数学建模：高考志愿选取的层次分析

高考志愿选取的层次分析一.引言大学是广大中学生心目中神圣的知识殿堂，对于每个拥有“大学梦”的中学毕业生来说，填报高考志愿是他们通向高等学府关键的一步。

在填报高考志愿时，学生和家长往往要考虑各种因素来权衡利弊以做出最优决策，但面对错综复杂的情况在紧迫的时间里又很难做出正确的选择，而如果他们填报志愿不得当，又势必会对今后的发展有所影响，甚至于终生遗憾。

因此在这里，我将综合学生在报考时最关心的几个因素，帮助他们进行定量分析，以便更合理地填报高考志愿。

二.问题的分析对于填报高考志愿这一事件，要想做出最优决策，需要考虑的因素很多，而在这些因素中有些可以定量化，有些只有定性关系。

为将半定性、半定量问题转化为定量问题，可以采用层次分析法。

这种方法可以将各种有关因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为决策提供可比较的定量依据，所以针对填报高考志愿这一事件，我们将采取层次分析法。

首先，我们确定目标为：填报高考志愿（A），这里考虑的主要因素有：学校声誉（B1）、教学水平（B2）、学校环境（B3）、兴趣爱好（B4）、报考风险（B5）、毕业后出路（B6）、地理位置（B7），同时在教学水平（B2）中我们还要同时考虑教师水平（C1）、学生水平（C2）、教学设备（C3）这三个子因素。

最后我们将从学生提出的八个志愿中，选择出最佳的四个。

为了形象地表示出它们的关系，我们列出了它们之间的关系，如图三. 建立模型（一）构造成对比较阵面临的决策问题是：要比较n 个因素x 1，x 2…，x n ，对目标A 的影响，我们要确定它们在A 中所占的比重，即这n 个因素对目标A 的相对重要性。

我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。

设有因素x 1，x 2…，x n 每次取两个因素x i x j ，用正数a ij 表示x i 与x j 的重要性之比。

由全部比较结果得到矩阵A=（a ij ），称作成对比较阵A 。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nm n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,212,2221112,11 显然有n j i a a a ij ijij ≤≤>=,1,0,1。

然后求出成对比较矩阵A 的最大特征值及其对应的特征向量Y=(y 1,y 2,…,y n )T， 定义标准化向量Tn i i n n i i n i i Y Y Y Y Y Y Y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑===11211,,,' 。

用标准化向量Y ′来反应 {}n x x x x ,,,21 = 这n 个因素对目标A 的相对重要性，Y ′为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值。

（二）权向量对于已知的成对比较阵A 来说，有A •Y=Y ⋅max λ。

由矩阵运算法则可知：当n 较大时，精确地计算成对比较A=（a ij ）的最大特征值m ax λ和特征向量比较麻烦，而又由于A 中的元素a ij 是重要性的比值，而重要性是人们根据目标推测出来的，精确度并不高，所以没有必要十分精确地计算出m ax λ和特征向量。

因此，可以采用下述方法来近似计算m ax λ和相应的特征向量。

对成对比较阵A=（a ij ），令),,,2,1(111n k aaU ni n j ijnj kjk ==∑∑∑=== （*）称U=（U 1，U 2，…，U n ）T为X={x 1，x 2，…，x n }的权向量，它反映n 个因素对目标A 的相对重要性。

经验证，U 与Y ′误差很小，所以一般都用U 代替Y ′。

对于公式（*）， 对于一致性矩阵，,iiij y x a =即满足a ij •a jk =a ik U k 可以简化为,1111∑∑∑∑======ni iknj jni inj jk k xx xx x x U则),,2,1(,,,11211n i x x x x x x U Tn i i n n i i n i i =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑===.X i 代表第i 项因素的重要性指标。

四. 实际计算下面将调查两名学生（A 1，A 2），根据他们所提供的情况，建立一致性矩阵，帮助他们填报志愿。

设七种因素学校声誉、教学水平、学校环境、兴趣爱好、报考风险、毕业后出路、地理位置分别为B 1，B 2，…，B 7。

在七种因素教学水平中设有三个子因素教师水平C 1、学生水平C 2、教学设备C 3。

学生所要报考的八个志愿分别为K 1，K 2，…，K 8。

同时，设重要性指标为1～10，其中10为最重要的，1为最不重要的。

（一）考查学生A1（目标A1）(1)考虑B={B 1，B 2，…，B 7}这七个因素对目标A 1的相对重要性。

U （x ）=（0.189,0.170,0.094,0.132,0.189,0.189,0.037）。

(2)考虑C={C 1，C 2，C 3}这三个因素对目标A 1的相对重要性。

U （y ）=(0.348,0.391,0.261)T。

经调查学生A 1所要选报的八个志愿为：北大国际金融、北大临床医学、北大生化、清华建筑、南开机电、北京体院、复旦物理、清华数学，分别设这八个志愿为K 1，K 2，…K 8。

(3)考虑对于因素C 1，C 2，…C 3，比较K 1，K 2，…K 8的相对差异。

Wc 1（K ）=（0.127,.0.127,0.127,0.127,0.127,0.111,0.127,0.127）,Wc 2(K)=(0.137,0.137,0.137,0.137,0.123,0.082.,0.110,0.137)T,Wc 3(K)=(0.122,0.122,0.134,0.134,0.122,0.122,0.122,0.122)T。

(4)考虑对于因素B 1，B 3，B 4，…，B 7，比较K 1，K 2，…K 8的相对差异。

W B1(K)=(0.137,0.123,0.137,0.137,0.123,0.083,0.123,0.137),W B3(K)=(0.128,0.128,0.128,0.128,0.128,0.116,0.116,0.128)T,W B4(K)=(0.192,0.173,0.135,0.096,0.077,0.135,0.135,0.057)T,W B5(K)=(0.022,0.044,0.022,0.156,0.178,0.222,0.222,0.134)T,W B6(K)=(0.152,0.152,0.152,0.152,0.106,0.074,0.106,0.106)T,W B7(K)=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.116,0.130,0.104,0.130)T最后再计算学生A 1所选报的八个志愿的得分： W A1(K 1)=U(x 1)•W B1(K 1)+=⋅⋅+⋅∑∑==733121)()()()()(j i i Ci i Bj jK W y U x U K W xU 0.189×0.137+0.094×0.128+0.132×0.192+0.189×0.022+0.189×0.152+0.037×0.130+0.170×(0.348×0.127+0.391×0.137+0.261×0.122)=0.123 12.W A1(K 2)=0.122 13，W A1(K 3)=0.116 18，W A1(K 4)=0.136 36， W A1(K 5)=0.124 67，W A1(K 6)=0.122 99，WA1(K 7)=0.138 06， W A1(K 8)=0.117 72很显然，得分排在前四位的志愿为K 7，K 4，K 5，K 1，也就是说复旦物理、清华建筑、南开机电、北大国际金融这四个志愿最适合A1报考。

（二 ）考查学生A2（目标A2）（1）考虑B={B 1，B 2，…，B 7}这七个因素对目标A 2的相对重要性。

U （x ）=（0.204,0.163,0.082,0.163,0.204,0.143,0.041）。

（2）考虑C={C 1，232U （y ）=（经调查，学生A 2所要选报的八个志愿为：清华金融、清华精密仪器、北大计算机、北大物理、北大环境、厦门数学、厦门法学、北航计算机，分别设这八个志愿为K 1，K 2，…，K 8。

（3）考虑对于因素C 1，C 2，C 3，比较K 1，K 2，…，K 8的相对差异。

Wc 1(K)= (0.127,0.1270.127,0.127,0.127,0.127,0.127,0.111),Wc 2(K)= (0.132,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.104)T,Wc3(K)= (0.118,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.118)T。

（4）考虑对于因素B 1，B 3，B 4，…，B 7，比较K 1，K 2，…K 8的相对差异。

W B1(K)=(0.132,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.104),W B3(K)=(0.127,0.1270.127,0.127,0.127,0.127,0.127,0.111)T,W B4(K)=(0.164,0.115,0.131,0.115,0.082,0.131,0.131,0.131,)T,W B5(K)=(0.024,0.049,0.171,0.024,0.098,0.244,0.244.0.146)T,W B6(K)=(0.137,0.123,0.137,0.096,0.137,0.096,0.137,0.137)T,W B7(K)=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.130,0.123,0.123,0.123)T。

最后再计算学生A 2所选报的八个志愿的得分：W A2(K 1)=U(x 1)•W B1(K 1)+=⋅⋅+⋅∑∑==733121)()()()()(j i i Ci i Bj jK W y U x U K W xU 0.204×0.132+0.082×0.127+0.163×0.164+0.204×0.024+0.143×0.137+0.041×0.13+0.163×（0.28×0.127+0.4×0.132+0.32×0.118）=0.114 45W A2(K 2)=0.110 29，W A2(K 3)=0.139 79，W A2(K 4)=0.101 33， W A2(K 5)=0.116 91，W A2(K 6)=0.144 03，W A2(K 7)=0.149 89， W A2(K 8)=0.125 15很显然，得分拓在前四位的志愿是K 7，K 6，K 3，K 8，也就是厦门法学、厦门数学、北大计算机、北航计算机这四个志愿最适合A 2报考。