成一个数列：12345， 12354，……， 54321， 问：所有五位数各位数上数字之和是多少？ 所有五位数的和是多少？
所有五位数的和是：
(1 2 3 4 5) A44 10 4 (1 2 3 4 5) A44 103
条件的其他元素进行排列，有 A74 种方法；
再将有限制条件（顺序要求）的元素进行排 列，只有一种方法；
故，总的排列方法数为：A74 840(种)
练习5
（1） 五人排队，甲在乙前面的排法有几种？
分析：若不考虑限制条件，则有
A
5 5
种排法，而甲，
乙之间排法有
A
2 2
种，故甲在乙前面的排法只有一种
符合条件，故
例3 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字
的三位数，其中偶数共有（ B ）
A.24
B.30
C.40
D.60
分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；
1) 0排在末尾时，有 A24 个；
正整数？
A31 A32 A33 15
解排列问题的常用技巧
解排列问题，首先必须认真审题，明确问 题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特 征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答， 同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧， 使一些看似复杂的问题迎刃而解.
总的原则—合理分类和准确分步
解排列问题，应按元素的性质进行分类， 事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明 确，分步层次清楚，不重不漏。
分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的 所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要 进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛。
（十）特征分析
研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提 供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。
例12 由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少 个无重复且是6的倍数的五位数？
A 法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数
1 3
（为什么？）
故共有 A53 2 A42 A31 39 种。
若n个不同元素排m个位，a、 b各不能排某位，则有
A53 A42
A31
A42
Anm

2
Am1 n1

Anm22种排法。
练习3
（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不 在最左，乙不在最右，有几种不同方法？
例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分 别有多少种站法？
分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，
与其余4人共有5个元素做全排列，有A55种排法，然后
对甲，乙，丙三人进行全排列。 由分步计数原理可得： A55A33 种不同排法。
（四）不相邻问题——插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它 元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素 之间及两端的空隙之间插入即可。
万位上的所有数字之和为：(1 2 3 4 5) A44 360
千位上的所有数字之和为：(1 2 3 4 5) A44 360 百位上的所有数字之和为：(1 2 3 4 5) A44 360 十位上的所有数字之和为：(1 2 3 4 5) A44 360 个位上的所有数字之和为：(1 2 3 4 5) A44 360
（2）八个人排成两排，有几种不同排法？
A88
（七）实验法
题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐 步寻求规律有时也是行之有效的方法。
例9 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的 四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号 与所填的数字均不相同的填法种数有（ ）
A.6
B.9
C.11
D.23
个位数为2或4： A21 A41 A43 所以 A54 A21 A41 A43 312
（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数 字且能被五整除的五位数？
分类：后两位数字为5或0：
个位数为0： A54 个位数为5： A41 A43
A54 A41 A43 216
捆绑法： A22 A33 A44
〈2〉三个男生，四个女生排成一排，男生之间、 女生之间不相邻，有几种不同排法？
插空法： A33 A44
〈3〉如果有两个男生、四个女生排成一排，要 求男 生之间不相邻，有几种不同排法？
插空法： A44 A52
（五）顺序固定问题用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将 这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的 排列数除以这几个元素的全排列数.
例6 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻， 分别有多少种站法？
分析：可先让其余4人站好，共有 A44 种排法，再在
这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、
乙、丙插入，则有 A35 种方法，这样共有 A44 A53 种不
同的排法。
练习4
（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女 生各站一起，有几种不同方法？
方法二：（直接法） 2A54 A43 A32 2 A21 1 275
例2、由数字1、2、3、4、5可以组成没有 重复数字的五位数120个，把这些数从小 到大排成一列数，构成一个数列：12345， 12354，……， 54321，
问：所有五位数各位数上数字之和是多少？ 所有五位数的和是多少？
（二）总体淘汰法(间接法、排除法）
对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不 符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。
例4 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复
数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。
分析：五个数组成三位数的全排列有 A53 个，0排在首位的
有 A42 个 ，1排在末尾的有 A42 ，减掉这两种不合条件的排
排列复习课
一、复习引入：
排列：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个排列.
排列数：
从 n个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的 所有排列的个数， 叫做从 n个不同元素中取出
m个元素的排列数.
排列数公式：
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
符合条件的排法有
A
5 5
A
2 2
即A53
种.
〈2〉三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙 三人的顺序不变，有几种不同排法？
A77 A33

A74
（六）分排问题用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题，若没有其他 的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理. 例8 七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐 4人，则有多少种不同的坐法？
2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排
十位有 A12A13A个.
练习2
（1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重
复数字的五位数？
A51 A54
（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数
字的五位奇数？
A31 A41 A43
原理，不同的站法有 A41 A41 A44 种。 再安排老师，有2种方法。 根据分步及分类计数原理，不同的站法共有
2( A55 A41 A41 A44 ) 1008 (种）. 解法2 见练习3（4）
练习1
（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字 的五位偶数？
个位数为零： A54
二、例题讲解：
例1 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个 老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排 尾，共有多少种不同的排法？
解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类： 1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有 A55 种方法.
2) 若有甲A41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A44有种A，41种根，据1分位步的计排数法