高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数
高二数学导数大题练习题及答案
高二数学导数大题练习题及答案
一、解答题
1．已知曲线()1f x x
=
(1)求曲线在点(1,1)P 处的切线方程． (2)求曲线过点(1,0)Q 的切线方程．
2．已知函数e ()(ln )=--+x
f x a x x a x
（a 为实数）．
(1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；
(2)若函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a 的取值范围．
3．已知()2,1
3,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩
，()()ln g x x a =+．
(1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数． 4．已知函数()21si cos n 2
f x x x a x x =-++．
(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
(2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，求a 的取值范围．
5．已知函数()()2e 2e 1e 2e x x
f x x =-++．
(1)若函数()()g x f x a =-有三个零点，求a 的取值范围． (2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，证明：120x x +>． 6．已知()21e 2
x f x k x =-．
(1)若函数()f x 有两个极值点，求实数k 的取值范围；
(2)证明：当n *
高考数学 导数及其应用的典型例题
第二部分 导数、微分及其导数的应用
知识汇总
一、求导数方法
1.利用定义求导数
2.导数的四则运算法则
3.复合函数的求导法则
若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx
du
du dy dx dy ⋅
= 即 [])()(x x f y φφ'⋅'=' 4.反函数的求导法则
若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则
)(1)(y x f φ'=
'，即dy
dx
dx dy 1
=
5.隐函数求导法
求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx
dy
。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出
dx
dy
即可。 6.对数求导法
对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题：
(1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如
y=
3
4
)3(52)2)(1(---++x x x x x ,3
)
2)(53()
32)(1(--+-=x x x x y ,5
5
2
2
5
+-=x x y 等等。
7.由参数方程所确定函数的求导法则
设由参数方程
⎩
⎨
⎧==)()
(t y t x ϕφ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ϕφ
可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且
dt
dx
dt dy
t t dx dy =''=)()(φϕ 8.求高阶导数的方法
二、求导数公式
1.基本初等函数求导公式
高考数学复习选填题专项练习10--分段函数(解析版)
高考数学复习选填题专项练习10--分段函数
第I 卷（选择题)
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 分段函数
1．（2020·
山西高三月考）已知函数0
()2,0
x x f x x >=≤⎪⎩，若()2f a <，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,3)-∞
B ．(,2)-∞
C ．(1,2)
D ．(0,3)
【答案】A 【解析】
【分析】根据分段函数的定义域，分0a ≤212a <≤和0a >时，两种情况分类求解.
【详解】当0a ≤时，212a <≤成立；当0a >
2，故0<<3a ，综上：实数a 的取值范围是(,3)-∞. 【点睛】本题主要考查分段函数解不等式问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.
2．（2020·洪洞县第一中学高三期中）若函数(),1
42,12x a x f x a x x ⎧≥⎪
=⎨⎛⎫
-+< ⎪⎪⎝
⎭⎩且满足对任意的实数12x x ≠都有()()1212
0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()1,+∞
B ．()1,8
C ．()4,8
D ．[)4,8
【答案】D 【解析】
【分析】根据解析式及满足的不等式
()()1212
0f x f x x x ->-，可知函数()f x 是R 上的增函数，由分段函数单
调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于a 的不等式组，解不等式组即可求得a 的取值范围.
高中数学知识点函数及导数-习题
10. 二次函数 y=x2-2x-3 在 x∈[-1，2]上的最小值为（
）
A. 0
B. -3
C. -4
D. -5
【答案】C
【解析】解：二次函数 y=x2-2x-3 图象开口朝上，
且以直线 x=1 为对称轴
故在 x∈[-1，2]上，当 x=-1 时，取最小值-4，
D. {x|-3≤x≤3 且≠2}
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．根据二次根式
的性质以及分母不为 0 求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：
2− ≠0
,
{
9 − 2 ≥ 0
解得：-3≤x≤3 且 x≠2，
故函数的定义域是{x|-3≤x≤3 且 x≠2}，
函数及导数
副标题
题号
一
总分
得分
一、选择题（本大题共 54 小题，共 270.0 分）
1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查映射的概念，即一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元
素和它对应，则此对应构成映射．
分段函数求导的若干问题
分段函数求导的假设干问题
摘要】求分段函数的导函数或分段点处的导数是高等数学学习中的难点，大多数学生在解这类问题时会遇到困难或理解不透.本文从导数极限定理及其证明出发，给出导函数连续的判定定理，结合实例说明分段函数求导的关键要点.
【关键词】分段函数;单侧导数;导数极限定理
【基金工程】绍兴市课堂教学改革工程〔SXSKG2021091〕.
在分段函数求导问题中，大多数学生能够理解为什么在分段点处要用导数定义，但因为有时遇到的分段函数直接求导跟用导数定义所得结果并无差异，这就导致很多学生不明白个中原因.
例如，求分段函数
F〔x〕=f〔x〕，a的导数，在f〔x〕，g〔x〕可导下，直接求导得
F′〔x〕=f′〔x〕，a这种结果在分段点处的导数时对时错.常规的做法是在函数连续的情况下用导数定义进行判断，不过在一定条件下也可用导数极限方法，这在一些文献中也有提及[1-4].但对高职或高中学生而言，定理表述上还应精炼，证明要简洁易懂，而且例题要更有代表性，所以还有必要对这一问题进行探讨，并且文中还给出另一重要推论，这些结论对理解分段函数的导数意义明显.
一、导数极限定理及其推论
分段函数在除分段点外均可导的情况下，求其导数显然只要讨论分段点处的可导性，通常用导数定义进行判断，这涉及分段函数在分段点处的连续性和左右导数.下面从导数极限定理出发，介绍一些常用的结论，便于理解什么情况下不必用导数定义，什么情况下要用导数定义.
引理如果函数f〔x〕在〔a，x0]〔或[x0，b〕〕上连续，在〔a，x0〕〔或〔x0，b〕〕内可导，且limx→x-0f′〔x〕=A〔或limx→x+0f′〔x〕=B〕，那么f〔x〕在点x0处左导数〔右导数〕存在，且f′-〔x0〕=A〔或f′+〔x0〕=B〕.
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题
一、解答题
1．已知曲线()1f x x
=
(1)求曲线在点(1,1)P 处的切线方程． (2)求曲线过点(1,0)Q 的切线方程．
2．已知函数()32
f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2
x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式；
(2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值．
3．已知函数()ln e
x f x x =，()2
ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数．
(1)求函数()f x 的最小值；
(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值；
(3)求证：2022
2023
20232023e 20222022⎛⎫
⎛⎫<< ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
．
4．已知()2,1
3,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩
，()()ln g x x a =+．
(1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数．
5．已知函数()()24e 1x
f x x =-+．
(1)求()f x 的极值．
(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<．
6．已知函数()()e ,x
f x ax a R =-∈．
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)讨论()f x 在()0,+∞上的零点个数． 7．已知函数()()2231ln 2
高中数学典型例题解析导数及其应用
三、经典例题导讲
[例1]已知2)
2
cos
1(x
y+
=,则='y .
错因：复合函数求导数计算不熟练,其x2与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解
为:)
2
cos
1(
2
sin
2x
x
y+
-
=
'.
正解：设2u
y=,x
u2
cos
1+
=,则)
2(
)
2
sin
(
2
)
2
cos
1(
2'
⋅
-
⋅
='
+
=
'
'
=
'x
x
u
x
u
u
y
y
x
u
x
)
2
cos
1(
2
sin
4
2
)
2
sin
(
2x
x
x
u+
-
=
⋅
-
⋅
=∴)
2
cos
1(
2
sin
4x
x
y+
-
='.
[例2]已知函数
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
+
≤
+
=
)1
)(1
(
2
1
)1
)(1
(
2
1
)
(
2
x
x
x
x
x
f判断f(x)在x=1处是否可导？
错解：1
)1(
,1
)1
1(
2
1
]1
)
1
[(
2
1
lim
2
2
=
'
∴
=
∆
+
-
+
∆
+
→
∆
f
x
x
x
Θ。
分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .
解：1
)1
1(
2
1
]1
)
1
[(
2
1
lim
lim
2
2
=
∆
+
-
+
∆
+
=
∆
∆
-
-→
∆
→
∆x
x
x
y
x
x
∴f(x)在x=1处不可导.
注：+
→
∆0
x，指x∆逐渐减小趋近于0；-
→
∆0
x，指x∆逐渐增大趋近于0。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即
x
x
f
x
x
f
x∆
-
∆
+
→
∆
)
(
)
(
lim0
，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.
[例3]求3
22+
=x
y在点)5,1(P和)9,2(
Q处的切线方程。
错因：直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。
分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y'在1
高二数学导数大题练习题含答案
高二数学导数大题练习题含答案
一、解答题
1．已知函数321
()33
f x x x ax =-+
(1)若()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4
π，求a 的值； (2)若1a =-，求()f x 的单调区间.
2．已知()2,1
3,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩
，()()ln g x x a =+．
(1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数．
3．已知函数()()2e 2e 1e 2e x x
f x x =-++．
(1)若函数()()g x f x a =-有三个零点，求a 的取值范围． (2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，证明：120x x +>． 4．已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．
(1)设函数()
()e
ax f x g x '=，求()g x 的单调区间；
(2)若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围
5．已知()2e
x x a
f x -=．
(1)若()f x 在3x =处取得极值，求()f x 的最小值； (2)若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围．
6．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2x
1.4.5 分段函数的求导法则
Q f (0) = lim f ( x ) = 0
例4 设 处的连续性及可导性. 处的连续性及可导性. 解 所以 又 在 处连续. 处连续.
f ′(0) = 0.
即 在 处可导 .
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例5 设 f ( x ) = x x ( x − 2) , 求 f ′( x ). 解 先去掉绝对值
即 f +′ (0) ≠ f −′(0), ∴ 函数y = f ( x )在x = 0点不可导.
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y
y= x
o
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 x sin , x ≠ 0 , 例3 讨 论 函 数 f ( x ) = x 0, x=0 在x = 0处的连续性与可导性.
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2
ln ( 1 + x ) , 例 1 求函数 f ( x ) = x,
解 当 x > 0 时，
x ≥ 0, x<0
的导数.
1 f ′( x ) = , 1+ x
当 x < 0 时，
f ′( x ) = 1.
当 x = 0 时，
2025届高考数学二轮复习专项突破08分段函数
分段函数专项突破
高考定位
分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值等问题，是每年高考的重点。既可以整体把握，也可以分类探讨.整体把握做好的方法是做图，而分类探讨思想事实上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 分类探讨思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类探讨思想，可培育逻辑思维实力和抽象思维实力和严密的思索问题的实力。 考点解析
一、分段函数的分类
（1）初等函数组合型（2）含肯定值型（3）周期性分段（4）对成型分段（5）新定义型 二、处理方法（1）探讨 （2）图像 题型分类
类型一、初等函数组合分段函数
例1-1（不含参数）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ＋1，x >0，x 2
＋2x －1，x <0；
为（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．即是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
【答案】A
【解析】法一：定义法
当x>0时，f(x)＝－x 2
＋2x ＋1，
－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x 2
－2x －1＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x 2
＋2x －1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2
＋2(－x)＋1＝－x 2
－2x ＋1＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数．
法二：图象法，作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．
例1-2（含参数）（2024·福建龙岩市·上杭一中高三）已知函数22,(),x x a
高数学习之分段函数导数计算方式
高数学习之分段函数导数计算方式
1 分段函数的概念
分段函数（Piecewise Function）是一类常见的函数，它的定义域和值域都是实数集，它可以被划分为多个区段，每个区段上函数有着不同的函数表达式，若选取一点，其左右可以存在不同的函数表达式，亦可称为分段函数。
求解分段函数的导数，即求解分段函数在某点处的斜率，需要先将分段函数表示为两个函数，分别在该点左右求导数，然后再根据定义求出该点处的斜率。
2求解分段函数导数的方法
（1）根据定义，当分段函数有如下形式时：
y＝{
a1x+b1，for x/epsilon[a,b]
a2x+b2，for x/epsilon(b,c]
其中，a1，a2，b1，b2是实数，且a1≠a2，则a1和a2分别作为x/epsilon[a,b]和x/epsilon(b,c]时，分段函数的导数分别为：a1、a2。
（2）当分段函数有如下形式时：
y＝{
ax+b，for x/epsilon[a,b]
c，for x/epsilon(b,c]
其中，a，b，c是实数，且a≠0，则当x/epsilon[a,b]时，分段函数的导数为：a，当x/epsilon(b,c]时，分段函数的导数为：0。
（3）如果分段函数不符合上述的函数形式，则可以用辨识函数表结合极限数学的思想来求解。在定义域中选择一点x=x0，将该点位于函数不同区段上两端，用值函数表求出左右两点的函数值；分别求出从左右两点追忆到该点x0的切线斜率m1、m2；然后比较m1、m2的大小，可以求得x=x0时分段函数的导数。
3分段函数的应用
第15讲 分段函数常见题型解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】
分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.
1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：
11
2
2()
()()()
n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨
∈⎪⎪∈⎩，不要写成11
22
()()()()n n n
y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪
⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范
围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.
2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.
3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.
4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.
5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.
6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.
7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.
虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】
[全]高等数学之分段函数导数和变限积分导数问题的方法总结[下载全]
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高等数学之分段函数导数和变限积分导数问题的方法总结
一元函数的导数与微分是微积分的基础，在考研题型中主要出选择题和填空题，可作为求极限，求驻点，求拐点，求多元函数的偏导数与全微分的基础。这里我们主要掌握分段函数的导数，隐函数的导数等。在考研中，每年必考变上限积分表示的函数的导数求法。
题型一：分段函数的导数
分段函数的导数难点在于分段点处导数的求解，确定分段点处的导数主要通过求解分段点处的左右极限。
例1：
分析：对于非分段点函数的导数直接求导，对于分段点处的导数则根据导数的定义来求解。
解：
题型二：变上限积分的函数的导数求解分析：
变上限积分函数求导的定义
例2：
解：
高二数学导数大题练习及详细答案
高二数学导数大题练习及详细答案
一、解答题
1．已知函数()()2
e 1=-+x
f x ax x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． (1)若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性； (3)当21
e
a ≥
时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥． 2．已知函数()ln f x x x x =-，()2
ln 1g x a x x =-+.
(1)求函数()f x 的最小值；
(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值； (3)证明：11
1
1232022e 2023+++⋅⋅⋅+>，e 是自然对数的底数.
3．已知()2,1
3,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩
，()()ln g x x a =+．
(1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数．
4．已知a R ∈，函数()2
2e 2
x
ax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1
201x x ，
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．已知函数ln ()x
f x x
=
(1)填写函数()f x 的相关性质；
(2)通过（1）绘制出函数()f x 的图像，并讨论ln x ax =方程解的个数． 6．已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；
高中 导数 例题解析
高中导数例题解析
导数作为高中数学的一个重要内容，对于学生来说既是一个难点也是一个重点。在高考中，导数试题的出现频率也相当高，因此掌握好导数的解题方法对于高中学生来说至关重要。本文将通过一些典型的导数例题，深入解析解题思路和方法，帮助同学们更好地理解和掌握导数的相关知识。
一、导数的概念和计算方法
导数作为函数的一个重要概念，其定义可以简单地表述为函数在某一点的变化率。具体来说，当函数f(x)在点x0的附近有定义，且当x在x0点的左右附近
变化时，如果对于任意一个小区间[x, x+dx]，都有f(x0+dx)-
f(x0)≈Δx·f′(x0)，那么我们就说函数f(x)在点x0处可导，并称f′(x0)为函数f(x)在点x0处的导数。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：
1. 正确理解导数的定义，掌握导数的计算公式和方法；
2. 熟练掌握导数的运算法则，如乘法法则、除法法则等；
3. 注意导数的符号问题，即导数一定是正数或零，不能是负数。
二、例题解析
【例题1】已知函数f(x) = x3 - 3x2 + 1，求f′(1)。
解析：本题考查了导数的计算公式和方法，根据公式可以直接求得f′(1) = 3x2 - 6x。
解：因为f(x) = x3 - 3x2 + 1，所以f′(x) = 3x2 - 6x。把x=1代入导数公式中，得f′(1) = 3 - 6 + 1 = 0。
【例题2】已知函数f(x) = x4 + 4x2 + 4，求f′(0)。
解析：本题考查了函数的复合关系和导数的计算公式。根据复合函数的求导法则，可以将函数f(x)看成是由u=x2和g(u)=4u两个基本初等函数复合而成的，因此求f′(0)就相当于分别求出这两个函数的导数值在x=0处的值，再相乘即
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》经典测试题及答案解析
新数学高考《函数与导数》复习资料
一、选择题
1．函数()||()a
f x x a R x
=-
∈的图象不可能是( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案. 【详解】
,0(),0a x x x
f x a x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩,∴221,0()1,0a x x f x a x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎩
'⎪.
(1)当0a =时,,0
(),0
x x f x x x >⎧=⎨-<⎩,图象为A;
(2)当0a >时,210a
x
+>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增, 令2
10a
x -+
=得x a = ∴当x a <,210a
x -+<,
当0a x <<时,210a
x
-+>,
∴()f x 在(,a -∞上单调递减,在(,0)a 上单调递增,图象为D; (3)当0a <时,210a
x
-+
<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减,
令2
10a
x +
=得x =
∴当x >时,210a
x +>,
当0x <<,210a
x
+<,
∴()f x 在上单调递减,在)+∞上单调递增,图象为B; 故选：C. 【点睛】
本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
2．已知3215()632f x x ax ax b =
-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132
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求分段函数的导数
例 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,00
,1sin )(2
x x x
x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当
0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x
x 1
sin
2，可以按各种求导法同求它的导数．
解：当0=x 时，01sin lim 1
sin
lim )
0()(lim )0(0200
===-='→∆→∆→∆x
x x x x x
f x f f x x x 当
≠x 时，
x
x x x x x x x x x x x x x x f 1
cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='='
说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0
0x g x g x
x →=，但如
果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为
)(lim )0(0
x f f x →='．
指出函数的复合关系
例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x
x y +=。
分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程．
解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x
x v v u u y +===
说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．
求函数的导数
例 求下列函数的导数． 1．43)12(x
x x y +-=；2．2
211x
y -=
；
3．)3
2(sin 2π
+=x y ；4．21x x y +=。
分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
解：1．解法一：设43,1
2u y x
x x u =+-=，则
).116()12(4)116(4223322
3--+-=--⋅='⋅'='x
x x x x x x u u y y x
u x 解法二：'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x x x x x y 1212412333
43
.116124223
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=x x x x x 2．解法一：设22
1
21,x u u y -=='-
，则
()()
()(
)
.
21)21(2 212 42121 4212
22
322
3
223x
x x
x
x x x
x u u y y x u x ---=---=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅'='---＝
解法二：()
'⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-
2
122
21211
x x
y ()
.
21)21(2)
21(2)
4()21(2121)21(2
12
22
32
232
2
232
x
x x
x x x x x x --=-=-⋅--='-⋅--=-
--
3．解法一：设3
2,sin ,2π
+===x v v u u y ，则
.
324sin 2 232cos 32sin 2 2
cos 2⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅='⋅'⋅'='πππx x x v u v u y y x v u x
解法二：'
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+='32sin 32sin 232sin 2πππx x x y
.324sin 2 2
32cos 32sin 2 3232cos 32sin 2 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⋅⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+⋅⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+='⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x x x
4．解法一：.14
2
2
x x x x y +=+=设422
1
,x x u u y +==，则
.
1211)21(2 )
42()(2
1 )42(2122
224233214
2321
x
x x x x x x x x x x x x x x x u u y y x u x ++=++=++=+⋅+=+⋅=
'⋅'='-- 解法二：)1(1)1(222'+++⋅'='+='x x x x x x y .12111 2
22
22
x
x x
x x ++=
++
+=
说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导．
求复合函数的导数
例 求下列函数的导数（其中)(x f 是可导函数）
1．⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x f y 1；2．).1(2
+=x f y
分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特