3.2.1利用空间向量证明平行问题

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数学3.2.1空间向量与平行关系课件步步高(人教A版选修2-1)

－2，0)，试求平面 α 的一个法向量．
本
解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
讲栏目
∴A→B＝(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)，
开关
设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)．
依题意，应有 n·A→B＝0，n·A→C＝0.
即x2－x－2y4－y－4z3＝z＝00 ，解得xz＝＝02y .令 y＝1，则 x＝2. ∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
令 x＝1，得 y＝z＝1.
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
小结求平面的法向量直接使用待定系数法即可．其中平面内的两个不共线向量可以任找，平面的法向量不唯一．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.1
跟踪训练 1 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，
设直线 l、m 的方向向量分别为 a，b，平面 α、β 的法向量
本讲
分别为 μ，v，则
栏
目开
线线平行
l∥m⇔ a∥b
关
线面平行
l∥α⇔ a⊥u ⇔ a·u＝0
面面平行
α∥β⇔ μ∥v ⇔u＝kv (k∈R)
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.1
问题 1 如何用向量来表示空间任一点、空间任一直线、空间

高二数学 3.2.1空间向量与平行关系

_3.2 立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行关系

平面的法向量

以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后石墩落下夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使质量为100 kg 的石墩垂直离开地面，每个人至少需要用10023

kg 的力．

问题1：在空间中给定一个定点A (一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？

提示：能．

问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定吗？提示：确定．

1．直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量． 2．平面的法向量

直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量.

空间线面位置关系的向量表示

由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．

问题1：若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，当a ∥u 时，l 与α有什么关系？若a ⊥u 呢？

提示：a ∥u 时，l ⊥α；a ⊥u 时，l ∥α或l ⊂α.

问题2：若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则u ∥v ，u ⊥v 时，α，β是什么位置关系？提示：u ∥v 时，α∥β；u ⊥v 时，α⊥β.

空间中平行关系、垂直关系的向量表示

设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则线线平行 l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝kb ，k ∈R ；

3.2.1直线的方向向量与平行证明-精选文档

A
H
B
G
k ( O B O A O D O A )
O F O E O H O E E F E FE H 所以 E、F、G、H共面。
2 已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
O E k O A , O F k O B , O G k O C , O H k O D
A. 3(1)(4,3,4),
B. 1.(5,15,28),
2 C(9,12,10),
19 37 2. , , 5 5 5
3. (1,2,0)你有几法？ 4.(2,0,5)请讲解法！
练 1 ：已知两点 A （ 1 ， 2 ， 3 ）， B （ 2 ， 1 ， 3 ），求 AB ，连线与坐标平面 y o z 的交点 .
分析：
由 O C （ 1 t ） O A t O B 得
设 A B 连线与 y o z 平面的交点为 C （ 0 ， y ， z ）， 1 1
（ 0 ， y ， z ）（） 1 t( 1 , 2 , 3 ) t ( 2 , 1 , 3 ) 1 1 （ 0 ， y ， z ） ( 1 t ， 2 3 t ， 3 6 t ） 1 1
B
G
F
A. 3
B. 3
对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC , 则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .

3.2.1空间向量与平行关系.ppt

位置关向量关向量运算关
系源自文库
系
系
a∥b a=kb,k∈R l∥m a_⊥__u__ __a_·__u_=_0___
l∥α u__∥__v_ _______
坐标关系
a1=ak1ub11+,aa22u=k2+ba23,ua33==0kb3 _______________
α ∥β _____ u=kv,k∈R u1=kv1,u2=kv2,u3=kv3
2.对平面法向量的两点说明 (1)平面法向量的选取:平面α 的一个法向量垂直于与平面α 共面的所有向量.即只需作一条垂直于平面的直线,选取该直线的方向向量.
(2)平面法向量的不惟一性:一个平面的法向量不是惟一的,一个平面的所有法向量共线.在应用时,可以根据需要进行选取.
【自我检测】
1.已知平面α 内有一点M(1,-1,2),平面α 的一个法向
【解题流程】建系→找坐标,写向量→列方程组→赋值, 求解
【延伸探究】 1.本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面 PCD的一个法向量.
【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,
则P(0,0,1),C(1, 3 ,0),所以 PC =(1, 3 ,-1), 即直线PC的一个方向向量.
类型一求直线的方向向量、平面的法向量【典例】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形, PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD= 3 ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量. 世纪金榜导学号53162072

3.2.1立体几何中的向量方法平行、垂直的证明

先看（1)的证明方法 E
F
D C
G
证法1 几何法
A
B
证2：如图所示建立空间直角坐标系o-xyz设 DC=1 连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1,0,0), P (0,0,1), 1 1 1 1 E (0, , ) G( , ，0) 2 2 2 2
Z
1 1 PA (1, 0, 1), EG ( , 0, ) 2 2
面面平行
线线垂直
线面垂直面面垂直
∥ u ∥ v u kv . l ⊥m a ⊥b ab 0； l ⊥ a ∥ u a ku ； ⊥ u ⊥ v u v 0.
四：应用举例：
例2.如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF 所在平面交于AB，AM=FN,求证：MN//面 BCE. A F
n AB ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 ∴ 即 n AC ( x, y, z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2z 0
∴ n (4,3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
CB⊥面PDC DE ⊥PC,且PC是PB 在面PDC内的射影所以：PB ⊥DE 又：PB ⊥EF 得证。 A P F
D B
E

3.2.1立体几何中的向量方法——平行与垂直

3 y x ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 4 ∴ 即 ∴ ( x , y , z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2 z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6)
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
C1
n
B
C F
y
x A
E
练习：在空间直角坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
A1D1 (1,0,0)
D
AE A1D1 0 AE A1D1 x A 由（ 1 ）得AE D1F 且D1F A1D1 D1 AE 面A1D1F
F B
C
y
题型二：利用空间向量解决垂直问题
z
全优 p57—变式2
求证：EF 面PAB
z
P
作业：课本 p107—1
x
F
C
G
E
D
y
x
B
A
y
求平面的法向量
例5:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别是AB、BC、AA1的中点

3.2.1立体几何中的向量方法(平行和垂直)

22 2
MN⊥AB, 同理 MNW⊥CD.
25
例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证3 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.
B(0, 0, 0) D(0,2,0) C( 3,1, 0)
Z
A
M
M( 3,1, 6) 623
N ( 3 , 3 ,0) 22
G
B
16
X
解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：依题意得 A (1 ,0 ,0 ),P (0 ,0 ,1 ),E (0 ,1,1),B(1,1，0)
uuur PA(1,0,1),
uuur DE
(0,
1
,
1)
22
r
22
uur Z DB=(1,1， 0)
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1)
rr
平面, 的法向r量分r别为r u, vr，则（3）u v u v0
β
r u
r v
α
W
23
例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证1 立几法
A
M
B
D
N C
W
24

3.2.1立体几何中的向量方法解决平行问题

A,以向量n 为法向量的平面是完全确定的
n.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;

A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m 是与平面平行或在平面
内，则有 nm 0
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平两面个内不的共线的向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2) (3)根据法向量的定关义于建 x, y立 ,z的
巩固性训练1
1.设 a , b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b(6,3,6)平行 (2)a (1,2,2),b(2,3,2) 垂直 (3)a (0,0,1),b(0,0,3) 平行
巩固性训练2
1.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线
垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n
⊥ ，如果 n ⊥ ，那么向量 n 叫做平面的法向量
.
l
给定一点A和一个向量 n ,那么过点

高中数学 3.2.1空间向量与平行关系

空间向量与平行关系

(30分钟 50分)

一、选择题(每题3分,共18分)

1.假设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,有可能使l ∥α的是( ) =(1,0,0),n =(-2,0,0) =(1,3,5),n =(1,0,1) =(0,2,1),n =(-1,0,-1) =(1,-1,3),n =(0,3,1)

【解析】选D.假设l ∥α,那么a ·n =0.而选项A 中a ·n =-2.选项B 中a ·n =1+5=6.选项C 中a ·n =-1,选项D 中a ·n =-3+3=0.

【变式训练】已知线段AB 的两头点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),那么线段AB 与坐标平面( ) 平行平行平行

相交

【解析】选C.因为AB →=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),故AB →

∥平面yOz.又A(9,-3,4),B(9,2,1)不在平面yOz 内,因此AB ∥平面yOz.

2.(2021·郑州高二检测)如下图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,棱长为a,M,N 别离为A 1B 和AC 上的点,A 1M=AN=√2a

3,那么MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能确定

【解析】选B.别离以C 1B 1,C 1D 1,C 1C 所在直线为x,y,z 轴,成立空间直角坐标系. 因为A 1M=AN=√2

3a,

因此M (a ,23a ,a

N (23a ,2

a ,a ).

因此MN →

=(−

a 3

,0,2

a ).

利用空间向量证明平行问题

n A1 B, n A1 D
即n也是平面A1 BD的法向量。
平面A1 BD / /平面CB1 D1
归纳：运用空间向量的知识来证明平行问题的步骤 1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。 ---即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线，若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系；若没有，则需要作辅助线。 2.写出空间图形中各点的空间坐标。
u v

m
b
解决这些问题,首先必须适当建立空间坐标系,然后进行坐标化。
例题讲解
例题1:在四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD 为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别是AB,SC的中点.求证:EF//平面SAD.
证明：
x A
z
S F
D C E B
y
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
3.利用空间向量的关系来证明相关的平行问题.
当堂训练 1.如图，已知正方形ABCD 与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= 2，AF=1,M是EF 的中点.求证：AM//平面BDE.
D
E M F
C
B
A
2.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形， ∠ABC=450,PA⊥底面ABCD, PA=2,M为PA的中点，N为BC 的中点. 求证：MN//平面PCD
1.立体几何中的平行关系的向量表示 b ，平面，设直线l, m的方向向量分别为a，的法向量分别为 u， v ，则有以下结论：

3.2.1 空间向量与平行、垂直关系

3.2.1空间向量与平行、垂直关系

预习课本P102～108，思考并完成以下问题

1．平面的法向量的定义是什么？

2．设直线l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α，l ⊥α的充要条件分别是什么？

[新知初探]

1．平面的法向量

(1)直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．

(2)平面的法向量

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．

2．空间平行关系的向量表示

(1)线线平行

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

(2)线面平行

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(3)面面平行

设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

3．空间垂直关系的向量表示

(1)线线垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥

m ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.

(2)线面垂直

设直线l 的方向向量是a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝λu ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R)．

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第三章 3.2.1 利用空间向量证明平行、垂直问题(一)

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点评：解决此类问题要注意两点：①搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；②要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性．
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变式训练
1．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面
自测自评
3．平面 α 的法向量 u＝(x,1，－2)，平面 β 的法向
1 量 v＝－1，y，，已知 α ∥β ，则 x＋y＝( 2
)
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13 A. 4
15 B. 4
17 C. 3
14 D. 3
1 －2 解析：因为 α ∥β ，所以 u∥v，所以＝＝，－1 y 1 2 1 15 解得 x＝4，y＝－，所以 x＋y＝ .故选 B. 4 4 答案：B
与平面、直线与平面的位置关系．
(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2，－3，－ 2)，b＝(－2，－4,4)． (2)平面α 、β 的法向量分别为u＝(1,3,6)，v＝ (－2，－6，－12)．
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1 (2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－， 2
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α ⊥β . 3 ②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－ v， 5 ∴u∥v，∴α ∥β . ③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴u 与 v 不共线，也不垂直， ∴α 与 β 相交但不垂直． (3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0，

3.2 第1课时利用向量证明空间中的平行关系

3.2立体几何中的向量方法

第1课时利用向量证明空间中的平行关系

课后篇巩固提升

基础巩固

1.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是()

A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)

B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)

C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)

D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)

解析A中,m·n=-2≠0,所以排除A;B中,m·n=1+5=6≠0,所以排除B;C中,m·n=-1,所以排除C;D 中,m·n=0,所以m⊥n,能使l∥α.故选D.

答案D

2.已知空间四边形ABCD中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是()

A.长方形

B.正方形

C.梯形

D.菱形

解析因为.

同理,所以,

所以四边形PQRS为平行四边形.

又,

所以||=|,即PS=BD.

又||=|,故PQ=AC,而AC=BD,

所以PS=PQ,故四边形ABCD为菱形.

答案D

3.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面()

A.xOy平行

B.xOz平行

C.yOz平行

D.yOz相交

解析=(0,5,-3),坐标平面yOz的一个法向量为n=(1,0,0),因为·n=0,所以⊥n.故线段AB与坐标平面yOz平行.

答案C

4.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y=,z=.解析因为v∥,而=(-1,2-y,z-3),

所以--

,所以y=,z=.

答案

5.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是.

3.2.1用向量证明平行,垂直

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

一、课标点击峡山中学高二数学组 2010-12-22 (一)学习目标：

1．掌握空间直线的向量方程；⒉会求直线上点的坐标.3.掌握空间中平行、垂直的证明方法。 (二)教学重、难点：

空间中平行关系、垂直关系的证明方法。二、教学过程: （一）知识连接

复习空间中平行关系、垂直关系的常规证明方法：（1）线面平行与面面平行（2）线面垂直与面面垂直（二）问题引入：

如何用坐标表示平行？如何用坐标表示垂直？（三）自主探究：

自主学习课本95页至99页部分． 1.直线的参数方程：

设直线经过一个点A 且与一个向量a 平行则直线的参数方程为：

t 为参数，P 为直线上的任意点，叫做直线的

2.平行关系

（1）直线与直线平行：（2）直线与平面平行：（3）平面与平面平行： 3.垂直关系：

（1）直线与直线垂直：（2）直线与平面垂直： 3.两条直线所成的角：（四）典例示范:

例1．已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P,Q 为轴上的两点，且分别满足条件：（1）AP:PB=1:2; (2)AQ:QB=-2求点P 和点Q 的坐标。

例2．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,点M,N 分别是面对角线A 1B 与面对角线A 1C 1的中点。求证：MN //侧面AD 1;MN //AD 1,并且MN=2

AD 1.

例3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M,N 分别是棱BB 1与对角线CA 1的中点. 求证：MN ⊥BB 1; MN ⊥A 1C.

利用空间向量证明平行、垂直问题-课件

②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；
③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：
①u＝(1，－1,2)，v＝ 3，2，－12 ；
②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；
③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．
由 a·A→B＝0，a·A→C＝0，得
x＝23y z＝－34y
，x∶y∶z＝23y∶y∶－43y
＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
跟踪训练
2．已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个
法向量．
解析：设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)．由题意A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0，－1)． ∵n⊥A→B且 n⊥B→C.
基础梳理
意__一_O_→点_P1_．P__的在__位空叫置间做就中点可我P以的们用位取向置一量向定量点O→．PO作来为确基定点．，我那们么把空向间量中任
量)．在2．直点线Al是上直取线A→l上B 一＝点a，，那向么量对a 表于示直直线线上l任的意方一向点(方P向，向一
定存在实数t，使得_A→_P_＝__t_A→_B_． 3．空间中平面α的位置可以由α内____两__条__相__交__直__线来确
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α和l的位置关系：

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系课件新人教A版选修21

直线 l⊥α，取直线 l 的__方__向__(_f_ā_n_g_x_ià_nag，)则向向量量 a 叫做平面α的法向量．
第三页，共47页。
若 A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量
为( )
A．(1，2，3)
B．(1，3，2)
C．(2，1，3)
D．(3，2，1)
第二页，共47页。
[基础·初探] 教材整理 1 直线的方向向量与平面的法向量阅读教材 P102～P103“第 2 自然段”内容，完成下列问题．
直线的方向向量是指和这条直线_____平__行_(_p_ín_g_x_ín_g_)_或_共__线__的_非__零向量，一条直线的方向向量有__无__数__(_w_ú个sh．ù)
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à n)
3．2 立体几何中的向量方法
பைடு நூலகம்
à n)
一
三
阶段
第 1 课时空间向量与平行关系
学
(j
业
iē
分
d
层
u
测
à
评
n)
二
第一页，共47页。
1．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点) 2．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)