偏导数与全微分

若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数 则此偏 内每一点都有偏导数, 在 内每一点都有偏导数 则此偏 注 (1) 若二元函数 的函数--------偏导函数 偏导函数. 导数也是 x, y 的函数 偏导函数
f x , f y , z x , z y , ......
∂z ∂f ∂z ∂f , , , , ...... ∂x ∂x ∂y ∂y
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yx = f yx ; ∂ y ∂x ∂x ∂ y
混合偏导数
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yy = f yy . 2 ∂y ∂y ∂y
定理 若 z = f (x, y) 的二阶混合偏导数 f x y , f y x 在 (x,y) 连续 连续, 则 f xy = f yx . 适用于三阶以上 2 2 ∂ z ∂ z y , . z = arctan , 例5 求 ∂y∂x ∂x∂y x y −y ∂z 1 = ⋅ (− 2 ) = 2 , 2 y 2 x x +y ∂x 1 + ( ) x 1 1 ∂z x = y 2 ⋅ x = x2 + y2 , ∂y 1+(x)
∂2z = 6 xy 2 ∂x 2
∂2z = 2 x 3 − 18 xy ∂y 2
∂2z ∂2z 2 2 = 6 x y − 9 y − 1= ∂y∂x ∂x∂y
∂3z = 6 y2 ∂x 3
§2
偏导数与全微分
一、 偏导数 1.偏导数的定义 1.偏导数的定义 的某邻域内有定义, 设 z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义, 当 y 固定在 y0 时, , ) 得一元函数 f ( x , y0 ), 称 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆ x→0 ∆x 的偏导数, 为z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为 fx ( x0 , y0 ), 或 ∂ f ( x 0 , y 0 ) , , ) ∂x 或 ∂ z ( x 0 , y0 ) , ∂x f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂z 即 f x ( x 0 , y0 ) = x ( x 0 , y0 )= ∂ f ( x 0 , y 0 ) = lim ; ∂ ∂x ∆x→0 ∆x 类似的, 的偏导数为 类似的, z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为 , ) f ( x0 , y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) ∂f ∂z f y ( x 0 , y0 ) = . = lim ( x0 , y0 ) = ( x 0 , y0 ) ∆ y→0 ∂y ∂y ∆y
∂2z ∂2z y2 − x2 = . = 2 2 2 ∂x∂y ∂y∂x ( x + y )
3 2 3 例6 z = x y − 3 xy − xy + 1 , ∂2z ∂2z ∂2z ∂2z ∂3z 求 , , , , . 2 2 3 ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂x
解
∂z ∂z = 3 x2 y2 − 3 y3 − y, = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x ∂x ∂y
例1 例2
∂u = z xy (ln z ) y , ∂x
的偏导数. 求 u = z xy 的偏导数
∂u = z xy (ln z ) x , ∂y
∂u = xyz xy −1 . ∂z

xy , x2 + y2 ≠ 0 例3 f ( x , y ) = x 2 + y 2 求 f x (0, 0), f y (0, 0). 0, x2 + y2 = 0 分段点处偏导 f (0 + ∆ x , 0) − f (0, 0) f x (0, 0) = lim = 0; 数要用定义求 ∆ x →0 ∆x f (0, 0 + ∆ y ) − f (0, 0) = 0. f y (0, 0) = lim ∆ y→0 ∆y
f x ( x0 , y0 ) 表示曲面 表示曲面z=f(x,y)与平面 y = y0 的交线 在点 的交线L在点 与平面 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M T 对x 轴的斜率 tan α
0 x
表示曲面 与平面 的交线 在点 f y ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 x = x0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 处的切线 M 0Ty 对y 轴的斜率 tan β
三、 高阶偏导数 的函数. 二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f x , f y 仍为 x, y 的函数 二阶偏导数. 它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数
∂ ∂z ∂2z ( )= = z xx = f xx ; 类似的定义三阶以上偏导数 2 ∂x ∂x ∂x
∂ ∂z ∂2z ( )= = z xy = f xy ; ∂x∂y ∂y ∂x
(3) 由偏导数定义 一元函数的求导法则可用于求偏导数. 由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数 一元函数的求导法则可用于求偏导数 例如: 视为常数, 的导数. 例如 求 fx 时, 只要将 y 视为常数 求 f (x, y) 关于 x 的导数
f ( x , y ) = x + y − x 2 + y 2 , 求 f x (0,1), f y (0, 2). x y fx = 1 − , fy = 1− , ∴ f x (0,1) = 1, f y (0, 2) = 0. 2 2 2 2 x +y x +y
例4
x →0 y →0
f ( x , y ) =| x | + | y | 在(0,0)点是否连续 是否有偏导数? 点是否连续?是否有偏导数 点是否连续 是否有偏导数
lim f ( x , y ) = 0 = f (0, 0),
故在(0,0)点连续 点连续. 故在 点连续
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在 点偏导数不存在. 由定义易知在 点偏导数不存在 注意 对于一元函数 可导必连续 而对于多元函数 从以上 对于一元函数,可导必连续 而对于多元函数,从以上 可导必连续.而对于多元函数 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系 二. 偏导数的几何意义
(2) 二元函数偏导数定义可以推广到更多元 二元函数偏导数定义可以推广到更多元. 例如: 例如 u = f ( x, y, z ),
f ( x 0 + ∆ x , y0 , z 0 ) − f ( x 0 , y0 , z 0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) = lim ∆ x →0 ∆x