第3章网孔分析法和节点分析法(免费阅读)
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电路分析网孔分析法和节点分析
等效单口网络：当两个单口网络的VCR关系完全 相同时，称这两个单口是互相等效的。
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
第03章 网孔分析法与结点分析法
(希望所有的量均为电流量)
1. 自电导×节点电位+互电导×相邻节
点电位 = 流进该节点的电流源电流
2.自电导为正，互电导为负。
方程左边为流出所有电阻所在的支路的电流(代 数和),方程右边为流入除电阻所在的支路以外的所 有支路的电流(代数和)。（上课时给出特殊电路）
(二) 结点分析法三种情况
1. 电路中只有电流源，没有电压源
节点1 节点2 节点3
G1 (U1 U 2 ) G5 (U1 U 3 ) I S G1 (U 2 U1 ) G3 (U 2 U 3 ) G2 U 2 0 G3 (U 3 U 2 ) G4 U 3 G5 (U 3 U1 ) 0
变形
节点1 节点2 节点3 节点1 节点2 节点3 G1 (U1 U 2 ) G5 (U1 U 3 ) I S G1 (U 2 U1 ) G3 (U 2 U 3 ) G2 U 2 0 G3 (U 3 U 2 ) G4 U 3 G5 (U 3 U1 ) 0 (G1 G5 ) U1 G5 U 3 G1U 2 I S (G1 G3 G2 ) U 2 G1U1 G3U 3 0 (G4 G3 G5 ) U 3 G3U 2 G5U1 0
2. 电路中有电压源，但正好一端为参考端 3. 电路中有电压源，两端都不为参考端 a. 电压源正好与某电阻串联 b.电压源不与某电阻串联
1.电路中只有电流源，没有电压源
例如：P参30 2－19 用 结点分析法求结点电压。
1 1 （ ＋ ）U 1 U 2 2 1 2 2 1 1 1 1 (1 )U 2 U 1 U 3 0 2 2 2 2 1 1 1 1 ( )U 3 U 2 3 2 2 2 2
1. 自电导×节点电位+互电导×相邻节
点电位 = 流进该节点的电流源电流
2.自电导为正，互电导为负。
方程左边为流出所有电阻所在的支路的电流(代 数和),方程右边为流入除电阻所在的支路以外的所 有支路的电流(代数和)。（上课时给出特殊电路）
(二) 结点分析法三种情况
1. 电路中只有电流源，没有电压源
节点1 节点2 节点3
G1 (U1 U 2 ) G5 (U1 U 3 ) I S G1 (U 2 U1 ) G3 (U 2 U 3 ) G2 U 2 0 G3 (U 3 U 2 ) G4 U 3 G5 (U 3 U1 ) 0
变形
节点1 节点2 节点3 节点1 节点2 节点3 G1 (U1 U 2 ) G5 (U1 U 3 ) I S G1 (U 2 U1 ) G3 (U 2 U 3 ) G2 U 2 0 G3 (U 3 U 2 ) G4 U 3 G5 (U 3 U1 ) 0 (G1 G5 ) U1 G5 U 3 G1U 2 I S (G1 G3 G2 ) U 2 G1U1 G3U 3 0 (G4 G3 G5 ) U 3 G3U 2 G5U1 0
2. 电路中有电压源，但正好一端为参考端 3. 电路中有电压源，两端都不为参考端 a. 电压源正好与某电阻串联 b.电压源不与某电阻串联
1.电路中只有电流源，没有电压源
例如：P参30 2－19 用 结点分析法求结点电压。
1 1 （ ＋ ）U 1 U 2 2 1 2 2 1 1 1 1 (1 )U 2 U 1 U 3 0 2 2 2 2 1 1 1 1 ( )U 3 U 2 3 2 2 2 2
节点和网孔分析法
网孔方程建立
根据基尔霍夫电压定律（KVL），可以建立每个网孔的电压方程。对于每个网孔，其电压降等于该网 孔上所有元件电压降的代数和。通过列写网孔电压方程，可以得到一组以网孔电流为未知数的线性方 程组。
网孔阻抗矩阵形成与求解
阻抗矩阵形成
在列写网孔电压方程时，需要将电路中 的电阻、电感、电容等元件用阻抗表示 。将各元件的阻抗按照网孔电流的流向 排列成矩阵形式，即可得到网孔阻抗矩 阵。该矩阵是一个方阵，其阶数等于网 孔数。
在多个领域进行了实际应用验证，证明了 节点和网孔分析法的有效性和实用性。
未来发展趋势预测
跨领域应用拓展
随着节点和网孔分析法的不断完善，其应用领域将进一步拓展，包括 社交网络、交通网络、生物网络等多个领域。
动态网络分析
未来研究将更加注重动态网络的分析，探索网络结构和行为的动态演 化规律。
多层网络分析
节点导纳矩阵形成与求解
形成节点导纳矩阵
将节点电压方程中的系数按照一定规则排列成矩阵形式，得到节点导纳矩阵。 矩阵中的元素表示各节点之间的电导连接关系。
求解节点电压
根据节点导纳矩阵和给定的电流源，可以求解出各节点的电压值。一般采用高 斯消元法或迭代法进行求解。
03
网孔分析法
网孔定义及分类
网孔定义
随着多层网络研究的兴起，节点和网孔分析法将进一步拓展到多层网 络分析领域，揭示不同层级网络之间的相互作用和影响。
算法优化与创新
针对现有算法存在的问题和不足，未来研究将致力于算法的优化和创 新，提高节点和网孔分析法的准确性和效率。
THANKS。
05
节点和网孔分析法在电路中的 应用
复杂电路分析
01
02
03
节点分析法
根据基尔霍夫电压定律（KVL），可以建立每个网孔的电压方程。对于每个网孔，其电压降等于该网 孔上所有元件电压降的代数和。通过列写网孔电压方程，可以得到一组以网孔电流为未知数的线性方 程组。
网孔阻抗矩阵形成与求解
阻抗矩阵形成
在列写网孔电压方程时，需要将电路中 的电阻、电感、电容等元件用阻抗表示 。将各元件的阻抗按照网孔电流的流向 排列成矩阵形式，即可得到网孔阻抗矩 阵。该矩阵是一个方阵，其阶数等于网 孔数。
在多个领域进行了实际应用验证，证明了 节点和网孔分析法的有效性和实用性。
未来发展趋势预测
跨领域应用拓展
随着节点和网孔分析法的不断完善，其应用领域将进一步拓展，包括 社交网络、交通网络、生物网络等多个领域。
动态网络分析
未来研究将更加注重动态网络的分析，探索网络结构和行为的动态演 化规律。
多层网络分析
节点导纳矩阵形成与求解
形成节点导纳矩阵
将节点电压方程中的系数按照一定规则排列成矩阵形式，得到节点导纳矩阵。 矩阵中的元素表示各节点之间的电导连接关系。
求解节点电压
根据节点导纳矩阵和给定的电流源，可以求解出各节点的电压值。一般采用高 斯消元法或迭代法进行求解。
03
网孔分析法
网孔定义及分类
网孔定义
随着多层网络研究的兴起，节点和网孔分析法将进一步拓展到多层网 络分析领域，揭示不同层级网络之间的相互作用和影响。
算法优化与创新
针对现有算法存在的问题和不足，未来研究将致力于算法的优化和创 新，提高节点和网孔分析法的准确性和效率。
THANKS。
05
节点和网孔分析法在电路中的 应用
复杂电路分析
01
02
03
节点分析法
3网孔分析法和节点分析法课件
第三章 网孔分析法和结点分析法
例5、用结点分析法求 图示电路中各电阻支 路电流。
解：用接地符号标出参考结点，标出两个结点电压
u1和u2的参考方向，如图所示。用观察法列出结点
方程：(1 u1
1)u1 (1
u2 2)u2
5
10
2uu11u32u2
5
10
解得各结点电压为 各电阻支路电流为
u1 1V u2 3V i1 1A i2 6A i3 4A
G21v1
G22v2
G23v3
iS
22
G31v1
G32v2
G33v3
iS
33
是各结点全部电导的总和。
此例中 G11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= G3+ G4+ G6
第三章 网孔分析法和结点分析法
2.结点方程
用(n-1)结点电压做 未知量，根据KVL 、 VCR方程写出各支路电 流，再由KCL 列出(n-1) 个电流方程。
如图电路有4个结点， 选0为基准结点，把3个 结点电压做独立变量， 则各支路电压可表示
u1 u10 v1 u2 u20 v2 u3 u30 v3
u4 u10 u30 v1 v3 u5 u10 u20 v1 v2 u6 u20 u30 v2 v3
第三章 网孔分析法和结点分析法
第三章 网孔分析法和结点分析法
第3章 网孔分析法和结点分析法
本章要求: 1.掌握列网孔方程，求解网孔电流； 2. 掌握列结点方程，求结点电压； 3.理解受控源与独立源的区别，掌握受控源电路 的基本分析、计算方法。
第三章 网孔分析法和结点分析法
第3章网孔分析法和节点分析法新
+ u_s1
ia R5 R4
ib R6
+ _us2
R33= R3+ R4+ R6 。
_ us4 + ic
i3 R3
+ us3 _
+
R11 R12 R13 ia uS11 u_s1
R21 R22 R23ibuS22
R31
R32
R3
3
ic
uS3
ib 25
0.429A 20 7
20 30
i2 = ib =0.429A i3 = ia － ib
=0.714A
作业 3.1
求各元件电流、电压和功率（要求用网孔分析法）
3Ω
6Ω
+
+
6Ω
10V
_
+ 2V_
4V
_
作业 3.2
+
3V
_
2Ω
4Ω 2Ω
+ 2V _
列写网孔方程
2Ω
●
4Ω
+
+ 2_ V
规则：
R11 R12 R1ni1 us11
R21
R22
R2ni2
us22
Rn1
Rn2
Rnnin
usnn
其中: （1） Rij : i =j 时，（对角线元素）自电阻，即i 网孔 内所有电阻之和；
将网孔方程写成一般形式： +
R11 ia + R12 ib +R13 ic= uS11 u_s1 R21 ia + R22 ib +R23 ic= uS22
电路分析基础节点网孔分析
THANKS
电路分析的方法
01
02
03
节点分析法
通过求解电路中各节点的 电压来分析电路的方法。
网孔分析法
通过求解电路中各网孔的 电流来分析电路的方法。
支路分析法
通过直接求解电路中各支 路的电流或电压来分析电 路的方法。
02
电路分析基础
电路元件
01
电阻器
表示电路中电阻的元件，其值由欧 姆定律确定。
电感器
表示电路中电感的元件，其值由亨 利定律确定。
网孔分析法
能够得到较少的未知数，计算过程相对简单；但只能得到网 孔电流，需要进一步推导支路电流。
06
实例分析
实例一：简单直流电路分析
总结词
通过节点电压法，求解各支路电流
详细描述
对于简单直流电路，可以通过节点电压法求解各支路电流。首先，选定一个参考节点，然后列出其他 节点与参考节点之间的电压方程。接着，利用基尔霍夫电流定律列出其他节点的电流方程。最后，联 立方程求解各支路电流。
03
02
电容器
表示电路中电容的元件，其值由法 拉定律确定。
电源
提供或吸收电能，使电流在电路中 流动。
04
电路变量
电流
电荷在单位时间内流过导体的量，用Байду номын сангаас符号I表示。
电压
电场力将单位正电荷从一点移动到另 一点所做的功，用符号V表示。
功率
单位时间内完成的功，用符号P表示。
能量
电荷在电场中移动时所做的功，用符 号W表示。
电路定律
欧姆定律
表示电压与电流之间的关系，即V=IR。
基尔霍夫定律
表示电路中电流和电压之间的关系，包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。
电路分析的方法
01
02
03
节点分析法
通过求解电路中各节点的 电压来分析电路的方法。
网孔分析法
通过求解电路中各网孔的 电流来分析电路的方法。
支路分析法
通过直接求解电路中各支 路的电流或电压来分析电 路的方法。
02
电路分析基础
电路元件
01
电阻器
表示电路中电阻的元件，其值由欧 姆定律确定。
电感器
表示电路中电感的元件，其值由亨 利定律确定。
网孔分析法
能够得到较少的未知数，计算过程相对简单；但只能得到网 孔电流，需要进一步推导支路电流。
06
实例分析
实例一：简单直流电路分析
总结词
通过节点电压法，求解各支路电流
详细描述
对于简单直流电路，可以通过节点电压法求解各支路电流。首先，选定一个参考节点，然后列出其他 节点与参考节点之间的电压方程。接着，利用基尔霍夫电流定律列出其他节点的电流方程。最后，联 立方程求解各支路电流。
03
02
电容器
表示电路中电容的元件，其值由法 拉定律确定。
电源
提供或吸收电能，使电流在电路中 流动。
04
电路变量
电流
电荷在单位时间内流过导体的量，用Байду номын сангаас符号I表示。
电压
电场力将单位正电荷从一点移动到另 一点所做的功，用符号V表示。
功率
单位时间内完成的功，用符号P表示。
能量
电荷在电场中移动时所做的功，用符 号W表示。
电路定律
欧姆定律
表示电压与电流之间的关系，即V=IR。
基尔霍夫定律
表示电路中电流和电压之间的关系，包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。
第三章 网孔分析法和结点分析法
第三章 网孔分析法和结点分析法 一、 网孔分析法网孔分析法以假想的沿着网孔边界流动的网孔电流作为变量，列出b-(n-1) 个独立网孔的KVL 方程，求解网孔方程后得到全部网孔电流，由网孔电流导出电路中各支路的电压和电流。
该方法方程数少，方法简便。
适合于对平面电路进行分析求解。
（一） 网孔分析法的步骤1、 在电路图上选定包含全部支路的若干网孔2、 在选定的每个网孔中标明网孔电流方向3、 利用全部网孔电流形成的电压降和电路中独立源两端的电压来列出每个网孔的KVL 方程4、 联立求解网孔电流方程，得出网孔电流值5、 根据网孔电流求出各支路电流值⎪⎭⎪⎬⎫-=++--=-+++=++++3S 314326332S 326215221S 31421511)()()()()()(u i i R i i R i R u i i R i i R i R u i i R i i R i R S236265215)(u i R i R R R i R =-+++3S 36432614)(u i R R R i R i R -=+++-1S 34251541)(u i R i R i R R R =++++326215314 i i i i i i i i i -=+=+=（二） 网孔分析法的特点1、网孔分析法既可以用于平面连通电路，也可用于平面非连通电路2、网孔分析法只适用于平面电路，不适用于立体电路3、对于含电流源的支路须视条件作等效变换，或增设电流源两端的电压变量4、网孔分析法的计算结果只能用KVL 来校核，不能用KCL 校核 （三） 例题例3－1 用网孔分析法求图3-2电路各支路电流。
解：选定两个网孔电流i 1和i 2的参考方向，如图所示。
解得： i 1 = 1A, i 2 =－3A, i 3 = i 1 － i 2 = 4A 。
⎩⎨⎧-=Ω+Ω+Ω-=Ω-Ω+ΩV10)21(1V5)1()11(2121i i i i例3－2 用网孔分析法求图3－3电路各支路电流。
第3章 网孔分析法和结点分析法
湖 北 文 理 学 院
选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个
回路,该回路电流即 IS 。 ( RS R1 R4 )i1 R1i2 ( R1 R4 )i3 U S 例
i2 I S
已知电流，实际减少了一方程
( R1 R4 )i1 ( R1 R2 )i2 ( R1 R2 R3 R4 )i3 0
R11il1 R12il 2 R1l ill usl1 R21il1 R22il 2 R2 l ill usl 2 Rl1il1 Rl 2il 2 Rll ill usll
湖 北 文 理 学 院
R11il1 R12il 2 R1l ill u sl1 R21il 1 R22il 2 R2 l ill u sl 2 Rl1il 1 Rl 2il 2 Rll ill u sll 注意
a I1 + 70V – 7 I2 11 + 1 2 6V – b I3 7
1 1 1
Δ 7 11 0 203 0 11 7 0 1 1 Δ1 64 11 0 1218 6 11 7 1 Δ2 7 0 0 1 64 0 406 6 7
I1 1218 203 6A
R6
取网孔为独立回路，沿顺时 针方向绕行列KVL写方程:
回路1 回路2 回路3
u2 u3 u1 0 u4 u5 u3 0 u1 u5 u6 0
湖 北 文 理 学 院 这一步可 以省去
2 i2 R2 1 R1 i3 回路1 回路2 回路3
R4 R3
3 4 + 2
u2 u3 u1 0 u4 u5 u3 0 u1 u5 u6 0
3网孔分析回路分析结点分析3_4
a
Rf
b
− +
Ic
Re R + Ld
Rb I 1− Rb I 2 = U i − µR Ld I 3 U i
+ −
Ib
I1
Rb + I2 −
αI b
I3
Uo −
µRLdIc
αRe Ib
a
Rf
b
− +
Ic
Re R + Ld
Rb I 1− Rb I 2 = U i − µR Ld I 3
Ui
+ −
Ib
－ － b －
m个网孔 个网孔 的电路： 的电路：
R11 I l1＋R12 I l 2＋…＋R1m I m = U S11 R I + R I ＋…＋R I = U 21 l1 22 l 2 2m 2m S 22 … … … … … Rm1 I l1 + Rm 2 I l 2＋…＋Rmm I lm = U Smm
弥尔曼定理
①
G4
特例2：含独立无伴电压源 特例 ：含独立无伴电压源US 法1：尽量以无伴电压源的某一极作为参考点 . ： 法2： ①增设 S上电流 Us为变量，代入相应结 ： 增设U 上电流I 为变量， 点的KCL方程（好比电流源 Us）； 方程（ 点的 方程 好比电流源I ②补充该US与两端结点电压的关系式 。 补充该 例：求右图的Un2 、 求右图的U Un3 及I 。 解：对7V电压源可用 电压源可用 法一， 而对而对4V电 法一， 而对而对 电 压源则要用法二 法二。 压源则要用法二。
( R1 + R2 ) I l1 − R2 I l 2 = U S1 − U S2 －R2 I l1 + ( R2 + R3 ) I l 2 = U S2 − U S3
网孔分析和节点分析
20I1 35I2 U 10
2I1 2I2 8I3 U 0
I2 I3 0.1
说明：
当所选网孔包括电流源时电流 源的端电压要列入网孔方程中，同 时增加一个电流源支路方程。
如能使电流源只出现在一个网 孔中则该网孔方程不用列出，该网 孔电流由电流源决定。
例3 列出如图所示电路的节点电压方程
u3
u14 = u1 u24 = u2 u34 = u3
uu122 = u1 uu233 = u2 uu133 = u1 -
i5 i1 i5 iS 0 u1 i1 i1 i2 i3 0 i
i3 i4 i5 0 S u1
u2
i2
u2
i3 u3 i4
u3
i1 G1(u1 u2 ) i5 G5 (u1 u3 ) i2 G2u2 i3 G3 (u2 u3 ) i4 G4u3
24 0.706 10
2.471A
=0
§3-4 含运算放大器的电阻电路
OpAmps Resistance circuit
内容： 一、运算放大器及等效电路； 二、理想运算放大器；
三、含有运算放大器的电阻电路分析。
一、运算放大器及其等效电路
反相输入端
u-
u+
同相输入端
差分输入电压
uo=A( u+- u-) =Aud
…… …… …… …… …… …… …… ……
Gn1u1 + Gn2u2 + ……+ Gnnun = iSnn
电源
自电导本节点电压+互电导相邻节点电压=流入本节点电流 源电流代数和
含有电压源的节点法说明：
1.若存在电压源串联电阻的有伴电压源模型，则可将其串联组合转换 成电流源并联电阻模型；
第三章网孔分析法和结点分析法
二、网孔方程
以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL 方程分别为：
R1i1 R5 i5 R4 i4 uS1 R2 i2 R5 i5 R6 i6 uS 2 R3 i3 R6 i6 R4 i4 uS 3
将以下各式代入上式，消去i4、 i5和i6后可以得到：
(3 - 5)
从以上分析可见,由独立电压源和线性电阻构成电路的网
孔方程很有规律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产 生电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。 根据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方 程。由独立电压源和线性电阻构成具有个网孔的平面电路，其
网孔方程的一般形式为
例如图示电路各支路电压可表示为:
图 3－ 6
u1 u10 v1 u2 u20 v 2 u3 u30 v 3
u4 u10 u30 v1 v 3 u5 u10 u20 v1 v 2 u6 u20 u30 v 2 v 3
二、结点方程
将网孔方程写成一般形式：
R11i1 R12i2 R13i3 uS11 R21i1 R22i2 R23i3 uS 22 R31i1 R32i2 R33i3 uS33
其中R11, R22和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔 内全部电阻的总和。例如R11= R1+ R4+ R5, R22= R2 + R5+ R6, R33= R3+ R4+ R6。
的(b-n+1)个网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔电流
作变量建立的电路方程，称为网孔方程。求解网孔方程得 到网孔电流后，用 KCL方程可求出全部支路电流，再用 VCR方程可求出全部支路电压。
网孔分析法和节点分析
§3－1 网孔分析法(重点)
本章介绍利用独立电流或 独立电压作变量来建立电路方 程的分析方法，可以减少联立 求解方程的数目，适合于求解 稍微复杂一点的线性电阻电路， 是求解线性电阻电路最常用的 分析方法。
例1 电路如图，求i1,i2,i3 .
＋ i1 1Ω 5V
－
i3 2Ω 1Ω
i2 ＋ －10V
第三章 网孔分析法和节点分析
科学家研究世界 工程师创造崭新世界
西奥多•冯•卡曼 (Theodore von Karman) 美籍匈牙利力学家,近代力学奠基人之一。
第二章 用网络等效简化电路分析
2b法的缺点是需要联立求解的方程数目 太多，给求解带来困难。
本章通过两个途径来解决这个问题:
1. 利用单口网络的等效电路来减小电路规模， 从而减少方程数目。
二、网孔方程
i1 R1 ＋
以网孔电流为变量，结合 VCR列写网孔的KVL方程。
－uS1 ia －uS＋4
R2 i5
i＋2
R5 ib uS－2
例如网孔a，ia 的箭头方 i4
向，既代表ia 的参考方向， 也代表列写KVL的绕行方向。
R4
R6 i6
ic
R3 ＋uS3－i3
问题: 如果我们假定网孔电流方向：同为顺时针 或逆时针, 网孔的互电阻正﹑负是否有规律？
网孔电流的实质—— 用网孔电流来表示的KVL方程。
网孔分析法不仅 使独立方程数目减 少，而且很容易列 写方程。
——具有普遍性， 程序化，系统化的 分析方法。
四、含独立电流源电路的网孔方程
1. 若有电流源与电阻并联单口，则可先将其等效为电 压源和电阻串联单口，将电路变为仅由电压源和电阻构成 的电路，再建立网孔方程。
3章 网孔分析法和结点分析法
R3
i1 iS
R1i1 ( RS R1 R4 )i2 ( R1 R4 )i3 U S
( R1 R2 )i1 ( R1 R4 )i2 ( R1 R2 R3 R4 )i3 0
21
I
例
求U和I 。
独立回路为3
1 － 90V ＋
1
2i1 4i2 110 i2 150 / 4
(1 )i1 u 5V ( 2 )i2 u 10V
补充方程
i1 2i2 5A i1 i2 7 A
i1 i2 7A
i1 3A i2 4A
求解以上方程得到：
u 2V
19
5. 网孔方程推广到回路方程
是否可行？ 网孔分析法本质是对b-(n-1)个独立网孔列写KVL方程， 由于KVL方程也可以是b-(n-1)个独立回路，因此网孔法 可以推广为回路法。
电压降之和等于电压源电压升之和)。根据以上总结的规律和
对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。
11
网孔分析法的计算步骤 1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网 孔电流均选为顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部 互电阻项均取负号。且不含受控源的线性网络Rjk=Rkj , 系 数矩阵为对称阵。 2．用观察电路图的方法直接列出各网孔KVL方程。 3．求解网孔方程，得到各网孔电流。 4．假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电 流的线性组合关系，求得各支路电流。 5．用VCR方程，求得各支路电压。
例
i3=2A,只需计入1A电流源电压u，列
出两个网孔方程和一个补充方程：
(1 )i1 (1 )i3 u 20V (5 3 )i2 ( 3 )i3 u 0 i1 i2 1A
节点和网孔分析法共45页文档
节点和网孔分析法
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散1 Nhomakorabea0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散1 Nhomakorabea0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
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i1i2 2
补充方程
4、超级网孔法
网孔方程是描述网孔的KVL方程，把网孔拓展一 下成为超级网孔。
4Ω
网孔1和网孔2看
i
+ 4V _
成一个网孔，即 超级网孔
3
2Ω 2Ω
4Ω
2Ω
+ 12V_
i
i
2A
1
2
+ 6_ V
超级网孔 方程
超级网孔 自电阻
4 i1 6 i2 6 i3 1 6 2 4
3.列写网孔方程
i1 R1
R3 i3
+
i2
+
u_s1
ia
R2 ib
us2 _
网孔1： R1 i1+R2i2=uS1 网孔2： -R2i2+ R3 i3 =-uS2
网孔电流
i1 ia i2 ia ib i3 ib
代入KVL方程
(R1+ R2) ia-R2ib=uS1 - R2ia+ (R2 +R3) ib = -uS2
例1.
+
4V
_
+ 2V _ 8Ω
i3
2Ω
4Ω
i1
4Ω i2
（1）给网孔电流选取 参考方向（刚开始都
用顺时针或逆时针， 标出方向）
+
（2）列方程 8V
_ （3）求解
2 4 i1 4 i2 2 i3 4 4 i1 4 3 i2 4 i3 8 2 i 1 4 i 2 2 4 8 i 3 2
第3章 网孔分析法和节点分析法
重点
★★★
熟练掌握电路方程的列写方法和计算 网孔分析法 节点分析法
引言
第一章介绍的2b法，支路电流法和支路电压法可以解 决任何线性电阻电路的分析问题。缺点是需要联立求解 的方程数目太多，给“笔”算求解带来困难。
在第二章讨论了简单电阻电路分析，不用求解联立方 程，就可以求得电路中的某些电压电流。
+
+ 2_ V
6Ω
4V
_
●
二.含独立电流源的网孔方程
1、边沿的电流源
3Ω
i
+
4Ω
3
6Ω
8V
_
i
2Ω i
1
2 2A
网孔电流等于支路电 流等于电流源电流
i2 2A
6i12i24i38 i2 2A 4i16i21i3 30
6i14i3 12 4i11i3312
6 4
143ii1211
6 4 2i1 4 4 8 4i2 8 2 4 14i3 2
作业1 求各元件电流、电压和功率（要求用网孔分析法）
3Ω
6Ω
+
6Ω
+
10V
_
+ 2V_
4V
_
作业2
+
3V
_
2Ω
4Ω 2Ω
+ 2V _
列写网孔方程
2Ω
●
4Ω
i1 R1
+
us1 _
ia
R3 i3
i2
+
R2 ib
us2 _
网孔电流
i1 ia i2 ia ib i3 ib
独立性
网孔电流相互独立，不能互求。
这一特点的意义在于：求解ia、 ib时，不必再列写KCL 方程，只需列出两个网孔的KVL方程。因而可用较少的方程 求出网孔电流；得到ia、 ib后再由其与支路电流的关系求出各 支路电流。
R1R2
R2
R 2 RR 23iia buu s1 s2
R1R2
R2
R 2 RR 23iia buu s1 s2
观察可以看出如下规律：
R11=R1+R2 网孔1的自电阻。等于网孔1中所有电阻之和。 R22=R2+R3 网孔2的自电阻。等于网孔2中所有电阻之和。
其中: （1） Rij : i=j 时，（对角线元素）自电阻，即i网孔 内所有电阻之和；
（2） Rij : i≠j 时，（非对角线元素）互电阻，即i网 孔与j网孔共有电阻之和；（两网孔电流方向一致时 取“+”，方向不一致时取“-”）
（3） Usk，k网孔内所有电压源之和，电压升取“+”， 电压降取“-” ；
本章介绍利用独立电流或独立电压作变量来建立电 路方程的分析方法，可以减少联立求解方程的数目，适 合于求解稍微复杂一点的线性电阻电路，是“笔”算求 解线性电阻电路最常用的分析方法。
§3.1 网孔电流法 (mesh current method)
1.网孔电流
假想沿网孔边沿流动的电流，如图中 ia、 ib所示，参考方向任意选取
i1 R1
R3 i3
+
i2
+
u_s1
ia
R2 ib
us2 _
b条支路、n个结点的电路, （n-1）个独立KCL和 （b-n+1）独立回路（网孔）KVL，若以（b-n+1） 个网孔电流为求解变量，所需方程数将大大减少。
2.网孔电流具有以下令人感兴趣的特点
完备性
可以求出所有支路电流，也可以说所有支路电 流是网孔电流的线性组合。
i1i2 2 补充方程
超级网孔 与网孔3的
2i14i21i3 04
互电阻
作业1
列写网孔方程，并求出u0 4Ω
+ u0 _
2Ω
2Ω
2Ω
1A
4Ω
3A
作业2
5Ω 列写网孔方程
+
4Ω
2A
+
6V
_
3Ω
2V
_
三.含受控电源的网孔方程
94ii12210
3、中间的电流源
4Ω
2Ω
+ 12V_
i
+ 4V _
3
2Ω +
4Ω
2Ω
iu
i
+
_ 2A
1
2
6_ V
增加一个电压变 量u（把电流源看 做电压源列写方 程），网孔1和网 孔2互电阻为0
4i12i31 2u
6i24i31 0u
2i14i21i3 04
自电阻总为正。 R12= R21= –R2 网孔1、网孔2之间的互电阻。
当两个网孔电流流过共同相关支路方向相同时，互电阻 取正号；否则为负号。
Us1= uS1 网孔1中所有电压源电压的代数和。电压升取“+” Us2= -uS2 网孔2中所有电压源电压的代数和，电压降取“-”
规则：
R11 R12 R1ni1 Us1 R21 R22 R2ni2 Us2 Rn1 Rn2 Rnnin Usn
2 2
2、等效变换
5Ω + 6V _
1i1 0 4 i2 2 i3 4 i4 8
i2
●
●1Aຫໍສະໝຸດ 4Ω + 8V _
1A
i3 2Ω
●
i 4Ω
1
i4
●
5Ω + 6V _
4i19i286 i3 1A i4 1A
●
2Ω
+
2V
_
i2
4Ω + 8V _
i
1
●
4Ω
+
4V
_
10 4