2018届高考数学二轮参数方程与极坐标专题卷(全国通用)(11)

参数方程与极坐标1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,(1x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数，t R ∈），圆C 的参数方程为cos 1,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，[)0,2θπ∈），则圆心C 到直线l 的距离为（ ）A ．0B ．2C ．2【答案】C【解析】试题分析：直线l 的普通方程为10x y -+=，圆的直角坐标方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，所以圆心C 到直线l 的距离为d == C. 考点：直线的参数方程与圆的极坐标方程. 2．⊙O 1极坐标方程为θρcos 4=，⊙O 2参数方程为θθθ(sin 22cos 2⎩⎨⎧+-==y x 为参数)，则⊙O 1与⊙O 2公共弦的长度为( )A ．2B ．12+C ．22D ．1 【答案】C【解析】因为⊙O 1的普通方程为2240x y x +-=,⊙O 2的普通方程为22(2)4x y ++=,所以两圆作差可得0x y +=,所以圆O 1到直线x+y=0所以公共弦的长度为l ==3．已知点(1,0),M -直线:1l y x =+与曲线2c o s :(sin x C y ααα=⎧⎨=⎩为参数）两点相交于21,P P ，2121)2(;)1(P P MP MP 求求【答案】（1）1.2（2【解析】试题分析：解（1）曲线C ：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x 的一般方程为：1422=+y x 直线l ：1+=x y 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22221把直线方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22221代入曲线C ：1422=+y x ，得：062252=--t t 设21,t t 是方程的两根,则21MP MP =5621=t t 6分 21)2(P P =528564)522(4)(22122121=⨯+=-+=-t t t t t t . 12分 考点：直线与圆的位置关系点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。

4．在直角坐标系xOy 中，直线l 过点()3,4M ，其倾斜角为45︒，以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的参数方程和圆C 的普通方程； （2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，求MA MB ⋅的值.【答案】（1）2240x y y +-=;（2）12129MA MB t t t t ⋅=⋅==【解析】试题分析：（Ⅰ）直线l 过点M （3，4），其倾斜角为45°，参数方程为32{ 4x y =+=+，（t 为参数）．由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出圆C 的普通方程；（Ⅱ）直线l的参数方程代入圆方程得290t ++=，利用|MA|•|MB|=|t 1|•|t 2|=|t 1t 2|即可得出． 试题解析：（1）直线l 过点()3,4M ，其倾斜角为45︒，参数方程为32{4x y =+=（t 为参数）.圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直角坐标方程为2240x y y +-=；（2）将直线的参数方程代入圆方程得：290t ++= 设,A B 对应的参数分别为12,t t，则12129t t t t +=-=， 于是12129MA MB t t t t ⋅=⋅==.5．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：24cos 30ρρθ-+=， []0,2θπ∈，曲线2C ： 34sin 6ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈.（Ⅰ）求曲线1C 的一个参数方程；（Ⅱ）若曲线1C 和曲线2C 相交于A ， B 两点，求AB 的值． 【答案】（Ⅰ）2{x cos y sin αα=+=（α为参数， R α∈）;． 【解析】试题分析：（1）先将曲线1C 的普通方程求出，然后根据圆的参数方程{x a rcos y b rsin αα=+=+即可（2）化曲线2C为直线230x --=，问题转化为求直线与圆的弦长，按弦长公式（Ⅰ）由24cos 30ρρθ-+=可得， 22430x y x +-+=，∴()2221x y -+=．令2cos x α-=， sin y α=．∴1C 的一个参数方程为2{x cos y sin αα=+=（α为参数， R α∈）．（Ⅱ）2C ： 4sincos cossin 366ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1432x y ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，即230x --=．∵直线230x --=与圆()2221x y -+=相交于A ， B 两点，∴圆心到直线的距离14d =，∴22AB ===．6．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2sin θ＝cos a θ （a ＞0），过点(2,4)P --的直线l的参数方程为2,2,x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－＋＝－4 （t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2||||||PA PB AB ⋅=，求a 的值．【答案】（Ⅰ）2(0)y ax a =>，2y x =- （Ⅱ）2． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据222cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标2(0)y ax a =>，两式相减消去参数得直线l 的普通方程为2y x =-．（Ⅱ）由直线参数方程几何意义有1212,||PA PB t t AB t t ⋅=⋅=-，因此将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程2(0)y ax a =>中，得28)4(8)0t a t a +++=,由韦达定理有12128),4(8)t t a t t a ++⋅=+．解之得：2a =或8a =- （舍去）试题解析：（Ⅰ）由2sincos (0)a a ρθθ=>得22sin cos (0)a a ρθρθ=>,∴曲线C 的直角坐标方程为2(0)y ax a =>． 直线l 的普通方程为2y x =-．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程2(0)y ax a =>中，得28)4(8)0t a t a +++=, 设A B 、两点对应的参数分别为12t t ,,则有12128),4(8)t t a t t a +=+⋅=+．∵2PA PB AB ⋅=,∴21212()t t t t -=⋅, 即21212()5t t t t +=⋅．∴22)]20(8),6160a a a a +=++-=．解之得：2a =或8a =- （舍去）,∴a 的值为2．考点：极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程几何意义7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）直线l 与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点. （1）求AB 的长； （2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为3(,)4π，求点P 到线段AB 中点M 的距离.【答案】（1）；（2）2||=PM . 【解析】试题分析：（1）把直线的参数方程代入曲线C 的方程，得12124,10t t t t +=-=-，即可求解；（2）根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为1222t t +=-，由t 的几何意义，可运算结果.试题解析：（1）直线l 的参数方程化为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（t 为参数）代入曲线C 方程得01042=-+t t 设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ，所以142||||21=-=t t AB（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-，所以点P 在直线l ，中点M 对应参数为2221-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM 考点：直线的参数方程；极坐标方程的应用. 8．求直线()11:{5x t l t y =+=-+为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与()1,5Q -的距离。

【答案】（1）t =；（2）PQ ==【解析】本试题主要考查了直线与直线的交点坐标的运用。

解：将1{5x t y =+=-+代入0x y --=得t =…………………………6分得()1P +，而()1,5Q -，得PQ ==分9．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1、圆O 2交点的直线的直角坐标方程．【答案】（1）x 2＋y 2＋4y ＝0（2）y ＝－x.【解析】以极点为原点、极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x.即圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，同理圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.(2)由22224040x y x x y y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－＝，＋＋＝，解得1100x y ⎧⎨⎩＝，＝，或者2222x y ⎧⎨⎩＝，＝－，即圆O 1、圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x.10．选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，倾斜角6πα=，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设l 与圆C 相交于,A B 两点，求点P 到,A B 两点的距离之积．【答案】（1）22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）14.【解析】试题分析：（1）由参数方程的概念可以写成l 的参数方程为126{16x tcos y tsinππ=+=+，化简为12{112x y t=+=+ (t为参数) ；在4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭两边同时乘以ρ，且ρ2＝x 2＋y 2，ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，∴22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）在l 取一点，用参数形式表示122{ 112x y t=+=+，再代入22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到t 2＋12t －14＝0，|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14. 试题解析：(1)直线l 的参数方程为126{16x tcos y tsin ππ=+=+,即12{ 112x y t==+ (t 为参数)由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，∴22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)把122{112x y t=+=+代入22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 得t 2＋12t －14＝0，|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14. 考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化.11．以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为1{2x tcos y tsin θθ=+=，（ t 为参数， 0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin2cos 0ραα-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ， B 两点，当θ变化时，求AB 的最小值. 【答案】（1）22y x =（2）2【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标互化公式，根据{x cos y sin ρθρθ==可得22sin 2cos ραρα=，所以曲线C 的直角坐标方程为22y x = ；（2）本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，即将直线参数方程的标准形式1{2x tcos y tsin θθ=+=，代入到曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，列出12t t +， 12t t ⋅，12AB t t =-=AB 的最小值.试题解析：（I ）由2sin 2cos 0ραα-=由，得22sin 2cos .ραρα= 曲线 C 的直角坐标方程为（II ）将直线l 的参数方程代入，得22sin 2cos 10.t t θθ--=设,A B 两点对应的参数分别为12,t t 则1222cos sin t t θθ+=， 1221sin t t θ⋅=-，12AB t t =-==22.sin θ= 当2πθ=时， AB 的最小值为2.考点：1.极坐标方程；2.参数方程.12．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线162cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(02)P ，且斜率为k 的直线与曲线1C 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(6,0)Q ，是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）304⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（Ⅱ）没有符合题意的常数k ，理由详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先将曲线1C 的方程化为普通方程22(6)4x y -+=，设过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+，然后联立圆方程与直线方程，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，由已知此方程的判别式大于零，从而得到关于k 的不等式，解此不等式即得k 的取值范围；（Ⅱ）假设存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ共线，设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，由（Ⅰ）及韦达定理，可用k 的代数式表示出向量OA OB + ，再写出向量PQ的坐标，然后由向量共线的坐标条件得到关于字母k 的方程，解之求得k 的值，最后看此k 的值是否符合题目的条件，符合则存在，不符合则不存在．试题解析：（Ⅰ）曲线1C 的方程可写成22(6)4x y -+= 过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+ 代入曲线1C 的方程得22(2)12320x kx x ++-+=整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+= ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭， （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，由方程①，1224(3)1k x x k -+=-+ ②又1212()4y y k x x +=++ ③而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，所以OA OB + 与PQ共线等价于12122()6()x x y y -+=+将②③代入上式，解得34k =-由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k 考点：1．参数方程与普通方程的互化；2．直线与圆的位置关系；3．向量平行．13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ中，直线4πθ=（R ρ∈）被圆θρsin 2=截得的弦的长是 ．【解析】试题分析：直线方程化为y x =，圆方程化为：222x y y +=，即22(1)1x y +-=，圆心坐标为（0,1），半径r ＝1，圆心到直线的距离为：2d ==，所以，截得的弦长为：=. 考点：1、极坐标方程化为普通方程；2、点到直线的距离；3、直线被圆所截弦长的求法；4、数形结合的数学思想方法.14．（坐标系与参数方程）已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为1cos =θρ，)20,0(cos 4πθρθρ<≤≥=则曲线1C 与2C 交点的极坐标．．．为 ．【答案】)3,2(π 【解析】试题分析：∵cos 14cos ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴24c o s1θ=，∴21c o s 4θ=，由02πθ≤<，∴1co s 2θ=，∴3πθ=，代入cos 1ρθ=中，得2ρ=，∴曲线1C 与2C 交点的极坐标．．．为)3,2(π考点：极坐标方程.15．在直角坐标系中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立坐标系，则圆C 的极坐标方程为________【答案】ρ＝4sin θ 【解析】略。