第1章 质点运动学

二、矢量的表示：
1、符号表示; 2、示意图表示;3、数学表示
三、矢量的运算
三、矢量的运算
加、减、乘（点积、叉积）
1、加法：平行四边形法则 交换律 结合律
A ( B C ) ( A B) C
A B B A
2、数乘：矢量乘标量结果仍为矢量 结合律 分配律
三. 加速度 dv dv x dv y dv z d 2 x d 2 y d 2 z a i j k 2i 2 j 2k dt dt dt dt dt dt dt a ax i a y j az k
2 2 d v dv x d x d y dv z d z y ax 2 , ay 2 , az 2 dt dt dt dt dt dt 2
s rt
坐标或者位置矢量 时间的变化函数 表示结果，如何写
例 如图所示，以速度v 用绳跨一定滑轮拉 湖面上的船，已知 绳初长l 0，岸高h 求 船的运动方程 解 取坐标系如图
v
l0
h
l (t )
O
x(t )
x
依题意有
坐标表示为
l (t ) l0 v t
x(t ) (l0 v t )2 h 2
一. 质点运动学的基本概念
质点：有质量而无形状和大小的几何点。 质点系: 若干质点的集合。 参照物：用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。
参考系：参照物 + 坐标系（数学工具） + 时钟
(1) 运动学中参照物可任选。 (2) 参照物选定后，坐标系可任选。 (3) 常用坐标系 O
x 参照物 z
P
y
建如图所示坐标，则
二. 速度
1. 平均速度 2. 瞬时速度
r x y z v i j k t t t t dr dx dy dz v i j k v xi v y j v z k dt dt dt dt

O
r
z
y

β
参考物
x r xi yj zk 位矢的大小为： r x2 y 2 z 2
位置矢量如何构成呢？如何表示呢？
x
y
如果位置矢量起点是 坐标原点 从参照物所选的参考 位矢的方向用方向余弦表示，则有： 点指向质点位置的有向 x y z 线段为质点相对该参考 cos , cos , cos r r r 点的位矢。
vA
B'
B
dr v dt
dr ds dr v v dt dt dt
A
r s v ＝v ＝ v ＝v t t
(3)速度的大小、方向如何呢？相对性如何理 解？瞬
时性包含不变性吗？
请思考：质点作圆周运动一周（半径为R），共 用时间T秒，则这个过程中质点的速度、速率、 平均速度、平均速率为多少？
A B B A
4、矢量积：
A B
A B Ax Bx
ˆ x
ˆ y Ay By
ˆ z Az Bz
A

A B AB sin (0 )
B
ˆ Ay Bz Az B y x
ˆ Az B x Ax Bz y
从质点始点指向终点的有向线段
pp r (t t ) r (t ) r
相对同一参考点末 时刻位矢减去初时 刻位矢
二. 速度 描述物体运动状态的物理量; 描述物体位置变化快慢的物理量。 r (t t ) r (t ) dr v lim t 0 t dt r r (t ) 三. 加速度 描写物体速度变换快慢的物理量 r (t t ) 2 O v (t t ) v (t ) dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
dv y 2 dv z 2 d v 2 2 2 2 x 大小为 a ax a y az ( ) ( ) ( ) dt dt dt
方向用方向余弦表示为
ax cosα a
ay cosβ a
az cosγ a
到现在为止我们学习了什么？
1、研究对象、研究内容。 2、围绕研究内容学了 四 个基本概念的物理意义及数学表示。 四个物理量之间是什么关系呢 相同点: 瞬时性 相对性 矢量性 联系： 从数学角度讲是微分、积分的关系。
x x(t ) y y (t ) z z (t ) r r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k s f (t )
例 一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速度为 。
求 用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。 解 以圆心O 为原点。建立直角坐标 系Oxy ，O 点为起始时刻，设t 时 刻质点位于P（x , y），用直角坐 标表示的质点运动学方程为
y
y

P ( x, y ) r rω t s x x O O'
x r cos t , y r sin t
位矢表示为 位置矢量起点为坐标原点
r xi yj r cos ti r sin tj 假设只要求用自然 质点空间位置随
自然坐标表示为
r (t )
O
1. 平均速度
2. 瞬时速度
r r (t t ) r (t ) v ＝v t t
r
r (t t )
r (t t ) r (t ) dr v lim t 0 t dt
讨论
(1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 (2) 注意速度与速率、平均速率的区别
直角坐标系（ x , y , z ） 柱坐标系（ , , z ）
球坐标系（ r,θ, ） 平面极坐标系（ r,θ ）
自然坐标系 ( s )
二. 确定质点位置的常用方法
1. 直角坐标法 P(x, y, z) 某时刻质点所在处的坐标值。 2. 位矢法 质点某时刻位置由位矢 r 表示。
z
P ( x, y , z )
( ) A A A
( A) ( ) A ( A B ) A B
2 3、标量积： A B AB cos , A A A
交换律 分配律
A ( B C ) A B A C
第1章 质点运动学
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 质点位置的确定方法 质点的位移、速度和加速度 用直角坐标表示质点的位移、速度和加速度 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度 圆周运动中的角量描述 角量和线量的关系
§1.6
不同参考系中的速度和加速度变换定理简介
§1.1 质点位置的确定方法
dx dy dz vx , vy , vz dt dt dt dx 2 dy 2 dz 2 2 2 2 速度的大小为 v v x v y v z ( ) ( ) ( ) dt dt dt
速度的方向用方向余弦表示为
vy vx vz cosα , cosβ , cosγ v v v
（验证上式的分量式成立即可） 【思考】下列运算“合法”吗？
1 , A B, C , ln D
第1章 质点运动学
本章研究对象：
质点——理想化模型；有质量的几何点；物体的
质量分布在一个几何点上。
为何要引入质点的概念呢？ 这种近似模型合理吗？
本章研究内容：
研究物体的位置随时间的变化规律；物体何时在何处。
S R
r
பைடு நூலகம்
是位移的大小,位移矢量的模
A
y
B O
r＝Ri (Ri ） 2Ri
r 2R
x
R
所以
Δr 是末位矢的模与 初始位矢的模的差
r＝ r (末) r (初)
Δr＝0
所以，在如图坐标系中
这几个概念清楚了吧！
二. 速度
描述物体运动状态的物理量; 描述物体位置变化快慢的物理量。
r (t )
r
相对同一参考点末时刻位矢减去初时刻位矢 O r (t t ) 讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r S (2) 位移与参照系位置的变化无关， 只与初始位置有关
O
O
r
r
r
与Δr 的区别 (3) 分清 r
§1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度
一. 位移
时刻 t +t ，质点位于 Q ，位矢为 r2
这儿隐含的一个条 件，你知道吗？
O
时刻 t ，质点位于P ，位矢为r1
z
P ( x1, y1, z1 )

r1 r2
r
y Q ( x2 , y2 , z2 )
x r1 x1i y1 j z1k r2 x2i y2 j z2k 时间 t 内质点的位移为 r r2 r1 xi yj zk ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
第一部分：力学
专门研究机械运动的学科
运动学： 研究物体在空间的位置随时间变化 规律或运动的轨道问题，而并不涉及 物体发生机械运动及变化原因。
动力学： 以牛顿运动定律为基础，研究物体 运动状态发生改变所遵守规律的学科。
辅助知识——矢量简介
这部分内容要求自学，最基本
要求要熟悉以下内容：
一、概念：有大小、方向，并有下述运算规则
y
A O B
例： 一质点从A以顺时针方向沿圆环 运动到B问此过程中质点的位移， x 路程， r ,Δr分别为多少？
R
解:
位移是矢量 r＝r (末) r (初) 在如图坐标系中 r＝Ri ( Ri ） 2Ri
别的坐标系 中如何呢？
路程是质点所运动所留下的轨迹长度，是标量，与坐标系无关。 所以
O
2 v ( t t ) v ( t ) d v d r a lim 2 t 0 t dt dt
v (t ) v (t t )
v
质点运动学的基本概念建立起来了， 以后我们将围绕基本概念解决具体问题。
一. 位移 描述质点位置变化的物理量
说明 质点运动学的基本问题之一，是确定质点运动学方程。为 正确写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明 确起始条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。
§1.2 质点的位移、速度和加速度
一. 位移 描述质点位置变化的物理量
从质点始点指向终点的有向线段
P
s
P’
pp r (t t ) r (t ) r
ˆ Ax B y Ay B x z
A B B A 不交换！ A A 0 A (B C ) A B A C
一个要用到的公式：
A ( B C ) B( A C ) C ( A B )
3. 自然坐标法 当已知质点相对参考系的运动轨迹时，常用自然法较方 便确定质点位置
s f (t )
4. 运动学方程(函数)
参考物
• O
s s•
P

质点空间位置随时间的变化函数 直角坐标法
如何写出运动学方程呢？
位置矢量法
自然坐标法 意义: 已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度
如何求呢？
v＝0
速度、速率呢？
2 R v＝ T
条件不足无法判断
三. 加速度 描写物体速度变换快慢的物理量v (t )
1. 平均加速度

v (t t )
B
A
v v (t t ) v (t ) a t t
2. 瞬时加速度

r (t )
r (t t )