3.2.1利用空间向量证明平行问题
3.2.1立体几何中的向量方法平行、垂直的证明
设PA xDE yDB
P E
解得 x＝－２,ｙ＝１ 即PA 2DE DB 于是PA DE、 DB共面 、
而PA 平面EDB
所以，PA // 平面EDB
A X D
C B
Y
例3. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方 形, PD 底面ABCD, PD DC , 点E是PC的中点, 作EF PB交PB于点F , 求证（2）PB 平面EFD. : 证1： 几何法
D
y
C
x
A
B
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 1 1 设DC=1 （1，-1 =x(0, , ) y (1,1,0) 0，） 1 21 2 (1)证明：依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, 1，0) 2 2 1 1 PA (1,0, 1), DE (0, , ) Z DB =(1, 1，0) 2 2
一：平面的法向量：
如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 , 记作 n⊥ 。如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫 做平面 的法向量.
n
注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的法向量不是唯 一的。 3.一个平面的所有法向量都 互相平行;
B
C
0 0 = AB MA COS135 0 AB FN COS 45
∵ MN MA AF FN ∴ AB MN AB MA AF FN E AB MA AB AF AB FN
322利用空间向量证明平行
3.证明线面垂直: 直线l, 平面α, 要让l ⊥α,只要在l 上取一个非零 向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明 p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0.
4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、 线线垂直.
4.证明面面平行的方法 (1)转化为__线__线__平__行__、__线__面__平__行__处理; (2)证明这两个平面的法向量是 _共__线__向_量____.
5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 __互__相__垂__直__.
6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是 __共__线_向__量___; (2)证明直线与平面内的_两__条_不__共__线__向. 量互相垂直
3.2.2 利用空间向量证明平行、 垂直关系
自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行 ,垂
直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤 .
课 前 热 身 (学生用书P80)
1.空间中的平行关系主要有____线__线__平_行_、____线_面__平__行_、 __面_面__平__行___,空间中的垂直关系主要有__线__线_垂__直___、 __线__面__垂__直__、___面__面__垂_直__.
? EF / / AB1, 即EF ? AB1,同理EF ? B1C. 又AB1 ? B1C ? B1, ? EF ? 平面B1AC.
方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标 系,
则A ?2,0,0 ?,C ?0, 2,0 ?, B1 ?2, 2, 2?, E ?2, 2,1?, F?1,1,2?.
教学设计4：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程教学目标 1.知识与技能(1)会求空间直线的方向向量和向量参数方程；(2)会用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行； (3)会用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角． 2．过程与方法理解、体会用向量方法解决立体几何中的平行问题及两条直线所成角的问题的思想及过程． 3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系及用向量运算求两条直线所成的角． 教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．知识点1用向量表示直线或点在直线上的位置 问题导思1．如图，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？【答案】 AB →∥CD →.2．给定一个定点A 和向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，当t 取遍全体实数时，P 点的轨迹是什么？ 【答案】 一条直线． 1．直线的方向向量与直线平行或共线的非零向量，叫做此直线的方向向量． 2．空间直线的向量参数方程点A 为直线l 的定点，a 为直线l 的一个方向向量，点P 为直线l 上任一点，t 为一个任意实数．3．线段中点的向量表示式设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．知识点2：用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ v 1∥v 2 .2．①已知两个不共线向量v 1、v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x 、y ，使v ＝x v 1＋y v 2.②如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充要 条件是存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM →＝xAB →＋yAC →成立．3．已知不共线的向量v 1和v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β .知识点3：用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 .设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则有l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2 ，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉| . 例题解析例1 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝－2. 求点P 和点Q 的坐标.解 （1）由已知，得PB →＝2AP →， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →.设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，（2） 因为AQ ∶QB ＝－2，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)， OQ →＝－OA →＋2OB →，设点Q 的坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示， 得(x ，y ，z )＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)， 即x ＝0，y ＝2，z ＝6. 因此，Q 点的坐标是(0,2,6).例2 如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点.求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ， 则AM →＝12(a ＋c )，AN →＝c ＋12(a ＋b )，因此MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c ).因为M 不在平面AD ′内，所以MN ∥平面AD ′. 又因为b ＋c ＝AD ′→，所以MN →＝12AD ′→，因此MN ∥AD ′，MN ＝12AD ′.例3 已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点M 、N 分别是棱BB ′与对角线CA ′的中点. 求证：MN ⊥BB ′；MN ⊥A ′C .证明 不妨设已知正方体的棱长为1，如图， 以A 为坐标原点O 建立空间直角坐标系.由已知， 得M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，B (1,0,0)，C (1,1,0)， A ′(0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫12，12，12，B ′(1,0,1)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0，A ′C →＝(1,1，－1)，BB ′→＝(0,0,1)， ∵MN →·A ′C →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(1,1，－1)＝0， MN →·BB ′→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(0,0,1)＝0. ∴MN ⊥A ′C ；MN ⊥BB ′.例4 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°， ∠COA ＝90°，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点. 求直线MN 与AC 所成角（精确到0.1°）.解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a ＝12(b ＋c －a )，AC →＝c －a .∴|MN →|2＝14(b ＋c －a )2＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2－2a·c ＝42＋32－02＝25， MN →·AC →＝12(b ＋c －a )·(c －a )＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝⎛⎭⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →〉| ＝|MN →·AC →|MN →||AC →||＝454454×5＝3510. ∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510.课堂练习1.已知O 为坐标原点，四面体OABC 中，A (0,3,5)、B (1,2,0)、C (0,5,0)，直线AD ∥BC ，并且AD 交坐标平面xOz 于点D ，求点D 的坐标． 解 ∵O 为坐标原点，∴O (0,0,0)． ∵AD 交xOz 于D ，∴D (x,0，z )． ∵AD ∥BC ，∴AD →＝λBC →， 即：(x ，－3，z －5)＝λ(－1,3,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－3＝3λz －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1z ＝5.∴D 点坐标为(1,0,5)．2.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：P A ∥平面EDB .证明 建立如图所示的空间直角坐标系． 连接AC 交BD 于G ，连接EG .设DC ＝a ， 依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a2)．∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)．∴P A →＝(a,0，－a )，E G →＝(a 2，0，－a 2)．∴P A →＝2EG →，∵A ∉EG ，∴P A ∥EG . 又∵EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点， 且AA 1＝2，AB ＝AD ＝1. (1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)求直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值．解 建立如图所示空间直角坐标系．∴A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，C (0,1,0)，A 1(1,0,2)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，2， E ⎝⎛⎭⎫12，1，2，C 1(0,1,2)． (1)EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，A 1C →＝(－1,1，－2)， ∴EF →·A 1C →＝0. ∴EF ⊥A 1C .(2)A 1C 1→＝(－1,1,0)，DF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，2， ∴cos 〈A 1C 1→，DF →〉＝122×4＋14＝3434， ∴异面直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值为3434. 课堂小结1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．3．证明两直线垂直，要根据具体的立体几何环境，合理选择已知向量来表示待求的向量，然后证明其数量积为零．。
利用空间向量证明平行
利用空间向量证明平行平行是向量的重要性质之一，通过利用空间向量可以证明向量之间的平行关系。
在三维空间中，我们可以用向量表示空间中的点和线，向量的方向和长度性质可以用来描述空间中的各种几何关系，包括平行。
首先，让我们定义两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的起点都在原点$O$。
假设这两个向量平行，我们可以利用以下空间向量的性质进行证明。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到以下等式：$(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=0$由于向量$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$是线性无关的，所以上述等式成立的充分必要条件是：$a_2b_3-a_3b_2=0$$a_3b_1-a_1b_3=0$$a_1b_2-a_2b_1=0$以上等式即为判断向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行的条件式。
如果这三个条件式都成立，那么我们可以断定$\vec{a}$和$\vec{b}$平行。
在利用空间向量证明平行时，还需要注意以下几点：1.向量的起点需要相同，因为平行关系是两个向量共线的特殊情况，共享起点是判断平行性的前提条件。
2.以上证明的方法适用于三维空间，对于二维空间中的向量，只需要考虑平面内的坐标，即去掉$z$轴的分量即可。
证明的方法和步骤类似。
3.利用向量的坐标分量进行证明时，要注意考虑向量的方向。
如果两个向量的方向相反，那么它们的叉积为零，同样能够证明它们是平行的。
总之，通过利用空间向量的共线性和叉乘公式，我们可以证明两个向量是否平行。
这是一种简单但有效的方法，在几何学和向量分析中得到了广泛应用。
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程解析
3．用向量方法证明两条直线垂直或求两条直线 所成的角
如果知道两条直线的方向向量，我们可以利 用两个方向向量是否平行(或重合)、垂直来判定 直线是否平行、垂直。 设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方 向向量间的夹角与θ相等或互补。
例3．已知正方体ABCD－A’B’C’D’中，点 M、N分别是棱BB’与4．已知三棱锥O－ABC，OA=4，OB=5，
OC=3，∠AOB=∠BOC=60°,∠COA=90°, M、N分别是棱OA、BC的中点，求：直线 MN与AC所成的角的余弦值。
O c b C N B M a A
3 5 10
解：设 OA a, OB b, OC c ，
1 则 MN ON OM (b c a ) ， AC c a ， 2
谢谢
l
OP (1 t )OA t OB
即 OP OA t AB OA t (OB OA) ③ ①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程.
P ta B
M
Aa
O
注: ⑴当t=
1 时, 1 1 OP OA OB .此时P是线段AB的中 2 2 2
点,这就是线段AB中点的向量表达式.
小结
直线的向量参数方程
(1)过点A，方向向量为a的直线l的方程为： AP ta. 对于空间任一点 O, 如图，点P在直线l上的充要条 件是OP OA ta. (2)若在直线l上取两点A, B, 使 AB a, 则直线向量 方程又可写为 OP OA t AB, 即OP (1 t )OA t OB, 如图.
x
A
例1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB, OQ OA 2(OB OQ), OQ OA 2OB, 设点Q的坐标为( x, y, z ),则上式换用坐标表示， 得 ( x, y, z ) 2(2,4,0) 2(1,3,3) (0,2,6) 即x 0, y 2, z 6 因此, 点Q的坐标是(0,2,6).
立体几何之空间向量法
立体几何之空间向量法【知识要点】1. 利用空间向量证明平行问题的方法(1)线线平行：直线与直线平行，只需证明它们的方向向量平行．(2)线面平行：利用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；利用共面向量定理，证明平面外直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量共面；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(3)面面平行：平面与平面的平行，除了利用面面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明两个平面的法向量平行即可．下面用符号语言表述为：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．(1)线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.(2)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0.(3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4.2. 利用空间向量证明垂直问题的方法(1)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两条直线的方向向量垂直．(2)线面垂直：利用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；利用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行．(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，只要证明两个平面的法向量垂直即可．下面用符号语言表述为：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．(1)线线垂直：l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3.(3)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.3. (1)夹角计算公式①两条异面直线的夹角若两条异面直线a 和b 的方向向量分别为n 1，n 2，两条异面直线a 和b 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|.②直线与平面所成的角若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线a 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪a ·n |a ||n |.③二面角设n 1，n 2分别为二面角的两个半平面的法向量，其二面角为θ，则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，其中cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|. (2)距离公式①点点距离：点与点的距离，是以这两点为起点和终点的向量的模；②点线距离：点M 到直线a 的距离，设直线的方向向量为a ，直线上任一点为N ，则点M到直线a 的距离d ＝|MN |sin 〈MN ，a 〉； ③线线距离：两条平行线间的距离，转化为点线距离；两条异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；④点面距离：点M 到平面α的距离，如平面α的法向量为n ，平面α内任一点为N ，则点M 到平面α的距离d ＝|MN ||cos 〈MN ，n 〉|＝||||MN n n ； ⑤线面距离：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离；⑥面面距离：两平行平面间的距离，转化为点面距离．4. (1)用空间向量解决立体几何问题的步骤及注意事项①建立空间直角坐标系，要写理由，坐标轴两两垂直要证明；②准确求出相关点的坐标(特别是底面各点的坐标，若底面不够规则，则应将底面单独抽出来分析)，坐标求错将前功尽弃；③求平面法向量或直线的方向向量；④根据向量运算法则，求出问题的结果．(2)利用空间向量巧解探索性问题空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行繁杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．一、真题试做1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )．A ．55B ．53C ．255D ．352．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是__________．3．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ；(2)求二面角F －BD －C 的余弦值．4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱P A上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．二、热点例析热点一利用空间向量证明平行问题【例１】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．求证：B1C∥平面ODC1.变式训练1如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC ，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：＝90°，且AB＝AA(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.热点二利用空间向量证明垂直问题【例２】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F，求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.变式训练2如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．热点三利用空间向量求角和距离【例３】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.B1所成角的余弦值；(1)求异面直线AC与A(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．变式训练3 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β.求证：tan β＝2tan α；(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的 高．热点四 用向量法解决探索性问题【例４】如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P －AC －D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，请说明理由．变式训练4 如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD＝2；E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．(1)求证：PB ∥平面EFG ；(2)求异面直线EG 与BD 所成的角的余弦值； (3)在线段CD 上是否存在一点Q ，使得A 到平面EFQ 的距离为45若存在，求出CQ 的值；若不存在，请说明理由．三、思想渗透转化与化归思想——利用向量解决空间位置关系及求角问题主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法．求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围；(2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角．【典型例题】如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.图1 图2(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．四、练习巩固 1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若,AB BC BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 的值分别为( )．A ．337，－157，4B ．407，－157，4C ．4072,4D ．4，407，－15 2．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 在平面α内的是( )．A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱BB 1，AD 的中点，则直线EF 和平面BDD 1B 1所成的角的正弦值是( )．A ．26B ．36C ．13D ．664．在四面体PABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为__________．5．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是__________．7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .(1)若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值；(2)若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．。
高中数学 3.2.1空间向量与平行关系
空间向量与平行关系(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.假设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,有可能使l ∥α的是( ) =(1,0,0),n =(-2,0,0) =(1,3,5),n =(1,0,1) =(0,2,1),n =(-1,0,-1) =(1,-1,3),n =(0,3,1)【解析】选D.假设l ∥α,那么a ·n =0.而选项A 中a ·n =-2.选项B 中a ·n =1+5=6.选项C 中a ·n =-1,选项D 中a ·n =-3+3=0.【变式训练】已知线段AB 的两头点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),那么线段AB 与坐标平面( ) 平行 平行 平行相交【解析】选C.因为AB →=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),故AB →∥平面yOz.又A(9,-3,4),B(9,2,1)不在平面yOz 内,因此AB ∥平面yOz.2.(2021·郑州高二检测)如下图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,棱长为a,M,N 别离为A 1B 和AC 上的点,A 1M=AN=√2a3,那么MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A.相交B.平行C.垂直D.不能确定【解析】选B.别离以C 1B 1,C 1D 1,C 1C 所在直线为x,y,z 轴,成立空间直角坐标系. 因为A 1M=AN=√23a,因此M (a ,23a ,a3),N (23a ,23a ,a ).因此MN →=(−a 3,0,23a ).又C 1(0,0,0),D 1(0,a,0), 因此C 1D 1→=(0,a,0). 因此MN →·C 1D 1→=0. 因此MN →⊥C 1D 1→.因为C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的一个法向量,且MN ⊄平面BB 1C 1C, 因此MN ∥平面BB 1C 1C.【一题多解】选B.MN →=MA 1→+A 1A →+AN →, ①MN →=MB →+BC →+CN →.②因为A 1M=AN=√23a,因此A 1M →=12MB →,AN →=12NC →.①×2+②得3MN →=2A 1A →+BC →,而A 1A →=B 1B →,因此MN →=23B 1B →+13BC →.故MN ∥平面BB 1C 1C.3.(2021·泰安高二检测)以下四组向量: ①a =(1,-2,1),b =(-1,2,-1); ②a =(8,4,0),b =(2,1,0); ③a =(1,0,-1),b =(-3,0,3); ④a =(−43,1,−1),b =(4,-3,3).其中a ,b 别离为直线l 1,l 2的方向向量,那么它们相互平行的是( ) A.②③B.①④C.①②④D.①②③④【解析】选D.因为①a =(1,-2,1)=-b =-(-1,2,-1), 因此a ∥b ;②a =(8,4,0)=4b ,因此a ∥b ;③a =(1,0,-1),b =(-3,0,3),a =-13b ,因此a ∥b ;④a =(−43,1,−1),b =(4,-3,3),a =-13b ,因此a ∥b ,因此选D.4.(2021·长沙高二检测)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).假设||a=√3,a 别离与AB →,AC →垂直,那么向量a 为( ) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)【解析】选C.由题意AB →=(-2,-1,3),AC →=(1,-3,2),设向量a =(x,y,z),那么有{−2x −y +3z =0,x −3y +2z =0,令z=1得x=1,y=1,令z=-1得x=-1,y=-1,应选C.,b 是两个非零向量,α,β是两个平面,以下命题正确的选项是( ) ∥b 的必要条件是a ,b 是共面向量 ,b 是共面向量,那么a ∥b ∥α,b ∥β,那么α∥β ∥α,bβ,那么a ,b 不是共面向量【解析】选A.关于A 假设a ∥b ,那么a ,b 是共线向量,即为共面向量.因此a ∥b 的必要条件是a ,b 是共面向量.反之a ,b 是共面向量那么a 与b 不必然共线.关于C 可举反例如用掀开的讲义,那么也知足条件a ∥α,b ∥β,现在平面α,β不平行.关于D 由于α,β两平面的位置关系不确信,故也不正确.6.关于任意空间向量a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),给出以下三个命题: ①a ∥b ⇔a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3;②假设a 1=a 2=a 3=1,那么a 为单位向量; ③a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0. 其中真命题的个数为( ) B.1【解析】选B.假设b 1,b 2,b 3的值只要有一个为0,那么①式无心义;a =(1,1,1)不是单位向量,其长度|a |=√3;③正确.二、填空题(每题4分,共12分) 7.(2021·平顶山高二检测)假设A (0,2,198),B (1,−1,58),C (−2,1,58)是平面α内三点,设平面α的法向量为a =(x,y,z),那么x ∶y ∶z= . 【解析】由已知得AB →=(1,−3,−74),AC →=(−2,−1,−74),由于a 是平面α的一个法向量,因此a ·AB →=0,a ·AC →=0, 即{x −3y −74z =0,−2x −y −74z =0,解得{x =23y ,z =−43y ,因此x ∶y ∶z=23y ∶y ∶(−43)y=2∶3∶(-4).答案:2∶3∶(-4)8.假设AB →=λCD →+u CE →(λ,u ∈R),那么直线AB 与平面CDE 的位置关系是 . 【解析】因为AB →=λCD →+u CE →, 因此AB →与CD →,CE →共面,因此AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE. 答案:AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE9.(2021·广州高二检测)已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),线段AB 上是不是存在一点C,使AC=13AB,假设存在,那么C 点的坐标为 .【解题指南】先假设存在,因为点C 在AB 上且AC=13AB,可转化为用向量表示即AC →=13AB →,从而设出C点的坐标求出答案.【解析】设C(x,y,z),那么AC →=(x-4,y-1,z-3),又AB →=(-2,-6,-2),因为点C 在AB 上且AC=13AB,那么可转化为AC →=13AB →,即(x-4,y-1,z-3)=13(-2,-6,-2),得x=103,y=-1,z=73,故C (103,−1,73).答案:(103,−1,73)三、解答题(每题10分,共20分)10.三条不同直线a,b,c,假设a ∥b,a ∥c,求证b ∥c. 【证明】设a,b,c 的方向向量别离为e 1,e 2,e 3, 因为a ∥b,因此存在k ∈R,使e 2=k e 1, 因为a ∥c,因此存在实数m,使e 1=m e 3, 因此e 2=(km)e 3,因此e 2∥e 3,因为b 与c 不重合,因此b ∥c.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求证:平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. 【证明】如图,分别以AB,AD,AA 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴成立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1, 那么A 1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),B 1(1,0,1),C(1,1,0),D 1(0,1,1),A 1B →=(1,0,-1),D 1C →=(1,0,-1).B 1D 1→=(-1,1,0),BD →=(-1,1,0),因此A 1B →∥D 1C →,B 1D 1→∥BD →.因此A 1B ∥D 1C,B 1D 1∥BD.又因为D 1C ⊂平面B 1D 1C,A 1B ⊄平面CB 1D 1, 因此A 1B ∥平面CB 1D 1, 同理BD ∥平面CB 1D 1. 又因为A 1B ∩BD=B,因此平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.【变式训练】已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 别离是BB 1,DD 1的中点. 求证:(1)FC 1∥平面ADE. (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.【解题指南】(1)先求出平面ADE 的法向量,再证明直线FC 1的方向向量与平面ADE 的法向量垂直. (2)求出平面ADE 与平面B 1C 1F 的法向量,证明它们的法向量共线. 【证明】成立如下图空间直角坐标系,那么有D(0,0,0),A(2,0,0),B 1(2,2,2), C 1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),因此FC 1→=(0,2,1),AD →=(-2,0,0), AE →=(0,2,1),C 1B 1→=(2,0,0),设n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2)别离是平面ADE 与平面B 1C 1F 的法向量,则即{x 1=0,z 1=−2y 1,令y 1=1得n 1=(0,1,-2),同理可得n 2=(0,1,-2).(1)因为n 1·FC 1→=(0,1,-2)·(0,2,1)=0, 因此n 1⊥FC 1→,又FC 1⊄平面ADE, 因此FC 1∥平面ADE.(2)因为n 1=(0,1,-2),n 2=(0,1,-2), 因此n 1=n 2,因此平面ADE ∥平面B 1C 1F. (30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.假设a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),且a 与b 别离为直线l 1与l 2的方向向量且a ∥b ,那么( ) =1,y=1 =12,y=-12 =16,y=-32=-16,y=32【解析】选C.因为a =λb (λ∈R), 因此(2x,1,3)=(λ,-2y λ,9λ)(λ∈R). 由9λ=3,得λ=13.因此2x=13.因此x=16,又1=-23y,因此y=-32.2.(2021·广州高二检测)已知AB →=(2,2,1),AC →=(4,5,3),那么平面ABC 的一个单位法向量为( ) A.(−13,−23,−23)B.(−13,23,−23)C.(−13,23,23)D.(13,23,23)【解题指南】求单位法向量时可先求出一个法向量再求法向量方向上的单位法向量.【解析】选B.设平面ABC 的法向量为n =(x,y,z),那么有{2x +2y +z =0,4x +5y +3z =0.取x=1,那么y=-2,z=2.因此n =(1,-2,2).因为|n |=3,因此平面ABC 的一个单位法向量能够是(−13,23,−23).3.(2021·济南高二检测)已知空间三点A(1,3,2),B(1,2,1),C(-1,2,3),那么以下向量中是平面ABC 的法向量的是( ) A.(-1,-2,5)B.(1,3,2)C.(1,1,1)D.(-1,1,-1) 【解题指南】由A,B,C 的坐标算出AB →=(0,-1,-1),AC →=(-2,-1,1).设n =(x,y,z)是平面ABC 的一个法向量,利用垂直向量数量积为零的方式成立关于x,y,z 的方程组,再取y=1即可取得向量n 的坐标,从而可得答案. 【解析】选D.因为A(1,3,2),B(1,2,1),C(-1,2,3), 因此AB →=(0,-1,-1),AC →=(-2,-1,1). 设向量n =(x,y,z)是平面ABC 的一个法向量,则取y=1,得x=-1,z=-1,因此n =(-1,1,-1)是平面ABC 的一个法向量, 因此可得:只有D 选项的向量是平面ABC 的法向量.4.已知在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点M,P ,Q 别离为棱AB,CD,BC 的中点,平行六面体的各棱长均相等.给出以下结论:①A 1M ∥D 1P;②A 1M ∥B 1Q;③A 1M ∥平面DCC 1D 1; ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) B.2【解析】选C.因为A 1M →=A 1A →+AM →=A 1A →+12AB →,D 1P →=D 1D →+DP →=A 1A →+12AB →,因此A 1M →∥D 1P →,从而A 1M ∥D 1P ,可得①③④正确.又B 1Q 与D 1P 不平行,即B 1Q 与A 1M 不平行,故②不正确.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·黄山高二检测)已知l ∥α,且l 的方向向量为(2,-8,1),平面α的法向量为(1,y,2),那么y= . 【解析】因为l ∥α,因此l 的方向向量(2,-8,1)与平面α的法向量(1,y,2)垂直,因此2×1-8×y+2=0,因此y=12.答案:126.(2021·滨州高二检测)已知空间直角坐标系O-xyz 中的点A(1,1,1),平面α过点A 而且与直线OA 垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任一点,那么点P 的坐标知足的条件为 .【解题指南】先求出向量AP →的坐标,再利用平面α与直线OA 垂直这一条件成立与点P 的坐标有关的等量关系,最后可求出点P 的坐标知足的关系式.【解析】由题意知,OA ⊥α,直线OA 的方向向量OA →=(1,1,1),因为P ∈α,因此OA →⊥AP →,因此(1,1,1)·(x-1,y-1,z-1)=0,因此x+y+z=3. 答案:x+y+z=3三、解答题(每题12分,共24分)7.如图,在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,∠ABC=π4,OA ⊥底面ABCD,OA=2,M 为OA的中点,N 为BC 的中点. 证明:直线MN ∥平面OCD. 【证明】作AP ⊥CD 于点P ,如图,别离以AB,AP ,AO 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴成立空间直角坐标系.那么A(0,0,0),B(1,0,0),P (0,√22,0),D (−√22,√22,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N (1−√24,√24,0).因此MN →=(1−√24,√24,−1),OP →=(0,√22,−2),OD →=(−√22,√22,−2).设平面OCD 的法向量为n =(x,y,z), 则n ·OP →=0,n ·OD →=0,即{√22y −2z =0,−√22x +√22y −2z =0.取z=√2,解得n =(0,4,√2). 因为MN →·n =(1−√24,√24,−1)·(0,4,√2)=0,即MN →⊥n ,又MN ⊄平面OCD,因此MN ∥平面OCD.【拓展延伸】证明线面平行的关键(1)弄清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系. (2)要熟练把握判定向量共线、垂直的方式,在把向量关系转化为几何关系时,注意其等价性.【变式训练】如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD,E,F 别离为AB,SC 的中点.证明:EF ∥平面SAD.【证明】如图,成立如下图的空间直角坐标系. 设A(a,0,0),S(0,0,b), 那么B(a,a,0),C(0,a,0),E (a ,a 2,0),F (0,a 2,b2).EF →=(−a ,0,b2).取SD 的中点G (0,0,b 2),连接AG,则AG →=(−a ,0,b 2).因为EF →=AG →,因此EF ∥AG,又AG ⊂平面SAD,EF ⊄平面SAD,因此EF ∥平面SAD.8.如图,在正方体AC 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点.设Q 是CC 1上的点.当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ ∥平面PAO?【解析】如下图,别离以DA,DC,DD 1所在直线为x,y,z 轴,成立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2那么O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D 1(0,0,2).再设Q(0,2,c),因此OA →=(1,-1,0),OP →=(-1,-1,1),BQ →=(-2,0,c), BD 1→=(-2,-2,2).设平面PAO 的法向量为n 1=(x,y,z), 则⇒{x −y =0,−x −y +z =0.令x=1,那么y=1,z=2.因此平面PAO 的一个法向量为n 1=(1,1,2).假设平面D 1BQ ∥平面PAO,那么n 1也是平面D 1BQ 的一个法向量.因此n 1·BQ →=0,即-2+2c=0,因此c=1,这时n 1·BD 1→=-2-2+4=0,故当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ ∥平面PAO.【拓展延伸】探讨性问题的解决思路是不是存在某种条件知足某个结论这种问题,通常称为探讨性问题,此类问题的解决思路一般是先斗胆猜想知足的条件,然后以此为基础结合题目中的其他条件进行证明结论成立,或利用题目条件用变量设出条件,再结合结论逆向推导出变量的取值.逆推法:利用结论探求条件;若是是存在型问题那么先假设结论存在,假设推证无矛盾,那么结论存在;假设推证出矛盾,那么结论不存在.。
3.2.1 空间向量与平行、垂直关系
3.2.1空间向量与平行、垂直关系预习课本P102～108，思考并完成以下问题1．平面的法向量的定义是什么？2．设直线l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α，l ⊥α的充要条件分别是什么？[新知初探]1．平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.(2)线面垂直设直线l 的方向向量是a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝λu ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 的方向向量是惟一的( )(2)若点A ，B 是平面α上的任意两点，n 是平面α的法向量，则AB ·n ＝0( ) (3)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(－1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1)答案：A3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．6D ．10 答案：D[典例] 已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－，求平面α的一个法向量．[解] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB ＝0，n ·AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.得z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．利用待定系数法求法向量的解题步骤[活学活用]四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．∵AD ⊥平面SAB ，∴AD ＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量． 设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·DC ＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0，∴y ＝－12.又n ·DS ＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0， ∴z ＝12.∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12即为平面SCD 的一个法向量.[典例] 已知正方体ABCD -A 111111的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D -xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2，2,2)， 所以FC 1＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ， 即⎩⎨⎧n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1， 令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C B 11＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1，n 2⊥C B 11，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C B 11＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．[活学活用]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)，PQ ＝(－3,2,1)，RS ＝(－3,2,1)，∴PQ ＝RS ，∴PQ ∥RS ，即PQ ∥RS .法二：RS ＝RC ＋CS ＝12DC －DA ＋12DD 1，PQ ＝PA 1＋A Q 1＝12DD 1＋12DC －DA ，∴RS ＝PQ ，∴RS ∥PQ ， 即RS ∥PQ .利用空间向量证明垂直问题[典例] 如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE ，∴以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz .如图所示．则由已知条件有C (1,0,0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)．设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA ＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0， n ·DA ＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)， 又AB ⊥平面BCE ， ∴AB ⊥OC ， ∴OC ⊥平面ABE ，∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE .(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.[活学活用]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC . 证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．法一：EF ＝(－1，－1,1)，AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)， ∴EF ·AB 1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF ·AC ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 又AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥AB 1，n ⊥AC ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1＝2y ＋2z ＝0，n ·AC ＝－2x ＋2y ＝0，令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1)． 又EF ＝－n ，∴EF ∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .层级一 学业水平达标1．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3,1)B ．(2,0,1)C ．(－2，－3,1)D ．(－2,3，－1)解析：选D 问题即求与n 共线的一个向量．即n ＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)． 2．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9解析：选C ∵l ⊥α，v 与平面α平行， ∴u ⊥v ，即u ·v ＝0， ∴1×3＋3×2＋z ×1＝0， ∴z ＝－9.3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1,1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(－1,1,1)D ．(－1，－1，－1)解析：选D AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,1)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1. 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1， ∴CE ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)，A D 1＝(－1,0，－1)，A A 1＝(0,0，－1)．∵CE ·BD ＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .5.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵A M 1＝A A 1＋AM ＝A A 1＋12AB ，D P 1＝D D 1＋DP ＝A A 1＋12AB ，∴A M 1∥D P 1，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．6. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是_______(填序号)．解析：由于AP ·AB ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP ·AD ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 答案：①②③7．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ ＝0. 即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π38.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥面B 1DE ，则AE ＝________.解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B 1(0,0,3a )，C (0，2a,0)， D2a 2，2a 2，3a . 设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )， 则CE ＝()2a ，－2a ，z ，B E 1＝(2a,0，z －3a )，B D 1＝⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，0.又CE ·B D 1＝a 2－a 2＋0＝0，故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a . 故AE ＝a 或2a . 答案：a 或2a9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系D -xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，12. ∴PB ＝(1,1，－1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，EB ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF ＝(x ，y ，z －1)，EF ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －12，z －12. ∵EF ⊥PB ，∴x ＋⎝⎛⎭⎫y －12－⎝⎛⎭⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ∥PB ，可设PF ＝λPB ， ∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，∴EF ＝⎝⎛⎭⎫13，－16，16. (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 1·DE ＝0，n 1·EB ＝0，即⎩⎨⎧12y 1＋12z 1＝0，x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1. 取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵PA ＝(1,0，－1)，∴PA ·n 1＝0. 又∵P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB .(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 2·EF ＝0，n 2·DE ＝0，即⎩⎨⎧13x 2－16y 2＋16z 2＝0，12y 2＋12z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2. 取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)．∴PB ∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .10．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M 分别是BC ，AE 的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .试问在线段CD 1上是否存在一点N 使MN ∥平面ADD 1A 1，若存在确定N 的位置，若不存在说明理由．解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (a ，0,0)，B (a,2a,0)， C (0，2a,0)，D 1(0,0，a )， E ⎝⎛⎭⎫12a ，2a ，0，M ⎝⎛⎭⎫34a ，a ，0， DC ＝(0,2a,0)，CD 1＝(0，－2a ，a )，假设CD 1上存在点N 使MN ∥平面ADD 1A 1并设CN ＝λCD 1＝(0，－2aλ，aλ)(0<λ<1)．则DN ＝DC ＋CN ＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ) ＝(0,2a (1－λ)，aλ)，MN ＝DN －DM ＝⎝⎛⎭⎫－34a ，a －2aλ，aλ. 又DC 是平面ADD 1A 1的一个法向量． ∴MN ⊥DC ，则2a (a －2aλ)＝0，λ＝12.又MN ⊄平面ADD 1A 1.故存在N 为CD 1的中点使MN ∥平面ADD 1A 1.层级二 应试能力达标1．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1，2，52，b ＝⎝⎛⎭⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝3，y ＝154解析：选D ∵l 1∥l 2，∴321＝x 2＝y 52，∴x ＝3，y ＝154，故选D.2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，给出下列结论：①平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)； ②平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)； ③平面B 1CD 1的一个法向量为(1,1,1)； ④平面ABC 1D 1的一个法向量为(0,1,1)．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵AD ＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ，∴AD ⊥平面ABB 1A 1，∴①正确；∵CD ＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD ＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴②不正确；∵B C 1＝(0,1，－1)，CD 1＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B C 1＝0，(1,1,1)·CD 1＝0，B 1C ∩CD 1＝C ，∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴③正确；∵BC 1＝(0,1,1)，而BC 1·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即④不正确．因此正确结论的个数为2，选B.3．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝⎛⎭⎫－16，13，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，3，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合解析：选D ∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B 建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,2,2)，A1(2,2,0)，C (0,0,2)，B (2,0,2)，∴M (2,1,1)，N (1,1,2)，∴MN ＝(－1,0,1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN ⊥n ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.5．若直线l 的一个方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．解析：∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.答案：l ⊥α6．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ＝________.解析：∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.∵BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，∴⎩⎨⎧ BP ·AB ＝0，BP ·BC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157，故BP ＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎫337，－157，－37.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D (0,0,0)，A (22，0,0)，C (0,22，0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，则B E 1＝(0，－2，－4)， EF ＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ·B E 1＝－2y －4z ＝0，n ·EF ＝－2x ＋2y ＝0，得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－24.又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC ＝(－22，22，0)，而n ·AC ＝1×(－22)＋1×22＋⎝⎛⎭⎫－24×0＝0，即n ⊥AC ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.8.如图，在三棱锥P -ABC 中，三条侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝3，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ；(2)求证：EG 与直线PG 和BC 都垂直．证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系P -xyz .则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0，0,0)． 于是EF ＝(0，－1，－1)，EG ＝(1，－1，－1)．设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ⊥EF ，n ⊥EG ，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋z ＝0，x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)．显然PA ＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA ＝0，∴n ⊥PA ，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直，∴平面GEF ⊥平面PBC .(2)由(1)，知EG ＝(1，－1，－1)， PG ＝(1,1,0)，BC ＝(0，－3,3)，∴EG ·PG ＝0，EG ·BC ＝0，∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，∴EG 与直线PG 和BC 都垂直．。
【优化方案】2012高中数学 第3章3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题课件 新人教A版选修2-1
取 y＝1，则 x＝2. ＝ ， ＝ 故平面 ABC 的一个法向量为 n＝(2,1,0)． ＝ ．
利用空间向量证明平行问题 用向量方法证明空间中的平行关系 设直线l1、l2的方向向量分别是a、b， 设直线 的方向向量分别是 、 ， 只需证明a 则要证明l ， 线线平行 则要证明 1 ∥ l2 ， 只需证明 ∥b， 即 a ＝kb(k∈R)． ∈ ．
A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求出平面 ， ， ， ， ， ABC的一个法向量． 的一个法向量． 的一个法向量
【思路点拨】 思路点拨】
【解】 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)， ＝ ， ， ， ，－1)， ，－ ，－2,0)， ∵A(1,2,3)，B(2,0，－ ，C(3，－ ， ，－ ， → → ，－2，－ ，－4，－ ∴AB＝(1，－ ，－ ，AC＝(2，－ ，－ ， ，－ ，－4)， ，－ ，－3)， 由题设得： 由题设得： → n·AB＝0 x－2y－4z＝0 － － ＝ 即 ， － － ＝ 2x－4y－3z＝0 n·AC＝0 →
3．2 立体几何中的向量方法 ． 3．2.1 用向量方法解决平行与垂直问题 ．
学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 理解直线的方向向量与平面的法向量． 理解直线的方向向量与平面的法向量 2． 能用向量语言表述线线 、 线面 、 面面垂直 、 平 ． 能用向量语言表述线线、 线面、 面面垂直、 行关系． 行关系．
(3)根据法向量定义建立关于 x，， 的方程组： 根据法向量定义建立关于 ， z 的方程组： y，
n·a＝xa1＋yb1＋zc1＝0， ＝ ， ＝ ； n·b＝xa2＋yb2＋zc2＝0；
3.2.1立体几何中的向量方法---空间向量与平行关系
20110908
例1、已知直线 l 的方向向量为 a=(3,-4, 5) ， 点A、B在直线 l 上，且A(1,
例2、已知A(1, 2, 3)，B(-1, 1, 0)， C(2, 0, 3)， 则平面ABC的一个法向量为 。
空间中平行关系的向量表示：
(1)线线平行：
设直线l, m的方向向量分别为a=(x1, y1, z1), b=(x2, y2, z2)， 且x2, y2, z2≠0，则： a=kb . x1=kx2, y1=ky2, z1=kz a//b . l //m .2
(2)线面平行：
设直线l的方向向量分别为a=(x1, y1, z1),平面α的法向量 u=(x2, y2, z2)，且x2, y2, z2≠0，则： a﹒u=0. x1x2+y1y2+z1z2=0 . a ⊥u . l // α
用空间向量表示点、直线、平面的位置关系：
几何元素 确定条件
取一个定点O 为基点 直线上的一个 定点A及一个 定方向 空间内两条 相交直线
几何图形
P
O
点
直线
向量表示 OP
AP t AB
a
B
P
l A
平面
OP xa yb
a
A
一个定点和平 面的法向量
（2）若点E分PC的 比为2，试问：在棱 PB上是否存在点Q， 使AQ//平面EDB?
D
P
E
C
A
B
(3)面面平行：
设平面α,β的法向量分别为u=(x1, y1, z1), v=(x2, y2, z2),则： u=kv . u//v . x1=kx2, y1=ky2, z1 α//β .=kz2
3.2 第1课时 利用向量证明空间中的平行关系
3.2立体几何中的向量方法第1课时利用向量证明空间中的平行关系课后篇巩固提升基础巩固1.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析A中,m·n=-2≠0,所以排除A;B中,m·n=1+5=6≠0,所以排除B;C中,m·n=-1,所以排除C;D 中,m·n=0,所以m⊥n,能使l∥α.故选D.答案D2.已知空间四边形ABCD中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是()A.长方形B.正方形C.梯形D.菱形解析因为.同理,所以,所以四边形PQRS为平行四边形.又,所以||=|,即PS=BD.又||=|,故PQ=AC,而AC=BD,所以PS=PQ,故四边形ABCD为菱形.答案D3.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面()A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.yOz相交解析=(0,5,-3),坐标平面yOz的一个法向量为n=(1,0,0),因为·n=0,所以⊥n.故线段AB与坐标平面yOz平行.答案C4.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y=,z=.解析因为v∥,而=(-1,2-y,z-3),所以----,所以y=,z=.答案5.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是.解析∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y=(1,0,-1),=(0,1,-1), ∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴--∴m=-3.答案-36.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).∵=(-1,1,0),=(-1,0,1),又∵n为平面ACD1的一个法向量,∴∴--化简,得令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).7.已知三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB⇒ ,因此⇒即点D的坐标为(-1,1,2).8.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC.证明如图:设=a,=b,=c,则=2a,=2b,=2c,所以=b-a,=c-a,=2b-2a,=2c-2a,对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),使e=x+y=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x+2y,因此e与共面,即e∥平面DEF,所以l⊄平面DEF,即l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF.能力提升1.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析∵=λ+μ,∴共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案D2.若点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为()A.(bc,ac,ab)B.(ac,ab,bc)C.(bc,ab,ac)D.(ab,ac,bc)解析设法向量为n=(x,y,z),则AB·n=0,·n=0,则--所以n=(bc,ac,ab).答案A3.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于() A.3 B.6 C.-9 D.9解析∵l⊥α,v与平面α平行,∴u⊥v,即u·v=0,∴1×3+3×2+z×1=0,∴z=-9.答案C4.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=-,已知α∥β,则x+y=.解析因为α∥β,所以u∥v.则--,即-故x+y=.答案5.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=.解析因为=1,-3,-,=-2,-1,-,又因为a·=0,a·=0,所以-----解得-所以x∶y∶z=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).答案2∶3∶(-4)6.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的单位法向量.解=(4,2,-2),=(2,4,-2),设n=(x,y,z)是平面ABC的单位法向量,则有||,·,·⇒,-,-.取z>0,得x=y=,z=.故平面ABC的单位法向量为n=.7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,点P是DD1的中点.设Q是CC1上的点,则当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为2,则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),∴=(1,-1,0),=(-1,-1,1),=(-2,-2,2).设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z),则即---令x=1,则y=1,z=2,∴平面PAO的一个法向量为n1=(1,1,2).若平面D1BQ∥平面PAO,则n1也是平面D1BQ的一个法向量.设Q(0,2,c),则=(-2,0,c),∴n1·=0,即-2+2c=0,∴c=1,这时n1·=-2-2+4=0.∴当点Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系课件新人教A版选修21
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11· ·AD→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，得xz11＝＝－0，2y1， 令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1，2)． 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1． 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE．
(2)D→B＝(2，2，0)，D→E＝(1，0，2)． 设平面 BDEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ∴nn··DD→→BE＝＝00，， ∴2x＋x＋22z＝y＝0，0，∴yz＝＝－－12x， x. 令 x＝2，得 y＝－2，z＝－1． ∴n＝(2，－2，－1)即为平面 BDEF 的一个法向量．
【自主解答】 以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1， 0)，D12，0，0，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量．
第九页，共47页。
图322
【解】 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，则 D(0，0，0)，B(2， 2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)．
(1)连接 AC，因为 AC⊥平面 BDD1B1，所以A→C＝(－2，2，0)为平面 BDD1B1 的一个法向量．
第十五页，共47页。
－x1＋4z1＝0， 即32y1＋4z1＝0. 令 x1＝1，得 z1＝14，y1＝－23．
第二十八页，共47页。
nn22· ·DD→→EF＝＝00，，即32x2y＋2＋34y2z＋2＝40z2，＝0， 令 y2＝－1，得 z2＝38，x2＝32． ∴n1＝1，－23，14，n2＝32，－1，38， ∴n1＝23n2，即 n1∥n2， ∴平面 AMN∥平面 EFBD．
3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题
向量；
②一个几何体中存在线面垂直关系，在建立空间直角坐标 系后，平面的垂线的方向向量即为平面的法向量；
③在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行
的向量，然后求平面的法向量．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
1 ．已知平面 α 经过三点 A(1,2,3) ， B(2,0 ，－ 1) ， C(3 ，－
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
设平面 EFBD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， → n· DB＝0 ∴ → DE＝0 n· y＝－x， ∴ 1 z＝－2x. 令 x＝2，则可解得：y＝－2，z＝－1， ∴n＝(2，－2，－1)即为所求平面 EFBD 的一个法向量．
证法二：如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，则有 D(0，0,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,0)，M(0,2,1)，N(1,2,0)， → → → ∴A1P＝(－2,1，－2)，DM＝(0,2,1)，DN＝(1,2,0)， 设 n＝(x，y，z)是平面 DNM 的一个法向量， → n· DM＝0， 则 → DN＝0， n·
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法
3.2.1 用向量方法解决平行与垂直问题
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
1．会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、 平面间的平行、垂直等位置关系． 2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的
垂直与平行．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
直线的方向向量与平面的法向量
1．直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线____________ 共线或平行 的向量．
3.2.1-立体几何中的向量方法(1)---平行、垂直
2
uuur DC
1
uuur DE
3
3
uuuur uuur uuur 所以MN、DC、DE共面
但MN 平面CDE 故MN // 平面CDE
垂直关系：
ur ur
设直线
l1 , l2
的方向向量分别为
uur uur
e1 , e2
，平面
线1线,垂2直的法l1 向量l2 分别eu为ur1rn1euu,urr2n2，eu则 urr1
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c平2 )面的法向量
(3)根据法向量的定义建立关于x,
y,
z的 不惟一，合理
取值即可。
方程组
r nr n
• •
r ar b
0 0
aa12
x x
b1 b2
y y
c1z c2z
0时 ,e // n
a1 a2
b1 b2
c1 c2
uur uur
uur uur
面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0.
例7.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F
平面ADE
uuur uuur
uuuur
e1
l1
n1
ur uur ur uur l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0
n1
1 n2
2
uur uur uur uur
1 // 2 n1 // n2 n1 n2
用向量法证明平行关系
课题: 3.2.1 用向量法证明平行关系编制人：刘本松、张文武、王伟洁 审核人： 领导签字： 【使用说明】1.用20分钟仔细研读课本P95-P98,认真限时完成问题导学预习自测；2.具体要求：（1）用向量表示直线或点在直线上的位置；（2）用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行；【学习目标】 1.掌握用向量法证明平行关系，提高概念理解和应用能力；2.独立思考，合作学习，探究向量法研究空间平行问题的规律方法；3.激情投入，形成扎实严谨的数学思维品质.【课前预习】一、重点：用向量证明空间的平行关系； 难点：空间向量在证明平行关系中的应用. 二、问题导学1.类比平面内直线的向量参数方程，写出空间直线的向量参数方程.思考：当12t =时，线段AB 中点M 的向量表达式是2.设1v 和2v分别是直线1l 和2l 的方向向量，则由向量共线的条件，得12//l l 或1l 和2l 重合的充要条件是什么？//l α或l 在α内的充要条件是什么？//αβ或α与β重合的充要条件是什么？三、练一练：1、已知点3(3,4,0),(2,5,5),OA 5A B BC =而且，其中O 为坐标原点，点C 的坐标为2、1l 的方向向量为1(1,2,3)v = ，2l 的方向向量为2(,4,6)v λ=，若12//l l ，则λ等于3、已知A B C ，，三点不共线，对平面ABC 外任一点O ，满足下面条件的点M 是否一定在平面ABC 内？ 2OM OA OB OC =--(四)我的疑问：【课内探究】一、讨论、展示、点评、质疑探究一：用向量表示直线或点在直线上的位置已知点(2,3,0),(1,3,2)A B -，以AB的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，,P Q 为轴上的两点，且满足条件：（1）:2AQ QB =-；（2）:2:3AP PB =.求点P 和点Q 的坐标.拓展1：已知点(3,4,0),(2,5,5),(0,3,5)A B C ,且ABCD 是平行四边形，则顶点D 的坐标拓展2：已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点(0,3,5),(2,2,0),(0,5,0)A B C ，直线//BD CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标.【规律方法总结】探究二：用向量法证明空间中的平行关系如图，已知正方体''''ABCD A B C D -，点,M N 分别是面对角线'A B 与面对角线''AC 的中点.求证：'//MN AD 侧面；'//MN AD ，并且'12MN AD =.拓展1（AB ）已知矩形ABCD 和矩形ADEF ，AD 为公共边，但是它们不在同一个平面上，点,M N 分别在对角线,BD AE 上，且11,33BM BD AN AE ==.证明：直线//CDE MN 平面.拓展2（A ）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，,PD DC = E 是PC 的中点.用向量法证明//PA EDB 平面.【规律方法总结】二、课堂小结：1.知识与方法方面：2.数学思想方法方面：ABCD'A 'B 'C 'D MNABCDPEABCDEFM N。
高中数学一轮复习立体几何的向量方法：第5节 利用空间向量证明平行问题
第5节 利用空间向量证明平行问题【基础知识】证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．【规律技巧】恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．【典例讲解】【例1】 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB ，AP ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．法一 ∴EF →＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0， 令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量，∵PB →＝(2，0，－2)，∴PB →·n ＝0，∴n ⊥PB →，∵PB ⊄面EFG ，∴PB ∥平面EFG .【变式探究】 如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE ；证明 如图，连接OP ，∵P A ＝PC ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC ，又∵面P AC ⊥面ABC ，∴PO ⊥面ABC ，∵△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，∴BO ⊥AC .【针对训练】如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( ) A ．(1，1，1)B.⎝⎛⎭⎫23，23，1C.⎝⎛⎭⎫22，22，1D.⎝⎛⎭⎫24，24，1解析 设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线交点，∴M 为线段EF 的中点．在空间坐标系中，E (0，0，1)，F (2，2，1)．由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝⎛⎭⎫22，22，1. 答案 C【练习巩固】1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)B ．a ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)C ．a ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)D ．a ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)解析 若l ∥α，则a·n ＝0，D 中，a·n ＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，∴a ⊥n .答案 D2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内 解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面．则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．答案 D3．已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．P (2，3，3)B ．P (－2，0，1)C ．P (－4，4，0)D ．P (3，－3，4)解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)，∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．答案 A4.在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,AB BC CF DE ⊥= ，45BAC ∠=o ,求平面FGH 与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.。
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xAEyC NhomakorabeaBC(0, a,0), D(0,0,0), S(0,0, b) E(a, a ,0), F (0, a , b )., EF ? (? a,0, b )
2
22
2
设平面 SAD的法向量为 n ? (x, y, z), DA ? (a,0,0), DS ? (0,0, b)
?
??n ?DA ? ?
? / /? ? u / /v ? u ? kv
m
b
解决这些问题,首先必须适当建立空间坐标 系,然后进行坐标化。
检测自学效果
(1)直线l, m的方向向量分别为a ? (1,2,?1),b ? (2,4, ?2),则直线l, m的位置关系为平__行___.
(2)已知 A(1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0),求平面 ABC的一个
D1
证明：以A为坐标原点建立空间坐标系如图，
设正方体棱长为1，则
B1
C1
A(0,0,0), B(1,0,0), C (1,1,0), D(0,1,0)
A
Dy
A1(0,0,1), B1(1,0,1),C1 (1,1,1),D1(0,1,1) B 设平面CB1D1的法向量为n ? (x, y, z), x
? n ? A1B, n ? A1D 即n也是平面A1BD的法向量。
? 平面A1BD / /平面CB1D1
归纳：运用空间向量的知识来证明平行问题 的步骤
1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。 ---即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线， 若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系； 若没有，则需要作辅助线。
B
A O
M A
N
D C
2.写出空间图形中各点的空间坐标。
3.利用空间向量的关系来证明相关的平行问题 .
当堂训练
E
1.如图，已知正方形ABCD
M
与矩形ACEF所在的平面互相
F
垂直，AB= 2，AF=1,M是EF C
B
的中点.求证：AM//平面BDE.
D
2.如图，四棱锥O-ABCD 中， 底面ABCD 是边长为1的菱形， ∠ABC=45 0,OA⊥底面ABCD, OA=2,M 为OA 的中点，N为BC 的中点. 求证：MN//平面OCD
点拨、提高与归纳
z
S
例题1:在四棱锥S-ABCD 中, 底面ABCD
为正方形，侧棱 SD⊥底面ABCD,E,F 分
F
别是AB,SC 的中点.求证:EF// 平面SAD.
证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. D
设AD ? a, SD ? b, 则A(a,0,0), B(a, a,0),
C
CB1 ? (0, ? 1, ? 1),CD1 ? (? 1,0,1).
?
??n ?CB1 ? ?
?y?
z
?
0 ,
令z
? 1,则n ?
(1,1,1)
?n ?CD1 ? ? x ? z ? 0
在平面A1BD中，A1B ? (1,0, ? 1), A1D ? (0,1, ? 1)
n?A1B ? 1?1? 1? 0 ? 1? (?1)? 0 n ?A1D ? 1? 0 ? 1? 1? 1? (?1) ? 0
jchay
2.立体几何中的平行关系的向量表示
设直线l, m的方向向量分别为a，b ，平面? ，?
的法向量分别为 u，v ，则有以下结论：
(1)线线平行：
a
l / /m ? a / /b ? a ? kb l
u
(2)线面平行：
? v
l / /? ? a ? u ? a ?u ? 0
(3)面面平行：
?
ax ? 0 ,
令y ? 1,则n ?
(0,1,0)
?n ?DS ? bz ? 0
EF ?n ? ? a ? 0 ? 0 ? 1 ? b ? 0 ? 0 2
? EF ? n
? EF / /平面SAD.
例题2:在正方体ABCD-A 1B1C1D1 中，求证：平面 A1BD// 平面CB 1D1
z
A1
法向量. 解：设平面ABC的一个法向量为 n ? (x, y, z).
可求得 AB ? (? 1,1,0), BC ? (1,0,? 1)
n ? AB, n ? BC
?
?? n ?AB ? ?
?x?
y? 0 ,
取x ? 1,则y ? z ? 1
? n ?BC ? x ? z ? 0
? 平面 ABC 的一个法向量为 n ? (1,1,1)