初一数学二元一次方程及其应用的知识讲解

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初中二元一次方程知识归纳

初中二元一次方程知识归纳一、二元一次方程的定义二元一次方程是指只含有两个未知数x和y，且每个未知数的最高次数均为一次的方程，其一般形式为ax+by=c，其中a,b,c为已知实数，且a,b不全为零。

二、二元一次方程的解的表示方法求解二元一次方程ax+by=c的过程是求出x,y使得ax+by=c成立。

解(x,y)构成了方程ax+by=c的解集。

用一个有序数对表示解集就是该方程的解的表示方法。

解集表示为(x,y)，其中x是方程的解，y是对应x的解。

三、二元一次方程的解法1. 常用消元法将二元一次方程的两个方程中，所包含相同的未知数，消去该未知数的系数，即可得到一个未知数的一元一次方程。

解出未知数的值，再带入另外一个方程，求出另一个未知数的值。

最终得出方程的解。

2. 代入法先把一个方程中的一个未知量用另一个未知量表示，再将它代入另一个方程中，并把未知量表示成同一个未知量，此时得到一个一元一次方程，解出这个未知量。

然后再代回即可求出另一个未知量。

3. 公式法设ax+by=c为二元一次方程，$D=\\begin{vmatrix} a&b\\\\c&d\\end{vmatrix}$，则有：$$x=\\frac{\\begin{vmatrix} c&b\\\\d&e\\end{vmatrix}}{D},y=\\frac{\\begin{vmatrix} a&c\\\\b&d\\end{vmatrix}}{D}$$4. 矩阵法（高斯消元法）把二元一次方程的系数和常数用矩阵表示出来，然后用高斯消元法化为行阶梯矩阵，再回带求解即可。

四、二元一次方程的分析解1. 无解无解的情况是因为方程组表示的两个直线平行，不可能相交。

2. 唯一解唯一解的情况是因为方程组表示的两个直线相交于一点，有且仅有一个交点。

3. 无数解无数解的情况是因为方程组表示的两个直线重合，方程中含有自由变量，取不同的自由变量，得到无穷多个解。

人教版七年级数学上第三章二元一次方程知识点总结

人教版七年级数学上第三章二元一次方程
知识点总结
本文档总结了人教版七年级数学上第三章二元一次方程的知识点，如下：
一、什么是二元一次方程？
二元一次方程是指包含两个未知数且次数最高为1的方程。

一般形式为：ax + by = c，其中a、b、c是已知的实数。

二、解二元一次方程的方法
解二元一次方程可以使用以下两种方法：
1. 消元法：通过消去其中一个未知数，将方程转化为只含一个未知数的一次方程，然后求解。

2. 代入法：将一个未知数的表达式代入到另一个未知数的方程中，再求解。

三、图解二元一次方程
可以使用图解法解二元一次方程。

将方程转化为直线方程，然
后通过绘制直线图像，确定方程的解。

四、二元一次方程的应用
二元一次方程在现实生活中有广泛的应用。

例如：
1. 两个物体同时从不同位置出发，以不同的速度运动，求它们
相遇的时间和位置。

2. 工程问题中，求解多个变量之间的关系。

3. 经济问题中，求解成本、收入、利润等关系。

以上是人教版七年级数学上第三章二元一次方程的知识点总结。

参考资料：
- 人教版数学七年级上册。

七年级数学二元一次方程的概念

中等难度题目解析
答案：x = -2, y = 7
中等难度题目：解方程组
解析：通过代入法，将一个方程的解代入另一个方程，求解。
中等难度题目解析
x+y=6 答案：x = 2, y = 4 或 x = 4, y = 2
xy = 10
解析：通过因式分解法，将方程组化简为单一方程，再求解。
高难度题目解析
的限制。
05
二元一次方程的解题技巧
观察法与试错法
要点一
观察法
通过观察方程的特点，尝试找出未知数的值或方程的解。例如，观察方程中未知数的系数和常数项，尝试找出未知数的值。
要点二
试错法
通过尝试不同的数值代入方程，观察方程是否成立，从而找出未知数的值或方程的解。这种方法需要耐心和细心，以免错过正确的解。
经济模型
在经济学中，经常需要建立各种经济模型来预测市场趋势、分析经济数据等。二元一次方程是构建和分析这些模型的重要工具之一。
解决实际问题时的注意事项
实际问题的不确定性
在解决实际问题时，我们需要注意到问题的复杂性和不确定性。二元一次方程只能提供近似解，而不能保证完全准确。因此，我们需要根据实际情况进行适当的调整和修正。
详细描述
图像法的基本思路是在平面直角坐标系中绘制二元一次方程所表示的直线，然后通过观察图形的交点或切点来求解方程。这种方法的关键在于选择合适的坐标系和绘图方式，以直观地表示方程的解。
03
二元一次方程的应用
在生活中的实际应用
购物优惠
在购物时，商家经常会提供一些优惠活动，如“买一送一”或“满额减免”。通过二元一次方程，我们可以计算出在满足一定条件下，如何购买商品才能获得最大优惠。

二元一次方程ppt课件

04
二元一次方程的扩展知识
二元一次方程与不等式的关系
1 2 3
表达式形式
二元一次方程和不等式在表达式形式上具有相似性，但不等式中可能包含“<”、“>”等符号，而方程中则以等号“=”为主。
解法
二元一次方程的解法通常包括代入法、消元法和加减消元法等，而解不等式则需要使用区间估计、数轴标根法等技巧。
二元一次方程
contents
目录
• 二元一次方程的定义 • 二元一次方程的解法 • 二元一次方程的应用 • 二元一次方程的扩展知识 • 总结与回顾
01
二元一次方程的定义
什么是二元一次方程
• 二元一次方程是指包含两个未知数，且未知数的最高次数为 1的方程。
如何定义二元一次方程
• 二元一次方程通常表示为 ax + by = c，其中 a、 b、c 是常数，且 a 和 b 不等于0。
扩展知识
二元一次方程的解法还可以推广到多元一次方程和线性方程组，是数学中重要的基础知识。
对学习二元一次方程的建议与指导
建议 1. 理解方程的意义和背景；
2. 熟悉解方程的基本步骤和方法；
对学习二元一次方程的建议与指导
01
3. 通过练习和实例掌握解题技巧；
02
4. 培养数学思维和逻辑推理能力。
二元一次方程在微积分中的应用
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学的基础，它描述了函数改变量与自变量改变量之间的极限关系。
二元一次方程与微积分
二元一次方程在微积分中有着广泛的应用，例如求解空间曲线的一般方程、求解平面的一般方程等都需要用到二元一次方程。
重要性
二元一次方程在微积分中扮演着重要的角色，它是连接初等数学和高等数学的重要桥梁之一。

七年级下-二元一次方程组的定义及解法

二元一次方程组的定义及解法知识集结知识元二元一次方程（组）的定义知识讲解1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

所以满足三个条件：①方程中有且只有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数为1；③方程为整式方程，就是二元一次方程。

注意：主要考查未知数的项的次数为1，方程必须为整式，不能为分式。

例：x=2y.2.二元一次方程组的定义：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。

注意三条：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1。

③方程组中每个方程均为整式方程。

注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：①方程可以超过两个；②有的方程可以只有一元。

例题精讲二元一次方程（组）的定义例1.下列方程中，是二元一次方程的是（）.A．8x2+1=y B．y=8x+1C．y=D．xy=1例2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）.C．D．A．B．例3.有下列方程组：（1）（2）（3）（4），其中说法正确的是（）.A．只有（1）、（3）是二元一次方程组B．只有（3）、（4）是二元一次方程组C．只有（4）是二元一次方程组D．只有（2）不是二元一次方程组根据定义求字母的值知识讲解含有参数的二元一次方程组，根据二元一次方程的定义：1.二元的系数不为零。

2.未知数的次数为1。

注意：出现在选择填空题时，可以不用解出方程，可以直接将m,n的值代入验证即可。

例题精讲根据定义求字母的值例1.已知3 =y是二元一次方程，那么k的值是（）.A．2B．3C．1D．0例2.若﹣8 =10是关于x，y的二元一次方程，则m+n=．例3.'若(a-3)x+=9是关于x，y的二元一次方程，求a的值。

'由实际问题抽象出二元一次方程组知识讲解分析实际问题，找出等量关系，列出实际问题.例题精讲由实际问题抽象出二元一次方程组例1.4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（）.A．B．C．D．例2.元旦期间，某服装商场按标价打折销售，小王去该商场买了两件衣服，第一件打6折，第二件打5折，共记230元，付款后，收银员发现两件衣服的标价牌换错了，又找给小王20元，请问两件衣服的原标价各是多少？解：设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元；由题意可得方程组__________。

二元一次方程定义和概念

二元一次方程定义和概念
二元一次方程是一个含有两个未知数的一次方程，其一般形式为ax+by=c，其中a、b和c都是已知数且满足a和b不同时为零。

在二元一次方程中，x和y分别代表两个未知数，a和b是它们的系数，c是常数项。

方程中的字母x和y通常表示平面坐标系中的横纵坐标，我们可以将这个方程看作是平面上一条直线的方程。

解二元一次方程的目标是找到满足该方程的x和y的值。

通常，给定一个二元一次方程，我们可以采用以下方法来求解：
1.消元法：通过适当的操作，将方程中的一个未知数消除，得到一个只含有一个未知数的一次方程。

然后可以通过求解这个一次方程来确定一个未知数的值，再带入原方程求解另一个未知数的值。

2.代入法：选取一个未知数，将其表示成另一个未知数的函数，并将其代入原方程，从而得到一个只含有一个未知数的一次方程。

然后可以通过求解这个一次方程来确定一个未知数的值，再带入原方程求解另一个未知数的值。

3.图解法：将方程转化为图形表示，在平面坐标系上画出两个变量的关系图形。

方程的解就是图形与坐标轴的交点。

七年级上册二元一次方程知识总结

七年级上册二元一次方程知识总结一、引言二元一次方程是初中数学中的重要内容，掌握好二元一次方程的知识对于进阶学习和科学研究都具有重要意义。

本篇文章将对七年级上册关于二元一次方程的知识进行总结，并向读者介绍相关概念、性质和解题方法，希望能够对读者有所帮助。

二、二元一次方程的概念1. 二元一次方程的定义二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常表示为ax+by=c，其中a、b、c为已知常数，x、y为未知数。

这种方程在解析几何和代数中有着广泛的应用。

2. 二元一次方程的一般形式一般情况下，二元一次方程可以表示为Ax+By=C，其中A、B、C 为已知常数，x、y为未知数。

通过二元一次方程的一般形式，我们可以进行方程的变形和简化，从而更好地理解和解决问题。

三、二元一次方程的性质1. 二元一次方程的等价变形二元一次方程经过等价变形后，其解不变。

等价变形通常包括方程两边加减同一个量、方程两边乘除同一个非零数等操作。

2. 二元一次方程的解的存在唯一性对于一组二元一次方程，当且仅当系数行列式不等于零时，其解存在且唯一。

这一性质对二元一次方程的解题过程具有重要指导作用。

四、二元一次方程的解法1. 二元一次方程的图解法通过将二元一次方程表示为直线的形式，我们可以通过图形的交点来求解方程的解。

这是一种直观的解法，有助于帮助学生理解方程的几何意义。

2. 二元一次方程的代入法对于一组二元一次方程，可以通过其中一个方程的解，代入另一个方程中，进而求解另一个未知数。

这是一种常用的解方程方法，也是解题过程中的常见操作。

3. 二元一次方程的消元法通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解另一个未知数的值，从而得到方程的解。

消元法在实际问题中具有较高的适用性，也是解二元一次方程的重要方法。

五、举例分析1. 实际问题的建立通过一些实际问题，我们可以将问题转化为二元一次方程，然后通过解方程的方法得到问题的解。

这是一个将数学知识与实际问题相结合的过程。

湘教版七年级数学下册第1章二元一次方程组知识点梳理

第一章二元一次方程组一、二元一次方程组 1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数,且未知数的指数（即次数）都是1的方程,叫二元一次方程。

②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程,另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起,就组成了二元一次方程组。

2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值,叫二元一次方程的解。

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解。

注：①、因为二元一次方程含有两个未知数,所以,二元一次方程的解是一组（对）数,用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的,而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解,一般地,只有唯一的一组,但也可能有无数组或无解（即无公共解）。

二元一次方程组的解的讨论：已知二元一次方程组①、当a1/a2 ≠ b1/b2 时,有唯一解； ②、当a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时,无解； ③、当a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时,有无数解。

例如：对应方程组：①、 ②、 ③、例：判断下列方程组是否为二元一次方程组：①、 ②、 ③、 ④、 3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X 的代数式表示Y,就是先把X 看成已知数,把Y 看成未知数；用含Y 的代数式表示X,则相当于把Y 看成已知数,把X 看成未知数。

例：在方程 2x + 3y = 18 中,用含x 的代数式表示y 为：___________,用含y 的代数式表示x 为:____________。

4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：要抓住两个方面：①、未知数的指数为1,②、未知数前的系数不能为0例：已知方程 (a-2)x^(/a/-1) – (b+5)y^(b^2-24) = 3 是关于x 、y 的二元一次方程,求a 、b 的值。

(完整版)二元一次方程基本概念及基本解法讲解

二元一次方程一、二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1,像这样的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程满足的三个条件：(1)在方程中“元”是指未知数， “二元”就是指方程中有且只有两个未知数 .(2) “未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是 1.(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式^练习1:已知下列方程，其中是二元一次方程的有 .(1)2x-5=y; (2)x-1 = 4; (3)xy = 3;(4)x+y = 6; (5)2x-4y=7;一 1- 2 1 _ 2__ x4y -(6) x - 0； (7)5x — 1; (8)x - y 3; (9) x 8y 0; (10) ---------------- 6.2 y 2 2【变式1 ］下列方程中，属于二元一次方程的有()2A. xy 7 1B. 2x 1 3y 1C. 4x 5y 3x 5yD. 3x — 1 y二、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解.注意：如：x y 10的解可以是练习2:二元一次方程 x-2y= 1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是x 1 x 1C. D.y 0 y 1.............................. x 2【变式2】若方程ax 2y 4的一个解是，则a= .y 1三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如3x 1 0也是二元一次方x 2y 5(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值, 般用大括号联立起来, 如:x 2, y 5.(2) 一般情况下，二元一次方程有无数个解, 即有无数多对数适合这个二元一次方程.x 1 B.y 1程组.练习3:下列方程组中，是二元一次方程组的是( )四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解^注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般x a , 写成的形式.y b〃，，、…，…一“ ,一，/ , 2x y 5T （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无2x y 6一一、… x y 1 ，…,解，而方程组 "的解有无数个.2x 2y 2【巩固练习】一、选择题1 .下列方程中，属于二元一次方程的是（A. xy-7=1B. 2x-1 = 3y+12 .下列方程组是二元一次方程组的是（）x 3 _3 .以为解建立一个二兀一次万程，不正确的是()y 11 x 25 A. 3x- 4y= 5 B. —xy 0 C. x +2y = - 3 D.— — y —3 2 362x y 3 34 .方程组的解是()x y 3C.2x 2 3y 7 5(x 9) 1 y B.3- y 2 8 x 2x 3 7yx 13z 5(x y) 2x 3z 7yD.5(x y) (x y) 8 2x 3y 1) 7C. 4x-5y=3x-5y0 2D. 3x 一y x y 5A.z x 3x y xy 4 C.3x y 41-x 2y 13D.2-x - y 2(x 3 22y)x 1 x 2A. B.y 2 y 1C.y 1D.「，、… 6x 5y 11, ①……5 .已知二元一次方程组 7,下列说法正确的是()3y 2x 7,②A.适合②的x, y 的值是方程组的解①②B.适合①的x, y 的值是方程组的解C.同时适合①和②的x, y 的值不一定是方程组的解D.同时适合①和②的 x, y 的值是方程组的解 6 .关于m, n 的两个方程2m n 3与3m 2n二、填空题7 .由x+2y =4,得到用y 表示x 的式子为x= x y 4 ,, …8 .在二元一次方程组中，有x 6 ,则y _______ , m ______2x m 3y9 .若 |x 2 (3y 2x)2 0 ,则二的值是次方程"工+如二一2的一个解，则2a-b-6的值是11 .已知以一 1|+[2>+1)，=0 ,且2工一仙=4 ,则太=一一 .一 x 2 ........... .12 .右方程ax-2y = 4的一个解是，则a 的值是 ___________ .y 1三、解答题x 213,已知是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组.y 314.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组.(1)甲数的1比乙数的2倍少7;33 .、1的公共解是(A.m 0B .n 3m 1 C.n 1m 0 1 D.n -21m - 2 n 2;得到用x 表示y 的式子为 y=x = 210.若"是二兀〔A —(2)摩托车的时速是货车的一倍，它们的速度之和是200km/h;2(3)某种时装的价格是某种皮装价格的 1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元解二元一次方程方法1.代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步：(1)变形：将方程组中系数较简单的方程变形，将系数较简单的未知数用另一个未知数表示出来；(2)代入：将变形的方程代入另一个方程，这样便消去一元，求出一个未知数的值； (3)代入：将求得的未知数的值代入变形后的方程(这一点要特别注意)，求出另一个未知数的值；(4)写出方程组的解.一般地，当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是 1或常数项为0时，用代入法简便.3x 2y 7, ① x 2y 5. ② x 5 2y.③ 3(5 2y) 2y 7,15 6y 2y 7, 8y 8, y 1.把y 1代入③，得 x 3.点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1,因此考虑将方程②变形，并用含y 的代数式表示x.用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单 .代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误 .x 3y 4, ①变式2:用代入法解方程组：1 1-x -y 0.② 4 2方法2.加减消元法解二元一次方程组加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步：(1)变形：使方程组中某未知数的绝对值相等；(2)加减：若某未知数的系数相等，两方程相减；若某未知数的系数互为相反数，两方程相加；这样便消去一元，求出一个未知数的值；(3)代入：将求得的未知数的值代入系数较简单的方程，求出另一未知数的值； (4)写出方程组的解.进行加减消元时，要注意做到以下几点：(1)当方程组比较复杂时，应先整理变形，把方程组整理成形如：a1x b 1yc 1’的形a 2xb 2yc 2式，若此时两未知数的绝对值都不相等，则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值 (系数的最小公倍数的绝对值)相等的形式，且计算简单，然后将其化为系数的绝对值相等的形式例2解方程组解析：由②，得将③代入①，得所以原方程组的解是x 3,y 1.(2)两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出^(3)当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，用加减法简便.③-④，得 29m=-29 , m=-1. 将 m=-1 代入①，得-5+2 n=1, n=3.③ +④，得 29n=87, n=3.把 n=3 代入①，得 5m+6=1 , m=-1. 点评：此题方程组中的两方程，两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等.因此先将两方程分别变形，使某个未知数的系数的绝对值相等 .比较题中的两种方法，先消去系数比较简单的未知数 n,解法较为简捷.另外用加减消元法解二元一次方程组，需注意两方程相减时，符号的正确处理 . 练习f9x+2y=20 l3x+4y=10例3解方程组:5m 2n 1, ①7m 3n 16.②解析：法①②X2,得15m 6n 3, ③14m 6n 32.④所以原方程组的解为m 1, n3.法二：①X 7,②X 5,得35m 14n 35m 15n7, 80.④所以原方程组的解为m 1, n 3.(1)j 2戈-3产- 5[3x+2y=12"2y=3⑸" x 一第F ；J- -2=10附加题C3 (s- t) - 2 ts+t) =10 13 fs-t) +2 (s+t) =26x 2 y 1--- --- - 2(8) 3 2x 2 1 y d1。

七年级下册数学二元一次方程

七年级下册数学二元一次方程
对于七年级下册数学中的二元一次方程，我们可以通过给定的方程进行推理和解析，来寻找变量的解。

下面是一份详细的内容概述：
1、方程的定义和解的概念：首先，我们要明确二元一次方程的定义。

二元一次方程是指含有两个未知数x和y，且每个未知数的次数为1的方程。

接着，我们要理解解的概念，即满足方程未知数的具体值。

2、代入法求解：代入法是一种常用的求解二元一次方程的方法。

基本步骤是将一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入原方程中求解。

例如，对于方程组 {x + y = 3, y = 2x}，我们可以将第二个方程代入第一个方程中，得到一个只包含x的一元一次方程，从而求解出x的值。

3、消元法求解：消元法是通过消去一个未知数的方式，将二元一次方程组转化为一个一元一次方程，然后求解。

例如，对于方程组{x + y = 3, x - y = 9}，我们可以将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个只包含另一个未知数的一元一次方程，从而求解出该未知数的值。

4、线性组合法求解：线性组合法是通过对方程进行线性组合的方式，消去一个未知数，然后求解。

例如，对于方程组 {x + y = 3, 2x - y = 1}，我们可以将第一个方程乘以2后与第二个方程相加，消去y，得到一个只包含x的一元一次方程，从而求解出x的值。

通过以上三种方法的学习和练习，我们可以逐步掌握二元一次方程的求解技巧，并进一步解决数学中与二元一次方程相关的其他问题。

这将为我们在八年级学习一元二次方程、线性代数和解析几何等课程打下坚实的基础。

二元一次方程

二元一次方程
二元一次方程是指含有两个未知数和以1次为最高次数的方程。

一般形式为ax + by + c = 0，其中a、b、c为已知数，并且a和b不能同时等于0。

解二元一次方程的方法有代入法、消元法和Cramer法。

在代入法中，我们将其中一个未知数用另一个未知数表示，并代入另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的一元一次方程，从而解得这个未知数的值，再代入原方程中求得另一个未知数的值。

消元法主要是利用不同方程中同一未知数的系数之比进行消去。

通过适当调整两个方程中同一未知数的系数，使其相乘之后可以得到一个相等的式子，然后通过加减法进行消元，得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，进而求解。

Cramer法则是利用二阶行列式的计算来解二元一次方程。

首先使用Cramer法需要求解系数行列式的值，然后将未知数的系数用结果行列式来替换原方程组中的系数，从而得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，进而求解。

以上是解二元一次方程的几种常见方法。

根据具体方程的形式和问题的要求，选择适当的方法进行计算求解。

二元一次方程知识点总结

二元一次方程组知识点1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程。

已知方程：①2x +4 =3；②5xy -1=0；③2x +y=2；④3x -y +z=0；⑤2x -y=3；⑥x +3=5，•其中是二元一次方程的有___ ___________．（填序号即可）2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

下列方程中，是二元一次方程组的是（）① ⎩⎨⎧=+=-7232z y y x ② ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+1241x y y x ③ ⎩⎨⎧=-=--512)4(3y x x x ④ ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-2132132y x y xA 、①②③B 、②③C 、③④D 、①②3、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程2x +ay =5的解，则 a = .3、二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程343x my mx ny -=+=和有一个公共解11x y =⎧⎨=-⎩,m =_____,n =____。

4、二元一次方程组的解法①解二元一次方程组的基本思路：。

②消元的目的：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

③消元的基本方法：代入消元法，加减消元法。

6、用代入消元法解下列二元一次方程组：（1）23321y x x y =-⎧⎨+=⎩ （2）⎩⎨⎧-=-=+42357y x y x （3） 233418x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩7、用加减法解二元一次方程解方程组：（1）⎩⎨⎧=-=+12354y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+132645y x y x （3）⎩⎨⎧=+=-1732723y x y x列二元一次方程组解应用题一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：①审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，；②找：找出能够表示题意的两个相等关系；③列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；④解：解这个方程组，求出两个未知数的值；⑤答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套题型二、列二元一次方程组解决行程问题题型三、列二元一次方程解决商品问题1、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车在“五一”期间某超市打折促销，已知A和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行商品7.5折销售，B商品8折销售，买20，1小时20分相遇。

初中二元一次方程组数学知识点

初中二元一次方程组数学知识点
在初中数学中，学习二元一次方程组涉及以下几个知识点：
1. 二元一次方程：二元一次方程是指含有两个未知数（通常记作x和y）的一次方程。

一般的二元一次方程可以表示为ax + by = c，其中a、b、c是已知的实数常数。

2. 解二元一次方程：解二元一次方程指找出满足方程的x和y的值。

常用的解法有代
入法、减法法和加减消元法。

3. 无解或无穷多解的情况：有时候解二元一次方程可能会得到无解或者无穷多解的情况。

无解表示方程组没有满足条件的解；无穷多解表示方程组有无穷多个满足条件的解。

4. 图形解释：二元一次方程组在坐标系中可以用直线表示。

两个方程表示的直线可能
会有三种关系：相交（方程组有唯一解）、平行（方程组无解）或重合（方程组有无
穷多解）。

5. 实际应用：二元一次方程组在实际中常常用于求解两个未知数的关系。

例如，有两
个物体的速度和时间的关系可以用二元一次方程组表示。

这些是初中阶段学习二元一次方程组的主要知识点，通过学习这些知识可以解决二元
一次方程组的问题，并应用到实际生活中。

七年级二元一次知识点

七年级二元一次知识点二元一次方程是初中数学中的一个基本知识点，掌握了二元一次方程的解法，可以解决许多实际问题。

在本文中，我们将系统地介绍七年级二元一次方程的知识点，包括定义、解法、应用等方面。

一、定义二元一次方程是指含有两个未知数及它们的一次幂次的方程，形如：ax + by = c其中，a,b,c为已知数，且a和b不能同时为0。

二、解法1. 消元法法解方程。

例如：3x + 2y = 7x - y = 1将第二个方程中的x或y消去，得到：3x + 2y = 73x - 3y = 3解为：x=2，y=12. 代入法法解方程。

例如：2x + 3y = 13x - y = 1将第二个方程解为x=1+y，代入第一个方程得到：2(1+y) + 3y = 13解为：x=2，y=13. 相减法当两个方程中的未知数系数相等，但符号相反时，可以用相减法解方程。

例如：2x + 3y = 13-x + 3y = 7将第二个方程的两边乘以-2，再加到第一个方程上，得到：4y = -3解为：x=2，y=-3/4三、应用二元一次方程的应用非常广泛，比如经济学、物理学、化学等等。

以下是一个实际应用举例。

例：一个商店销售两种商品，其中商品A单价为3元，商品B单价为4元，已经售出了n件商品A和m件商品B，共收入55元，求n和m的值。

解：设商品A的销售数量为n，商品B的销售数量为m，则可以列出二元一次方程组：3n + 4m = 55n + m = ?我们先算出n+m的值，由于55是5的倍数，所以n+m必然是5的倍数，只需试探即可得出n+m=15。

将其代入原方程组中，可得：3n + 4(15-n) = 55解得n=5，m=10。

结论：商品A销售了5件，商品B销售了10件，共收入55元。

综上所述，二元一次方程是初中数学中的基础知识点之一，其解法和应用也是多种多样的。

通过掌握二元一次方程的知识点，能够使我们更好地解决实际问题。

七年级二元一次方程知识点

七年级二元一次方程知识点一、二元一次方程的概念二元一次方程是指含有两个未知量且最高次数为一的方程。

它的一般形式为：ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。

二、二元一次方程的解法1.若已知x的值，则可直接算出y的值。

反之亦然。

2. 列方程组进行解法。

x + y = 3，2x - y = 4。

将x + y = 3等式两边同时减去y得x = 3 - y，代入2x - y = 4中得2(3 - y) - y = 4，解得y = -1，代入x + y = 3中得x = 4。

3. 消元法。

上例中将x + y = 3乘2得2x + 2y = 6，将2x - y = 4乘1得2x - y = 4，将两个方程相加得3x = 10，解得x = 10/3，代入x + y = 3中得y = -1/3。

三、二元一次方程的应用1. 销售业务：若某商店销售x件衬衫和y件裤子，总收入为15x + 20y元，总利润为7x + 8y元，问该商店销售这两种商品的利润比是多少？解：因总利润为7x + 8y元，总收入为15x + 20y元，所以可列出方程组：7x + 8y = z15x + 20y = z解得x : y = 4:3，所以利润比为7:8。

2. 人物年龄：甲、乙两人之和为60岁，甲的年龄是乙的2倍，问他们各几岁？解：设乙的年龄为x岁，则甲的年龄为2x岁。

因甲、乙两人之和为60岁，则可列出方程组：x + 2x = 603x = 60解得x = 20，所以乙的年龄为20岁，甲的年龄为2x = 40岁。

四、小结二元一次方程是数学中的基础知识之一，掌握其解法和应用可以帮助学生更好地理解和运用数学。

在学习过程中，要注意分清各元素的含义和作用，理解方程式的本质，并通过大量的练习来加深了解和熟练掌握。

初中二元一次方程知识归纳

初中⼆元⼀次⽅程知识归纳⼆元⼀次⽅程是初中解⽅程的重要知识点，求解⼆元⼀次⽅程⾸先要明⽩其基础内容。

以下是店铺分享给⼤家的初中⼆元⼀次⽅程知识，希望可以帮到你! 初中⼆元⼀次⽅程知识⼀.⼆元⼀次⽅程(组)的相关概念 1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数并且未知项的次数是1的⽅程叫做⼆元⼀次⽅程。

2.⼆元⼀次⽅程组：⼆元⼀次⽅程组两个⼆元—次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组。

3.⼆元⼀次⽅程的解集： (1)⼆元⼀次⽅程的解适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值.叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解。

(2)⼆元⼀次⽅程的解集对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼆个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值.因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解.由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集。

4.⼆元⼀次⽅程组的解：⼆元⼀次⽅程组可化为使⽅程组中的各个⽅程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做⽅程组的解。

⼆.利⽤消元法解⼆元⼀次⽅程组解⼆元(三元)⼀次⽅程组的⼀般⽅法是代⼊消元法和加减消元法。

1.解法： (1) 代⼊消元法是将⽅程组中的其中⼀个⽅程的未知数⽤含有另⼀个未知数的代数式表⽰，并代⼊到另⼀个⽅程中去，消去另⼀个未知数，得到⼀个解。

代⼊消元法简称代⼊法。

(2)加减消元法利⽤等式的性质使⽅程组中两个⽅程中的某⼀个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个⽅程相加或相减，以消去这个未知数，使⽅程只含有⼀个未知数⽽得以求解。

这种解⼆元⼀次⽅程组的⽅法叫做加减消元法，简称加减法。

⽤加减法消元的⼀般步骤为： ①在⼆元⼀次⽅程组中，若有同⼀个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可直接相减(或相加)，消去⼀个未知数; ②在⼆元⼀次⽅程组中，若不存在①中的情况，可选择⼀个适当的数去乘⽅程的两边，使其中⼀个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把⽅程两边分别相减(或相加)，消去⼀个未知数，得到⼀元⼀次⽅程; ③解这个⼀元⼀次⽅程; ④将求出的⼀元⼀次⽅程的解代⼊原⽅程组系数⽐较简单的⽅程，求另⼀个未知数的值; ⑤把求得的两个未知数的值⽤⼤括号联⽴起来，这就是⼆元⼀次⽅程组的解。

人教版初一数学下册二元一次方程组应用题过桥问题讲义

过桥问题
解题技巧：
1、画图分析
2、分析车尾的运动
3、根据路程列出方程
例1、一列火车长150米，每秒钟行19米。

全车通过长800米的大桥，需要多少时间？
例2、一列火车通过440米的桥需要40秒，以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒.这列火车的速度和车身长各是多少？
1、一列火车长119米，它以每秒15米的速度行驶，小华以每秒2米的速度从对面走来，经过几秒钟后火车从小华身边通过？
2、一列火车通过360米的第一隧道，用去24秒钟；接着通过长224米的第二隧道用去了16秒钟，这列火车的车身长和速度各是多少？
3、一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，那么两车错车需4秒，如果同向而行，两车错车需16秒，求两车的速度。

4、一列匀速前进的火车，从它进入600m的隧道到离开，共需20s。

在隧道顶部有一盏固定的灯发出的一束光线垂直照射火车5s，问这列火车的长度是多少？。

《二元一次方程组》知识讲解(1)

+1)
+
m
−
3
=
0
，解得
m
=
3
.
答：m 的值为 3.
例 3.写出二元一次方程 4x + y = 20 的所有正整数解.
【答案与解析】
由原方程得 y = 20 − 4x ，因为 x、y 都是正整数，所以当 x =1， 2， 3， 4时， y =16，1 2， 8， 4 .
所以方程
4x
+
y
=
20
的所有正整数解为：
要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元
法，简称代入法．要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为 1(或-1)的方程．则选择系数为 1(或-1)的方程进行变形比较简便； (3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
，
又联立方程组
ax bx
− +
by ay
= =
−4 −8
，则有
2a + 2b = −4 −2a + 2b = −8
，
解得
a b
= =
1 −3
．
所以(2a+b)2011＝-1．
【变式】小明和小文解一个二元一次组
小明正确解得
小文因抄错了
c，解得
已知小文除抄错了 c 外没有发生其他错误，求 a+b+c 的值．

华东师大初中数学七年级下册二元一次方程组的相关概念(基础)知识讲解

二元一次方程（组）的相关概念（基础）知识讲解【学习目标】1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2,5.x y =⎧⎨=⎩． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎩⎨⎧=-=+52013y x x 也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x a y b=⎧⎨=⎩的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526x y x y +=⎧⎨+=⎩无解，而方程组1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．(1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7；(6)102x +=；(7)251x y +=；(8)132x y +=；(9)280x y -=；(10)462x y +=．【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．【答案】(1)(4)(5)(8)(10)【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数x 的次数为2．【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．举一反三：【变式】（2015春•桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（）A ．=y+5xB ．3x+2y=2x+2yC ．x=y 2+1D ．【答案】D ．类型二、二元一次方程的解2.（2016春•吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】二元一次方程x+y=7的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．【答案】B【解析】解：A 、把x=﹣2，y=5代入方程，左边=﹣2+5≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；B 、把x=3，y=4代入方程，左边=右边=7，所以是方程的解；故本选项正确；C 、把x=﹣1，y=7代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；D 、把x=﹣2，y=﹣5代入方程，左边=﹣7≠右边，所以不是方程的解．故本选项错误．故选B ．【总结升华】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x ，y 的值代入原方程验证二元一次方程的解．【高清课堂：二元一次方程组的概念409142 例2（2）】举一反三：【变式】若方程24ax y -=的一个解是21x y =⎧⎨=⎩，则a= . 【答案】33.已知二元一次方程3142x y +=． (1)用含有x 的代数式表示y ；(2)用含有y 的代数式表示x ；(3)用适当的数填空，使2_______x y =-⎧⎨=⎩是方程的解．【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．【答案与解析】解：(1)将方程变形为3y ＝22x -，化y 的系数为1，得236x y =-． (2)将方程变形为232x y =-，化x 的系数为1，得46x y =-． (3)把x ＝-2代入236x y =-得， y ＝1．【总结升华】用含x 的代数式表示y ，其实质表示为“y ＝含x 的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．举一反三：【变式】已知：2x +3y =7，用关于y 的代数式表示x ，用关于x 的代数式表示y ．【答案】解：（1）2x =7－3y ， 732y x -=；（2）3y =7－2x ，723x y -= 类型三、二元一次方程组及方程组的解 4.（2015春•道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】解：A 是二元二次方程组，故A 不是二元一次方程组；B 是三元一次方程组，故B 不是二元一次方程组；C 是二元一次方程组，故C 是二元一次方程组；D 不是整式方程，故D 不是二元一次方程组；【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．5.判断下列各组数是否是二元一次方程组4221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①②的解．（1）35x y =⎧⎨=-⎩ （2）21x y =-⎧⎨=⎩【答案与解析】解：（1）把35x y =⎧⎨=-⎩代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以35x y =⎧⎨=-⎩是方程①的解．把x ＝3，y ＝-5代入方程②中，左边＝3(5)2+-=-，右边＝1-，左边≠右边，所以35x y =⎧⎨=-⎩不是方程②的解．所以35x y =⎧⎨=-⎩不是方程组的解．（2）把21xy=-⎧⎨=⎩代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以21xy=-⎧⎨=⎩不是方程①的解，再把21xy=-⎧⎨=⎩代入方程②中，左边＝x+y＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以21xy=-⎧⎨=⎩是方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.举一反三：【变式】写出解为12xy=⎧⎨=-⎩的二元一次方程组．【答案】解：此题答案不唯一，可先任构造两个以12xy=⎧⎨=-⎩为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可，现举一例：∵x＝1，y＝-2，∴x+y＝1-2＝-1．2x-5y＝2×1-5×(-2)＝12．∴12512x yx y+=-⎧⎨-=⎩就是所求的一个二元一次方程组．注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．。

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