构建数学模型_解决实际问题例题分析
初二上数学几何模型及典型例题
数学几何作为初中数学的重要组成部分，不仅是学习数学的基础，更是培养学生逻辑思维和空间想象能力的重要途径。
在初二数学教学中，数学几何模型及典型例题的学习尤为重要，既能帮助学生更好地理解数学知识，又能提高学生解决实际问题的能力。
本文将围绕初二上数学几何模型及典型例题展开讨论，帮助学生更好地掌握相关知识。
一、数学几何模型的基本概念数学几何模型是指利用几何图形或几何形式来描述和解决数学问题的一种方法。
在初二数学几何模型学习中，主要包括以下几个方面的内容：1. 几何图形的性质：对于常见的几何图形，如三角形、四边形、圆等，需要了解它们的基本性质，如内角和为多少度，各边之间的关系等。
2. 几何变换：包括平移、旋转、翻折等几何变换，这些变换不仅能帮助学生理解几何图形的性质，还能培养学生的空间想象能力。
3. 几何三视图：通过俯视图、前视图和侧视图等三个视图的表示，能够更直观地描述立体图形的形状和结构。
4. 几何模型的应用：将数学几何模型应用到实际问题中，如建筑、工程、地图等领域，能够培养学生的实际应用能力。
二、数学几何典型例题解析除了理论知识的学习外，初二数学几何模型及典型例题的学习也非常重要。
下面我们分别对几种典型的数学几何例题进行解析，帮助学生更好地掌握解题方法和技巧。
1. 三角形的面积计算例题：已知三角形的底边长为5cm，高为8cm，求其面积。
解析：根据三角形的面积公式 S=1/2*底边*高，代入已知数值进行计算，可得三角形的面积为20平方厘米。
2. 圆的周长和面积计算例题：已知圆的半径为3cm，求其周长和面积。
解析：圆的周长计算公式为C=2*π*r，圆的面积计算公式为S=π*r^2。
代入已知半径进行计算，可得圆的周长为6π厘米，面积为9π平方厘米。
3. 直角三角形的性质运用例题：已知直角三角形两直角边分别为3cm和4cm，求斜边长。
解析：根据勾股定理，直角三角形斜边长为 a^2+b^2 的平方根，即5cm。
初中数学_解直角三角形的复习教学设计学情分析教材分析课后反思
解直角三角形的复习——构建数学模型解决实际应用题【课程标准陈述】运用直角三角形的边角关系、勾股定理、直角三角形有关知识来解决某些简单的实际问题。
【教材理解】复习锐角三角函数的定义和解直角三角形，熟悉仰角、俯角、方位角、坡度和坡角，使学生运用所学的知识和技能解决问题，通过将实际问题抽象为数学问题的过程体验来增强数学应用意识，提高应用数学的能力。
【学习目标】1．三角函数的定义、锐角A的正弦、余弦、正切的定义2．熟记特殊角的三角函数值3．熟悉仰角、俯角、方位角、坡度、坡角、方位角等概念4.进一步运用直角三角形的边角关系、勾股定理、直角三角形有关知识来解决某些简单的实际问题5.通过解决实际问题的过程体验感受数学来源于生活、服务生活，感悟数学化归、转化、方程的数学思想，用数学的意识和能力【评价活动方案】1．复习三角函数的定义、特殊角的三角函数值、仰角、俯角、方位角、坡度、坡角、方位角等概念，观察学生的掌握程度，以评价目标1。
2．通过快速练习，以评价目标2。
3．精讲例题，学生当老师，在例题后设计当堂检测，关注学生解答的正确率，以评价目标3。
【教学程序】（一）复习概念（目标1）1．三角函数的定义、锐角A的正弦、余弦、正切的定义2．熟记特殊角的三角函数值3．熟悉仰角、俯角、方位角、坡度、坡角、方位角等概念（二）快速练习（目标2）（1）已知在Rt△ABC中，AB=5,BC=12，则AC= .（2）sin60°·tan30°＋cos45°＝．（3）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，cosA= ，则AB=_______．（4）在坡比i=1:2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两树的坡面距离为米（结果保留根号）.提示：第（1）题AC是否为斜边（三）典型例题（数学问题）例1 如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=105°，若BC=2，求AB的长。
数学建模课堂PPT(部分例题分析)
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计 中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现 象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来 预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回 归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之 间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模 型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻 辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用 于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票 价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下 ，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经 济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性 ，不能完全准确地预测股票价格的走势。
【教学设计】 建立二元一次方程的模型解决实际应用问题2020春冀教版七下数学
板书设计
6.3实际问题与二元一次方程
教学过程（师生活动）
设计理念
估时
创设情境
最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．
电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即22:00～次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元；低谷电价为每千瓦时。．28元．八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？
型化的思想和应用数学于现实
生活的意识．
布置作业
备选题：
（1）一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示．
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第1次
4
5
28.5
第2次
3
6
27
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：菜农应付运费多少元？
课堂练习
反馈调控
某瓜果基地生产一种特色水果，若在市场上每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润增为4500元；经精加工后销售，每吨利润可达7500元。一食品公司
购到这种水果140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须将这批水果全部销售或加工完毕，为此公司研制二种可行的方案：
数学建模典型例题
一、人体重变化某人的食量是10467焦/天，最基本新代要自动消耗其中的5038焦/天。
每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克•天）乘以他的体重（千克）。
假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。
试研究此人体重随时间变化的规律。
一、问题分析人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间体重W的变化值列出微分方程。
二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W0三、模型建立假设在△t时间：体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；身体一天的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））将其乘以△t即为一小段时间剩下的热量；转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；四、模型求解d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686W(0)=W0解得：5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)即：W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686)当t趋于无穷时，w=81;二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。
5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。
在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）。
以千元计数a ij的由下面的表给出：请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。
二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。
因此可利用图论法分析，用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。
数学建模例题及解析
例1差分方程——资金的时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。
先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎样算出来的?因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。
现在我们来进行数学建模。
由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。
a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的：需要借多少钱，用记；月利率(贷款通常按复利计)用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月。
b．建立变量之间的明确的数学关系。
若用记第k个月时尚欠的款数，则一个月后(加上利息后)欠款，不过我们又还了x元所以总的欠款为k=0，1，2，3，而一开始的借款为。
所以我们的数学模型可表述如下(1)c. (1)的求解。
由(2)这就是之间的显式关系。
d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。
N=5年＝60个月，已知；每月还款x＝1200元，已知A。
即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。
然而，由(2)可知60个月后还清，即，从而得(3)A和x之间的关系式，如果我们已经知道银行(3)表示N＝60，x＝1200给定时0A。
例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得的贷款利息R，就可以算出053946元。
如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946＝123946元的话，你就应自己去银行借款。
构建函数模型,解决实际应用解读
构建函数模型，解决实际应用苏州工业园区第六中学胡雪芹摘要：随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查显得越来越重要，而数学建模可以有效地解决实际中的应用。
本文通过举例对构建函数模型，解决实际应用作了初步探讨。
数学教师在新课程实施中要努力渗透数学建模思想，为全面实施素质教育服务。
关键词：函数建模，实际应用著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。
”《九年制义务教育数学课程标准（实验稿）》基本理念的第二条明确指出：“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。
”恩格斯说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。
”由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此如果我们在数学教学中用好建模这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力是十分有益的。
可以说凡有数学应用的地方就有数学建模，数学建模在今后的数学教育中必将占有重要地位。
进入21世纪，不管是世界性的数学课程改革，还是我国的数学课程改革，也无论是哪一学段的数学课程，其中都加强了应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求。
随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查是中考的一大热点。
中考中应用性试题的题量逐年增加，题型逐年丰富，问题的取材一改原先局限于工程问题、行程问题等老面孔，而富有时代气息，切合实际、贴近学生生活，或关系民情国情等实际问题。
特别是最近几年的中考应用题的设计背景材料趋于复杂，数学化比较困难，这就要求学生能读懂题目的条件和要求，将所学知识和方法灵活运用于全新的问题情境中，抽取出问题的数学本质，建立适当的数学模型，尤其需要借助函数的模型，创造性地求解。
一、数学建模的含义及操作程序所谓数学建模就是要把现实生活中具体实体内所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，以求得实际问题的合理解决。
谈＂应用题＂＂解决问题＂与＂数学建模＂的关系
了解有关路程这个变量 的确切数值 ， 从而 维能力 、 情感态度 与价值 观等多方 面得 到进 步和发展 ” 这个最 当中真正理解题意 ， 有利 于学生顺 利解 题。 根本 的 目的。 （ ２ ） 学会 画 图。画示 意图 比起模拟操作 已经抽象 了一 步 ， 运用 苏教版教材初 次教学 速度时 ， 本人 意识 到 ， 这是 小学
引导学生 自主探 索速度 、 时间 伍； 也不敢说解 决问题 ， 怕 它 内涵过 多而 自己把握不 了； 更不 问题 。通过解决简单行 程问题 ，
构建数学模型 ： 速度 ×时间 ＝ 路程 。 敢说数学建模 ， 怕它太深奥而 自己没那功底 。事实上 ， 这三者 和路程之间的关系 ， 行程 问题在小 学五六年级 当中多次 出现 ，并且呈现 出越 越来越深 、 越来越难的趋势。因此 ， 行程问题需要 我们 把传统 的应用题 改为当前《 义务教育数学课程标 准（ ２ ０ １ １ 来越细 、 除 了大家公认 的分 析法 和综 合法之外 ， 还要 引 年版 ） 》 （ 以下简 称《 课标 》 ） 中的解决 问题 ， 当然不是 一个简单 教师在教学 时 ， 之间还是有着千丝万缕的关系的 。
的更改名称 问题 。《 课标 》 编制组 主要 负责人之一孙晓天教授ห้องสมุดไป่ตู้ 导学生学会一些常用的解决问题的具 体策略 ： （ １ ） 动手模拟 。有这样一种类 型的行程 问题应 用题 ： 假设 曾说过 ： “ 解决 问题脱胎于应用题 ， 但绝不 同于应用题 。”
列 自身长度为 ２ ０ ０米 的火车运行速度为 ４ ０ 米／ 秒 ，它通过 在常人 眼里看 来 ，传统 的应用题 教学似乎应该是与数 学 建模格 格不入 的 ， 实 际上 ， 如果 我们仔 细阅读《 应用 题 的本 质 长为 ３ ６ ０ ０米的隧道需要多少时间？
构建数学模型_解决实际问题例题分析
构建数学模型解决实际问题“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一。
能够解决实际问题是学习数学知识、形成技能和发展能力的结果，也是对获得知识、技能和能力的检验。
构建数学模型解决实际问题基本程序如下：解题步骤如下：1、阅读、审题：要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。
2、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
3、合理求解纯数学问题4、解释并回答实际问题中学阶段主要求解下面几类应用题，本文以2004年全国各地中考试题为例供同学们学习。
一、数与式模型例1、水是生命之源,水资源的不足严重制约我市的工业发展,解决缺水的根本在于节约用水,提高工业用水的重复利用率、降低每万元工业产值的用水量都是有力举措。
据《台州日报》4月26日报导,目前,我市工业用水每天只能供应10万吨,重复利用率为45℅,先进地区为75℅,工业每万元产值平均用水25吨,而先进地区为10吨,可见我市节水空间还很大。
(1)若我市工业用水重复利用率(为方便,假设工业用水只重复利用一次)由目前的45℅增加到60℅,那么每天还可以增加多少吨工业用水？(2) 写出工业用水重复利用率由45℅增加到x ℅（45＜x ＜100）,每天所增加的工业用水y(万吨)与之间的函数关系式。
(3) 如果我市工业用水重复利用率及每万元工业产值平均用水量都达到先进地区水平,那么与现有水平比较,仅从用水的角度我市每天能增加多少万元工业产值？解：(1)100000×(1+60％)－100000×(1+45％)=100000×15％=15000(吨)答：每天还可以增加15000吨工业用水(2) y=10(x ％－45％)=0.1x －4.5（45＜x ＜100） (3)1170025)45.01(10000010)75.01(100000=+⨯-+⨯(万元)答：每天能增加11700万元工业产值。
谈“应用题”“解决问题”与“数学建模”的关系
75[2013.11]在当前小学数学教学中，我们大家也许面临着这样一个尴尬：在教学时不敢说应用题，怕它跟不上形势而自己显得落伍；也不敢说解决问题，怕它内涵过多而自己把握不了；更不敢说数学建模，怕它太深奥而自己没那功底。
事实上，这三者之间还是有着千丝万缕的关系的。
把传统的应用题改为当前《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中的解决问题，当然不是一个简单的更改名称问题。
《课标》编制组主要负责人之一孙晓天教授曾说过：“解决问题脱胎于应用题，但绝不同于应用题。
”在常人眼里看来，传统的应用题教学似乎应该是与数学建模格格不入的，实际上，如果我们仔细阅读《应用题的本质是数学建模》一文，就不难发现，“应用题的本质是数学建模”。
因此，无论是传统的应用题也好，还是现在《课标》提倡的解决问题也好，其实质归根结底都是“数学建模”：“只有同时重视学生在解决问题中的思维跨度———完成两个转化，才能大面积有效地提高解决问题的能力”，才能真正实现《课标》中提出的“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”这个最根本的目的。
运用苏教版教材初次教学速度时，本人意识到，这是小学生初次接触速度这个概念，首次建构相关的数学模型。
因此本人结合教师用书中的教材编写的意图、教学目标、教学建议，结合《课标》中关于数学课程的说明，结合多年的具体教学经验，在具体教学时应非常明确地贯彻“解决问题的前提是理解概念，解决问题的关键是建构模型，解决问题的途径是学会策略”的理念。
查找资料，精心准备。
在初次进行速度教学时，本人特意事先布置学生了解、测量自己步行、跑步的速度（为方便起见，没有采用时速，而是以一分钟为例，毕竟分钟也是一种单位时间），除此之外，还布置学生通过不同的渠道查找自己知道的一些交通工具的运行速度。
这些由学生查找出来的交通工具的时速，都可作为本单元学习的资源。
数学模型例题题解
1贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。
目前，银行的利率是0.6%/月。
他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。
(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行在贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额是多少？(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。
但条件是：(i) 每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；(ii)因为增加必要的要档案、文书等管理工作，因些要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
解答（1）设k A 为还完第k 个月的贷款后剩余的欠款额，r 为月利率，x为每月还款额，从而有递归关系式1(1)k k A A r x -=+-，其中k=1,2…N ，N 为贷款总月数。
0A 为最初贷款额()()()101111k k k k r A A r x A r x r-+-=+-=+-。
当k=N 时 0N A =，则有 ()()()()12200122012000000.00610.0061574.6991110.0061N N A r r x r ⨯⨯+⨯⨯+===+-+- 故每月还款的数目为 1574.699元而总共需要还款数目为1574.6991220377928⨯⨯=元，可得出需要支付的利息为377928200000177928-=元（2）五年后还清全部的贷款，即通过六十个月的分期付款后，一次性还清剩余贷款，则可将k=60带入公式计算后得到60173034.9A =元，即在第六年初一次性付款173034.9元就可以付清贷款。
运用数学建模思想解决实际问题
使用数学建模思想解决实际问题数学学科要求学生具有较高的数学素质、数学意识和较强的数学应用水平，而数学实际应用问题具有这种考查功能。
它具有题材贴近生活，题型功能丰富，涉及知识面广等特点，但是学生们往往很，他们在解决实际问题的水平方面有如下特点：与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。
所以，面对一大堆非形式化的材料，很多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。
即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换水平的影响，很多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问因为数学应用题中往往有很多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法准确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、纳税率、折旧率等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。
如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。
3.对数据处理缺乏适当的方法很多实际问题中涉及到的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知应把哪个数据作为思维起点，从而找不到解决问题的突破口。
4缺乏将实际问题数学化的经验数学模式的表现形式是多种多样的，有的以函数显示，有的以方程显示有的以图形显示，有的以不等式显示，有的以概率显示，当然，还有其他各种形式的模型，具体到一个实际问题来讲，判断这个实际问题与哪类数学知识相关，用什么样的数学方法解决问题，是学生深感困难的一个环节。
那么，针对学生的现状和特点，如何提升学生解决实际问题的水平？这就要用到数学建模思想了。
题意，知道讲的是什么问题；文理关：需要将“问题情景“的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生对数学知识的检索水平，认定或构建相对应的数学模型，完成由实际问题向数学问题转化。
12345模型的经典例题
12345模型的经典例题12345模型是一种常见的数学模型，其基本思想是将一个问题分成五个步骤，分别是：问题描述、建立假设、分析模型、解决问题、检验结果。
下面是一道经典的12345模型例题：某公司生产两种产品，产品A和产品B，它们的生产成本分别是每个单位120元和150元。
市场需求量为每天2000个单位。
在市场需求满足的情况下，为了获得最大的利润，应该生产多少个产品A和多少个产品B？1. 问题描述：该公司需要在市场需求满足的情况下，生产最大利润的产品A和产品B的数量。
2. 建立假设：假设产品A和产品B的售价相同，都为每个单位200元。
假设市场需求量为每天2000个单位。
3. 分析模型：设产品A和产品B分别生产a个和b个，利润可表示为：利润 = 总收入 - 总成本总收入 = 200(a+b)总成本 = 120a + 150b利润 = 80a + 50b4. 解决问题：为了获得最大利润，需要求出利润函数的极值。
可以将利润函数对a和b求偏导数，得到：利润/a = 80利润/b = 50因此，利润函数在a和b的取值都为0时取得最小值，而在其他取值时取得极值。
由于生产的产品数量必须是非负整数，利润函数的极值点只能取整数值。
可以通过求解利润函数的整数线性规划问题，得到最大利润对应的生产量。
5. 检验结果：假设生产a=800个产品A和b=1200个产品B，总收入为320000元，总成本为228000元，利润为92000元。
如果生产其他数量的产品A和产品B，利润都不会超过92000元。
因此，生产a=800个产品A和b=1200个产品B是获得最大利润的最佳方案。
深入研究小学数学运用多步运算解决实际问题
深入研究小学数学运用多步运算解决实际问题深入研究小学数学：运用多步运算解决实际问题数学作为一门基础学科，对培养学生的逻辑思维和解决问题的能力起着至关重要的作用。
而小学数学的学习尤为重要，因为它是培养学生数学兴趣和数学能力的关键阶段。
在小学数学的学习中，我们不仅要掌握基本的计算方法，还要学会运用这些方法解决实际问题。
本文将深入探讨小学数学中多步运算的应用，以解决实际问题。
一、加减乘除法的综合运用多步运算是指在一个数学问题中，需要运用加减乘除法的多个步骤来得出最终的结果。
这种运算要求学生在进行计算的同时，也要注意问题的整体思路和步骤。
下面我们通过一个例子来详细说明。
例题：小明有一些糖果，他先吃掉了其中的1/4，然后又吃掉剩下的1/2，最后剩下8个糖果。
原来小明有多少个糖果？解题过程：1.设原有糖果数为x个，根据题意，我们可以列出第一个方程式：x * (1 - 1/4) * (1 - 1/2) = 8。
2.化简方程式，得到x * 3/4 * 1/2 = 8。
3.继续化简，得到3x/8 = 8。
4.解方程，可得x = 8 * 8 / 3 = 64 / 3 = 21(1/3)。
通过以上步骤，我们得出结论：原来小明有21(1/3)个糖果。
可以看到，这个问题不仅需要进行多步运算，还需要学生能够正确地列方程，灵活运用化简等技巧。
二、运用数学模型解决实际问题在小学数学中，实际问题是数学学习的重要内容之一。
而要解决这些实际问题，我们很多时候需要建立数学模型，通过运用多步运算来求解。
下面，我们通过一个生活中的实际问题来加深理解。
例题：甲、乙两地相距120公里，甲地有一辆汽车，乙地有一辆自行车，汽车每小时行驶60公里，自行车每小时行驶20公里。
如果从甲地开始同时行驶，那么多长时间后汽车和自行车会相遇？解题过程：1.设相遇的时间为t小时，根据题意，我们可以列出方程式：60t +20t = 120。
2.化简方程，得到80t = 120。
浅谈小学数学建模的两个例题
浅谈小学数学建模的两个例题摘要：数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。
是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。
小学数学建模，主要针对于小学的数学学习，用数学的“模型思想”来指导教学，让学生从具体的事例或现实中的原型出发慢慢抽象化地建立起某种模型并加以运用，加深其对数学的理解和感受，培养创新思维能力。
本文就其中两个问题作了简单的介绍。
关键词：小学数学数学建模Abstract:Mathematical modeling is the process of using mathematical language to describe the actual phenomena. It is a mathematical way of thinking, is the use of language and mathematical methods, through abstraction, simplification can establish an approximate characterization and "solve" a powerful mathematical means of practical problems. Elementary mathematical modeling, mainly for mathematical learning in primary schools, with "ideological model" to guide the teaching of mathematics, so that students from concrete examples or prototypes reality slowly starting to build some kind of abstract model and applied, deepen their mathematical understanding and feelings, develop creative thinking skills.Keywords: Primary Mathematics Mathematical Modeling1.数学建模要弄清楚什么是数学建模，首先要明白什么是数学模型。
对于人教版小学数学“解决问题”内容的分析
对于人教版小学数学“解决问题”内容的分析1. 引言1.1 人教版小学数学教材内容简介人教版小学数学教材是按照新课程标准编写的，分为一年级至六年级共12册。
教材内容紧扣课程要求，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教材的编排合理，难易适中，注重激发学生的学习兴趣和培养他们的创新意识。
教材内容涵盖了数学的各个领域，如数与数、整数、分数、小数、四则运算、几何图形、时间、长度等，内容丰富多样，具有很强的实用性和教育性。
人教版小学数学教材注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，引导学生通过数学学习提高自己的思维能力和动手能力，培养学生的观察、分析和推理能力，激发学生对数学的兴趣，让学生在解决问题的过程中感受到数学的魅力。
教材注重启发式教学，引导学生通过实际问题来探究数学知识，培养学生的问题意识和解决问题的能力。
通过人教版小学数学教材的学习，学生不仅能掌握数学知识，还能培养自己的解决问题的能力，为将来的学习和生活打下坚实的基础。
1.2 解决问题在数学学习中的重要性解决问题能够帮助学生巩固所学的知识，加深对数学概念的理解。
通过解决实际问题，学生可以将抽象的数学概念转化成具体的问题，从而更直观地理解和应用这些概念。
解决问题还可以激发学生学习数学的兴趣和动力，使他们更加愿意投入到数学学习中去。
通过不断解决问题，学生可以逐渐提高自己的数学思维能力和解决问题的能力，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
2. 正文2.1 解决问题的基本方法1. 确定问题：首先要明确问题的需求和条件，分析问题的要求，并确定解决问题的目标。
2. 制定计划：根据问题的特点和条件，制定解决问题的具体步骤和方法。
可以采用逐步分解、试错法、建立模型等方法，选择合适的解决方案。
3. 执行计划：按照制定的计划，逐步实施解决问题的步骤，进行计算和推理，检查结果的正确性。
4. 检查结果：对解决问题的过程和结果进行全面检查和验证，确认答案的正确性和合理性。
浅析如何建立小学数学模型
浅析如何建立小学数学模型数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐步抽象、概括、形成模式、方法和理论，并广泛应用的过程，数学本身是一种数量的模型。
在新《数学课程标准》中关于数学模型是这样描述的：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
”实际上就是要求把学生学习数学知识的过程当作建立数学模型的过程,并在建模过程中培养学生的数学应用意识,引导学生自觉地用数学的方法去分析、解决生活中的问题。
数学模型是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似地刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。
算术是实际生活中数量多少增减的模型，方程是各种数量关系的模型，各种几何图形是空间实物的抽象模型，统计与可能性是随机现象的模型。
进行数学建模教学要从学生熟悉的生活和已有的经验出发，引导他们经历将实际问题初步抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而对数学和数学学习获得更加深刻的理解。
因此，如何学习构建数学模型就十分重要。
下面结合我的教学实践谈几点看法：一、根据具体的问题情境，建立适当的数学模型在数学课堂教学中，创设一个优质的情境是上好一堂课的重要前提。
问题情境的创设要与实际相结合，在学生的头脑中激活已有的学习经验，容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。
不同的数学问题可建立不同的数学模型。
例如六年级数学上册《鸡兔同笼》问题，利用“电影票问题”开展教学：问题：学校买来50张电影票，一部分是4元一张的学生票，一部分是6元一张的成人票，总票价是260元。
两种票各买了多少张？这个问题实际上是分配问题的一种：学生和成人来分配50张电影票，加一个条件，总票价是260元。
可以采用极限的方法，建立模型。
假设都是学生票，那么总票价是50×4=200（元）。
2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型十一 建立函数模型解决实际问题 (含答案)
2024贵阳中考数学二轮中考题型研究题型十一建立函数模型解决实际问题典例精讲例甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；【思维教练】根据已知得到A、B两点的坐标，设出顶点式，代入即可求解．例题图(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；【思维教练】根据题干条件得到工人到点O的距离为1m，计算出当x＝1时y的值，将该数值与工人的身高进行比较，即可判断工人的头顶是否会触碰到桥拱．(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．【思维教练】先画出函数图象，结合二次函数的增减性，找到平移的最大距离及最小距离，即可确定m的取值范围．例题图③针对演练1.2022年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15)时间x(分钟)012345人数y(人)0170320450560650时间x(分钟)67899～15人数y(人)720770800810810(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？2．为进一步缓解城市交通压力，贵阳推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数(称为存量)情况，表格中x＝1时的y值表示8：00点时的存量，x ＝2时的y值表示9：00点时的存量，…，以此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系.时段x还车数借车数存量y7：00～8：00175158：00～9：00287n……………根据所给图表信息，解决下列问题：(1)m＝________，解释m的实际意义：__________________________________________；第2题图(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；(3)已知10：00～11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．参考答案典例精讲例解：(1)由题意得，水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，结合函数图象可知，顶点B(4，4)，点O(0，0)，设二次函数的表达式为y＝a(x－4)2＋4，将O(0，0)代入函数表达式，解得a＝－1 4，∴二次函数的表达式为y＝－14(x－4)2＋4，即y＝－142＋2x(0≤x≤8)；(3分)(2)工人不会碰到头．理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，由题意得，工人距点O的距离为0.4＋12×1.2＝1，∴将x＝1代入y＝－14x2＋2x，解得y＝74 1.75；∵1.75m＞1.68m，∴此时工人不会碰到头；(7分)(3)∵抛物线y＝－14x2＋2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称，如解图①，新函数图象的对称轴也是直线x＝4，此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如解图②，∵平移不改变图形形状和大小，∴平称后函数图象的对称轴是直线x＝4＋m，∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小，∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是：①m≤8且4＋m≥9，得5≤m≤8，②8＋m≤8，得m≤0，由题意得m＞0，∴m ≤0不符合题意，舍去．综上所述，m 的取值范围是5≤m ≤8.(12分)图①图②例题解图针对演练1.解：(1)由表格中数据的变化趋势可知，①当0≤x ≤9时，y 是x 的二次函数，∵当x ＝0时，y ＝0，∴二次函数的关系式可设为y ＝ax 2＋bx ，＝a ＋b ，＝9a ＋3b ，10，＝180.∴二次函数的关系式为y ＝－10x 2＋180x ；②当9<x ≤15时，y ＝810，∴y 与x 之间的函数关系式为y 10x 2＋180x （0≤x ≤9），（9<x ≤15）；(4分)(2)设第x 分钟时的排队人数是W 人，根据题意，得W ＝y －40x 10x 2＋140x （0≤x ≤9），－40x （9<x ≤15），①当0≤x ≤9时，W ＝－10x 2＋140x ＝－10(x －7)2＋490，∴当x ＝7时，W 最大＝490；②当9＜x ≤15时，W ＝810－40x ，W 随x 的增大而减小，∴210≤W ＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得810－40x ＝0，解得x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(8分)(3)设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得12×20(m ＋2)≥810，解得m ≥118.∵m 是整数，∴m ≥118的最小整数是2，∴从一开始就应该至少增加2个检测点．(12分)2．解：(1)13，7：00时自行车的存量；【解法提示】m ＋7－5＝15，m ＝13，m 的实际意义是7：00时自行车的存量．(2)由题意得，n ＝15＋8－7＝16，设二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把(0，13)、(1，15)和(2，16)＝13，＋b ＋c ＝15，a ＋2b ＋c ＝16，＝－12，＝52，＝13，∴二次函数关系式为y ＝－122＋52x ＋13；(3)当x ＝3时，y ＝－12×32＋52×3＋13＝16，当x ＝4时，y ＝－12×42＋52×4＋13＝15，设10：00～11：00这个时段的借车数为t ，则还车数为2t －4，根据题意得，16＋2t －4－t ＝15，∴t ＝3，∴10：00～11：00这个时段的借车数为3辆．。
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构建数学模型解决实际问题“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一。
能够解决实际问题是学习数学知识、形成技能和发展能力的结果，也是对获得知识、技能和能力的检验。
构建数学模型解决实际问题基本程序如下：解题步骤如下：1、阅读、审题：要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。
2、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
3、合理求解纯数学问题4、解释并回答实际问题中学阶段主要求解下面几类应用题，本文以2004年全国各地中考试题为例供同学们学习。
一、数与式模型例1、水是生命之源,水资源的不足严重制约我市的工业发展,解决缺水的根本在于节约用水,提高工业用水的重复利用率、降低每万元工业产值的用水量都是有力举措。
据《台州日报》4月26日报导,目前,我市工业用水每天只能供应10万吨,重复利用率为45℅,先进地区为75℅,工业每万元产值平均用水25吨,而先进地区为10吨,可见我市节水空间还很大。
(1)若我市工业用水重复利用率(为方便,假设工业用水只重复利用一次)由目前的45℅增加到60℅,那么每天还可以增加多少吨工业用水？(2) 写出工业用水重复利用率由45℅增加到x ℅（45＜x ＜100）,每天所增加的工业用水y(万吨)与之间的函数关系式。
(3) 如果我市工业用水重复利用率及每万元工业产值平均用水量都达到先进地区水平,那么与现有水平比较,仅从用水的角度我市每天能增加多少万元工业产值？解：(1)100000×(1+60％)－100000×(1+45％)=100000×15％=15000(吨)答：每天还可以增加15000吨工业用水(2) y=10(x ％－45％)=0.1x －4.5（45＜x ＜100） (3)1170025)45.01(10000010)75.01(100000=+⨯-+⨯(万元)答：每天能增加11700万元工业产值。
二、方程模型例2、足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分. 请问:(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场? (2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标.请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标?解:(1)设这个球队胜x 场,则平了(8-1-x )场. 根据题意,得3x +(8-1-x )=17. 解之,得x =5.答:前8场比赛中,这个球队共胜了5场. (2)打满14场比赛最高能得17+(14-8)×3=35分.(3)由题意知,以后的6场比赛中,只要得分不低于12分即可.∴胜不少于4场,一定达到预期目标,而胜3场、平3场，正好达到预期目标. ∴在以后的比赛中这个球队至要胜3场.例3、小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏。
假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦0.5元。
⑴设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用（注：费用＝灯的售价＋电费）⑵小刚想在这两种灯中选购一盏:①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多；②试用特殊值推断:照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低；⑶小刚想在这两种灯中选购两盏假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由。
解：(1)用一盏节能灯的费用是(49+0.0045x)元，用一盏白炽灯的费用是(18+0.02x)元．(2)①由题意，得49+0.0045x=18+0.02x，解得x=2000，所以当照明时间是2000小时时，两种灯的费用一样多．②取特殊值x=1500小时，则用一盏节能灯的费用是49+0.0045×1500=55.75(元)，用一盏白炽灯的费用是18+0.02×1500=48(元)，所以当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低；取特殊值x=2500小时，则用一盏节能灯的费用是49+0.0045×2500=60.25(元)，用一盏白炽灯的费用是18+0.02×2500=68(元)，所以当照明时间超过2000小时时，选用节能灯费用低．(3)分下列三种情况讨论：①如果选用两盏节能灯，则费用是98+0.0045×3000=111.5元；②如果选用两盏白炽灯，则费用是36+0.02×3000=96元；③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由(2)可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低．费用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时时，费用最低． 例4、初三（2）班的一个综合实践活动小组去A ，B 两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学交流的情况.根据他们的对话，请你分别求出A ，B 两个超市今年“五一节” 期间的销售额.解：设去年A 超市销售额为x 万元，B 超市销售额为y 万元，由题意得()()⎩⎨⎧=+++=+,170%101%151,150y x y x解得⎩⎨⎧==.50,100y x100（1+15%）=115（万元），50（1+10%）=55（万元）.答：A ，B 两个超市今年“五一节” 期间的销售额分别为115万元，55万元.例5、某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG ”的改烧汽油为天然汽的装置，每辆车改装价格为4000元。
公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下末改装车辆每天燃料费用的203，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下末改装车辆每天燃料费用的52。
问：（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？解:（1）设公司第一次改装了y 辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x依题意得方程组：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-⨯=⨯-⋅⨯-⨯=⨯-⋅80210052801280100203801y x y y x y化简得：)2100(51)100(203y y -⨯=-⋅ 解得：⎪⎩⎪⎨⎧===20%4052y x 答:公司共改装了40辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%。
（2）设一次性改装后，m 天可以收回成本，则：100×80×40%×m ＝4000×100 解得：m ＝125（天）答：125天后就可以从节省的燃料费中收回成本。
例6、 “利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元.（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完.请你帮助商场计算一下如何购买.（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量.解：（1）设甲种型号手机要购买x 部，乙种型号手机购买y 部，丙种型号手机购买z 部，根据题意，得：…答：有两种购买方法：甲种手机购买30部，乙种手机购买10部；或甲种手机购买20部，乙种手机购买20部.（2）根据题意，得：解得： …………答：若甲种型号手机购买26部手，则乙种型号手机购买6部，丙种型号手机购买8部；若甲种型号手机购买27部手，则乙种型号手机购买7部，丙种型号手机购买6部； 若甲种型号手机购买28部手，则乙种型号手机购买8部，丙种型号手机购买4部；例7、（2004 万州）小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米，由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学。
已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少千米/时？解：设王老师的步行速度为x 千米/时，则骑自行车速度为3x 千米/时。
依题意得：315.035.033=-++x x 20分钟=31小时 解得：x=5经检验：x=5是所列方程的解 ∴3x=3×5=15答：王老师的步行速度及骑自行车速度各为5千米/时 和15千米/时例8、某校初三（2）班的师生到距离10千米的山区植树，出发1个半小时后，张锦同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点．如果张锦同学骑车的速度比队伍步行的速度的2倍还多2千米．（1）求骑车与步行的速度各是多少？（2）如果张锦同学要提前10分钟到达植树地点，那么他骑车的速度应比原速度快 多少？解：（1）设步行的速度为x 千米/时．根据题意得23221010=+-x x ． 解得 41=x ，352-=x ．经检验 41=x ，352-=x 都是原方程的解，但35-=x 不合题意，舍去．当x ＝4时，2x ＋2＝10．答：队伍步行的速度是每小时4千米，张锦骑车的速度是每小时10千米． （2）由（1）可得张锦骑车用时：12210=+x （小时）， 若提前10分钟，即用时65小时． 则骑车速度为：)/(126510时千米=，12-10＝2（千米/时）． 答：如果张锦提前10分钟到达，那么骑车速度应比原速度每小时快2千米． 三、不等式模型例9年织里某童装加工企业今年五月份工人每天平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%。
为了提高工人的劳动积极性，按时完成外贸订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革。
改革后每位工人的工资分二部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元。