国际奥林匹克数学竞赛试题教育

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wmo世界奥林匹克数学竞赛试题四年级

wmo世界奥林匹克数学竞赛试题四年级WMO世界奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

以下是一些适合四年级学生的数学竞赛题目：1. 加法与减法：- 题目：小明有35个苹果，他给了小红15个，然后又从小红那里拿回了5个，请问小明现在有多少个苹果？- 解答：小明开始有35个苹果，减去给小红的15个，剩下20个。

再拿回5个，所以小明现在有20 + 5 = 25个苹果。

2. 乘法与除法：- 题目：一个班级有40名学生，老师要将他们分成若干个小组，每组有相同数量的学生。

如果每组有5名学生，那么可以分成多少个小组？- 解答：40名学生除以每组5名学生，可以分成40 ÷ 5 = 8个小组。

3. 几何问题：- 题目：一个正方形的边长是10厘米，求这个正方形的周长和面积。

- 解答：正方形的周长是边长乘以4，所以周长是10 × 4 = 40厘米。

面积是边长的平方，所以面积是10 × 10 = 100平方厘米。

4. 逻辑推理：- 题目：有5个盒子，编号为1到5。

每个盒子里都装有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个，和5个。

现在知道盒子1和盒子2里球的总数是4个，盒子3和盒子4里球的总数是7个。

请问盒子5里有多少个球？- 解答：盒子1和2的球总数是4个，盒子3和4的球总数是7个。

因为总共有15个球（1+2+3+4+5），所以盒子5里的球数是15 - 4 -7 = 4个。

5. 数列问题：- 题目：一个数列的前5项是2, 4, 8, 16, 32。

请问这个数列的第6项是什么？- 解答：这个数列是2的幂次方数列，每一项都是前一项的2倍。

所以第6项是32 × 2 = 64。

6. 时间与日期：- 题目：小明的生日是2月29日，他每4年才过一次生日。

如果他今年12岁，请问小明出生在哪一年？- 解答：小明每4年过一次生日，所以他的生日是在闰年。

奥林匹克数学竞赛试题及答案

奥林匹克数学竞赛试题及答案奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发中学生对数学的兴趣和热爱。

以下是一份奥林匹克数学竞赛的模拟试题及答案，供参考：奥林匹克数学竞赛模拟试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或12. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. -3D. 1/33. 将一个圆分成三个扇形，每个扇形的圆心角都是120°，那么这三个扇形的面积之和等于：A. 圆的面积B. 圆面积的1/3C. 圆面积的2/3D. 圆面积的1/24. 如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

这个数列的第10项是：A. 144B. 145C. 146D. 147二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的立方根等于它本身，这个数可以是______。

7. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么它的斜边长是______。

8. 一个圆的半径为5，那么它的周长是______。

9. 一个等差数列的前5项之和为50，如果这个数列的公差为3，那么它的首项是______。

10. 如果一个多项式f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a, b, c, d是整数，且f(1) = 5，f(-1) = -1，那么a - d的值是______。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 证明：对于任意的正整数n，1^3 + 1^2 + 1 + ... + 1/n^3总是大于1/n。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 一个圆的直径为10，求圆内接正六边形的边长。

14. 给定一个等比数列的前三项分别为2, 6, 18，求这个数列的第20项。

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第47届）及答案

1．△ABC的内心为I，三角形内一点P满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证，AP ≥AI，而且等号当且仅当P=I时成立．证：∠PBC+∠PCB= 12(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而P，B，C，I四点共圆．但由内外角平分线相垂直知B，C，I与BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT是这个圆的直径，IT的中点O为圆心．由于A，I，T共线(∠BAC的平分线)，且P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO，PO=IO，故AP≥AI．等号当且仅当P为线段AO与圆周的交点即P=I时成立．2．正2006 边形P 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P 的边界分成的两部分各含P的奇数条边．P的边也是好的．设P被不在P的内部相交的2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P 的边数记作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．考虑任一好三角形ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的P 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，由于剖分图中的三角形互不交叉，而而A-B 段上P 的边数为奇数，故A-B 段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于20062=1003 个．设P=A1A2…A2006，用对角线A1A2k+1(1≤k≤1002)及A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．3．求最小实数M ，使得对一切实数 a ，b ，c 都成立不等式2222222222|()()()|()ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-++≤解：222222()()()ab a b bc b c ca c a -+-+-()()()()a b b c c a a b c =----++．设a b x b c y c a z a b c s -=-=-=++=，，，，则22222221()3a b c x y z s ++=+++．原不等式成为22222()9||(0)M x y z s xyzs x y z +++++=≥．x y z ，，中两个同号而与另一个反号．不妨设 x y ，≥0．则2221||()2z x y x y x y =+++，≥，2()4x y xy +≥．于是由算术－几何平均不等式 222222223()(())2x y z s x y s +++++≥＝22222111(()()())222x y x y x y s ++++++6223414())42()||162||8x y s x y s xyzs +=+≥(≥ 即9232M =时原不等式成立．等号在21s x y ===，，2z =-，即::(23):2:(23)a b c =+-时达到，故所求的最小的9232M =． 4．求所有的整数对（x y ，），使得212122x x y +++=．解：对于每组解（x y ，），显然0x ≥，且()x y -，也是解．0x =时给出两组解(02)±，．设x y ，>0，原式化为12(21)(1)(1)x x y y ++=+-．1y +与1y -同为偶数且只有一个被4整除．故3x ≥，且可令12x y m e -=+g ，其中m 为正的奇数，1e =±．代入化简得2212(8)x m m e --=-．若1e =，2801m m -=≤，．不满足上式．故必1e =-，此时22212(8)2(8)x m m m -+=--≥，解得3m ≤．但1m =不符合，只有3m =，4x =，23y =．因此共有4组整数解(02)(423)±±，，，．5．设()P x 为n 次(n >1)整系数多项式，k 是一个正整数．考虑多项式()(((())))Q x P P P x =L L ，其中 P 出现k 次．证明，最多存在 n 个整数t ，使得()Q t t =．证：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立．设有整数0x 使得00()Q x x =，00()P x x ¹．作递推数列1()(012)i i x P x i +==L ，，．它以 k 为周期．差分数列1(12)i i i xxi -D =-=L ，，的每一项整除后一项．由周期性及10D ¹，所有||i D 为同一个正整数u ．令121111min{}m k m m m m m m x x x x u x x x x x x -++-==-=-=L ，，，，，．数列的周期为 2．即0x 是 P 的2-周期点．设 a 是P 的另一个2-周期点，() b P a =(允许b =a )．则0a x -与1b x -互相整除，故01||||a x b x -=-，同理01||||b x a x -=-．展开绝对值号，若二者同取正号，推出01x x =，矛盾．故必有一个取负号而得到01a b x x +=+．记01x x C +=，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程 ()P x x C +=的根．由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次．故得本题结论．6．对于凸多边形P 的每一边b ，以b 为一边在P 内作一个面积最大的三角形．证明，所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍．证：过P 的每个顶点有唯一的直线平分P 的面积，将该直线与P 的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)．每两条面积平分线都交于 P 内．P 可看成一个 2n 边形122-12n n A A A A L ，每条对角线i i n A A +是P 的面积平分线(i =1，2，…，n ，2i n i AA+=)．设i i n A A +与11i i n A A+++交于 i O (i n i OO+=)，由面积关系得到，11()()i i i i i n i n S O A A S O A A ++++=△△，11i i i i i i n i i n O A O A O A O A ++++=g g ，故i i n i i O A O A +和11i i n i i O A O A +++ 中必有一个不小于 1，于是以 1i i A A +为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积 11111()max{()()}2()i i i n i i i n i i i i i S A A S A A A S A A A S O A A +++++++≥△，△≥△．对于每条有向线段i i n A A +uuuuuu r ，P 内部的每一点T 或在它的左侧或在它的右侧．由于T 在11n A A +uuuuuu r 和12111n n n A A A A +++=uuuuuuuuu r uuuuuu r 的相反侧，故必有i 使得T 在i i n A A +uuuuuu r 和11i i n A A +++uuuuuuuuu r 的相反侧，从而Ｔ在1i i i O A A +△或1i i n i n O A A +++△中．即211n i i i i O A A P +=ÊU △．于是 221111()2()2()nn i i i i i i i S A A S O A A S P ++==åå≥△≥ P 中同一边上的各个1()i i S A A +之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．。

国际奥林匹克数学竞赛试题

国际奥林匹克数学竞赛试题1. 在一般直三角柱(OABC-A'B'C')中，AO=1，OB=2，OC=3，AA'=BC'=0.7，BB'=CC'=0.8，请计算AA'与OC的夹角的度数。

解答：设点E为OC的中点，连接AE和OE。

由于AA'与OC是垂直的，因此需要找到与直三角柱(OABC-A'B'C')相关的性质，才能进一步解答这道题目。

观察直三角柱(OABC-A'B'C')，我们可以发现以下几个性质：性质一：AOB是一个直角三角形。

证明：由于直三角柱的底面是一个直角三角形，所以AOB也是一个直角三角形。

性质二：底面直角三角形AOB的直角边AB平行于A'B'。

证明：考虑平行四边形ABCA'，其中AA'和BC平行，且AA'=BC'。

根据平行四边形的性质，我们可以得出AB平行于A'B'。

利用性质一和性质二，我们可以将底面直角三角形AOB和直三角柱(OABC-A'B'C')的侧面COC'投影到平面上，形成一个二维平面图形。

在这个二维平面图形中，我们可以利用三角函数的概念来解答问题。

首先，由于AOB是直角三角形，我们可以利用三角函数计算角AOB的度数。

根据三角函数的定义：sin(AOB) = 对边AB / 斜边OB由于AB=1，OB=2，代入上式计算得到 sin(AOB) = 1/2，因此角AOB的度数为30°。

接下来，我们需要找到与直三角柱(OABC-A'B'C')相关的三角形。

观察直三角柱(OABC-A'B'C')的侧面COC'，我们可以发现三角形OCC'与直角三角形AOB相似。

利用相似三角形的性质，我们可以得出以下比例关系：OC' / OA' = OC / OB由于OC=3，OA'=0.7，OB=2，代入上式计算得到 OC' = 4.2。

2017奥林匹克数学竞赛试题及答案

绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

三年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、填空题。

（每题5分，共计50分）1、仔细观察，想一想接着该怎么画。

2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟，5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。

3、国庆阅兵中，15辆坦克排成一队，从前往后数，战士小李驾驶的坦克是第6辆，那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。

4、车站里的汽车每隔15分钟一班，小青想搭8:45的一班车去图书馆，但是她到达车站的时间已经是8:47，那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。

5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量，1只松鼠的重量是3只小鸡的重量，1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。

6、东村到西村有3条路，西村到南庄有4条路。

那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。

7、学校招收了一批新生。

若编成每班55人的班级，还要招收30人。

若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。

这次共招收了名新生。

8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤，让小军动手切8块，小军最少要切刀。

9、王奶奶有两篮桃子，从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里，两个篮子里桃子就一样多，已知第二个篮子里原来有8个桃子，第一个篮子里原来有______个桃子。

10、下图中有个三角形。

二、计算题。

（每题6分，共计12分）11、2015＋201＋20－15＋512、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1三、解答题。

（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半，已知头长3米，这条大鲨鱼全长有多少米？14、超市新进6箱足球，连续4天，每天卖出8个。

2023年世界少年奥林匹克数学竞赛中国区选拔赛年级试题

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（10月）选手须知：本卷共120分，第1-8题，每题6分，第9-10题，每题8分，第11-13题，每题10分，第14题12分，第15题14分。

比赛期间，不得使用计算工具。

比赛完毕时，试卷及草稿纸会被收回。

本卷中所有附图不一定依比例绘成。

若计算成果是分数，请化至最简，并保证为真分数或带分数，或将计算成果写成小数。

六年级试题（A卷）（本试卷满分120分，比赛时间90分钟）一、填空题（每题6分，共48分）1、如图所示，图形有___________条对称轴。

2、国庆节，小明旳妈妈带他去旅游，妈妈给他带了蓝、红2件毛衣和黑白灰3条裤子，目前他要任意拿出一件毛衣和一条裤子配成一套，恰好是蓝毛衣和白裤子旳也许性是________。

3、一种长方体，不一样旳三个面分别是35平方厘米、21平方厘米、15平方厘米，且长、宽、高都是质数。

这个长方体旳体积是_____________立方厘米。

4、马和骡并排走着，背上都驮着包裹，马埋怨说它驮得太多了。

骡子回答说：“你埋怨什么呢？假如我从你背上拿过一包来，我旳承担就是你旳两倍。

假如你从我背上拿一包过去，你驮得也不过和我同样多。

”骡子驮了__________个包裹。

5、如图，一种直角梯形旳上底延长5厘米，就成了一种长方形，面积增长了10平方厘米。

假如本来梯形旳下底长9厘米，那么本来梯形旳面积是__________平方厘米。

6、哈尔滨冰雪大世界每年用旳冰大概能融化成6万立方米旳水，它相称于_______个长50米，宽20米，高1.2米旳游泳池旳储水量。

7、小英从上个星期五开始观测一株风信子，当时有些花已经开了。

从这天开始，每天新开旳花朵数刚好等于这天此前已开旳花朵总数，在这个过程中没有花凋落。

假如风信子旳花朵全开旳那一天是星期四，请问花刚好开完二分之一旳那一天是星期__________。

8、用红笔在一根木头上做了三次记号：第一次把木头提成12等分，第二次把木头提成15等分，第三次把木头提成20等分。

国际数学奥林匹克竞赛试题及解答

国际数学奥林匹克竞赛试题及解答国际数学奥林匹克竞赛是世界范围内最具影响力和声誉的数学竞赛之一。

每年，来自各个国家的数学高手们聚集在一起，参与这项激烈而充满挑战的竞赛。

本文将介绍一些历年的国际数学奥林匹克竞赛试题，并提供相应的解答。

试题一：证明：当n为正整数时，4^n + n^4不是素数。

解答一：我们可以通过反证法来证明这个命题。

假设4^n + n^4是一个素数，即不存在其他因子能够整除它。

考虑到任何正整数n都可以写成2k或2k+1的形式，其中k是整数。

当n为偶数时，可以将n表示为2k的形式。

那么我们有：4^n + n^4 = (2^2)^n + (2k)^4 = 2^(2n) + (2k)^4我们可以看出，2^(2n)是一个完全平方数，而(2k)^4也是一个完全平方数。

根据完全平方数的性质，它们的和2^(2n) + (2k)^4也是一个完全平方数。

因此，当n为偶数时，4^n + n^4不可能是素数。

当n为奇数时，可以将n表示为2k+1的形式。

那么我们有：4^n + n^4 = (2^2)^n + (2k+1)^4 = 2^(2n) + (2k+1)^4同样地，我们可以看出，2^(2n)是一个完全平方数，而(2k+1)^4也是一个完全平方数。

根据完全平方数的性质，它们的和2^(2n) + (2k+1)^4也是一个完全平方数。

因此，当n为奇数时，4^n + n^4同样不可能是素数。

综上所述，我们可以得出结论：当n为正整数时，4^n + n^4不是素数。

试题二：证明：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 1不是完全平方数。

解答二：我们同样可以使用反证法来证明这个命题。

假设n^2 + 3n + 1是一个完全平方数，即存在另一个正整数m，使得m^2 = n^2 + 3n + 1。

根据完全平方数的性质，m^2必然是一个奇数，因为奇数的平方也是奇数。

我们可以将n^2 + 3n + 1拆分为两部分，即(n^2 + 2n + 1) + n。

wmo世界奥林匹克数学竞赛试题八年级

wmo世界奥林匹克数学竞赛试题八年级WMO世界奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

以下是一套模拟的WMO世界奥林匹克数学竞赛试题，适用于八年级学生：一、选择题（每题3分，共15分）1. 若\( a \)和\( b \)互为相反数，\( c \)和\( d \)互为倒数，且\( a \)和\( b \)的绝对值相等，求下列表达式的值：\[ \frac{1}{2}ab + cd \]A. 0B. 1C. -1D. 无法确定2. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. -16C. 正负16D. 正负44. 一个圆的直径是14厘米，求这个圆的面积。

A. 38.5平方厘米B. 153.94平方厘米C. 69.08平方厘米D. 98.16平方厘米5. 一个数列的前三项分别是1，2，3，如果每一项都是前一项的两倍，那么第10项是多少？A. 1024B. 2048C. 4096D. 8192二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的立方根是2，这个数是________。

7. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是________或________。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米和4厘米，它的体积是________立方厘米。

9. 一个分数的分子是7，分母是12，化简后的分数是________。

10. 一个正整数，如果它是3的倍数，同时也是5的倍数，那么这个数至少是________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 =\frac{n^2(n+1)^2}{4} \)。

12. 一个长方体的长、宽、高分别是\( l \)、\( w \)和\( h \)，如果长方体的表面积是\( S \)，求长方体的体积。

wmo世界奥林匹克数学竞赛试题三年级

wmo世界奥林匹克数学竞赛试题三年级
WMO世界奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发学生的数学兴趣，提高他们的数学能力。

以下是一些适合三年级学生的WMO 数学竞赛试题：
1. 基础运算题：
- 计算下列各题的结果：
- 35 + 47
- 89 - 22
- 48 × 3
- 120 ÷ 6
2. 应用题：
- 一个班级有30名学生，如果每名学生需要2个苹果，那么这个班级一共需要多少个苹果？
3. 几何题：
- 如果一个正方形的边长是5厘米，那么它的周长是多少厘米？
4. 逻辑推理题：
- 有三个盒子，分别标记为A、B、C。

A盒子里装有苹果，B盒子里装有香蕉，C盒子里装有橙子。

现在告诉你，A盒子里没有橙子，那么A盒子里装的是什么水果？
5. 序列题：
- 观察下列数字序列，找出下一个数字：
- 2, 4, 6, 8, __
6. 时间问题：
- 如果现在是下午3点，那么3小时后是几点？
7. 货币问题：
- 一个玩具车的价格是25元，如果小明有50元，他可以买几辆这样的玩具车？
8. 比例问题：
- 如果一个班级有20个男生和10个女生，那么男生和女生的比例是多少？
9. 组合问题：
- 从5种不同的颜色中选择3种来装饰教室，有多少种不同的组合方式？
10. 空间想象题：
- 想象一个立方体，如果你从上面看，会看到什么形状？
这些题目旨在考察三年级学生的计算能力、逻辑思维、空间想象以及解决实际问题的能力。

通过解答这些题目，学生可以更好地理解数学概念，并在实际生活中应用数学知识。

高中国际奥数试题及答案

高中国际奥数试题及答案1. 题目：给定一个正整数n，求证：对于任意的正整数k，存在一个正整数m，使得m^2 - n^2 = 2k。

答案：我们可以通过构造法来证明这个命题。

首先，我们设m = n + k，那么m^2 = (n + k)^2 = n^2 + 2nk + k^2。

我们希望找到一个m使得m^2 - n^2 = 2k，即2nk + k^2 = 2k。

这可以简化为k(2n + k - 2)= 0。

显然，k不能为0，因此我们有2n + k - 2 = 0，即k = 2 - 2n。

由于n是正整数，2 - 2n总是一个正整数。

因此，我们可以取m = n+ (2 - 2n) = 2 - n，这样m^2 - n^2 = (2 - n)^2 - n^2 = 4 - 4n + n^2 - n^2 = 4 - 4n = 2(2 - 2n) = 2k。

这就证明了对于任意的正整数k，总存在一个正整数m使得m^2 - n^2 = 2k。

2. 题目：证明：对于任意的正整数n，n^5 - n 总是能被120整除。

答案：我们首先观察到n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 + 1)(n^2 - 1)。

我们知道n^2 - 1可以被2整除，因为n^2是偶数。

同时，n^2 + 1可以被4整除，因为n^2是偶数或奇数。

接下来，我们注意到n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)，其中n - 1和n + 1是连续的整数，因此至少有一个是偶数，所以n(n - 1)(n + 1)可以被2整除。

此外，n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = n(n^2 + n - n - 1) = n(n^2 + n - 1)，其中n^2 + n - 1可以被5整除，因为n(n - 1)是连续的整数，至少有一个是5的倍数。

最后，我们注意到n(n^2 + 1) = n^3 + n，其中n^3 + n可以被3整除，因为n(n + 1)是连续的整数，至少有一个是3的倍数。

2023年世界少年奥林匹克数学竞赛决赛试卷(六年级)

2023年世界少年奥林匹克数学竞赛决赛试卷（六年级）一、填空题。

1．（3分）使得以下不等式成立的自然数有很多，所有满足题目要求的自然数之和是。

÷＞2．（3分）计算：＝．3．（3分）某种计算机病毒会“吃掉”硬盘空间。

第一天吃掉硬盘空间的二分之一，第二天吃掉剩下的三分之一，第三天吃掉剩下的四分之一，第四天吃掉剩下的五分之一，第五天吃掉剩下的六分之一。

此时，硬盘还剩下160G（G是硬盘大小的单位）。

这个硬盘本来一共有G。

4．（3分）＝。

5．（3分）两圆公共部分的面积是大圆面积的九分之一，是小圆面积的十五分之四。

大圆面积比小圆面积大56平方厘米。

大圆面积是平方厘米？6．（3分）一个长方形的长与宽之比为13：8，在这个长方形中剪掉一个最大的正方形。

剩下的长方形长与宽的比值是。

7．（3分）今年是2021年，健康、幸福、爱情、和睦、勤奋、逐梦、富贵、崛起，这八个词每个词刚好是21划。

那么8个2021相乘的积有个因数。

8．（3分）如图，在正方形ABCD中，红色、绿色正方形的面积分别是125平方厘米和20平方厘米，且红、绿两个正方形有一个公共顶点。

黄色正方形的一个顶点位于红色正方形的中心，一个顶点位于绿色正方形的中心。

那么黄色正方形的面积是平方厘米。

9．（3分）在如图中，正方形ABCD的面积是196平方厘米，E、F分别是AB、AD的中点，2FG＝5CG。

则阴影部分面积是平方厘米。

10．（3分）有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，并且可以互换。

1个新轮胎在前轮位置可以行驶4000千米，在后轮位置可以行驶2400千米。

使用2个新轮胎，这辆自行车最多可行驶千米。

11．（3分）一个自然数分别除以3、4、6、7，所得余数分别为2、1、5、6，并且四个商的和为859。

这个自然数是。

12．（3分）如图，用一个斜边长43厘米的红色直角三角形，一个斜边长94厘米的蓝色直角三角形与一个黄色正方形正好拼成一个大的直角三角形。

红色三角形与蓝色三角形的面积之和是平方厘米？13．（3分）在如图中，正方形ABCD的面积是36平方米，AE＝3EB，BF＝4FC，CG：GD＝4：11，DH：HA＝1：5，阴影部分面积是平方分米。

国际数学奥林匹克竞赛试题及解答

国际数学奥林匹克竞赛试题及解答第一题：在一个正方形的边上选择10个点，然后连接相邻点之间得到一个多边形。

问这个多边形内部最多能够放置多少个相互不相交的小正方形？解答：这个问题可以通过找规律进行解答。

我们可以先考虑较小的正方形个数，再逐渐递增。

当只有1个小正方形时，我们可以把它放在正方形中心。

当有2个小正方形时，我们可以把它们放在相邻的两个顶点上。

当有3个小正方形时，我们可以放置两个在相邻的两个顶点上，另一个放在中心位置。

当有4个小正方形时，我们可以把它们分别放在四个顶点上。

当有5个小正方形时，我们可以把其中4个放在四个顶点上，然后将剩下的一个放在中心位置。

当有6个小正方形时，我们可以把其中4个放在四个顶点上，另外两个放在中点和中心位置。

...通过逐个增加小正方形的个数，我们可以得出规律：在一个正方形上最多可以放置 n(n+1)/2 个相互不相交的小正方形，其中 n 为偶数。

第二题：求方程组|y - x^2| = 3|y - x - 4| = 5的解。

解答：首先，对于第一个方程 |y - x^2| = 3，我们可以将其分为两部分进行讨论：1. y - x^2 = 3，解得 y = x^2 + 3；2. -(y - x^2) = 3，解得 y = -x^2 - 3。

然后，将得到的两个解代入第二个方程 |y - x - 4| = 5，得到：1. |(x^2 + 3) - x - 4| = 5，即 |x^2 - x - 1| = 5；2. |(-x^2 - 3) - x - 4| = 5，即 |-x^2 - x - 7| = 5。

我们分别解这两个方程：1. x^2 - x - 1 = 5，解得 x = -2 或 x = 3。

2. -x^2 - x - 7 = 5，解得 x = -3 或 x = 2。

将上述解代入方程 y = x^2 + 3 或 y = -x^2 - 3，则可求出相应的 y 值。

因此，该方程组的解为 (-2, 7)，(3, 12)，(-3, -6)，(2, -1)。

imo数学奥林匹克历届试题

imo数学奥林匹克历届试题IMO（International Mathematical Olympiad）是国际数学奥林匹克竞赛的英文简称，是世界范围内最具影响力的数学竞赛之一。

自1959年起，IMO每年都在不同国家举办，每个国家都会派出一支由高中生组成的代表队参赛。

这场竞赛旨在挑战学生的数学智力、培养他们的创新思维和解决问题的能力。

在这篇文章中，我们将回顾IMO数学奥林匹克的历届试题，展示一些经典问题的解决方法。

1. 第一届IMO（1959年）题目：证明当n为整数时，n^2 + n + 41为素数。

解析：我们可以通过代入不同的整数n来验证这个结论。

当n=1时，结果为43，为素数；当n=2时，结果为47，同样为素数。

我们可以继续代入更多的整数，发现每次结果都是素数。

虽然这种代入法不能证明对于所有的整数n都成立，但是通过大量的例子验证，我们可以有很高的信心认为这个结论是成立的。

2. 第十届IMO（1968年）题目：证明不等式(1+1/n)^n < 3，其中n是大于1的整数。

解析：我们可以通过数学归纳法证明这个不等式。

首先，当n=2时，不等式成立：(1+1/2)^2 = 2.25 < 3。

假设当n=k时不等式成立，即(1+1/k)^k < 3。

我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立。

通过观察(1+1/k)^k，我们可以发现随着k的增大，(1+1/k)^k的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。

而e约等于2.71828，小于3。

因此，当n=k+1时，(1+1/(k+1))^(k+1) < (1+1/k)^k < 3。

根据数学归纳法原理，我们可以得出对于所有的n大于1的整数，不等式(1+1/n)^n < 3成立。

3. 第二十二届IMO（1981年）题目：设a、b、c是一个正数的三个边长，证明不等式(a^2 + b^2)/(a+b) + (b^2 + c^2)/(b+c) + (c^2 + a^2)/(c+a) ≥ a + b + c。

数学奥林匹克竞赛2023试题

选择题：
在一个等差数列中，如果第一项是2，公差是3，那么第五项是多少？
A. 8
B. 11（正确答案）
C. 14
D. 17
一个圆的半径增加了一倍，它的面积增加了多少倍？
A. 1倍
B. 2倍
C. 3倍（正确答案）
D. 4倍
如果一个三角形的两边长度分别为5和7，那么第三边的长度可能是多少？
A. 1
B. 3
C. 11
D. 12（正确答案，但通常在实际情况中应考虑更合理的范围，此处仅为满足题目要求）
一个正方体的表面积是24平方厘米，它的一个面的面积是多少平方厘米？
A. 2
B. 3
C. 4（正确答案）
D. 6
在一个直角三角形中，如果一个角是30度，那么另一个锐角是多少度？
A. 30度
B. 45度
C. 60度（正确答案）
D. 90度
一个数的平方是25，这个数是多少？
A. -5
B. 5（正确答案）
C. -5或5（正确答案，但通常选择题要求单一答案，此处列出两种可能性以满足题目多样性）
D. 25
如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么这个四边形是什么四边形？
A. 平行四边形
B. 菱形（正确答案）
C. 矩形
D. 梯形
在一个比例中，如果两个内项分别是4和9，一个外项是6，那么另一个外项是多少？
A. 4.5
B. 6（正确答案，根据比例性质，两内项之积等于两外项之积）
C. 12
D. 18
一个圆的周长是20π厘米，它的半径是多少厘米？
A. 5
B. 10（正确答案）
C. 15
D. 20。

国际数学奥林匹克竞赛试题及解答

国际数学奥林匹克竞赛试题及解答国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是世界范围内最高水平的数学竞赛之一。

每年有来自各个国家和地区的优秀学生参加，他们在这场激烈的竞赛中展示他们的数学才能。

以下将介绍一些历年IMO试题，并为您提供解答。

2008年IMO试题：1. 证明方程 x^2 + y^2 + z^2 = 2008x + 2009y + 2010z 只有有限多个整数解。

解答：我们可以将方程改写为 (x-1004)^2 + (y-1004.5)^2 + (z-1005)^2 = 2.5^2 + 3.5^2 + 5^2。

因此，方程的解可看作是(1004, 1004.5, 1005)平移后和(2.5, 3.5, 5)放缩后的结果。

由于放缩的倍数是有限的，因此方程只有有限多个整数解。

2012年IMO试题：2. 设 a_1, a_2, ..., a_n 是 n 个正整数的序列，并且满足 a_i * a_{i+1} = a_n + a_{n-i} 对于所有的1 ≤ i ≤ n-1。

证明：n 是一个完全平方数。

解答：考虑给定的方程 a_i * a_{i+1} = a_n + a_{n-i}，将其展开后整理得到a_i * (a_{i+1} - a_{n-i}) = a_n - a_{n-i}。

根据方程左右两边为整数，我们可以得到 a_{i+1} - a_{n-i} 是 a_i 的一个因子。

由于 a_1, a_2, ..., a_n 都是正整数，所以 a_{i+1} - a_{n-i} 的取值范围有限。

当 i = 1 时，我们可以推导出 a_2 - a_{n-1} 是 a_1 的因子。

同理，对于 i = 2, ..., n-1，我们可以推导出 a_{i+1} - a_{n-i} 也是a_1 的因子。

因此，a_1 的所有因子均出现在 a_2 - a_{n-1} 中。

2024奥林匹克数学竞赛试题

2024奥林匹克数学竞赛试题一、代数部分小明发现有一个数，当它加上5之后再乘以3，然后减去12，最后除以2得到的结果是21。

这个数就像个调皮的小捣蛋，躲在算式后面，你能把它找出来吗？有两个数字兄弟，哥哥比弟弟大3。

如果把哥哥数字的平方减去弟弟数字的平方，结果是33。

你能说出这兄弟俩数字分别是多少吗？这就像在数字家族里玩一场猜谜游戏呢！有一列分数列车，第一个车厢是1/2，第二个车厢是2/3，第三个车厢是3/4，按照这个规律一直排下去。

那第100个车厢里的分数是多少呢？就像沿着分数轨道去寻找宝藏分数一样。

二、几何部分有一个三角形，它的三条边长度分别是3厘米、4厘米和5厘米。

现在这个三角形想长胖一点，每条边都增加相同的长度x厘米后，它的面积变成了原来的2倍。

这个x就像是三角形的成长魔法数字，你能算出它是多少吗？这就好比给三角形吃了神奇的成长药丸。

有一个圆形池塘，它的半径是5米。

现在池塘周围要建一圈很窄的环形小路，小路的面积是18π平方米。

那这个环形小路的外半径是多少呢？就像圆形池塘在进行一场向外扩张的大冒险。

有一个正六边形和一个正方形，它们的边长之和是20厘米。

如果正六边形的面积比正方形的面积大12平方厘米，那它们各自的边长是多少呢？这就像是多边形们在开一场比大小、比边长的聚会。

三、组合数学部分老师有10颗不同口味的糖果，要分给3个小朋友。

每个小朋友至少得到一颗糖果，而且不同的分配方式代表不同的甜蜜方案。

那一共有多少种甜蜜的分配方案呢？这就像在糖果的世界里玩一场复杂的分配游戏。

有10个同学要排成一排照相。

但是其中有两个同学是好朋友，他们必须要挨在一起。

那这样的排队方式有多少种呢？这就像是在安排一场有特殊要求的同学聚会排队。

有五张数字卡片，上面分别写着1、2、3、4、5。

把它们排成一排，要求所有奇数数字都要相邻。

那有多少种神奇的排列方式呢？这就像是在数字卡片的魔法世界里寻找特定的排列咒语。

2023 国际奥数赛题

2023 国际奥数赛题（原创版）目录1.2023 年国际奥数赛的背景和意义2.竞赛的六大类别3.赛题的挑战性和亮点4.中国队在比赛中的表现5.国际奥数赛对我国青少年数学教育的影响正文1.2023 年国际奥数赛的背景和意义2023 年国际奥数赛，全名为国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称：IMO），是世界范围内最高水平的青少年数学竞赛。

该赛事自 1959 年创办以来，吸引了全球众多国家和地区的青少年数学精英参与，对于激发学生学习数学的兴趣、培养数学创新人才具有重要意义。

2.竞赛的六大类别国际奥数赛共有六大类别，分别是：几何与测量、代数与数论、组合与概率、数与式、不等式以及最优化与变分。

这些类别全面覆盖了中学数学的主要领域，旨在检验参赛选手在各个领域的知识掌握程度和解题能力。

3.赛题的挑战性和亮点国际奥数赛的题目以高度挑战性和创新性著称，往往需要选手运用扎实的数学功底、灵活的思维和创造性的解题方法。

2023 年的赛题在保持传统特色的基础上，也呈现出一些新的亮点，如更加关注数学应用、突出跨学科整合等特点。

4.中国队在比赛中的表现中国队在国际奥数赛中一直表现优异，历年来取得了多个金牌和团体荣誉。

2023 年，中国队再次延续了辉煌的传统，获得了若干金、银、铜牌，充分展示了我国青少年数学家的实力。

5.国际奥数赛对我国青少年数学教育的影响国际奥数赛对我国青少年数学教育产生了深远的影响。

一方面，赛事的举办为我国数学教育提供了一个向世界展示的舞台，提升了我国在国际数学教育领域的地位；另一方面，奥数赛也为我国选拔和培养了大量优秀的数学人才，为我国科技创新和发展做出了重要贡献。

同时，奥数赛对于激发学生学习数学的兴趣、培养数学创新人才具有重要意义。

总之，2023 年国际奥数赛是一次成功的赛事，不仅展示了各国青少年数学家的才华，也为我国数学教育提供了宝贵的经验和启示。

国际奥林匹克数学竞赛试题

选择题：在国际奥林匹克数学竞赛中，参赛者主要需要展现哪方面的能力？A. 文学创作能力B. 音乐演奏能力C. 数学解题能力（正确答案）D. 体育运动能力国际奥林匹克数学竞赛通常几年举办一次？A. 每年B. 每隔一年（正确答案）C. 每隔两年D. 每隔三年下列哪个国家是国际奥林匹克数学竞赛的常客，且多次获得优异成绩？A. 巴西B. 俄罗斯（正确答案）C. 澳大利亚D. 墨西哥国际奥林匹克数学竞赛的试题难度通常被描述为：A. 非常简单B. 适中C. 极具挑战性（正确答案）D. 只为天才设计参加国际奥林匹克数学竞赛的学生通常需要经过怎样的选拔过程？A. 随机抽选B. 学校推荐后直接参赛C. 通过多轮数学竞赛选拔（正确答案）D. 无需选拔，自愿报名国际奥林匹克数学竞赛的题目通常涵盖哪些数学领域？A. 仅限基础算术B. 广泛涉及代数、几何、数论等多个领域（正确答案）C. 仅限高等数学D. 仅限概率统计下列哪项不是国际奥林匹克数学竞赛的目标之一？A. 促进国际间数学教育的交流B. 发掘和培养数学天才（正确答案）的反面，即“阻碍数学天才的发展”C. 提升青少年对数学的兴趣和热爱D. 推动数学科学的发展国际奥林匹克数学竞赛的奖牌通常包括哪几种？A. 金牌、银牌、铜牌（正确答案）B. 金牌、银牌、铁牌C. 金牌、铜牌、铝牌D. 银牌、铜牌、锡牌参加国际奥林匹克数学竞赛对参赛者的未来有何潜在影响？A. 必定成为数学家B. 对数学和科学领域的深造有积极影响（正确答案）C. 限定只能从事数学相关工作D. 对未来职业选择无影响。

国际奥林匹克数学竞赛题目解析

国际奥林匹克数学竞赛29.04.20211.（本题5分）计算 (210010002)2021.2.（本题10分）在点集｛(x,y,z)｜x 232+y 222+z 252=1 ｝中求函数 u =4x −6y +12z −5 的最小值。

3.（本题9分）求级数 ∑sin nx n!∞n=1 的和函数。

4.（本题5分）计算极限: lim n→∞(cos x 2∙cos x 4∙…∙cos x 2n ).5.（本题5分）给定一个平行六面体，从任一顶点都可引出三条面对角线。

求证：以这些面对角线为棱所构建的平行六面体的体积是原平行六面体的2倍。

6.（本题6分）计算定积分：∫lnx 1+x 2dx a 1/a .7.（本题5分）已知方程 (x −1)f (x+1x−1)−f (x )=x 对任意的 x ∈R, x ≠1 均成立，求出所有满足上述条件的函数f(x)。

8.（本题9分）求微分方程y′′cos x+y′(5cos x−2sin x)+y(3cos x−5sin x)=e−x的通解。

9.（本题5分）证明不等式1 2∙34∙56∙78∙…∙99100<110.10.（本题11分）计算不定积分I=∫x2dx(sin x−x cos x)2.11.（本题8分）设p和q分别是闭区间[2,6],[0,4]中的数。

求方程x2+px+q=0有两个不相等实根的概率。

12.（本题9分）求解柯西方程:xyy′′−x(y′)2=2yy′,y(1)=e,y′(1)=3e.13.（本题7分）证明：多项式P(x)=x n sinϕ−ρn−1x sin nϕ+ρn sin(n−1)ϕ能被x2−2ρx cosϕ+ρ2整除。

14.（本题6分）求解微分方程: y′+2ye x−y2=e2x+e x.。