2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法课时
第1章集合与常用逻辑用语（一）-2020-2021学年高一数学必修一（人教A版）
第1章集合与常用逻辑用语（一）-2020-2021学年高一数学
必修一（人教A版）
02020-2021 学年高一数学必修一
第一章《集合与常用逻辑用语》（一）
班级：姓名：
试卷满分：150 分考试时间：120 分钟
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.下列各项中，能组成集合的是
A．高一（3）班的好学生B．嘉兴市所有的老人
C．不等于0 的实数D．我国著名的数学家
2.已知a = 3 ，A ={x x 2}，则
A. a ?A
B. a ∈A
C.{a}=A
D. a ?{a}
3. 设集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={y y = 2x -1, x ∈A}，则A B 等于
A．{2, 4} C．{2, 4, 7, 9} B．{1, 3, 5} D．{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
4. 命题“ ?x > 0 ，都有x2 -x 0 ”的否定是
A．?x > 0 ，使得x2 -x B．?x > 0 ，使得x2 -x > 0
C．?x > 0 ，都有x2 -x > 0
5. 设a ∈R ，则“ a > 1 ”是“ a2 >a ”的
D．?x 0 ，都有x2 -x > 0
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.集合{x - 2, x2 - 4, 0}中的x 不能取的值的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
7.已知集合A ={x x2 -2x -3< 0}, B ={2, a}，若A B ={2}，则实数
2020-2021学年高一数学人教A版必修第一册期末复习重难点知识集锦 集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语重难点知识集锦
1.1集合的概念
一、重难点解析
1.教学重点：了解集合的含义与表示.
2.教学难点：区别元素与集合的概念，能选用怡当方法表示集合.
二、重点知识
1．元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
3．常见的数集及表示符号
4.集合的表示方法
(1)列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2)描述法,
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．一般形式为A＝{x∈I | p}，其中x 叫做代表元素，I是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征．
1.2集合间的基本关系
一、重难点解析
1.教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念，空集的概念.
2.教学难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.
二、重点知识
1. 集合与集合的关系
（1）子集：对于两个集合A ，B ，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集.
记作：A B ⊆或B A ⊇.
读作：“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.
（2）集合相等：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等.记作A = B .
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1 1集合的概念1 1 2集合的表示教案新人教A版必修第一册
第一章集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.1.2集合的表示
〖目标〗 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
〖重点〗集合的两种表示方法及其运用．
〖难点〗对描述法表示集合的理解．
知识点一列举法
〖填一填〗
把集合的所有元素出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
{ }表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．
〖答一答〗
1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？
提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．
2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？
提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．
3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？
提示：不是．
知识点二描述法
〖填一填〗
1．一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
2．具体方法
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线
，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
〖答一答〗
3．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？
提示：是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表
示大于3的所有实数，故表示同一个集合．
2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 1
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第一章 集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？
提示：①充分必要条件(充要条件)，即 p⇒q 且 q⇒p； ②充分不必要条件，即 p⇒q 且 q p. ③必要不充分条件，即 p q 且 q⇒p. ④既不充分又不必要条件，即 p q 且 q p.
知识点 充要条件 1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作___p_⇔__q__，此时p是q的充分必要条
件，简称__充__要__条__件____. 2．条件与结论的等价性：如果p是q的__充__要__条__件____，那么q也是p的
__充__要__条__件____. 3．概括：如果__p_⇔__q___，那么p与q互为__充__要__条__件____.
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第一章 集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
【对点练习】❷ 证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2 ＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边．
[解析] (1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc⇒△ABC为等边三角 形)：
因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc， 即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故 △ABC为等边三角形；
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时交集和并集学案含解析第一册
1.1。3 集合的基本运算
第1课时交集和并集
学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的
含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．
某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。
问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？
（2）问至少读过一本书的有哪些同学?
1．交集
自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
符号
语言
A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝
图形
语言
错误!错误!
（3）A B，则
A∩B＝A错误!错误!
[拓展](1)对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。
（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．
2．并集
自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元
素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读
新教材2023年高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 1
综上可得，m 的取值范围是 m≤3.
[归纳提升] (1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集 合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以 形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点 表示，不含“＝”用空心点表示．
此类问题要注意对空集的讨论．
【对点练习】❸ (1)已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3， m2}，若B⊆A，则实数m＝___1_；
(3)①因为 P 是偶数集，Q 是 4 的倍数集，所以 Q P. ②P＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}， Q＝{x|2x－5≥0}＝x|x≥52. 所以 P Q. ③P＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}．在 Q 中，当 n 为奇数时，x＝1＋2－1n ＝0，当 n 为偶数时，x＝1＋2－1n＝1，所以 Q＝{0，1}，所以 P＝Q.
m>2，
即m≤－3， m≥3，
∴m 不存在，即不存在实数 m 使 A⊆B.
(2)①当 B≠∅时，若 B A，如图所示，
m＋1≥－2，
∴2m－1<5， 2m－1≥m＋1
m＋1>－2，
或2m－1≤5， 2m－1≥m＋1，
解这两个不等式组，得 2≤m≤3.
②当 B＝∅时，满足 B A，由 m＋1>2m－1，得 m<2.
{1}∈{1，2，3}；⑦{1，2}⊆{1，2，3}；⑧{a，b}⊆{b，a}．
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第2课时补集学案含解析第一册
第2课时补集
学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表
示．（易混点）
2．理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集．(重点、难点)
3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点）1。通过补集的运算培养数学运算素养．
2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养．
某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇,王亮，李冰，张军，赵云，冯佳,薛香芹，钱忠良，何晓慧｝,其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝｛王明，曹勇，王亮，李冰，张军｝．
问题那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？
1．全集
(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那
么就称这个给定的集合为全集．
（2）记法：全集通常记作U ．
思考1:全集一定是实数集R吗？
[提示］全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
[拓展]全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R 作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选｛x|0＜x＜8｝为全集,通常也把给定的集合作为全集．
2．补集
文字语言如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A 的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集，记作∁U A
符号语言∁U A＝{x｜x∈U,且x A}
图形语言
3.补集的运算性质
条件给定全集U及其任意一个子集A
结论A∪（∁U A)＝U；A∩（∁U A）＝;∁U（∁U A)＝A
高中数学集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1第2课时集合的表示方法课件新人教B版必修第一册
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数 (含参数)的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结 果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作 用．
当堂达标·夯基础
1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2}
B．{x|x＝1，x＝2}
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(－∞，2]
(2)若[a,3a－1]为一确定区间，则 a 的取值范围为_________.
(1)B (2)12，＋∞ [(1)不等式 x－2≥0 的所有解组成的集合为 {x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．
(2)由区间的定义可知 3a－1＞a，即 a＞12.]
[答案] (1)[－1,2] (2)(1,3] (3)(2，＋∞) (4)(－∞，－2]
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3 类型4
类型 1 用列举法表示集合
【例 1】 (1)若Байду номын сангаас合 A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合 A 中元素的个数
是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)用列举法表示下列集合． ①不大于 10 的非负偶数组成的集合； ②方程 x2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合； ④方程组xx＋ －yy＝ ＝1－，1 的解集．
2023新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第2课时集合的表示课件新人教A版必修第
aa＝0或a≥41
[当 a＝0 时，方程有实数解 x＝－1，符合题意；
当 a≠0 时，由 Δ＝1－4a≤0，解得 a≥14．
故实数 a 的取值范围为aa＝0或a≥14 ．]
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．集合{x∈N|x－3<2}的另一种表示法是( )
A．{0，1，2，3，4}
B．{1，2，3，4}
(2){(x，y)|y＝x2－4}． (3){x|x≠1}．
类型 3 集合表示方法的综合应用 【例 3】 集合 A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合 A 中只有一个元 素，求实数 k 的值组成的集合．
明确集合 A 的含义，由此转化成代数问题，即方程解的个数问题．
[解] (1)当 k＝0 时，方程 kx2－8x＋16＝0 变为－8x＋16＝0， 解得 x＝2，满足题意；
3．一次函数 y＝x－3 与 y＝－2x 的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2}
B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2，1)}
D．{(1，－2)}
Biblioteka Baidu
D
[由
y＝x－3， y＝－2x，
得xy＝＝1－，2，
∴两函数图象的交点组成的
集合是{(1，－2)}．]
4．大于－2 小于 3 的整数用列举法表示为________；用描述法 表示为________．
2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法教学设计(2)新人教B版必修第一册
1.1.1集合及其表示方法
集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础．课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．
【教学目标】在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具，本节可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。
【数学抽象】了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;
【数据分析】理解元素与集合的"属于"和"不属于"关系;
【数学运算】掌握常用数集及其记法;
【逻辑推理】掌握集合的表示方法；
【教学重点】
1、掌握集合、元素的基本概念
2、学会用描述法表示集合
3、用区间表示集合
【教学难点】
1、集合中元素的三个特征
2、空集的理解
3、记住几种常见的数集符号
由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．
【新课导入】
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类?
你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.
【新课讲授】
一、集合的概念
在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。
高中数学新教材必修一第一章 《集合与常用逻辑用语》全套课件PPT
如：A={x|(x-3)(x+4)=0}, B={3, -4}
你能举出几个具有包含关系、
A(B)
相等关系的集合实例吗？试试看。
学习新知
用心体会，理解记忆
3.真子集的概念
如果集合A B，但存在元素x∈B，且xA，
我们称集合A是集合B的真子集。
记作： A ≠ B（或 B ≠A ） 例如：{1，2} ≠ {1，2，3}
(3)直角坐标系内,第二象限内的点组成的集合 ____{_(x_,_y_)_|x_<__0_,_且__y_>_0__}___;
说明:如果从上下文的关系来看,x∈R,x∈Z等是 明确的,那么x∈R,x∈Z可以省略,只写其元素x.
学说习明新知:
5、集合的常用表示方法:
(1)列举法和描述法是集合的常用表示方法,两种方 法各有优点,用什么方法表示集合,要具体问题具 体分析.
问题２:军训的时候，当教官一声口令：“高一（25） 班集合”，高一（25）班的同学们就会从四面八方聚 集到教官身边来，不是高一（25）班的同学就会自动 走开，这时教官的一声“集合”就把“一些确定的不同对象 集在一起了”，如果教官高喊：“高一（25）班的高个子 同学集合”．高一（25）班的每个同学是否知道自己该 不该过去？
要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时, 不宜采用列举法
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2 +3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要 不引起误解,集合的代表元素也可省略,
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法教学设计2新人教B版必修第一册
1.1.1集合及其表示方法
集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础．课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．
【教学目标】在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具，本节可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。
【数学抽象】了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;
【数据分析】理解元素与集合的"属于"和"不属于"关系;
【数学运算】掌握常用数集及其记法;
【逻辑推理】掌握集合的表示方法；
【教学重点】
1、掌握集合、元素的基本概念
2、学会用描述法表示集合
3、用区间表示集合
【教学难点】
1、集合中元素的三个特征
2、空集的理解
3、记住几种常见的数集符号
由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．
【新课导入】
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类?
你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.
【新课讲授】
一、集合的概念
在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 习题课件(精选配套习题,含解析)
B．1
C．2
D．3
解析：N 中最小的数为 0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2∉ N 可知②错；若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值为 0，所以③错； “小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选 A.
二、填空题 9．设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳_∉___A， 广州___∈___A(填“∈”或“∉”)．
解析：深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
10．设直线 y＝2x＋3 上的点集为 P，点(2,7)与点集 P 的关系 为(2,7)___∈__ P(填“∈”或“∉”)．
解析：直线 y＝2x＋3 上的点的横坐标 x 和纵坐标 y 满足关系： y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当 x＝2 时，y ＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.
第一章集合与常用逻辑用语
1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的表示 P18 1.2 集合间的基本关系 P35 1.3.1 并集与交集P53 1.3.2 补集 P69 1.3.3 集合基本运算的应用 P84 1.4 充分条件与必要条件 P103 1.5.1 全称量词与存在量词 P120 1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 P137
(2)不能．理由：若－5 为集合 A 中的元素，则 a－3＝－5 或 2a－1＝－5.
当 a－3＝－5 时，解得 a＝－2，此时 2a－1＝2×(－2)－1＝ －5，显然不满足集合中元素的互异性；
人教版新教材高中数学第一册1.1集合的概念
问题探究
探究1 ：元素与集合的概念
看下面几个例子，概括它们有何共同特点？ （1）1-10以内所有的偶数. （2）立德中学今年入学的全体高一学生. （3）所有的正方形； （4）到直线l距离等于定长d的所有点； （5）方程 x2 -3x+2=0的所有实数根 （6）地球上的四大洋
问题探究 探究2： 集合中元素的性质 1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？
不能. 其中的元素不确定
集合中的元 素是确定的
“帅”是一个含糊不清的概念，具有相对 性，多么“帅”才算“帅”？没有明确的标 准，也就是说，是一些不能够确定的对 象．因此，不能构成集合．
问题探究
2. 由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5 个 元素，这种说法正确吗？
中元素的共同特征，把解集表示：
{x R x 10}
{x x 10}
整数集Z可以分为奇数集和偶数集，利用奇数的特征
表示所有奇数： {x z x 2k 1, k z}
用利用偶数的特征，表示所有偶数：
{x z x 2k, k z}
实数集R中，有限小数和无限循环小数都可以表示成分数形式，
则有理数集可以表示
1.集合 {(x, y) | y = x2 + 1}与集合 {y | y = x2 + 1} 是同一集合吗？
人教版新教材高中数学第一册1.1集合的概念
1.已知集合A含有三个元素a+2,（a+1）2，a2+3a+3,
若1∈A，求实数a的值.
【解析】因为1∈A，所以 ①若a+2=1，解得a=-1，此时集合含有1，0，1 三个元素，元素重复，所以不成立，即a≠-1． ②若（a+1）2=1，解得a=0或a=-2，当a=0时， 集合A含有2，1，3三个元素，满足条件，即a=0 成立．
集合是点集集合空集无限集合有限集合集合的分类集合相等无序性互异性确定性集合的性质描述法列举法常见数集元素和集合的关系字母集合的表示集合元素集合的概念集合
新高考新教材
高中数第一册第一章集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
情景导学
情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语 解释为:许多的人或物聚在一起. 康托尔（G.Cantor,1845-1918）. 德国数学家，集合论创始人.人们把康 托尔于1873年12月7日给戴德金的信中 最早提出集合论思想的那一天定为集 合论诞生日.
当a=-2时，集合A含有0，1，1三个元素， 元素重复，所以不成立，即a≠-2． ③ 若a2+3a+3=1，解得a=-1或a=-2，由①②知 都 不成立． 所以满足条件的实数a的取值为0，即a=0．
(1).若1{a, a2}，则a ________.
(2)若{1, 2,a2-1}={1,a2－a,0}，则 a=_________. (3)若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？
新教材2023年高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 1
练一练：下列元素与集合的关系判断正确的是__①__④___(填序号)． ①0∈N；②π∈Q；③ 2∈Q；④－1∈Z；⑤ 2∉R. [解析] π， 2为无理数， 2为实数，故填①④.
关键能力 ·攻重难
题型探究
题型一
集合的基本概念
典例1 下列各组对象：
①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③
练一练：下列各组对象中不能组成集合的是
(C )
A．清华大学2022年入校的全体学生
B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员
C．中国著名的数学家
D．不等式x－1>0的实数解
[解析] “著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”
无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．
知识点 3 元素与集合的关系
关系
概念
如果a是集合A中的元素，就 属于
说a属于集合A
如果a不是集合A中的元素， 不属于
就说a不属于集合A
记法 a__∈___A
a∉A
读法 a属于 集合A a__不__属__于___ 集合A
想一想：(1)元素与集合之间有第三种关系吗？ (2)符合“∈”“∉”的左边可以是集合吗？ 提 示 ： (1) 对 于 一 个 元 素 a 与 一 个 集 合 A 而 言 ， 只 有 “a ∈ A” 与 “a∉A”这两种结果． (2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以 是集合．
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集合及其表示方法
一、复习巩固
1．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1，根据元素的互异性知其解集中有1个元素．
答案：B
2．下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( ) A ．P 是由元素1，
3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－
3|构成的集合
B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合
C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序实数对(2,3)构成的集合
D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集
解析：由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合．而B ，C ，D 中P ，
Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.
答案：A
3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a
，b .若集合A 与集
合B 相等，则b －a ＝( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析：由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a
＝－1，∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝
2.
答案：C
4．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈A
D ．a ＝A
解析：由于集合A 中只含有一个元素a ，由元素与集合的关系可知，a ∈A ，故选C. 答案：C
5．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 答案：D
6．若1－a 1＋a 是集合A 中的元素，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为________．
解析：由题意，得1－a
1＋a ＝a ，所以a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，所以a ＝－1±
2.
答案：－1±
2
7．已知集合A 中的元素x 满足2x ＋a >0，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2
8．用符号“∈”和“∉”填空：0________N *，3________Z,0________N ，3＋2________Q ，4
3
________Q . 解析：只要熟记常见数集的记法所对应的含义就很容易判断，故填∉，∉，∈，∉，∈. 答案：∉ ∉ ∈ ∉ ∈
9．若a 2＝3，则a ________R ；若a 2＝－1，则a ________R .
解析：平方等于3的数是±3，当然是实数；而平方等于－1的实数是不存在的，故填
∈，∉.
答案：∈ ∉
10．已知集合A 中含有两个元素x 2＋x －3和2x －1.若3是集合A 中的元素，试求实数
x 的值．
解析：∵3∈A ，∴x 2＋x －3＝3或2x －1＝3. 若x 2＋x －3＝3，则x 2＋x －6＝0. 即x ＝－3或x ＝2.
当x ＝－3时，2x －1＝－7，知集合A 中的两个元素是3，－7，满足题意．
当x ＝2时，由2x －1＝3，知集合A 中的两个元素是3,3，不满足集合中元素的互异性．故舍去．
若2x －1＝3，则x ＝2，x 2＋x －3＝3，不满足集合中元素的互异性．故舍去．综上可知，
x 的值为－3.
二、综合应用
11．下列结论正确的有( )
①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；③由1，32，64，|1
2|，0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指
第二和第四象限内的点集．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，不是同一个集合；③
3
2＝64，|1
2|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④集合包括坐标轴，而坐标轴不属于任何象限．
答案：A
12．设P，Q是两个非空集合，定义一种新的运算：P@Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P@Q中元素的个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：若a＝0，b＝1,2,3，则a＋b＝1,2,3；若a＝1，b＝1,2,3，则a＋b＝2,3,4；若a ＝2，b＝1,2,3，则a＋b＝3,4,5.
答案：A
13．由实数x，－x，|x|，x2，－3
x3所组成的集合里面元素最多有________个．
解析：x2＝|x|，－3
x3＝－x，故所组成的集合里面元素最多有2个．
答案：2
14．已知集合A＝{a－3,2a－1，a2＋1}，a∈R.
(1)若－3∈A，求实数a的值；
(2)当a为何值时，集合A的表示不正确？
解析：(1)由题意知，A中的任意一个元素都有等于－3的可能，故需要讨论．当a－3＝－3时，a＝0，集合A＝{－3，－1,1}，满足题意；当2a－1＝－3时，a＝－1，集合A＝{－4，－3,2}，满足题意；当a2＋1＝－3时，方程无解．综上所述，a＝0或a＝－1.
(2)若元素不互异，则集合A的表示不正确．若a－3＝2a－1，则a＝－2；若a－3＝a2＋1，则方程无解；若2a－1＝a2＋1，则方程无解．∴满足条件的a值为－2.
15．写出方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集．
解析：x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a.
若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．
16．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；