大学热力学与统计物理答案第二章
热力学与统计物理02
∆F = FB – FA 0
在等温等容过程中，系统的自由能永不增加。或者说，在等 温等容条件下，系统中发生的不可逆过程总是朝着自由能减 少的方向进行的。
2.1.2 吉布斯函数
1. 吉布斯函数定义式
考虑如下的等温等压过程：系统在过程中与具有恒定温 度T的热源接触、且外界的压强始终保持恒定值p，系统 的初态和终态是温度为T、压强为p的平衡态。
第2章 均匀物质的热力学性质
热力学函数的全微分和麦氏关系 基本热力学函数的确定 气体的节流过程和绝热膨胀过程
§2.1 热力学函数与过程判据
热力学第一定律 热力学第二定律 U S 原则上可解决热力 学中所有问题
物态方程
热力学第二定律的普遍表述确定孤立系统中过程的方向。 对于其它过程的判别呢？为了方便可以引入新的态函数。
假设系统体积从VA变为VB ，在只有体积功的条件下：
p(VB VA ) FA FB
引入新状态函数：
G= F + pV = U – TS + pV = H – TS
吉布斯 函数
微分方程
dG = -SdT + Vdp
若系统除体积变化功外无其他形式的功，有：
∆G = GB – GA 0
在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。也 就是，在等温等压条件下，系统中发生的不可逆过程 总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的。
2020智慧树知道网课《热力学与统计物理》课后章节测试满分答案
第一章测试
1
【多选题】(1分)
杨振宁认为中国大学生的学习方法有利有弊，最大的弊端是：
A.
讲课循序渐进
B.
他不能对整个物理学，有更高超的看法
C.
课外活动较少
D.
它把一个年轻人维持在小孩子的状态，老师要他怎么学，他就怎么学
2
【多选题】(1分)
杨振宁认为“我一生中最重要的一年，不是在美国做研究，而是当时和黄昆同住一舍的时光。”原因是：
A.
黄昆会做饭并经常和杨振宁共享
B.
杨振宁和黄昆都喜欢争论物理问题
C.
黄昆经常把听课笔记借给杨振宁参考
D.
黄昆对物理学的理解常常有独到之处，对杨振宁有启发
3
【多选题】(1分)
杨振宁说：“我们学校里有过好几个非常年轻、聪明的学生，其中有一位到我们这儿来请求进研究院，那时他才15岁的样子，后来他到Princeton去了。我跟他谈话以后，对于他前途的发展觉得不是那么最乐观。”原因是这位学生：
A.
学到一些知识，学到一些技术上面的特别的方法，而没有对它的意义有深入的了解和欣赏
B.
只是学了很多可以考试得该高分的知识，不是真正做学问的精神
C.
对量子力学知识茫茫一片，不知道哪里更加好玩
D.
尽管吸收了很多东西，可是没有发展成一个taste
4
【多选题】(1分)
梁启超的“智慧日浚则日出，脑筋日运则日灵”说明如下道理：
A.
人的智慧需要挖掘才会涌现出来
B.
大学生一开始接受教育的时候，就要弄清楚事物的本质
C.
人脑越用会越聪明
D.
认为初学之人不能穷凡物之理，而这种观点是不对的
5
【判断题】(1分)
因为1=0.999…，所以对任何函数f(x)，总有f(1)=f(0.999…)。
A.
错
B.
对
6
热力学与统计物理答案(汪志诚)
第一章 热力学的基本规律
习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。 解：由得：nRT PV = V nRT
P P nRT V =
=
; 所以, T P nR V T V V P 1
1)(1==∂∂=α
T PV Rn
T P P V /1)(1==∂∂=β
P P
nRT V P V V T T /11
1)(12=--=∂∂-=κ
习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:⎰-=)(ln dp dT V T κα如果1
T
α=
1T p κ= ,试求物态方程。
解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此, dp p V dT T V dV T p )()(
∂∂+∂∂=, 因为T T p p
V
V T V V )(1,)(1∂∂-=∂∂=κα 所以, dp dT V
dV
dp V dT V dV T T κακα-=-=,
所以, ⎰-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα.
CT pV p
dp
T dT V =-=⎰
:,ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和
1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。问（1压强
要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100n p ，铜块的体积改多少 解：分别设为V xp n ∆;，由定义得：
热力学与统计物理答案第二章
其次章 匀整物质的热力学性质
2.1 确定在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.
解：依据题设，气体的压强可表为
(),p f V T = 〔1〕
式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =--
得麦氏关系
〔2〕
将式〔1〕代入，有
().T V
S p p f V V T T ∂∂⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭ 〔3〕 由于0,0p T >>，故有. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加.
2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：
(),p f V T =
试证明其内能及体积无关.
解：依据题设，物质的物态方程具有以下形式：
(),p f V T = 〔1〕
故有
〔2〕
但依据式〔〕，有
,T V
U p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 〔3〕 所以
()0.T
U Tf V p V ∂⎛⎫
=-= ⎪∂⎝⎭ 〔4〕
这就是说，假如物质具有形式为〔1〕的物态方程，那么物质的内能及体积无关，只是温度T 的函数.
2.3 求证： 解：焓的全微分为
.dH TdS Vdp =+ 〔1〕
令0dH =，得
〔2〕
内能的全微分为
.dU TdS pdV =- 〔3〕 令0dU =，得
〔4〕
2.4 确定，求证 解：对复合函数
(,)(,(,))U T P U T V T p = 〔1〕
求偏导数，有
.T T T
U U V p V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫= ⎪
⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 〔2〕 假如，即有
热力学与统计物理学思考题及习题
热力学与统计物理学思考题及习题
《热力学与统计物理学》思考题及习题
第一章热力学的基本定律
§1.1 基本概念
1．试求理想气体的定压膨胀系数α、定容压强系数β和等温压缩系数κ。
2．假设压强不太高，1摩尔实际气体的状态方程可表为 )1(Bp RT pv += , 式中B 只是温度的函数。求βα、和κ，并给出在0→p 时的极限值。
3．设一理想弹性棒，其状态方程是
-=22
00L L L L kT F 式中k 是常数，0L 是张力F 为零时
棒的长度，它只是温度T 的函数。试证明：
(1) 杨氏弹性模量 2
2
03AL
kTL A F
L F A L Y T +=??? ????=；
(2) 线膨胀系数 AYT F T L L F -=??? ????=
01αα，其中F
T L L
=000
1α，A 为弹性棒的横截
面积。
4．某固体的
V
Bp
CT -=
2α，
V
BT =
κ，其中B 、C 为常数，试用三种方法求其状态方
程。
5．某种气体的α及κ分别为：pV R
να=
,
V a
p
+
=
1κ,其中ν、R 、a 都是常数。求此气
体的状态方程。
6．某种气体的α及k 分别为：
()p f V aVT 1
3
4
+=
α，
2
Vp RT
=
κ。其中a 是常数。试证明：
(1) ()2
/p R p f =；
(2) 该气体的状态方程为：T ap RT pV /-=。
7．简单固体和液体的体胀系数α和压缩系数κ的值都很小，在一定的温度范围内可以近似视为常数。试证明其状态方程可表为：
)0,(),(00T V p T V =[p
T T κα--+)(10]。
8．磁体的磁化强度m 是外磁场强度H 和温度T 的函数。对于理想磁体，从实验上测
热力学_统计物理学答案第二章
w.
P = f (V )T ，(
ww
等 H 过程: (TdS ) H = −(VdP) H ∂S V ）H =- <0 (V>0; T>0) ∂P T 由基本方程： dU = TdS − PdV 1 p ⇒ dS = dU + dV ; T T ⇒（
.c o
( k(V)>0)
习题 2.2 已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在
∆ Q = T ∆ S , ∆ S =-0.572Jmol -1 ·K-1 Q =-157J·mol -1
温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加。
因 V 不变,T、p 升高,故 k(V)>0 据麦氏关系(2.2.3) 式得:
kh da w
答
(
后
案 网
解：由题意得： p = k (V )T + f (V ) 。
.c o
∫
p0
(
∂ 2V ) p dp ∂T 2
m
原题得证。
∂2 S ⎛ ∂CV ⎞ =T ⎛ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ∂V ⎠ T ⎝ ∂T∂V 类似可证：
⎞ ⎛ ∂2 p ⎞ ⎟ ⎟ =T ⎜ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ∂T ⎠V
⎛ ∂C p ⎞ ⎛ ∂ 2V ⎞ ⎜ ⎟ =T ⎜ ⎜ ∂p ⎟ ⎜ ∂T 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠T ⎝ ⎠
汪志诚热力学统计物理学答案第三版第二章
第二章 均匀物质的热力学性质
习题2.1温度维持为25℃, 压强在0至1000p n 之间，测得水的实验数据如下：
（
T
V
∂∂）p =(4.5×10-3+1.4×10-6P)cm 3·mol -1·K -1 若在25℃的恒温下将水从1p n 加压到1000p n , 求水的熵增和从外界吸收的热量。
解：利用麦氏关系：p T
V
)(
∂∂ =-T p S )(∂∂ 求熵增∆S ; 从而
∆Q = T ∆S ,∆S =-0.572Jmol -1·K -1 Q =-157J ·mol -1
习题2.2已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加。 解：由题意得： )()(V f T V k p +=。
因V 不变,T 、p 升高,故k (V )>0 据麦氏关系(2.2.3)式得:
T V S )(
∂∂ =V T
p
)(∂∂ =k (V ) (k (V )>0) ⎰+=⇒);()(T g dV V k S
由于k (V )>0, 当V 升高时(或V 0→V ,V >V 0),于是
⎰>0)(dV V k
⇒T 不变时,S 随V 的升高而升高。
2.3设一物质的物态方程具有以下形式T V f P )(=，试证明其内能与体积无关。
解： T V f P )(= ，(
V T V U ∂∂),()T =T V T P
)(∂∂ - p = )()(V Tf V Tf - =0 得证。 习题2.4求证：(ⅰ) H P S )(∂∂ <0 (ⅱ) U V
热力学与统计物理第二章
热力学与统计物理
黄整
1
第二章均匀物质的热力学性质
§0 数学准备
函数()
,U x y 泰勒展开
(),U x y =()
00,U x y ()()0000,,U x y U x y x y
x y
∂∂+Δ+Δ∂∂()()()()()222
220000
0022
,,,122U x y U x y U x y x x y y x x y y ⎡⎤∂∂∂+Δ+ΔΔ+Δ⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦
+""
()
00,U x y U =+Δ
()()0000,,U x y U x y U x y x y
∂∂Δ=Δ+Δ+∂∂""
全微分
()()0000,,U x y U x y dU dx dy
x y
∂∂=+∂∂二阶导数的性质
()2
00,U x y x y
∂∂∂()2
00,U x y y x
∂∂∂=
()()0000,,U x y U x y x y
x y
∂∂≈Δ+Δ∂∂
§1 U 、H 、F 和G 的全微分
dU TdS pdV =−dH TdS Vdp =+dF SdT pdV =−−dG SdT Vdp
=−+1. 热力学基本方程
2. 全微分
V S
U U dU dS dV
S V ∂∂⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠p S H H dH dS dp S p ⎛⎞∂∂⎛⎞=+⎜
⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠V T
F F dF dT dV
T V ∂∂⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠p T
G G dG dT dp T p ⎛⎞∂∂⎛⎞=+⎜
⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠
V U T S ∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠S
U p V ∂⎛⎞=−⎜⎟∂⎝⎠p H T S ∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠V
热力学与统计物理习题 统计物理部分 第2章
6.5设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N N ′和。粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的。假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制，试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布
分别为l e w a l l βεα−−=和l
e w a l l εβα′−′−′=′，其中εε′和是两种粒子的能级，w w ′和是能级的简并度。
7.3当选择不同的能量零点时，粒子第l 个能级的能量可以取为l ε或*l ε，以Δ表示二者之差Δ＝*l ε-l ε。试证明相应的配分函数存在以下关
系1*1Z e Z Δ−=β。
并讨论由配分函数1Z 和*1Z 求得的热力学函数有何差别。
7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率v 、最概然速率m v 和方均根速率s v 。
7.14分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率、方均根速率和平均能量。
7.17气柱的高度为H ，截面为S ，处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为
22
20
01)1()()
1(kT e e
mgH N Nk C C e NmgH
NkT U U kT mgH
kT mgH
V V kT mgH
−−+=−−+=
7.20试求爱因斯坦固体的熵。
补充题：
1. 求在面积为A 的二维空间内活动的单原子分子的能量涨落
222)(εεε−=Δ
热力学与统计物理习题
气体在多方过程中的热容量 Cn 为 Cn 1.10、 （1.13）声波在气体中的传播速度为
n CV 。 n 1
p 。假设气体是理想气体，其定压和定 s
容热容量是常数。试证明气体单位质量的内能 u 和焓 h 可由声速 及 给出：
u
2 2 常数 。 ＋常数 , h 1 1
1
0
K 1 ，问电阻器的熵增为何？ 1 T1 T2 后， 2
、均匀杆的温度一端为 T1 ，另一端为 T2 。试计算达到均匀温度 1.19（1.23）
杆的熵增。 （第三版） （1.24） 、根据熵增加原理证明第二定律的开氏表述，从单一热源吸取热量使之完 全变成有用的功而不引起其他变化是不可能的。 1.21（1.25） 、物体的初温 T1 高于热源的温度 T2 。有一热机在此物体与热源之间工作，直到 将物体的温度降到 T2 为止。若热机从物体吸取的热量为 Q ，试根据熵增加原理证明， 此热机所能输出的最大功为 W最大＝Q T2 S 2 S1 ，其中 S1 S 2 是物体的熵减少 量。 1.22（1.26） 、有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为 Ti ，今令一制冷机在此两物 体间工作，使其中一个物体的温度降到 T2 为止。假设物体维持在定压下，并且不发生 相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为 W最小＝C P 补充题： 有两个完全一样的物体，初始温度各为 T1 和 T2 ，有一热机工作于这两物之间，使两者的温 度都变为 T 。假设两物在定压下且比热是常数，试用熵增加原理证明，热机对外所作的功 为
热力学统计物理课后答案2
第六章 近独立粒子的最概然分布
6.1中 试根据式（6.2.13）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
()()13
2232d 2d .V
D m h
πεεεε=
解: 式（6.2.13）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到
d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
3
d d d .x y z V
p p p h （1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为
2
3
4πd .V p p h （2） 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为
2
.2p m
ε= 因此
d .
p p p md ε==
将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
()13
2232π()d 2d .V
D m h
εεεε= （3）
6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为
.cp ε=
试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（6.2.16）已给出在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为
2
3
4d .V p p h π （1） 将极端相对论粒子的能量动量关系
cp ε=
代入，可得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为
热力学与统计物理答案
第一章 热力学的基本规律
习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。 解：由得：nRT PV
= V nRT
P P nRT V ==
; 所以, T P nR V T V V P 11)(1==∂∂=
α T PV Rn T P P V /1)(1==∂∂=
β P P nRT V P V V T T /11
1)(12=--=∂∂-=κ 习题 1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,
,其物态方程可由实验测得的体胀系数α
及等温
压缩系数T κ,根据下述积分求得:⎰-=)(ln dp dT V
T κα如果1
T
α=
1
T
p
κ=
,试求物态方程。 解： 因为
0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此,
dp p V dT T V dV T p )()(
∂∂+∂∂=, 因为T T p p V V T V V )(1,)(1∂∂-=∂∂=κα 所以,
dp dT V
dV
dp V dT V dV T T κακα-=-=,
所以,
⎰-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα.
CT pV p
dp
T dT V =-=⎰
:,ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为
1
510*85.4--=K α和
1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。问（1压强要增加多少n
p
才能
使铜块体积不变？（2若压强增加100
n p ，铜块的体积改多少
解：分别设为V xp n ∆;，由定义得：
最新热力学与统计物理-试题及答案-2
中国海洋大学试题答案
)ω； 2
B d ωω.
2()
2
n ω
ωβ
ω
+-;
/2/2
321
)
(1)kT
kT N e e kT e βωωωωωω+--
//1/,1,kT
kT V kT e C ωωω-≈→→40///0(/)()()1
11D i
i
kT
kT kT B kT kT U U B d e kT
ωω
ωωωωωω
ω==+---⎰ 4次方成正比，故3
T ∝
授课教师命题教师或命题负责人
签字
院系负责人
签字
年月日
热力学统计物理第二章
dU TdS pdV
dH TdS Vdp
dF SdT pdV
dG SdT Vdp
F F dF dT dV T V V T
G G dG dT p dp T p T
March.10, 2009
重庆大学光电工程学院
11
热力学统计物理 第二章
2.2 特性函数的特征麦克斯韦关系
一、特征函数 U(S,V) ， H(S,p) ， F(T,V) ， G(T,p)
•
的全微分 考虑简单 p-V 的系统特性函数 选S,V为独立变量，特性函数为U(S,V), 其全微 分为： dU U dS U dV
March.10, 2009
TdS dU pdV
重庆大学光电工程学院
3
热力学统计物理 第二章
• 如果将变量S，V 换成 S，P，（ S,V→S,p ） ∵ dU TdS pdV ,
d pV Vdp pdV
∴ d U pV TdS Vdp (上两式相加) 又∵ H(S,p)=U+ pV (2.1.5) ∴ (2.1.6) dH TdS Vdp 这里 H(S,p)是以 S,p 为变量的特性函数。
H V p
S
G S T p
热力学与统计物理学-第二章
Cp
CV
T S V
V T T
p
Cp
CV
T p T
U 0 V T
这正是焦耳定律。
(2) 对于范氏气体（1 mol），
p
a v2
v
b
RT
U v
T
a v2
实际气体的内能不仅与温度有关， 而且与体积有关。
推导能态方程与CV计算公式
令 U U T ,V
全微分 dU U dT U dV
T V
V T
由基本方程 dU TdS pdV ，并令S=S(T,V)得
dU
T[
S T
V
dT
S V
T
dV ]
pdV
T
S T
V
dT
T
S V
T
p dV
两式比较，并用麦氏关系
G p
T
V
T V
S
p S
V
T p
S
V S
p
S V
T
《热力学与统计物理》第四版(汪志诚)课后题答案
（5）
活门是在系统的压强达到
p0
时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作
p0V nR T0 .
与式（3）比较，知
（6）
V V0 .
（7）
1.8 满足 的热容量
pV n C
为
的过程称为多方过程，其中常数
n
名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中
Cn
Cn
解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
（3）
T
1 V 1 nRT 1 . V p T V p 2 p
（4）
1.2 证明任何一种具有两个独立参量 系数
T, p
的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数
及等温压缩
，根据下述积分求得：
lnV = αdT κT dp
n CV n 1
Q U V Cn lim p . T 0 T n T n T n
对于理想气体，内能U只是温度T 的函数，
（1）
U CV , T n
所以
V Cn CV p . T n
（4）
V 4.85 105 10 7.8 107 100 V1 4.07 104.
因此，将铜块由
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 均匀物质的热力学性质
2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.
解：根据题设，气体的压强可表为
(),p f V T = （1）
式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =--
得麦氏关系
.T V
S p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 将式（1）代入，有
().T V
S p p f V V T T ∂∂⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ∂⎛⎫
>
⎪∂⎝⎭. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加.
2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：
(),p f V T =
试证明其内能与体积无关.
解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
(),p f V T = （1）
故有
().V
p f V T ∂⎛⎫
= ⎪∂⎝⎭ （2） 但根据式（2.2.7），有
,T V
U p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以
()0.T
U Tf V p V ∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.
2.3 求证： ()0;H
S a p ⎛⎫∂< ⎪∂⎝⎭ ()0.U S b V ∂⎛⎫
> ⎪∂⎝⎭
解：焓的全微分为
.dH TdS Vdp =+ （1）
令0dH =，得
0.H
S V
p T ⎛⎫∂=-< ⎪∂⎝⎭ （2） 内能的全微分为
.dU TdS pdV =- （3）
令0dU =，得
0.U S p V T
∂⎛⎫
=> ⎪
∂⎝⎭ （4）
2.4 已知0T U
V ∂⎛⎫
= ⎪∂⎝⎭，求证0.T
U p ⎛⎫
∂= ⎪∂⎝⎭ 解：对复合函数
(,)(,(,))U T P U T V T p = （1）
求偏导数，有
.T T T
U U V p V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫= ⎪
⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 如果0T
U V ∂⎛⎫
=
⎪∂⎝⎭，即有
0.T
U p ⎛⎫
∂= ⎪∂⎝⎭ （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：
(,
)(,
)(,)(,)(,
)(,)
T U U T p p T U T V T V T p T ⎛⎫∂∂= ⎪
∂∂⎝⎭∂∂=
∂∂
.T T
U V V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=
⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）
2.5 试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.
解：热力学用偏导数p
S V ∂⎛⎫
⎪∂⎝⎭描述等压过程中的熵随体积的变化率，用p
T V ∂⎛⎫
⎪∂⎝⎭描述等压下温度随体积的变化率. 为求出这两个偏导数的关系，对复合函数
(,)(,(,))S S p V S p T p V == （1）
求偏导数，有
.p p p p p
C S S T T V T V T V ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 因为0,0p C T >>，所以p S V ∂⎛⎫
⎪∂⎝⎭的正负取决于p
T V ∂⎛⎫
⎪∂⎝⎭的正负. 式（2）也可以用雅可经行列式证明：
(,)(,
)(,)(,)(,
)(,)
P S S p V V p S p T p T p V p ∂∂⎛⎫
= ⎪
∂∂⎝⎭∂∂=
∂∂
P P
S T T V ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）
2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.
解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由
偏导数S T p ⎛⎫∂
⎪∂⎝⎭和H
T p ⎛⎫
∂ ⎪∂⎝⎭描述. 熵函数(,)S T p 的全微分为 .P T
S S dS dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫
=+ ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭ 在可逆绝热过程中0dS =，故有
.T P p S
P
S V T p T T S
p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫
⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （1） 最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.
焓(,)H T p 的全微分为
.P T
H H dH dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫
=+ ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭ 在节流过程中0dH =，故有
.T P
p
H P
H V T V p T T H p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫
- ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （2） 最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 将式（1）和式（2）相减，得
0.p
S
H T T V p p C ⎛⎫⎛⎫∂∂-=> ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.
由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.
2.7 实验发现，一气体的压强p 与体积V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即